Υπολογιστικές Μέθοδοι Οικονομικής Φυσικής Μέρος Α

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Υπολογιστικές Μέθοδοι Οικονομικής Φυσικής Μέρος Α Κουγιουμτζής Δημήτρης, Επ. Καθηγητής Γενικό Τμήμα, Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ hp://users.auh.gr/~dkugiu/ ιστοσελίδα μαθήματος: hp://users.auh.gr/~dkugiu/teach/ecoophysics/ Βιβλία σχετικά με το πρώτο μέρος της Οικονομικής Φυσικής: [] Maega R.N. ad Saley E.H., A Iroducio o Ecoophysics Correlaio ad Complexiy i Fiace, Cambridge Uiversiy Press,. [] Bouchard J.P. ad Poers Μ., Theory of Fiacial Risks: from Saisical Physics o Risk Maageme, Cambridge Uiversiy Press,. [3] Johso N.F., Jefferies P. ad Hui P. M., Fiacial Marke Complexiy, Oxford Uiversiy Press, 3.

2 Εισαγωγή Ο όρος οικονομική φυσική χρησιμοποιήθηκε τα τελευταία χρόνια (από τη δεκαετία του 9) για να προσδιορίσει ένα νέο πεδίο έρευνας και δράσης, όπου θεωρίες και μέθοδοι της φυσικής, κυρίως της στατιστικής φυσικής και των δυναμικών συστημάτων, εφαρμόζονται και αναπτύσσονται σε χρηματοοικονομικά προβλήματα. Η ανάλυση χρηματοοικονομικών δεδομένων με τεχνικές που έχουν δοκιμαστεί σε προβλήματα της φυσικής έχει βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση και περιγραφή της χρηματιστηριακής αγοράς και των επιμέρους στοιχείων της σε παγκόσμιο αλλά και εθνικό επίπεδο. Η συλλογή των χρηματοοικονομικών δεδομένων ξεκινά κυρίως από τη δεκαετία του 7 με την εισαγωγή των συναλλαγματικών αξιών στη χρηματιστηριακή αγορά. Από τότε έχει γνωρίσει συνεχή αύξηση με συναλλαγές σε χρήματα, περιουσιακά στοιχεία (asses) και αγαθά στο ανταγωνιστικό περιβάλλον της παγκόσμιας χρηματιστηριακής αγοράς. Η εισαγωγή της ηλεκτρονικής συναλλαγής στη δεκαετία του 8 ανέβασε κατακόρυφα το πλήθος των συναλλαγών και κατ επέκταση των χρηματιστηριακών δεδομένων. Σήμερα διαθέτουμε ηλεκτρονικά τεράστια μεγέθη χρηματιστηριακών δεδομένων συλλεγμένα σε ποικίλους χρόνους δειγματοληψίας, που σε κάποιες περιπτώσεις μπορεί να είναι μέχρι και δευτερόλεπτο (high frequecy daa). Στο Σχήμα α δίνεται η εικόνα μέρους καταγραφής του ημερήσιου δείκτη S&P5 (Sadard ad Poor s 5). Ο δείκτης S&P5 είναι ο συγκεντρωτικός δείκτης για τις μετοχές 5 επιλεγμένων σημαντικότερων επιχειρήσεων των ΗΠΑ και θεωρείται από τους σημαντικότερους δείκτες της αγοράς μετοχών των ΗΠΑ. Σε κάθε γραμμή του πίνακα στο Σχήμα α δίνεται η ημερομηνία και η τιμή ανοίγματος, υψηλότερη, χαμηλότερη και κλεισίματος (δε δίνονται τιμές για το μέγεθος των συναλλαγών). Στο Σχήμα β δίνεται η γραφική παράσταση της τιμής κλεισίματος του δείκτη S&P5 για την περίοδο //98 3/3/8. Η τιμή ενός χρηματιστηριακού δείκτη που δίνεται με κάποιο χρόνο δειγματοληψίας αποτελεί μια χρονοσειρά, όπως αυτή στο Σχήμα β με χρόνο δειγματοληψίας μια ημέρα. 6 () 4 idex years Σχήμα (α) Παράδειγμα καταγραφής ημερησίων τιμών του δείκτη S&P5 από αρχείο δεδομένων. (β) Η χρονοσειρά του ημερήσιου δείκτη S&P5 (τιμή κλεισίματος) την περίοδο //98 3/3/8.

3 . Θέματα μελέτης της Οικονομικής Φυσικής Για την κατανόηση του συστήματος της χρηματιστηριακής αγοράς από δεδομένα, όπως αυτά στο Σχήμα, έχουν γίνει διαφορετικές προσεγγίσεις που συνοψίζονται κυρίως στα παρακάτω:. Περιγραφή της κατανομής των δεδομένων, χαρακτηρισμός και εκτίμηση της διαδικασίας που τα παράγει.. Εκτίμηση συσχετίσεων σε χρονοσειρές των δεικτών καθώς και μεταξύ των δεικτών. 3. Προσαρμογή μοντέλων κάτω από διαφορετικές υποθέσεις για την κατανόηση του συστήματος καθώς και την πρόβλεψη των χρηματιστηριακών δεικτών. Σε αυτές τις προσεγγίσεις έχουν χρησιμοποιηθεί έννοιες, θεωρίες και μέθοδοι της φυσικής, όπως κατανομές νόμου δύναμης, κλιμάκωση συσχέτισης, τυχαίες διαδικασίες και χάος. Τα παραπάνω θέματα αποτελούν τα βασικά σημεία της μελέτης των υπολογιστικών μεθόδων της οικονομικής φυσικής και περιγράφονται συνοπτικά παρακάτω. Όπως φαίνεται και από το Σχήμα τα χρηματοοικονομικά δεδομένα παρουσιάζουν μεγάλες διακυμάνσεις και μάλιστα το εύρος των διακυμάνσεων μπορεί να μεταβάλλεται με το χρόνο. Η κατανομή των δεδομένων δε φαίνεται να προσεγγίζεται από την κανονική κατανομή αλλά παρουσιάζει «παχιές ουρές» που μπορούν να ερμηνευτούν καλύτερα από κατανομές που ακολουθούν νόμο κλιμάκωσης στη μια ουρά ή και στις δύο ουρές τους (power-law disribuios). Τέτοιες κατανομές έχουν μελετηθεί στη θεωρία πιθανοτήτων ήδη από τις αρχές του ου αιώνα, και έχουν παρουσιαστεί σε προβλήματα της φυσικής, όπως στη μετάβαση φάσεων (phase rasiio). Σε χρονοσειρές χρηματιστηριακών δεικτών έχει παρατηρηθεί οι μεταβολές τιμών να μην έχουν συσχετίσεις και οι τιμές να ακολουθούν το μοντέλο του τυχαίου περιπάτου. Τα τετράγωνα όμως των μεταβολών των τιμών φαίνεται να έχουν συσχετίσεις και η μεταβλητότητα (volailiy), που υπολογίζεται από την τυπική απόκλιση σε κάποιο μικρό χρονικό παράθυρο, μπορεί να εκδηλώσει συσχετίσεις μακράς διάρκειας (log rage correlaios). Τέτοιες συσχετίσεις μπορούν να μελετηθούν με βάση τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (auocorrelaio), του φάσματος ισχύος (power specrum) αλλά και άλλα μέτρα που εξετάζουν τις διακυμάνσεις σε χρονικά τμήματα. Τα συμπεράσματα για την κατανομή και συσχέτιση χρονοσειρών χρηματοοικονομικών δεικτών μας οδηγούν σε υποθέσεις για το υποκείμενο σύστημα (ή διαδικασία) που παράγει τη χρονοσειρά ή τις χρονοσειρές. Μια πρώτη προσέγγιση είναι το σύστημα του τυχαίου περιπάτου (radom walk) με μηδενική μνήμη (δηλαδή συσχετίσεις) στη χρονική εξέλιξη του. Θεωρώντας την ύπαρξη μνήμης σε περιορισμένα χρονικά βήματα έχουμε τις Μαρκοβιανές διαδικασίες (Markov processes), ενώ αν επεκτείνουμε τη μνήμη σε μακρά διάρκεια μεταβαίνουμε σε διαδικασίες μακράς διάρκειας συσχετίσεων ή διαδικασίες τύπου Lévy (log rage correlaio or Lévy processes). Επικεντρώνοντας στη μεταβλητότητα (ροπή δεύτερης τάξης) καταφεύγουμε σε συστήματα με σταθερή ή μεταβαλλόμενη μεταβλητότητα, που αναφέρονται ως ομοσκεδαστικά ή ετεροσκοδεστικά αντίστοιχα, όπως τα αυτοπαλινδρομούμενα (auoregressive, AR) και τα αυτοπαλινδρομούμενα με δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα (auoregressive wih codiioal heeroskedasiciy, ARCH). Στις παραπάνω προσεγγίσεις με στοχαστικές διαδικασίες διαφορετικού τύπου αντιπαραβάλλεται η προσέγγιση με μη-γραμμικά δυναμικά αιτιοκρατικά 3

4 συστήματα χαμηλών βαθμών ελευθερίας που κάτω από συνθήκες μπορούν να εκδηλώσουν στοχαστική συμπεριφορά (δηλαδή να έχουν χαοτική συμπεριφορά). Σύμφωνα με τη θεωρία του χάους (chaos heory) η παρατηρούμενη μεταβλητή τέτοιων συστημάτων μπορεί να προβλεφθεί τουλάχιστον για κάποια χρονικά βήματα για αυτό και αυτή η προσέγγιση γνώρισε μεγάλο ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια. Πολλές μελέτες έχουν γίνει με βάση μια χρονοσειρά κάποιου δείκτη, αλλά μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει η μελέτη πολλών δεικτών που παρατηρούνται ταυτόχρονα. Τέτοιες μελέτες έχουν δώσει ενδιαφέροντα αποτελέσματα για τις συσχετίσεις μεταξύ δεικτών. Γενικά η πολυμεταβλητή ανάλυση χρηματοοικονομικών δεικτών περιλαμβάνει τις παραπάνω προσεγγίσεις για το υποκείμενο σύστημα άλλα αποτελεί πιο σύνθετο πρόβλημα, όπου γίνεται επέκταση των μεθόδων ανάλυσης χρονοσειρών με μεθόδους παλινδρόμησης, αλλά και άλλων μοντέρνων τεχνικών.. Χρηματιστηριακή αγορά και πολύπλοκα συστήματα Οι χρηματιστηριακές αγορές παρουσιάζουν τα χαρακτηριστικά πολύπλοκων συστημάτων. Τα πολύπλοκα συστήματα είναι «ανοικτά» συστήματα, όπου πολλά υποσυστήματα (ή στοιχεία) αλληλο-επιδρούν μη-γραμμικά στην παρουσία ανάδρασης (feedback) []. Ο όρος «ανοικτά» αντανακλά την παρουσία όχι μόνο εσωτερικών για το σύστημα αναδράσεων αλλά και εξωτερικών, όπως σημαντικά γεγονότα σε εθνικό ή παγκόσμιο επίπεδο. Μπορεί κάποιος να θεωρήσει ως πολύπλοκο σύστημα την παγκόσμια χρηματιστηριακή αγορά, όπου οι χρηματιστηριακές αγορές των κρατών αποτελούν υποσυστήματα, που και αυτά είναι πολύπλοκα με υποσυστήματα ή στοιχεία που συμπεριλαμβάνουν τους διάφορους κλάδους επιχειρήσεων ή την κάθε επιχείρηση. Ένας δείκτης της παγκόσμιας χρηματιστηριακής αγοράς είναι ο δείκτης S&P5 στο Σχήμα, και ένας σημαντικός δείκτης της ελληνικής χρηματιστηριακής αγοράς είναι ο δείκτης του Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών (Ahes Sock Exchage idex, ASE) που δίνεται για την ίδια περίοδο στο Σχήμα α. [Θα μπορούσε να αποτελέσει θέμα διερεύνησης κατά πόσο η κοινή τάση που παρατηρείται στους δύο αυτούς δείκτες είναι τυχαία ή δηλώνει συσχέτιση των δύο δεικτών, ως αλληλο-επίδραση στοιχείων του πολύπλοκου συστήματος της παγκόσμιας χρηματιστηριακής αγοράς]. idex 6 4 () years idex () year idex 8 () 6 ime [sec] Σχήμα (α) Η χρονοσειρά του ημερήσιου δείκτη Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών (τιμή κλεισίματος) την περίοδο //98 3/3/8. (β) Η χρονοσειρά των συγκεντρωτικών διακυμάνσεων στη θερμοκρασία αέρα εδάφους με βάση μετρήσεις σε πλέγμα 5 ο x 5 ο. (γ) Η χρονοσειρά από καταγραφή ενός καναλιού ηλεκτροεγκεφαλογραφήματος. Ένα κοινό χαρακτηριστικό των πολύπλοκων συστημάτων είναι ότι η παρατήρηση ενός μεγέθους του συστήματος, όπως η χρονοσειρά ενός χρηματιστηριακού δείκτη, φαίνεται να είναι τυχαία. Τα πολύπλοκα συστήματα χαρακτηρίζονται από πολλούς βαθμούς ελευθερίας για αυτό και η μελέτη τους γίνεται με μεθόδους στοχαστικών διαδικασιών παρά αιτιοκρατικών δυναμικών συστημάτων. Τέτοια τυχαία 4

