Heterogeno-katalitički reaktori

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Heterogeno-katalitički reaktori"

Transcript

1 (A): Reaktori s nepokretnim slojem a- adijabatski reaktor; b- NINA reaktor s nepokretnim slojem; c- prokapni reaktor; d- reaktor s uronjenim nepokretnim slojem Heterogeno-katalitički reaktori (B) Reaktori s pokretnim slojem katalizatora: a- reaktor s vrtložnim slojem; b- suspenzijski kolonski reaktor; c- suspenzijski kolonski reaktor s vrtložnim slojem; d- suspenzijski reaktor s mehaničkim miješanjem.

2 Reaktori s pokretnim slojem katalizatora u reaktorima s pokretnim slojem čestice katalizatora se kreću jedna u odnosu na drugu; postoje različite izvedbe reaktora s pokretnim slojem katalizatora Primjeri reakcija: katalitičko krekiranje nafte, parcijalna oksidacija naftalena do ftalnog anhidrida, sinteza akrilonitrila iz amonijaka, propilena i zraka. veličina zrna katalizatora kreće se od 0,001 do 0,3 mm.

3 Prednosti reaktora s pokretnim slojem: mogućnost čestog ili kontinuiranog dodavanja, uklanjanja i regeneracije katalizatora mogućnost brzog miješanja reaktanata i katalizatora što podrazumijeva mogućnost uspostavljanja prosječnog sastava izotermni rad i učinkovito održavanje temerature male dimenzije zrna katalizatora uglavnom uvjetuju odsutnost otpora prijenosu tvari unutarfaznom difuzijom velika toplinska učinkovitost zbog velikih brzina prijenosa topline u slučaju jako egzotermnih reakcija u kapljevitoj fazi rad npr. suspenzijskog reaktora je manje kompleksan i jeftiniji od reaktora-izmjenjivača topline.

4 Prednosti pred ostalim tipovima reaktora u sljedećim slučajevima: kod jako egzotermnih ili endotermnih reakcija koje zahtijevaju učinkovit prijenos topline i dobro održavanje temperature u procesima sa brzom deaktivacijom katalizatora gdje postoji potreba za kontinuiranom regeneracijom (npr. katalitički kreking) i/ili zamjenom potrošenog katalizatora bez zaustavljanja procesa reakcije kod kojih je nužan minimalni otpor difuziji u pore što se može postići primjenom malih dimenzija katalizatora

5 Usporedba s nepokretnim slojem niži pad tlaka niži troškovi održavanja!

6 Nedostaci reaktora s pokretnim slojem: postizanje vrtložnog sloja zahtijeva dodatnu procesnu opremu; intenzivno miješanje u susp. reaktorima cilju ostvarenja dobrog kontakta između faza skupo održavanje i visoki troškovi održavanja (zbog dodatnih dijelova) kompleksno strujanje fluida vrtložnom sloju; neidealno strujanje/promjene u raspodjeli produkata moguće su male promjene u vremenu zadržavanja; otežano postizanje željenih konverzija trošenje i gubitak katalizatora, kao i separacija katalizatora od produkata reakcije otežano prenošenje na veće mjerilo

7 Reaktori s vrtložnim slojem katalizatora (eng. Fluidized-bed reactor) Katalizator je dispergiran u struji plina dimenzija zrna katalizatora: 0,01-1 mm mogućnost obrade velikih volumena fluida mogućnost primjene velikih volumena katalizatora u kontinuiranim procesima struja fluida mora biti dovoljna da omogući fluidizaciju krute faze (katalizator), ali ne smije biti prevelika (zbog pojave odnošenja katalizatora) gotovo sve komercijalne primjene reaktora odnose se na sustav G-S

8 Reaktori s vrtložnim slojem katalizatora (eng. Fluidized-bed reactor) Parametri bitni za postizanje vrtložnog sloja: brzina strujanja procesnog plina, promjer i oblik čestica katalizatora fizičke značajke reaktanta i katalizatora (viskoznost, gustoća...) Da bi se postigle konverzije usporedive s onima u reaktorima s nepokretnim slojem potrebno je da reaktori s vrtložnim slojem budu znatno većeg volumena zbog toga su ovi reaktori jako velikog promjera. Ovakva izvedba koristi se kod jako egzotermnih reakcija i reakcija kod kojih je potrebna kontinuirana regeneracija katalizatora (dio katalizatora se obično kontinuirano odvodi iz reaktora i uvodi u regenerator).

