Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις. Να δειχθεί ότι ο πρώτος παίκτης δεν χάνει. Λύση. Ας υποθέσουμε πως ο δεύτερος παίκτης έχει στρατηγική νίκης. Ο πρώτος παίκτης μετακινεί τον ίππο του και μετά τον επιστρέφει πίσω. Οπότε τώρα γίνεται δεύτερος παίκτης και άρα έχει και αυτός στρατηγική νίκης, άτοπο. Σχόλιο. Το επιχείρημα ονομάζεται στα αγγλικά strategy stealing argument δηλαδή επιχείρημα κελψίματον στρατηγικής. Είναι αρκετά χρήσιμο σε προβλήματα θεωρίας παιγνίων. Παρόλο που δείξαμε ότι ο πρώτος παίκτης δεν χάνει, ουσιαστικά δεν έχουμε ιδέα για το πως πρέπει να παίξει ώστε να μην χάσει. Παράδειγμα 2. Δύο παίκτης τοποθετούν νομίσματα του ενός σεντ σε ένα κυκλικό τραπέζι. Κάθε νέο νόμισμα δεν πρέπει να αγγίζει κάποιο παλιό νόμισμα και επιπλέον τα παλιά νομίσματα απαγορεύεται να μετακινηθούν. Αν κάποιος παίκτης δεν μπορεί να τοποθετήσει ένα νόμισμα χάνει. Να βρεθεί ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης. Λύση. Κερδίζει ο πρώτος παίκτης. Αρχικά τοποθετεί ένα νόμισμα ακριβώς στο κέντρο του τραπεζιού. Μετά από κάθε κίνηση του δεύτερου παίκτη ο πρώτος τοποθετεί ένα νόμισμα διαμετρικά αντίθετα του νομίσματος που έβαλε ο δεύτερος. Μετά από κάθε κίνηση του πρώτου παίκτη η τοποθέτηση των νομισμάτων είναι απολύτως συμμετρική οπότε ο πρώτος παίκτης μπορεί όντως να ακολουθήσει αυτήν την στρατηγική. Σχόλιο. Συχνά η συμμετρία του παιγνιδιού μας βοηθάει στην κατασκευή στρατηγικής. Παράδειγμα 3. Εχουμε μια ορθογώνια 5 8 σοκολάτα αποτελούμενη από 40 τετραγωνάκια. Δυο παίκτες παίζουν εναλλάξ. Σε κάθε βήμα ο παίκτης μπορεί να κόψει την σοκολάτα κατά μήκος μιας από τις ευθείες που είναι παράλληλες με τις πλευρές τις σοκολάτας. Π.χ. ο πρώτος παίκτης μπορεί να κόψει την σοκολάτα σε δύο κομμάτια, ένα 5 3 και ένα 5 5. Ο δεύτερος παίκτης μπορεί στην κίνησή του ενα επιλέξει π.χ. το 5 3 και να το κόψει στα 1 3 και 4 3 κ.τ.λ. 1

2 2 Αν κάποιος παίκτης δεν μπορεί να κάνει κάποιο κόψιμο τότε χάνει. Να βρεθεί ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης. Λύση. Οπως και να παίξουν κερδίζει ο πρώτος παίκτης! Μετά από κάθε κίνηση του πρώτου παίκτη ο αριθμός των κομματιών είναι άρτιος ενώ μετά από κάθε κίνηση του δεύτερου παίκτη ο αριθμός των κομματιών έιναι περιττός. Στο τέλος ο αριθμός των κομματιών είναι 40 που είναι άρτιος. Άρα τελευταίος έπαιξε ο πρώτος παίκτης. Σχόλιο. Οι αναλλοίωτες βοηθούν συχνά στην θεωρία παιγνίων. Παράδειγμα 4. Εχουμε μια στοίβα με 2015 νομίσματα. Δυο παίκτες αφαιρούν εναλλάξ από 1 εως 5 νομίσματα από την στοίβα. Ο παίκτης που δεν μπορεί να παίξει χάνει. Να βρεθεί ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης. Λύση. Κερδίζει ο πρώτος παίκτης. Αρχικά αφαιρεί 5 νομίσματα ώστε να μείνουν στην στοίβα ακριβώς 2010 νομίσματα. Ακολούθως όποτε ο δεύτερος παίκτης αφαιρεί k νομίσματα, ο πρώτος αφαιρεί 6 k (επιτρέπεται από τους κανόνες). Ο αριθμός των νομισμάτων μετά από κίνηση του πρώτου παίκτη θα είναι πολλαπλάσιο του 6 ενώ μετά από κίνηση του δεύτερου παίκτη δεν θα είναι πολλαπλάσιο του 6. Άρα ο πρώτος παίκτης είναι ο παίκτης που θα αφαιρέσει τα τελευταία νομίσματα. Στην επόμενη κίνηση ο δεύτερος παίκτης δεν μπορεί να παίξει και χάνει. Σχόλιο. Εδώ βοηθάει να ελέγξουμε μικρότερες περιπτώσεις ώστε να δούμε τι συμβαίνει. Μπορούμε να ξεκινήσουμε ένα κατάλογο ως εξής 1 Ι 2 Ι 3 Ι 4 Ι 5 Ι 6 ΙΙ 7 Ι Στην αριστερή στήλη έχουμε τον αριθμό των νομισμάτων και στην δεξιά στήλη γράφουμε ποιος κερδίζει. (Συμβολίζουμε με Ι τον πρώτο παίκτη και με ΙΙ τον δεύτερο.) Πως μπορούμε να συμπληρώσουμε την όγδοη γραμμή; Οταν παίξει ο πρώτος παίκτης μετά θα μείνουν λιγότερα νομίσματα, έστω k, και θα παίζει δεύτερος. Οπότε ο πρώτος παίκτης κερδίζει αν

3 και μόνο αν μπορεί να πάει σε μια γραμμή με k νομίσματα η οποία είναι νίκη για τον δεύτερο παίκτη. Οι επιλογές του πρώτου παίκτη καταλήγουν στα 3, 4, 5, 6 και 7. Από αυτά το 6 είναι νίκη για τον δεύτερο παίκτη. Οπότε τα 8 νομίσματα είναι νίκη για τον πρώτο παίκτη. Συνεχίζοντας τον πίνακα υποψιαζόμαστε ότι έχουμε νίκη για τον δεύτερο παίκτη αν και μόνο αν ο αριθμός των νομισμάτων είναι πολλαπλάσιο του 6. Από την στιγμή που το βρήκαμε αυτό δεν είναι δύσκολο να το αποδείξουμε. Αυτή η τεχνική δουλεύει γενικά και για άλλα παιγνίδια αν και μερικές φορές δουλεύει μόνο θεωρητικά μιας και αρκετές φορές η πολυπλοκότητα της ανάλυσης είναι τεράστια. Π.χ. θεωρητικά ακόμη και το σκάκι μπορεί να επιλυθεί έτσι και να ξέρουμε για κάθε θέση αν είναι νίκη για τον πρώτο παίκτη, ισοπαλία ή νίκη για τον δεύτερο παίκτη. Πρακτικά όμως ακόμη και οι ταχύτεροι ηλεκτρονικοί υπολογιστές είναι πολύ μακριά από το να μπορούν να κάνουν αυτήν την ανάλυση. Επίσης προσοχή στο ότι την ανάλυση την κάνουμε πάντα από το τέλος. Αν και εδώ φαίνεται ότι την κάνουμε από την αρχή αφού ξεκινάμε από 1,2,3 νομίσματα κ.τ.λ., η ανάλυση ουσιαστικά είναι από το τέλος. Στην αρχή έχουμε περισσότερα νομίσματα και στο τέλος λιγότερα. Πάντα λοιπόν ξεκινάμε από τις τελικές θέσεις που ξέρουμε ποιος κερδίζει και προχωράμε προς τα πίσω. 3 Παράδειγμα 5. Εχουμε έξι σημεία στο επίπεδο ανά τρία μη συνευθειακά. Δυο παίκτες παίζουν εναλλάξ. Ο πρώτος παίρνει δυο σημεία που δεν έχουν ακόμη ενωθεί με ευθύγραμμο τμήμα και τα ενώνει με ένα μπλε ευθύγραμμο τμήμα. Ο δεύτερος παίκτης κάνει το ίδιο μόνο που χρησιμοποιήθει μπλε ευθείες. Νικητής είναι ο παίκτης που θα σχηματίσει πρώτος ένα τρίγωνο του χρώματός του. Να βρεθεί ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης. Λύση. Από strategy stealing ο πρώτος παίκτης δεν χάνει. Οπότε πρέπει να ελέγξουμε αν μπορεί να κερδίσει ή αν ο δεύτερος παίκτης μπορεί να φέρει ισοπαλία. Θα δείξουμε ότι όπως και να παίξουν ποτέ δεν μπορεί να έρθει ισοπαλία. Οπότε κερδίζει σίγουρα ο πρώτος παίκτης.

4 4 Θεώρημα: Αν έχουμε 6 σημεία στον χώρο και χρωματίσουμε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν κόκκινα ή μπλε τότε θα έχουμε ένα μονοχρωματικό τρίγωνο. Απόδειξη: Το πρώτο σημείο είναι ενωμένο με πέντε άλλα. Χωρίς βλάβης της γενικότητας με τα σημεία A 2, A 3, A 4 είναι ενωμένο με μπλε τμήματα. Αν κάποιο από τα A 2 A 3, A 3 A 4, A 4 A 2 είναι μπλε τότε έχουμε ένα μπλε τρίγωνο. Αν όλα είναι κόκκινα τότε έχουμε ένα κόκκινο τρίγωνο. Σχόλιο. Μερικές φορές χρειάζεται να αποδείξουμε ότι δεν μπορεί να συμβεί η ισοπαλία. Το θεώρημα που χρησιμοποιήσαμε είναι μέρος της θεωρίας Ramsey. Παράδειγμα 6. Δυο παίκτες επιλέγουν σημεία ενός 5 5 πίνακα. Ο πρώτος παίκτης τα χρωματίζει μπλε και ο δεύτερος κόκκινα. Ο πρώτος παίκτης κερδίζει αν σχηματίσει μια ευθεία οριζόντια, κάθετη ή διαγώνια με 5 μπλε σημεία. Αλλιώς κερδίζει ο δεύτερος παίκτης. Να δειχθεί ότι ο δεύτερος παίκτης έχει στρατηγική νίκης. Λύση. Ο δεύτερος παίκτης χρησιμοποιεί τον πιο κάτω πίνακα: Οποτε ο πρώτος παίκτης επιλέγει ένα τετράγωνο με αριθμό n ο δεύτερος παίκτης επιλέγει το άλλο. Αν ο πρώτος παίκτης επιλέξει το κεντρικό τετράγωνο τότε ο δεύτερος παίζει αυθαίρετα. Παίζει επίσης αυθαίρετα αν σε κάποια φάση ο πρώτος παίκτης επιλέξει ένα τετράγωνο με αριθμό n με το άλλο τετράγωνο να έχει ήδη επιλεγεί από τον δεύτερο παίκτη. Επειδή κάθε ευθεία που κερδίζει έχει δυο τετράγωνα του ίδιου χρώματος, ο πρώτος παίκτης δεν μπορεί να επιλέξει όλα τα σημεία της. Άρα ο δεύτερος παίκτης όντως κερδίζει. Σχόλιο. Η στρατηγική που χρησιμοποίησε ο δεύτερος παίκτης ονομάζεται «στρατηγική ταιριάσματος» (pairing strategy). Για να χρησιμοποιήσουμε αυτήν την στρατηγική αρκεί να χωρίσουμε ένα υποσύνολο των σημείων σε ζεύγη ώστε κάθε ευθεία που κερδίζει να έχει τουλάχιστον ένα ζεύγος.

5 Εδώ θα μπορούσαμε να το δείξουμε και διαφορετικά αλλά μάλλον με αρκετή δυσκολία στην εξήγηση της στρατηγικής. 5 Ασκήσεις (1) Εχουμε δυο στοίβες με a και b νομίσματα αντίστοιχα. Σε κάθε βήμα ένας παίκτης επιτρέπεται να αφαιρέσει όσα νομίσματα θέλει (αλλά τουλάχιστον ένα) από όποια στοίβα θέλει (αλλά μόνο από τη μία στοίβα). Ο παίκτης που δεν μπορεί να κινηθεί χάνει. Να βρεθεί ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης. (2) Εχουμε μια στοίβα με n νομίσματα. Δυο παίκτες αφαιρούν εναλλάξ από 1 εως k νομίσματα από την στοίβα. Ο παίκτης που δεν μπορεί να παίξει χάνει. Να βρεθεί ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης. (3) Εχουμε μια στοίβα με n νομίσματα. Δυο παίκτες αφαιρούν εναλλάξ από 1, 2 ή 4 νομίσματα από την στοίβα. Ο παίκτης που δεν μπορεί να παίξει χάνει. Να βρεθεί ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης. (4) Εχουμε ένα θετικό ακέραιο n. Δυο παίκτες παίζουν εναλλάξ αφαιρώντας από τον εκάστοτε αριθμό ένα διαιρέτη του. Ο παίκτης που πρώτος φτάνει στο 0 χάνει. Να βρεθεί ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης. (5) Δυο παίκτες τοποθετούν εναλλάξ αξιωματικούς σε μια κανονική σκακιέρα ώστε να μην απειλούνται μεταξύ τους. Ο παίκτης που δεν μπορεί να παίξει χάνει. Να βρεθεί ποιος έχει στρατηγική νίκης. (6) Δυο παίκτες τοποθετούν εναλλάξ ίππους σε μια κανονική σκακιέρα ώστε να μην απειλούνται μεταξύ τους. Ο παίκτης που δεν μπορεί να παίξει χάνει. Να βρεθεί ποιος έχει στρατηγική νίκης. (7) Δυο παίκτες τοποθετούν εναλλάξ κέρματα σε μια n n σκακιέρα. Ο πρώτος τοποθετεί κορώνες και ο δεύτερος γράμματα. Οταν τελειώσουν ο πρώτος κερδίζει ένα βαθμό για κάθε γραμμή ή στήλη που έχει περισσότερες κορώνες και ο δεύτερος ένα βαθμό για κάθε γραμμή η στήλη που έχει περισσότερα γράμματα. Νικητής είναι όποιος μαζέψει τους περισσότερους βαθμούς. Ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης;

6 6 (8) Στον πίνακα έχουμε γραμμένους τους αριθμούς 37 και 55. Δυο παίκτες παίζουν εναλλάξ. Σε κάθε βήμα ο παίκτης επιλέξει δύο διαφορετικούς αριθμούς, έστω τους x, y και γράφει στον πίνακα τον x y. Ο παίκτης που δεν μπορεί να παίξει χάνει. Να βρεθεί ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης. (9) (Game of Chomp) Εχουμε μια m n σοκολάτα με m, n > 1. Δυο παίκτες παίζουν εναλλάξ. Σε κάθε βήμα ο παίκτης που παίζει επιλέγει ένα τετραγωνάκι της σοκολάτας και τρώει αυτό καθώς και όσα άλλα βρίσκονται στα δεξιά του ή από πάνω του ή και πάνω και δεξιά. Το κάτω αριστερά τετραγωνάκι είναι δηλητηριασμένο και όποιος το φάει χάνει. Να βρεθεί ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης. (10) Δυο παίκτες επιλέγουν σημεία ενός 3 3 πίνακα. Ο πρώτος παίκτης τα χρωματίζει μπλε και ο δεύτερος κόκκινα. Ο πρώτος παίκτης κερδίζει αν σχηματίσει μια ευθεία οριζόντια, κάθετη ή διαγώνια με 5 μπλε σημεία. Αλλιώς κερδίζει ο δεύτερος παίκτης. Να βρευεί ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης. [Προσοχή: Το αποτέλεσμα δεν είναι το αναμενόμενο!] (11) Ενας πύργος βρίσκεται στο κάτω αριστερά τετραγωνάκι μιας σκακιέρας. Δυο παίκτες παίζουν εναλλάξ μετακινώντας τον είτε προς τα πάνω είτε προς τα δεξιά όσα βήματα θέλουν (αλλά τουλάχιστον ένα). Νικητής είναι ο παίκτης που θα τον μετακινήση στο άνω δεξιά τετραγωνάκι. (12) (Σοβιετική Ενωση 1969) Δίνεται το πολυώνυμο x 3 + ax 2 + bx + c. Ο πρώτος παίκτης επιλέγη μια ακέραια τιμή για ένα, οποιοδήποτε θέλει, από τα a, b, c. Ακολούθως ο δεύτερος παίκτης επιλέγει μια ακέραια τιμή για ένα από τα άλλα και τέλος ο πρώτος παίκτης επιλέγει μια ακέραια τιμή για το τελευταίο. Να δείξετε ότι ο πρώτος παίκτης μπορεί να παίξει με τέτοιο τρόπο ώστε οι ρίζες του πολυωνύμου να είναι όλες ακέραιες.

Chess Academy Free Lessons Ακαδημία Σκάκι Δωρεάν Μαθήματα. Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης

Chess Academy Free Lessons Ακαδημία Σκάκι Δωρεάν Μαθήματα. Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης Οι κινήσεις των κομματιών Σκοπός της παρτίδας, το Ματ Πατ Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης Παρατήρηση: Μόνο σε αυτό το μάθημα όταν λέμε κομμάτι εννοούμε κομμάτι ή πιόνι και όταν λέμε κομμάτια εννοούμε κομμάτια

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης 6.1. (α) Το mini-score-3 παίζεται όπως το score-4,

Διαβάστε περισσότερα

Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων

Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων Ομιλητής: Νασιούλας Αντώνης Ιστιαία, Σάββατο 13 Απριλίου 213 Μέρος I (Αναλλοίωτα) Η Αρχή του Αναλλοίωτου είναι μια στρατηγική επίλυσης προβλήματων που έχουν σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Chess Academy Free Lessons Ακαδημία Σκάκι Δωρεάν Μαθήματα. Ματ με δύο βαριά κομμάτια Ματ με Βασίλισσα Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης

Chess Academy Free Lessons Ακαδημία Σκάκι Δωρεάν Μαθήματα. Ματ με δύο βαριά κομμάτια Ματ με Βασίλισσα Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης Ματ με δύο βαριά κομμάτια Ματ με Βασίλισσα Επιμέλεια: Γιάννης Κατσίρης Σημείωση: Βαριά κομμάτια = Πύργοι και Βασίλισσα Ελαφρά κομμάτια = Ίπποι και Αξιωματικοί Κομμάτια = Βασιλιάς, Βασίλισσα, Πύργοι, Ίπποι

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του παιχνιδιού Σκοπός του παιχνιδιού είναι να τοποθετήσει πρώτος ο παίκτης όλα τα πλακίδιά του στο τραπέζι.