5 συμπεριφορά συναντάμε σε πλήθος άλλων επιστημονικών κλάδων. Ενδεικτικά δίνονται στο Σχήμα, εκτός από τη χρονοσειρά του δείκτη ASE και μια χρονοσειρά των διακυμάνσεων στη θερμοκρασία της γης (αφορά το φαινόμενο του θερμοκηπίου) όπως και μια χρονοσειρά της μεταβολής του δυναμικού του εγκεφάλου (από ένα ηλεκτρόδιο ηλεκτροεγκεφαλογραφήματος). Η τυχαιότητα και οι μεταβαλλόμενες διακυμάνσεις είναι κοινά χαρακτηριστικά στις τρεις χρονοσειρές που οδηγούν στις ίδιες μεθόδους ανάλυσης. Η ανάπτυξη μεθόδων της φυσικής σε άλλα πεδία, όπως της ατμοσφαιρικής φυσικής, μπορούν άμεσα να εφαρμοστούν και σε προβλήματα της χρηματοοικονομίας. 5

6 Αγορές και στατιστικά στοιχεία Σε αυτό το κεφάλαιο θα περιγράψουμε κάποια στατιστικά χαρακτηριστικά των χρηματιστηριακών αγορών με ιδιαίτερη έμφαση στην κατανομή και στην αυτοσυσχέτιση σε χρονοσειρές δεικτών της χρηματιστηριακής αγοράς.. Αποτελεσματική αγορά Όπως αναφέρθηκε η χρηματιστηριακή αγορά μπορεί να χαρακτηριστεί ως πολύπλοκο σύστημα, όπου η παρουσία κάποιας ανάδρασης δημιουργεί αλληλοεπιδράσεις στα στοιχεία του συστήματος. Η ανάδραση αυτή έχει τη μορφή πληροφορίας που εισέρχεται στην αγορά και μπορεί να αφορά για παράδειγμα την τιμή ενός χρηματιστηριακού προϊόντος (asse). Για τη χρηματιστηριακή αγορά παίζει σημαντικό ρόλο αν η επίδραση και επεξεργασία της πληροφορίας στην αγορά ολοκληρώνεται άμεσα ή αν διαρκεί σε επόμενους χρόνους αφήνοντας περιθώρια κέρδους σε κάποιους «παίχτες» της αγοράς. Η πρώτη περίπτωση χαρακτηρίζει τη χρηματιστηριακή αγορά αποδοτική (για όλους!). Μια χρηματιστηριακή αγορά είναι αποδοτική (efficie) αν όλες οι διαθέσιμες πληροφορίες επεξεργάζονται στιγμιαία με την εισαγωγή τους στην αγορά και αντανακλούν αμέσως σε νέες τιμές των συναλλασσόμενων προϊόντων []. Χρησιμοποιώντας την υπόθεση της αποδοτικής αγοράς, για την τιμή Y ενός συναλλαγματικού προϊόντος (που μπορεί να είναι ένας χρηματιστηριακός δείκτης) τη χρονική στιγμή, ισχύει E Y Y, Y,, Y Y, () δηλαδή η μέση τιμή του δείκτη τη χρονική στιγμή + γνωρίζοντας τη χρονική εξέλιξη του δείκτη ως και τη χρονική στιγμή, είναι η τιμή του δείκτη τη χρονική στιγμή. Η σχέση () σημαίνει απλά ότι δεν κερδίζεις γνωρίζοντας τις προηγούμενες τιμές του δείκτη γιατί δε μπορείς να προβλέψεις για την επόμενη χρονική στιγμή καλύτερα από την τρέχουσα τιμή του δείκτη. Αυτό ακριβώς είναι το χαρακτηριστικό της αποδοτικής αγοράς που εγγυάται το «έντιμο παιχνίδι» που δίνει την ίδια απόδοση σε όλους. Σε μελέτες που έγιναν σε χρονοσειρές μεταβολής τιμών για διάφορους χρηματιστηριακούς δείκτες επιβεβαιώνεται πως η αυτοσυσχέτιση (η χρονική συσχέτιση μεταξύ μεταβολών τιμών) είναι στατιστικά ασήμαντη, ενισχύοντας την υπόθεση της αποδοτικής αγοράς. Βέβαια η χρήση της πληροφορίας των τιμών άλλων σχετικών δεικτών ενδεχομένως να επιτρέπει σε κάποιο βαθμό την πρόβλεψη της τιμής του δείκτη, επιτρέποντας κέρδος. Πράγματι τέτοιες μελέτες έδειξαν πως η υπόθεση της αποδοτικής αγοράς δεν τηρείται. Εξάλλου, η υπόθεση της αποδοτικής αγοράς αντιστοιχεί περισσότερο σε ιδεατή κατάσταση της αγοράς παρά σε πραγματική αγορά, αλλά επιτρέπει στην ανάπτυξη θεωρίας και μοντέλων που μπορεί να είναι χρήσιμα στην περιγραφή της πραγματικής χρηματιστηριακής αγοράς. Η σχέση () υποδεικνύει για την τιμή του δείκτη το μοντέλο του τυχαίου περιπάτου. Ένα απλουστευμένο παράδειγμα τυχαίου περιπάτου δίνεται στο Σχήμα 3. Άρα σε μια αποδοτική χρηματιστηριακή αγορά περιμένουμε οι δείκτες της αγοράς να εκτελούν τυχαίο περίπατο. 6

7 Σχήμα 3 Χρονοσειρά τυχαίου περιπάτου με δυνατές κινήσεις παραμονής, ή κίνησης με σταθερό βήμα δεξιά ή αριστερά.. Παρατηρήσεις χρηματιστηριακών αγορών Οι παρατηρήσεις των χρηματιστηριακών δεδομένων καθορίζουν και την κλίμακα του χρόνου και των τιμών στην οποία γίνεται η μελέτη των χρηματιστηριακών αγορών... Κλίμακα χρόνου Ο χρόνος δειγματοληψίας χρηματιστηριακών δεδομένων έχει γίνει πιο μικρός με την ανάπτυξη της χρηματιστηριακής αγοράς και της ηλεκτρονικής τεχνολογίας. Έτσι ενώ ημερήσιες τιμές υπάρχουν σε κάποιες περιπτώσεις από την αρχή του ου αιώνα, τις τελευταίες δύο δεκαετίες έχουμε δεδομένα που καταγράφονται ανά λεπτό, αλλά και δεδομένα τύπου ick-by-ick, δηλαδή από συναλλαγή σε συναλλαγή. Ενώ η συχνότητα καταγραφής δεν αποτελεί πρόβλημα στην παρατήρηση χρηματιστηριακών δεικτών, η συνέχεια ή καλύτερα η ασυνέχεια στο φυσικό χρόνο (physical ime) φαίνεται να είναι ένα αξεπέραστο πρόβλημα. Για παράδειγμα στην καταγραφή του δείκτη S&P5 στο Σχήμα δεν υπάρχουν τιμές για τα Σαββατοκύριακα που είναι κλειστά τα χρηματιστήρια. Σε δείκτες μετοχών που καταγράφονται με συχνότητα ώρας ή λεπτού η ασυνέχεια παρουσιάζεται από το κλείσιμο του χρηματιστηρίου ως το άνοιγμα την επόμενη μέρα (ή μετά το Σαββατοκύριακο). Στην παγκόσμια αγορά συναλλαγματικών αξιών οι δείκτες ισοτιμίας συναλλάγματος μπορεί να γνωρίζουν μεγάλες διακυμάνσεις σε κάποιες χρονικές περιόδους που αντανακλούνε μεγάλη δραστηριότητα σε παγκόσμια κέντρα αγορών που δραστηριοποιούνται σε διαφορετικούς χρόνους (όταν η Ευρώπη δουλεύει η Αμερική κοιμάται). Στην ανάλυση χρηματοοικονομικών δεδομένων οι παρατηρήσεις δεν αναφέρονται στο φυσικό χρόνο αλλά στο χρόνο συναλλαγής ή αγοράς (radig or marke ime) ή σε κάποιες περιπτώσεις στον αριθμό συναλλαγών. Για παράδειγμα η χρονοσειρά του S&P5 στο Σχήμα y, y,, yn με αρίθμηση που αντιστοιχεί σε ομοιόμορφο χρόνο συναλλαγής (πρώτη μέρα συναλλαγής στις //98, δεύτερη στις //98 κτλ), δεν αντιστοιχεί σε ομοιόμορφο φυσικό χρόνο (η τρίτη μέρα συναλλαγής είναι Παρασκευή //98 ενώ η τέταρτη είναι Δευτέρα 5//8). Αυτή η ιδιαιτερότητα των χρηματοοικονομικών δεδομένων δημιουργεί προβλήματα στην ανάλυση τους και στην περιγραφή του υπό μελέτη συστήματος. Κάποια πληροφορία που μπορεί να επηρεάζει τη δυναμική εξέλιξη των τιμών των προϊόντων της αγοράς μπορεί να κυκλοφορήσει σε «νεκρό» χρόνο συναλλαγής και μπορεί να μεταβάλλει σημαντικά τις τιμές των προϊόντων με το άνοιγμα της αγοράς. Επίσης η δραστηριότητα της αγοράς δεν είναι ομοιόμορφη ως προς το χρόνο συναλλαγής, π.χ. υπάρχει μεγαλύτερη δραστηριότητα στην κίνηση των μετοχών κατά το άνοιγμα ή το κλείσιμο του χρηματιστηρίου. 7

8 Στη συνέχεια θα αγνοήσουμε το πρόβλημα από την αναφορά σε χρόνο συναλλαγής και θα υποθέσουμε ότι τα χρονικά βήματα είναι πραγματικά ομοιόμορφα... Κλίμακες τιμών Θεωρώντας την τιμή Y ενός συναλλαγματικού προϊόντος ή δείκτη (τη χρονική στιγμή ) ως τυχαία μεταβλητή, οι παρατηρήσεις της Y σε κάποια χρονική περίοδο αποτελούν τη χρονοσειρά y, y,, yn. Η τιμή ενός δείκτη καθορίζεται από το νόμισμα της αγοράς και για αυτό επηρεάζεται από παράγοντες όπως ο πληθωρισμός, ανάπτυξη ή ύφεση της οικονομίας, και διακυμάνσεις στην παγκόσμια αγορά. Αυτά τα φαινόμενα δημιουργούν σχετικά αργές τάσεις ή και διακυμάνσεις στο δείκτη Y που δε σχετίζονται με το υπό μελέτη σύστημα της χρηματιστηριακή αγοράς. Έτσι αντί η μελέτη να γίνει στη χρονοσειρά του δείκτη Y μπορεί να γίνει σε χρονοσειρά που προκύπτει από μετασχηματισμό του δείκτη Y με σκοπό την απαλοιφή της τάσης ή και της διακύμανσης. Παρακάτω δίνονται τρεις τέτοιοι μετασχηματισμοί:. Ο μετασχηματισμός της μεταβολής των τιμών του δείκτη, που απαλείφει την τάση στη χρονοσειρά y N x y y. (). Ο μετασχηματισμός της σχετικής μεταβολής των τιμών του δείκτη, που απαλείφει την τάση και ελαττώνει τις μεγάλες διακυμάνσεις στη χρονοσειρά N y x y y. (3) y 3. Ο μετασχηματισμός της μεταβολής του λογαρίθμου των τιμών του δείκτη, που έχει τα ίδια χαρακτηριστικά όπως ο παραπάνω μετασχηματισμός x l y l y. (4) Μπορεί να δειχθεί ότι για μεγάλες διακυμάνσεις της Y οι μετασχηματισμοί της σχέσης (3) και (4) δίνουν σχεδόν το ίδιο αποτέλεσμα και αναφέρονται και ως αποδόσεις του δείκτη (reurs). firs differece () years relaive chage () years years Σχήμα 4 Μετασχηματισμοί της χρονοσειράς του ημερήσιου δείκτη S&P5 την περίοδο //98 3/3/8. (α) Μεταβολή των τιμών του δείκτη. (β) Σχετική μεταβολή των τιμών του δείκτη. (γ) Μεταβολή του λογαρίθμου των τιμών του δείκτη. Παράδειγμα: Μετασχηματισμοί της χρονοσειράς S&P5 Οι τρεις μετασχηματισμοί δίνονται στο Σχήμα 4 για το δείκτη του S&P5 (δες Σχήμα ). Παρατηρούμε ότι οι χρονοσειρές που προκύπτουν από τους τρεις μετασχηματισμούς δεν παρουσιάζουν τάση. Η χρονοσειρά των πρώτων διαφορών του differece of logs () 8