9 Reaktori s vrtložnim slojem katalizatora (eng. Fluidized-bed reactor) Vrtložni sloj ne omogućava fleksibilnost koju posjeduju reaktori s nepokretnim slojem s obzirom na dovođenje ili odvođenje razvijene topline. U nekim slučajevima moguće je dodati inertnu komponentu da se održi željena razina temperature, međutim to ponekad nije prikladno iz drugih razloga (zahtijeva separaciju nakon reaktora, snižava brzinu reakcije, povećava veličinu uređaja i dr.). Sredstvo za izmjenu topline može cirkulirati kroz plašt oko reaktora, međutim kako je reaktor uglavnom velikog promjera izmjena energije ovom metodom je ograničena.

10 Čimbenici koji utječu na izvedbu reaktora s vrtložnim slojem veličina zrna katalizatora i raspodjela veličina zrna: čestice < 50 µm mogu aglomerirati; bolja fluidizacija postiže se uz zadovoljavajuću raspodjelu veličina čestica, pritom je za dobru fluidizaciju potrebno osigurati da % čestica bude < 40 µm izvedba distributora plina na ulazu u reaktor: glavne funkcije distributora plina su: - iniciranje fluidizacije, - održavanje kontinuiranog kretanja sadržaja sloja i - homogena raspodjela plina; izvedbe u obliku perforiranih ploča, sapnica i sl.; pad tlaka distributora, p D treba biti do 10 % od pada tlaka u sloju, p; u ind. vrtložnim slojevima uglavnom vrijedi omjer p D / p od 0,02 do 0,5 zavisno o procesu odnos pad tlaka brzina strujanja: minimalna brzina fluidizacije (u mf ); radna brzina: u > u mf

11 Različite izvedbe distributora plina A perforirana ploča B ploča s brizgalicama/raspršivačima C ploče s prekrivenim otvorima

12 Primjeri procesa u kojima se primjenjuju reaktori s vrtložnim slojem: a) amoksidacija propena u akrilonitril (SOHIO proces) b) oksidacija naftalena ili o-ksilena u ftalni anhidrid, c) sinteza akrilonitrila iz amonijaka, propilena i zraka, d) katalitičko krekiranje vakuum destilata pri dobivanju benzina i dr.

13 e) Oksiklorinacija pri proizvodnji etilen diklorida tijekom sinteze vinil klorida

14 FCC (Kellog-Orthoflow system) a - reaktor b - regenerator Sinteza akrilonitrila (SOHIO) a) hladnjak s ispunom b) distributor Fisher-Tropsch (Synthol reactor) a - hopper, b - cijev c - riser, d -hladnjak (zmijača) e reaktor, f- odvodna cijev ( guščiji vrat )

15 prvi reaktor s vrtložnim slojem Fritz Winkler, 1920.

16 Reaktori s vrtložnim slojem katalizatora (eng. Fluidized-bed reactor) Prednosti: jednolikost temperature unutar reaktora i dobar prijenos topline: izravan kontakt pri prijenosu topline između G i S zbog velike površine po jedinici mase krutine; dobar prijenos topline na stijenci zbog kontinuiranog i brzog kretanja čestica do i od površine prijenosa topline, dobar kontakt reaktanata s katalizatorom (zbog malih dimenzija zrna, npr. promjer može biti d p = m) velika površina međufaznog prijenosa nema mogućnosti nastajanja tzv. vrućih točaka, zbog intenzivnog aksijalnog i radijalnog miješanja i visokog stupnja turbulencije velik koeficijent prijenosa topline i homogena raspodjela temperature zbog velikog koeficijenta prijenosa topline prikladni su za reakcije s velikom reakcijskom entalpijom, jer mogu raditi gotovo izotermno kontinuirani način rada s obzirom na fluid i krutu fazu omogućava regeneraciju deaktiviranog katalizatora, kao i rukovanje s velikom količinom krutine (bez obzira da li se radi o produktu, reaktantu ili oboje)

