ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΑΝΑΣΗΣ ΤΖΙΩΤΖΙΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΑΝΑΣΗΣ ΤΖΙΩΤΖΙΟΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Α Κ Ε Ρ Α Ι Ο Ι!!H!B!V!T!T! ΘΑΝΑΣΗΣ ΤΖΙΩΤΖΙΟΣ Ε ιβλέ ων Καθηγητής: ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΡΑΠΤΗΣ ΑΘΗΝΑ ΙΟΥΝΙΟΣ 2011

2 Η αρούσα ι λωµατική Εργασία εκ ονήθηκε στα λαίσια των σ ουδών για την α όκτηση του Μετα τυχιακού ι λώµατος Ειδίκευσης ου α ονέµει το ια ανε ιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μετα τυχιακών Σ ουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» Εγκρίθηκε την α ό Εξεταστική Ε ιτρο ή α οτελούµενη α ό τους: Ονοµατε ώνυµο Βαθµίδα Υ ογραφή 1) Ευάγγελος Ρά της (ε ιβλέ ων Καθηγητής) Καθηγητής... 2) ηµήτριος Βάρσος Αν. Καθηγητής... 3) ιονύσιος Λά ας Αν. Καθηγητής....

3 Α Κ Ε Ρ Α Ι Ο Ι!!H!B!V!T!T! ΘΑΝΑΣΗΣ ΤΖΙΩΤΖΙΟΣ Ε ιβλέ ων Καθηγητής: ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΡΑΠΤΗΣ ΑΘΗΝΑ ΙΟΥΝΙΟΣ 2011

4 Ε Υ Χ Α Ρ Ι Σ Τ Ι Ε Σ Η δι λωµατική εργασία ου ακολουθεί έχει εκ ονηθεί στα λαίσια της ολοκλήρωσης των σ ουδών µου στο ια ανε ιστηµιακό - ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μετα τυχιακών Σ ουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών». Στο τέλος αυτής της ροσ άθειας αισθάνοµαι την ανάγκη να εκφράσω τις θερµές ευχαριστίες µου και την µεγάλη εκτίµησή µου στους ανθρώ ους ου µε βοήθησαν σε όλη αυτή την ορεία και ειδικότερα: Στον ε ιβλέ οντα καθηγητή µου κ. Ευάγγελο Ρά τη, για την ε ιλογή του θέµατος και την αµέριστη υ οστήριξη ου µου αρείχε ανά άσα στιγµή. Στα µέλη της τριµελούς ε ιτρο ής αν. Καθηγητές κ. ηµήτριο Βάρσο και κ. ιονύσιο Λά α, για την ευγενική συµµετοχή τους και την ροσοχή τους. Σε όλους τους καθηγητές ου συνέβαλαν στην ροσφορά γνώσεων και στην ανά τυξη ιδεών κατά την διάρκεια των µαθηµάτων. Αναδεικνύοντας κατά τον καλύτερο τρό ο την ρήση Leibnitz ότι το µέτρο της ελευθερίας και της άγνοιας µας είναι ταυτόσηµο. Στους συµφοιτητές µου ου άνοιγαν, µε τις ιδέες τους και τις ροτάσεις τους, νέες οδούς σκέψεις. Εκ των ο οίων ιδιαίτερα θα σταθώ στους φίλους µου Αγγελική Χόρτη και Νίκο Αντωνό ουλο συνοδοι όρους στην γόνιµη αυτή ερι λάνηση. Ιούνιος 2011 Θανάσης Τζιώτζιος

5 «Αφιερωµένη στις γλυκές µου κορούλες Ναταλία και Ραφαέλα»

6 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Κατάλογος σχηµάτων και ινάκων Εισαγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 0 : ΑΚΕΡΑΙΟΙ GAUSS 1.0 Εισαγωγικές έννοιες της Άλγεβρας Θεµελίωση Παραγοντο οίηση σε ρώτους Gauss Περιοχές µοναδικής αραγοντο οίησης Μοναδική αραγοντο οίηση στο Z[i] Προσδιορισµός των ρώτων Gauss Σχετικά ρώτοι ακέραιοι Gauss Ισοϋ όλοι οι στο Z[i] Α ό τον ιόφαντο έως τον Euler Άλυτα ροβλήµατα και εικασίες 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 0 : ΑΚΤΥΛΙΟΙ ΣΤΟ Z[i]. 2.1 Οµοµορφισµοί δακτυλίων ακτύλιοι ηλίκα Ιδιότητες ιδεωδών Η διαίρεση στους ακεραίους Gauss Ιδεώδη του Z[i] ακτύλιοι ηλίκα άνω στο Z[i] Η δοµή του δακτυλίου Z[i]/<α + βi> 83 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ Ξενόγλωσση βιβλιογραφία.93 Άρθρα 94 Ελληνόγλωσση βιβλιογραφία 96 9

7 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΩΝ Σχήµα 1.1 Γραφική α εικόνιση των α + βi και -β + αi 38 Σχήµα 1.2 Πλέγµα των ολλα λασίων του α + βi.39 Σχήµα 1.3 Ισοϋ όλοι οι του α + βi..40 Σχήµα 2.1 Θεµελιώδες θεώρηµα οµοµορφισµών 65 Σχήµα 2.2 Γραφική ερµηνεία α όδειξης του αλγόριθµου της διαίρεσης στους ακέραιους Gauss Σχήµα 2.3 Ιδεώδη στον δακτύλιο Z[ -5] Γραφική α εικόνιση ρώτων Gauss µε στάθµη µικρότερη του Πίνακας ρώτων ακεραίων Gauss µε στάθµη µικρότερη του Πίνακας αραγοντο οίησης σε ρώτους των ακεραίων Gauss ου έχουν στάθµη µικρότερη ίση του

8 Ε Ι Σ Α Γ Ω Γ Η Η συνισταµένη σχεδόν όλων των α αντήσεων α ό όσες έχουν δοθεί, στο ερώτηµα τι είναι τα Μαθηµατικά συγκλίνει στο ότι είναι η µελέτη των µετρικών σχέσεων και των ιδιοτήτων ου τις διέ ουν. Τα τελευταία χρόνια αυτές οι σχέσεις εξετάζονται ως δοµικά συστήµατα. ηλαδή ε ιχειρείται η οµαδο οίηση τους σε συνεκτικές ενότητες σχέσεων. Με τον τρό ο αυτόν ε ιτυγχάνεται η κατανόηση της ραγµατικότητας, όχι α λώς µέσω της γενίκευσης εµ ειρικών αντικειµένων, αλλά έχοντας ως βάσεις θεωρητικές έννοιες ου εκφράζουν σχέσεις δεδοµένων. Είναι αυτό ακριβώς ου α οκαλούµε θεωρητική ροσέγγιση. Οι ακέραιοι αριθµοί, ό ως και το υ οσύνολό τους οι φυσικοί, είναι οι αριθµοί ου α οτελούν τη βάση ολυάριθµων καθηµερινών εφαρµογών και συγχρόνως δίνουν λύσεις σε λήθος ροβληµάτων ου ροκύ τουν σε ολλούς και διαφορετικούς ε ιστηµονικούς τοµείς. Ανα όφευκτα λοι όν α αρτίζουν και τα θεµέλια του αριθµητικού µας συστήµατος. Α οτέλεσµα αυτού είναι η διδασκαλία τους σε όλες τις τάξεις της δευτεροβάθµιας εκ αίδευσης να είναι ρωτεύουσας βαρύτητας. Ο δε Μαθηµατικός ου ε ωµίζεται το φορτίο της διδασκαλίας τους θα ρέ ει να έχει την κατάλληλη µαθηµατική υ οδοµή, σε σχέση µε το συγκεκριµένο αντικείµενο. ηλαδή ένα κράµα ευρύτερων Μαθηµατικών γνώσεων και ενδιαφερόντων. Με α οτέλεσµα να είναι σε θέση να αρέχει την α αιτούµενη δυνατότητα καλλιέργειας των µαθητών του στον θεωρητικό τρό ο σκέψης, ου υ ερβαίνει τον α λοϊκό εµ ειρισµό της καθηµερινής ζωής. Σύγχρονες µελέτες ου σχετίζονται µε την βελτίωση στην α όκτηση Μαθηµατικών γνώσεων έχουν ε ισηµάνει την σηµασία της εννοιολογικής κατανόησης τους. Η ο οία δεν είναι εφικτό να ανα τυχθεί α λώς µε την µηχανιστική εξάσκηση στους διαδικαστικούς χειρισµούς των Μαθηµατικών. 11

9 Συνε ώς η γενίκευση του συνόλου των ακεραίων µε υ ερσύνολα ου έχουν την δυναµική να διατηρούν τις ιδιότητες των και να τις ε εκτείνουν δεν είναι α λά χρήσιµη αλλά α αραίτητη. Η λήρης κατανόηση της δοµής ενός α ό αυτά τα υ ερσύνολα, θα διαλευκάνουν ολλές τυχές του αρχικού συνόλου. Κατά αυτόν τον τρό ο οι ακέραιοι αριθµοί δεν θα είναι λέον τί οτα άλλο αρά µια τετριµµένη ερί τωση. Ένα τέτοιο υ ερσύνολο ου ερικλείει όλα τα ροαναφερθέντα χαρακτηριστικά και είναι αρκετά εύχρηστο α οτελούν οι ακέραιοι Gauss. Το αντι ροσω ευτικότερο α ό όσα θα µ ορούσαµε να ε ιλέξουµε. Στον αντί οδα όλων των αρα άνω, το ίδιο ακριβώς σύνολο α οτελεί και την ιο ροσιτή ε ιλογή ύλης εισόδου για µια ιο ενδελεχή ερι λάνηση και στον κόσµο των µιγαδικών αριθµών. Οι αριθµοί αυτοί ου διδάσκονται στην τελευταία τάξη του Λυκείου, α οτέλεσαν για τους Μαθηµατικούς ένα ιδιαίτερα δυσερµήνευτο εδίο. Α ό την φάση της αµφισβήτησής τους (Gardano) µέχρι την φάση της αυστηρής εισαγωγής τους και λέον της α οδοχής τους (Hamilton, Cauchy, Gauss, Riemann). Η µοντελο οίησή τους µε την βοήθεια του διατεταγµένου ζεύγους ραγµατικών αριθµών, α οτέλεσε εννοιολογικό ρόβληµα ου σχετίζεται µε την ληρότητα των ραγµατικών. Η εξίσωση x = 0 ου ζητούµε λύσεις είναι µιας µεταβλητής, ενώ οι µιγαδικοί ου ροκύ τουν είναι διδιάστατοι. Η ροσέγγιση τέτοιου είδους ροβληµάτων µ ορεί να ε ιτευχθεί αρχίζοντας µε την κατανόηση δοµών ιο ροσιτών, ό ως οι αντίστοιχοι ακέραιοι ου εριέχονται µέσα σε αυτό. Ε ίσης και οι ε έκταση ορισµένων ιδιοτήτων καθώς και οι διαφορο οιήσεις στην άλγεβρά τους, είναι δυνατόν να γίνουν ιο σαφείς µέσω της εµ έδωσης των αρχικών ιδιοτήτων σε ε ιµέρους υ οσύνολα τους. Στην αρουσίαση ου ακολουθεί σχετικά µε τους ακεραίους Gauss έχει δοθεί βαρύτητα στην ανάλυση και ε εξεργασία του συνόλου των αριθµών αυτών καθώς και στην διαµέρισή τους σε υ οσύνολα µε ευδιάκριτα χαρακτηριστικά. Στόχος της είναι η ε ίτευξη της αυστηρότητας και της βεβαιότητας ου α αιτεί η µαθηµατική ε ιστήµη ως a priori. Για τον λόγο 12