9 δείκτης S&P5 φαίνεται να μην έχει σταθερή διασπορά, ενώ οι χρονοσειρές της σχετικής μεταβολής και της μεταβολής του λογαρίθμου των τιμών του δείκτη S&P5 φαίνεται να διατηρούν την ίδια διασπορά..3 Τυχαίος περίπατος Όπως αναφέρθηκε, η υπόθεση της αποδοτικής αγοράς υποδηλώνει ότι κάθε χρηματιστηριακός δείκτης Y ακολουθεί τυχαίο περίπατο και ισχύει E Y Y, Y,, Y Y. Ας δώσουμε το μαθηματικό ορισμό του τυχαίου περίπατου. Θεωρούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με ίδια κατανομή (idepede ad ideically disribued, iid) X, X,, X με μέση τιμή ( E X i για i,, ). Άρα οι X, X,, X έχουν όλες τις ροπές κοινές και ειδικότερα για τη ροπή δεύτερης τάξης (διασπορά) ισχύει E X i. Από την ανεξαρτησία τους ισχύει E XX i j ij για i, j,,, όπου ij είναι η συνάρτηση δέλτα που παίρνει την τιμή αν i j και αλλιώς. Το άθροισμα των iid τυχαίων μεταβλητών X, X,, X, Y X X X, είναι τυχαίος περίπατος. Θεωρώντας ότι το αντιστοιχεί σε χρονικά βήματα και συνεχώς αυξάνει, έχουμε τη διαδικασία του τυχαίου περιπάτου (radom walk process) Y σε διακριτό χρόνο και ισχύει E Y και E Y, δηλαδή η διασπορά του τυχαίου περιπάτου αυξάνει γραμμικά με τον αριθμό των χρονικών βημάτων. Ο τυχαίος περίπατος μπορεί να οριστεί αντίστοιχα και σε συνεχή χρόνο. Θεωρώντας ότι ο χρόνος μεταξύ δύο βημάτων τ s (χρόνος δειγματοληψίας) τείνει στο, s, για χρόνο s, η διασπορά είναι (η μέση τιμή είναι πάλι ) E Y ( ) D, όπου D είναι ο συντελεστής διάχυσης. Η στοχαστική s s διαδικασία Y () του τυχαίου περιπάτου στο συνεχή χρόνο λέγεται Wieer διαδικασία. Σε κάποια προβλήματα μπορεί να είναι χρήσιμο να θεωρήσουμε τη στοχαστική διαδικασία που παράγει τη χρονοσειρά που μελετάμε σε συνεχή χρόνο, παρόλο που η χρονοσειρά φυσικά είναι σε διακριτό χρόνο. Σε τέτοιες περιπτώσεις η Wieer διαδικασία αποτελεί την πιο απλή υπόθεση για την υποκείμενη συνεχή διαδικασία..4 Γκαουσιανή κατανομή και Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στον ορισμό του τυχαίου περιπάτου δεν έχουμε καθορίσει κάποιον συγκεκριμένο τύπο κατανομής των τυχαίων βημάτων X. Συχνά θεωρούμε ότι τα τυχαία βήματα X i ακολουθούν κανονική (ormal), ή αλλιώς Γκαουσιανή (Gaussia), κατανομή και αντίστοιχα ο τυχαίος περίπατος λέγεται Γκαουσιανός. Αυτό συμβαίνει γιατί γενικά όταν τυχαίες μεταβλητές ανεξάρτητες μεταξύ τους ακολουθούν Γκαουσιανή κατανομή με μέση τιμή μ και διασπορά σ, X i ~ (, ) για i,,, τότε και το άθροισμα τους ακολουθεί Γκαουσιανή κατανομή και μάλιστα ισχύει Y ~ (, ). Τι γίνεται όμως όταν τα τυχαία βήματα δεν ακολουθούν Γκαουσιανή κατανομή? i 9

10 Ας ξεκινήσουμε πρώτα με τον περιορισμό ότι τα τυχαία βήματα είναι ανεξάρτητα και έχουν πεπερασμένη διασπορά, δηλαδή E X i X i (οι τυχαίες μεταβλητές X i δε χρειάζεται να έχουν την ίδια διασπορά, μάλιστα δε χρειάζεται να έχουν ούτε την ίδια κατανομή). Τότε το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (ΚΟΘ) (Ceral Limi Theorem, CLT) κατοχυρώνει ότι όταν τα τυχαία βήματα (δηλαδή οι τυχαίες μεταβλητές X i ) είναι πολλά, όπου ενδεικτική συνθήκη είναι 3, τότε το άθροισμα των βημάτων Y ακολουθεί Γκαουσιανή κατανομή. Ας πάρουμε ως παράδειγμα την ομοιόμορφη κατανομή των τυχαίων βημάτων X i. Στο Σχήμα 5 δίνεται η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ) (probabiliy desiy fucio, pdf) fy ( y ) του αθροίσματος Y X X X για,, 3, 4. Η σππ του Y X X προκύπτει από τη συνέλιξη (covoluio) των σππ των X και X, που συμβολίζεται και ορίζεται ως Y X X X X f ( y) f ( x) f ( x) f ( x) f ( yx)dx. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία αυτή σε κάθε βήμα μπορούμε να υπολογίζουμε την fy ( y ) για κάθε. Παρατηρούμε ότι μόλις σε 4 βήματα από ομοιόμορφη κατανομή η κατανομή του τυχαίου περιπάτου προσεγγίζει τη Γκαουσιανή κατανομή..4 ().4 ().. f Y (y).8.6 f Y (y) Y Y.8 ().7 ().7.6 f Y3 (y) f Y4 (y) Y 3 Y 4 Σχήμα 5 Η σππ του αθροίσματος Y XX X για διάφορα όπου X i ~ U[.5,.5] για i,,, δηλαδή τα βήματα ακολουθούν ομοιόμορφη κατανομή: (α), (β), (γ) 3, (δ) 4. Οι κατανομές εκτιμώνται με ιστογράμματα διαστημάτων σε δείγματα μεγέθους 6. Συνεχίζοντας τον υπολογισμό της fy ( y ) του Y ως 5 βλέπουμε καλύτερα τη σύγκλιση στη Γκαουσιανή κατανομή, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6α. Παρατηρούμε

11 επίσης πως το εύρος της κατανομής του Y αυξάνει με το. Γενικά για τη διασπορά Y ισχύει Y X X X. Είναι συνήθης πρακτική στην στατιστική να τυποποιούμε μια τυχαία μεταβλητή (αφαιρώντας τη μέση τιμή της και διαιρώντας με την τυπική της απόκλιση). Για παράδειγμα θεωρώντας τη X με Γκαουσιανή κατανομή, X ~ (, ), με σππ ( x ) fx ( x) e, (5) ο μετασχηματισμός της X s X X s αποτελεί την τυποποίηση της X (που συμβολίζεται συνήθως με Z) ώστε η X s ακολουθεί την τυποποιημένη (ή τυπική) Γκαουσιανή κατανομή, X ~ (,) με σππ x / f s ( x) ( x) e. X Στην απλή αλλά σχετική με τη μελέτη μας περίπτωση, όπου οι τυχαίες μεταβλητές X i είναι τα τυχαία βήματα με μέση τιμή και σταθερή διασπορά, ο τυχαίος περίπατος Y έχει μέση τιμή και διασπορά Y =E Y. Η s τυποποίηση του Y Y /, για μεγάλο ακολουθεί την τυποποιημένη Y, s Γκαουσιανή κατανομή, Y ~ (,). Στο Σχήμα 6β δίνονται οι κατανομές για τις τυποποιημένες Y, όπου φαίνεται καλύτερα η σύγκλιση σε Γκαουσιανή κατανομή. s () ().4.3 f Y (y).5 f Y s(y).. Y - 4 Y s - 4 Σχήμα 6 (α) Οι σππ του Y XX X για,, 5 ( X i ~ U[.5,.5], s i,, ). (β) Όπως το (α) αλλά για την τυποποιημένη Y Y /. Y, Στο Σχήμα 7 και Σχήμα 8 δίνεται η σύγκλιση σε Γκαουσιανή κατανομή του τυχαίου περιπάτου Y όταν τα τυχαία βήματα ακολουθούν εκθετική κατανομή. Παρατηρούμε ότι σε αυτήν την περίπτωση η σύγκλιση είναι πιο αργή από την περίπτωση των βημάτων με ομοιόμορφη κατανομή. Έχουν γίνει μελέτες στην ταχύτητα σύγκλισης σε Γκαουσιανή κατανομή προτείνοντας όρια για την απόσταση της f ( y ) από τη ( y) ως συνάρτηση του για οποιαδήποτε αρχική κατανομή. s Y

12 ().4 () f Y (y).4 f Y (y) Y Y.35 ().5 ().3.5. f Y3 (y)..5 f Y4 (y) Y 3 Y 4 Σχήμα 7 Όπως στο Σχήμα 5 αλλά για εκθετική κατανομή των () () X. i.6 f Y (y).4. 5 Y 4 f Y s(y) Y s 4 Σχήμα 8 Όπως στο Σχήμα 6 αλλά για εκθετική κατανομή των Το ΚΟΘ βεβαιώνει ότι ξεκινώντας από οποιαδήποτε αρχική κατανομή f ( ) Y y με πεπερασμένη διασπορά (εννοώντας την κατανομή των τυχαίων βημάτων X i του τυχαίου περιπάτου Y ) η fy ( y ) προσεγγίζει τη Γκαουσιανή κατανομή καθώς αυξάνει το. Θεωρώντας το χώρο όλων των τύπων κατανομών συνεχούς τυχαίας μεταβλητής η Γκαουσιανή κατανομή είναι ένα σημείο με ιδιαίτερη σημασία. Ας ορίσουμε ότι η μετάβαση από ένα σημείο του χώρου αυτού σε ένα άλλο δίνεται με τη συνέλιξη της σππ του πρώτου σημείου με κάποια ορισμένη σππ. Έχοντας Y Y Y, η μετάβαση (απεικόνιση) από το σημείο fy στο σημείο f Y του χώρου των κατανομών (ή πιο σωστά των σππ) δίνεται από τη συνέλιξη της fy με την f Y, f ( ) ( ) ( ) Y y f Y y f Y y, όπου υποθέτουμε πως το κάθε βήμα Y είναι iid. Άρα σύμφωνα με την παραπάνω απεικόνιση στο χώρο των κατανομών η Γκαουσιανή X. i