17 Poželjna primjena: kad se postiže zadovoljavajuća brzina katalitičkog procesa bez potrebe za dugim vremenom zadržavanja kad je potrebna dobra regulacija temperature zbog osiguranja velike selektivnosti te zbog sprječavanja deaktivacije katalizatora

18 Reaktori s vrtložnim slojem katalizatora (eng. Fluidized-bed reactor) Nedostaci: široko vrijeme zadržavanja plina uslijed disperzije i kanaliziranja u sloju uslijed pojave mjehurića neučinkovit kontakt, fluid u velikim mjehurićima nema dobar kontakt s krutim česticama; odstupanje od idealnog strujanja (zaobilaženje i nejednako vrijeme zadržavanja zbog stvaranja mjehura), abrazija stijenki cijevi i unutarnjih dijelova sustava, ne mogu se koristiti kod katalizatora s lošim mehaničkim značajkama habanje krutih čestica i njihovo odnošenje nužnost primjene ciklona za njihovo vraćanje u sustav dodatni troškovi sustava i troškovi održavanja, veća potrošnja energije nastajanje finih čestica koje uvjetuju gubitke na krutini, a dovode i do problema vezanih uz onečišćenje zraka moguća aglomeracija i sinteriranje finih čestica katalizatora u razrijeđenoj fazi u određenim uvjetima (npr. pri višim T) poteškoće pri prenošenju na veće mjerilo te pri modeliraju

19 Nedostatak - veliki mjehurići plina koji otežavaju prijenos tvari; kako na to utjecati?

20 Segregacija i aglomeracija Razlike u veličini i gustoći mogu dovesti do segregacije Aglomeracijski problemi

21 Različite specijalne izvedbe reaktora s vrtložnim slojem zavisno o u vrtložni sloj brzi vrtložni sloj reaktor s pneumatskim prijenosom u>u mf u>>u mf

22 Reaktori s vrtložnim slojem katalizatora Različiti stupnjevi fluidizacije i oblici vrtložnog sloja h f u ms V u A a - nepokretni sloj b - točka fluidizacije c - homogeni fluidizirani sloj d fluidizirani sloj s mjehurićima (bubbling fluidized bed) e fluidizirani sloj s čepovima (slugging fluidized bed) h mf p g ( )(1 h č g ) u=u mf u>u mf p pad tlaka poroznost sloja h visina fluidiz. sloja u>u mf u>u mf

23 znatne količine krutine područje penetriranja plina iz rastućeg mjehurića znatne količine krutine Shematski prikaz elementa fluiziranog sloja Prema nekim autorima dvofazni sustav: emulzijska faza znatne količine krutine faza mjehurića mali udio krutine; mjehurići nisu sferični

24 Reaktori s vrtložnim slojem katalizatora Određivanje točke fluidizacije -pomoću bilance sila: sila uzrokovana djelovanjem razlike tlaka na površinu poprečnog presjeka sila uzorkovana djelovanjem mase p = č f = g

25 Eksperimentalno određivanje točke fluidizacije U eksperimentima u kojima se određuju minimalna brzina fluidizacije (u mf ) i poroznost pri minimalnoj fluidizaciji ( mf ) mjeri se pad tlaka i visina sloja kao funkcija linearne brzine strujanja (u)

26 Zavisnost pada tlaka o linearnoj brzini strujanja u t p 4g d g s 3 C D g C D =24/Re Re > 0,4 eksp. određ. C D

27 Pad tlaka kao funkcija porasta/smanjenja protoka/linearne brzine pojava histereze u treba biti > u mf, ali i < u t!

28 Modeliranje reaktora s vrtložnim slojem - ne postoji opće prihvaćen model za opis reaktora s vrtložnim slojem - mnogi modeli predloženi su u literaturi i izvedeni na temelju eksperimentalnih istraživanja provedenih na različitim sustavima

29 Sastavni elementi svakog modela reaktora s vrtložnim slojem: - hidrodinamika (zavisi o značajkama krute faze, radnim uvjetima i geometriji) - način kontakta plina i krutine - kinetika reakcije Izvedba (geometrija) reaktora važna je za prenošenje na veće mjerilo (scaleup), jer utječe na način strujanja, pa zbog toga mora biti uključena u hidrodinamički dio modela reaktora.