10 αυτόν ακολουθείται η α οδεικτική ορεία θεµελίωσης συµ ερασµάτων. Η εργασία έχει χωρισθεί σε δύο ενότητες µε σκο ό την καλύτερη οµαδο οίηση και ανάλυση των αρεχόµενων γνώσεων. Σε αρκετά σηµεία της υ άρχουν αναφορές και α οδείξεις ροα αιτουµένων γνώσεων α ό τον χώρο της Άλγεβρας. Ό ως ε ίσης και ανάλογες ιστορικές αναφορές σχετικά µε τα αναφερόµενα µαθηµατικά αντικείµενα και την ροέλευσή τους. Το ρώτο µέρος αρχίζει µε την θεµελίωσή του συνόλου αυτού και τις εσωτερικές ιδιότητες ου το διέ ουν. Καθώς ε ίσης µε τον ορισµό όσο και τον ροσδιορισµό των ρώτων ακεραίων Gauss. Προσδίδεται µεγάλη σηµασία στην µοναδική αραγοντο οίηση κάθε ακεραίου σε ρώτους και τα λεονεκτήµατα ου αρουσιάζει η συγκεκριµένη ιδιότητα. Ακολούθως εµφανίζεται η α εικόνισή τους, µέσω της οµαδο οίησής ου γίνεται σε ισοϋ όλοι ους. Ιδιαίτερη αναφορά υ άρχει στην βοήθεια ου µας αρέχουν στην ε ίλυση κλασικών ροβληµάτων της Θεωρίας Αριθµών καθώς και σε λήθος άλλων εκκρεµών ζητηµάτων. Με τον τρό ο αυτό είναι φανερή η χρήση τους και οι έξυ νες λύσεις ου µ ορούν να ροσφέρουν σε τοµείς ου η α ουσία τους θα τους έκανε ιδιαίτερα δύσκολους. Ε ίσης εκτίθενται σε ροβλήµατα ου αραµένουν ακόµη άλυτα στα Μαθηµατικά και σε εικασίες ου έχουν διατυ ωθεί σχετικά µε τους ραγµατικούς ακεραίους. Το δεύτερο µέρος α οτελεί µια ιο εξειδικευµένη ανάλυση του συγκεκριµένου συνόλου. Αρχικά αρουσιάζονται α οδεικτικά ιο ειδικές ροτάσεις της Άλγεβρας ου θεωρούνται όµως υ οχρεωτικές για την εραιτέρω µελέτη. Αφού γίνει η λήρης αρουσίαση της ράξης της διαίρεσης των ακεραίων Gauss, ακολουθεί η δηµιουργία ιδεωδών τους και των οµοµορφισµών ου τα συνοδεύουν. Στη συνέχεια εµφανίζονται οι δακτύλιοι ηλίκα ου ροέρχονται α ό τα ιδεώδη, µε τις αντίστοιχες ιδιότητες τους. Στο τέλος συντίθεται, α ό τα ροαναφερόµενα, το αρχικό σύνολο ώστε να γίνει ιο σαφής η δοµή του. Ως γνωστών ο χαρακτήρας της Μαθηµατικής ε ιστήµης διακρίνεται α ό µια ατέρµονη ροσ άθεια να ε ιτύχει το αδιάψευστο και αλάνθαστο, εγγενών (σύµφωνα µε τον Πλάτωνα) ή κατασκευαστικών (κατά Αριστοτέλη) 13

11 γνώσεων. Ό ως και να είναι ωθούµενος της ροσ άθειας αυτής µου δίνεται η ευκαιρία να κλείσω την εισαγωγή της αρούσας εργασίας χρησιµο οιώντας µια φράση α ό τον David Tall. Η ο οία ιστεύω ότι για τους ε ιστήµονες όσο και για τους µη ειδικούς ου ασχολούνται µε τα Μαθηµατικά θεωρείται αξίωµα: «Τα µαθηµατικά δεν είναι άθληµα για θεατές». 14

12 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΚΕΡΑΙΟΙ GAUSS Η αίσθηση για τις αφηρηµένες επιστήµες γενικά και ιδιαίτερα για τα µυστήρια των αριθµών, είναι κάτι το εξαιρετικά σπάνιο. Ο µέσος άνθρωπος δεν εκπλήσσεται µπροστά τους, η γοητεία αυτής της ανώτερης επιστήµης αποκαλύπτεται µόνο σε όσους έχουν το κουράγιο να προχωρήσουν βαθειά µέσα της. CARL FRIEDRICH GAUSS 1.0 Εισαγωγικές Έννοιες της Άλγεβρας Το εριβάλλον µέσα στο ο οίο θα ανα τύξουµε τις έννοιες ου θα µας α ασχολήσουν στην συγκεκριµένη εργασία, µας το αρέχει η Άλγεβρα µε την δυναµική ου την χαρακτηρίζει λόγω της σηµειολογικής αρχιτεκτονικής της. Συνε ώς µια ρώτη ξενάγηση στις βασικές ορολογίες και στους συµβολισµούς της, είναι α αραίτητη για την ευκολότερη και ιο ολοκληρωµένη κατανόηση των ε όµενων βηµάτων µας. Ένας κανόνας µέσω του ο οίου κάθε διατεταγµένο ζεύγος (α, β) δύο στοιχείων ενός συνόλου Σ αντιστοιχεί σε µοναδικό στοιχείο του Σ ονοµάζεται διµελής ράξη ή α λά ράξη. Η α αίτηση σχετικά µε το α οτέλεσµα να ανήκει άλι στο ίδιο σύνολο είναι γνωστή ως κλειστότητα. Κά οιο σύνολο Σ µαζί µε κά οιες διµελείς ράξεις µεταξύ των στοιχείων του συνόλου αυτού, α οτελούν µια δοµή. Η κατάταξη των δοµών ου θα ακολουθήσουµε είναι α ό τις ιο γενικές και συγχρόνως ιο α λές σε ιο ειδικές και ανα όφευκτα ιο ερί λοκες. Η αρχή γίνεται µε τον ορισµό της οµάδας. Οµάδα <G, > ονοµάζεται η δοµή ου α οτελείται α ό ένα µη κενό σύνολο G και µια διµελή ράξη στο G ου έχει τις εξής ιδιότητες: Προσεταιριστική: για κάθε x, y, z G να ισχύει: x (y z) = (x y) z. 15

13 Ύ αρξη ουδετέρου στοιχείου: για κάθε x G υ άρχει µοναδικό e G ώστε να ισχύει: e x = x e = x. Ύ αρξη αντίστροφου στοιχείου: για κάθε x G υ άρχει µοναδικό x G ώστε να ισχύει: x x = x x = e. Αν ε ι λέον η ράξη είναι αντιµεταθετική, δηλαδή για κάθε x, y G να ισχύει: x y = y x τότε η οµάδα καλείται αβελιανή ή αντιµεταθετική. Συνήθως στις οµάδες την ράξη ου ε ισυνά τουµε την ονοµάζουµε ρόσθεση µε σύµβολο το + και ως ουδέτερο στοιχείο χρησιµο οιούµε το µηδενικό 0, ενώ ως αντίστροφο του στοιχείου x θα είναι ο αντίθετος του -x. ακτύλιος <D, +, > ονοµάζεται µια δοµή ου α οτελείται α ό ένα µη κενό σύνολο D και α ό δύο διµελείς ράξεις, την ρόσθεση + και τον ολλα λασιασµό στο D, έτσι ώστε: Η δοµή <D, +> να είναι αβελιανή οµάδα. Ο ολλα λασιασµός να υ ακούει στην ροσεταιριστική ιδιότητα, δηλαδή για κάθε x, y, z D να ισχύει: x (y z) = (x y) z. Ο ολλα λασιασµός να είναι ε ιµεριστικός ως ρος την ρόσθεση, δηλαδή για κάθε x, y, z D να ισχύει: x (y + z) = (x y) + (x z) και (x + y) z = (x z) + (y z). Σε κάθε δακτύλιο εύκολα α οδεικνύεται ότι ισχύουν οι εξής σχέσεις: x 0 = 0 x =0 και x (-y) = (-x) y = -(x y). Κάθε µη κενό σύνολο Η ου είναι υ οσύνολο ενός δακτυλίου D και είναι ε ίσης δακτύλιος µε τις ίδιες ράξεις ου υ άρχουν στον D, ονοµάζεται υ οδακτύλιος. Αν σε έναν δακτύλιο <D, +, > ο ολλα λασιασµός υ ακούει στην αντιµεταθετική ιδιότητα, δηλαδή για κάθε x, y D να ισχύει: x y = y x 16

14 τότε ονοµάζεται αντιµεταθετικός δακτύλιος. Αν τώρα σε έναν δακτύλιο <D, +, > υ άρχει και το ουδέτερο στοιχείο ως ρος τον ολλα λασιασµό, δηλαδή για κάθε x D να υ άρχει µοναδικό e ώστε να ισχύει: x e = e x = x τότε ονοµάζεται δακτύλιος µε µονάδα. Το στοιχείο αυτό καλείται µοναδιαίο και το συµβολίζουµε µε 1. Σε έναν δακτύλιο <D, +, > µε µοναδιαίο, κάθε στοιχείο x D για το ο οίο υ άρχει µοναδικό x -1 D ώστε: x x -1 = x -1 x = 1 θα ονοµάζεται αντιστρέψιµο. Ακέραια Περιοχή <D, +, > λέγεται ένας αντιµεταθετικός δακτύλιος µε µοναδιαίο στον ο οίο δεν υ άρχουν διαιρέτες του µηδενός, δηλαδή αν δύο στοιχεία x, y D ώστε: x y = 0 τότε x =0 ή y = 0. Τέλος µια ακέραια εριοχή <D, +, > στην ο οία η δοµή <D\{0}, > είναι οµάδα, καλείται σώµα. 1.1 Θεµελίωση Α ό το σύνολο των ραγµατικών αριθµών έχουµε την δυνατότητα να ε ιλέξουµε ένα υ οσύνολο, τους ακέραιους, ου α οτελεί ακέραια εριοχή µε ολλές και ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Παρόλα αυτά όταν ο ρίγκι ας των Μαθηµατικών Carl Friedrich Gauss στα 1829 ροσ αθούσε να διατυ ώσει τον νόµο της διτετραγωνικής αντιστροφής, δεν του ήταν κατάλληλο. Ο ότε µε αντίστοιχη διαδικασία α ό τους µιγαδικούς εφεύρε ένα εξίσου σηµαντικό σύνολο το Z[i]. Φυσιολογικά λοι όν τα στοιχεία του συνόλου αυτού ονοµάστηκαν ακέραιοι Gauss (Gaussian integers). Η µελέτη της άλγεβρας τους θα µας βοηθήσει να το ερευνήσουµε µε µεγαλύτερη λε τοµέρεια, ώστε να ροσεγγίσουµε ιο αναλυτικά, το ίδιο το Z ου άλλωστε ό ως θα δούµε α οτελεί υ οσύνολο του. ίνοντας µας έτσι την ευκαιρία να εµ λουτίσουµε 17

15 τα ήδη υ άρχοντα µέσα, µε στόχο να διευρύνουµε και να ενο οιούµε τις ιδέες ου εριέχονται και στα δύο σύνολα. Ορισµός 1.1: Ως σύνολο των ακεραίων Gauss ορίζεται το: Z[i] = {α + βi / α, β Z και i 2 = -1}. Αν ζ = α + βi είναι στοιχείο του συνόλου Z[i] τότε τον ραγµατικό ακέραιο α 2 + β 2 τον ονοµάζουµε στάθµη (norm) του ζ και τον συµβολίζουµε µε Ν(ζ). Η σηµαντικότητα της στάθµης γίνεται φανερή ήδη α ό τις αρακάτω ιδιότητες, οι ο οίες ισχύουν για κάθε ζ, ξ Z[i]: (I) Ν(ζ) 0. (II) Ν(ζ) = 0 ζ = 0 (III) Ν(ζ ξ) = Ν(ζ) Ν(ξ). Θέτοντας ζ = α + βi και ξ = γ + δi οι αρα άνω είναι άµεσα α οδείξιµες. Θεώρηµα 1.1: Η Z[i] α οτελεί ακέραια εριοχή. Α όδειξη: Ε ισυνά τουµε στο σύνολο Z[i] τις ήδη γνωστές α ό τους µιγαδικούς αριθµούς ράξεις: Πρόσθεση: για κάθε ζ, ξ Z[i] τότε (ζ, ξ) ζ + ξ. Πολλα λασιασµός: για κάθε ζ, ξ Z[i] τότε (ζ, ξ) ζ ξ. Ακολουθώντας τα αρακάτω τρία βήµατα θα έχουµε: (1) Η <Z[i], +> θα δείξουµε ότι είναι αβελιανή οµάδα, αφού για κάθε ζ, ξ, φ Z[i] µε ζ = α + βi, ξ = γ + δi και φ = ε + ηi, ισχύουν: - ζ + ξ = (α + γ) + (β + δ)i Z[i], δηλαδή η ράξη είναι εσωτερική. - Για το στοιχείο e = x + yi Z[i] αν ζ + e = ζ α + x + (β + y)i = α + βi. Άρα α + x = α και β + y = β, ο ότε x = y = 0. Ε οµένως υ άρχει ουδέτερο στοιχείο, το µηδενικό 0 = 0 + 0i. - Για το στοιχείο ζ = x + yi Z[i] αν ζ + ζ = 0 α + x + (β + y)i = 0 + 0i. Άρα α + x = 0 και β + y = 0, ε ιλύοντας x = -α και y = -β. Συνε ώς υ άρχει ο αντίθετος του ζ ου είναι ο -ζ = -α βi. 18