13 κατανομή αποτελεί ευσταθές σταθερό σημείο (sable fixed poi) που ελκύει όλες τις κατανομές με πεπερασμένη διασπορά. Η λεγόμενη λεκάνη έλξης (basi of aracio) φαίνεται να είναι μεγάλη καθώς συμπεριλαμβάνει τις πιο γνωστές κατανομές, όπως την ομοιόμορφη και την εκθετική. Όμως η Γκαουσιανή κατανομή με τη λεκάνη έλξης της καλύπτουν μόνο τον υποχώρο των κατανομών με πεπερασμένη διασπορά. Στα πλαίσια της μελέτης της χρηματιστηριακής αγοράς, ο υπόλοιπος χώρος των κατανομών που δεν έχουν πεπερασμένη διασπορά φαίνεται να έχει μεγαλύτερο ενδιαφέρον. Θα δούμε λοιπόν στη συνέχεια ότι για τους χρηματιστηριακούς δείκτες ο τυχαίος περίπατος μάλλον δεν είναι Γκαουσιανός και υπάρχουν άλλες ευσταθές κατανομές (sable disribuios) με άπειρη όμως διασπορά..5 Ευσταθείς κατανομές και Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Η Γκαουσιανή κατανομή είναι μόνο μια από τις ευσταθές κατανομές και αν στο χώρο των συνεχών κατανομών η Γκαουσιανή κατανομή είναι ένα σημείο, τις ευσταθείς κατανομές θα τις παριστάναμε με ευθεία. Μια κατανομή χαρακτηρίζεται ευσταθής (sable) αν η συνέλιξη της σππ της κατανομής με την ίδια σππ δίνει σππ της ίδιας κατανομής, δηλαδή αν οι τυχαίες μεταβλητές X και X ακολουθούν ευσταθή κατανομή τότε και το άθροισμα τους Y X X ακολουθεί την ίδια ευσταθή κατανομή (όχι βέβαια με τις ίδιες παραμέτρους της κατανομής)..5. Χαρακτηριστική συνάρτηση Για τη μελέτη των ευσταθών κατανομών είναι καλύτερα αντί να προσδιορίσουμε την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Y με την σππ fy ( y ) να την προσδιορίσουμε με τη χαρακτηριστική συνάρτηση (characerisic fucio) Y ( q ) που είναι ο μετασχηματισμός Fourier της σππ iqy ( q) f ( y) e dy. (6) Y Για παράδειγμα η χαρακτηριστική συνάρτηση της Γκαουσιανής κατανομής με σππ q όπως στην (5) και με μηδενική μέση τιμή είναι Y ( q ) e και ειδικότερα της.5 τυποποιημένης Γκαουσιανής κατανομής ( ) είναι q Y ( q ) e. Το πλεονέκτημα με τη χρήση των χαρακτηριστικών συναρτήσεων είναι ότι η συνέλιξη των σππ αντιστοιχεί σε γινόμενο των χαρακτηριστικών συναρτήσεων. Αυτή η ιδιότητα μας επιτρέπει να ελέγξουμε την ευστάθεια μιας κατανομής με το μετασχηματισμό Fourier της σππ στη χαρακτηριστική συνάρτηση αλλά και τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier μετατρέπει την χαρακτηριστική συνάρτηση σε σππ και ορίζεται ως iqy fy( y) Y( q) e dq. (7).5. Ευστάθεια της Γκαουσιανής κατανομής Η ευστάθεια της Γκαουσιανής κατανομής μπορεί εύκολα να ελεγχθεί αφού για το άθροισμα Y X X με X, X Γκαουσιανές iid, το γινόμενο των χαρακτηριστικών συναρτήσεων είναι Y q q q ( q Y ) e e e. 3

14 q Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier για την ( q Y ) e δίνει fy ( y) e, όπου η έκφραση της σππ είναι όπως στην (5) και δείχνει ότι η κατανομή του αθροίσματος είναι επίσης Γκαουσιανή με διασπορά..5.3 Ευστάθεια της κατανομής Cauchy Ας εξετάσουμε τώρα μια άλλη κατανομή που έχει άπειρη διασπορά, την κατανομή Cauchy (ή Lorezia ή Brei-Wiger) που είναι γνωστή στη φυσική, π.χ. ως η λύση της διαφορικής εξίσωσης που περιγράφει εξαναγκασμένο συντονισμό. Η σππ της κατανομής Cauchy είναι fx ( x), ( xx ) για κάποια παράμετρο θέσης (locaio parameer) x και παράμετρο κλίμακας (scale parameer) γ (αυτές είναι οι αντίστοιχες παράμετροι για τη μέση τιμή μ και διασπορά σ της Γκαουσιανής κατανομής αντίστοιχα). Η τυποποιημένη Cauchy κατανομή προκύπτει για x και f s ( x). X x Στο Σχήμα 9α δίνεται η τυποποιημένη κατανομή Cauchy μαζί με την τυποποιημένη Γκαουσιανή κατανομή, όπου φαίνεται η διαφορά στις ουρές. Επίσης στο Σχήμα 9β δίνεται η μορφή της κατανομής Cauchy για διαφορετικές τιμές των παραμέτρων θέσης και κλίμακας. f X (x) () Cauchy Gaussia f X (x) y () x = =.5 x = = x = = x =- = -5 5 X -5 5 X Σχήμα 9 (α) Η σππ της τυποποιημένης κατανομής Cauchy μαζί με την τυποποιημένη Γκαουσιανή κατανομή. (β) Η σππ της κατανομής Cauchy για διαφορετικές τιμές των παραμέτρων θέσης και κλίμακας. Ξεκινώντας από την (6) μπορεί κάποιος να δείξει πως η χαρακτηριστική q συνάρτηση της κατανομής Cauchy ( x ) είναι ( q X ) e. Για το άθροισμα Y X X με X, X να είναι iid και να ακολουθούν την κατανομή Cauchy ( x ), το γινόμενο των χαρακτηριστικών συναρτήσεων είναι Y ( q ) e e e q q q. 4

15 Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier δίνει fy ( y), 4 y όπου η έκφραση της σππ υποδηλώνει ότι η κατανομή του αθροίσματος είναι επίσης Cauchy αλλά με παράμετρο κλίμακας γ..5.4 Ορισμός της οικογένειας των ευσταθών κατανομών Η χαρακτηριστική συνάρτηση των δύο παραπάνω ευσταθών κατανομών, Γκαουσιανή και Cauchy, έχει τη μορφή ( q q Y ) e, με για την Γκαουσιανή κατανομή και για την κατανομή Cauchy. Βέβαια για τις παραπάνω κατανομές θεωρήσαμε ότι η παράμετρος θέσης (locaio parameer), δηλαδή η μέση τιμή, είναι. Επίσης και οι δύο αυτές κατανομές είναι συμμετρικές, ενώ υπάρχουν ευσταθείς κατανομές που δεν είναι συμμετρικές. Η γενική μορφή των ευσταθών κατανομών είχε αποτελέσει αντικείμενο έρευνας και βρέθηκε (τη δεκαετία του ) ότι η χαρακτηριστική συνάρτηση της είναι (σε λογαριθμική μορφή) q iq q i a q l Y ( q) q iq q i l q q όπου, γ είναι η παράμετρος κλίμακας, μ είναι η παράμετρος θέσης και β η παράμετρος ασυμμετρίας με τιμές μεταξύ - και ( για συμμετρία). Στη γενική μορφή οι τιμές θέσης και κλίμακας μπορούν να απλουστευτούν σε και. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της χαρακτηριστικής συνάρτησης στην (8) δεν είναι πάντα δυνατός ακόμα και για την απλουστευμένη μορφής της. Αναλυτική έκφραση της σππ γνωρίζουμε μόνο για τις παρακάτω 3 περιπτώσεις:., : η Γκαουσιανή κατανομή.., : η κατανομή Cauchy. 3..5, : η κατανομή Lévy-Smirov. Οι ευσταθείς κατανομές αναφέρονται και ως κατανομές τύπου Lévy επειδή ο Lévy ήταν από τους πρώτους που καθόρισε τη μορφής τους στην (8). Αυτό μπορεί να δημιουργεί σύγχυση καθώς υπάρχει συγκεκριμένος τύπος ευσταθής κατανομής με το ίδιο όνομα (η περίπτωση 3)..5.5 Η ευσταθής κατανομή Lévy Στο Σχήμα α δίνεται η σππ της τυποποιημένης κατανομής Lévy ( και ) μαζί με την σππ της τυποποιημένης Γκαουσιανής και Cauchy κατανομή. Η κατανομής Lévy ( ) ορίζεται μόνο για θετικές τιμές και για αυτό το σχήμα περιορίζεται σε αυτές τις τιμές. Παρατηρούμε ότι η ουρά της κατανομής Lévy φαίνεται να είναι η πιο παχιά (heavy ail). Στο Σχήμα β δίνεται η μορφή της κατανομής Lévy για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου κλίμακας ( ). (8) 5

16 () Cauchy Gaussia Levy.8.6 () =.5 = = =4 f X (x). f X (x) X X Σχήμα (α) Η σππ της τυποποιημένης κατανομής Lévy μαζί με την τυποποιημένη Γκαουσιανή και Cauchy κατανομή. (β) Η σππ της κατανομής Lévy για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου κλίμακας. Το ενδιαφέρον με τις ευσταθείς κατανομές εστιάζεται στις ουρές τους που για τις χρηματιστηριακές αγορές αυτό σημαίνει ότι κάποιος δείκτης μπορεί να πάρει πολύ ακραίες τιμές (να πέσει ή να ανέβει σε απρόβλεπτα (;) επίπεδα). Όπως φαίνεται στο Σχήμα α η ουρά της Γκαουσιανής κατανομής φθίνει γρήγορα προς το και για αυτό έχει πεπερασμένη διασπορά ενώ η ουρά της κατανομής Cauchy και Lévy δε μηδενίζεται ασυμπτωτικά και η διασπορά της είναι άπειρη..5.6 Νόμος δύναμης στις κατανομές και γενίκευση του ΚΟΘ Μπορεί κάποιος να δείξει ότι για μεγάλες τιμές y της Y που ακολουθεί μη- Γκαουσιανή ευσταθή κατανομή ( ) ισχύει fy ( y) y ( ), (9) δηλαδή η σππ για μεγάλο y ακολουθεί νόμο δύναμης (power-law) ως προς το y. Για k τις ροπές τάξης k, E y, αυτό σημαίνει πως αποκλίνουν για k. Μια άλλη ιδιότητα των ευσταθών κατανομών είναι η κλιμάκωση (scalig) που επιδέχονται. Στο Σχήμα 6 και Σχήμα 8 χρησιμοποιήθηκε η τυποποίηση της τυχαίας μεταβλητής Y για να φανεί η σύγκλιση στη Γκαουσιανή κατανομή. Ένας άλλος μετασχηματισμός που έχει το ίδιο αποτέλεσμα είναι με αλλαγή κλίμακας (rescalig) s / (με βάση το ) Y Y. Αυτή η αλλαγή κλίμακας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει κάποιος ότι αν τα τυχαία βήματα X i ακολουθούν νόμο δύναμης για μεγάλες τιμές τότε το άθροισμα τους Y προσεγγίζει την ευσταθή κατανομή με τον ίδιο νόμο δύναμης. Συγκεκριμένα ας υποθέσουμε ότι κάθε βήμα είναι iid με σππ που έχει την παρακάτω ιδιότητα στις ουρές της ( ) C x x fx i ( x) () ( ) C x x και ας θέσουμε την παράμετρο ασυμμετρίας ως C C. C C Τότε με την κατάλληλη αλλαγή κλίμακας η f s ( y ) προσεγγίζει την σππ της Y ευσταθούς κατανομής με δείκτη α και παράμετρο ασυμμετρίας β. 6

17 Η ύπαρξη τέτοιας σύγκλισης αποτελεί τη γενίκευση του ΚΟΘ για κατανομές με ροπές που απειρίζονται (ή αλλιώς για κατανομές με νόμο κλιμάκωσης στις ουρές τους ή στην ουρά τους). Οι συνθήκες του γενικευμένου ΚΟΘ είναι όπως και πριν, δηλαδή τα τυχαία βήματα είναι iid. Άρα για κάθε α, όπου, υπάρχει και μια ευσταθή κατανομή που έλκει όλες τις σππ fy ( y ) που έχουν την ιδιότητα της (), δηλαδή είναι ευσταθές σταθερό σημείο στο χώρο των συνεχών κατανομών, όπως η Γκαουσιανή κατανομή για. Η διαφορά είναι πως η λεκάνη έλξης της Γκαουσιανής κατανομής περιλαμβάνει όλες τις κατανομές με πεπερασμένη διασπορά ενώ η λεκάνη έλξης για κάθε άλλη ευσταθή κατανομή περιέχει κατανομές με άπειρη διασπορά. Επικεντρώνοντας το ενδιαφέρον στην ουρά (ή στις ουρές) της κατανομής, αν η μορφή της σππ στην ουρά της κατανομής ακολουθεί νόμο δύναμης τότε η διασπορά είναι άπειρη και την αντιστοιχίζουμε σε ευσταθή κατανομή (με τον αντίστοιχο δείκτη α στον εκθέτη της δύναμης) ενώ αλλιώς την αντιστοιχίζουμε σε Γκαουσιανή κατανομή. Από τη φυσική είναι γνωστό ότι νόμος δύναμης στις ουρές παρατηρείται σε κατανομές ανοιχτών συστημάτων, όπως είναι και το σύστημα χρηματιστηριακής αγοράς. Ένα τέτοιο ανοιχτό σύστημα είναι στο παρακάτω παράδειγμα..5.7 Το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης Το παράδοξο αυτό είναι ένα τυχερό παιχνίδι που όρισε ο N. Berulli και αργότερα ο D. Berulli δημοσίευσε στο Commearies of he Imperial Academy of Sciece of Sai Peersburg και για αυτό ονομάστηκε το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης (S Peersburg paradox). Στο τυχερό αυτό παιχνίδι μπαίνει ένας παίκτης δίνοντας ένα ποσό Α (για κάθε φορά που συμμετέχει). Το παιχνίδι αρχίζει με τη ρίψη του νομίσματος και συνεχίζει ας πούμε μέχρι να έρθει «γράμματα». Το παιχνίδι ξεκινάει με ένα ευρώ (πριν την πρώτη ρίψη του νομίσματος) και το ποσό διπλασιάζεται πριν την κάθε νέα ρίψη του νομίσματος. Ο παίχτης κερδίζει το ποσό που αθροίστηκε ως τη λήξη του παιχνιδιού. Έτσι αν το παιχνίδι τερματίσει στην επανάληψη (στην ρίψη το νόμισμα είναι στη θέση «γράμματα») ο παίχτης κερδίζει - ευρώ, όπως φαίνεται στον Πίνακας. Πίνακας Ανάλυση του παραδόξου της Αγίας Πετρούπολης στις πιθανές καταστάσεις τερματισμού. ρίψη κέρδος πιθανότητα αναμενόμενο κέρδος / x / = / /4 x /4 = / 3 4 /8 4 x /8 = / - / - x (/ )= / Η πιθανότητα να τερματίσει το παιχνίδι στη -στη ρίψη του νομίσματος είναι /. Η πιθανότητα να προχωρήσει το παιχνίδι σε κάποια μεγάλη επανάληψη (και να έχει ο παίχτης μεγάλα κέρδη) μειώνεται με νόμο δύναμης αλλά παραμένει μη-μηδενική για οσοδήποτε μεγάλη επανάληψη. Από την άλλη το αναμενόμενο κέρδος για οποιαδήποτε επανάληψη που σημάνει λήξη του παιχνιδιού είναι πάντα /, όπως δίνεται στην τελευταία στήλη του Πίνακας. Το συνολικό αναμενόμενο κέρδος που αντιστοιχεί στη μέση τιμή του κέρδους είναι άπειρο, /+/+! που προϋποθέτει 7

18 βέβαια ότι ο διοργανωτής του παιχνιδιού έχει να διαθέσει το άπειρο ποσό. Το παράδοξο του παιχνιδιού είναι πως ο διοργανωτής του παιχνιδιού και ο παίχτης δε θα συμφωνούσαν γιατί: Ο διοργανωτής θα ζητούσε το ποσό συμμετοχής Α του παίχτη να είναι τουλάχιστον στο μέσο κέρδος (και κάτι παραπάνω για να έχει ο ίδιο κέρδος!), δηλαδή «άπειρα ευρώ». Ο παίχτης δε θα συμφωνούσε για ένα ποσό Α πολύ μεγάλο (που έστω να αγγίζει τα «άπειρα ευρώ») γιατί υποθέτει δε θα είναι τόσο τυχερός να κερδίσει μεγάλα ποσά αφού αυτά εμφανίζονται σπάνια. Μάλιστα ακόμα και αν ένας διοργανωτής του παιχνιδιού που υποσχόταν να καλύψει πολύ μεγάλα ποσά ζητούσε ένα σχετικά μικρό ποσό για τη συμμετοχή των παιχτών, π.χ. ευρώ, λίγοι λογικοί παίχτες θα ενθουσιάζονταν και θα ήθελαν να παίξουν. Η απάντηση δίνεται από την προσομοίωση 6 επαναλήψεων του παιχνιδιού στο Σχήμα. Με την αύξηση του πλήθους των παιχνιδιών που συμμετέχει ο παίκτης o μέσος όρος του κέρδους του αυξάνεται με γενικά αργά όμως ρυθμό. Η ραγδαία αύξηση του μέσου όρου συμβαίνει σε παιχνίδια που δίνουν πολύ μεγάλη απόδοση (τα οποία όμως συμβαίνουν σπάνια!). 5 average wiig games x 5 Σχήμα Διάγραμμα του μέσου κέρδους του παίχτη ως προς τον αριθμό των παιχνιδιών που συμμετέχει. Η εξήγηση για το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης δίνεται από την κατανομή του κέρδους του παίχτη σε κάθε παιχνίδι ή καλύτερα σε κάθε τιμή κέρδους. Από τον Πίνακας μπορεί κάποιος να υπολογίσει πως η πιθανότητα του κάθε κέρδους δίνεται από νόμο δύναμης ως προς το κέρδος με εκθέτη -. Η διασπορά όπως και η μέση τιμή της κατανομής αυτής απειρίζεται και για αυτό δεν υπάρχει μια χαρακτηριστική κλίμακα (characerisic scale) τιμών του κέρδους που να μπορούν να συμφωνήσουν ο διοργανωτής του παιχνιδιού και ο παίχτης. Στο παράδειγμα αυτό ο νόμος κλιμάκωσης ορίζεται θεωρητικά για αλλά πρακτικά το παιχνίδι μπορεί να παίζεται μόνο ως κάποιο πεπερασμένο. Στην πράξη στα συστήματα που συναντάμε οι τυχαίες μεταβλητές των οποίων εξετάζουμε την κατανομή έχουν πεπερασμένα όρια. Ο νόμος κλιμάκωσης, αν υπάρχει, περιμένουμε να διατηρείται για κάποιο εύρος μεγάλων τιμών της τυχαίας μεταβλητής. Επιστρέφοντας στο σύστημα της χρηματιστηριακής αγοράς θέτουμε το ερώτημα κατά πόσο οι μεταβολές τιμών για κάποιο χρηματιστηριακό δείκτη ακολουθούν ευσταθή κατανομή. Σύμφωνα με το γενικευμένο οριακό θεώρημα θα πρέπει τα τυχαία βήματα, που αντιστοιχούν στις επακόλουθες μεταβολές τιμών σε μια περίοδο να είναι 8

19 iid. Ενώ υπάρχουν ενδείξεις ότι οι επακόλουθες μεταβολές τιμών είναι ανεξάρτητες δε φαίνεται να ακολουθούν την ίδια κατανομή (δες για παράδειγμα τις αποδόσεις του δείκτη S&P5 στο Σχήμα 4)..5.8 Άπειρα διαιρετές κατανομές Όταν οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες αλλά δεν έχουν την ίδια κατανομή, υπάρχει ένα άλλο θεώρημα που ορίζει ότι η σύγκλιση είναι σε κατανομή με την ιδιότητα όχι απαραίτητα της ευστάθειας αλλά της άπειρης διαιρετότητας (ifiiely divisibiliy). Μια κατανομή είναι άπειρα διαιρετή όταν για κάθε φυσικό αριθμό, η τυχαία μεταβλητή Y της κατανομής μπορεί να παρασταθεί ως το άθροισμα τυχαίων μεταβλητών iid X i, i=,,. Με τη βοήθεια της χαρακτηριστικής συνάρτησης αυτή η ιδιότητα μπορεί να ελεγχθεί αν ισχύει για κάθε ( q) ( q), () Y όπου Y ( q ) είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση της Y και X ( q ) είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση της κάθε X i. Όλες οι ευσταθείς κατανομές αλλά και άλλες κατανομές, όπως η κατανομή Poisso και η Γάμμα κατανομή, είναι άπειρα διαιρετές, δηλαδή το σύνολο των άπειρων διαιρετών κατανομών είναι υπερσύνολο του συνόλου των ευσταθών κατανομών και περιέχει και άλλες κατανομές με πεπερασμένη ή άπειρη διασπορά. Βέβαια υπάρχουν και κατανομές που δεν είναι άπειρα διαιρετές, όπως η ομοιόμορφη κατανομή. Θεωρώντας την κατανομή ενός χρηματιστηριακού δείκτη μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι η οριακή κατανομή του αθροίσματος πολλών ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών (ή αλλαγές σε κάθε χρονικό βήμα συναλλαγής) αλλά όχι απαραίτητα με την ίδια κατανομή, δηλαδή η κατανομή είναι άπειρα διαιρετή, αλλά όχι απαραίτητα και ευσταθή. Ένα άλλο ερώτημα είναι κατά ποσό η κατανομή ακολουθεί στις ουρές της νόμο δύναμης, δηλαδή έχει άπειρη διασπορά, ή έχει πεπερασμένη διασπορά και μπορεί να προσδιοριστεί από κάποια χαρακτηριστική κλίμακα των τιμών της. Η χαρακτηριστική κλίμακα είναι ιδιότητα των πεπερασμένων συστημάτων ως προς τις τιμές τους αλλά και ως προς το χρόνο συσχέτισης όπως θα δούμε στη συνέχεια. Παράδειγμα: Κατανομή για τη χρονοσειρά μεταβολών του δείκτη S&P5 Κλείνουμε το θέμα για τον τύπο της κατανομής τυχαίων μεταβλητών με ένα παράδειγμα για την κατανομή του ημερήσιου δείκτη S&P5 (τιμή κλεισίματος) την περίοδο //98 3/3/8. Η χρονοσειρά του δείκτη S&P5 είναι { y, y,, y N } και Ν=644. Οι πρώτες διαφορές x y y παριστάνουν τη χρονική εξέλιξη της μεταβολής του δείκτη και αποτελούν τα τυχαία βήματα αν υποθέσουμε ότι ο δείκτης είναι τυχαίος περίπατος. Στο Σχήμα α δίνεται η κατανομή των πρώτων διαφορών μαζί με την κανονική κατανομή κατάλληλα προσαρμοσμένη (με μέση τιμή και τυπική απόκλιση όπως αυτή εκτιμάται από τη χρονοσειρά των πρώτων διαφορών). Η σππ εκτιμήθηκε με ιστόγραμμα. Παρατηρούμε πως η κατανομή των πρώτων διαφορών είναι λεπτοκυρτή και σημαντικά διαφορετική από τη Γκαουσιανή κατανομή. Το ίδιο παρατηρούμε και στο Σχήμα β για τη χρονοσειρά των δεύτερων διαφορών y y, που μπορεί να θεωρηθεί και ως δείγμα του αθροίσματος δύο τυχαίων βημάτων, δηλαδή Y X X (δες παρ..4). Η μορφή της κατανομής παραμένει η ίδια και για μεγαλύτερες υστερήσεις, όπως δίνεται στο Σχήμα γ για υστέρηση (ή αντίστοιχα άθροισμα τυχαίων βημάτων). Στην τελευταία περίπτωση, από το πλήθος των 643 τυχαίων βημάτων, μπορούμε να σχηματίσουμε 64 παρατηρήσεων για το άθροισμα τυχαίων βημάτων ( y ). X y 9

20 Αυτό το πλήθος δεδομένων χρησιμοποιήθηκε και για τα άλλα σχήματα για να είναι συγκρίσιμα τα ιστογράμματα..4 (). ()...8 f X (x).8.6 f X (x) X X.4 () f X (x) X Σχήμα Η εκτίμηση της σππ με ιστόγραμμα για τις πρώτες διαφορές y y του ημερήσιου δείκτη S&P5 στο (α) τις διαφορές υστέρησης y y στο (β) και τις διαφορές υστέρησης y y στο (γ). Σε κάθε σχήμα παρουσιάζεται και το γράφημα της σππ της Γκαουσιανής κατανομής που προσαρμόζεται στα δεδομένα. Το πλήθος των στοιχείων και στις τρεις περιπτώσεις είναι 64, όπου για το (α) αυτά επιλέχτηκα τυχαία από 643 στοιχεία και για το (β) επιλέχτηκαν τυχαία από 3 στοιχεία. Οι μεταβολές του ημερήσιου δείκτη S&P5 (οι πρώτες διαφορές) δε φαίνεται να ακολουθούν κανονική κατανομή και επίσης τα αθροίσματα μεταβολών δε φαίνεται να συγκλίνουν σε Γκαουσιανή κατανομή. Αυτό φαίνεται καλύτερα στο Σχήμα 3α όπου δίνεται η σππ για τα πρώτα αθροίσματα των μεταβολών με την Γκαουσιανή κατανομή να μην προσαρμόζεται καθώς πληθαίνουν οι όροι του αθροίσματος. Αντίθετα η κατανομή Cauchy φαίνεται να προσαρμόζεται ικανοποιητικά καθώς πληθαίνουν οι όροι του αθροίσματος, όπως δίνεται στο Σχήμα 3β. Από την ανάλυση αυτή οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι αν θεωρήσουμε τις μεταβολές του ημερήσιου δείκτη S&P5 ως παρατηρήσεις από iid τυχαία βήματα, τότε ασυμπτωτικά το άθροισμα τους συγκλίνει σε ευσταθή κατανομή, όχι όμως Γκαουσιανή, δηλαδή ο ημερήσιος δείκτης S&P5 είναι τυχαίος περίπατος όχι όμως Γκαουσιανός. Σημειώνεται ότι το παραπάνω συμπέρασμα προέρχεται από απλή παρατήρηση της εκτίμησης των σππ για τα διάφορα αθροίσματα μεταβολών και βασίζεται στην υπόθεση ότι οι μεταβολές είναι τυχαία βήματα, δηλαδή iid. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε αν οι μεταβολές των δεικτών είναι ανεξάρτητες (idepede) ή συσχετίζονται και αν έχουν την ίδια κατανομή (ideical disribuio) ή η κατανομή τους μπορεί να αλλάζει σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα.

21 () () f Y s(y). f Y s(y) Y s -5 Y s -5 s Σχήμα 3 Οι σππ για την τυποποιημένη Y Y /, όπου Y XX X για,, όπου X, i i,,, είναι οι πρώτες διαφορές του ημερήσιου δείκτη S&P5. Στο (α) δίνεται για κάθε η σππ της Γκαουσιανής κατανομής και στο (β) της Cauchy.

22 Ασκήσεις Κεφαλαίου. Για τη χρονοσειρά του δείκτη από το Χρηματιστήριο Αξιών Αθηνών (Ahes Sock Exchage, ASE) την περίοδο 5//986 3/3/8, όρισε την ημερήσια μεταβολή X από τη διαφορά τις τιμής κλεισίματος σε δύο διαδοχικές μέρες (για χρόνους και -). (α) Σχημάτισε το ιστόγραμμα των μεταβολών και προσάρμοσε Γκαουσιανή κατανομή καθώς και κατανομή με άπειρη διασπορά, όπως Cauchy. Ποια κατανομή φαίνεται να προσαρμόζεται καλύτερα στα πραγματικά δεδομένα; (β) Κάνε το ίδιο με το (α) αλλά για το άθροισμα συνεχόμενων μεταβολών.. Προσομοίωσε το Παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης. Συγκεκριμένα: (α) Υπολόγισε το μέσος κέρδος όταν κάποιος παίζει το παιχνίδι φορές, όπου το μπορεί να αυξάνει σε αυθαίρετα μεγάλες τιμές και έστω η μέγιστη επανάληψη του παιχνιδιού να είναι 5. (β) Κάνε τη γραφική παράσταση του μέσου κέρδους ως προς. (γ) Επανέλαβε το ίδιο πείραμα στο (α) και (β) Κ φορές και κράτησε την τιμή του μέσου κέρδους για το μέγιστο αριθμό επαναλήψεων 5. Διαφέρουν οι K αυτές τιμές;

23 3 Συσχετίσεις σε χρονοσειρές Η χρονοσειρά ενός χρηματιστηριακού δείκτη y, y,, yn μπορεί να θεωρηθεί ως πραγματοποίηση μιας στοχαστικής διαδικασίας Y. Αντίστοιχα η χρονοσειρά της μεταβολής των τιμών του δείκτη x, x,, xn μπορεί να θεωρηθεί ως πραγματοποίηση μιας άλλης στοχαστικής διαδικασίας X. Σημειώνεται ότι η μεταβολή των τιμών του δείκτη μπορεί να ορισθεί από τις πρώτες διαφορές των τιμών του δείκτη x y y ή από τις πρώτες διαφορές των λογαρίθμων των τιμών x log y log y (που είναι ισοδύναμο με τη σχετική μεταβολή ή όπως λέγεται στα y y χρηματοοικονομικά απόδοση, x ). Στο προηγούμενο κεφάλαιο y ασχοληθήκαμε με τη στατική περιγραφή των χρονοσειρών (και κατ επέκταση των αντίστοιχων στοχαστικών διαδικασιών) και η μελέτη περιορίστηκε στην περιθώρια κατανομή των y, y,, yn και x, x,, xn. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με κάποια θέματα της δυναμικής περιγραφής των χρονοσειρών αυτών και ειδικότερα τις συσχετίσεις. Πρώτα θα παρουσιαστούν κάποια βασικά στοιχεία για την κατανομή, τις ροπές και τη στασιμότητα μιας στοχαστικής διαδικασίας. Στη συνέχεια θα μελετηθούν συσχετίσεις βραχείας και μακράς κλίμακας και θα δοθούν μέθοδοι για την εκτίμηση του δείκτη μακράς συσχέτισης Hurs. 3. Κατανομές και ροπές στοχαστικής διαδικασίας Η πλήρης περιγραφή μιας στοχαστικής διαδικασίας Y απαιτεί ότι οι κοινές κατανομές όλων των τάξεων είναι γνωστές για κάθε χρονική στιγμή. Ξεκινώντας από τάξη ένα, η (περιθώρια) κατανομή της στη γενική της μορφή είναι Y Z, f ( y) f ( y, ), δηλαδή ορίζεται ως συνάρτηση όχι μόνο της κάθε τιμής y αλλά και του χρόνου. Κατά τον ίδιο τρόπο η κοινή κατανομή δύο μεταβλητών της ) είναι, Z, Y Y, Y Y Y Y f ( y, y ) f ( y, y,, ), η κοινή κατανομή τριών μεταβλητών (κατανομή τάξης 3) είναι,, Z, 3 f ( y, y, y ) f ( y, y, y,,, ) Y, Y, Y Y 3 (κατανομή τάξης και αντίστοιχα ορίζονται οι κατανομές μεγαλύτερων τάξεων. Αντίστοιχα με τις κατανομές ορίζονται και οι ροπές της στοχαστικής διαδικασίας, δηλαδή ως συναρτήσεις του χρόνου. Η μέση τιμή (ροπή πρώτης τάξης) είναι Η ροπή δεύτερης τάξης είναι Z, Y yf ( y, )dy. Y, Z, (, ) Y Y y y f ( y, y,, )dydy Y και η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης που ονομάζεται αυτοδιασπορά (auocovariace) είναι 3

24 (, ) ( Y )( Y ) ( YY, ). Για ορίζεται η διασπορά Y ( Y ). Αντίστοιχα ορίζονται οι ροπές και οι κεντρικές ροπές μεγαλύτερης τάξης για δύο μεταβλητές και οι ροπές γενικεύονται για περισσότερες μεταβλητές. Σημειώνεται ότι από τις ροπές για κάθε τάξη για δύο ή περισσότερες μεταβλητές μπορεί να οριστεί η αντίστοιχη κοινή κατανομή. Σε αυτήν τη γενική περιγραφή της στοχαστικής διαδικασίας οι κατανομές και οι ροπές είναι συναρτήσεις των χρονικών στιγμών, δηλαδή μπορούν να μεταβάλλονται με το χρόνο. 3. Στασιμότητα Η στατιστική περιγραφή της στοχαστικής διαδικασίας απλουστεύεται αν θεωρήσουμε ότι οι στατιστικές της ιδιότητες παραμένουν σταθερές στο χρόνο και τότε η στοχαστική διαδικασία ορίζεται ως στάσιμη. Αυτή είναι μα υπόθεση που δύσκολα μπορεί να υοθετηθεί σε χρηματο-οικονομικά προβλήματα, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως υπόθεση εργασίας για την εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων, ακόμα και σε χρηματο-οικονομικά προβλήματα. Ειδικότερα ορίζονται δύο μορφές στασιμότητας. Η στοχαστική διαδικασία Y είναι αυστηρά στάσιμη (sric-sese saioary) όταν οι κατανομές της για κάθε τάξη (ή ισοδύναμα όλες οι ροπές) είναι σταθερές στo χρόνο, δηλαδή όταν ισχύει Z, f ( y) f ( y, ) f ( y),, Z,,, Z, 3 Y Y Y f ( y, y ) f ( y, y ), Y, Y, Y Y f ( y, y, y ) f ( y, y, y ), Y, Y, Y 3,, 3 Y 3 Y Y και αντίστοιχα για κατανομές μεγαλύτερης τάξης. Για ροπές τάξης μεγαλύτερης του ένα, οι κατανομές δίνονται ως συνάρτηση όχι των χρονικών στιγμών, π.χ.,, αλλά της υστέρησης μεταξύ των χρονικών στιγμών, π.χ., δηλαδή για οποιεσδήποτε δύο χρονικές στιγμές που απέχουν μεταξύ τους τ χρονικά βήματα. Ο έλεγχος της αυστηρής στασιμότητας απαιτεί τη διερεύνηση κοινών κατανομών ή ροπών όλων των τάξεων και δεν αποτελεί μια πρακτικά χρήσιμη ιδιότητα. Για αυτό συχνά χαλαρώνουμε τη συνθήκη στασιμότητας περιορίζοντας την στις δύο πρώτες ροπές. Η στοχαστική διαδικασία Y είναι ασθενής στάσιμη (weak ή wide-sese saioary) όταν οι ροπές πρώτης και δεύτερης τάξης είναι σταθερές στo χρόνο, δηλαδή α) η μέση τιμή είναι σταθερή : Z, Y, β) η αυτοδιασπορά ορίζεται μόνο ως προς την υστέρηση και όχι τις χρονικές στιγμές:, Z, (, ) (, ) ( ). Το β) προκύπτει από τη συνθήκη ότι η δεύτερη ροπή είναι σταθερή, δηλαδή ισχύει YY, (, ) ( ) Y Y. Από τις συνθήκες α) και β) προκύπτει ότι η διασπορά είναι επίσης σταθερή. Πράγματι για, ισχύει Y () και άρα 4

25 Y () () Y Y. Στην πράξη, η συνθήκη ασθενούς στασιμότητας ερμηνεύεται συχνά ως σταθερή μέση τιμή και διασπορά (απλή ροπή δεύτερης τάξης), που δεν είναι σωστό αφού η συνθήκη αναφέρεται στην κοινή ροπή δεύτερης τάξης (αυτοδιασπορά). 3.3 Αυτοσυσχέτιση Για τη μελέτη συσχετίσεων σε στάσιμες χρονοσειρές χρησιμοποιείται η αυτοσυσχέτιση, που είναι η κανονικοποίηση της αυτοδιασποράς με την διασπορά. Σε μια (ασθενής) στάσιμη στοχαστική διαδικασία Y ορίζεται η αυτοσυσχέτιση για υστέρηση τ ως ( ) ( ). () Η αυτοσυσχέτιση μετράει τη συσχέτιση μεταβλητών της Y που βρίσκονται σε χρονική υστέρηση τ και είναι ένα χρήσιμο μέτρο της «μνήμης» της στοχαστικής διαδικασίας. Η εκτίμηση της αυτοδιασποράς από μια πραγματοποίηση (χρονοσειρά) y,, yn της στοχαστικής διαδικασίας Y είναι N c( ) ˆ ( ) ( y ) y y. N Αντίστοιχα, η εκτίμηση της αυτοσυσχέτισης είναι c( ) c( ) r( ) ˆ ( ). c() sy Η αυτοσυσχέτιση μας επιτρέπει να ορίσουμε μια χαρακτηριστική χρονική κλίμακα για τη μνήμη της στοχαστικής διαδικασίας. Αυτή ορίζεται από την υστέρηση αποσυσχέτισης c για την οποία η αυτοσυσχέτιση φθίνει στο μηδέν. Εναλλακτικά χρησιμοποιείται η υστέρηση για την οποία η αυτοσυσχέτιση πέφτει στο επίπεδο του /e. Παράδειγμα: Εκτίμηση αυτοσυσχέτισης για χρονοσειρά από AR() Η αυτοπαλινδρομούμενη στοχαστική διαδικασία τάξης ένα, AR(), δίνεται ως Y Y, ~iid, Ε[ ], () δηλαδή η μεταβλητή σε κάποιο χρονικό βήμα ορίζεται από τη μεταβλητή στο προηγούμενο βήμα σταθμισμένη με την παράμετρο, όπου, και μια τυχαία συνιστώσα ε που ακολουθεί την ίδια κατανομή με διασπορά σε κάθε χρονικό βήμα αλλά είναι ανεξάρτητη από τις τυχαίες συνιστώσες σε προηγούμενα βήματα. Μπορεί να δειχθεί πως η διασπορά της Y είναι () Y, η αυτοδιασπορά είναι ( ) και άρα η αυτοσυσχέτιση της AR() είναι ( ). (3) Στο Σχήμα 4 δίνεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για την AR() στοχαστική διαδικασία και η εκτίμηση της από μια πραγματοποίηση της. Η αυτοσυσχέτιση φθίνει 5

26 εκθετικά με ρυθμό που καθορίζεται από το συντελεστή. Επίσης φθίνει μονότονα αν και εναλλασσόμενα γύρω από το αν. Για η στοχαστική διαδικασία εκφυλίζεται σε λευκό θόρυβο και ( ) για. () () r() r().8 ().8 () (). () () r() () () Σχήμα 4 Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για AR() στοχαστική διαδικασία και εκτίμηση της από χρονοσειρά σημείων: (α).8, (α).4, (α) Αυτοσυσχέτιση βραχείας και μακράς κλίμακας Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μετράει τη «μνήμη» της στοχαστικής διαδικασίας. Για παράδειγμα, ο λευκός θόρυβος έχει μηδενική μνήμη και η αυτοσυσχέτιση μηδενίζεται για όλες τις μη-μηδενικές υστερήσεις. Μαρκοβιανές στοχαστικές διαδικασίες κάποιας τάξης έχουν πεπερασμένη μνήμη και η αυτοσυσχέτιση φθίνει εκθετικά. Η χρονική μνήμη της στοχαστικής διαδικασίας χαρακτηρίζεται από την χαρακτηριστική κλίμακα μνήμης της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Υπάρχουν όμως και στοχαστικές διαδικασίες που δεν έχουν χαρακτηριστική κλίμακα και η αυτοσυσχέτιση φθίνει αργά ακολουθώντας κάποιο νόμο δύναμης. Σε στάσιμες στοχαστικές διαδικασίες μπορούμε να εξετάσουμε την ύπαρξη χαρακτηριστικής κλίμακας από το ολοκλήρωμα της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ( )d. Αν το ολοκλήρωμα είναι πεπερασμένο υπάρχει χαρακτηριστικός χρόνος μνήμης που δηλώνεται από το χρόνο συσχέτισης (ή αποσυσχέτισης) τ της στοχαστικής διαδικασίας. Η μορφή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης είναι ( ) exp( / ), (4) δηλαδή φθίνει εκθετικά με ρυθμό που δίνεται από τον εκθέτη ν και το χρόνο συσχέτισης τ. Επίσης ο χαρακτηριστικός χρόνος μνήμης μπορεί να υποδηλώνεται από την τιμή του c ( )d, δηλαδή από την επιφάνεια κάτω από την καμπύλη της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Για υστερήσεις μεγαλύτερες του τ c η 6

27 αυτοσυσχέτιση μηδενίζεται. Τέτοιες στοχαστικές διαδικασίες έχουν συσχετίσεις βραχείας κλίμακας. Υπάρχουν φθίνουσες συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης που δεν έχουν όμως πεπερασμένο ολοκλήρωμα μορφής ( )d. Για τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της ( ) (5) για <η< και μεγάλες υστερήσεις, το ολοκλήρωμα απειρίζεται. Για η= καθώς και για <η< η αυτοσυσχέτιση για μεγάλες υστερήσεις δίνεται από πιο πολύπλοκη μορφή που περιέχει τον ίδιο νόμο δύναμης και πάλι το ολοκλήρωμα απειρίζεται. Δεν υπάρχει λοιπόν κάποιος χαρακτηριστικός χρόνος τ c που να χωρίζει σε χρόνους ύπαρξης μνήμης (υστερήσεις μη-μηδενικής αυτοσυσχέτισης) και μη ύπαρξης μνήμης (υστερήσεις μηδενικής αυτοσυσχέτισης). Μεταβλητές της στοχαστικής διαδικασίας παραμένουν συσχετισμένες όσο μακριά χρονικά και αν βρίσκονται και μια τέτοια στοχαστική διαδικασία έχει συσχετίσεις μακράς κλίμακας. Στο Σχήμα 5 δίνονται αντιπροσωπευτικά παραδείγματα συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης που φθίνουν εκθετικά και με νόμο δύναμης για στοχαστικές διαδικασίες με συσχετίσεις βραχείας και μακράς κλίμακας, αντίστοιχα. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης με εκθετική μορφή φθίνει πιο γρήγορα από τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης που ακολουθεί νόμο δύναμης ανεξάρτητα από τον εκθέτη της εκθετικής συνάρτησης. Αυτό μπορεί να μη φαίνεται παρά μόνο αν παρατηρήσουμε τις τιμές αυτοσυσχέτισης (που είναι πολύ κοντά στο ) για μεγάλες υστερήσεις, όπως στο Σχήμα 5β. () ().8 exp(-.5 /5) exp(- /5) - exp(-.5 /5) exp(- /5) ().6.4 exp(- /5).5- l(()) - -3 exp(- /5) Σχήμα 5 (α) Αυτοσυσχέτιση με εκθετική μορφή για τρεις διαφορετικούς εκθέτες και με νόμο δύναμης όπως δίνεται στο ένθετο. (β) Το ίδιο όπως στο (α) αλλά η αυτοσυσχέτιση δίνεται σε λογαριθμική κλίμακα και για μεγαλύτερο εύρος υστερήσεων Αυτοσυσχέτιση και φάσμα ισχύος για συσχετίσεις βραχείας κλίμακας Οι στατιστικές ιδιότητες που χαρακτηρίσαμε με την αυτοσυσχέτιση μπορούν να χαρακτηριστούν ισοδύναμα με το φάσμα ισχύος, που δίνεται ως f S( f) ( ) e d, όπου ( ) είναι η αυτοδιασπορά. Ας θεωρήσουμε στοχαστικές διαδικασίες με συσχετίσεις βραχείας κλίμακας που δίνονται από την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ( ) exp( / ). (6) 7

28 Μπορεί κάποιος να παρατηρήσει ότι c exp( / )d. Αντικαθιστώντας την αυτοδιασπορά ( ) exp( / ) στον τύπο του φάσματος ισχύος παίρνουμε c S( f). Παρατηρούμε ότι για συχνότητες f /( c ) το φάσμα ( f c) ισχύος έχει σταθερή τιμή ανεξάρτητη του f. Για συχνότητες f /( c ) το φάσμα ισχύος φθίνει ως S( f) / f. Την παραπάνω ιδιότητα μπορούμε να τη δούμε από την αυτοπαλινδρομούμενη στοχαστική διαδικασία τάξης ένα, AR(), για την οποία η αυτοσυσχέτιση δίνεται στην (3). Η αυτοσυσχέτιση αυτή μπορεί να γραφεί όπως στη (6) θέτοντας c /l(/ ). Στο Σχήμα 6 δίνεται η αυτοσυσχέτιση και το φάσμα ισχύος για την AR() με συντελεστή.8. Από το γράφημα του φάσματος ισχύος ως προς το λογάριθμο της συχνότητας (Σχήμα 6γ) φαίνεται η μορφή του φάσματος ισχύος να σταθεροποιείται για συχνότητας μικρότερες του /( c) και να φθίνει με νόμο δύναμης και εκθέτη για συχνότητες μεγαλύτερες του /( c )..8.6 () () r() () esimaed real () ().4. S(f) (db) - S(f) f - esimaed real l(f) Σχήμα 6 Αυτοσυσχέτιση και φάσμα ισχύος για AR() στοχαστική διαδικασία με συντελεστή.8 και εκτίμηση τους από πραγματοποίηση παρατηρήσεων: (α) αυτοσυσχέτιση, (β) φάσμα ισχύος προς συχνότητα και (γ) φάσμα ισχύος προς λογάριθμο συχνότητας. Όταν η αυτοσυσχέτιση φθίνει πιο γρήγορα, όπως για AR() με συντελεστή.4, ο χαρακτηριστικός χρόνος μνήμης είναι μικρότερος με αποτέλεσμα η αυτοσυσχέτιση να φθίνει πιο γρήγορα και το φάσμα ισχύος να είναι επίπεδο για μεγαλύτερο εύρος συχνοτήτων, όπως δίνεται στο Σχήμα 7..8 () () r() 5 () 5 ().6 ().4. S(f) (db) -5 - S(f) esimaed real f Σχήμα 7 Όπως στο Σχήμα 6 αλλά για.4. - esimaed real l(f) Όταν ο συντελεστής του AR() είναι, ο χαρακτηριστικός χρόνος είναι, η στοχαστική διαδικασία γίνεται iid η αυτοσυσχέτιση μηδενίζεται για όλες τις υστερήσεις και το φάσμα ισχύος είναι επίπεδο. Από την άλλη, όταν η 8

29 στοχαστική διαδικασία είναι τυχαίος περίπατος. Τυπικά η αυτοσυσχέτιση ( ) δεν ορίζεται αφού η στοχαστική διαδικασία δεν είναι στάσιμη και η εκτίμηση της r( ) φθίνει αργά με ρυθμό που εξαρτάται από το μήκος της χρονοσειράς. Για το φάσμα ισχύος ισχύει S( f) / f για ολόκληρο το εύρος συχνοτήτων (δες Σχήμα 8). () () () r() S(f) (db) () esimaed real S(f) () esimaed real f l(f) Σχήμα 8 Όπως στο Σχήμα 6 αλλά για (τυχαίος περίπατος). Μια στοχαστική διαδικασία με συσχετίσεις βραχείας κλίμακας μπορεί να έχει περισσότερες από μια χαρακτηριστικές κλίμακες, όπως π.χ. η στοχαστική διαδικασία που προκύπτει από το άθροισμα δύο στοχαστικών διαδικασιών με διαφορετικές χαρακτηριστικές κλίμακες. Γενικά όμως θα περιμένουμε μια στάσιμη στοχαστική διαδικασία που έχει συσχετίσεις βραχείας κλίμακας να έχει αυτοσυσχέτιση που φθίνει γρήγορα (εκθετικά) και φάσμα ισχύος που είναι επίπεδο για μικρές συχνότητες. Αντίστροφα, όταν μελετάμε μια χρονοσειρά, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι πραγματοποίηση στοχαστικής διαδικασίας με συσχετίσεις βραχείας κλίμακας όταν η εκτιμώμενη αυτοσυσχέτιση φθίνει γρήγορα (εκθετικά) στο μηδέν. Οι χρονοσειρές μεταβολών ή αποδόσεων των χρηματιστηριακών δεικτών μπορεί να προέρχονται από τέτοιου τύπου στοχαστικές διαδικασίες, και μάλιστα με ασήμαντες συσχετίσεις. Από την άλλη, η χρονοσειρά του χρηματιστηριακού δείκτη σχηματίζεται από την ολοκλήρωση των μεταβολών και έχει αυτοσυσχέτιση που φθίνει πολύ αργά και φάσμα ισχύος που ακολουθεί νόμο δύναμης ως προς τη συχνότητα με εκθέτη κοντά στο -, δηλαδή μπορεί να εξηγηθεί ως τυχαίος περίπατος. Παράδειγμα: Εκτίμηση συσχέτισης βραχείας κλίμακας για τη χρονοσειρά S&P5 Στο Σχήμα 9 παρουσιάζονται οι εκτιμήσεις της αυτοσυσχέτισης και του φάσματος ισχύος για τη χρονοσειρά του δείκτη S&P 5 την περίοδο 98-8 και τη χρονοσειρά των αποδόσεων του δείκτη. Η αυτοσυσχέτιση και το φάσμα ισχύος έχουν τα χαρακτηριστικά λευκού θορύβου (iid) για τις αποδόσεις και τυχαίου περιπάτου για το δείκτη. 9

30 () () r() r() Σχήμα 9 Εκτίμηση της αυτοσυσχέτισης στο (α) και του φάσματος ισχύος στο (β) για τη χρονοσειρά των αποδόσεων του ημερήσιου δείκτη S&P 5 την περίοδο Στο (γ) και (δ) είναι οι ίδιες εκτιμήσεις για τη χρονοσειρά του δείκτη Αυτοσυσχέτιση και φάσμα ισχύος για συσχετίσεις μακράς κλίμακας Ο λευκός θόρυβος X και οι αυτοπαλινδρομούμενες στοχαστικές διαδικασίες είναι παραδείγματα στοχαστικών διαδικασιών που έχουν συσχετίσεις βραχείας κλίμακας. Ο τυχαίος περίπατος Y μπορεί να έχει συσχετίσεις μακράς κλίμακας αλλά αυτές εξηγούνται από την ολοκλήρωση των βημάτων λευκού θορύβου σε κάθε βήμα της στοχαστικής διαδικασίας. Θεωρώντας τη γενική έκφραση για το φάσμα ισχύος S( f) / f, ο λευκός θόρυβος αντιστοιχεί σε και ο τυχαίος περίπατος σε. Μπορούμε όμως να θεωρήσουμε και στοχαστικές διαδικασίες για διαφορετικό εκθέτη η. Για τιμές του εκθέτη η στοχαστική διαδικασία που δίνει φάσμα ισχύος για μικρές συχνότητες S( f) / f (7) έχει συσχετίσεις μακράς κλίμακας και αναφέρεται ως έγχρωμος θόρυβος (colored oise) ή κλασματική κίνηση Brow (fracioal Browia moio). Μια γνωστή κλάση έγχρωμου θορύβου είναι ο /f θόρυβος ή ροζ θόρυβος (pik oise) για, δηλαδή για φάσμα ισχύος S( f) / f. Αυτός ο τύπος στοχαστικής διαδικασίας έχει χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει συσχετίσεις μακράς διάρκειας σε διάφορα πραγματικά φαινόμενα στην υδρολογία, κλιματολογία, στα δίκτυα υπολογιστών, αλλά και στα χρηματο-οικονομικά. Ένα σημαντικό ερώτημα σχετικά με το χαρακτηρισμό μιας χρονοσειράς ως προς την κλίμακα των συσχετίσεων είναι κατά πόσο μπορούμε να διαχωρίσουμε μια στοχαστική διαδικασία συσχετίσεων βραχείας κλίμακας με πολλούς 3

31 χαρακτηριστικούς χρόνους από έγχρωμο θόρυβο. Η δυσκολία αυτού του διαχωρισμού φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα. Θεωρούμε τη στοχαστική διαδικασία που προκύπτει από το άθροισμα AR() στοχαστικών διαδικασιών με διαφορετικούς χρόνους κλίμακας τ c. Η αυτοσυσχέτιση και το φάσμα ισχύος της στοχαστικής διαδικασίας δίνονται στο Σχήμα, όπου φαίνονται και οι χρόνοι τ c. Η αυτοσυσχέτιση φθίνει αργά και το φάσμα ισχύος σχηματίζει κλίση που εξηγείται ικανοποιητικά από /f ακόμα και για μικρές συχνότητες. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι γνωρίσματα έγχρωμου θορύβου. () 4 () () S(f) esimaed /f f Σχήμα Αυτοσυσχέτιση στο (α) και φάσμα ισχύος στο (β) για το άθροισμα AR() στοχαστικών διαδικασιών με διαφορετικούς χαρακτηριστικούς χρόνους που δίνονται με τις κατακόρυφες γραμμές στο (α) και στο (β) για τις αντίστοιχες συχνότητες. Στο (β) δίνεται και το γράφημα του /f. Πράγματι η παραπάνω διαδικασία για μεγάλο πλήθος διαφορετικών χρόνων τ c αποτελεί μέθοδο δημιουργίας χρονοσειρών ροζ θορύβου. Εναλλακτικά, τέτοιες χρονοσειρές μπορούν να σχηματιστούν με τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier για πλάτη που δίνονται από το S( f) / f (ή S( f) / f γενικά) και τυχαίες φάσεις. Κλείνοντας την παράγραφο αυτή για τις συσχετίσεις μακράς κλίμακας παραθέτουμε στο Σχήμα το διάγραμμα διασποράς χρονοσειρών από στοχαστικές διαδικασίες με φάσμα ισχύος τύπου S( f) / f για διαφορετικές τιμές του η. Οι χρονοσειρές έχουν δημιουργηθεί με χρήση του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier. Για να συγκριθεί η επίδραση του συντελεστή η στη μορφή της χρονοσειράς οι φάσεις είναι ίδιες για όλες τις χρονοσειρές. Παρατηρούμε ότι για η< η ενέργεια της χρονοσειράς αυξάνει προς τις υψηλές συχνότητες και οι αυτοσυσχετίσεις φθίνουν με την υστέρηση εναλλάσσοντας σε θετικές και αρνητικές τιμές. Για η= η ενέργεια είναι ίδια σε όλες τις συχνότητες και δεν υπάρχουν συσχετίσεις (λευκός θόρυβος). Για η=.5,,.5 η ενέργεια φθίνει με σταθερό ρυθμό που δημιουργεί μακρές συσχετίσεις χωρίς όμως η χρονοσειρά να μπορεί να χαρακτηριστεί μη-στάσιμη. Αυτό συμβαίνει για η=, όπου έχουμε τυχαίο περίπατο και η χρονοσειρά αυτή αντιστοιχεί σε ολοκλήρωση (άθροισμα) των βημάτων του λευκού θορύβου για η=. Αντίστοιχα για η=.5 και η=3 οι χρονοσειρές αποτελούν ολοκληρώσεις των χρονοσειρών για η=.5 και η= αντίστοιχα. Για τις τελευταίες είναι φανερό ότι το γράφημα είναι αρκετά ομαλό αφού η ενέργεια φθίνει με ταχύ ρυθμό με τη συχνότητα και ουσιαστικά η ενέργεια συγκεντρώνεται μόνο στις πολύ χαμηλές συχνότητες (αργές τάσεις). 3

32 =3 8 =.5 = 6 =.5 = 4 =.5 = =-.5 = Σχήμα Χρονοσειρές από στοχαστικές διαδικασίες με φάσμα ισχύος τύπου S( f) / f για τιμές του εκθέτη η=-. :.5 : 3.. Ως τώρα ορίσαμε τη συσχέτιση μακράς κλίμακας με νόμο δύναμης για την αυτοσυσχέτιση, ( ), για <η< (δες (5)) και για το φάσμα ισχύος, S( f) / f για <η< (δες (7)). Παρατηρούμε ότι ο ίδιος εκθέτης η εμφανίζεται και στους δύο νόμους δύναμης, για την αυτοσυσχέτιση και το φάσμα ισχύος. Επίσης σημειώνεται ότι για τη χρονοσειρά Y που προκύπτει από την ολοκλήρωση της στάσιμης χρονοσειράς X ο νόμος δύναμης για το φάσμα ισχύος έχει εκθέτη η+, S( f) / f για <η< (δες Σχήμα ). Στη συνέχεια παρατίθενται μέθοδοι εκτίμησης του εκθέτη συσχέτισης μακρά κλίμακας. 3.4 Εκτίμηση του εκθέτη συσχέτισης μακράς κλίμακας Για τη μέτρηση της συσχέτισης μακρά κλίμακας θα αναφερθούμε όχι στον φασματικό εκθέτη η αλλά σε έναν άλλο εκθέτη, τον εκθέτη Hurs H, που σχετίζεται με τον εκθέτη η ως η=h+ για τη (στάσιμη) χρονοσειρά των μεταβολών X και η=h- για τη (μη-στάσιμη) χρονοσειρά Y που προκύπτει από την ολοκλήρωση της X. Ο δείκτης Hurs δηλώνει το βαθμό και τύπο της αυτο-συνάφειας (self-affiiy) της στοχαστικής διαδικασίας. Η έννοια ή ιδιότητα της αυτο-συνάφειας είναι συγγενική αλλά διαφορετική από την ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας (self-similariy) που αναφέρεται σε (πολύ-) μορφοκλασματικές δομές. Η αυτό-ομοιότητα αναφέρεται στη γεωμετρία του χώρου που βρίσκονται τα σημεία που παράγει το σύστημα (ή η διαδικασία) ενώ η αυτό-συνάφεια αναφέρεται στη σχέση της κλίμακας του χρόνου και της κλίμακας των τιμών της παρατηρούμενης διαδικασίας. Συγκεκριμένα, αν αλλάξουμε την κλίμακα του χρόνου με έναν παράγοντα a, π.χ. από λεπτό σε ώρα ή από ημέρα σε βδομάδα ή μήνα, για να διατηρήσουμε την ίδια (στατιστικά) εικόνα διακυμάνσεων του δείκτη (ή των μεταβολών του δείκτη) X θα πρέπει να αλλάξουμε την κλίμακα των τιμών του X με παράγοντα a H. Σε αυτήν την περίπτωση η χρονοσειρά έχει την ιδιότητα της αυτό-συνάφειας και ισχύει η σχέση κλίμακας H X a Xa (8) για οποιοδήποτε παράγοντα a. 3

33 Για παράδειγμα, για μια στοχαστική διαδικασία που χαρακτηρίζεται από H=.5, αν η κλίμακα του χρόνου τετραπλασιαστεί τότε η κλίμακα της θέσης των τιμών της θα πρέπει να διπλασιαστεί, δηλαδή η μεταβολή των τιμών της στοχαστικής διαδικασίας διπλασιάζεται όταν το παράθυρο χρόνου παρατήρησης της τετραπλασιάζεται. Αυτό είναι το γνώρισμα του τυχαίου περιπάτου. Πράγματι στην Παρ..3 είχε αναφερθεί ότι η διασπορά του τυχαίου περιπάτου αυξάνει γραμμικά με τον αριθμό των χρονικών βημάτων, δηλαδή E Y και Y( ) Var[ Y] (όπου θεωρούμε πως EY ), όπου σ είναι η διασπορά των βημάτων και Y ( ) είναι η διασπορά του τυχαίου περιπάτου σε χρονικό παράθυρο βημάτων. Άρα για τη διασπορά του τυχαίου περιπάτου ισχύει ο νόμος κλίμακας Y ( )~ και αντίστοιχα για την τυπική απόκλιση Y ( )~, που δηλώνει ότι ο εκθέτης του είναι H=.5. Η τιμή H=.5 χαρακτηρίζει τυχαίο περίπατο Y με τυχαία βήματα iid X ή με βραχείας κλίμακας συσχετίσεις. Όταν τα τυχαία βήματα έχουν μακράς κλίμακας αρνητικές συσχετίσεις (αντι-συσχετίσεις) και η ενέργεια είναι σε υψηλές συχνότητες, ο συντελεστής η είναι αρνητικός και άρα από τη σχέση η=h- προκύπτει ότι Η<.5. Αντίστοιχα για μακράς κλίμακας θετικές συσχετίσεις όπου η> ισχύει H>.5. Αν αντί των τυχαίων βημάτων X θεωρήσουμε την ολοκλήρωση τους Y, αντίστοιχα με το η που αυξάνει κατά, ο εκθέτης H αυξάνει κατά. Το αντίστροφο φυσικά ισχύει αν από μια χρονοσειρά Y θεωρήσουμε τη χρονοσειρά των πρώτων διαφορών: το η μειώνεται κατά και ο εκθέτης H κατά Μέθοδος της διασποράς Γενικά θα περιμένουμε για μια στοχαστική διαδικασία με μακρές συσχετίσεις να ισχύει για την τυπική απόκλιση Y ( ) σε βήματα ο νόμος κλίμακας H Y ( )~ και αντίστοιχα για τη διασπορά H Y ( )~. Σε αυτήν την ιδιότητα βασίζεται η πρώτη μέθοδος για την εκτίμηση του εκθέτη Hurs. Έστω η χρονοσειρά y, y,, yn ενός (χρηματο-οικονομικού) δείκτη. Ο υπολογισμός του εκθέτη Hurs H με τη μέθοδο της (αυξανόμενης) διασποράς (variace growh) δίνεται από την εκτίμηση του νόμου κλιμάκωσης H Y ( )~, (9) για χρονικά παράθυρα αυξανόμενων βημάτων. Ο υπολογισμός του H γίνεται ως εξής. Αρχίζοντας από κάποιο μικρό (όπως για =3 και =4 στο Σχήμα ), χωρίζεται η χρονοσειρά σε τμήματα μήκους, υπολογίζονται οι διασπορές σε κάθε τμήμα και κατόπιν υπολογίζεται ο μέσος όρος αυτών των διασπορών s (). 33

34 Σχήμα Διάγραμμα του χωρισμού της χρονοσειράς σε τμήματα και υπολογισμού της διασποράς s (). Τα βήματα αυξάνουν συνήθως ως δυνάμεις του ως και το μήκος της χρονοσειράς N. Έχοντας υπολογίσει τις διασπορές s () για κάθε, υπολογίζεται ο εκθέτης Hurs H από την κλίση της προσαρμοσμένης ευθείας στο γράφημα log s () vs log. Στο Σχήμα 3 δίνεται το παραπάνω γράφημα (σε λογάριθμο με βάση το ) καθώς και η προσαρμοσμένη ευθεία για μια χρονοσειρά παρατηρήσεων Γκαουσιανού τυχαίου περιπάτου (Η=.5) και τυχαίου περιπάτου με βήματα που έχουν μακρές συσχετίσεις που δίνονται από H=.75. Η εκτίμηση του Hurs από την κλίση της ευθείας είναι.4845 για την πρώτη περίπτωση και.743 για τη δεύτερη. Σημειώνεται εδώ πως οι χρονοσειρές έχουν δημιουργηθεί από τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier για φάσμα ισχύος με νόμο δύναμης ως προς τη συχνότητα και εκθέτη η= και η=.5 αντίστοιχα (όπου ισχύει η=h+). () () - 5 log (s ()) log (s ()) log () log () Σχήμα 3 Εκτίμηση του εκθέτη Hurs από το γράφημα του λογαρίθμου της αυξανόμενης διασποράς από χρονοσειρά μήκους N= με εκθέτη Hurs H=.5 στο (a) και H=.75 στο (β). Παρατηρούμε στο Σχήμα 3 πως για μεγάλα χρονικά παράθυρα που πλησιάζουν το μήκος της χρονοσειράς δε διατηρείται ο νόμος κλίμακας. Γενικά η εκτίμηση του εκθέτη Hurs από το γράφημα του λογαρίθμου της αυξανόμενης διασποράς πρέπει να γίνει με προσοχή και έχουν προταθεί πιο πολύπλοκες συναρτήσεις προσαρμογής που αντιμετωπίζουν τις ιδιαιτερότητας της κλιμάκωσης για πολύ μικρά και πολύ μεγάλα. 34