30 Kinetika reakcije -obično se određuje u reaktoru s nepokretnim slojem katalizatora uz uvjet da se eksperimenti provode pri uvjetima usporedivim s onima koji prevladavaju u reaktoru s vrtložnim slojem (npr. isti sastav krute faze i raspodjela veličina čestica, ista raspodjela aktivnih centara) -kinetički parametri mogu se odrediti i izravno u reaktoru s vrtložnim slojem na tzv. bench razini

31 Uobičajeno dizajniranje reaktora s vrtložnim slojem uključuje: proračun zadrške katalizatora (ili krutog reaktanta) za postizanje konačne konverzije i brzine proizvodnje (ili obratno) proračun dužine/visine fluidiziranog sloja promjer reaktora visinu reaktora proračun vezan uz izmjenu topline Voditi računa i o: linearnoj/prosječnoj brzini strujanja u reaktoru značajkama strujanja krutine i fluida unutar reaktora

32 Da bi se odredila brzina strujanja mjehurića plina kroz vrtložni sloj potrebno je odrediti: poroznost kod minimalne fluidizacije, mf minimalnu brzinu fluidizacije, u mf veličinu mjehurića, d b Da bi se izračunao odgovarajući koeficijent prijenosa tvari potrebno je odrediti: poroznost kod minimalne fluidizacije, mf minimalnu brzinu fluidizacije, u mf veličinu mjehurića, d b brzinu kretanja mjehurića, u b

33 Da bi se izračunali kinetički parametri u sloju potrebno je odrediti: udio ukupnog sloja zauzetog s mjehurićima, udio sloja koji se sastoji od krute faze, volumen katalizatora u mjehurićima, čepovima (oblacima) i emulziji, b, c, e Napomena: Kod malih brzina strujanja plina u području fluidizacije mjehurići sadrže vrlo malo krute faze. Ostatak sloja sadrži znatno veću koncentraciju krutine i naziva se emulzijska faza fluidiziranog sloja.

34 Određivanje minimalne brzine fluidizacije, u mf - procjenjuje se pomoću Ergunove jedn. za pad tlaka pri strujanju fluida kroz katalitički sloj ( p) S g m g ( ) V g ( )(1 mf p f p f mf ) L mf S ( p) mf g ( p g ( p f ) f )(1 mf ) Lmf *1 - oznaka mf odnosi se na sloj u uvjetima minimalne fluidizacije

35 Kako vrijedi da je ( p) L fu 2 d e f f d L e mf (p) u mf 2 mf f *2 d e - efektivni (djelotvorni) promjer zrna, - za zrna oblika kugle uzima se u obzir da je d e = d p, V d e 6 S p p - za zrna oblika valjka: d e =3d p /(2+d p /L p ) ili 1,5 d p (izraz vrijedi ako je d p /L p <<2, pri čemu je L p dužina zrna) - parametar d e može se računati i u obliku Sauterovog promjera ili se uzima u obzir faktor sferičnosti, ψ

36 f 1 mf 3 mf 1 (1, Re mf mf ) *3 umf d e *4 f Re mf f Povezivanjem izraza *1 do *4 dobiva se kvadratna jednadžba za izračuvanje u mf : u mf 2 150(1 mf ) f 1,75 d f e u mf g( p ) f 1,75 f mf 3 d e 0 *5 u mf = 0,005-0,5 m s -1 (ako je fluid plin); u mf je nezavisan visini fluidiziranog sloja

37 Izraz *5 može imati 2 granična rješenja: a) za relativno male čestice, Re je relativno malen (<10) pa se pretpostavlja: 1,75 150(1 u mf g( ) d p K f f ) / mf Re mf 2 e K 150(1 mf ) / mf 3 (Re mf je malen) uobičajeno je K=1650, što podrazumijeva ε mf = 0,383 b) za relativno velike čestice, Re je relativno velik pa slijedi izraz: *A u 1,75 150(1 mf g( p f ) 1,75 f 3 mf ) / mf Re mf d e 1/ 2 (Re mf je velik)