16 - ζ + (ξ + φ) = (α + βi) + [(γ + ε) + (δ + η)i] = (α + γ + ε) + (β + δ + η)i = [(α + γ) + (β + δ)i] + (ε + ηi) = (ζ + ξ) + φ. ηλαδή η ράξη είναι ροσεταιριστική. - ζ + ξ = (α + γ) + (β + δ)i = (γ + α) + (δ + β)i = ξ + ζ. Άρα η ράξη είναι αντιµεταθετική. (2) Ο <Z[i], +, > θα δείξουµε ότι είναι αντιµεταθετικός δακτύλιος έχοντας και µοναδιαίο, αφού για κάθε ζ, ξ, φ Z[i] µε ζ = α + βi, ξ = γ + δi και φ = ε + ηi, ισχύουν: - ζ ξ = (αγ- βδ) + (βγ + αδ)i Z[i]. Άρα η ράξη ( ) είναι εσωτερική. - ζ (ξ φ) = (α + βi) [(γε δη) + (γη + δε)i] = (αγε αδη βγη βδε) + (αγη + αδε + βγε + βδη)i = [(αγ - βδ) + (βγ + αδ)i] (ε + ηi) = (ζ ξ) φ. ηλαδή η ( ) είναι ροσεταιριστική. - ζ (ξ + φ) = (α + βi) [(γ + ε) + (δ + η)i] = (αγ + αε βδ βη) + (αδ + αη + βγ + βε)i = (αγ βδ) + (αε βη) + (αδ + βγ)i + (αη + βε)i = ζ ξ + ζ φ. Ο ότε ο ολλα λασιασµός είναι ε ιµεριστική ως ρος την ρόσθεση. - ζ ξ = (αγ- βδ) + (βγ + αδ)i = (γα δβ) + (γβ + δα)i = ξ ζ. ηλαδή η ( ) είναι αντιµεταθετική. - Για το στοιχείο e = x + yi Z[i] και τον ζ 0, αν ισχύει ότι ζ e = ζ (αx- βy) + (αy + βx)i = α + βi. Άρα αx βy = α και αy + βx = β, ου ε ιλύοντας το σύστηµα έχουµε µοναδικές λύσεις τις x = 1 και y = 0. ηλαδή υ άρχει µοναδιαίο στοιχείο ως ρος τον ολλα λασιασµό και αυτό είναι το 1 = 1 + 0i. (3) Αρκεί λέον να δείξουµε ότι ο Z[i] δεν εριέχει διαιρέτες του µηδενικού. Θεωρώντας τους ζ, ξ Z[i], µε ζ ξ = 0, α ό τις ιδιότητες της στάθµης τους είναι: Ν(ζ)Ν(ξ) = Ν(ζ ξ) = 0 Ν(ζ) = 0 ή Ν(ξ) = 0 ζ = 0 ή ξ = 0. Αλλιώς, αφού το Z[i] είναι υ οσύνολο των µιγαδικών, ό ου γνωρίζουµε ότι ισχύει η σχέση x y = 0 x = 0 ή y = 0, θα την ε αληθεύει. Συνε ώς ο Z[i] είναι ακέραια εριοχή. 19

17 1.2 Παραγοντο οίηση σε Πρώτους Gauss Μια σηµαντική διαδικασία στους ραγµατικούς ακέραιους είναι η αραγοντο οίησή τους σε µη αναλύσιµους ερεταίρω ακέραιους, στους ρώτους. Όµως µ ορούµε να αρατηρήσουµε ότι κάθε ρώτος ραγµατικός ακέραιος δεν είναι υ οχρεωτικά και µη αναλύσιµος σε γινόµενο αραγόντων και στο Z[i]. Για αράδειγµα οι αριθµοί: 2 = (1 + i)(1 i) ή 5 = (2 + i)(2 i). Συνε ώς διαγράφεται µια καλή ευκαιρία να διερευνήσουµε την ανάλυση των ακεραίων Gauss σε αράγοντες. Μια ανάλυση η ο οία είναι άραγε εφικτή για όλους και αν είναι, τότε µε όσους διαφορετικούς τρό ους µ ορεί να ε ιτευχθεί; Αρχικά η ροσοχή µας εστιάζεται στους αριθµούς {1, -1, i, -i} οι ο οίοι ροφανώς α οτελούν αράγοντες κάθε στοιχείου του Z[i]. Οι αριθµοί αυτοί είναι οι µοναδικοί στο σύνολο αυτό ου έχουν στάθµη ίση µε 1. Γιατί αν θεωρήσουµε τον ακέραιο Gauss ζ = α + βi µε Ν(ζ) = 1, τότε α 2 + β 2 = 1 όµως τα α, β Z ο ότε: α = ± 1 και β = 0 είτε α= 0 και β ± 1. ηλαδή ζ = 1 ή ζ = -1 ή ζ= i ή ζ = - i. Μ ορούµε λοι όν τους αριθµούς αυτούς να τους το οθετήσουµε στην ίδια κατηγορία µε τους αριθµούς 1 και -1 του συνόλου Z, και να τους ονοµάσουµε αντιστρέψιµους. Αναλυτικότερα λοι όν σχετικά µε την στάθµη κάθε ακεραίου Gauss ζ θα µ ορούσαµε να ούµε ότι ισχύει: Ν(ζ) N =0, αν ζ=0. =1, αν ζ=1, -1,i, -i. > 1, στις υ όλοι ες ερι τώσεις. Ε ιχειρώντας στην αρούσα φάση την ανάλυση ενός ακέραιου Gauss σε λήθος µη αντιστρέψιµων αραγόντων, αναρωτηθήκαµε ριν αν αυτή ερατώνεται σε ε ερασµένα βήµατα. Αν αρατηρήσουµε όµως ότι κάθε αραγοντο οίηση µ ορεί να µας δώσει και ισότητα στις στάθµες των δύο 20

18 µελών τότε, λόγω της ολλα λασιαστικής τους ιδιότητας (III), η στάθµη του αρχικού ακεραίου είναι ίση µε το γινόµενο α ό τις στάθµες των αραγόντων του. Αλλά η στάθµη του αρχικού ακεραίου καθώς και των αραγόντων ου ροκύ τουν είναι φυσικοί αριθµοί. Α ό την αρχή της καθόδου, το ρώτο συµ έρασµα ου συνάγεται είναι ότι το λήθος των αραγόντων θα είναι ερατούµενο. Άρα για κάθε ακέραιο α + βi η ανάλυση του θα έχει µια µορφή ό ως η ακόλουθη: α + βi = (α1 + β1i) (α2 + β2i)... (αν + βνi). Προφανώς η στάθµη καθενός αράγοντα (ακ + βκi) µε κ = 1, 2,..., ν θα είναι αυστηρά µικρότερη α ό την στάθµη του αρχικού ακεραίου. Όταν οι αράγοντες αυτοί δεν αναλύονται ερεταίρω και έχουν την µικρότερη µη µοναδιαία στάθµη καλούνται ρώτοι Gauss (Gaussian prime). Με άλλα λόγια ο ακέραιος Gauss g είναι ένας ρώτος Gauss: i. Αν έχει στάθµη µεγαλύτερη της µονάδας. ii. Αν ο α Z[i] είναι αράγοντας του, τότε θα ισχύει Ν(α) = 1 ή g = α κ, µε Ν(κ) = 1. Τονίζουµε στο σηµείο αυτό ότι οι αντιστρέψιµοι, αρότι δεν αναλύονται εραιτέρω, δεν θεωρούνται ρώτοι. Ε ίσης λόγω της ολλα λασιαστικής ιδιότητας της στάθµης, συµ εραίνουµε ότι κάθε ακέραιος Gauss µε στάθµη ίση µε έναν ρώτο φυσικό θα είναι ρώτος ακέραιος Gauss. Αυτό ισχύει γιατί στην ερί τωση ου θα ήταν δυνατή η αραγοντο οιήσή του σε τουλάχιστον δύο αράγοντες, θα είχαµε την στάθµη του ίση µε το γινόµενο α ό τις στάθµες των ε ιµέρους αραγόντων. O ότε ένας τουλάχιστον α ό αυτούς θα είχε στάθµη ίση µε 1, δηλαδή ό ως έχουµε α οδείξει θα ήταν αντιστρέψιµος. Το αντίστροφο φυσικά δεν ισχύει. Αναλυτικότερη µελέτη των ρώτων Gauss θα γίνει σε ε όµενη αράγραφο. Μια ενδιαφέρουσα οµάδα ακέραιων Gauss είναι αυτοί ου έχουν ως αράγοντα τον ρώτο 1 + i και α οκαλούνται άρτιοι. Ό ως θα δείξουµε στην ακόλουθη ρόταση αυτοί οι αριθµοί είναι και οι µόνοι οι ο οίοι έχουν στάθµη άρτιο αριθµό. 21

19 Θεώρηµα 1.2: Ένας ακέραιος Gauss έχει στάθµη άρτιο αριθµό αν και µόνο αν είναι ολλα λάσιος του 1 + i. Α όδειξη: Ε ειδή Ν(1 + i) = 2, τότε κάθε ολλα λάσιος του 1 + i θα έχει στάθµη ολλα λάσια του 2, δηλαδή άρτια. Αντίστροφα, θεωρούµε τον ακέραιο Gauss α + βi µε Ν(α + βi) = α 2 + β 2 να είναι άρτιος. Τότε οι α και β θα είναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο εριττοί. Ο ότε και στις δύο ερι τώσεις το α ± β θα είναι άρτιος. Αν γράψουµε τον α + βi = (1 + i)(γ + δi), αρκεί να δείξουµε ότι γ, δ Z. Ε ειδή ισχύει: α + βi = (γ- δ) + (γ + δ)i, θα είναι α = γ δ και β = γ + δ ου δίνει γ = α+β 2 και δ = α-β 2. Άρα γ, δ Z. Πρέ ει εδώ να σηµειώσουµε ότι και ο 1 i έχει στάθµη 2, όµως ροκύ τει α ό το γινόµενο -i(1+ i). Ε ίσης α ό την α όδειξη ου είδαµε µ ορούµε να συµ εράνουµε ως ένα εύκολο κριτήριο για να αναγνωρίσουµε αν ο α + βi α οτελεί άρτιο είναι αν το 2 διαιρεί το α + β, ή µε άλλα λόγια αν οι α, β είναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο εριττοί ακέραιοι. Το ρωτεύον ερώτηµα ου έχουµε θέσει α ό την αρχή και συνεχίζει να αραµένει ακόµη ανα άντητο είναι αν η ανάλυση κάθε ακεραίου Gauss σε ρώτους Gauss γίνεται κατά µοναδικό τρό ο. ηλαδή αν το σύνολο Z[i] α οτελεί µια εριοχή µοναδικής αραγοντο οίησης (unique factorization domain). Στο σηµείο αυτό όµως θα ρέ ει για µια ακόµη φορά να ανατρέξουµε σε ορισµούς και ροτάσεις της Άλγεβρας ου θα µας βοηθήσουν να δοµήσουµε την έννοια µιας τέτοιας εριοχής. 1.3 Περιοχές Μοναδικής Παραγοντο οίησης Αν θεωρήσουµε κά οια τυχαία ακέραια εριοχή D η ο οία έχει ως µηδενικό στοιχείο το 0, µοναδιαίο στοιχείο το 1 και τα α, β D, τότε: Ορισµός 1.2: Παράγοντας του α είναι το β 0 (ή το β διαιρεί το α) αν υ άρχει γ D τέτοιο ώστε: α = βγ και συµβολίζουµε β/α. 22

20 Ορισµός 1.3: Μοναδιαίος (αντιστρέψιµος) Παράγοντας είναι κάθε στοιχείο e D ώστε e/1, δηλαδή έχει ολλα λασιαστικό αντίστροφο. Ορισµός 1.4: Ισοδύναµοι Παράγοντες ονοµάζονται τα στοιχεία α, β αν α = βe, ό ου e κά οιος µοναδιαίος (αντιστρέψιµος) αράγοντας. Ορισµός 1.5: Ανάγωγο Στοιχείο είναι κάθε στοιχείο p D ώστε p 0, p 1 και κάθε αραγοντο οίηση του µέσα στην D, της µορφής p = αβ να δίνει α = e ή β = e. Ορισµός 1.6: Περιοχή Μοναδικής Παραγοντο οίησης είναι η ακέραια εριοχή D στην ο οία για κάθε µη µηδενικό και µη µοναδιαίο στοιχείο της α ισχύουν τα εξής: Το α να είναι ίσο µε ένα γινόµενο ανάγωγων στοιχείων p1, p2,..., pn. Αν το α ε ίσης ισούται µε το γινόµενο κά οιων άλλων ανάγωγων στοιχείων q1, q2,..., qm, τότε ρέ ει n = m και κάθε pi να είναι ισοδύναµο µε ένα qj. Συνε ώς µε την ροϋ όθεση ότι δύο ισοδύναµα στοιχεία ταυτίζονται, η αραγοντο οίηση κάθε στοιχείου της D σε ανάγωγους αράγοντες είναι µοναδική. Σύµφωνα λοι όν µε τους αρα άνω ορισµούς στην ακέραια εριοχή Z οι µοναδιαίοι αράγοντες είναι {-1, 1} και δύο ο οιοιδή οτε αντίθετοι ραγµατικοί ακέραιοι είναι ισοδύναµοι αράγοντες. Συνε ώς η ανάλυση ενός ραγµατικού ακέραιου θεωρείται µονοσήµαντη αν κά οιοι α ό τους αράγοντες του είναι αντίθετοι, δηλαδή: 36 = = 2 (-2) (- 3) 3. Αλλά και η µεταβολή του ρόσηµου σε κά οιους αράγοντες λόγω της αρουσίας του -1 δεν αλλοιώνει την µοναδικότητα της αραγοντο οίησης αυτής, δηλαδή: 36 = = (-1) (-2) (-2) (- 3) 3. Αυτό α οτελεί άλλωστε και το θεµελιώδες θεώρηµα της Αριθµητικής ου διατυ ώνεται ως εξής: «Κάθε µη µηδενικός και µη µοναδιαίος ραγµατικός ακέραιος µ ορεί να αραγοντο οιηθεί µε µοναδικό τρό ο σε γινόµενο ρώτων αραγόντων µε 23

