ΤΥΧΑΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών

Transcript

1 Τµ. Επιστήµης των Υλικών

2 Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, Ιδιότητες: (i) f(x i) 0, i = 1, 2,..., (ii) + i=1 f(x i) = Συνεχούς τύπου X ονοµάζεται συνεχής τ.µ. αν υπάρχει f : R R, τέτοια ώστε P(X B) = f(x)dx B f(x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, Ιδιότητες: (i) f(x) 0, x R, (ii) + f(x)dx = 1.

3 Είδη τυχαίων διανυσµάτων 1. ιακριτού τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται διακριτό τυχαίο διάνυσµα αν το πεδίο τιµών του είναι της µορφής, S = {x 1 x 2 n,,...,x,...}. f(x ) = = x ) = P(X 1 = x 1, X 2 = x 2,...,X k = x k ) ονοµάζεται P(X συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του τυχαίου διανύσµατος X ή από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών X 1, X 2,...,X k. Ιδιότητες: (i) f(x i 0, i = 1, 2,..., (ii) ) Παρατήρηση: f(x ) = 1. f(x ) =... f(x 1,...,x k ). x 1 x k S S

4 Είδη τυχαίων διανυσµάτων Πολυωνυµική Κατανοµή Ενα τυχαίο διάνυσµα X = (X 1, X 2,...,X k ) ακολουθεί την πολυωνυµική κατανοµή, εάν η π.π. του τ.δ. είναι f(x ) = P(X = x ) = n! x 1!x 2!...x k! px1 1 px2 2...pxk k όπου x = (x 1, x 2,...,x k ), x 1 + x x k = 1 και 0 < p i < 1, i = 1, 2,...,k είναι πιθανότητες τ.ω. p 1 + p p k = 1. Συµβολισµός: X Π(n; p 1, p 2,...,p k ). Περιγραφή Τυχαίου Πειράµατος Θεωρούµε ότι έχουµε ένα τυχαίο πείραµα µε k δυνατά αποτελέσµατα, έστω A 1, A 2,...,A k, µε πιθανότητα εµφάνισης P(A i) = p i, i = 1, 2,...,k. Αν X i, i = 1, 2,...,k είναι η τ.µ. η οποία µετράει το πλήθος εµφάνισης του γεγονότος A i, τότε το τ.δ. X = (X 1, X 2,...,X k) Π(n; p 1, p 2,...,p k). Παρατήρηση: A 1 A 2... A k = S P(A 1)+P(A 2)+...+P(A k) = 1.

5 Παράδειγµα Πολυωνυµική Κατανοµή Ενα τυχαίο διάνυσµα X = (X 1, X 2,...,X k) ακολουθεί την πολυωνυµική κατανοµή, εάν η π.π. του τ.δ. είναι f(x ) = P(X = x ) = n! x 1!x 2!...x k! px1 1 p x2 2...p x k k όπου x = (x 1, x 2,...,x k), x 1 + x x k = 1 και 0 < p i < 1, i = 1, 2,...,k είναι πιθανότητες τ.ω. p 1 + p p k = 1. Συµβολισµός: X Π(n; p 1, p 2,...,p k). Παράδειγµα ιαθέτουµε 20 διακεκριµµένα σφαιρίδια και τρία κουτιά Κ1, Κ2 και Κ3. Ρίχνουµε ένα οµοιόµορφο Ϲάρι. Αν έρθει η πλευρά 1 ή 2, τότε τοποθετούµε ένα σφαιρίδιο στο Κ1, αν έρθει η πλευρά 3 ή 4 ή 5 τοποθετούµε ένα σφαιρίδιο στο Κ2, ενώ αν έρθει η πλευρά 6, τότε τοποθετούµε ένα σφαιρίδιο στο Κ3. Οι ϱίψεις του Ϲαριού ολοκληρώνονται εώς ότου όλα τα σφαιρίδια τοποθετηθούν στα κουτιά. Ποια είναι η πιθανότητα να τοποθετηθούν 8 σφαιρίδια στο Κ1, 10 στο Κ2 και 2 στο Κ3;

6 Είδη τυχαίων διανυσµάτων 2. Συνεχούς τύπου X = (X 1, X 2,...,X k ) ονοµάζεται συνεχές τυχαίο διάνυσµα αν υπάρχει f : R k R, τέτοια ώστε B ) = P(X B f(x )dx Αν B = B 1 B 2... B k και f(x ) = f(x 1, x 2,...,x k ), τότε =... f(x 1, x 2,...,x k )dx 1...dx k B f(x )dx B k B 1 f(x ) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του τ.δ. ή X από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τ.µ. X 1, X 2,...,X k. Ιδιότητες: (i) f(x ) 0, x R k, (ii) = 1. R f(x )dx k

7 Είδη τυχαίων διανυσµάτων ιδιάστατη Κανονική Κατανοµή Το τυχαίο διάνυσµα X = (X 1, X 2 ) ακολουθεί τη διδιάστατη κανονική κατανοµή, εάν 1 f(x ) = 2π σ1 2σ2 2 (1 ρ2 ) e q/2 όπου q = 1 [ (x1 µ 1 ) 2 2ρ (x 1 µ 1 )(x 2 µ 2 ) + (x ] 2 µ 2 ) 2 1 ρ 2 σ1 2 σ 1 σ 2 σ2 2, x 1, x 2 R, µ 1,µ 2 R, σ 1,σ 2 > 0 και 1 ρ 1.

8 Παράδειγµα Παράδειγµα Θεωρούµε X και Y τ.µ. µε από κοινού πυκνότητα πιθανότητας f(x, y) = cxyi (0,2) (0,5) (x, y). Να υπολογιστεί η σταθερά c, όπως και οι πιθανότητες, P(X < 2, 2 < Y < 4) και P(X > Y).

9 Συνάρτηση Κατανοµής Τυχαίας Μεταβλητής Ορισµός F(x) = P(X x) = Ιδιότητες 1 0 F(x) 1. f(t) x t x f(t)dt 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim F(x) = 0, lim F(x) = 1. x x + Παρατήρηση Αν X είναι συνεχής τ.µ., τότε f(x) = df(x) dx., X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ.

10 Συνάρτηση Κατανοµής Τυχαίου ιανύσµατος Ορισµός F(x ) = P(X x ) = P(X 1 x 1, X 2 x 2,...,X k x k ). Ιδιότητες (k = 2) 1 0 F(x 1, x 2 ) 1, x 1, x 2 R. 2 Η ολική µεταβολή της F, x ỹ = F(y 1, y 2 )+F(x 1, x 2 ) F(x 1, y 2 ) F(y 1, x 2 ) 0. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών αναφορικά µε κάθε συνιστώσα x 1, x 2. 4 lim F(x 1, x 2 ) = 0, lim F(x 1, x 2 ) = 1. x 1,x 2 x 1,x 2 +

11 Περιθώριες Κατανοµές Εστω X = (X 1, X 2 ) ένα τυχαίο διάνυσµα. lim F(x 1, x 2 ) = F(x 1,+ ) = F X1 (x 1 ) ονοµάζεται περιθώρια x 2 + συνάρτηση κατανοµής της τ.µ. X 1. lim F(x 1, x 2 ) = F(+, x 2 ) = F X2 (x 2 ) ονοµάζεται περιθώρια x 1 + συνάρτηση κατανοµής της τ.µ. X 2. Παρατήρηση (συνεχή περίπτωση) X τ.µ. τότε f(x) = df(x) dx. X = (X 1, X 2 ) τ.δ. τότε f(x 1, x 2 ) = 2 x 1 x 2 F(x 1, x 2 ). X = (X 1, X 2,...,X k ) τ.δ. τότε f(x 1, x 2,...,x k ) = k x 1... x k F(x 1,...x k ).

12 Περιθώρια Πυκνότητα Πιθανότητας Εστω X = (X 1, X 2 ) ένα τυχαίο διάνυσµα. f X1 (x 1 ) = df X 1 (x 1 ) dx 1 ονοµάζεται περιθώρια π.π. της τ.µ. X 1. f X2 (x 2 ) = df X 2 (x 2 ) dx 2 ονοµάζεται περιθώρια π.π. της τ.µ. X 2. Ορισµός (Περιθώρια π.π.) f(x 1, x 2 ) x 2, διακριτό τ.δ. X f X1 (x 1 ) = + f(x 1, x 2 )dx 2, συνεχές τ.δ. X Ορισµός ( εσµευµένη Πυκνότητα Πιθανότητας) f X1 X 2 (x 1 x 2) = f X2 X 1 (x 2 x 1) = f(x1, x2) f X2 (x 2) f(x1, x2) f X1 (x 1) ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X1 δοθείσης της X2. ονοµάζεται δεσµευµένη π.π. της X2 δοθείσης της X1.