38 Poroznost kod minimalne fluidizacije, mf Wen & Yu (1966): 1/ (1 mf ) mf mf 2 0,071 i/ili ψ faktor sferičnosti (vrijednosti od 0,5-1, vrijednost 0,6 je uobičajena) Ako su čestice velike izračunate vrijednosti mf mogu biti premalene! Ako postoji raspodjela veličina čestica računa se srednji promjer zrna prema izrazu: d p fi 1 / d p f i - udio čestica promjera d p

39 Maksimalna fluidizacija -izračunavanje brzine odnošenja čestica, u t - kod dovoljno velike brzine strujanja fluida kroz sloj čestica ne dolazi do djelovanja sile teže, tj. čestice ne fluidiziraju i odnose se s fluidom iz reaktora - u t izračunava se na sličan način kao i u mf, tj. na temelju bilance sila uzimajući u obzir silu zbog otpora oblika, F D i gravitacijsku silu, F g

40 6 / ) ( ) ( 3 p f p p f p D d g V g F d p -promjer čestice (kugla) Bezdimenzijski koeficijent otpora, C D analogan je faktoru oblika (frikcijskom faktoru, f): u d F u d F u A F C f p D f p D f p D D

41 - Za zrno oblika kugle A p se odnosi na projiciranu površinu čestice u smjeru kretanja. - C D zavisi o Re i obliku čestice. Za male čestice oblika kugle kod malog Re (Re < 0,1) dobiva se izraz koji se odnosi na Stokesovo područje: c D 24 Re - kod u t : Re Re t d p u t / f f Kunii & Levenspiel: *B u t g( p 18 f f ) d 2 p Ovaj izraz za u t odgovara izrazu za u mf. - oblik kugle, mali Re t ; Re < 0,4

42 Maksimalna fluidizacija Kunii & Levenspiel: ut 1/ 3 1, g( 2 p f ) d p 0,4 < Re < 500 f u t g( p ) d 18 f f 2 p Re < 0,4

43 Usporedba u mf i u t Za uspješan rad fluidiziranog sloja ulazna prosječna brzina strujanja, u 0 treba biti: u mf < u 0 < u t u mf < u 0 < u ms u ms - fluidizirani sloj uz formiranje čepova (slugging)

44 Da bi se ostvarila dobra fluidizacija stvarna brzina strujanja fluida, u fl mora biti nešto veća od u mf, ali i manja od u t. Zbog toga je omjer u t /u mf koristan pokazatelj prilikom izbora odgovarajuće brzine strujanja fluida, u fl. Kombiniranjem izraza *A i *B dolazi se do izraza: u u t mf 150( mf mf ) (male čestice oblika kugle) -omjer u t /u mf je vrlo osjetljiv na vrijednost mf u t /u mf = 15 kod mf =0,6 u t /u mf = 92 kod mf = 0,383 - u praksi vrijednosti u fl su puta veće od u mf

45 Odnos brzine mjehurića, u b i veličine mjehurića, d b Brzina pojedinačnog mjehurića, u br može se dovesti u vezu s veličinom mjehurića, d b : u br 0,71 ( gd b 1/ ) 2 -veći broj mjehurića će biti rezultat veće prosječne brzine strujanja plina kroz sloj, tj. veće vrijednosti u 0 - na broj mjehurića utječe i viskoznost plina, veličina i gustoća krutih čestica koje čine sloj Davidson (1978): ukupna brzina mjehurića u sloju, u b : u b u br ( u 0 u mf brzina pojedinačnog mjehurića ) u b u 1/ 2 0 umf 0,71( g d b )

46 Volumni udjel mjehurića u sloju, Kunii & Levenspiel: 0 u u u b mf - izraz vrijedi za: u b >> u mf, tj. ako je b u mf mf u 5 /

47 Veličina (promjer) mjehurića Mori i Wen (1975) u mf : 0,7-20 cm/s d sloja : cm d p : 0,006-0,045 cm d bm db e 0,3h / d bm d b 0 D t d b promjer mjehurića u fluidiz. sloju promjera D t h visina sloja iznad ploče distributora d b0 promjer mjehurića neposredno iznad ploče distributora d bm maksimalni promjer mjehurića ako mjehurići koalesciraju pri čemu nastaje jedan mjehurić (ako je sloj dovoljno visok)