21 την ε ιφύλαξη της µη συµµετοχής των µονάδων». Συνε ώς η ακέραια εριοχή Z είναι µια εριοχή µοναδική αραγοντο οίησης. Ο βασικός ρόλος του θεωρήµατος αυτού για την θεωρία αριθµών είναι εµφανής α ό τον χαρακτηρισµό του ως θεµελιώδες. Ορισµός 1.7: Ευκλείδεια Περιοχή (Euclidean domain) ορίζεται µια ακέραια εριοχή D εφοδιασµένη µε µια α εικόνιση φ: D\{0} N* η ο οία ικανο οιεί τις αρακάτω ιδιότητες: i. Για κάθε µη µηδενικά στοιχεία α, β D, ισχύει: φ(α) φ(αβ). ii. Για κάθε στοιχεία α, β D, µε β 0, να υ άρχουν κ, υ D τέτοια ώστε α = βκ + υ ό ου υ = 0 είτε φ(υ) < φ(β). Η συνάρτηση φ ονοµάζεται Ευκλείδεια συνάρτηση (ή εκτίµηση) του D και είναι φανερό ότι σε µια Ευκλείδεια εριοχή µ ορεί να υ άρχουν ολλές Ευκλείδειες συναρτήσεις. Θεώρηµα 1.3: Κάθε Ευκλείδεια Περιοχή είναι εριοχή µοναδικής αραγοντο οίησης. Η α όδειξη του θεωρήµατος αυτού (Βάρσος εριζιώτης Εµµανουήλ Μαλιάκας - Ταλέλη, «Μια εισαγωγή στην Άλγεβρα» σελ ) έχει αραλειφθεί στην αρούσα εργασία αφού χρησιµο οιούµε µέσα ου ξεφεύγουν α ό το αντικείµενο αρουσίασης της. Θεώρηµα 1.4: Σε κάθε Ευκλείδεια Περιοχή E µε Ευκλείδεια συνάρτηση φ, αν α E µε α 0 τότε το φ(1) είναι το ελάχιστο α ό όλα τα φ(α) και το α είναι αντιστρέψιµο αν και µόνο αν φ(α) = φ(1). Α όδειξη: Αφού α E µε α 0 τότε: φ(1) φ(1α) = φ(α). Αν θεωρήσουµε ότι το αντίστροφο του α είναι το α -1 τότε ισχύει: φ(α) φ(αα -1 ) = φ(1) φ(α) = φ(1). Αντίστροφα αφού φ(α) = φ(1) υ άρχουν κ, υ E ώστε: 1 = ακ + υ µε υ = 0 είτε φ(υ) < φ(κ). Αν υ 0, τότε 1/υ και φ(1) < φ(υ), ράγµα άτο ο. Άρα καταλήγουµε στο υ = 0 και ακ = 1, δηλαδή κ = α

22 Η σηµασία του αρα άνω θεωρήµατος είναι ροφανής για την ύ αρξη καθώς και για την εύρεση των αντίστροφων στοιχείων σε µια Ευκλείδεια Περιοχή. Στην συνέχεια θα ασχοληθούµε µε τους κοινούς διαιρέτες δύο στοιχείων µιας τέτοιας εριοχής και ειδικά µε τον µεγαλύτερο α ό αυτούς. Ορισµός 1.8: Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης (µ.κ.δ.) δύο στοιχείων α, β µιας εριοχής µοναδικής αραγοντο οίησης D είναι το στοιχείο δ D ου ληρεί τις εξής ροϋ οθέσεις: δ/α και δ/β. Αν γ D µε γ/α και γ/β τότε γ/δ. Άµεσο λοι όν είναι και το ε όµενο θεώρηµα ύ αρξης εύρεσης του µ.κ.δ. δύο στοιχείων µιας Ευκλείδειας Περιοχής. Θεώρηµα 1.5: Σε κάθε Ευκλείδεια Περιοχή E µε Ευκλείδεια συνάρτηση φ, αν α, β E µε α, β 0 τότε υ άρχει δ E ου είναι µ.κ.δ.(α, β) = δ καθώς ε ίσης υ άρχουν στοιχεία ν, λ E τέτοια ώστε δ = να + λβ. Α όδειξη: Σύµφωνα µε τον ορισµό της Ευκλείδειας Περιοχής υ άρχουν κ1, υ1 Ε τέτοια ώστε: α = βκ1 + υ1 µε υ1 = 0 είτε φ(υ1) < φ(β). Στην ερί τωση ου υ1 = 0 το β = δ και ισχύει β = 0α + 1β. Όταν υ1 0, αν ένας κοινός διαιρέτης των α, β είναι ο δ1 Ε θα έχουµε: δ1/α και δ1/β άρα δ1/(α βκ1) δ1/υ1. ηλαδή οι κοινοί διαιρέτες των α, β διαιρούν και το υ1. Συνεχίζοντας υ άρχουν κ2, υ2 Ε τέτοια ώστε: β = υ1κ2 + υ2 µε υ2 = 0 είτε φ(υ2) < φ(υ1). Στην ερί τωση ου υ2 0 α οδεικνύεται αντίστοιχα ότι οι όλοι οι κοινοί διαιρέτες των α, β, υ1 είναι και διαιρέτες του υ2. Ε αναλαµβάνοντας την ίδια διαδικασία θα δηµιουργηθεί µια σειρά στοιχείων του Ε τα υ1, υ2, υ3,..., για τα ο οία ισχύουν φ(υi) < φ(υi 1) και φ(υi) N* για κάθε i, ο ότε η σειρά αυτή θα είναι ερατούµενη. Αν το τελευταίο µη µηδενικό στοιχείο είναι το υn τότε τα υn -1 και υn θα έχουν τους ίδιους διαιρέτες µε όλα τα ροηγούµενα υi συνε ώς και µε τα α, β. Όµως υ άρχει µη µηδενικό κn + 1 Ε ώστε υn - 1 = κn + 1 υn, άρα ο µ.κ.δ. των υn - 1 και υn ε οµένως και των α, β θα είναι ο υn. ηλαδή δ = υn. 25

23 Αντικαθιστώντας τώρα το υn -1 στην σχέση: δ = υn = υn υn - 2 κn α ό την αµέσως ροηγούµενη υn - 1 = υn υn - 3 κn 1 και ακολουθώντας την ίδια ακριβώς διαδικασία µε αντίστροφη ορεία, καταλήγουµε στην εύρεση των δύο στοιχείων ν, λ Ε ώστε δ = να + λβ. 1.4 Μοναδική Παραγοντο οίηση στο Z[i]. Ε ανερχόµαστε τώρα στο σύνολο Z[i] µε σκο ό να α οδείξουµε ότι η αραγοντο οίηση των στοιχείων του σε ρώτους Gauss γίνεται µε µοναδικό τρό ο καθώς και τα βασικά συµ εράσµατα ου ροκύ τουν α ό την ανάλυση αυτή. Σύµφωνα λοι όν µε τον ορισµό της στάθµης, αν θεωρήσουµε την συνάρτηση φ έτσι ώστε φ(α) = Ν(α) για κάθε α Z[i] και α 0, τότε η φ: Z[i]\{0} N*, ο ότε έχουµε µια α εικόνιση ικανή να µας βοηθήσει να δείξουµε ότι το Z[i] είναι Ευκλείδεια Περιοχή. Θεώρηµα 1.6: Το σύνολο Z[i] είναι Ευκλείδεια Περιοχή µε Ευκλείδεια συνάρτηση την φ. Α όδειξη: Για τα µη µηδενικά α, β Z[i] ισχύει: φ(α) = Ν(α) 1 και φ(β) = Ν(β) 1. Άρα: φ(α) φ(α)φ(β) = Ν(α)Ν(β) = Ν(αβ) = φ(αβ). Ε οµένως έχει α οδειχθεί η ρώτη ροϋ όθεση του ορισµού 1.7. Τώρα θα ρέ ει να α οδείξουµε τον αλγόριθµο της διαίρεσης στο Z[i]: «Για δύο ακεραίους Gauss α, β, µε β 0 υ άρχουν κ, υ Z[i], τέτοιοι ώστε: α = κβ + υ και φ(υ) = Ν(υ) < φ(β) = Ν(β)». Θεωρούµε ότι α β = λ1 + λ2i C, ροφανώς λ1, λ2 Q. Έστω ότι οι κ1, κ2 Z είναι οι λησιέστεροι ακέραιοι στους ρητούς αριθµούς λ1 και λ2 αντίστοιχα. Αν δεχθούµε ως κ = κ1 + κ2i τότε κ Z[i] και υ άρχει αριθµός υ = α κβ ο ο οίος είναι ακέραιος Gauss. Αρκεί να δείξουµε: φ(υ) = Ν(υ) < φ(β) = Ν(β). 26

24 Ε ειδή υ β = α β - κ τότε έχουµε: Ν( υ β ) = Ν(α - κ) = Ν(λ1 - κ1 + λ2i - κ2i) = β (λ1 - κ1) 2 + (λ2 - κ2) 2 ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 1 2 < 1. ηλαδή Ν(υ) < Ν(β). Σύµφωνα λοι όν µε το θεώρηµα ου µόλις α οδείχθηκε, αρχικά συµ εραίνουµε ότι: «Κάθε ακέραιος Gauss αραγοντο οιείται κατά µοναδικό τρό ο σε γινόµενο ρώτων Gauss». Αυτή η ρόταση α οτελεί το θεώρηµα µοναδικής αραγοντο οίησης σε ρώτους του Gauss (unique prime factorization theorem). Βέβαια ρέ ει να εστιάσουµε στο γεγονός ότι έχουµε α οβάλλει α ό την αραγοντο οίηση τους αντιστρέψιµους. Αυτό είναι α αραίτητο µια και οι ρώτοι αράγοντες µεταβάλλονται σε ισοδύναµους α ό τον ολλα λασιασµό τους µε τους αντιστρέψιµους, ο ότε το α οτέλεσµα α λώς θα εµφανιζόταν ως διαφορετικό, χωρίς όµως στην ουσία να είναι. Για αράδειγµα: 3 i = (1 2i)(1 + i) = -i(2 + i)(1 + i). Ένα δεύτερο συµ έρασµα ου ροκύ τει είναι ότι οι µοναδικοί αντιστρέψιµοι ακέραιοι στο Z[i] είναι αυτοί ου ήδη έχουµε δει. Αυτό είναι άµεσα ροερχόµενο α ό το θεώρηµα 1.4, αφού µόνο αυτοί έχουν στάθµη ίση µε 1. Ε ίσης µε τον αλγόριθµο της διαίρεσης στο Z[i] είδαµε ως µ ορούµε να εκφράσουµε έναν ακέραιο Gauss µε την βοήθεια ενός άλλου. Μ ορούµε όµως να συµ εράνουµε ότε ο δεύτερος δεν είναι αράγοντας του ρώτου; Πόρισµα 1.1: Αν για τους µη µηδενικούς ακέραιους Gauss α, β, κ, υ ισχύει ότι: α = βκ + υ και 0 < Ν(υ) < Ν(β) τότε ο β δεν είναι αράγοντας του α. Α όδειξη: Αν ο β είναι αράγοντας του α, τότε θα υ άρχει λ Z[i] ώστε α = λβ. Ε οµένως θα έχουµε: 27

