ΕΞΕΤAΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2002 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α

Transcript

1 ΕΞΕΤAΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α ) Τα εξαρτήματα ενός μηανήματος συνδέονται ως εξής : Όλα τα εξαρτήματα έουν αξιοιστία ρ. Να βρέθει η αξιοιστία του μηανήματος. (5%) Θεωρούμε αξιοιστία Έουμε την σύνδεση εξαρτημάτων με αξιοιστία ρ. ζητάμε την αξιοιστία(ιθανότητα) του μηανήματος. Έτσι έουμε : Ρ(Ε )* Ρ(Ε )* Ρ(Ε )* * Ρ(Ε )*[ Ρ(Ε ) Ρ(Ε ) Ρ(Ε )]*[ Ρ(Ε ) Ρ(Ε 5 )] ) Γίνεται μια μελέτη για την λειψυδρία μιας όλης κατά τον μήνα Αύγουστο. Να αρουσιαστεί αναλυτικά όλη η ιθανοθεωρητική θεώρηση θεωρώντας όλες τις τυαίες μεταβλητές κανονικές (5%) Αρικά θεωρούμε όλες τις τυαίες κατανομές συνεείς. Έστω ότι η υδροδότηση μιας όλης γίνεται αό τρεις ηγές Π,Π,Π. ου ακολουθούν κανονικές κατανομές, ( Π, Π, Π οι ημερήσιες αροές ). Έστω Π Ν (,), Π Ν (5,), Π Ν (,). Θεωρούμε ότι η ζήτηση είναι είσης συνεής κατανομή, κανονική με Ζ Ν(5, ). Το ζητούμενο είναι έστω να βρεθεί η ιθανότητα έλλειψης μία ημέρα. Για --

2 να έουμε έλλειψη ρέει Ζ > Π Π-Ζ <. Θεωρούμε Φ Π-Ζ. Η Φ θα είναι είσης κανονική κατανομή με μ σ 5,77 Θέλουμε την ιθανότητα 5 ( Φ < ) Φ( ) Φ(,97) Φ(,97),88,8 5,77 Έστω ότι ζητούσαμε την έλλειψη τουλάιστον ημέρες την εβδομάδα. Θα λυθεί με διωνυμική κατανομή ( δοκιμές Bernoulli). ( X ) ( X ) () () (X ),7 Β) Θεωρούμε την ζήτηση ίδια με το ροηγούμενο αράδειγμα συνεή κατανομή με Z Ν(5, ) και την αροή διακριτή με Π με ιθανότητα,7 ή Π 75 με ιθανότητα,. (έλλειψη) ( Ε Π ) * ( Π ) ( Ε Π 75) * ( Π 75) (έλλειψη) ( K > )*,7 ( K > 75)*, Φ,7,,8 Φ ) Γιατί στην μελέτη αντοής ενός σκυροδέματος θεωρούμε την αντοή του Α Ν(μ,σ), αν και η κανονική κατανομή αίρνει και αρνητικες τιμές. Είναι άντα αοδετή αυτή η θεώρηση; (5%) Θεωρούμε ότι η αντοή είναι κανονική κατανομή με Α Ν(μ,σ) και ότι σεδόν οτέ δεν αίρνει αρνητικές τιμές. Πράγματι, Ρ(Α<) Φ(-μσ)Φ(-μσ)-Φ(μσ)> ου ισύει για μσ>.5 ροσεγγιστικά. Το αραάνω ισύει και οότε με ικανοοιητική ροσέγγιση θεωρούμε ότι η αντοή είναι κανονική κατανομή. Μελετάμε τον τύο σκυροδέματος C: τότε μkm και σ<. Άρα μσ>.5 --

3 ) Έστω Χ τ.μ. με συνάρτηση ιθανότητας ()-[], -, σταθερά. Αν Χ, Χ,.. Χ έουν την ίδια συνάρτηση ιθανότητας να βρεθεί η Ρ <Χ Χ <) (%) αν -<< () - αν << αλλού ( ) ( ) ( ) d d d Ε() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) μ E d d d d --

4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),85,7 σ σ σ d d d d Ν : (,,85) Ν : (*,,8* ) : (,.8) Μ, σ,8 ( ) ( ) ( ),8,8, < < φ φ φ φ Ή 8.% 5) Έστω οι Χ και Υ έουν την αό κοινού συνάρτηση ιθανότητας αν τρίγωνο Ι (,) (), τριγωνο ΙΙ --

5 Είναι οι Χ, Υ ανεξάρτητες ; να βρεθεί η Ε(Χ) και η Var Y (%) Οι Χ.Υ έουν αό κοινού συνάρτηση ιθανότητας. ¼, <<, << (,) (), <<, << () () Για να είναι τα Χ,Υ, ανεξάρτητα θα ρέει: FX,Y(,)FX() FY() Για και έουμε : FX,Y(,).5*.5.5 άρα τα, δεν είναι ανεξάρτητα, Για το με()σ()*()*().75 Για το με()σ()*()*().75 Για το Var(Y)Σ(-μ ) ().75 *.5.5 *.75.5 *.5.97 ) Δίνεται ότι η έει ομοιόμορφη συνάρτηση ιθανοτήτας στο [α.β]. δίνεται είσης και το δείγμα Χ, Χ,.Χν. Να γίνει εκ τιμηση των αραμέτρων α.β με την μέθοδο των ροών. (5%) Εφόσον η Χ είναι ομοιόμορφη τυαία μεταβλητή ισύει ότι : () C αν α β αλλού -5-

6 Αό συνθήκη κανονικοοίησης έουμε : ( ) d d β α β α β α β α θα γίνει εκτίμηση των αραμέτρων με τη μέθοδο των Ροών. Ε() () E( ) () Αό τις αραάνω σέσεις ροκύτει ότι : Ε() ν n i i και Ε( ) ν n i i Εομένως : Ε() Ε( ) β a β ( ) d d και β α α β β ( ) d α a d β α αβ Αό τις σέσεις (,) ροκύτει ότι : α β () a aβ β Με τη βοήθεια των σέσεων (,) και με τον εριορισμό α<β έουμε: () a β --

7 ΜΕΡΟΣ Β (%) ) Υοθέτουμε ότι τα δικινητήρια και τετρακινητήρια αερολάνα έουν ιδίου τύου μηανές με αξιοιστία Ρ. υοθέτουμε ότι ένα αερολάνο ραγματοοιεί μια έιτυη τήση αν λειτουργούν τουλαιστον τα 5% των μηανών του. Να βρεθεί για οιες τιμές της Ρ ένα τετρακινιτήριο αερολάνο είναι ιο ασφαλές Δικινητήριο : η ιθανότητα να λειτουργούν όλες είναι : ρ η ιθανότητα να λειτουργεί μία είναι : ρ(-ρ) η ιθανότητα να λειτουργεί τουλάιστον μία είναι : Ρ (>)ρ ρ(-ρ)ρ ρ-ρ ρ-ρ ρ(-ρ) Τετρακινητήριο : Η ιθανότητα να λειτουργούν τουλάιστον δύο: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 θέτουμε Ρ (>) > Ρ (>) ( ) ρ ρ ρ,7 ρ μιγαδικές λύσεις ρ -7-

8 Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Η Για ρ.7 έουμε : Για ρ.8 έουμε : Για ρ. έουμε : ( ) ( ). 9 ( ) ( ) ( ).8 ( ). 8 ) α) Ειλέγουμε ένα αριθμό στην τύη μεταξύ και, και ένα δεύτερο αριθμό στην τύη μεταξύ και. να βρεθεί η ιθανότητα το γινόμενο τους να είναι μεγαλύτερο του. Β) υοθέτουμε ότι η θ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο {-,]. Να βρεθεί η ιθανότητα το sinθ> Γ) έστω τυαία μεταβλητή με συνάρτηση ιθανότητας (), E R, E R, σταθερά Να βρεθεί η συνάρτηση ιθανότητας της ΥΧ Ειλέγω τυαία ένα αριθμό μεταξύ και, και ένα άλλο μεταξύ και. Α*Β> > ΧΥ>>ΥΧ Θα άρω τα σημεία άνω αό την υερβολή ΥΧ η εριοή ου ζητάμε -8-

9 η εριοή αυτή είναι : ln... d άρα η Ρ-LN Β) θέλουμε την ιθανότητα sinθ > Sinθ > > θ >,98 rad και θ < Για να ισύει Sinθ >, με το να είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη Στο [-,], θα ρέει να ισύει,98 < θ< εομένως η ζητούμενη ιθανότητα είναι : Ρ(,98 < θ < ) Η θ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη και άρα ισύει : C αν < < F() Αλλού ) ( ) ( ) ( Ε Ε d d d d -9-

10 Var() E( )-(E()) σ σ συνεώς έουμε : θ Ν(, ) Ρ(,98<θ<) ( ) ( ),,5,958,75,7 *,98,98 Φ Φ Φ Φ Φ Φ ο Γ) : έουμε τυαία μεταβλητή με συνάρτηση ιθανότητας Φ() R R,, η σταθερά. Για την συνάρτηση ιθανότητας έουμε d Για την συνάρτηση κατανομής ( ) ( ) d d F για την συνάρτηση ιθανότητας της ΥΧ Έστω () η συνάρτηση ιθανότητας της Υ. Αρκεί να βρώ την συνάρτηση κατανομής της Υ, έστω F () F ()(Y ) F Εομένως : --

11 ( ) ( ) [ ] ) ( Y F Y ) Έστω τυαία μεταβλητή Χ Ν(θ,σ ). Δίνεται και το δείγμα,. ν [η σ θεωρείται άγνωστη. Να βρεθεί η αμερόλητη εκτιμήτρια για την θ