48 Veličina (promjer) mjehurića d maksimum (d bm ) (vrijedi za sve slojeve) d bm cm 0,652 A c ( u0 cm 2 cm / s u ) 0,4 mf d minimum (d b0 ) (zavisi o vrsti ploče distributora) db0 d b ( u0 0,347 A c umf ( u ) / 0, 4 0 u mf 2 ) n d porozna ploča distr. perforirana ploča distr. n d broj perforacija

49 Hidrodinamički modeli fluidizacije Uzima u obzir različite čimbenike: - miješanje i raspodjelu krutine i fluida u tzv. emulzijskom ili suspenzijskom području - nastajanje i kretanje mjehurića kroz sloj (područje mjehurića) - prirodu mjehurića (uključujući njihovu veličinu) i utjecaj na kretanje/raspodjelu čestica - izmjenu tvari između mjehurića (s malim sadržajem krutine) i pretežno emulzije/suspenzije krute faze

50 Hidrodinamički modeli se dijele u 3 skupine: 1)Modeli dva područja - uzimaju u obzir područje mjehurića i područje emulzije (suspenzije) uz neznatnu promjenu značajki između ta dva područja 2)Modeli mjehurića zasnivaju se na srednjoj veličini mjehurića; sve značajke sustava su funkcije veličine mjehurića 3)Modeli rasta mjehurića uzimaju u obzir koalescenciju i razdvajanje mjehurića

51 Općenito: - Modeli 1 i 2 su jednostavniji, ali zahtijevaju mnogo eksperimentalnih mjerenja - Modeli 1 su previše jednostavni da bi bili prihvatljivi za praktičnu primjenu - Modeli 3 su prilično komplicirani Modeli 2 (modeli mjehurića) su najprihvatljiviji i najčešće se primjenjuju za modeliranje reaktora s vrtložnim slojem!

52 Uvećanje (scale-up) - bench-scale reaktori s vrtložnim slojem: promjeri: mm - pilot reaktori s vrtložnim slojem: promjeri: mm - komercijalni reaktori s vrtložnim slojem: promjeri: do ca. 10 m S porastom veličine uređaja dolazi do promjene u načinu strujanja što može utjecati na rad reaktora. Takve promjene rezultiraju izravno iz geometrije ili neizravno iz promjena u izvedbi reaktora koje su rezultat uvećanja.

53 Pri uvećanju treba voditi računa o sljedećem: promjer sloja (reaktora) izvedba rešetke/distributora ispun raspodjela veličina zrna katalizatora sekundarne reakcije u slobodnom prostoru habanje/trošenje katalizatora ostali čimbenici

54 Promjer sloja Srednja brzina mjehurića raste s promjerom sloja D t. Kao rezultat toga mjehurići imaju kraće vrijeme zadržavanja u sloju, a površina izmjene između mjehurića i emulgirane/suspendirane faze je manja što dovodi do smanjenja konverzije Izvedba rešetke/distributora U lab. reaktorima obično se koriste porozne ploče perforiranog tipa za raspodjelu plina zbog lakšeg rukovanja. Međutim u ind. izvedbama sustava za raspodjelu plina (distributora) raspodjela je lošija i zbog toga se smanjuje površina izmjene što rezultira s manjom konverzijom.

55 Ispun Lab. reaktori s vrtložnim slojem ne sadrže ispun, za razliku od ind. uređaja koji često sadrže snop cijevi za izmjenu topline. To dovodi do porasta površine prijenosa u odnosu na reaktore bez ispuna. Raspodjela veličina zrna katalizatora Rast mjehurića zavisi o udjelu finih (sitnih) čestica u sloju (obično se mjeri kao težinski udio čestica manjih od 0,044 mm) ili o srednjoj veličini zrna, d p. S porastom udjela finih čestica ranije dolazi do kolapsa mjehurića i ravnotežna veličina mjehurića postaje manja što rezultira u većoj površini prijenosa tvari između mjehurića i dispergirane faze. Za postizanje dobre fluidizacije udio finih čestica (<0,044 mm) iznosi % mas., ali održavanje takvog udjela finih čestica u dužem periodu rada zahtjeva jako učinkovit sustav za oporabu krute faze.

