Ο Βέλτιστος Φωρατής. Σεραφείµ Καραµπογιάς

Transcript

1 Ο Βέλτιστος Φωρατής Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο φωρατής σήµατος, µε τη βοήθεια ενός κανόνα απόφασης, βασιζόµενος στην παρατήρηση του διανύσµατος, λαµβάνει µία απόφαση ως προς το µεταδιδόµενο σύµβολο, έτσι ώστε να µεγιστοποιείται η πιθανότητα σωστής απόφασης. Απουσία της λαµβανόµενης πληροφορίας, η καλύτερη απόφαση είναι να επιλέξουµε το σήµα πουέχειτηµεγαλύτερηεκτωνπροτέρων (a-pioiπιθανότητα P(. Μετά τηλήψητηςπληροφορίας οι a-pioiπληροφορίες P( αντικαθίστανται απότις εκ των υστέρων (a - poteioi πιθανότητες P ( σήµα στάλθηκε,,,, P( Το κριτήριο απόφασης το οποίο βασίζεται στην επιλογή του σήµατος που αντιστοιχεί στο µέγιστοτουσυνόλουτων a-poteioi πιθανοτήτωνελαχιστοποιείτηνπιθανότητασφάλµατος. Αυτό το κριτήριο απόφασης καλείται κριτήριο µέγιστης εκ των υστέρων πιθανότητας (axiu a poteioi pobability AP

2 Οι a-poteioi πιθανότητες µπορούν να εκφραστούν ως επίσης ισχύει f P ( ( f ( P( k f ( P( f ( k k Παρατηρούµεότιουπολογισµόςτων a-poteioi πιθανοτήτων P( απαιτείγνώσητων a- pioi πιθανοτήτων P( καιτωνυποσυνθήκη PDF f( για,,,. Αντα σήµαταείναι ισοπίθανα τότε η µεγιστοποίηση της πιθανότητας P( οδηγείστη µεγιστοποίησητηςυπόσυνθήκηπυκνότηταςπιθανότητας f (. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

3 Η υπό συνθήκη PDF ή οποιαδήποτε µονότονη συνάρτηση αυτής καλείται συνάρτηση πιθανοφάνειας (likelihood funtion Τοκριτήριοαπόφασηςπουβασίζεταιστηµεγιστοποίησητης f ( πάνωσεόλαταδυνατά σήµατα καλείται κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας (axiu-likelihood (L iteion Ένας φωρατής ο οποίος βασίζεται στο AP κριτήριο και ένας άλλος ο οποίος βασίζεται στο L κριτήριο παίρνουν τις ίδιες αποφάσεις όταν οι a-pioi πιθανότητες είναι όλες ίσες. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-3

4 Για ένα AWGN κανάλι είναι ( N f k k ( exp,,,, N ( N π N k Ανεπιλέξουµετοφυσικόλογάριθµοτου f ( έχουµε ln f ( N N ln k k N k ( π N ( Σεραφείµ Καραµπογιάς Ηµεγιστοποίησητου ln f ( ωςπρος ισοδυναµείµετηνεύρεσητουσήµατος το οποίο ελαχιστοποιεί την Ευκλείδεια απόσταση D N, k ( ( k k Οιποσότητες D (,,,,,, καλούνταιµετρικέςαπόστασης (ditane eti. Για AWGN κανάλι, ο κανόνας απόφασης ο οποίος βασίζεται στο κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας (L, απλοποιείταιστηνεύρεσητουσήµατος τοοποίοείναιτοπλησιέστερο στο λαµβανόµενο διάνυσµα. Ο κανόνας αυτός απόφασης χαρακτηρίζεται ως φώραση ελάχιστηςαπόστασης (iniu ditane detetion Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-4

5 Μία άλλη ερµηνεία του βέλτιστου κανόνα απόφασης. Οι Ευκλείδειες αποστάσεις γράφονται και ως N (, ( D n n n Σεραφείµ Καραµπογιάς Αν αµεληθεί ο κοινός όρος που είναι κοινός σε όλεςτιςµετρικέςέχουµεένασύνολο τροποποιηµένων µετρικών αποστάσεων D (, +,,,, Τοκριτήριοµέγιστηςπιθανοφάνειαςεπιλέγειτοσήµα (t τοοποίο µεγιστοποιείτην f ( ήτο ln f ( πάνωσεόλαταδυνατά σήµατα (t, (t,, (t. Τοκριτήριο είναι ισοδύναµο µε την ελαχιστοποίηση της Ευκλείδειας απόστασης D(,. Είναι επίσης ισοδύναµο µε τη µεγιστοποίηση της τροποποιηµένης µετρικής απόστασης. C ( η οποίες αποτελούν τις µετρικές συσχέτισης. N N N + n n n n n n n +,,,,, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

6 Οόρος αντιπροσωπεύειτηνπροβολήτουλαµβανόµενουδιανύσµατοςπάνωσεκάθεένα από τα δυνατά µεταδιδόµενα διανύσµατα σήµατος. Η τιµή κάθε µίας από αυτές τις προβολές είναι ένα µέτρο της συσχέτισης µεταξύ του λαµβανόµενου διανύσµατος και του στου σήµατος Γιατολόγοαυτότα C (,,,,, καλούνταιµετρικέςσυσχέτισηςγιατηλήψη απόφασης του σήµατος που µεταδόθηκε. Οι όροι E,,,, µπορούν να θεωρηθούν ως όροι αντιστάθµισης σε περιπτώσεις συνόλου σηµάτων µε άνισες ενέργειες. Αν τα σήµατα δεν είναι ισοπίθανα, ο βέλτιστος AP φωρατής βασίζει την απόφασή του στις πιθανότητες P (,,,,, ( ( P( f ( η, ισοδύναµα, στιςµετρικές a-poteioi πιθανότητας P f (, f ( P( P Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-6

7 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµπογιάς υαδικά αντίποδα σήµατα χρησιµοποιούνται για τη µετάδοση πληροφορίας µέσα από AWGN κανάλι. Οι a-pioiπιθανότητεςτωνδύοσυµβόλων (bitείναι p p /. α Καθορίστε το βέλτιστο κανόνα απόφασης µέγιστης πιθανοφάνειας του φωρατή. β ΒρείτετηπιθανότητασφάλµατοςσυναρτήσειτουλόγουE b /N. Λύση Σύµφωνα µε το κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας (axiu-likelihood (L iteion επιλέγεταιαπόταμπιθανάµεταβιβαζόµενασήµατααυτότοοποίοµεγιστοποιείτην f (. Για τοκριτήριοέχειτηµορφή. f f ( ( f f ( ( S S ( Eb σ e n ( + E E b ( Eb b S πσ n σ n e e ( + Eb σ n σ e n S πσ n Λογαριθµίζοντας την σχέση το κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας είναι Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-7

8 Παράδειγµα Θεωρείστε την περίπτωση σηµάτων δυαδικού PA κατά την οποία τα δύο δυνατά σηµεία σήµατοςείναι E b, όπου E b είναιηενέργειαανά bit. Οι a-pioiπιθανότητεςείναι P( p και P( p. Καθορίστε τις µετρικές για το βέλτιστο AP φωρατή εάν το µεταδιδόµενο σήµα διαβρώνεται από AWGN θόρυβο. Λύση Το λαµβανόµενο σήµα είναι Οι δύο υπό συνθήκη PDF του είναι ± E b + y n ( f ( E b σ n ( e f ( πσ n ( + E σ b n e πσ n Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-8

9 Οιδύουπόσυνθήκη PDF του είναι f ( E b σ n ( e f ( πσ n ( + E σ b n e πσ n Οιµετρικές a-poteioiπιθανότητας (, P( f( P,, είναι P ( p f ( ( E σ b n, e πσ n p P ( ( p f ( p ( + E σ b n, e πσ n Ο κανόνας απόφασης εκφράζεται ως P P ( (, S, S Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-9

10 Αλλά P P ( (, ( + E ( E S, p b b exp p σ n S λαµβάνοντας το λογάριθµο έχουµε ήισοδύναµα ( E ( E + b b 4 E b p ln σ σ S p Ο βέλτιστος φωρατής υπολογίζει το µέτρο συσχέτισης κατώφλι N 4 ln p ( ( p E b n S S n σ p N p ln ln p 4 p n S C (, Eb και το συγκρίνει µε το Παρατηρούµεαν p /, τοκατώφλι είναιίσοµεµηδένκαιδεναπαιτείταιγνώσητουν στο φωρατή. Στην περίπτωση των άνισων a-pioi πιθανοτήτων, για τον υπολογισµό του κατωφλίου είναι αναγκαίο να γνωρίζουµε όχι µόνο τις τιµές των a-pioi πιθανοτήτων αλλά και την τιµή τηςφασµατικήςπυκνότηταισχύος N. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

11 Αν R είναιηπεριοχήτουν-διάστατουχώρουγιατηνοποίααποφασίζουµεότιµεταδόθηκετο σήµα (t όταν λαµβάνεται το διάνυσµα (,,, N. Η υποσυνθήκη πιθανότητα εσφαλµένηςαπόφασης, δεδοµένουότιµεταδόθηκετο (t, είναι όπου R είναιτοσυµπλήρωµατου R. P e f R d Η µέση πιθανότητα σφάλµατος είναι P e P e f R d R f d Σηµειώνουµε ότι η πιθανότητα P(e ελαχιστοποιείται επιλέγοντας το, εάν η υποσυνθήκη πιθανότητα f ( είναιµεγαλύτερηαπό f ( k γιαόλατα k. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

12 Όµοια, στην περίπτωση χρήσης του AP κριτηρίου, εάν τα σήµατα δεν είναι ισοπίθανα, η µέση πιθανότητα σφάλµατος είναι P e P f R d Το P(e ελαχιστοποιείται όταντασηµείαπουθασυµπεριληφθούνσεκάθε περιοχή R είναι αυτάγιαταοποίατο P( υπερβαίνειόλεςτιςάλλες a-poteioiπιθανότητες. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

13 Ηδιαµόρφωσηκαιηαποδιαµόρφωσηστηµετάδοσησήµατος. Η διαµόρφωση χρησιµοποιεί το σήµα πληροφορίας (t για να µεταβάλλει το πλάτος ενός ηµιτονοειδούςφέροντος A o(πf t + φ. u(t (t z(t (t Κανάλι (t A o ( π f t+ ϕ (α ιαµορφωτής Το διαµορφωµένο σήµα είναι u( t o ( π t+ϕ f Χαµηλοπερατό Φίλτρο (βσύγχρονη (ήσύµφωνηαποδιαµόρφωση ( f t ϕ A ( to π + Το λαµβανόµενο σήµα απουσία θορύβου µέσω ιδανικού καναλιού είναι ( t u( t A ( to ( π f t+ ϕ Ο πολλαπλασιασµός του (t µε ένα τοπικά παραγόµενο ηµιτονοειδές σήµα δίνει ( to ( π ft+ ϕ A ( to( π ft+ ϕ o( π ft+ ϕ A ( to( ϕ ϕ + A ( to( 4π f t+ ϕ+ ϕ Το σήµα αυτό διέρχεται µέσα από ιδανικό χαµηλοπερατό φίλτρο µε εύρος-ζώνης W. Η έξοδος του φίλτρου είναι yl ( t A ( t o( ϕ ϕ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων y l

14 Μελέτη της διαµόρφωσης και αποδιαµόρφωσης στο πεδίο συχνότητας ( f A W Το φάσµα του µηνύµατος για ένα αυθαίρετο (t f W f f f + W U ( f A A W + f f W W f f + W Το φάσµα U( f του διαµορφωµένου σήµατος f f f + f Z ( f f + f απόκριση φίλτρου διέλευσηςχαµηλ. συχν. f W f f f W f + + W W W W f Το φάσµα Ζ( f του σήµατος στην είσοδο του φίλτρου Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων f

15 οµή αποδιαµορφωτή-φωρατή για τους διάφορους τύπους ψηφιακής διαµόρφωσης Η αποδιαµόρφωση ενός µονοδιάστατου ζωνοπερατού ψηφιακού PA σήµατος µπορεί να επιτευχθεί µέσω συσχέτισης ή µέσω χρήσης προσαρµοσµένων φίλτρων. Η παρουσία φέροντος εισάγει µία πρόσθετη επιπλοκή κατά την αποδιαµόρφωση. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

16 Αποδιαµόρφωση και φώραση σηµάτων διαµορφωµένων κατά πλάτος φέροντος Το µεταδιδόµενο PA σήµα σε ένα διάστηµα σηµατοδοσίας έχει τη µορφή u Το λαµβανόµενο σήµα είναι ( t A g ( to(π f t, t ( t A g ( to(π f t + n( t, t όπου n(t είναι ζωνοπερατή διαδικασία θορύβου η οποία αναπαρίσταται ως n( t n ( to(π f t n ( tin(π f t Η συσχέτιση του λαµβανόµενου σήµατος (t µε τη συνάρτηση βάσης δίνει ( t ψ ( t dt ψ ( t g ( to(π ft E g A g ( to (π ft dt+ n( t ψ ( t dt A + E Eg g n όπου n είναι η συνιστώσα του προσθετικού θορύβου στην έξοδο του συσχετιστή. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-6

17 Ανάκτηση Φάσης-Φέροντος Στην πιο πάνω ανάλυση υποθέσαµε ότι η συνάρτηση ψ(t είναι τέλεια συγχρονισµένη µε τη συνιστώσασήµατοςτου (t τόσοχρονικάόσοκαικατάτηφάσητουφέροντοςγιατο PA. Λαµβανόµενο σήµα ( dt ( t ( t + n( t ψ (t t ειγµατολήπτης Προς φωρατή + n o( π f t (t g Γεννήτρια παλµών σήµατος Ρολόι Συγχρονισµός συµβόλου k Ταλαντωτής Ιδανική αποδιαµόρφωση ζωνοπερατού ψηφιακού PA σήµατος. Η αποδιαµόρφωση του ζωνοπερατού PA σήµατος, όπως περιγράφεται στο παραπάνω σχήµα είναιιδανική, αλλάόχιεφικτή. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-7

18 Στηνπράξηόµως, αυτέςοιιδανικέςσυνθήκεςδενισχύουν. Πρώτα από όλα, η καθυστέρηση διάδοσης, που συναντάται στη µετάδοση ενός σήµατος µέσα από ένα κανάλι, έχει ως αποτέλεσµα τη µετατόπιση φάσης του φέροντος στο λαµβανόµενο σήµατοοποίοέχειτηµορφή ( t A g ( to(π f t+ ϕ + n( t, t εύτερον, οταλαντωτής, ο οποίοςδηµιουργείτοφέρονσήµα o(πf t στοδέκτη, δενείναι ενγένει κλειδωµένος σε φάση µε τον ταλαντωτή που χρησιµοποιείται στον ποµπό. Στην πράξη οι ταλαντωτές συνήθως ολισθαίνουν σε συχνότητα και φάση µε αποτέλεσµα η συνάρτηση βάσης να είναι ψ ( t g ( to π f + f t+ ˆ ϕ E g Η συσχέτιση του λαµβανόµενου σήµατος (t µε τη συνάρτηση βάσης δίνει ( t ψ ( t dt A Eg o π f t+ ϕ ˆ ϕ + n Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-8

19 Λαµβανόµενο σήµα (t t ( dt ειγµατολήπτης Φωρατής εδοµένα εξόδου PLL o( π f t ˆ ϕ (t g Γεννήτρια παλµών σήµατος Ρολόι Αποδιαµόρφωση ζωνοπερατού ψηφιακού (ASK PA σήµατος µε τη χρήση ζωνοπερατής συσχέτισης Λαµβανόµενο σήµα (t Ζωνοπερατό προσαρµοσµένο φίλτρο ειγµατολήπτης Φωρατής εδοµένα εξόδου PLL o( π f t ˆ ϕ Ρολόι Αποδιαµόρφωση ζωνοπερατού ψηφιακού (ASK PA σήµατος µε τη χρήση ζωνοπερατού προσαρµοσµένου φιλτραρίσµατος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-9

20 Βέλτιστος φωρατής Σεραφείµ Καραµπογιάς Στην περίπτωση ιδανικής (χωρίς απόκλιση εκτίµησης φάσης του φέροντος έχουµε φ φ, και η είσοδος στον φωρατή είναι το άθροισµα σήµατος και θορύβου που δίδεται από την E g ( t ψ ( t dt A + n Όπως και στην περίπτωση PA βασικής ζώνης, για ισοπίθανα σύµβολα, ο βέλτιστος φωρατής βασίζει την απόφασή του στις µετρικές απόστασης D ή, ισοδύναµα, στιςµετρικέςσυσχέτισης C (, (,,,..., (,,,,..., Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

21 Αποδιαµόρφωση και Φώραση Σηµάτων ιαµορφωµένων κατά Φάση-Φέροντος Το λαµβανόµενο ζωνοπερατό σήµα στην έξοδο του AWGN καναλιού στο διάστηµα σηµατοδοσίας t, µπορεί να εκφραστεί ως ( t u [ A ( t + n( t g ( t + n ( t]o(π f t [ A g ( t + n ( t]in(π f όπου n(t είναιζωνοπερατόςπροσθετικός Gauian θόρυβοςκαι A, A είναιοισυνιστώσες του σήµατος που φέρει την πληροφορία και οι οποίες συσχετίζονται µε την µεταδιδόµενη φάση φέροντος σύµφωνα µε τις t A o π και A in π,,..., Το λαµβανόµενο σήµα συσχετίζεται µε τις ψ ( t E ( to(π f g t g και ψ ( t E ( tin (π f g t g Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

22 Οι έξοδοι των δύο συσχετιστών παρέχουν τις δύο διαβρωµένες µε θόρυβο συνιστώσες του σήµατος όπου + n E o π + n, E in + n π n g ( t n ( t dt E g και n g ( t n( t dt E οιορθογώνιεςσυνιστώσεςτουθορύβου n (t και n (tέχουνµηδενικήµέσητιµή E[n ] E[n ] και E[n n ] και διακύµανση E n E n g ( t g ( τ E n ( t n ( τ Eg g dt dτ N g E g ( t dt N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

23 Οβέλτιστοςφωρατήςπροβάλλειτολαµβανόµενοδιάνυσµα σεκάθεένααπότα δυνατά µεταδιδόµενα διανύσµατα σήµατος { } και επιλέγει το διάνυσµα που αντιστοιχεί στη µεγαλύτερη προβολή, δηλαδή, υπολογίζει τα µέτρα συσχέτισης C (,,,,..., και επιλέγει το διάνυσµα σήµατος που δίνει τη µεγαλύτερη συσχέτιση. Επειδή όλα τα σήµατα (σύµβολα έχουν την ίδια ενέργεια, µία ισοδύναµη µετρική φώρασης για ψηφιακή διαµόρφωση κατά φάση είναι ο υπολογισµός της φάσης του λαµβανόµενου διανύσµατος (, Θ tan καιηεπιλογήεκείνουτουσήµατοςαπότοσύνολο { } τουοποίουηφάσηείναιπλησιέστερη στοθ. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-3

24 Εκτίµηση της Φάσης Φέροντος Σεραφείµ Καραµπογιάς εδοµένου ότι σε οποιοδήποτε σύστηµα διαµόρφωσης φέροντος οι ταλαντωτές που χρησιµοποιούνται στον ποµπό και στο δέκτη δεν είναι ενγένει κλειδωµένοι σε φάση στο δέκτη το λαµβανόµενο σήµα έχει τη µορφή φ ( t A g ( to(π f t+ φ A g ( tin(π f t+ φ n( t + όπου είναι η απόκλιση φάσης του φέροντος. Αυτή η απόκλιση φάσης πρέπει να υπολογιστεί στο δέκτη (µε τη βοήθεια ενός PLL και να χρησιµοποιηθεί στην αποδιαµόρφωση του λαµβανόµενου σήµατος. Εποµένως το λαµβανόµενο σήµα πρέπει να συσχετισθεί µε τις ορθογώνιες συναρτήσεις βάσης ( π f ˆ φ ψ ( t g ( to t+ E g και όπουφˆ είναι η εκτίµηση της φάσης του λαµβανόµενου σήµατος. ( π f ˆ φ ψ ( t g ( tin t+ E g Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-4

25 Λαµβανόµενο σήµα PLL Ολίσθηση φάσης 9 ο ( π f ˆ φ ψ ( t o t+ ( dt ( π f ˆ φ ψ ( t in t+ ( dt Προς φωρατή Προς φωρατή Αποδιαµόρφωσησηµάτων PSK (γιαορθογώνιοπαλµό g (t. Εάν η ψηφιακή πληροφορία διαβιβάζεται µε χρήση διαµόρφωσης φέροντος -φάσεων, µπορεί ναχρησιµοποιηθείένα PLL γιατηνεκτίµησητηςαπόκλισηςφάσηςτουφέροντος. ΓιαΜ, το PLL τετραγωνισµούήοβρόχος Cotaείναιάµεσαεφαρµόσιµοι. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

26 Για Μ >, το λαµβανόµενο σήµα µπορεί πρώτα να υψωθεί στη Μ-στη δύναµη. Λαµβανόµενο σήµα ιάταξη ύψωσης στη Μ-στη δύναµη Ζωνοπερατό φίλτρο συντονισµένο στην f o ( π f t+ φ in Σεραφείµ Καραµπογιάς Φίλτρο βρόχου ( π f t ˆ + φ ιαιρέτης συχνότητας Μ VCO in ( π f ˆ t+ φ o ( π f ˆ t+ φ φάσης 9 ο αποδιαµόρφωση Ολίσθηση Προς Εκτίµηση φάσης φέροντος -αδικών σηµάτων PSK Αντολαµβανόµενοσήµα (t έχειτηµορφή ( t ( t + n( t g ( to π ft+ φ+ π + n( t καιπεράσουµετο (t µέσααπόµίαδιάταξηύψωσηςστημ-στηδύναµη, τοσήµαεξόδουθα περιέχειαρµονικέςτουφέροντος f. Ηαρµονικήτηνοποίαεπιθυµούµεναεπιλέξουµεγιατην οδήγησητου PLL είναιηo(π f t + φ. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-6

27 ιαφορικάσύµφωνο PSK (Diffeentially Coheent PSK Η επίδοση της ιδανικής διαµόρφωσης/αποδιαµόρφωσης σύµφωνης-φάσης επιτυγχάνεται σε µεγάλο βαθµό σε τηλεπικοινωνιακά συστήµατα τα οποία µεταδίδουν και ένα σήµα φέροντος ταυτόχρονα µε το σήµα πληροφορίας. Όταν δεν µεταδίδεται ξεχωριστό σήµα-φέροντος, ο δέκτης πρέπει να εκτιµήσει τη φάση του φέροντος από το λαµβανόµενο σήµα. Ηφάσηστηνέξοδοτουεκτιµητή (PLL έχειασάφειεςσεπολλαπλάσιατου π/μ. Το διαφορικό σύµφωνο PSK (DPSK παρακάµπτει τη ανάγκη σύµφωνου σήµατος αναφοράς στο δέκτη. Η διαφορική κωδικοποίηση, η οποία γίνεται στον ποµπό, επιτρέπει την αποκωδικοποίηση των δεδοµένων στο φωρατή ακόµη και απουσία ασαφειών φάσης. Στη διαφορική κωδικοποίηση, η πληροφορία που διαβιβάζεται στο διάστηµα ενός συµβόλου αποτυπώνεταιστηδιαφοράφάσηςτουσυµβόλουαυτούµετοπροηγούµενότου. Τα διαµορφωµένα κατά φάση σήµατα, τα οποία προκύπτουν από αυτήν τη διαδικασία κωδικοποίησης, καλούνται διαφορικά κωδικοποιηµένα σήµατα. Η κωδικοποίηση εκτελείται µ' ένασχετικάαπλόλογικόκύκλωµαπουπροηγείταιτουδιαµορφωτή. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-7

28 Η αποδιαµόρφωση και φώραση του διαφορικά κωδικοποιηµένου διαµορφωµένου κατά φάση σήµατος µπορεί να επιτευχθεί όπως περιγράφηκε στην προηγούµενη ενότητα, χρησιµοποιώντας δηλαδή την έξοδο ενός PLL για την αποδιαµόρφωση. Η φάση του λαµβανόµενου σήµατος στο φωρατή, Θ tan - ( /, απεικονίζεταισεµίααπότις δυνατέςφάσειςτουσήµατος {θ }, η οποίαείναιπλησιέστερηπροςτηνθ. Ένας απλός συγκριτής ο οποίος ακολουθεί το φωρατή, συγκρίνει τις φάσεις του σήµατος σε δύο διαδοχικά διαστήµατα για να εξάγει τη µεταδιδόµενη πληροφορία. Συνεπώς, οι ασάφειες φάσης π/ καθίστανται αβλαβείς για την ανάκτηση πληροφορίας. Ένα, διαφορικά κωδικοποιηµένο, διαµορφωµένο κατά φάση σήµα επιτρέπει επίσης έναν άλλο τύπο αποδιαµόρφωσης, που δεν απαιτεί τον υπολογισµό της φάσης του φέροντος. Αντ' αυτού, η φάση του λαµβανόµενου σήµατος σε οποιοδήποτε διάστηµα σηµατοδοσίας συγκρίνεται µε τη φάσητουλαµβανόµενουσήµατοςστοπροηγούµενοδιάστηµασηµατοδοσίας. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-8

29 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων Αποδιαµορφώνουµε το διαφορικά κωδικοποιηµένο σήµα πολλαπλασιάζοντας το (t επί o (π f t και in (π f t και ολοκληρώνοντας τα δύο γινόµενα πάνω στο διάστηµα. Η έξοδος του αποδιαµορφωτή για το k-στο διάστηµα σηµατοδοσίας είναι k j k n e k + ( φ θ E όπουθ k είναιηφάσητουµεταδιδόµενου σήµατοςστο k-στοδιάστηµασηµατοδοσίας, φείναιη φάσητουφέροντοςκαι n k n k + jn k είναιτοδιάνυσµαθορύβου. Όµοια, το λαµβανόµενο διάνυσµα σήµατος στην έξοδο του αποδιαµορφωτή στο προηγούµενο διάστηµα σηµατοδοσίας είναι ( + k j k n e k φ θ E Η µεταβλητή απόφασης για τον ανιχνευτή φάσης είναι η διαφορά φάσης µεταξύ των δύο αυτών µιγαδικών αριθµών. Ισοδύναµα, µπορούµε να προβάλλουµε το k πάνω στο k- και να χρησιµοποιήσουµε τη φάση του µιγαδικού αποτελέσµατος, δηλαδή, * * ( * ( ( k k k j k j j k k n n n e n e e k k k k φ θ φ θ θ θ E E E

30 k j( θk θ k j( θk φ * j( θk φ * k E e + E e nk + E e nk + n k n * k τοοποίοαπουσίαθορύβου, δίδειτηδιαφοράφάσηςθ k -θ k-. Εποµένως, ηαναµενόµενητιµή του k k- είναι ανεξάρτητη της φάσης του φέροντος. H διαφορικά κωδικοποιηµένη PSK σηµατοδοσία, για την οποία χρησιµοποιείται η αποδιαµόρφωση και φώραση που περιγράφηκε πιοπάνωκαλείταιδιαφορικό PSK (DPSK. Προσαρµοσµένο φίλτρο ΒΒ ειγµατολήπτης Λαµβανόµενο σήµα (t Ταλαντωτής o( π f t+ ϕ Καθυστέρηση κατάτ Συγκριτής φάσης Απόφαση εξόδου in( π f t+ ϕ Προσαρµοσµένο φίλτρο ΒΒ ειγµατολήπτης ιάγραµµα βαθµίδων αποδιαµορφωτή DPSK. Εάνοπαλµός g (t είναιορθογώνιος, ταπροσαρµοσµέναφίλτραµπορούννααντικατασταθούν µε ολοκληρωτές, και καλούνται φίλτρα ολοκλήρωσης-και-µηδενισµού (integate and dup filte. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-3

31 Αποδιαµόρφωση και φώραση σηµάτων QA Σεραφείµ Καραµπογιάς Αςυποθέσουµεότικατάτηµετάδοσηενόςσήµατος QA µέσααπόένακανάλιηφάσητου φέροντος υφίσταται µία µετατόπιση φ. Επιπρόσθετα, το µεταδιδόµενο σήµα διαβρώνεται από προσθετικό Gauianθόρυβο. Εποµένως, το (t εκφράζεταιως ( t A g ( to(π f t+ ϕ A g ( tin(π f t+ ϕ n( t + Μία εκτίµηση της φάσης του φέροντος φ είναι διαθέσιµη στον αποδιαµορφωτή. Τότε, το λαµβανόµενο σήµα µπορεί να συσχετισθεί µε τις δύο συναρτήσεις βάσης ( π f ˆ ϕ ψ ( t g ( to t+ E g και ψ ( t ( π f ˆ ϕ g ( tin t E g + καιοιέξοδοιτωνσυσχετιστώνδειγµατοληπτούνταικαιοδηγούνται στοφωρατή. A E o( ϕ ˆ ϕ + A E in( ϕ ˆ ϕ + n in( ˆ ϕ n o( g g ϕ Σηµειώνεται ότι A E in( ϕ ˆ ϕ + A E o( ϕ ˆ ϕ + n in( ˆ ϕ n o( g g ϕ EE g ˆ ˆ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-3

32 A E o( ϕ ˆ ϕ + A ( dt ( π f ˆ φ ψ ( t g ( to t E g + E in( ϕ ˆ ϕ + n ειγµατολήπτης Σεραφείµ Καραµπογιάς in( ˆ ϕ n o( g g ϕ ˆ Λαµβανόµενο σήµα (t Αποδιαµόρφωση καιφώραση QA σηµάτων. o π f + ˆ t φ PLL in π f + ˆ t φ A E Ολίσθηση φάσης 9 ο ( dt g (t ( π f ˆ φ ψ ( t g ( tin t E g + in( ϕ ˆ ϕ + A E Ρολόι ειγµατολήπτης o( ϕ ˆ ϕ + n Υπολογισµός µέτρων απόστασης D( Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων in( ˆ ϕ n Φωρατής o( g g ϕ ˆ

33 Παρατηρούµεότιτοαποτέλεσµατηςατελούςεκτίµησηςφάσηςείναιδιπλό. Σεραφείµ Καραµπογιάς και οι έξοδοι των συσχετιστών δειγµατοληπτούνται και οδηγούνται στο φωρατή είναι A E o( ϕ ˆ ϕ + A in( ϕ ˆ ϕ + n in( ˆ ϕ n o( g g ϕ A E in( ϕ ˆ ϕ + A Πρώτον, τοπλάτοςτωνεπιθυµητώνσυνιστωσώνσήµατοςστα και ελαττώνεταικατάένα παράγοντα o(φ φ µεαποτέλεσµα, το SNR ναελαττώνεταικατάέναπαράγοντα o (φ φ εύτερον, υπάρχει µία διαρροή µεταξύ των ορθογώνιων συνιστωσών σήµατος στο επιθυµητό σήµα. Αυτήηδιαρροήσήµατος, ηοποίαείναιανάλογηµετονπαράγοντα in(φ φ, προκαλεί σηµαντική υποβάθµιση της επίδοσης του συστήµατος εκτός εάν η διαφορά φ φ είναι πολύ µικρή. Τα σχόλια αυτά δείχνουν πόσο σηµαντική είναι η ακριβής εκτίµηση της φάσης του φέροντος στηναποδιαµόρφωση QA σηµάτων. E E o( ϕ ˆ ϕ + n in( ˆ ϕ n o( g g ϕ ˆ ˆ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

34 Ο βέλτιστος φωρατής υπολογίζει τα µέτρα απόστασης D(, καιεπιλέγειτοσήµατοοποίοαντιστοιχείστηµικρότερητιµήτου D(,. Εάνχρησιµοποιηθεί µετρική συσχέτισης αντί µετρικής απόστασης, δεν θα πρέπει να αγνοηθεί το γεγονός ότι οι µετρικέςσυσχέτισηςπρέπειναχρησιµοποιήσουνδιόρθωσηαπόκλισηςδεδοµένουότιτα QA σήµαταδενέχουνίσηενέργεια. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

35 Αποδιαµόρφωση και Φώραση Σηµάτων FSK Σεραφείµ Καραµπογιάς Ας υποθέσουµε ότι τα FSK σήµατα µεταδίδονται µέσω καναλιού προσθετικού λευκού Gauian θορύβου. Επιπλέον, υποθέτουµε ότι κάθε σήµα καθυστερεί κατά τη µετάδοση µέσα από το κανάλι. Συνεπώς, το φιλτραρισµένο λαµβανόµενο -στο (,,, σήµα στην είσοδο του αποδιαµορφωτή µπορεί να εκφρασθεί ως ( π f t+ π f t+ n( ( t E o ϕ + t όπου φ δηλώνει την ολίσθηση φάσης του -στου σήµατος (εξαιτίας της καθυστέρησης διάδοσης και n(t n (to(πf t n (t in(πf t αντιπροσωπεύει τον προσθετικό ζωνοπερατό θόρυβο. 3 f + f f f + f f f Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-3

36 Η αποδιαµόρφωση και φώραση των -αδικών FSK σηµάτων µπορεί να επιτευχθεί µε δύο τρόπους. Μία τεχνική είναι να εκτιµήσουµε τις ολισθήσεις φάσης φ και να εκτελέσουµε αποδιαµόρφωση και φώραση σύµφωνης-φάσης (phae-oheent deodulation and detetion. Η άλλη τεχνική είναι να αγνοηθούν οι φάσεις στην αποδιαµόρφωση και φώραση των FSK σηµάτων. Η µέθοδος αυτή καλείται ασύµφωνη αποδιαµόρφωση και φώραση (nonoheent deodulation and detetion. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

37 Κατά την αποδιαµόρφωση σύµφωνης-φάσης, το λαµβανόµενο σήµα (t συσχετίζεται µε κάθε ένααπότα δυνατά σήµατα o(π f t + π f t + φ,,,,, όπου φ είναι οιεκτιµήσειςτηςφάσηςφέροντος. PLL o ( π t+ ϕ f dt ˆ ειγµατοληψία t Λαµβανόµενο σήµα (t PLL o ( dt π t+ π f t+ ϕ f ˆ ειγµατοληψία t Φωρατής Απόφαση εξόδου ( dt ειγµατοληψία t PLL o π f t+ π ( f t+ ˆ ϕ Αποδιαµόρφωση σύµφωνης-φάσης -αδικών FSK σηµάτων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

38 Είναι ενδιαφέρον να σηµειώσουµε ότι εάν φ φ,,,, - (ατελείς εκτιµήσεις φάσης, η συχνοτική απόσταση που απαιτείται για τη διατήρηση της ορθογωνιότητας στον αποδιαµορφωτή, είναι f /, η οποία είναι διπλάσια της ελάχιστης απόστασης για ορθογωνιότηταότανφ φ. Η απαίτηση της εκτίµησης των Μ φάσεων καθιστά τη σύµφωνη αποδιαµόρφωση των FSK σηµάτων εξαιρετικά πολύπλοκη και µη πρακτική, ιδιαίτερα όταν ο αριθµός των συµβόλων είναι µεγάλος. Εποµένως, δενθαασχοληθούµεµετησύµφωνη αποδιαµόρφωση FSK σηµάτων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

39 Λαµβανόµενο σήµα (t o(π in (π f f t t o[ π ( f + f t in[ π ( f + f t ] ] ( ( ( ( dt dt dt dt ειγµατοληψία t ειγµατοληψία t ειγµατοληψία t ειγµατοληψία t Φωρατής Απόφαση εξόδου o π in π f f + ( f + ( f t t ( ( dt dt ειγµατοληψία t ειγµατοληψία t Αποδιαµόρφωση -αδικών FSK σηµάτων για ασύµφωνη φώραση. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

40 in π f + ( k f t Λαµβανόµενο σήµα (t o π f + ( k f t ( ( dt dt ειγµατοληψία t ειγµατοληψία t k k k E in π ( k f π ( k f o( ϕ o π ( k f π ( k f in(ϕ + n k k E o π ( k f π ( k f o( ϕ in π ( k f π ( k f in(ϕ + n k όπου n k και n k δηλώνουν τις συνιστώσες του Gauian θορύβου στις δειγµατοληπτηµένες εξόδους του αποδιαµορφωτή. Παρατηρούµε ότι για k, οι δειγµατοληπτηµένες τιµές στο φωρατή είναι oϕ + n k E k k inϕ + n k E k k ενώ για k, οι δειγµατοληπτηµένες τιµές στο φωρατή είναι (όταν f / k n k k n k Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-4

41 Ησυνδυασµένη PDF των και δεδοµένουτουφείναι f (, ϕ πσ e E oϕ + σ E inϕ καιγια k έχουµε f ( k, k k πσ e + σ k k εδοµένωντων Μτιµώντωντυχαίωνµεταβλητών { k, k, k,,,}, οβέλτιστοςφωρατής επιλέγει το σύµβολο το οποίο αντιστοιχεί στο µέγιστο από τις a-poteioi πιθανότητες P( µεταδόθηκε P(,,,..., όπουτο είναιένα -διάστατοδιάνυσµαµεστοιχεία { k, k }, k,,,. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-4

42 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων ΒέλτιστοςΦωρατήςγια υαδικό FSK Στο δυαδικό ορθογώνιο FSK (BFSK, οι δύο a-poteioi πιθανότητες είναι ( ( ( ( f P f P ( ( ( ( f P f P ( ( P P ο βέλτιστος κανόνας απόφασης µπορεί να εκφρασθεί ως ή ισοδύναµα, ( ( ( ( ( ( f P f f P f όπου είναιτοτετραδιάστατοδιάνυσµα (,,,. ( ( ( ( P P f f Ο λόγος πιθανοφάνειας, δηλώνεται ως Λ( και είναι ίσος µε ( ( ( f f Λ

43 Αποδεικνύεται ότι βέλτιστος κανόνας απόφασης αποκτά τη µορφή Λ( I E + I E + σ σ P( P( όπου I (x είναι η τροποποιηµένη συνάρτηση Beel µηδενικής τάξης. Η συνάρτηση αυτή είναιµίαµονότονααύξουσασυνάρτηση. H I (x έχει το ακόλουθο ανάπτυγµα σε δυναµοσειρά I ( x k k k x ( k! I ( x Γραφικήπαράστασητης I (x. x Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

44 Εποµένως, ο βέλτιστος φωρατής υπολογίζει τις δύο περιβάλλουσες + + και τις αντίστοιχες τιµές της συνάρτησης Beel I E I σ E σ για να βρει το λόγο πιθανοφάνειας. Στη συνέχεια ο λόγος πιθανοφάνειας συγκρίνεται µε το κατώφλι P( P( γιανακαθορισθείποιοσύµβολοµεταδόθηκε. Παρατηρούµεότι ο υπολογισµός αυτόςαπαιτεί γνώση της διακύµανσης θορύβουσ και της ενέργειαςτουσυµβόλου E Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

45 Εάν τα δύο σήµατα είναι ισοπίθανα τότε είναι δυνατή µία σηµαντική απλοποίηση της υλοποίησης του βέλτιστου φωρατή. Στην περίπτωση αυτή, το κατώφλι είναι ίσο µε µονάδα και δεδοµένης της µονοτονίας της συνάρτησης Beel, ο κανόνας απόφασης του βέλτιστου φωρατή απλοποιείται στον + + Εποµένως, ο βέλτιστος φωρατής βασίζει την απόφασή του στις δύο περιβάλλουσες + + και γι' αυτό καλείται φωρατής περιβάλλουσας (envelope deteto. Παρατηρούµε ότι ο υπολογισµός των περιβαλλουσών των λαµβανόµενων δειγµάτων στην έξοδοτουαποδιαµορφωτήκαθιστάτιςφάσειςφέροντος φ αδιάφορεςσχετικάµετοποιο σήµα µεταδόθηκε. Ισοδύναµα, η απόφαση µπορεί να βασισθεί στον υπολογισµό των τετραγώνων τωνπεριβαλλουσών και, περίπτωση κατά την οποία οφωρατής καλείται φωρατήςνόµου-τετραγώνων (quae-law deteto. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-4

46 o(π f t in (π f t dt ειγµατοληψία t Λαµβανόµενο σήµα (t o[ π ( f + f t ] dt ειγµατοληψία t Απόφαση in[ π ( f + f t ] dt ειγµατοληψία t dt ειγµατοληψία t Ασύµφωνη αποδιαµόρφωση και φώραση νόµου τετραγώνου για δυαδικά FSK σήµατα. Η γενίκευση του βέλτιστου αποδιαµορφωτή και φωρατή για την περίπτωση -αδικών ορθογώνιων FSK σηµάτων είναι εύκολη. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

47 Πιθανότητα Σφάλµατος στη υαδική ιαµόρφωση Σεραφείµ Καραµπογιάς Ας θεωρήσουµε δυαδικά PA σήµατα βασικής ζώνης, όπου οι δύο κυµατοµορφές σήµατος είναιη (t g (t και (t g (t. όπου g (t είναι ένας οποιοσδήποτε παλµός ο οποίος είναι µη µηδενικός στοδιάστηµα t καιέχειενέργειαίσηµεe b. Ταδύοδυνατάσηµείασήµατοςείναι E b, τασήµατααυτάκαλούνταιαντίποδα. E b E b Σηµεία σήµατος για αντίποδα σύµβολα Οι a-pioi πιθανότητεςείναι P ( pκαι P ( p. Αςυποθέσουµεότιµεταδόθηκετο (t. Τολαµβανόµενοσήµαείναι + n E b + n όπου n y n ( είναι µία µηδενικής µέσης τιµής Gauian τυχαίαδιαδικασίαµεδιακύµανση σ n N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

48 Οι δύο υπό συνθήκη PDF του είναι f ( E b N ( e f π ( N f ( π N e ( + E b N f ( f ( E b E b d E b Υποσυνθήκη PDF των δύο λαµβανοµένων σηµάτων, όταν τα δύο σήµατα είναι ισοπίθανα εδοµένου ότι µεταδόθηκε το (t η πιθανότητα σφάλµατοςείναιναλάβουµε <, δηλαδή, E b N P e f d π N e d Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

49 P e π N e E b N d µε αλλαγή µεταβλητής x E b έχουµε N P e π N Eb e x dx ή λόγω της συµµετρίας της συνάρτησης P e π N Eb e x dx Με τη βοήθεια της συνάρτησης Q έχουµε P e Q E b N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

50 Η µέση πιθανότητα σφάλµατος είναι P b p P e + p P e p Q Σεραφείµ Καραµπογιάς E b N Παρατηρούµεότιηπιθανότητασφάλµατοςεξαρτάταιµόνοαπότολόγο E b /N καιόχιαπότα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των σηµάτων και του θορύβου. Ο λόγος E b / N είναι επίσης και το SNR εξόδου του αποδιαµορφωτή προσαρµοσµένου φίλτρου (ή τύπου συσχέτισης. ΟλόγοςE b /N συνήθωςκαλείταιλόγοςσήµατος-προς-θόρυβο (SNR ή SNR/bit. Ηαπόσταση των δύο σηµείων σήµατος είναι d E b. Η µέση πιθανότητασφάλµατος εκφράζεται µε τη βοήθεια της απόστασης ως P b Q d N Αποδεικνύεται ότι η σχέση αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό της πιθανότητας σφάλµατος οποιουδήποτε δυαδικού συστήµατος το οποίο χρησιµοποιεί δύο ισοπίθανασήµατα. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

51 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµπογιάς Ένα σύστηµα δυαδικού PA χρησιµοποιεί ορθογώνιους παλµούς διάρκειας και πλατών ± A γιατηµετάδοσηψηφιακήςπληροφορίαςσερυθµό R b bp. Εάνηφασµατικήπυκνότητα ισχύοςτουπροσθετικού GauianθορύβουείναιΝ /, όπου N W/Hz,καθορίστετην τιµήτουαπουαπαιτείταιγιαναεπιτύχουµε πιθανότητασφάλµατος P b 6. Λύση εδοµένουότιορυθµόςµετάδοσηςείναι R b bit/e ηχρονικήδιάρκειατου bit είναι b - e. Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικό PA σύστηµα είναι όπουηενέργεια bit είναι E. P b b A b 4,7 Q E N b ( 4, 7 E b N N E Για P ( e -6 έχουµε b,8 εποµένως A b,8 A 6, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

52 Πιθανότητα Σφάλµατος για υαδικά Ορθογώνια Σήµατα ψ ( t (, E d E ( E, ψ ( t Σηµεία σήµατος για ορθογώνια σύµβολα. Αςυποθέσουµεότιµεταδόθηκετο. Τολαµβανόµενοδιάνυσµαείναι Οι µετρικές συσχέτισης είναι [ E b + n, n ] C (, C ( Η πιθανότητα σφάλµατος είναι η πιθανότητα να έχουµε P ( e P C (, > C (,, (, C (, C > ( P( n n > E b. Εποµένως Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

53 Τα n και n είναι µηδενικής µέσης τιµής στατιστικά ανεξάρτητες Gauian τυχαίες µεταβλητές, ηκάθεµίαµεδιακύµανσην /, Ητυχαίαµεταβλητή n n n είναι Gauian µεµέσητιµήµηδένκαιδιακύµανσην. Συνεπώς P n n > E b x N π N E b e dx π e Eb N x dx Όµοιααποδεικνύεταιότιανµεταδοθείτο,, τότεδεδοµένηςτηςσυµµετρίας, λαµβάνουµε την ίδια πιθανότητα σφάλµατος. Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικά ορθογώνια σήµατα είναι P b Q Eb N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-3

54 Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικά αντίποδα σήµατα είναι P b Q Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικά ορθογώνια σήµατα είναι P b Q E b N b E N Παρατηρούµε ότι τα ορθογώνια σήµατα απαιτούν διπλάσια ενέργεια για να επιτύχουν την ίδια πιθανότητα σφάλµατος µε τα αντίποδα σήµατα. Επειδή log 3dB, λέµεότιταορθογώνια σήµατα είναι υποδεέστερα κατά 3 db των αντίποδων σηµάτων. Η διαφορά των 3dB οφείλεται στην απόσταση µεταξύ των δύο σηµείων σήµατος, το τετράγωνο της οποίας είναι d E b γιαταορθογώνιασήµαταενώ d 4E b γιατααντίποδασήµατα. P Πιθανότητασφάλµατος bit 3 4 υαδικά αντίποδα σήµατα Σεραφείµ Καραµπογιάς υαδικά ορθογώνια σήµατα 3 db SNR/bit, db Πιθανότητα σφάλµατος για δυαδικά ισοπίθανα σήµατα Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-4

55 Πρόβληµα Ένα ψηφιακό τηλεπικοινωνιακό σύστηµα βασικής ζώνης, χρησιµοποιεί τα σήµατα ( t ( t A A Σεραφείµ Καραµπογιάς t t για τη µετάδοση δύο ισοπίθανων µηνυµάτων. Θεωρούµε ότι το τηλεπικοινωνιακό πρόβληµα που µελετούµε είναι ένα πρόβληµα µίας µόνον ευκαιρίας, δηλαδή, τα µηνύµατα µεταδίδονται µία µόνο φορά και µετά δεν ακολουθεί καµία µετάδοση. Το κανάλι δεν εισάγει εξασθένηση και οθόρυβοςείναι AWGN µεφασµατικήπυκνότηταισχύος N /.. Βρείτε ένα κατάλληλο σύνολο ορθοκανονικών συναρτήσεων βάσης για την αναπαράσταση των σηµάτων. Η διάσταση του σήµατος είναι. Μία ορθογώνια βάση για το χώρο σήµατος αποτελείται από τα σήµατα ψ ( t,, t αλλιώς ψ ( t,, t αλλιώς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-

56 . Με ένα διάγραµµα βαθµίδων, δώστε τις ακριβείς προδιαγραφές του βέλτιστου δέκτη που χρησιµοποιεί προσαρµοσµένα φίλτρα. Τοποθετείστε προσεκτικά τους τίτλους των βαθµίδων του διαγράµµατος. Ο βέλτιστος δέκτης είναι αυτός του σχήµατος Λαµβανόµενο σήµα (t ψ ( t ψ ( t ειγµατοληψία t ειγµατοληψία t Προς φωρατή 3. Βρείτε την πιθανότητα σφάλµατος του βέλτιστου δέκτη. Υποθέτονταςότιµεταδόθηκετοσήµα (t, τοδιάνυσµαλήψηςστηνέξοδοτουδειγµατολήπτη είναι A + n, n Όπου n και n είναιµηδενικήςµέσηςτιµής Gauian τυχαίεςδιαδικασίαςµεδιακύµανση N /. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-6

57 Ηπιθανότητασφάλµατος P(e είναι P ( ( e P A + n > n ( A n n P > π Ν A / e Nx dx ξ x N π A / N e ξ dξ Q ( A N Επειδήοιτυχαίεςµεταβλητές n και n είναιµηδενικήςµέσηςτιµήςστατιστικά ανεξάρτητες Gauian τυχαίεςµεταβλητές, ηκάθεµίαµεδιακύµανσην /, Ητυχαίαµεταβλητή n n n είναιεπίσης Gauian τυχαίαµεταβλητήµεµέσητιµήµηδένκαιδιακύµανσην. Όµοια βρίσκεται και P ( A e Q N Έτσι έχουµε για τη µέση πιθανότητα σφάλµατος ( ( A e + P e Q P ( e P N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-7

58 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµπογιάς Σε ένα κανάλι προσθετικού λευκού θορύβου µε φασµατική πυκνότητα ισχύος N /, µεταδίδονται δύο ισοπίθανα µηνύµατα χρησιµοποιώντας τα σήµατα t, t A, t ( t ( t, αλλιώς, αλλιώς Καθορίστε τη δοµή του βέλτιστου δέκτη και βρείτε την πιθανότητα σφάλµατος.. Τα δύο ισοπίθανα σήµατα έχουν την ίδια ενέργεια και έτσι ο βέλτιστος δέκτης είναι δυνατό να βασίζεται στον κανόνα απόφασης At ( S ( t ( t dt ( t S ( t dt ή ( ( t ( t dt ( t. Ανµεταδόθηκετοσήµα (t, τότε (t (t + n(t καιοκανόναςαπόφασηςγίνεται S S ( ( t n( t ( ( t ( t + dt ( t ( ( t ( t dt+ n( t ( ( t ( t dt ( ( t ( t dt+ yn ( t S S όπου ( ( t ( t y n n t dt ( είναι τυχαία διαδικασία. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-8

59 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων ( ( Y d n d n E n ( ( ( ( ( ( υ υ υ υ τ τ τ τ σ και διακύµανση Η τυχαία διαδικασία θορύβου έχει µέση τιµή. ( dt t t t n y n ( ( ( [ ] ( dt t t t n E Y E n ( ( ( ( ( [ ] d d n n E ( ( ( ( ( ( υ τ υ τ υ υ τ τ ( ( N d d ( ( ( ( ( υ τ υ τ δ υ υ τ τ ( ( 3 ( ( A N A N N d A d τ τ τ τ τ 6 3 N A A N n Y σ τελικά Εποµένως η συνάρτηση πυκνότητας της τυχαίας διαδικασίας είναι 6 ( 6 ( ( N A x Y e N A x f n π [ ] ( ( ( ( dt t t t n E

60 Ηείσοδοςστοσυγκριτήηοποίαοφείλεταιστοσήµα (t είναι y ( ( t ( ( t ( t dt At At ( A dt A 6 Ηπιθανότητασφάλµατος P(e δίνεταιαπό P A ( e P( + y < 6 n π ( A N / 6 A 6 exp x ( ( A N / 6 dx Q A 6N Όµοια βρίσκεται και P ( e Q 6N και επειδή τα δύο σήµατα είναι ισοπίθανα, η µέση πιθανότητα σφάλµατος δίνεται από A P + ( e P( e P( e Q A 6N Q E N ΌπουE είναι η ενέργεια του µεταβιβαζόµενου σήµατος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-6

61 Πιθανότητα σφάλµατος για -αδικό PA Σεραφείµ Καραµπογιάς Τα -αδικά PA σήµατα βασικής ζώνης αναπαρίστανται γεωµετρικά µε Μ µονοδιάστατα διανύσµατα µε τιµές Eg A,,,..., όπου E g είναιηενέργειατουβασικούπαλµούσήµατος g (t. Οιτιµέςπλάτουςτωνσηµάτων, γιατην περίπτωση ίσων αποστάσεων µεταξύ διαδοχικών E g πλατώνκαισυµµετρικώνως προς την αρχή των αξόνων, µπορούν να εκφρασθούν ως όπου ηαπόσταση µεταξύ διαδοχικών σηµείων σήµατοςείναι E g τασήµατα PA έχουν διαφορετικές ενέργειες Για ισοπίθανα σήµατα, η µέση ενέργεια είναι E a υ + + E E A E g E g A (,,,..., E E g A,,,, g A A ( E g ( E g 3 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-6

62 Ισοδύναµα, µπορούµε να χαρακτηρίσουµε τα σήµατα αυτά σύµφωνα µε τη µέση τους ισχύ, η οποία είναι P Ea υ aυ Η µέση πιθανότητα σφάλµατος για το -αδικό PA µπορεί να καθορισθεί από τον κανόνα απόφασης που µεγιστοποιεί τα µέτρα συσχέτισης εάντασήµαταδενείναιισοπίθανα. 3 E P (, f ( P( Ισοδύναµα, ο φωρατής συγκρίνει την έξοδο του αποδιαµορφωτή µ' ένα σύνολο Μ κατωφλίων, τα οποία τοποθετούνται στα µέσα των διαδοχικών σταθµών πλάτους. g i i+ i+ i+ 3 i+ 4 i+ τ i τ i+ τ i+ τ i+ 3 τ i+ 4 Τοποθέτηση των κατωφλίων τ στα µέσα διαδοχικών σταθµών πλάτους. Εποµένως, η απόφαση λαµβάνεται ευνοϊκά για τη στάθµη πλάτους, η οποία βρίσκεται πλησιέστερα στο. Εάν µεταδοθεί το -στο σήµα, η έξοδος του αποδιαµορφωτή θα είναι E + n g A + n Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-6

63 Η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου είναι P P > E g π N x N E g e dx π e E g x N dx ( Q E N g Αν λάβουµε υπόψη την P aυ Ea υ 3 E g E g 3 P aυ Η πιθανότητα σφάλµατος µπορεί να εκφρασθεί συναρτήσει της µέσης µεταδιδόµενης ισχύος ως ( P Q 6P aυ ( N όπου E au P au Τείναιηµέσηενέργειασυµβόλου. ( P 6E aυ ( N Q Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

64 ( P Επειδή k b µε k log, η πιθανότητα σφάλµατος µπορεί να εκφρασθεί ως ( P Q Q 6P aυ ( N 6 log E ba υ N όπου E baυ P baυ b είναιηµέσηενέργεια ανά bitκαιe baυ / N είναιτοµέσο SNR/bit. P Πιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου SNR/bit, db Πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για σήµατα PA Μ Μ 4 Μ 8 Μ 6 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

65 H είσοδος του φωρατή είναι ( t ψ ( t dt A Ζωνοπερατά PA σήµατα E g ( to ( π ft g E A + + n ( t ψ ( t dt g όπουηgauianτυχαίαµεταβλητή nέχειµέσητιµή E[n] καιδιακύµανσησ n N /. dt n + n Η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου είναι P P Eg > ( Q E N g ΓιατηµέσηµεταδιδόµενηενέργειαE aυ έχουµε E aυ P aυ E έτσι η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου γράφεται ως E g ( E 6 P g a υ Eg 6 ( P Q 6P aυ ( N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-6

66 Πιθανότητα Σφάλµατος PSK µε Αποδιαµόρφωση Σύµφωνης-Φάσης Αν η φάση του µεταδιδόµενου σήµατος u (t είναι το διάνυσµα αναπαράστασης του µεταδιδόµενου σήµατος είναι E, και το διάνυσµα του λαµβανόµενου σήµατος έχει συνιστώσες E n, (, + n Επειδήοι n και n είναισυνδυασµένα Gauianτυχαίεςµεταβλητέςπροκύπτειότιοι και είναισυνδυασµένα Gauianτυχαίεςµεταβλητέςµε E[ ] E, E[ ] καισ σ N / σ. Η συνδυασµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( joint PDF είναι f (, v + πσ e + σ E θ tan Η µετρική φάσης η οποία χρησιµοποιείται από το φωρατή είναι θ tan - ( /. Η συνδυασµένη PDF των τυχαίων µεταβλητών V και Θ λαµβάνεται µε την αλλαγή των µεταβλητώναπό (, σε Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

67 f υ, θ υ πσ V, Θ e υ + E Eυ oθ σ f Θ ( θ Η PDF τηςτυχαίαςµεταβλητήςθ είναι f θ fv υ θ dυ,θ, Θ e π ρ in θ υ e υ ρ oθ όπουέχουµεορίσειτο SNR συµβόλουωςρ E /Ν. dυ ρ ρ 4 ρ ρ Συνάρτησηπυκνότηταςπιθανότητας f Θ (θ γιαρ,,4,. 3,4 θ (ad 3, 4 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-67

68 Όταν µεταδίδεται το u (t, λαµβάνουµε λανθασµένη απόφαση εάν η φάση, εξαιτίας του θορύβου, λάβειτιµές εκτόςτου διαστήµατος π/ Θ π/ P f θ dθ π π Για δυαδική διαµόρφωση κατά φάση, τα δύο σήµατα u (t και u (t είναι αντίποδα η πιθανότητα σφάλµατος είναι P Q Όταν Μ 4 έχουµε ουσιαστικά δύο δυαδικά διαµορφωµένα κατά φάση σήµατα σε δύο ορθογώνιαφέροντα. Ηπιθανότητασωστήςαπόφασης P γιατοσύµβολοτων -bit,λόγωτης στατιστικής ανεξαρτησίας του θορύβου στις δύο ορθογώνιες φέρουσες, είναι P P Η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για Μ 4 είναι Θ E b N Q E b N P4 P E Q b N Q E b N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

69 ΓιαΜ>4, ηπιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου P υπολογίζεται µε αριθµητική ολοκλήρωση της π P f θ dθ π Στο Σχήµα είναι οι γραφικές παραστάσεις της πιθανότητας σφάλµατος συναρτήσει του SNR/bit γιαμ, 4, 8, 6 και 3. Τα γραφήµατα δείχνουν καθαρά το τίµηµα σε SNR/bit καθώςτομαυξάνειπέραντουμ 4. Για παράδειγµα, όταν P -, η διαφορά επίδοσης µεταξύ του Μ 4 και Μ 8 είναι περίπου 4 db, καιηδιαφοράµεταξύτουμ 8 και Μ 6 είναιπερίπου db. Για µεγάλες τιµές του, ο διπλασιασµός του αριθµού των φάσεων απαιτεί επιπρόσθετα 6 db/bit για την επίτευξη της ίδιας επίδοσης. Θ P Πιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου 3 4 Σεραφείµ Καραµπογιάς Σεραφείµ Καραµπογιάς Μ 4 Μ SNR/bit, db Πιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου P για σήµατα PSK Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων Μ 8 Μ 6

70 ρ f θ π o e Θ θ ρ in θ Σεραφείµ Καραµπογιάς Μία προσέγγιση της πιθανότητας σφάλµατος για µεγάλες τιµές του Μ και του SNR µπορεί να επιτευχθείδίνονταςµιαπρώτηπροσέγγισητης f Θ (θ. Για E /N >> και Θ π/, η f Θ (θ προσεγγίζεται καλά ως καιηπιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου P είναι P f θ dθ π π Θ π π ρ π o θ e ρ in θ dθ P u ρ in θ π Q b kρ in e ρ inπ π u du όπου k καιρ E /Ν ke b /Ν k ρ b. Εάν χρησιµοποιείται κώδικας Gay, η ισοδύναµη πιθανότητα σφάλµατος bit στην Μ-αδική διαµόρφωση κατά φάση, προσεγγίζεται πολύ καλά ως P k b P Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-7

71 Πιθανότητα σφάλµατος για το DPSK Σεραφείµ Καραµπογιάς Η πιθανότητα σφάλµατος δυαδικού DPSK είναι P e ρ P Πιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου 3 4 υαδικό PSK P b Q Eb N υαδικό DPSK P b e SNR/bit, db E N b Πιθανότητα σφάλµατος δυαδικού PSK και DPSK Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-7

72 Πιθανότητα σφάλµατος για το QA Σύνολασηµάτων QA 4 σηµείων. Σεραφείµ Καραµπογιάς A d A A 3A d + A A A A A Αστερισµός σήµατος 4-σηµείων αντιστοιχεί σε διαµόρφωση κατά φάση. Αστερισµός σήµατος 4-σηµείων αντιστοιχεί σε σήµα QA δύο πλατών, τεσσάρων φάσεων. P a υ A A A A P a υ + A ηεπίδοσηωςπροςτορυθµόσφαλµάτωντωνδύοσυνόλωνσήµατοςείναιίδια. Μεάλλαλόγια, δεν υπάρχει κάποιο πλεονέκτηµα του συνόλου σηµάτων QA των δύο σταθµών πλάτους σε σχέσηµ' αυτότωντεσσάρωνφάσεων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-7

73 Σύνολασηµάτων QA 8σηµείων. C,C 3,,, 3,, C 3+ 3,,, 3,,,,,,, + 3,,,, Τέσσερις QA αστερισµοί σήµατος των 8 σηµείων µε ελάχιστη απόσταση ίση µε Α Θεωρώντας Τα Τοτρίτοσύνολο Εποµένως, Αυτός δύοοπρώτα αστερισµός τοότι τέταρτο όλα σύνολα απαιτεί τασήµατος σύνολο σηµεία τουµέση Σχήµατος απαιτεί σήµατος είναι µεταδιδόµενη γνωστός προσεγγιστικά είναι περιέχουν ισοπίθανα, ωςισχύ σηµεία ο -db καλύτερος P aυ η µέση λιγότερο σήµατος 3,4A µεταδιδόµενη QA ισχύ ενώαστερισµός οποία από το τα ισχύς τέταρτο ανήκουν δύοείναι πρώτα 8-σηµείων σύνολο σ' και ένα επειδήαπαιτείτηµικρότερηισχύγιαδεδοµένηελάχιστηαπόστασηµεταξύτωνσηµείων.,6-db Pορθογώνιοπλέγµακαιέχουν P aυ 3A aυ,36a λιγότεροισχύαπότοτρίτογιαναεπιτύχειτηνίδιαπιθανότητασφάλµατος... A Pa υ A + A a+ a όπου (a, a είναιοισυντεταγµένεςτωνσηµείωνσήµατοςκανονικοποιηµένεςωςπρος A. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

74 Τα δύο πρώτα σύνολα του Σχήµατος περιέχουν σηµεία σήµατος τα οποία ανήκουν σ' ένα ορθογώνιοπλέγµακαιέχουν P aυ 3A. Τοτρίτοσύνολο απαιτεί µέση µεταδιδόµενη ισχύ P aυ 3,4A ενώ το τέταρτο σύνολο P aυ,36a. Εποµένως, το τέταρτο σύνολο απαιτεί προσεγγιστικά -db λιγότερο ισχύ από τα δύο πρώτα και,6-db λιγότεροισχύαπότοτρίτογιαναεπιτύχειτηνίδιαπιθανότητασφάλµατος. Αυτός ο αστερισµός σήµατος είναι γνωστός ως ο καλύτερος QA αστερισµός 8-σηµείων επειδήαπαιτείτηµικρότερηισχύγιαδεδοµένηελάχιστηαπόστασηµεταξύτωνσηµείων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

75 Σύνολασηµάτων QA 6σηµείων. Κυκλικός QA αστερισµός σήµατος των 6-σηµείων. Τα σηµεία σήµατος σε κάποιο δεδοµένο πλάτος είναι ολισθηµένα σε φάση κατά π/4 σχετικά µε τασηµείασεγειτονικάπλάτη. Αυτόςο6-QA αστερισµόςείναιµίαγενίκευσητουβέλτιστου 8-QA αστερισµού. Όµως, ο κυκλικός 6-QA αστερισµός δεν είναι ο βέλτιστος QA αστερισµός 6-σηµείων γιαµετάδοσηµέσααπό AWGN κανάλι. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3-7

76 Ορθογώνιοι QA αστερισµοί Σεραφείµ Καραµπογιάς Τετραγωνικός αστερισµός σήµατος Μ 6 QA. Τα σήµατα των ορθογώνιων QA αστερισµών έχουν το ξεχωριστό πλεονέκτηµα να δηµιουργούνται εύκολα ως δύο PA σήµατα τα οποία αποτυπώνονται σε ορθογώνιες φέρουσες. Επιπρόσθετα, αποδιαµορφώνονται εύκολα. Αν και για 6 δεν είναι οι βέλτιστοι -αδικοί QA αστερισµοί, η µέση µεταδιδόµενη ισχύς η οποία απαιτείται για δεδοµένη ελάχιστη απόσταση είναι ελάχιστα µεγαλύτερη από αυτήν που απαιτείται από το βέλτιστο -αδικό QA αστερισµό. Για τους λόγους αυτούς, οι ορθογώνιοι -αδικοί QA αστερισµοί είναι οι πλέον χρησιµοποιούµενοιστηνπράξη. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

77 Τα QA σήµαταµεορθογώνιουςαστερισµούς των k σηµείων, όπουτο kείναιάρτιος, ισοδυναµούν µε δύο PA σήµατα σε ορθογώνιες φέρουσες ο αστερισµός των οποίων αποτελείταιαπό k/ σηµεία. Επειδή τα σήµατα στις ορθογώνιες συνιστώσες διαχωρίζονται πλήρως µε τη σύµφωνη φώραση ότανφ φ, ηπιθανότητα σφάλµατος για το QA καθορίζεται εύκολααπό την πιθανότητα σφάλµατος γιατο PA. Η πιθανότητα σωστής (oet απόφασης για το -αδικό QA σύστηµα είναι P P όπου P είναιηπιθανότητασφάλµατοςενός -αδικού PA συστήµατοςµεµέσηισχύτο µισό αυτής του ισοδύναµου QA συστήµατος, δηλαδή, ( P Q 6Eaυ ( N πιθανότητασφάλµατος -αδικού PA P Q 3 E aυ N όπουe aυ /N είναιτοµέσο SNR/σύµβολο. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

78 η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου του -αδικού QA είναι P P Η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου φράσσεται αυστηρά εκ των άνω ως QA P Q 4Q 4Q 3 ke baυ ( N 3ρ 3E aυ ( N γιαοποιοδήποτε k, όπου E baυ /N είναι το µέσο SNR/bit. P Πιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου Σεραφείµ Καραµπογιάς SNR/bit, db Πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για συστήµατα τετραγωνικού QA Μ 4 Μ 6 Μ 64 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων

79 Σύγκριση Μ-QA µε -PSK Σεραφείµ Καραµπογιάς Η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου στη Μ-αδική PSK Η πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου στη Μ-αδική QA P QA 4Q 3ρ P PSK Q ρ in Επειδή η πιθανότητα σφάλµατος καθορίζεται κυρίως από το όρισµα της συνάρτησης Q, µπορούµε απλά να συγκρίνουµε τα ορίσµατα της συνάρτησης Q στις δύο εκφράσεις πιθανότητας σφάλµατος. 3 ( in ( π Γιαπαράδειγµα, όταν 4 έχουµε R, δηλαδή, το 4-PSK και το 4-QA επιτυγχάνουν συγκρίσιµη επίδοσηγιατοίδιο SNR/σύµβολο. Απότηνάλληπλευρά, ότανμ> 4 βρίσκουµε R >, έτσι ώστε το Μ-αδικό QA έχει καλύτερη επίδοση απόότιτο -αδικό PSK. R π Πλεονέκτηµατου -QA σεσύγκρισηµετομ-psk log R,6 4, 7, 9,9 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-79

80 Πιθανότητα σφάλµατος για -αδικά ορθογώνια σήµατα Για ορθογώνια σήµατα ίσης ενέργειας, ο βέλτιστος φωρατής επιλέγει το σήµα το οποίο εµφανίζει τη µεγαλύτερη διασυσχέτιση µεταξύ του λαµβανόµενου διανύσµατος και καθενός απόταμδυνατάδιανύσµατασήµατος, δηλαδή C k k,,,..., k Αςυποθέσουµεότιµεταδόθηκετοσήµα. Τότε, τολαµβανόµενοδιάνυσµασήµατοςείναι E..., + n, n, n3, n και οι έξοδοι της συστοιχίας των Μ συσχετιστών είναι C C C E E+ n E n E n Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8

81 Η PDF της εξόδου του πρώτου συσχετιστή E + n είναι f ( x π N e x E N Σεραφείµ Καραµπογιάς Η PDF τωνυπολοίπων εξόδων των συσχετιστών είναι x f ( x e N,,3,..., π N Ηπιθανότητασωστήςαπόφασης, δηλαδή, ηπιθανότητατο ναείναιµεγαλύτεροαπόκάθε µίαεκτωνυπολοίπων εξόδωντωνσυσχετιστών n, n 3,, n Μ είναι P P n < n3 <,, n < f (, d Επειδήτα είναιστατιστικάανεξάρτητα, ησυνδυασµένηπιθανότηταπαραγοντοποιείταισ' ένα γινόµενο περιθώριων πιθανοτήτων της µορφής P n < f ( x dx,,3,..., π N x e dx Q N Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8

82 Η πιθανότητα σωστής απόφασης είναι P Q N f ( d και η πιθανότητα σφάλµατος ενός συµβόλου των k-bit είναι Τελικά P P P Q( x π x E N e dx Η ίδια έκφραση για την πιθανότητα σφάλµατος λαµβάνεται εάν µεταδοθεί οποιοδήποτε από τα άλλαμ σήµατα. Επειδήόλατα σήµαταείναιισοπίθανα, ηέκφρασηγιατο P είναικαιηµέσηπιθανότητα σφάλµατοςσυµβόλου. Ηέκφρασηαυτήµπορείναυπολογισθείαριθµητικά. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8

83 P P b Πιθανότητασφάλµατος bit 3 4 Σεραφείµ Καραµπογιάς Πιθανότητα σφάλµατος bit στη σύµφωνη φώραση ορθογωνίων σηµάτων SNR/bit, db Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-83

84 Ένα φράγµα ένωσης (union bound της πιθανότητας σφάλµατος. Καθώς k, ήισοδύναµα, καθώς, ηπιθανότητασφάλµατοςπροσεγγίζειεκθετικάτο µηδέν, υπότηνπροϋπόθεσηότι E b /N είναιµεγαλύτεροτου ln, δηλαδή, Το απλό άνω-φράγµα για την πιθανότητα σφάλµατος της Εξίσωσης Ι υπονοεί ότι εφόσον SNR >,4dB, µπορούµεναεπιτύχουµεαυθαίρεταµικρό P. P P < Eb e ( E ln k N < e b E e < e N k keb N k b N > ln,39 (,4 db ( E N ln Χρησιµοποιώντας πιο εξειδικευµένες τεχνικές οριοθέτησης, αποδεικνύεται ότι το άνω-φράγµα τηςεξίσωσηςιείναιαρκετάαυστηρόγια E b /N < 4ln. Εάν E b /N > 4ln, ένααυστηρότεροάνω-φράγµαγιατο P είναιτο Το,6 db είναι το ελάχιστο απαιτούµενο SNR/bit για να επιτύχουµε αυθαίρετα µικρή πιθανότητα σφάλµατος στο όριο καθώς k, (. Αυτό το ελάχιστο SNR/bit (,6 db καλείται όριο Shannon για ένα κανάλι προσθετικού λευκού Gauian θορύβου. E b N > ln,693 (,6dB Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-84 I II

85 Πιθανότητα σφάλµατος για -αδικά διορθογώνια σήµατα Ένα σύνολο k διορθογώνιων σηµάτων κατασκευάζεται από / ορθογώνια σήµατα συµπεριλαµβάνονταςτααντίποδάτουςσήµατα. Έτσι επιτυγχάνεται µια ελάττωση της πολυπλοκότητας του αποδιαµορφωτή των διορθογώνιων σηµάτων ως προς αυτόν των ορθογώνιων σηµάτων, αφού ο πρώτος υλοποιείται µε Μ/ συσχετιστές ή προσαρµοσµένα φίλτρα ενώ ο δεύτερος απαιτεί Μ συσχετιστές ή προσαρµοσµέναφίλτρα. Για να υπολογίσουµε την πιθανότητα σφάλµατος για το βέλτιστο φωρατή, ας υποθέσουµε ότι µεταδόθηκετοσήµα (t µεαντίστοιχηγεωµετρικήαναπαράστασητοδιάνυσµα E,,,, Το λαµβανόµενο διάνυσµα σήµατος είναι E + n, n, n3,..., n όπου n είναι µηδενικής µέσης τιµής, στατιστικά ανεξάρτητες και όµοια κατανεµηµένες Gauianτυχαίεςµεταβλητέςµεδιακύµανσησ n N /. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8

86 C k k, k,,..., Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο βέλτιστος φωρατής αποφασίζει υπέρ του σήµατος που αντιστοιχεί στη µεγαλύτερη σε µέτρο τιµή των συσχετίσεων Το πρόσηµο του µεγαλύτερου αυτού όρου χρησιµοποιείται για να αποφασισθεί αν µεταδόθηκε το (t ήτο (t. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-86

87 Σύµφωνα µ' αυτόν τον κανόνα απόφασης, η πιθανότητα σωστής απόφασης είναι ίση µε την πιθανότητατο E + n > καιτο ναείναιµεγαλύτεροτων n, για, 3,, /. P n < > π N e x N dx π N N x e dx η πιθανότητα σωστής απόφασης είναι όπου f ( π N P e N x E π N N e dx f d E και µε αλλαγή µεταβλητής υ έχουµε N υ+ E N x P π E υ+ E N N e dx e υ dυ ηπιθανότητασφάλµατοςσυµβόλουείναι P P. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-87

88 Πιθανότητα σφάλµατος συµβόλου για διορθογώνια σήµατα. P Πιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου Μ Όριο χωρητικότητας καναλιού (-,6dB Σεραφείµ Καραµπογιάς SNR/bit, db Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-88

89 Πιθανότητα σφάλµατος σύµφωνης φώρασης FSK σηµάτων ΥποθέτουµεότιταΜσήµαταείναι a-pioiισοπίθανακαιότιµεταδόθηκετοσήµα (t στο χρονικόδιάστηµα t. Τα µέτρα απόφασης που θα χρησιµοποιήσει ο φωρατής είναι οι Μ περιβάλλουσες E o ϕ+ n E in ϕ+ n +,,,, n,,3,, n,,3,, Οισυνιστώσεςπροσθετικούθορύβου n και n είναιστατιστικάανεξάρτητες Gauian τυχαίεςµεταβλητέςµηδενικήςµέσηςτιµήςµετηνίδιαδιακύµανσησ N /. Οι PDF των τυχαίων µεταβλητών στην είσοδο του φωρατή είναι f f (, π σ (, πσ e e + + E σ + σ I E + σ,3,, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-89

90 Κάνονταςαλλαγήµεταβλητώναπό και στιςπολικές καιθ ως + σ θ tan Η ορίζουσα του Jaobian πίνακα είναι σ o θ σ in θ J, d d dθ d d d dθ d det J, σ oθ σ inθ σ inθ σ oθ σ Οισυνδυασµένες PDF τωντυχαίωνµεταβλητών R καιθ στηνείσοδοτουφωρατήείναι f f R R, θ e, Θ π, Θ, θ e π E N + I E N,,3,, Απότιςσυνδυασµένες PDF βρίσκονταιοιπεριθώριες PDF τωντυχαίωνµεταβλητών R καιθ. εδοµένουότιητυχαίαµεταβλητήθ είναιοµοιόµορφακατανεµηµένηστοδιάστηµα [, π, ο παράγοντας /π εξαλείφεται και έτσι βρίσκουµε ότι η τυχαία µεταβλητή R ακολουθεί κατανοµή Rie, ενώ κάθε µία από τις τυχαίες µεταβλητές R,, 3,, ακολουθεί κατανοµή Rayleigh. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-9

91 Η πιθανότητα σωστής απόφασης είναι P P R < R3 <,, R <, P R <, R <, R < R 3, x R Επειδή οι τυχαίες µεταβλητές R,, 3,, είναι στατιστικά i.i.d., η συνδυασµένη πιθανότηταδεσµευµένηστο R, παραγοντοποιείταισεέναγινόµενο ταυτόσηµωνόρων. f x dx όπου δεδοµένου ότι έχουµε P P R < R R P R < R x fr d e e P x x ( n n ( n e n+ n n x n f n x dx x nx e nρ ( n+ Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων7-9

92 ηπιθανότητασφάλµατοςσυµβόλου P P, είναι P n+ ( n n+ n e n kρ ( n+ Γιαδυαδικό FSK, ηεξίσωσηαπλοποιείται στη µορφή P ρ e Παρατηρούµε ότι η επίδοση της ασύµφωνης FSK είναικατά 3dB µειωµένηωςπροςαυτήν του δυαδικού DPSK. b P Πιθανότητασφάλµατος bit Μ Όριο χωρητικότητας καναλιού (-,6dB SNR/bit, db Πιθανότητα σφάλµατος bit κατά την ασύµφωνη φώραση ορθογώνιων FSK σηµάτων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων7-9

93 Σύγκριση των µεθόδων ιαµόρφωσης Σεραφείµ Καραµπογιάς Οι µέθοδοι ψηφιακής διαµόρφωσης που περιγράφηκαν στο κεφάλαιο αυτό µπορούν να συγκριθούνµεταξύτουςµεδιάφορουςτρόπους. Για παράδειγµα, κάποιος µπορεί να τις συγκρίνει µε βάση το απαιτούµενο SNR για την επίτευξηµίαςσυγκεκριµένηςπιθανότηταςσφάλµατος. Όµως, µια τέτοια σύγκριση δεν έχει ουσιαστική έννοια εκτός εάν πραγµατοποιείται βάσει κάποιουπεριορισµού, όπωςγιαπαράδειγµαγιακαθορισµένορυθµόδιαβίβασηςδεδοµένων R b. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-93