( f ) ( T) ( g) ( H)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( f ) ( T) ( g) ( H)"

Ωρίων Φιλιππίδης
4 χρόνια πριν
Προβολές:

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη (iii), σελ.44 σχολικού βιβλίου Α.

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη (iii), σελ.44 σχολικού βιβλίου Α. Ορισµός, σελ. 5 σχολικού βιβλίου Α3. Αό την γραφική αράσταση της συνάρτησης f, καταλαβαίνουµε ότι έχει την f µορφή = α β µε, α β >, άρα έχουµε: f = α. Εοµένως, η ρώτη αράγωγος έχει µορφή ευθείας µε θετική κλίση ου διέρχεται αό την αρχή των αξόνων (εικόνα (Τ)). Αό την γραφική αράσταση της συνάρτησης g, καταλαβαίνουµε ότι έχει την α, α, > µορφή g = α = µε α >, άρα έχουµε: g =. α, < α, < Εοµένως, η ρώτη αράγωγος έχει σταθερή θετική τιµή για κάθε > και σταθερή αρνητική τιµή για κάθε < (εικόνα (Η)). Άρα, τελικά η αντιστοίχιση είναι: ( f ) ( T) ( g) ( H) Α4. «Για κάθε ζεύγος ραγµατικών συναρτήσεων f, g :(, ) R, αν ισχύει limf = και lim =, τότε f g α) Ψευδής. g lim =».

2 β) Αντιαράδειγµα: σελ. 6 σχολικού βιβλίου, ο αράδειγµα Α5. α) Σ β) Σ γ) Λ ΘΕΜΑ Β Β. Για > : f Για < : = συνεχής ως ρητή. f = α συνεχής ως ολυωνυµική. Άρα, ρέει f lim f limf όµως: = =. f = lim f = lim α = α lim f = lim = = Άρα: α = α =. Β. Γνωρίζουµε αό το (Β) ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, άρα είναι συνεχής στο,4.,,,4 Είσης, η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη στα διαστήµατα f = και f = = = αντίστοιχα. µε Ελέγχουµε αν η f είναι αραγωγίσιµη και στο. Έχουµε: f f ( )( ) lim = lim = lim = lim = lim =

3 f f lim lim = = lim = lim = lim = Άρα, η f δεν είναι αραγωγίσιµη στο =, και εοµένως δεν είναι αραγωγίσιµη στο,4 B3. Πρέει να λύσουµε την εξίσωση f. Άρα, δεν ισχύουν οι υοθέσεις του Rll. =. 4, > f =, < Όµως,. Άρα, για < : f = = = < δεκτή Για > : = > δεκτή f ή = = = = <, αορ. Εοµένως, υάρχουν µόνο δύο εριτώσεις, οι = και =. 8 Για = η εξίσωση της εφατοµένης δίνεται αό τη σχέση: y f = f y = y = Για = η εξίσωση της εφατοµένης δίνεται αό τη σχέση: 3 y f = f ( ) y = ( ) y = 4 4 B4. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, και εοµένως δεν έχει κατακόρυφες ασύµτωτες. Πρέει να αναζητήσουµε αν έχει λάγιες ασύµτωτες στο και στο. Για την εριοχή του έχουµε:

4 lim = lim = lim = = οριζόντια ασύµτωτη της C f στο. f Για την εριοχή του έχουµε: H f δίνεται αό την σχέση, άρα η ευθεία y = είναι η f =, δηλαδή είναι ολυώνυµο ου βαθµού και εοµένως δεν αρουσιάζει λάγια ασύµτωτη. Πρέει να µελετήσουµε την συνάρτηση f ως ρος την µονοτονία και τα ακρότατα., > f =, < Έχουµε: Άρα, για > : = < f : στο f Για < : f = µε: f = = =,. (,) f > > > (,) f < < < f στο (,) = την τιµή Άρα, :, : f =. f στο, και αρουσιάζει τοικό ελάχιστο για Είσης, ρέει να µελετήσουµε την συνάρτηση f ως ρος την καµυλότητα και τα σηµεία καµής., > f =. Άρα:, < Όµως, 4

5 > : f = > f : 3 στο 4 Για Για,. < : f = > f : 3 στο (,). Είσης, η f δεν αρουσιάζει σηµεία καµής. Άρα, ροκύτει ο αρακάτω ίνακας µεταβολών: f f f Άρα, ροκύτει η γραφική αράσταση: ΘΕΜΑ Γ = ηµ µε [, ] f Γ. Η f είναι συνεχής και αραγωγίσιµη ως ράξεις συνεχών και αραγωγίσιµων = συναρτήσεων, όου: f συν Όµως:

6 f = συν = συν = συν = συν 3 = k ±, k Z 3 Όµως, [, ] άρα ρέει: k 6k 3 6k 3 k k = Άρα f = = µοναδική λύση στο [ ] Είσης, Και,. [ ] συν: στο, f > συν > συν > συν < 3 3 [ ] συν: στο, f < συν < συν< συν > 3 3 Άρα, έχουµε: 3 f f f ( ) = f = f ( ) = Άρα, η συνάρτηση αρουσιάζει τοικό ελάχιστο για ολικό µέγιστο για την τιµή f =. = την τιµή f =, = την τιµή f = 3 και ολικό ελάχιστο για = Γ. Έστω σηµείο, τότε η εξίσωση της εφατόµενης ευθείας δίνεται αό την σχέση y f ( ) = f ( )( ) y = f ( )( ) f ( ) Άρα, αρκεί να δείξουµε ότι η εξίσωση f f ( )( ) f ( ) µοναδική λύση. = έχει

7 Προφανής λύση για = αφού: f ( ο ) = f ( ) ( ) f ( ) Έστω, τότε: f f ( ) f ( )( ) f = f f = ο = f f = f (σχέση ) Όµως, η f : συνεχής στο [, ], και αραγωγίσιµη στο (, ) Θεώρηµα Μέσης Τιµής, υάρχει τουλάχιστον ένα ( ) ( ξ) f = f f ηλαδή, αό (σχέση ) έχουµε: ( ξ) = f f, άρα αό το ξ τέτοιο ώστε Είσης, f = ηµ στο [, ] f : στο [, ] f : στο [, ] Άρα: f ( ξ) = f ( ) ξ = άτοο, αφού ( ) ξ. Εοµένως, µοναδική λύση της εξίσωσης =. Άρα, η γραφική αράσταση της f έχει µοναδικό κοινό σηµείο µε την εφατόµενη ευθεία στο τυχαίο σηµείο (, ( ) ) A f. (Υοσηµείωση: θα µορούσαµε αφού f στο (, ),, = ηµ <, αευθείας ότι η f είναι κοίλη στο [, ], συνεώς η εφατοµένη της σε οοιοδήοτε σηµείο της [, ].) Γ3. Έχουµε: βρίσκεται άνω αό την C f εκτός του σηµείου ( συν ) (( ) ) ( ) ηµ συν ηµ συν συν I = f d = d = d = ( ηµ συν ) ( συν ) = d d Όµως: ηµ συνd = ηµ ηµ ηµ = = = Και [ ] συνd = ηµ d = ηµ ηµ d =

8 = ηµ ηµ ηµ d = συν d = συν = = συν συν = = Άρα: I = ( ) =. [ ] Γ4. α) Έχουµε: f ηµ ηµ ηµ lim = lim = lim = lim = = = =, εειδή β) Έχουµε: ηµ lim =. ( ) ( ηµ ηµ ) lim f f ln = lim ln = ηµ ηµ = lim ( ηµ ηµ ) ln lim ln = = lim ηµ ηµ ln lim ηµ 4 ηµ = ln L = = Όµως: Άρα: ηµ lim = ηµ = ω ηµω lim = lim = ω ω ω ln lim( ln ) lim lim = lim = DLH = = L = ( 4 ) = ΘΕΜΑ. Αρκεί να αοδείξουµε ότι: ln( ) > ln( ) < ( ) ln( ) < ()

9 Θεωρούµε τη συνάρτηση g = ( ) ln( ) Είναι: g = ln( ) ( ) = ln( ) Όµως > > ln( ) > ln ln( ) > ln( ) <, άρα g < gφθίνουσα στο (, ). Εοµένως, εειδή, g φθίνουσα ( ) = = ( ) g, lim g(),limg(), ( ) ln( ) lim g() = lim ( ( ) ln( ) ) = lim = ( ) ( ) = lim ln = = και Εοµένως η g() αίρνει µόνο αρνητικές τιµές, δηλαδή g()<. ln ln ln g() f = = = = <, αφού. αό, g()<. άρα, η f γνησίως φθίνουσα στο (, ) άρα «-» και συνεώς αντιστρέφεται. Το εδίο ορισµού της και γνησίως φθίνουσα στο (, ) άρα: () f είναι το σύνολο τιµών της f όµως η f είναι συνεχής f, = lim f(),lim f() =,, διότι: ln( ) lim = lim = και DLH ( ) ln lim = lim = DLH 3. Αρκεί να αοδείξουµε ότι:

10 f() > f() ln f() ( ) f φθίνουσα f() > ln f() > f() ln > ln f f > f f() < f() ου ισχύει αφού f ( A) = (,). 4. Θεωρούµε τη συνάρτηση: h() = f( α ) f ( α ) ηµ ( α ) µε R,<α< Η h είναι συνεχής στο [, ] ως ολυωνυµική και h() = ηµ ( α ) >, αφού <α< <α< h() = f( α ) <, αφού <f()< για κάθε χ> Εοµένως η h ικανοοιεί τις συνθήκες του θεωρήµατος Blzan, άρα η εξίσωση h()= έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο (,). Η h είναι συνεχής στο [, ] ως ολυωνυµική και h() = f( α ) <, αφού <f()< για κάθε χ> h() f f, δηλαδή το (, ). = α >, αφού το σύνολο τιµών της f είναι το εδίο ορισµού της Εοµένως η h ικανοοιεί τις συνθήκες του θεωρήµατος Blzan, άρα η εξίσωση h()= έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο (,). Όµως η συνάρτηση h είναι ολυωνυµική ου βαθµού, εοµένως έχει το ολύ ρίζες. Συνεώς έχουµε ακριβώς δύο ρίζες, αό µία στα διαστήµατα (,) και (,) αντίστοιχα. 5. Η F είναι συνεχής στο [, ], αραγωγίσιµη στο (, ) µε F() = f() γνησίως φθίνουσα. Άρα σύµφωνα µε το Θ.Μ.Τ. υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο F() F() F() F() F( ξ ) = f( ξ ) = ώστε: Ισχύει: f φθίνουσα ln F() ln( ) <ξ< f() > f( ξ ) > f() ln> > ( ) ln( ) ln > ln F() > ( ) ln( ) ln ln> F() > ln ln< F() < ln ln Αρκεί να αοδείξουµε ότι:

11 ln ln ln ln ln ln ln < < ln ln < ln ln ln ln < ln ln ln ln( ) ln( ) < ln ln ln( ) ln < ln ln < ln <, ου ισχύει

Σχετικά έγγραφα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ. A1. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ. A1. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μια