56 Sekundarne reakcije u slobodnom prostoru U uređajima na bench razini fluidizirani plin brzo se hladi preko stijenke posude u slobodnom prostoru nakon napuštanja sloja, pa su zbog toga sekundarne reakcije u slobodnom prostoru beznačajne. To nije slučaj kod pilot plant reaktora, gdje hlađenje preko stijenke nije značajno, a brzine odnošenja su velike zbog većih brzina fluidizacije uobičajenih u takvim uvjetima rada. Oba utjecaja: nedostatak hlađenja preko stijenke i velika konc. krutine u slobodnom dijelu mogu dovesti do značajnih sekundarnih reakcija u slobodnom dijelu ind. reaktora s vrtložnim slojem.

57 Habanje (trošenje) katalizatora U laboratorijskim reaktorima je minimalno zbog upotrebe poroznih ploča za raspodjelu plina, kao i zbog manjih brzina strujanja plina i visina sloja. U industrijskim reaktorima to nije slučaj. To smanjenje udjela katalizatora (zbog habanja) predstavlja rizik pri prenošenju na veće mjerilo. Ostali čimbenici Rizici zbog nehomogene raspodjele plina preko velike poprečne površine u tankim fluidiziranim slojevima, Nastajanje depozita/nakupina u sloju, Stvaranje taloga na površini izmjenjivača topline, Starenje i trovanje katalizatora Uvećanje reaktora s vrtložnim slojem složen je zadatak koji zahtijeva puno eksperimentiranja (na pilot razini)!

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA

PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 REGENERATIVNI ZAGRIJAČI NAPOJNE VODE Regenerativni zagrijači napojne vode imaju zadatak da pomoću pare iz oduzimanja turbine vrše predgrijavanje napojne vode

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

REAKTORI I BIOREAKTORI

REAKTORI I BIOREAKTORI REKTORI I BIOREKTORI MODELI CIJEVNIH REKTOR Vanja Kosar, izv. prof. Reaktori i bioreaktori Modeli cijevnih reaktora Osnovne značajke cijevnih reaktoru su: Zavisnost parametara o prostornim koordinatama

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje:

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje: 8. VJEŽBA - RIJEŠENI ZADACI IZ MEANIKE FLUIDA. Oreite minimalni protok Q u nestlačiom strujanju fluia ko koje će ejektor početi usisaati flui kroz ertikalnu cječicu. Zaano je A = cm, A =,5 cm, h=,9 m.

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ

Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

( ) p a. poklopac. Rješenje:

( ) p a. poklopac. Rješenje: 5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA)

DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Karakterizacija materijala DINAMIČKA MEHANIČKA ANALIZA (DMA) Dr.sc.Emi Govorčin Bajsić,izv.prof. Zavod za polimerno inženjerstvo i organsku kemijsku tehnologiju Da li je DMA toplinska analiza ili reologija?

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami

BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

AGREGAT. Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aedif.   SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU AGREGAT Asistent: Josip Crnojevac, mag.ing.aeif. jcrnojevac@gmail.com SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU JOSIP JURAJ STROSSMAYER UNIVERSITY OF OSIJEK 1 Pojela agregata PODJELA AGREGATA - PREMA

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Opšte KROVNI POKRIVAČI I

Opšte KROVNI POKRIVAČI I 1 KROVNI POKRIVAČI I FASADNE OBLOGE 2 Opšte Podela prema zaštitnim svojstvima: Hladne obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina, Tople obloge - zaštita hale od atmosferskih padavina i prodora hladnoće

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi

MEHANIKA FLUIDA. Prosti cevovodi MEHANIKA FLUIDA Prosti ceooi zaatak Naći brzin oe kroz naglaak izlaznog prečnika =5 mm, postaljenog na kraj gmenog crea prečnika D=0 mm i žine L=5 m na čijem je prenjem el građen entil koeficijenta otpora

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA JEDNADŽBA KONTINUITETA. s1 =

HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA JEDNADŽBA KONTINUITETA. s1 = HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA Hidrodinamika proučava fluide (tekućine i plinove) u gibanju. Gibanje fluida naziva se strujanjem. Ovdje ćemo razmatrati strujanje tekućina.

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα