Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοοίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Εικ. Καθηγητής Τηλ:

2 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Διαδικασία Posso

3 Σημειακή Διαδικασία 0 T T 2 T 3 T T k- T k Χρόνος μεταξύ δύο γεγονότων U k = T k T k- 0 αριθμός γεγονότων : N

4 Στοχαστική Διαδικασία Μια διαδικασία εριγράφεται είσης αό τον αριθμό των γεγονότων Ν ου συμβαίνουν σε ένα χρονικό διάστημα Ν: ο αριθμός των γεγονότων στο χρ. διάστημα [0,] Να,β]=Νβ-Να Μέσος αριθμός γεγονότων ριν την στιγμή : } { } { } { } { 2 T T T T N T T N E N m

5 Στοχαστική Διαδικασία Θεωρείστε ένα σύστημα το οοίο εξελίσσεται τυχαία στο χρόνο και έστω ότι αρατηρούμε το σύστημα στους χρόνους = 0,, 2, 3,. Έστω X η τυχαία κατάσταση του συστήματος στο χρόνο. Η ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών {X 0, X, X 2, } ονομάζεται στοχαστική διαδικασία διακριτού χρόνου και γράφεται {Χ, 0} Αν με Ε συμβολίσουμε το σύνολο όλων των δυνατών τιμών ου μορεί να άρει η X για όλα τα, τότε το Ε ονομάζεται χώρος καταστάσεων της στοχαστικής διαδικασίας {Χ, 0}

6 Στοχαστική Διαδικασία Παραδείγματα σ.δ.δ.χ. X : η θερμοκρασία στην όλη της Χίου την ημέρα στις 2:00 το μεσημέρι. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε =-20,50 X : το αοτέλεσμα της -οστής ρίψης ενός κανονικού ζαριού. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε = {, 2, 3, 4, 5, 6} X : ο δείκτης του Χ.Α.Α. την ημέρα. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε = [0, X : ο αριθμός των εφημερίδων «ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ» ου ουλάει ένα ερίτερο την ημέρα. Ο χώρος καταστάσεων της σ.δ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Ε = {0,, 2, 3,.} διακριτή σ.δ. με διακριτό χώρο καταστάσεων διακριτή σ.δ. με συνεχή χώρο καταστάσεων

7 Στοχαστική Διαδικασία Θεωρείστε ένα σύστημα το οοίο εξελίσσεται τυχαία στο χρόνο και έστω ότι αρατηρούμε το σύστημα σε όλες τις χρ. στιγμές 0 και έστω X η κατάσταση του συστήματος χρ. στιγμή. Το σύνολο των καταστάσεων στις οοίες μορεί να βρεθεί το σύστημα σε οοιαδήοτε χρ. στιγμή καλείται χώρος καταστάσεων και συμβολίζεται με Ε. Η διαδικασία {X, 0} καλείται στοχαστική διαδικασία συνεχούς χρόνου με χώρο καταστάσεων Ε.

8 Στοχαστική Διαδικασία Παραδείγματα σ.δ.σ.χ. Έστω μια μηχανή η οοία μορεί να λειτουργεί ή να μην λειτουργεί. Εάν θεωρήσουμε ως X την κατάσταση της μηχανής στο χρόνο τότε η {X, 0} είναι μια σ.δ.σ.χ με χώρο καταστάσεων Ε =λειτουργία, μη-λειτουργία Έστω X ο αριθμός των ελατών ου μαίνουν σε ένα εμορικό κατάστημα στο χρόνο τότε η {X, 0} είναι μια σ.δ.σ.χ με χώρο καταστάσεων Ε =0,, 2, } Έστω X η θερμοκρασία στην όλη της Χίου στο χρόνο τότε η {X, 0} είναι μια σ.δ.σ.χ με χώρο καταστάσεων Ε =-20,50 συνεχής σ.δ. με διακριτό χώρο καταστάσεων συνεχής σ.δ. με συνεχή χώρο καταστάσεων

9 Στοχαστική Διαδικασία Μια διαφορετική ροσέγγιση: Ορισμός: Η συνάρτηση Χω, όου ω το αοτέλεσμα ενός ειράματος τύχης και ο χρόνος, λέγεται στοχαστική διαδικασία. Αν = 0 μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, τότε η Χω, 0 = Χ ω είναι τ.μ. Αν ζ = ζ 0 είναι ένα συγκεκριμένο αοτέλεσμα του ειράματος τύχης, τότε η Χζ 0, = x είναι μια συνάρτηση του χρόνου Χζ, * Χζ, 0 Χζ 2, Χζ 3, * Χζ 2, 0 0 * Χζ 3, 0

10 Διαδικασία Posso Ο αριθμός των γεγονότων Ν ακολουθεί την κατανομή Posso αν οι χρόνοι U ακολουθούν εκθετική κατανομή όου U U U U T T T N T T N Pr Pr Pr! Pr e N

11 Διαδικασία Posso Posso λ Υέρθεση Posso λ + λ 2 Posso λ 2 Posso λ Διαχωρισμός Posso λ Posso λ- *ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Ανεξάρτητες τ.μ. Χ, Υ Pr k 2 2 X k e, PrY k e, PrX Y? k! k k!

12 ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Μαρκοβιανές Αλυσίδες Δικριτού Χρόνου

13 Διακριτού Χρόνου Ορισμός Μαρκοβιανή Αλυσίδα Μια ακολουθία τ.μ. X με τιμές στο χώρο καταστάσεων Ε, είναι μια Μαρκοβιανή Αλυσίδα αν για οοιοδήοτε k > 0 και για οοιαδήοτε ακολουθία,, 0,,, - στοιχείων του Ε, έχουμε: X X0 0, X, X 2 2,, X PrX X Pr Μαρκοβιανή ιδιότητα Αν Pr X τότε η δεσμευμένη συνάρτηση μάζας ιθανότητας k m, Pr X k X 0 m m ονομάζεται συνάρτηση ιθανοτήτων μετάβασης της ΜΑ Ομογενής ΜΑ

14 Διακριτού Χρόνου Για μια ομογενή ΜΑ χρησιμοοιούμε την k Pr X k X m και ονομάζεται ιθανότητα μετάβασης -βημάτων m Λόγω της Μαρκοβιανής ιδιότητας μορούμε να ορίσουμε την αό κοινού ιθανότητα X 0 0,X,X 2,,X Pr 2 Αυτό ουσιαστικά σημαίνει ότι μορούμε να υολογίσουμε οοιαδήοτε αό κοινού ιθανότητα θέλουμε αρκεί να γνωρίζουμε την αρχική κατανομή 0 Pr X0 α και τις ιθανότητες μετάβασης μεταξύ των καταστάσεων

15 Διακριτού Χρόνου Δηλαδή: α P 0 0 ή a a Το άθροισμα κάθε γραμμής του ίνακα P είναι Pr X 0 X Pr X X E Ένας τέτοιος τετραγωνικός ίνακας ονομάζεται στοχαστικός

16 Διακριτού Χρόνου Παράδειγμα: Έστω ότι ένα σύστημα μορεί να βρεθεί σε μια αό τις καταστάσεις 0 βλάβη ή λειτουργία. Αρχικά, στο χρόνο = 0, το σύστημα λειτουργεί q q Pr X 0? Pr? X

17 Διακριτού Χρόνου Πιθανότητα -βημάτων: Γνωρίζουμε ότι Pr X X m m Prη διαδικασία άει στην κατάσταση k στο m-οστό βήμα, δοθέντος ότι Χ 0 = = k m Prαν η διαδικασία φτάνει στην κατάσταση μετά αό m+ βήματα, δοθέντος ότι Χ m = k = k Η μαρκοβιανή ιδιότητα υοδεικνύει ότι τα δύο αραάνω γεγονότα είναι ανεξάρτητα. Αό το θεώρημα ολικής ιθανότητας: m m k k ke Chama-Kolmogorov

18 Διακριτού Χρόνου Αν τώρα συμβολίσουμε με P τον ίνακα με στοιχεία, τότε με βάση τα ροηγούμενα ροκύτει : Μορούμε ακόμα να υολογίσουμε την εριθώρια σ.μ.. της τ.μ. Χ, με βάση τις ιθανότητες -βημάτων και την αρχική κατανομή Η εριθώρια σ.μ.. της. Χ σαν διάνυσμα: και με βάση τα ροηγούμενα E E E, a ή a X X X X Pr Pr Pr P P P P P P α α

19 Διακριτού Χρόνου Παράδειγμα: - 0 -q P 2 2?? q

20 Διακριτού Χρόνου Για ολλές εριτώσεις αλλά όχι για όλες τις Μ.Α. ισχύει: Ταξινόμηση Καταστάσεων lm 02,, Ορισμός: Μια κατάσταση ονομάζεται μεταβατική ή μη-εαναλητική αν και μόνο αν υάρχει θετική ιθανότητα η διαδικασία να μην ξαναγυρίσει σε αυτή Γενικά για μια εερασμένη Μ.Α. εριμένουμε ότι μετά αό ένα μεγάλο αριθμό βημάτων, η ιθανότητα η αλυσίδα να βρεθεί σε μια μεταβατική κατάσταση τείνει στο 0, ανεξάρτητα αό την αρχική κατάσταση. Έστω Χ ο αριθμός των εισκέψεων στην αό την. Τότε Αν η είναι μεταβατική τότε E[ X ] 0 0 και άρα 0

21 Διακριτού Χρόνου Ορισμός: Μια κατάσταση ονομάζεται εαναλητική αν και μόνο αν ξεκινώντας αό την η διαδικασία θα ειστρέψει κάοια στιγμή σε αυτή με ιθανότητα. Για τις εαναλητικές καταστάσεις είναι σημαντικός ο χρόνος ειστροφής σε αυτές Έστω f = Prη ρώτη είσκεψη αό την στην γίνεται με ακριβώς βήματα τότε k f k k

22 Διακριτού Χρόνου Έστω f = Prξεκινώντας αό την να φτάσω κάοια στιγμή στην τότε f f Αν f = τότε η είναι εαναλητική* Αν f < τότε η είναι μεταβατική * k l k l Έστω f = τότε ορίζεται ο μέσος χρόνος εανάληψης της μ ή m ή v μ f Αν μ = τότε η είναι μηδενικά εαναλητική Αν μ < τότε η είναι θετικά εαναλητική

23 Διακριτού Χρόνου Ορισμός: Για μια εαναλητική κατάσταση ισχύει > 0 για κάοιο. Ορίζουμε ως ερίοδο της και συμβολίζουμε με d, το μέγιστο κοινό διαιρέτη των θετικών ακεραίων για τους οοίους > 0 Ορισμός: Μια εαναλητική κατάσταση είναι αεριοδική αν d = και εριοδική αν d > 0 0 k k Ορισμός: Μια κατάσταση είναι αορροφητική αν = k μεταβατική εαναλητική μηδενικά θετικά εριοδική αεριοδική εριοδική αεριοδική

24 Διακριτού Χρόνου Ορισμός: Δύο καταστάσεις και λέμε ότι εικοινωνούν, αν υάρχει τουλάχιστον ένα μονοάτι ου οδηγεί αό την στην και αντίστροφα. Ορισμός: Ένα σύνολο C αό καταστάσεις ου εικοινωνούν είναι ένα κλειστό σύνολο αν καμία κατάσταση έκτος του C δεν είναι ροσβάσιμη αό καμία κατάσταση εντός του C. k k Ορισμός: Μια Μ.Α. ονομάζεται μη-διαχωρίσιμη ή μη-αναγωγίσιμη ή αμετάτωτη αν κάθε κατάστασή της είναι ροσβάσιμη αό οοιαδήοτε άλλη σε εερασμένο αριθμό βημάτων. Αν μια κατάσταση μιας μη-διαχωρίσιμης Μ.Α, είναι αεριοδική τότε όλες της οι καταστάσεις είναι αεριοδικές και η Μ.Α. λέγεται αεριοδική. Ομοίως εριοδικη, μεταβατική, εαναλητική.

25 Διακριτού Χρόνου Οριακή Κατανομή Οι ιθανότητες μετάβασης -βημάτων μιας εερασμένης, μη διαχωρίσιμης και αεριοδικής Μ.Α. εργοδικής γίνονται ανεξάρτητες αό την κατάσταση και αό το όταν Όταν η οριακή ιθανότητα είναι: lm lm lm lm Αυτό σημαίνει ότι όταν ο P συγκλίνει σε έναν ίνακα Π με όμοιες γραμμές = [ 0 ] Αν ισχύει και τότε το ονομάζεται οριακή κατανομή E lm

26 Διακριτού Χρόνου Αό το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας έχουμε ότι : και αφού αίρνουμε lm lm Προκύτει λοιόν το σύστημα γραμμικών εξισώσεων: ή - Οοιοδήοτε διάνυσμα x ικανοοιεί το σύστημα ονομάζεται στάσιμη κατανομή P P

27 Διακριτού Χρόνου Θεώρημα: Για μια αεριοδική Μ.Α. το lm υάρχει Θεώρημα : Για οοιαδήοτε μη-διαχωρίσιμη και αεριοδική Μ.Α. οι οριακές ιθανότητες lm lm υάρχουν και είναι ανεξάρτητες αό την αρχική κατανομή α Θεώρημα : Για μια εργοδική Μ.Α. η οριακή κατανομή ιθανοτήτων ονομάζεται = [ 0 ] είναι η μοναδική στάσιμη κατανομή. lm lm E 0 E 0 lm

28 Διακριτού Χρόνου Χρόνοι Παραμονής Για μια Μ.Α. γνωρίζουμε ότι ολόκληρη η ιστορία της συνοψίζεται στο τρέχον στάδιο Έστω ότι στο -οστό βήμα η αλυσίδα είναι στην κατάσταση, δηλ Χ = Η PrX + = ρέει να εξαρτάται μόνο αό την και όχι αό τον χρόνο αραμονής σε αυτή. Έστω λοιόν T ο χρόνος αραμονής στην κατά την διάρκεια μιας είσκεψης Σίγουρα θα αραμείνει χρ. στιγμή + όσες φορές η αλυσίδα κάνει την μετάβαση ριν την εγκαταλείψει. Το T όμως ρέει να είναι τ.μ. με κατανομή ου να μην έχει μνήμη έτσι ώστε η {Χ, = 0,, } να είναι Μ.Α.

29 Διακριτού Χρόνου Δοθέντος ότι η αλυσίδα μόλις μήκε στην κατάσταση στο βήμα, στο εόμενο βήμα είτε θα αραμείνει στην με ιθανότητα είτε θα την εγκαταλείψει ηγαίνοντας στην με ιθανότητα Pr T Εομένως: Beroul Οότε για τον χρόνο αραμονής στην έχουμε E T - - E Var T - 2

30 Διακριτού Χρόνου Παράδειγμα: - 0 -q E T [ ] 0? [ 0]?, E[ T ]? q

31 ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Μαρκοβιανές Αλυσίδες Συνεχούς Χρόνου

32 Συνεχούς Χρόνου Η διαφορά με τις Μ.Α.Δ.Χ. είναι ότι η μετάβαση αό μια κατάσταση σε μια άλλη μορεί να γίνει οοιαδήοτε χρονική στιγμή Διακριτός χώρος καταστάσεων. Έστω λοιόν Ε = {0,, 2, 3, } Μια σ.δ.σ.χ.δ.χ. {Χ, 0} είναι Μ.Α. όταν για 0 < < < και r 0 για r = 0,, 2, ισχύει Pr X x X x, X x,, X 0 x0 Pr X Η συμεριφορά της Χ χαρακτηρίζεται αό: Την αρχική κατανομή της Μ.Α.Σ.Χ. δεδομένης της σ.μ.. της Χ 0 : PrΧ 0 = k, k = 0,, 2, Τις ιθανότητες μετάβασης με x X x v, Pr X X v 0 v,, 0,, 2,...,, 0, ά 2

33 Συνεχούς Χρόνου Στην ομογενή ερίτωση, συμβολίζουμε E v, : 0 v 3 Αφού η 2 είναι δεσμευμένη σ.μ.. ικανοοιεί την σχέση: Pr X v X v v 0 4 Ορίζουμε τις ιθανότητες κατάστασης για οοιαδήοτε χρ. στιγμή : Pr X 02,,, και ισχύει E 0

34 Συνεχούς Χρόνου Αό το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας για δοθέν > v, μορούμε να εκφράσουμε την σ.μ.. της Χ συναρτήσει των v, και της σ.μ.. της Χv: αό όου για v = 0 αίρνουμε: δηλαδή η συμεριφορά της Χ είναι λήρως καθορισμένη αν γνωρίζουμε την αρχική κατανομή α = [α0 α ] και τις ιθανότητες μετάβασης 0, 7 6 E E v v v X v X X X, Pr Pr Pr E E a 0, 0 0,

35 Συνεχούς Χρόνου Οι ιθανότητες μετάβασης μιας Μ.Α.Σ.Χ. ικανοοιούν τις εξισώσεις Chama-Kolmogorov: Η άμεση είλυση της 8 είναι δύσκολη και συνήθως βρίσκουμε τις ιθανότητες μετάβασης λύνοντας ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων Για τον λόγο αυτό μορούμε ν.δ.ο για κάθε υάρχει μια συνεχής μηαρνητική συνάρτηση q ου ορίζεται ως: q v, ke k v, v,u v k u, lm h0 h0 - lm 0 v u, - h, h, h h 8 9

36 Συνεχούς Χρόνου Ομοίως για κάθε υάρχει μια συνεχής μη-αρνητική συνάρτηση q ου ονομάζεται ρυθμός μετάβασης και ορίζεται ως: Τότε μορούμε να συνδέσουμε τις ιθανότητες μετάβασης με τους ρυθμούς μετάβασης: 0 h h h h v q h h v, lm, -, lm, 0 0 h o h q h, h o h q h,

37 Συνεχούς Χρόνου Αό την εξίσωση Chama Kolmogorov 8 για +h έχουμε: και άρα :h lm h0 u v, h v, v, h v,u u, h v, k k ke ke k k v,u a v,u k k k u, h v,u a k u, Kolmogorov forward equaos Ομοίως ροκύτουν και οι Kolmogorov backword equaos

38 Συνεχούς Χρόνου Ορίζουμε τον ίνακα Q =[q ] ή Α με στοιχεία της διαγωνίου q = - α Προκύτει εύκολα ότι Αν τώρα ορίσουμε τον ίνακα Pv, =[ v,], τότε οι εξισώσεις Kolmogorov γράφονται ως: q 0,,,, v v v v v P Q P Q P P

39 Συνεχούς Χρόνου Αό τις σχέσεις 6 και ροκύτει: d d ή με την μορφή ινάκων d d q k Q q Σε ολλές εριτώσεις οι ιθανότητες μετάβασης,+h δεν εξαρτώνται αό τον αρχικό χρόνο αλλά μόνο αό τον χρόνο h ου έχει εράσει ομογενής Αυτό σημαίνει ότι οι ρυθμοί μετάβασης q και q είναι ανεξάρτητοι του 2 3

40 Συνεχούς Χρόνου Σε αυτήν την ερίτωση οι ρυθμοί μετάβασης γίνονται q και q και οι ιθανότητες μετάβασης h. Εομένως οι και 2 γίνονται: ή με την μορφή ινάκων k k k k k q q d d q q d d 4 5 Q Q P P d d d d 6 7

41 Συνεχούς Χρόνου Η είλυση της 7 για τον υολογισμό των είναι δύσκολη, ωστόσο υάρχουν εριτώσεις όου μορεί αυτό να γίνει σχετικά αλά Στις ερισσότερες εριτώσεις όμως θεωρούμε ότι η τείνει σε ένα καθώς. Θα μελετήσουμε κάτω αό οιες συνθήκες συμβαίνει αυτό Χρειάζεται και εδώ να ταξινομήσουμε τις καταστάσεις Μια κατάσταση ονομάζεται αορροφητική αν q = 0 Μια κατάσταση ονομάζεται ροσιτή αό την αν για κάοιο > 0 ισχύει > 0 Μια Μ.Α.Σ.Χ. ονομάζεται μη-διαχωρίσιμη αμετάτωτη αν κάθε κατάσταση της είναι ροσιτή αό οοιαδήοτε άλλη

42 Συνεχούς Χρόνου Θεώρημα: Για μια μη-διαχωρίσιμη ΜΑΣΧ το όριο lm lm υάρχει και είναι ανεξάρτητο αό την, E 8 Αν οι οριακές ιθανότητες υάρχουν τότε: lm d d και αντικαθιστώντας στην 5 αίρνουμε το ακόλουθο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων, ου ονομάζονται εξισώσεις ισορροίας: 0 q 0 q 9

43 Συνεχούς Χρόνου Αν ορίσουμε την στάσιμη κατανομή = [ 0 ] τότε οι οριακές ιθανότητες υάρχουν, και η 9 σε μορφή ινάκων μορεί να γραφεί ως: 20 Q 0 Για ένα τέτοιο ομογενές σύστημα, μια ιθανή λύση είναι η = 0, Για να βρούμε μια μοναδική μη-μηδενική λύση χρησιμοοιούμε την συνθήκη: E 2

44 Συνεχούς Χρόνου ΜΑΣΧ με αμοιβές Αν μορούμε να υολογίσουμε τα ή τα τότε μορούμε να υολογίσουμε αρκετά μέτρα ου μορεί να μας ενδιαφέρουν Έστω μια αμοιβή ή οινή r η οοία δίνεται σε κάθε κατάσταση. Έστω ακόμα Z = r X ο ρυθμός αμοιβής της ΜΑΣΧ στο χρόνο. Τότε, η αναμενόμενη αμοιβή στο χρόνο είναι: Για μια μη-διαχωρίσιμη ΜΑΣΧ ορίζεται η Y Z x dx Αν είναι η αθροιστική αμοιβή στο 0, ], τότε η 0 αναμενόμενη τιμή της είναι: Z E r E Z lm EZ E r E E Y 0 x dx E r

45 Συνεχούς Χρόνου Πιθανότητες κατάστασης στην μεταβατική ερίοδο Α Lalace 0 0 α 0 d f e f L s 2 3 a b λ μ Εξισώσεις ισορροίας 3 2 a a d d b d d b d d Μετασχηματισμός Lalace a a s s s s s b s s s b s s s s Λύνω το σύστημα και στην συνέχεια εφαρμόζω τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lalace για να υολογίσω τα, 2, 3

46 Συνεχούς Χρόνου Β Εκθετική του ίνακα Α Q P e I Q! αp αe Q

47 Συνεχούς Χρόνου - Παράδειγμα Σε ένα υολογιστικό σύστημα καταφτάνουν εργασίες για εξυηρέτηση συμφώνα με μια κατανομή Posso αραμέτρου λ. Κάθε εργασία εεξεργάζεται σύμφωνα με τον κανόνα FIFO. Ο χρόνος ου χρειάζεται για την εεξεργασία κάθε εργασίας ακολουθεί την εκθετική κατανομή με αράμετρο μ. Το σύστημα διαθέτει μια ενδιάμεση μνήμη buffer στην οοία μορεί να αοθηκεύονται μέχρι 2 εργασίες οι οοίες αναμένουν να αρχίσει η εξυηρέτηση τους. Οι εργασίες ου φτάνουν στο σύστημα και βρίσκουν την ενδιάμεση μνήμη λήρη χάνονται. Να κατασκευαστεί το διάγραμμα καταστάσεων Να βρεθεί ο ίνακας ρυθμών μετάβασης Q Να βρεθεί ο ίνακας ιθανοτήτων μετάβασης P

48 Πίνακας ρυθμών μετάβασης Q P Μαρκοβιανές Αλυσίδες Συνεχούς Χρόνου - Παράδειγμα λ μ λ λ μ μ Q Πίνακας ιθανοτήτων μετάβασης P και q q, 0

49 Συνεχούς Χρόνου - Παράδειγμα Να βρεθεί η κατανομή ιθανοτήτων στον χρόνο αp αe Q εισροή d d Q d d q q μεταβολή στην ροή ιθανότητας q εκροή q k k q q k k εισροή εκροή

50 Συνεχούς Χρόνου - Παράδειγμα Q Q Να βρεθεί η ασυμτωτική κατανομή ιθανοτήτων 0 2 3

51 Συνεχούς Χρόνου - Παράδειγμα