25 λβ = κβ + υ ή (λ κ)β = υ. Α ό ολλα λασιαστική ιδιότητα της στάθµης ισχύει ότι: Ν(κ λ)ν(β) = Ν(υ) < Ν(β) ή Ν(κ λ) < 1, άτο ο. Ε οµένως ο β δεν είναι αράγοντας του α. Όµως χάριν του θεωρήµατος 1.6 έχουµε και την ύ αρξη εύρεση του µ.κ.δ. δύο ακεραίων Gauss. Και στο σύνολο αυτό ακολουθούµε αρόµοια ορεία, διαδοχικών διαιρέσεων, ό ως στους ραγµατικούς ακέραιους (Ευκλείδειος αλγόριθµος). Σύµφωνα λοι όν µε τον αλγόριθµο της διαίρεσης στο Z[i] οι διαδοχικές διαιρέσεις ου θα ροκύψουν, αν ξεκινούσαµε µε δύο συγκεκριµένους ακεραίους Gauss, θα έδιναν υ όλοι α µε γνήσια φθίνουσα τιµή της στάθµης τους. Ο ότε µετά α ό κά οιες ε αναλήψεις η διαδικασία αυτή θα τελείωνε, µια και οι στάθµες των υ ολοί ων είναι φυσικός αριθµός. Έτσι σύµφωνα µε το θεώρηµα 1.5 θα είχαµε υ ολογίσει τον µ.κ.δ. των δύο αρχικών ακεραίων. Αυτός ό ως έχουµε δείξει θα είναι το τελευταίο µη µηδενικό υ όλοι ο. Πόρισµα 1.2: Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης (µ.κ.δ.) δύο µη µηδενικών στοιχείων του Z[i] είναι ο κοινός τους διαιρέτης µε την µεγαλύτερη στάθµη ου ροκύ τει α ό τον Ευκλείδειο αλγόριθµο. Κάθε άλλος κοινός διαιρέτης µε την ίδια στάθµη είναι ολλα λάσιος του µ.κ.δ µε κά οιον αντιστρέψιµο. Α όδειξη: Έστω οι µη µηδενικοί ζ, ξ Z[i] και µ.κ.δ(ζ, ξ) = δ και δ ένας άλλος κοινός διαιρέτης των ζ και ξ µε Ν(δ ) = Ν(δ). Α ό τον ορισµό του µ.κ.δ. έχουµε δ /δ άρα δ = δ κ, µε κ Z[i], τότε: Ν(δ) = Ν(δ )Ν(κ) Ν(κ) = 1. Ε οµένως ο κ είναι αντιστρέψιµος. Βάση λοι όν των αρα άνω συµ εραίνουµε ότι και για τους ακέραιους Gauss ισχύει το αντίστοιχο του θεωρήµατος του Bezout στους ραγµατικούς ακέραιους. ηλαδή αν για τους µη µηδενικούς ζ, ξ Z[i], ο µ.κ.δ.(ζ, ξ) =δ, τότε µ ορούµε να υ ολογίσουµε λ, µ Z[i] ώστε να ισχύει: δ = λζ + µξ. 28

26 Κλείνοντας την συγκεκριµένη ενότητα θα ε ισηµάνουµε ότι τα σύνολα στα ο οία ισχύει η µοναδική αραγοντο οίηση α οτελούσαν για ολλά χρόνια εδίο έρευνας των Μαθηµατικών. Παρότι η ιδιότητα αυτή, για το σύνολο των φυσικών αριθµών, ήταν γνωστή ήδη α ό τους Αρχαίους Έλληνες. Είναι άλλωστε γνωστό ότι στην Πρόταση ΙΧ. 14 των Στοιχείων, ο Ευκλείδης α οδείκνυε ότι: «Εάν ελάχιστος αριθµός υ ό ρώτων αριθµών µετρήται, υ ουδενός άλλου ρώτου αριθµού µετρηθήσεται αρέξ των εξ αρχής µετρούντων». Η µοναδικά ερατή διαδικασία αραγοντικής ανάλυσης ενός αριθµού δεν είναι αυτονόητη όµως και σε άλλα σύνολα. Ο Euler στην α όδειξή ου έδωσε σχετικά µε το τελευταίο θεώρηµα του Fermat για την ερί τωση ου το n = 3 χρησιµο οίησε την µοναδικότητα αραγοντο οίησης σε κά οιο σύνολο αριθµών, δίχως όµως να της δώσει την α αιτούµενη ροσοχή. Ε ίσης ο Gabriel Lame στην α όδειξη ου αρουσίασε το 1847 στην Ακαδηµία του Παρισιού άνω στο ίδιο θεώρηµα υ έθεσε ότι κά οια σύνολα µιγαδικών ήταν εφοδιασµένα µε την ιδιότητα αυτή, αλλά χωρίς δυστυχώς να ισχύει κάτι τέτοιο. Αυτό το µοιραίο λάθος ε ισήµανε τότε ο Joseph Liouville και η α όδειξή του α ορρίφθηκε. Υ άρχουν ιστορικοί ου α οδίδουν το συγκεκριµένο λάθος και στην ερίφηµη «α όδειξη» του θεωρήµατος αυτού α ό τον ίδιο τον Fermat. Αυτοί όµως ου συνέβαλαν σηµαντικά ρος την κατεύθυνση θεµελίωσης των συνόλων µοναδικής αραγοντο οίησης ήταν ο Ernst Kummer ( ) µια και εισήγαγε για ρώτη φορά την θεωρία των «κυρίων ιδεωδών». Ακολούθησαν οι Richard Dedeckind ( ) και Emanuel Lasker ( ) οι ο οίοι τα όρισαν µε τον σηµερινό α οδεικτικό τους τρό ο. Αργότερα η Emmy Noether ( ) ενο οίησε όλες αυτές τις έννοιες, θέτοντας τις βάσεις της αντιµεταθετικής Άλγεβρας. Πάντως χάριν της ληρότητας της αρουσίασης µας σχετικά µε την µοναδικότητα ανάλυσης σε γινόµενο αραγόντων, οφείλουµε να αναφέρουµε ένα αράδειγµα ακέραιας εριοχής η ο οία να µην α οτελεί εριοχή 29

27 µοναδικής αραγοντο οίησης. Το χαρακτηριστικότερο δείγµα µιας τέτοιας εριοχής είναι ο γνωστός ως δακτύλιος του Dedekind, δηλαδή το σύνολο: Z[ -5] = {α + β -5/α, β Z}. Ορίζουµε ως συνάρτηση την φ: Z[ -5] N* ό ου φ(α + β -5) = α 2 + 5β 2. Προφανώς ισχύει ότι φ(x y) = φ(x) φ(y) για κάθε x, y Z[ -5]. Ας υ οθέσουµε τώρα ότι το e Z[ -5] είναι αντιστρέψιµο, τότε α ό την σχέση e e = 1 έχουµε φ(e e ) = φ(e) φ(e ) = φ(1) = 1 και ε ειδή φ(e) φ(e ) N* τότε φ(e) = 1. Έστω e = u + v -5, µε u, v Z ο ότε ισχύει ότι u 2 + 5v 2 = 1. Οι µοναδικές λύσεις της ιοφαντικής είναι (u, v) = (±1, 0). Άρα τα µόνα αντιστρέψιµα στοιχεία του Z[ -5] είναι τα 1 και -1. Είναι ε ίσης φανερό ότι στον Z[ -5] ισχύει ότι: 6 = 2 3 = (1 + -5)(1- -5). Τα στοιχεία {2, 3, , } φυσικά δεν είναι αντιστρέψιµα και ούτε ισοδύναµα ανά δύο. Ό ως τώρα θα δείξουµε κάθε ένα α ό αυτά, είναι ανάγωγο. Για x, y Z[ -5] αν ισχύει 2 = x y τότε φ(2) = φ(x y) ή 4 = φ(x) φ(y). Αφού όµως φ(x), φ(y) N* τότε φ(x) = 1 ή 2 ή 4. Η ερί τωση φ(x) = 1 α ορρί τεται γιατί τότε x = ±1, ό ως ε ίσης και η ερί τωση φ(x) = 4 α ορρί τεται γιατί δίνει καταλήγει σε y = ±1. Άρα α οµένει µόνο το φ(x) = 2, αν τώρα x = u + v -5, µε u, v Z τότε ισχύει ότι u 2 + 5v 2 = 2. Η εξίσωση ου ροέκυψε όµως είναι αδύνατη, ο ότε το 2 είναι ανάγωγο. Με αρόµοιο τρό ο δείχνουµε ότι και τα υ όλοι α στοιχεία είναι ανάγωγα στο Z[ -5]. Σε αντίθεση όµως µε το ροηγούµενο σύνολο, στο Z[ -2] = {α + β -2/α, β Z} α οδεικνύεται ότι ισχύει η µοναδική ανάλυση. Μια διαφορετική ροσέγγιση των συνόλων αυτών, αλλά µε σκο ό την ιδιότητα της µοναδικής αραγοντο οίησης, θα γίνει και στο ε όµενο κεφάλαιο. 30

28 1.5 Προσδιορισµός των Πρώτων Gauss Έχοντας την εµ ειρία α ό την έλξη ου έχουν ροκαλέσει οι ρώτοι ραγµατικοί αριθµοί στις Μαθηµατικές κοινότητες όλων των ε οχών µ ορούµε να κατανοήσουµε την δυναµική ου αρουσιάζουν και οι ρώτοι του συνόλου Z[i]. Ήδη αναφερθήκαµε σε κά οιες αρχικές έννοιες ου τους αφορούν ό ως, ότι οι αντιστρέψιµοι δεν θεωρούνται ρώτοι και ότι για κάθε ζ Z[i] µε Ν(ζ) ραγµατικό ρώτο, τότε ο ζ είναι ρώτος Gauss. Ε ίσης έχουµε ε ισηµάνει ότι κά οιοι ραγµατικοί ρώτοι σταµατούν να είναι ρώτοι στο Z[i]. Ο ότε αρχικά είναι αυτονόητη η α ορία µας ου σχετίζεται µε το λήθος αυτών των αριθµών µέσα στο σύνολο. Θεώρηµα 1.7: Υ άρχουν ά ειροι ρώτοι ακέραιοι Gauss. Α όδειξη: Ας υ οθέσουµε ότι οι ρώτοι Gauss είναι ε ερασµένου λήθους, δηλαδή µ ορούµε να θεωρήσουµε τους: g1, g2,..., gn. Η ύ αρξη τουλάχιστον ενός α ό αυτούς, ου µας είναι α αραίτητη, καλύ τεται α ό τον 1 + i ο ο οίος είναι ρώτος Gauss, αφού Ν(1 + i) = 2, ο ότε αν ο 1 + i είχε αράγοντα τότε η στάθµη του θα έ ρε ε να διαιρεί τον ρώτο ακέραιο 2, ράγµα αδύνατο. Τότε ο αριθµός G = g1 g2... gn + 1 θα είναι ε ίσης ακέραιος Gauss, φυσικά διάφορος α ό κάθε έναν α ό τους gi µε i = 1, 2,..., n. Ε ίσης δεν θα έχει αράγοντα κανέναν α ό τους gi. Το τελευταίο ισχύει α ό την Πόρισµα 1.1 ε ειδή G = gi k + 1, ό ου k είναι το γινόµενο των αρχικών ρώτων και Ν(gi) > N(1) = 1. Συνε ώς θα είναι και αυτός ρώτος Gauss. Η α όδειξη ου αρουσιάσαµε στο θεώρηµα 1.7 είναι αντίστοιχη της α όδειξης του Ευκλείδη στην ρόταση ΙΧ. 20, η ο οία αναφέρει ότι: «Οι ρώτοι αριθµοί λείους εισί του ροτεθέντος λήθους ρώτων αριθµών». Μια α όδειξη ρο είκοσι δύο και λέον αιώνων ου α οτελεί υ όδειγµα κοµψότητας και αρτιότητας. Ένα ακόµη σηµαντικό θεώρηµα ου σχετίζεται µε τους ρώτους είναι και η ιδιότητα των ρώτων διαιρετών του Gauss (Gaussian prime divisor property). 31

29 Θεώρηµα 1.8: Αν ένας ρώτος Gauss διαιρεί ένα γινόµενο ακεραίων αριθµών Gauss τότε θα διαιρεί και έναν τουλάχιστον α ό τους αράγοντες του γινοµένου. Α όδειξη: Υ οθέτουµε ότι α, β, g Z[i] µε g να είναι ρώτος, ώστε: g/αβ αβ = κg, κ Z[i] και g δεν διαιρεί τον α. Υ άρχουν τότε λ, µ Z[i] ώστε: 1 = λα + µg. Πολλα λασιάζοντας την ισότητα µε τον β έχουµε: β = λαβ + µgβ = λκg + µgβ = g(λκ + µβ). Όµως ο αριθµός λκ + µβ Z[i], ε οµένως g/β. Με ε αγωγή µ ορούµε να δείξουµε ότι ισχύει και για ερισσότερους των δύο αραγόντων. Τώρα είµαστε στην θέση να ταξινοµήσουµε τους ρώτους Gauss, µια κατηγοριο οίηση η ο οία κάθε άλλο αρά εύκολη εµφανίζεται. Φυσικά ένα µέρος του ροβλήµατος µας θα είναι να ελέγξουµε και οιοι ραγµατικοί ρώτοι είναι ε ίσης ρώτοι Gauss. Αρχικά όµως θα ρέ ει να α οδείξουµε µια σειρά ροτάσεων της θεωρίας αριθµών, ου θα µας βοηθήσουν στην α όδειξη του βασικού µας θεωρήµατος ταξινόµησης τους. Λήµµα 1.1: Αν δύο ο οιοιδή οτε ραγµατικοί ακέραιοι του συνόλου Α = {α1, α2,..., αm} διαιρούµενοι µε τον ακέραιο m δίνουν διαφορετικό υ όλοι ο, τότε το ίδιο θα συµβαίνει και για κάθε ζευγάρι ακέραιων του συνόλου Β = {αα1, αα2,..., ααm}, µε την ροϋ όθεση ότι µ.κ.δ.(α, m) = 1. Α όδειξη: Οι διαιρέσεις δύο ακεραίων αi, αj Α θα δίνουν ροφανώς κά οια διαφορετικά υ όλοι α υ1, υ2 {0, 1, 2,..., m -1}. Αν θεωρήσουµε ότι οι διαιρέσεις των ααi, ααj Β δια m δίνουν το ίδιο υ όλοι ο, τότε ισχύει m/(ααi - ααj) m/α(αi - αj). Ε ειδή όµως µ.κ.δ.(α, m) = 1, τότε m/(αi - αj), δηλαδή υ1 = υ2, άτο ο. Θεώρηµα 1.9: (Wilson). Αν ο p είναι ρώτος τότε p/[(p -1)! + 1]. Α όδειξη: Στην ερί τωση ου p = 2 ή p = 3 το συµ έρασµα είναι ροφανές, ε οµένως θα α οδείξουµε για p > 3. Θεωρούµε το σύνολο Α = {1, 2,..., p -1} και έναν ακέραιο α Α, ο ότε µ.κ.δ.(α, p) = 1. Α ό Λήµµα

30 για κάθε β, γ Α µε β γ οι αβ, αγ διαιρούµενοι µε τον p θα δίνουν διαφορετικό υ όλοι ο µέσα στο Α. Συνε ώς η εξίσωση p/(αx 1) δέχεται µοναδική λύση ως ρος x στο σύνολο Α. Για την ερί τωση ου x = α θα έχουµε ότι: p/(α 2 1) p/(α 1)(α + 1) p/(α - 1) είτε p/(α + 1). Αν ο p διαιρούσε και τα δύο τότε θα διαιρούσε και την διαφορά τους δηλαδή p/2, αδύνατο. Ε ειδή α Α η αρα άνω σχέση δίνει α = 1 είτε α = p 1. Συµ εραίνουµε λοι όν ότι τα υ όλοι α στοιχεία {2, 3,..., p -2} µ ορούν να χωριστούν σε ζεύγη ου το γινόµενο των µελών κάθε ζεύγους διαιρούµενο µε τον p να δίνει υ όλοι ο 1. Ο ότε και το γινόµενο τους διαιρούµενο µε τον p θα δίνει υ όλοι ο 1. Άρα υ άρχει κ Z ώστε: ( p - 2) 1 = κp (p 1)! p + 1 = κp p/[(p 1)! + 1] Λήµµα 1.2: Αν για τους ρώτους αριθµούς p Z και g Z[i] ισχύει ότι g/p, τότε Ν(g) = p είτε Ν(g) = p 2. Α όδειξη: Αφού g/p θα ισχύει ότι g = p f, µε f Z[i]. Βάση της ολλα λασιαστικής ιδιότητας της στάθµης έχουµε: Ν(p) = Ν(g)Ν(f) p 2 = Ν(g)Ν(f). Αλλά ε ειδή ο p είναι ραγµατικός ρώτος α ό την µοναδικότητα της αραγοντο οίησης στο Z θα έχουµε: Ν(g) = p είτε Ν(g) = p 2. Θεώρηµα 1.10: (δύο τετραγώνων του Fermat). Κάθε φυσικός ρώτος της µορφής p = 4n + 1, µ ορεί να γραφεί ως άθροισµα δύο τετραγώνων φυσικών αριθµών µε µοναδικό τρό ο. Α όδειξη: Χρησιµο οιώντας το θεώρηµα 1.9 έχουµε ότι: p/[(4n)! + 1] p/[(2n)! (2n + 1)... (4n 1) 4n + 1]. Ε ειδή όµως τα ζεύγη των αριθµών (m, m p) δίνουν το ίδιο υ όλοι ο αν διαιρεθούν µε τον p, τότε µ ορούµε την αρα άνω σχέση να την γράψουµε: p/[(2n)! (-2n)... (-2) (-1) + 1] p/{[(2n)!] 2 (-1) 2n + 1} p/{[(2n)!] 2 + 1} p/(k 2 + 1) µε k = (2n)!. 33

31 Όµως ο αριθµός k = (k + i)(k i), χωρίς ο p να διαιρεί κανέναν α ό τους δύο αράγοντες αφού ( k ± i ) Z[i]. Άρα ο p δεν είναι ρώτος Gauss. p p Θεωρούµε ότι ο p έχει ως γνήσιο διαιρέτη τον ρώτο Gauss g = α + βi, α ό το Λήµµα 1.2 θα είναι Ν(g) = p είτε N(g) = p 2 και ε ειδή N(g) είναι ραγµατικός ρώτος τότε Ν(g) = α 2 + β 2 = p. Αντίστροφα αν p = α 2 + β 2, µε α, β φυσικοί ακέραιοι, βάση της µοναδικής αραγοντο οίησης του στο Z[i], αναλύεται ως p = (α + βi)(α βi), µε κάθε αράγοντα του να είναι ρώτος Gauss αφού η στάθµη τους είναι ρώτος αριθµός. Συνε ώς οι φυσικοί ακέραιοι α, β θα είναι οι µοναδικοί ου το άθροισµα των τετραγώνων τους να ισούται µε τον p. Η ρώτη α όδειξη, του θεωρήµατος ου ροηγήθηκε και θεωρείτε α ό τα ωραιότερα της Αριθµητικής, δόθηκε α ό τον Fermat µε µια ιδιοφυή όσο και ε ί ονη µέθοδο ου ονοµάζεται «ά ειρη κάθοδος». Ακολούθησε ο Euler το 1749 µετά α ό αγώνα ε τά χρόνων το α έδειξε µε αρκετά ερί λοκο τρό ο. Αργότερα το α έδειξαν ο Lagrange, ο Gauss και ο Dedekind. Το σηµαντικό αυτό θεώρηµα καταδεικνύει οιοι ραγµατικοί ρώτοι γράφονται µοναδικά ως άθροισµα δύο τετραγώνων. Εκτός α ό αυτούς, ως γνωστών, ρώτοι είναι ο 2 και όσοι είναι της µορφής 4n + 3. Άρα µ ορούµε τώρα να αρουσιάσουµε το κεντρικό θεώρηµα κατάταξης των ρώτων Gauss. Θεώρηµα 1.11: (ταξινόµηση των ρώτων Gauss). Οι ρώτοι ακέραιοι του Gauss χωρίζονται στις εξής κλάσεις: Οι φυσικοί ρώτοι της µορφής 4n + 3, και οι ισοδύναµοί τους στο Z[i]. Ο ακέραιος 1 + i και οι ισοδύναµοί του 1 i, -1 + i, -1 i. Οι ακέραιοι και οι ισοδύναµοί τους α + βi, α βi, α, β Z αν ο α 2 + β 2 είναι φυσικός ρώτος της µορφής 4n + 1. Α όδειξη: Αρχικά ρέ ει να τονίσουµε το ροφανές ότι δεν υ άρχουν άλλοι ραγµατικοί ρώτοι, εκτός των κατηγοριών ου έχουµε να εξετάσουµε. Ε ίσης θα δείξουµε ότι κάθε ρώτος Gauss g διαιρεί άντα έναν µοναδικό ραγµατικό ρώτο. Αυτό ισχύει γιατί g g = Ν(g) g/n(g), µε Ν(g) 34

32 ραγµατικό ρώτο. Αν τώρα g/p και g/q, ό ου p, q ραγµατικοί ρώτοι και ε ειδή υ άρχουν κ, λ Z ώστε: κp + λq = 1 το g/1, αδύνατο. Ε οµένως όλοι οι ρώτοι Gauss καλύ τονται α ό τις ροαναφερθείσες τάξεις. Αν θεωρήσουµε ότι ένας ρώτος Gauss g = x = yi διαιρεί τον ραγµατικό ρώτο p = 4n + 3, τότε α ό Λήµµα 1.2 έχουµε ότι Ν(g) = p ή Ν(g) = p 2. Ας δεχθούµε ότι Ν(g) = p x 2 + y 2 = 4n + 3, ο ότε ένας α ό τους x, y θα είναι εριττός και ένας άρτιος, έστω x = 2α και y = 2β + 1, α, β N, τότε: 4n + 3 = 4α 2 + (2β + 1) 2 = 4(α 2 + β 2 + β) + 1 = 4m + 1, άτο ο. Ο ότε Ν(g) = p 2 = Ν(p) και ε ειδή g/p τότε p = g f, f Z[i]. Ε οµένως και Ν(p) = N(g)Ν(f) Ν(f) = 1, δηλαδή ο f είναι µοναδιαίος ανάγωγος ράγµα ου σηµαίνει ότι ο g = p η ο g ισοδύναµος του p. Ο µόνος ραγµατικός ρώτος ου είναι άρτιος είναι ο 2. Αλλά ισχύει ότι: 2 = (1 + i)(1 i), µε Ν(1 + i) = N(1 i) = 2. Ο ότε αφού η στάθµη τους είναι ρώτος ακέραιος, τότε αυτοί και οι ισοδύναµοί τους -1 + i και -1 i θα είναι ρώτοι Gauss. Α ό το θεώρηµα 1.10 έχουµε συµ εράνει ότι οι ραγµατικοί ακέραιοι της µορφής 4n + 1 δεν είναι ρώτοι Gauss, αφού µ ορούν να γραφούν µε τον τρό ο p = α 2 + β 2. Όµως οι αράγοντες τους α + βi και α βi, είναι ρώτοι Gauss. Προφανώς το ίδιο θα συµβαίνει και για τους ισοδύναµους τους αφού είναι ακέραιοι Gauss της ίδιας κατηγορίας. Για να ολοκληρώσουµε τα συµ εράσµατα ου συνάγονται α ό το θεώρηµα, ρέ ει να σηµειώσουµε ότι αν ο ρώτος Gauss α + βi εριέχεται σε ο οιαδή οτε α ό τις ροηγούµενες κλάσεις, τότε ο συζυγής του α βi θα είναι και αυτός άντα ρώτος. Ε οµένως και οι ισοδύναµοι αράγοντες του συζυγή θα είναι ρώτοι Gauss, δηλαδή και ο β + αi αφού (α- βi) i = β + αi. Στο τέλος της εργασίας σε ειδικούς ίνακες γίνεται αρουσίαση όλων των ρώτων Gauss µε στάθµη µικρότερη ή ίση του Ό ως ε ίσης και η γραφική αράστασή τους στο µιγαδικό ε ί εδο. Ακόµη υ άρχει ίνακας ου εριέχει όλους τους ακέραιους Gauss µε στάθµη µικρότερη ίση του 200 και την µοναδική τους ανάλυση σε γινόµενο ρώτων αραγόντων. 35

33 1.6 Σχετικά Πρώτοι Ακέραιοι Gauss. Ορισµός 1.9: ύο ακέραιοι Gauss ου έχουν ως µ.κ.δ. αντιστρέψιµο, ονοµάζονται σχετικά ρώτοι. Στην ερί τωση ου δύο ακέραιοι Gauss έχουν στάθµες σχετικά ρώτους ραγµατικούς ακέραιους, τότε είναι οι ίδιοι σχετικά ρώτοι στο Z[i]. Αυτό είναι φανερό γιατί αν είχαν έναν κοινό διαιρέτη µη αντιστρέψιµο, τότε η στάθµη αυτού θα έ ρε ε να διαιρεί τις στάθµες των δύο αρχικών ακεραίων Gauss. Πράγµα άτο ο, αφού ό ως εί αµε αυτές οι δύο είναι σχετικά ρώτοι ραγµατικοί ακέραιοι. Το αντίστροφο όµως δεν ισχύει. Για αράδειγµα ας ε ιλέξουµε τους αριθµούς 1 + 2i, 1 + 3i οι ο οίοι είναι σχετικά ρώτοι, όµως οι στάθµες τους ου είναι 5, 10 αντίστοιχα δεν είναι σχετικά ρώτοι ραγµατικοί ακέραιοι. Θεώρηµα 1.12: ύο ακέραιοι Gauss α, β είναι σχετικά ρώτοι αν και µόνο αν ισχύει ακ + βλ = 1, για κ, λ Z[i]. Α όδειξη: Αν οι α, β είναι σχετικά ρώτοι τότε α ό την ε έκταση του θεωρήµατος του Bezout στους ακέραιους Gauss υ άρχουν οι κ, λ Z[i] ώστε ακ + βλ = 1. Αντίστροφα αν ισχύει ακ + λβ = 1 τότε κάθε κοινός διαιρέτης των α, β θα διαιρεί το 1, οι διαιρέτες του 1 όµως είναι µόνο οι αντιστρέψιµοι. Ό οτε µόνο αυτοί θα διαιρούν και τα α, β. ηλαδή οι α, β είναι σχετικά ρώτοι. Πόρισµα 1.3. Αν α, β, γ είναι ακέραιοι Gauss µε α/βγ και α, β είναι σχετικά ρώτοι τότε α/γ. Α όδειξη: Αφού α/βγ τότε υ άρχει x Z[i] ώστε βγ =αx. Ε ίσης α ό θεώρηµα 1.12 ισχύει ότι ακ + βλ = 1, για κ, λ Z[i]. Πολλα λασιάζοντας την τελευταία σχέση µε γ είναι: γ = γακ + γβλ = αγκ + αxλ = α(γκ + xλ). Ε ειδή γκ + xλ Z[i] τότε α/γ. Πόρισµα 1.4. Αν α, β, γ είναι ακέραιοι Gauss µε α/γ, β/γ και α, β είναι σχετικά ρώτοι τότε αβ/γ. 36

34 Α όδειξη: Υ άρχουν x, y Z[i] ώστε γ =αx και γ = βy. Ε ίσης α ό θεώρηµα 1.12 ισχύει ότι ακ + βλ = 1, για κ, λ Z[i]. Πολλα λασιάζοντας την τελευταία σχέση µε γ είναι: γ = γακ + γβλ = βyακ + αxβλ = αβ(yκ + xλ). Αφού yκ + xλ Z[i] τότε αβ/γ. Πόρισµα 1.5. Αν α, β, γ είναι ακέραιοι Gauss τότε οι αβ και γ είναι σχετικά ρώτοι αν και µόνο αν ο καθένας α ό τους α, β είναι σχετικά ρώτος µε τον γ. Α όδειξη: Υ άρχουν λοι όν κ, λ Z[i] ώστε αβκ + γλ = 1. Η σχέση ισοδύναµα γράφεται α(βκ) + γλ = 1 και β(ακ) + γλ = 1. Αφού βκ, ακ Z[i], α ό θεώρηµα 1.12 καθένα α ό τα α, β είναι σχετικά ρώτος µε τον γ. Αν άρουµε τώρα την ερί τωση ου έχουµε δύο σχετικά ρώτους ακεραίους Gauss και το γινόµενο τους είναι τέλειο τετράγωνο, µ ορούµε να συµ εράνουµε ότι ο καθένας α ό αυτούς είναι τέλειο τετράγωνο; Βέβαια δεν ρέ ει να ξεχνάµε ότι στο σύνολο Z κάτι τέτοιο δεν ισχύει άντα, ό ως για αράδειγµα το 36 = (-4)(-9), ου φυσικά οι -4 και -9 δεν είναι τέλεια τετράγωνα. Στο Z[i] υ άρχουν αντιστρέψιµοι ου είναι τέλεια τετράγωνα ό ως οι 1 = 1 2 = (-1) 2 και -1 = i 2 = (-i) 2, οι ο οίοι ροφανώς µ ορούν να εκφραστούν µέσα σε κάθε τετραγωνικό αράγοντα, αλλά υ άρχουν ε ίσης και οι i, -i ου δεν γράφονται ως τετράγωνα. Ο ότε οι σχετικά ρώτοι ακέραιοι Gauss των ο οίων το γινόµενο είναι τέλειο τετράγωνο ο καθένας θα είναι τέλειο τετράγωνο ή θα είναι ένα γινόµενο τέλειων τετραγώνων ε ί i. Κάτι αντίστοιχο όµως δεν µ ορούµε να ούµε ότι συµβαίνει και στην ερί τωση ου το γινόµενό τους είναι κύβος. Οι αντιστρέψιµοι είναι όλοι κύβοι αφού ισχύουν: 1 = 1 3,-1 = (-1) 3, i = (-i) 3,-i = i 3. Ο ότε αυτοί µ ορούν να ενσωµατωθούν µέσα σε έναν κύβο. Συνε ώς αν το γινόµενο δύο σχετικά ρώτων ακέραιων Gauss είναι ένας κύβος τότε κάθε ένας α ό αυτούς θα είναι κύβος. 37

35 Όσον αφορά το λήθος των σχετικά ρώτων ακεραίων Gauss, έχει υ ολογισθεί ότι η ιθανότητα στην τυχαία ε ιλογή δύο στοιχείων του συνόλου α, β να είναι µεταξύ τους ρώτοι είναι: 6 Ρ = 2 G = 0,6637 Στον τύ ο µε G συµβολίζεται η σταθερά Catalan. Έχει άρει το όνοµα της α ό τον Μαθηµατικό Eugene Charles Catalan ( ) και συνήθως εµφανίζεται σε εκτιµήσεις συναρτήσεων συνδυαστικής, ή σε ορισµένα ολοκληρώµατα. Η σταθερά αυτή είναι ίση µε: G = β(2) = n (-1) n=0(2n+1) 2 = 0,9159, ό ου β(2) είναι η τιµή της βήτα συνάρτησης του Dirichlet β(s) = n (-1) s n=0(2n+1). 1.7 Ισοϋ όλοι οι στο Z[i] Ας ε ανέλθουµε τώρα στον ολλα λασιασµό µεταξύ δύο ακεραίων Gauss, αλλά εστιάζοντας τον α ό µια διαφορετική ο τική γωνία. Έναν εναλλακτικό τρό ο αρουσίασης του, ο ο οίος θα βοηθήσει αρχικά ώστε να έχουµε την δυνατότητα και µιας α εικόνισης του στο ε ί εδο. Για τα στοιχεία α, β, γ, δ Z ισχύει ότι: (α + βi)(γ + δi) = (α + βi)γ + (α + βi)δi = γ(α + βi) + δ(-β + αi). Παρατηρούµε λοι όν ότι το γινόµενο των δύο αρα άνω µιγαδικών γράφεται ως ακέραιος γραµµικός συνδυασµός των α + βi και -β + αi. 38

36 Η γραφική α εικόνιση αυτών των δύο αριθµών στο R 2 α εικονίζεται στο σχήµα 1.1 µε την βοήθεια των διανυσµάτων (α, β) και (-β, α). Ο ολλα λασιασµός τους λοι όν ως ακέραιος γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων του σχήµατος 1.1, διαµορφώνει στο ε ί εδο ένα διχτυωτό λέγµα τετραγώνων, ό ως στο σχήµα 1.2. Κάθε κορυφή των τετραγώνων αυτών αντιστοιχεί σε ένα ολλα λάσιο του α + βi. Αν ξεκινήσουµε α ό µια συγκεκριµένη κορυφή και κινηθούµε ρος τις δι λανές της, ουσιαστικά ροσθέτουµε στον αριθµό ου αντι ροσω εύει έναν α ό τους ακεραίους α + βi, -(α + βi), i(α + βi), -i(α + βi). Ε ιλέγοντας τώρα δύο ακέραιους Gauss ου α εικονίζονται σε δύο σηµεία Α και Β στο εσωτερικό διαφορετικών τετραγώνων, ώστε οι θέσεις τους όµως να είναι σχετικά ίδιες εντός κάθε τετράγωνου στο ο οίο ανήκουν, θα µ ορούσε να υ άρχει κά οια σχέση ου να τους συνδέει; Ό ως έχουµε ήδη δει για τις κορυφές των τετραγώνων, έτσι και για τα σηµεία αυτά, αν ανήκουν σε δι λανά τετράγωνα ερνάµε α ό το ένα στο άλλο ροσθέτοντας στους ακέραιους στους ο οίους αντιστοιχούν έναν α ό τους ακόλουθους αριθµούς α + βi, -(α + βi), i(α + βi), -i(α + βi). 39

37 Ε οµένως κινούµενοι τώρα α ό το σηµείο Α ρος το Β, µέσω των σηµείων ου βρίσκονται σε αντίστοιχες θέσεις αλλά σε δι λανά τετράγωνα, ό ως φαίνεται στο σχήµα 1.3, τότε ουσιαστικά έχουµε µια µεταφορά του αρχικού ακεραίου µε την ροσθήκη άλλου ακέραιου Gauss ολλα λάσιου του α + βi. Ε ειδή όµως ο αρχικός ακέραιος δεν είναι ολλα λάσιος του α + βi, α ό τον αλγόριθµο της διαίρεσης γνωρίζουµε ότι αν διαιρεθεί µε αυτόν θα δίνει κά οιο υ όλοι ο. Ακριβώς το ίδιο υ όλοι ο θα άρουµε αν διαιρέσουµε και τον δεύτερο ακέραιο µε τον α + βi, αφού ουσιαστικά είναι το άθροισµα του ρώτου µε ένα ακέραιο ολλα λάσιο του α + βi. ηλαδή οι δύο αυτοί ακέραιοι Gauss συνδέονται µε µια σχέση ισοϋ όλοι ου ως ρος τον α + βi. Ορισµός 1.10: ύο ακέραιοι Gauss α, β ονοµάζονται ισοϋ όλοι οι ως ρος έναν τρίτο γ αν γ/(α β) και τους συµβολίζουµε α β(modγ). Η σχέση ισοϋ όλοι ων είναι µια σχέση ισοδυναµίας, αφού για κάθε α, β, γ, υ Z[i] ισχύουν οι τρεις γνωστές ροϋ οθέσεις: α α(modυ), ανακλαστικότητα. α β(modυ) β α(modυ), συµµετρικότητα. α β(modυ) και β γ(modυ) α γ(modυ), µεταβατικότητα. 40

Σηµειώσεις Θεωρίας και Μέθοδοι. Κεφάλαιο: Παράγωγοι. και Cgδυο συναρτήσεων f και g εργαζόµαστε ως εξής: x,f(x ) και ( ) ó a

Σηµειώσεις Θεωρίας και Μέθοδοι. Κεφάλαιο: Παράγωγοι. και Cgδυο συναρτήσεων f και g εργαζόµαστε ως εξής: x,f(x ) και ( ) ó a Κοινή εφα τοµένη Αν θέλουµε να βρούµε τη κοινή εφα τοµένη ( ε ) : y=α +β των γραφικών αραστάσεων gδυο συναρτήσεων g εργαζόµαστε ως εξής:,( ) ( ) Έστω ( ),g( ) τα κοινά σηµεία της (ε) µε την εφα τοµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 0-03 ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων

Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 1 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις - Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόουλος ρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στην εργασία αυτή εισηµαίνονται και αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ, ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΤΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ, ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΤΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ, ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΤΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ» ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2015-2016 Α.Π.: 817 Χίος, 22.04.2015 Το Τµήµα ιοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ

4.4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ 158 44 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Έστω α, β δύο ακέραιοι Ένας ακέραιος δ λέγεται κοινός διαιρέτης των α και β, όταν είναι διαιρέτης και του α και του

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Πληροφορίες Παιδαγωγικό Τµήµα Νη ιαγωγών Κα Ελένη Φωτιάδου, 2385055100 Αρ. Πρωτ: 1829 Ηµεροµηνία: 30/3/2016 Προκήρυξη Υ οτρόφων ΑΡΙΣΤΕΙΑΣ Μεταδιδακτόρων Ερευνητών Ε ιτρο ής Ερευνών 2016 Αρ. ιακ. 06/2016

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

H.Q.A.A. Α. Ι.Π. ιασφάλιση Ποιότητας στην Ανώτατη Εκπαίδευση ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Οδηγός εφαρµογής της διαδικασίας Εσωτερικής Αξιολόγησης

H.Q.A.A. Α. Ι.Π. ιασφάλιση Ποιότητας στην Ανώτατη Εκπαίδευση ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Οδηγός εφαρµογής της διαδικασίας Εσωτερικής Αξιολόγησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Α. Ι.Π. ΑΡΧΗ ΙΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ HELLENIC REPUBLIC H.Q.A.A. HELLENIC QUALITY ASSURANCE AGENCY FOR HIGHER EDUCATION ιασφάλιση Ποιότητας στην Ανώτατη Εκπαίδευση Οδηγός

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Από τη θεωρία στην πράξη: Η Εμπειρία της Ένταξης της Οπτικής του Φύλου στα Αναλυτικά Προγράμματα της Πρωτοβάθμιας

Από τη θεωρία στην πράξη: Η Εμπειρία της Ένταξης της Οπτικής του Φύλου στα Αναλυτικά Προγράμματα της Πρωτοβάθμιας Από τη θεωρία στην πράξη: Η Εμπειρία της Ένταξης της Οπτικής του Φύλου στα Αναλυτικά Προγράμματα της Πρωτοβάθμιας και Δευτεροβάθμιας Κυπριακής Εκπαίδευσης ΜΑΡΙΑ ΓΚΑΣΟΥΚΑ ΕΠΙΚΟΥΡΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Ο Νοµός Κορινθίας βρίσκεται στο ΒΑ τµήµα της Πελο οννήσου έχοντας ένα µικρό τµήµα βόρεια α ό τον Ισθµό, ουσιαστικά στην εδαφική ε ικράτεια της

Ο Νοµός Κορινθίας βρίσκεται στο ΒΑ τµήµα της Πελο οννήσου έχοντας ένα µικρό τµήµα βόρεια α ό τον Ισθµό, ουσιαστικά στην εδαφική ε ικράτεια της Ο Νοµός Κορινθίας βρίσκεται στο ΒΑ τµήµα της Πελο οννήσου έχοντας ένα µικρό τµήµα βόρεια α ό τον Ισθµό, ουσιαστικά στην εδαφική ε ικράτεια της Στερεάς Ελλάδας, το ο οίο φτάνει έως την εριοχή των Μεγάρων,

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΕΝΤΑΞΗΣ ΜΕΤΑΝΑΣΤΩΝ του ήµου Λαµιέων

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΕΝΤΑΞΗΣ ΜΕΤΑΝΑΣΤΩΝ του ήµου Λαµιέων ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΕΝΤΑΞΗΣ ΜΕΤΑΝΑΣΤΩΝ του ήµου Λαµιέων Άρθρο 1 (Άρθρο 7, αρ. 1 Ν. 3852/2010) ιοίκηση ήµου Ο δήµος διοικείται α ό το δηµοτικό συµβούλιο, την οικονοµική ε ιτρο ή, την ε ιτρο

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ =

( ) Λ αφού αν διαιρέσουμε με το 2 τους όρους του 2 ης εξίσωσης το σύστημα γίνεται Ρ = 17 ο Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό έτος 01-015 ΤΑΞΗ:B' Λυκείου ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΙΟΥΝΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ :Αθήνα 8-6-015 ΘΕΜΑ 1ο Α. Nα αοδείξετε ότι αν ένα ολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΤΩΝ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ 1

Η ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΤΩΝ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ 1 Η ΤΗΛΕΟΡΑΣΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΤΩΝ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ ΜΑΖΙΚΗΣ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ 1 Κύριε Πρόεδρε, κυρίες, κύριοι, Θα ήθελα να σας µιλήσω για τέσσερα ράγµατα ου θεωρώ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ I

ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ I ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ ΤΟΥ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ I Τέσσερα σηµαντικά στοιχεία: Το εισόδηµα του καταναλωτή Οι τιµές των αγαθών Οι ροτιµήσεις των καταναλωτών Η υ όθεση ότι ο καταναλωτής λαµβάνει α οφάσεις ου µεγιστο οιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΌΡΑΣΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΌΡΑΣΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΌΡΑΣΗ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ 1. Γενικά Τα Τµήµατα Ιατρικής της Σχολής Ε ιστηµών Υγείας, Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ για την ρόσληψη ροσω ικού µε σύµβαση εργασίας ιδιωτικού δικαίου ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΙΜΗΝΗΣ ΙΑΡΚΕΙΑΣ Ο ΗΜΑΡΧΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ για την ρόσληψη ροσω ικού µε σύµβαση εργασίας ιδιωτικού δικαίου ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΙΜΗΝΗΣ ΙΑΡΚΕΙΑΣ Ο ΗΜΑΡΧΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Θεσσαλονίκη 14/6/2012 ΗΜΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Βασ. Γεωργίου 1Α - 546 40 Αρ. Πρωτ: 51987 ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ Ι ΙΩΤΙΚΟΥ ΙΚΑΙΟΥ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ για την ρόσληψη ροσω ικού µε σύµβαση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

Το Τµήµα ΗΜΜΥ του Πολυτεχνείου Κρήτης

Το Τµήµα ΗΜΜΥ του Πολυτεχνείου Κρήτης Το Τµήµα ΗΜΜΥ του Πολυτεχνείου Κρήτης Ενηµέρωση Υ οψηφίων Φοιτητών ευτέρα Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών www.ece.tuc.gr Περίγραµµα Τι; Που; Ποιος; Πως; Γιατί; ΗΜΜΥ Υ οδοµές Προσω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΜΕ ΑΡ. 2/2015 (και αρ. ρωτ. 614/27-02-2015)

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΑΚΗΡΥΞΗΣ ΜΕ ΑΡ. 2/2015 (και αρ. ρωτ. 614/27-02-2015) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΛΗΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΚΟ ΜΟΥΣΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ Ταχ. /νση: Ξανθουδίδου & Χατζηδάκη Ταχ. Κώδικας:

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 A ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 16 Ε_.ΜλΘΟ(α) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Πέµτη 7 Ιανουαρίου 16 ιάρκεια Εξέτασης:

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθ. Πρωτ. :2767 Ηµεροµηνία :25/02/2016

Αριθ. Πρωτ. :2767 Ηµεροµηνία :25/02/2016 ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (ΣΤΑ.ΣΥ.) A.E. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΜΕΣΩΝ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΤΡΟΧΙΑΣ Ε ΡΑ: ΑΘΗΝΑΣ 67 - ΑΘΗΝΑ 105 52 ΑΦΜ: 099939745.Ο.Υ. :ΦΑΕ Αθηνών ΤΗΛ. ΚΕΝΤΡΟ: 214-414 1171-173 FAX: 210-3223935 Αριθ. Πρωτ. :2767 Ηµεροµηνία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Να σταλεί και µε

Να σταλεί και µε Να σταλεί και µε e-mail ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ /ΝΣΗ ΟΙΚΟΝ. ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ Τ.Α. -------------------------------------------------- -ΤΜΗΜΑ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ & ΕΠΕΞ. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Αγ. Στέφανος 1-12-2014 ΗΜΟΣ ΙΟΝΥΣΟΥ Αριθ. Πρωτ.: 38090 ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚ. ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Αγ. Στέφανος 1-12-2014 ΗΜΟΣ ΙΟΝΥΣΟΥ Αριθ. Πρωτ.: 38090 ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚ. ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΑΤΤΙΚΗΣ Αγ. Στέφανος 1-12-2014 ΗΜΟΣ ΙΟΝΥΣΟΥ Αριθ. Πρωτ.: 38090 ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΟΙΚ. ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΠΡΟΣ Την Οικονοµική Ε ιτρο ή ήµου ιονύσου ΘΕΜΑ: «Σύνταξη Ολοκληρωµένου Πλαισίου ράσης (Ο.Π..)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΡΑΤΟΥΣ ΠΟΛΙΤΗ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΡΑΤΟΥΣ ΠΟΛΙΤΗ ΚΥΚΛΟΣ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΡΑΤΟΥΣ ΠΟΛΙΤΗ ΣΥΝΟΨΗ ΔΙΑΜΕΣΟΛΑΒΗΣΗΣ Θέμα: ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΣΥΝΗΓΟΡΟΥ ΤΟΥ ΠΟΛΙΤΗ ΣΤΗΝ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΟΡΘΗΣ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ ΝΟΜΟΥ: ΠΡΟΣΩΠΑ ΠΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥΝΤΑΙ ΝΑ ΕΚΤΕΛΟΥΝ ΚΑΤΑ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΤΗΝ ΑΠΟ ΞΗΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Να διατηρηθεί µέχρι Βαθµός ασφαλείας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Μαρούσι, 8-9 -11 Αριθ. Πρωτ. :11837 /Γ Βαθµός Προτερ.: ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΘΗΚΗ- ΤΡΟΠΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ «Α

ΠΡΟΣΘΗΚΗ- ΤΡΟΠΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ «Α ΠΡΟΣΘΗΚΗ- ΤΡΟΠΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ «Α λούστευση διαδικασιών λειτουργίας τουριστικών ε ιχειρήσεων και τουριστικών υ οδοµών, ειδικές µορφές τουρισµού και άλλες διατάξεις» Α. ΑΙΤΙΟΛΟΓΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΣΤΑΤ Πολιτική Αναθεωρήσεων

ΕΛΣΤΑΤ Πολιτική Αναθεωρήσεων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΕΛΣΤΑΤ Πολιτική Αναθεωρήσεων ΠΕΙΡΑΙΑΣ, ΜΑΪΟΣ 2013 Η Ελληνική Στατιστική Αρχή (ΕΛΣΤΑΤ) υιοθετεί την αρούσα ολιτική αναθεωρήσεων η ο οία καθορίζει τυ ο οιηµένους

Διαβάστε περισσότερα

EVITA ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΠΑΦΩΝ / ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Σαντορίνη 28/04/2011 Βασίλειος Πα ανικολάου

EVITA ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΠΑΦΩΝ / ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Σαντορίνη 28/04/2011 Βασίλειος Πα ανικολάου EVITA ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΠΑΦΩΝ / ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Σαντορίνη 28/04/2011 Βασίλειος Πα ανικολάου ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΒΕΛΤΙΣΤΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΟΥ ΜΕΤΑΤΡΕΠΟΥΝ ΤΙΣ ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ ΣΕ ΕΠΑΦΕΣ Κάθε 100 ε ισκέψεις θα ρέ ει να καταχωρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.» 1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Η εργασία αυτή αποτελείται από δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος ορίζεται η έννοια των θετικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων εανάληψης 1. ίνεται το ολυώνυµο Ρ(x) = x 3 x 2 4x + 4 Να αοδείξετε ότι ο αριθµός ρ = 1 είναι ρίζα του ολυωνύµου i Να βρείτε το ηλίκο της διαίρεσης του ολυωνύµου Ρ(x) µε το ολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονική Έρευνα Ικανοποίησης Χρηστών Βιβλιοθήκης και Κέντρου Πληροφόρησης Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων

Ηλεκτρονική Έρευνα Ικανοποίησης Χρηστών Βιβλιοθήκης και Κέντρου Πληροφόρησης Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων 2 ΜΟΝΑ Α ΟΛΙΚΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ ΕΡΕΥΝΑ Ηλεκτρονική Έρευνα Ικανοποίησης Χρηστών Βιβλιοθήκης και Κέντρου Πληροφόρησης Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων Επιµέλεια : Βασίλης Πολυχρονόπουλος ΙΩΑΝΝΙΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 202-203 ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80 v.koutras@fme.aegea.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανε ιστήµιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΙΑΛΕΞΗ 05 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Βόλος, 04-05 . Μέτρα ιασ οράς - Μεταβλητότητας . Εύρος e Max -M Ε ηρεάζεται α ό τον λήθος των αρατηρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΗ ΣΥΜΠΡΑΞΗ: «ΟΛΟΙ ΜΑΖΙ»

ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΗ ΣΥΜΠΡΑΞΗ: «ΟΛΟΙ ΜΑΖΙ» ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΗ ΣΥΜΠΡΑΞΗ: «ΟΛΟΙ ΜΑΖΙ» Ανθέων 5, 72300,- Σητεία Κρήτης. Τηλ: 28430-23590, Φαξ: 28430-25341, mail: oas@sit.forthnet.gr ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 2 II Βασική άλγεβρα. Αρχικά μαθήματα 4 1 Μάθημα 1 4 1.1 Πορεία μελέτης............................ 4 1.2 Διάφορα σχόλια............................ 5 1.3 Πορεία μελέτης............................

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΤΕΣ & ΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 4 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΕΣ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΚΙΝΗΤΕΣ & ΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 4 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΕΣ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΙΝΗΤΕΣ & ΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 4 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΕΣ 1 ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΑΡΕΜΒΟΛΈΣ ΣΤΟ ΑΣΎΡΜΑΤΟ ΠΕΡΙΒΆΛΛΟΝ Οµοδιαυλική αρεµβολή (co-channel interference):

Διαβάστε περισσότερα

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12)

ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-12) ΕΑΠ ΣΠΟΥ ΕΣ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Θ.Ε. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΠΛΗ-) ΛΥΣΕΙΣ 5 ΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, - Eνότητες: 8,9,,,, αό το βιβλίο «ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ» Γ. άσιου. Παράδοση της εργασίας µεχρι τις 9 /4/

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνικά Δίκτυα Δομή Κοινωνικών Δικτύων

Κοινωνικά Δίκτυα Δομή Κοινωνικών Δικτύων Κοινωνικά Δίκτυα Δομή Κοινωνικών Δικτύων Ν. Μ. Σγούρος Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Παν. Πειραιώς sgouros@unipi.gr Τύποι Δεσμών -Τριαδικό Κλείσιμο Οι συνδέσεις μεταξύ κόμβων σε κοινωνικά δίκτυα μ ορούν να

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μ.Π.Α. I. ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΙΚΤΩΝ

Μ.Π.Α. I. ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΙΚΤΩΝ Ο Μηχανισµός Παρακολούθησης της Εθνικής Στρατηγικής για την Κοινωνική Ένταξη των Ροµά στο λαίσιο λειτουργίας του Εθνικού Μηχανισµού Συντονισµού, Παρακολούθησης και Αξιολόγησης των Πολιτικών Κοινωνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ I ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΕΝΤΥΠΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΓΟΡΑ ΧΡΟΝΟΜΕΡΙ ΙΩΝ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ I ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΕΝΤΥΠΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΓΟΡΑ ΧΡΟΝΟΜΕΡΙ ΙΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ I ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΕΝΤΥΠΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΣΥΜΒΑΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΓΟΡΑ ΧΡΟΝΟΜΕΡΙ ΙΩΝ Μέρος 1: Ταυτότητα, τό ος κατοικίας και νοµικό καθεστώς του ή των εµ όρων ου θα είναι συµβαλλόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΧΟΡΗΓΗΣΗΣ ΥΠΟΤΡΟΦΙΩΝ Υ ΑΣ ΣΕ ΑΛΛΟ ΑΠΟΥΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΕΣ - ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011

ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΧΟΡΗΓΗΣΗΣ ΥΠΟΤΡΟΦΙΩΝ Υ ΑΣ ΣΕ ΑΛΛΟ ΑΠΟΥΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΕΣ - ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΧΟΡΗΓΗΣΗΣ ΥΠΟΤΡΟΦΙΩΝ Υ ΑΣ ΣΕ ΑΛΛΟ ΑΠΟΥΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΕΣ - ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 1. Γενικές Πληροφορίες Η Υ ΑΣ έχει, ήδη, α ό το έτος 2002, υιοθετήσει το Πρόγραµµα Χορήγησης Υ οτροφιών

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα