ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80 Τηλ:

2 Martigales Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός : ιακριτός χρόνος, διακριτός χώρος ιακριτός χρόνος, συνεχής χώρος Συνεχής χρόνος, διακριτός χώρος Συνεχής χρόνος, συνεχής χώρος Μία στοχαστική διαδικασία είναι µια οικογένεια τ.µ. ορισµένων σε ένα χώρο ιθανοτήτων (Ω,, P). Εάν υ άρχει αριθµήσιµο λήθος των µελών της οικογένειας τότεηδιαδικασίασυµβολίζεταιµε Χ, Χ 2,.Εάντο λήθοςδενείναιαριθµήσιµοτότε 2 η διαδικασία συµβολίζεται µε {Χ(t): t 0} ή {Χ t } t 0.. Στην ρώτη ερί τωση η διαδικασία αναφέρεται σε διακριτό ενώ στην δεύτερη σε συνεχή χρόνο Ο χώρος καταστάσεων µιας στοχαστικής διαδικασίας είναι το σύνολο όλων των ιθανών τιµών της διαδικασίας Παράδειγµα : Χ η τιµή κλεισίµατος του βαρελιού ετρελαίου την ηµέρα και ο χώρος καταστάσεων είναι όλες οι δυνατές τιµές ου µ ορεί να άρει η τιµή του βαρελιού ο οιαδή οτε ηµέρα

3 Martigales Μια σηµαντική κατηγορία στοχαστικών διαδικασιών είναι αυτή των martigales. Ορισµός 2: Μία στοχαστική διαδικασία ισχύουν τα αρακάτω: { } 0 0 σε διακριτό χρόνο είναι ένα martigale εάν (α) Ε[Χ ]< (β) Ε[Χ Χ 0, Χ,, Χ ]Χ Παρατήρηση: Αν µια τ. µ. Χ είναι το κεφάλαιο µιας ε ένδυσης, τότε η µέση τιµή του κεφαλαίου µετά την άροδο µιας χρονικής εριόδου είναι ίση µε το κεφάλαιο. Το αιχνίδι δηλαδή ου αίζεται µε αυτήν την ε ένδυση έχει τον χαρακτήρα του arbitrage.

4 Martigales Ορισµός 3: { } { } 0 0 { } { } 0 0 Έστω, δύο στοχαστικές διαδικασίες σε διακριτό χρόνο. Θα λέµε ότι η σ.δ. είναι martigale σε σχέση µε την εάν ισχύουν τα αρακάτω: (α) Ε[Χ ]< (β) Ε[Χ Υ 0, Υ,, Υ ]Χ (γ) η Χ είναισυνάρτησητων Υ 0, Υ,, Υ Παρατήρηση: Αν η Χ είναι η τιµή ενός χαρτοφυλακίου µετοχών η Υ µ ορεί να είναι το διάνυσµα των τιµών των µετοχών ου είναι αντι ροσω ευτικές όλων των κατηγοριών µετοχών στο χρηµατιστήριο.( ληροφορία)

5 Martigales supermartigale Ορισµός 4: { } 0 Έστω µια στοχαστική διαδικασία σε διακριτό χρόνο. Συµβολίζουµε µε Χ - mi{χ, 0} για 0,, 2, Η σ.δ. ονοµάζεται supermartigale αν ισχύουν τα αρακάτω: (α) Ε[Χ - ]>- (β) Ε[Χ Χ 0, Χ,, Χ ] Χ Παρατήρηση: Αν µια τ. µ. Χ είναι το κεφάλαιο µιας ε ένδυσης, τότε η µέση τιµή του κεφαλαίου µετά την άροδο µιας χρονικής εριόδου είναι µικρότερη α ό το κεφάλαιο. Το supermartigale δηλαδή είναι µια διαδικασία ου ελαττώνεται συνεχώς

6 Martigales submartigale Ορισµός 5: { } 0 Έστω µια στοχαστική διαδικασία σε διακριτό χρόνο. Η σ.δ. είναι submartigale αν ισχύουν τα αρακάτω: (α) Ε[Χ ]< ό ου Χ max{χ,0} για0,,2, (β) Ε[Χ Χ 0, Χ,, Χ ] Χ Παρατήρηση: Αν µια τ. µ. Χ είναι το κεφάλαιο µιας ε ένδυσης, τότε η µέση τιµή του κεφαλαίου µετά την άροδο µιας χρονικής εριόδου είναι µεγαλύτερη α ό το κεφάλαιο. Παρατήρηση: Χ g(υ 0, Υ,, Υ ) Ε[Χ Υ 0, Υ,, Υ ]Ε[g(Υ 0, Υ,, Υ )Υ 0, Υ,, Υ ]g(υ 0, Υ,, Υ )Χ

7 Martigales Πρόταση : { } { } 0 0 Έστω martigaleσεσχέσηµετην.τότεαν m < ισχύειότι: Πρόταση 2: Ε [Χ Υ 0, Υ,, Υ m ] Χ m { } { } 0 0 Έστω martigale σε σχέση µε την. Τότε: Πρόταση 3: Ε [Χ ] Ε [ 0 ] Έστω Υ 0, Υ,, Υ µια ακολουθίατ.µ.. Ε ι λέον θεωρούµε µιατ.µ.ηο οία ικανο οιεί την συνθήκη Ε [Χ] <. Τότε η ακολουθία των τ.µ.. Χ 0, Χ,, Χ, δηλαδή η στοχαστική διαδικασία { } 0 { } 0 { } 0 ου ορίζεται ως: Χ Ε [ΧΥ 0, Υ,, Υ ] είναι martigale σε σχέση µε την. Η ονοµάζεται και διαδικασία του Doob

8 Martigales Έστω t ένασύνολο ληροφορίαςτοο οίοτίθεταιστηνδιάθεσηκά οιου ουέχειτην ευθύνη των α οφάσεων στο χρόνο t. Ορισµός 6: Έστω { t, t Œ [0, )} µια οικογένεια συνόλων ληροφορίας τα ο οία γίνονται γνωστά ακολουθιακά συνεχώς. Θα λέµε ότι η οικογένεια αυτή α οτελεί ένα φιλτράρισµα αν γιαο οιαδή οτε k, m,έχουµεότι k Œ m Œ Œ γιακάθε k, m,.

9 Martigales Ορισµός 7: { } t t0 { } t0 t t { } t t0 Έστω µια στοχαστική διαδικασία και µια οικογένεια ληροφορίας. Θα { } 0 λέµε ότι η σ.δ. είναι ροσαρµοσµένη στην οικογένεια ληροφορίας αν για κάθε t το σύνολο της ληροφορίας ου εριέχεται στην τ.µ. Χ t υ άρχει στο σύνολο ληροφορίας t. Με άλλα λόγια η τ.µ. Χ t θα είναι γνωστή όταν δίνεται το σύνολο ληροφορίας t Ορισµός 8: Έστω µια σ.δ. ληροφορίας (α) Η { } t t0 { } t t0 { } 0. Θα λέµε ότι είναι martigale σε σχέση µε µια οικογένεια και σε σχέση µε το µέτρο ιθανότητας p,εάνγιακάθεt,2,. t είναι ροσαρµοσµένη στην οικογένεια ληροφορίας t { } t0 (β) Σεσχέσηµετοµέτρο ιθανότητας pισχύει Ε[Χ t ]<,t0,,2, (γ) Ισχύει Ε[Χ t 0,,, t ]Χ t,t0,,2, t t t

10 Martigales *Παράδειγµα martigale: Ένα κλασσικό αράδειγµα σχετικά µε τις διαδικασίες martigale είναι το ακόλουθο: Ας θεωρήσουµε διαδοχικές ρίψεις ενός τίµιου νοµίσµατος και ας ορίσουµε για την -ρίψη την τ.µ. καθώςκαιτηντ.µ. κορώνα Ανθεωρήσουµε ένα αιχνίδικατάτοο οίοένας αίκτης οντάρει στοναέρθει κορώνα(κερδίζει ανέρθεικορώνακαιχάνει ανέρθουνγράµµατα)τότεητ.µ. S µας δίνει την εριουσία του αίκτη στην χρονική στιγµή (θεωρούµε ότι ξεκίνησε µε εριουσία 0) γράµµατα S i i

11 Martigales Ας ορίσουµε σαν την σ-άλγεβρα ου αράγεται α ό τις τ.µ. Χ,Χ 2,,Χ. Είναι φανερό ότι η τυχαία µεταβλητή είναι ανεξάρτητη α ό την σ-άλγεβρα ( το α οτελέσασα δηλαδή της ρίψης δεν εξαρτάται α ό την ιστορία των ροηγούµενων ρίψεων.) έτσι ώστε Ε οµένωςηs είναιέναmartigaleσεσχέσηµετην ουσηµαίνειότιο αίκτης αναµένει να έχει στην ()-ρίψη την ίδια εριουσία ου είχε στην -ρίψη, δεδοµένης της ιστορίας του αιχνιδιού [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] S S S S S S 2 ) ( 2

12 Martigales *Παράδειγµα supermartigale: Στο ίδιο αιχνίδι αν τα γράµµατα(ο αίκτης χάνει) έχουν µεγαλύτερη ιθανότητα α ό την κορώνα, τότε η S είναι ένα supermartigale σε σχέση µε την αφού ροκύ τει ότι *Παράδειγµα submartigale: Στο ίδιο αιχνίδι αν η κορώνα(ο αίκτης κερδίζει) έχει µεγαλύτερη ιθανότητα α ό τα γράµµατα, τότε η S είναι ένα submartigale σε σχέση µε την αφού ροκύ τει ότι [ S ] S [ S ] S

13 Martigales *Άσκηση: Έστω µια ακολουθία α ό ανεξάρτητες όµοια κατανεµηµένες τυχαίες µεταβλητές (Υ i ), i,2, γιατιςο οίεςισχύει Ορίζουµε την τ.µ. k [ 2 i 2 2 ] 0, [ ] σ, i 2 σ i,2,... Ν.δ.ο. η Χ είναι µια martigale ως ρος το φιλτράρισµα ου αράγεται α ό τις µεταβλητές Υ καιτοο οίοαςτοσυµβολίσουµεµε σ(υ,,υ ) k

14 Martigales Παράδειγµα 2: Μια χρηµατιστηριακή εταιρεία ουλάει δικαιώµατα αγοράς συνεχώς, τα ο οία έχουν βάση διαφορετικά εριουσιακά στοιχεία. Το αναµενόµενο κέρδοςήζηµίαείναι ε ερασµένογιακάθεέναα όταδικαιώµατααγοράς.ηαξία των εριουσιακών στοιχείων σχηµατίζεται ανεξάρτητα του κάθε ενός α ό όλα τα άλλα. Το αναµενόµενο κέρδος α ό κάθε δικαίωµα αγοράς για την χρηµατιστηριακή εταιρεία είναι µηδέν, ικανο οιώντας έτσι την αρχή του oarbitrage.αν Χ είναιτοσυνολικόκέρδοςήζηµίατηςεταιρείαςα ότηνυλο οίηση δικαιωµάτων αγοράς, δείξτε ότι αν εξακολουθεί να ε ενδύει σε δικαιώµατα αγοράς, τότε είναι ένα martigale σε σχέση µε το κέρδος ή την ζηµία α ό τα δικαιώµατα αγοράς.

15 Martigales Παράδειγµα 3: Μία εταιρία Α έτυχε να εισαχθεί στο χρηµατιστήριο του Λονδίνου και η αρχική τιµή της µετοχής της ορίστηκε να είναι S 0. Έστω S k η τιµή της µετοχής αυτής k ηµέρες µετά την είσοδο της εταιρίας στο χρηµατιστήριο. Ορίζουµε την τ.µ. Χ k {τ.µ ου είναι ο αριθµός µε τον ο οίον ρέ ει να ολλα λασιάσουµε την τιµή της µετοχήςτηνηµέρα(k-)γιανα άρουµετηντιµήτηςτηνηµέραk,δηλτην S k } S k k S k- k, 2, Οι Χ,, Χ, είναι µια ακολουθία τ.µ. µη αρνητικών. Ε ειδή ο αριθµός των µετοχών στοχρηµατιστήριοτουλονδίνουείναιµεγάλος,θεωρούµεότιοι Χ,, Χ, ανεξάρτητες και ε ειδή είναι ιδιαίτερα σταθερό θεωρούµε ότι Ε [Χ k ] για κάθε k. Ν.δ.ο η S 0, S,, S k, είναιέναmartigale ως ροςτην Χ,, Χ,

16 Martigales Παράδειγµα 4: Έστω ότι ένας ε ενδυτής έχει ένα αρχικό χρηµατικό οσό 0 στο χρόνο 0 α ό το ο οίο και ε ενδύει οσό W 0 σε µια ε ένδυση ου α οφέρει τυχαίο κέρδος για κάθε χρηµατική µονάδα ε ένδυσης. Το µ ορεί να είναι θετικό(κέρδος) ή αρνητικό(ζηµία) Στο χρόνο,οε ενδυτήςθαέχει οσό 0 W0 Α ό αυτό θα α οφασίζει (µε βάση το Χ ) ότι θα ε ενδύσει οσό W και οµοίως στο χρόνο 2θαέχει οσό 2 W 2 κοκ

17 Martigales Έστω η ληροφορία ουέχουµεστοχρόνο γιατηνκατάστασητηςαγοράς Οε ενδυτήςθαα οφασίσειτο οσό W ουθαε ενδύσειστοχρόνο γνωρίζονταςτην ληροφορία καιόχικά οιαµελλοντική ληροφορία.(w είναι - µετρήσιµη) Στοχρόνο θαγνωρίζουµετοκέρδοςα ότηνε ένδυσηµιαςχρηµατικήςµονάδας άρα η είναι - µετρήσιµη. Υ οθέτουµε ε ίσης ότι στο χρόνο ο ε ενδυτής βλέ ει την συγκεκριµένη ε ένδυση ως ένα«δίκαιο τυχερό αιχνίδι», ότι δηλαδή α οφέρει µέσο κέρδος σε κάθε βήµα ( ) 0

18 Martigales Η ακολουθία των τιµών Χ, Χ 2, είναι ροσαρµοσµένη στην ιστορία 2 (η τιµήτης Χ είναιγνωστήστοχρόνο )καιε ίσης ( ) ( ) ( ) ( ) W W (υ οθ.ότι0 W a,γιακά οιοa ΙR). Άρα το συνολικό κέρδος του ε ενδυτή Χ, Χ 2, στους χρόνους,2, αντίστοιχα, είναι martigale, ο οιαδή οτε ε ενδυτική στρατηγική W 0, W, και αν ακολουθήσει (αρκεί ό ως είδαµε να συµµετέχει σε ένα«δίκαιο τυχερό αιχνίδι»). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W W W

19 Martigales Χρόνος στάσης Ορισµός : Έστωένας χώρος(ω,, P)καιµιαιστορία 0,Œ Œ Œ.Μιατυχαίαµεταβλητή. τ: Ωö[0,,2,.]ονοµάζεται χρόνος στάσης(ήχρόνοςδιακο ής)αν [τ]œ Ορισµός 2: Έστω µια στοχαστική διαδικασία η ο οία έχει αριθµήσιµο χώρο καταστάσεων και ορίζεται σε ένα χώρο ιθανοτήτων (Ω,, P). Μια τ.µ. τ ορισµένη σε αυτό το χώρο ονοµάζεται χρόνος στάσης εάν αίρνει µόνο µη αρνητικές ακέραιες τιµές και αν για κάθεµηαρνητικόακέραιο τοενδεχόµενο{ω : τ(ω) } ροσδιορίζεται λήρωςα ότις Χ 0, Χ,, Χ { } t t0

20 Martigales Χρόνος στάσης Αν sκαι τδύοχρόνοιστάσηςγιατηνστοχαστικήδιαδικασία s τ mi{s,τ} max{s,τ} { } t t0 τότεκαιοι: είναιχρόνοιστάσηςγιατην { } t t0

21 Martigales Χρόνος στάσης Στο Παράδειγµα 4 ο ε ενδυτής α οφασίζει να διακόψει την ε ενδυτική του στρατηγική στον χρόνο ή στον χρόνο 2 ή στο χρόνο 3, κ.ο.κ. ανάλογα µε την ληροφορία ου θα γνωρίζει µέχρι εκείνη την στιγµή. Αν τ είναι ο χρόνος στον ο οίον διακό τει την ε ενδυτική στρατηγική του τότε ροφανώςθαείναι[τ]œ,γιατίοε ενδυτήςθαγνωρίζειαν θασταµατήσειή όχι στον χρόνο (δηλ τ ) µόνο όταν φτάσει στο χρόνο, δηλαδή γνωρίζει την ληροφορία Άρααυτόςοχρόνοςείναιένας χρόνος στάσης.