Σκοπός του παιχνιδιού Σκοπός του παιχνιδιού είναι να τοποθετήσει πρώτος ο παίκτης όλα τα πλακίδιά του στο τραπέζι. Σκοπός του παιχνιδιού Σκοπός του παιχνιδιού είναι να τοποθετήσει πρώτος ο παίκτης όλα τα πλακίδιά του στο τραπέζι. Βασικοί Κανόνες Τα πλακίδια ανακατεύονται και τοποθετούνται με την όψη προς τα κάτω στο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

32 κάρτες-πόλης 9 κάρτες-χαρακτήρων 5 κάρτες-αστυνομίας

32 κάρτες-πόλης 9 κάρτες-χαρακτήρων 5 κάρτες-αστυνομίας Ένα παιχνίδι του Alain Ollier Εικονογράφηση του Tony Rochon 2-6 παίκτες, ηλικία 10+, διάρκεια 20-60 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 32 κάρτες-πόλης 9 κάρτες-χαρακτήρων 5 κάρτες-αστυνομίας 1 διπλή, 2 ασημένιες, 2 χρυσές 4

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 27 Φεβρουαρίου 2016

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 33 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 27 Φεβρουαρίου 2016 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 665-67784 - Fax: 645 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4 Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Ένα παιχνίδι του Stefan Feld ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Ένα παιχνίδι του Stefan Feld ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ένα παιχνίδι του Stefan Feld για 2 έως 5 παίκτες. Χρόνος παιχνιδιού: 45-60 λεπτά. ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ Η Βενετία είναι διάσημη για τις γέφυρες και τις γόνδολές της. Περί αυτού πρόκειται και το παιχνίδι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 8: Αναζήτηση με Αντιπαλότητα Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Το Κ2 είναι ένα παιχνίδι για 1 έως 5 παίκτες, ηλικίας 8 ετών και άνω, με διάρκεια περίπου 60 λεπτά.

Το Κ2 είναι ένα παιχνίδι για 1 έως 5 παίκτες, ηλικίας 8 ετών και άνω, με διάρκεια περίπου 60 λεπτά. ΟΔΗΓΙΕΣ Το Κ2 είναι το δεύτερο ψηλότερο βουνό στον κόσμο (μετά το Έβερεστ) με ύψος 8.611 μέτρα από τη στάθμη της θάλασσας. Θεωρείται, επίσης, ένα από τα δυσκολότερα βουνά άνω των 8.000 μέτρων. Το Κ2 ποτέ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 3 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω p(x) και q(x) κατηγορήματα με πεδίο ορισμού Ω με σύνολα αλήθειας Α και Β αντίστοιχα (Σύνολα αλήθειας:

Διαβάστε περισσότερα

Πάνω στον πίνακα έχουµε γραµµένο το γινόµενο 1 2 3 4 595. ύο παίκτες Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι. Ο ένας µετά τον άλλο, διαγράφουν από έναν παράγοντα του γινοµένου αρχίζοντας από τον παίκτη Α. Νικητής

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχετικά με το Παιχνίδι. Περιεχόμενα. Ένα παιχνίδι στρατηγικών κατασκευών για 2 παίκτες ηλικίας 8 και άνω, από τον Arve D. Fuhler

Σχετικά με το Παιχνίδι. Περιεχόμενα. Ένα παιχνίδι στρατηγικών κατασκευών για 2 παίκτες ηλικίας 8 και άνω, από τον Arve D. Fuhler Ένα παιχνίδι στρατηγικών κατασκευών για 2 παίκτες ηλικίας 8 και άνω, από τον Arve D. Fuhler Σχετικά με το Παιχνίδι Αυτή δεν είναι άλλη μια συνηθισμένη μέρα στην Αρχαία Κίνα. Ο ίδιος ο Αυτοκράτορας ανακοίνωσε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης

Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 2 η Διάλεξη Παίγνια ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά σύνολα Κανονική μορφή παιγνίου Ισοδύναμες στρατηγικές Παίγνια συνεργασίας και μη συνεργασίας Πεπερασμένα και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Γ' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 29/04/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Γ' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 29/04/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Γ' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 29/04/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.

Διαβάστε περισσότερα

Επιπεδοπόλεµος(Flatwar)

Επιπεδοπόλεµος(Flatwar) Επιπεδοπόλεµος(Flatwar) Κανόνες για παιχνίδια µάχης στον κόσµο της Επιπεδοχώρας Εισαγωγή Ο Επιπεδοπόλεµος (Flatwar) είναι ένα σετ από απλούς κανόνες για ένα παιχνίδι µάχης στον κόσµο της Επιπεδοχώρας.

Διαβάστε περισσότερα

Ένα παιχνίδι για 2-4 εξερευνητές, ηλικίας 8 και άνω. Διάρκεια παιχνιδιού περίπου 60 λεπτά

Ένα παιχνίδι για 2-4 εξερευνητές, ηλικίας 8 και άνω. Διάρκεια παιχνιδιού περίπου 60 λεπτά Ένα παιχνίδι για 2-4 εξερευνητές, ηλικίας 8 και άνω Διάρκεια παιχνιδιού περίπου 60 λεπτά ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ταμπλό με τον χάρτη της Αφρικής Βιβλίο 2 βιβλία Κάρτες Περιπέτειας 30 κάρτες περιπέτειας (15 με λευκό

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα του Παιχνιδιού

Περιεχόμενα του Παιχνιδιού 1347 Ο Μαύρος Θάνατος ξεσπάει στην Ευρώπη. Ο άρχοντας της χώρας σας, μόλις υπέκυψε στην πανούκλα, και τώρα εσείς, οι πρίγκηπες της χώρας, ανταγωνίζεστε μεταξύ σας για να τον αντικαταστήσετε. Για να το

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ. Λίγα λόγια παίκτες Διάρκεια 30 Για ηλικίες 10+

ΟΔΗΓΙΕΣ. Λίγα λόγια παίκτες Διάρκεια 30 Για ηλικίες 10+ ΟΔΗΓΙΕΣ 2-4 παίκτες Διάρκεια 30 Για ηλικίες 10+ Λίγα λόγια... Η ζωή ενός εργάτη σε ένα εργοστάσιο παιχνιδιών είναι σχετικά απαιτητική αλλά και απολαυστική. Τι καλύτερο από το να βρίσκεσαι δίπλα σε παιχνίδια!

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Ένα έξυπνο παιχνίδι τοποθέτησης πλακιδίων για 2-5 παίκτες, 8 ετών και άνω από τον Klaus-Jurgen Wrede

Ένα έξυπνο παιχνίδι τοποθέτησης πλακιδίων για 2-5 παίκτες, 8 ετών και άνω από τον Klaus-Jurgen Wrede Ένα έξυπνο παιχνίδι τοποθέτησης πλακιδίων για 2-5 παίκτες, 8 ετών και άνω από τον Klaus-Jurgen Wrede Η πόλη Καρκασόνε στα νότια της Γαλλίας, φημίζεται για τις ιδιαίτερες Ρωμαϊκές και Μεσαιωνικές της οχυρώσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Διδασκαλία γραμμάτων-συλλαβών

Διδασκαλία γραμμάτων-συλλαβών Διδασκαλία γραμμάτων-συλλαβών Ο μαθητής αξιοποιεί τον Η/Υ και ακούει κάθε φορά την εκφώνηση της άσκησης αλλά και την εργασία που έχει να κάνει. Μπορεί να διακρίνει ακουστικά και οπτικά την πρώτη συλλαβή-γράμμα,

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριμία με τον Εξοπλισμό

Γνωριμία με τον Εξοπλισμό Γνωριμία με τον Εξοπλισμό Η σκακέρα είναι 9x9, µονού χρώµατος, χωρίζεται σε γραµµές (οριζόντιες) και στήλες (κάθετες) Οι 3 πρώτες γραµµές αποτελούν τη περιοχή σου, οι 3 µεσαίες την ουδέτερη ζώνη και οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ. «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Β' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 4/03/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2.

Διαβάστε περισσότερα

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω.

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Σκοπός σας είναι να είστε ο πρώτος παίκτης που θα ξεφωρτωθεί όλες του τις κάρτες. Το τοτέμ τοποθετείται

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του παιχνιδιού. Περίληψη

Σκοπός του παιχνιδιού. Περίληψη Σκοπός του παιχνιδιού Είστε διαβολάκια στην Κόλαση, στο διαλλειμά σας από τα βασανιστήρια των χαμένων ψυχών. Ασφαλώς και έχει πάρα πολύ ζέστη, κι έτσι κάθεστε στο μπαρ του Πανδοχείου Τελική Κρίση.Αποφασίσατε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 4η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 4η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 4η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται κυρίως στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Περιεχόμενα

Εισαγωγή. Περιεχόμενα Εισαγωγή Το 1878, το Βασιλικό Μουσείο του Βερολίνου ξεκίνησε την ανάθεση των ανασκαφών στην Πέργαμο, μια περιοχή της νυν Τουρκίας. Η πόλη έφτασε στην κορυφή της ανάπτυξής της γύρω στο 200 π.χ. (στα Λατινικά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Σκοπός του παιχνιδιού. Ένα παιχνίδι του Dirk Henn για 2-6 παίκτες

Περιεχόμενα. Σκοπός του παιχνιδιού. Ένα παιχνίδι του Dirk Henn για 2-6 παίκτες Ένα παιχνίδι του Dirk Henn για 2-6 παίκτες Οι καλύτεροι αρχιτέκτονες της Ευρώπης και της Αραβίας θέλουν να επιδείξουν τις ικανότητές τους. Προσλάβετε τις καλύτερες ομάδες κτιστών και προσπαθήστε να έχετε

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική

Διακριτά Μαθηματικά Συνδυαστική Διακριτά Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 8 Αυγούστου 2012 Η Αρχή του Dirichlet ή της περιστεροφωλιάς Aν γνωρίζουμε πως σε κάποια μέτρηση στις n ϕωλιές καταμετρήθηκαν συνολικά

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα του Παιχνιδιού

Περιεχόμενα του Παιχνιδιού Ε υρώπη, 1347. Μεγάλη καταστροφή πρόκειται να χτυπήσει. Ο Μαύρος Θάνατος πλησιάζει την Ευρώπη και μέσα στα επόμενα 4-5 χρόνια ο πληθυσμός της θα μείνει μισός. Οι παίκτες αποικούν στις διάφορες περιοχές

Διαβάστε περισσότερα

EMOJITO! 7 Δίσκοι Ψηφοφορίας. 100 Κάρτες Συναισθημάτων. 1 Ταμπλό. 7 Πιόνια παικτών. 2-7 Παίκτες

EMOJITO! 7 Δίσκοι Ψηφοφορίας. 100 Κάρτες Συναισθημάτων. 1 Ταμπλό. 7 Πιόνια παικτών. 2-7 Παίκτες o Emojito! είναι ένα παιχνίδι παρέας, για 2 έως 14 άτομα, όπου οι παίκτες προσπαθούν να εκφράσουν συναισθήματα που απεικονίζονται σε κάρτες, είτε χρησιμοποιώντας το πρόσωπό τους, είτε ήχους ή και τα 2.

Διαβάστε περισσότερα

2-5 Παίκτες - Ηλικία 13+ - 60 λεπτά

2-5 Παίκτες - Ηλικία 13+ - 60 λεπτά Το Cinque Terre, είναι ένα απότομο παράκτιο κομμάτι της Ιταλικής Ριβιέρας και αποτελείται από πέντε χωριά. Τα χωριά αυτά είναι γνωστά για την ομορφιά, την κουλτούρα και το φαγητό τους, αλλά και το γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 5 6 (E - Στ Δημοτικού) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Γνωρίζοντας ότι + + 6 = + + +, ποιόν αριθμό αντιπροσωπεύει το ; A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Οι παίκτες παίρνουν το ρόλο των χειρότερων πειρατών στο πλήρωμα ενός πλοίου. Ο καπετάνιος σας έχει στη μπούκα, επειδή είστε πολύ τεμπέληδες και

Οι παίκτες παίρνουν το ρόλο των χειρότερων πειρατών στο πλήρωμα ενός πλοίου. Ο καπετάνιος σας έχει στη μπούκα, επειδή είστε πολύ τεμπέληδες και Οι παίκτες παίρνουν το ρόλο των χειρότερων πειρατών στο πλήρωμα ενός πλοίου. Ο καπετάνιος σας έχει στη μπούκα, επειδή είστε πολύ τεμπέληδες και βλάκες για να αξίζετε μερίδιο στο ρούμι και τα λάφυρα. Επειδή

Διαβάστε περισσότερα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΗΝΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΑ ΑΡΧΙΚΗ

ΣΚΗΝΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΑ ΑΡΧΙΚΗ Scratch 1. Σκηνικό (Αρχική Έχασες Κέρδισες). Η πρώτη μου δουλειά όταν φτιάχνω ένα παιχνίδι είναι πάω στο ΣΚΗΝΙΚΟ - ΥΠΟΒΑΘΡΑ και να σχεδιάσω (ή να αντιγράψω μια εικόνα από το διαδίκτυο ή από οπουδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, 10-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την συμμετρική ιδιότητα της Ιδιότητας Supremum. Η ΙΔΙΟΤΗΤΑ INFIMUM. Κάθε μη-κενό και κάτω φραγμένο σύνολο έχει μέγιστο κάτω φράγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Περιεχόμενα. Μέσα στο Κουτί. Εισαγωγή... 2. Στόχος... 2. Μέσα στο Κουτί... 2. Οι Κάρτες... 3. Περιγραφή των Καρτών... 3. Επιβίβαση!...

Εισαγωγή. Περιεχόμενα. Μέσα στο Κουτί. Εισαγωγή... 2. Στόχος... 2. Μέσα στο Κουτί... 2. Οι Κάρτες... 3. Περιγραφή των Καρτών... 3. Επιβίβαση!... Αριθμός Παικτών: 2-4 Χρόνος Παιχνιδιού: 45 λεπτά Ηλικίες: 12 και άνω Περιεχόμενα Εισαγωγή................................... 2 Στόχος..................................... 2 Μέσα στο Κουτί...............................

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q 7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου;

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; 2. Τι ξέρετε για το υπόλοιπο που προκύπτει από μια Ευκλείδεια διαίρεση; 3. Τι ονομάζουμε τέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Σουτ σε στόχο με ακρίβεια

Σουτ σε στόχο με ακρίβεια Σουτ σε στόχο με ακρίβεια Σουτ σε στόχο με ακρίβεια, με το μέσα μέρος του ποδιού Σταμάτημα της μπάλας με το πόδι, αριστερό και δεξί Διαθέτω χρόνο (κάποια δευτερόλεπτα) για να είμαι ήρεμος/μη και σίγουρος/ρη

Διαβάστε περισσότερα

Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο

Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο 1.1 ΠΡΟΒΛΗ ΜΑ Χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου με δύο χρώματα. Αποδείξτε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία με το ίδιο χρώμα που απέχουν απόσταση 1. Έστω ότι χρωματίζουμε τα σημεία του επιπέδου κόκινα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΔΡΟΜΙΑ 2017 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Παρασκευή 27 Ιανουαρίου 2017 ΛΕΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμνασίου

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΔΡΟΜΙΑ 2017 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Παρασκευή 27 Ιανουαρίου 2017 ΛΕΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμνασίου Τάξη: Α Γυμνασίου A. Να τοποθετήσετε στο κάθε κουτί του πιο κάτω πίνακα έναν αριθμό, ώστε το άθροισμα κάθε γραμμής, στήλης και διαγωνίου να είναι. B. Οι αριθμοί από το μέχρι και το θα τοποθετηθούν στα

Διαβάστε περισσότερα

1 κεντρικό ταμπλό. 1 εγχειρίδιο οδηγιών. Κύβοι μεταναστών. 25 Ιρλανδοί 25 Άγγλοι 25 Γερμανοί 25 Ιταλοί. Δείκτες πολιτικής εύνοιας

1 κεντρικό ταμπλό. 1 εγχειρίδιο οδηγιών. Κύβοι μεταναστών. 25 Ιρλανδοί 25 Άγγλοι 25 Γερμανοί 25 Ιταλοί. Δείκτες πολιτικής εύνοιας Tammany Hall ήταν η πολιτική οργάνωση που κυριαρχούσε στην πολιτική της Νέας Υόρκης, οργανώνοντας τους μεταναστευτικούς πληθυσμούς. Καθώς η επιρροή της οργάνωσης εκτείνονταν από την ίδρυσή της το 1790

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Η Ιστορία. Προετοιμασία του παιχνιδιού. Μια περιπετειώδης αποστολή στον παράδεισο.

Η Ιστορία. Προετοιμασία του παιχνιδιού. Μια περιπετειώδης αποστολή στον παράδεισο. Η Ιστορία Μια περιπετειώδης αποστολή στον παράδεισο. Ένα στρατηγικό τυροπαιχνίδι με ζάρια για 2-4 παιδία ηλικίας 4 ετών και άνω. Είδος Παιχνιδιού: Οικογενειακό Παίκτες: 2-4 παίκτες 4 ετών και άνω Περιεχόμενα:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 34 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 4 Μαρτίου 2017

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 34 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 4 Μαρτίου 2017 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 665-67784 - Fax: 6405 e-mail : ifo@hms.gr, www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Paepistimiou (Εleftheriou Veizelou)

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ 10 ζάρια με 6 σύμβολα το κάθε ένα. 1 διπλής όψεως κεντρικό ταμπλό με 3 ή 4 φορτηγά. 1 μολύβι

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ 10 ζάρια με 6 σύμβολα το κάθε ένα. 1 διπλής όψεως κεντρικό ταμπλό με 3 ή 4 φορτηγά. 1 μολύβι Ένα παιχνίδι για 2-4 διευθυντές ζωολογικών κήπων, ηλικίας 13 και άνω. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ 10 ζάρια με 6 σύμβολα το κάθε ένα Κροκόδειλος Στρουθοκάμηλος Μαϊμού Ελέφαντας Λιοντάρι Νόμισμα 1 διπλής

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2013-14 «ΚΩΝ. ΚΑΡΑΜΑΝΛΗΣ» ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΒΑΣΙΛΙΑΣ

ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2013-14 «ΚΩΝ. ΚΑΡΑΜΑΝΛΗΣ» ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΒΑΣΙΛΙΑΣ ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΒΑΣΙΛΙΑΣ Ο βασιλιάς του σκάκι είμαι εγώ με ανεκτίμητη αξία θεωρώ μόνο με ΜΑΤ μπορείς να με εγκλωβίσεις κι έτσι την παρτίδα να κερδίσεις. Βήματα πολλά δεν κάνω είμαι από όλους υπεράνω. Τη μάχη

Διαβάστε περισσότερα

Τσάπελη Φανή ΑΜ: 2004030113. Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots. Τελική Αναφορά

Τσάπελη Φανή ΑΜ: 2004030113. Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots. Τελική Αναφορά Τσάπελη Φανή ΑΜ: 243113 Ενισχυτική Μάθηση για το παιχνίδι dots Τελική Αναφορά Περιγραφή του παιχνιδιού Το παιχνίδι dots παίζεται με δύο παίχτες. Έχουμε έναν πίνακα 4x4 με τελείες, και σκοπός του κάθε παίχτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Διερεύνηση αριθμών Γ2.1 Oνομάζουν και κατασκευάζουν σημεία, ευθύγραμμα τμήματα, ημιευθείες, ευθείες και διάφορα είδη γραμμών (καμπύλες, ευθείες, τεθλασμένες) με διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΙΤΗ. Κατασκευή 3 ου Μέρους: Συναρμολόγηση Τηλεχειριστηρίου

ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΙΤΗ. Κατασκευή 3 ου Μέρους: Συναρμολόγηση Τηλεχειριστηρίου ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΙΤΗ Κατασκευή 3 ου Μέρους: Συναρμολόγηση Τηλεχειριστηρίου Για την ενότητα αυτή απαιτούνται: Εργαλεία - Κολλητήρι - Τρυπάνι - Αρίδα 0,25 - Κόφτης - Σταυροκατσάβιδο Υλικά - Κουτί ελέγχου - 2 κόκκινοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29

Διάλεξη 7. Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Διάλεξη 7 Θεωρία παιγνίων VA 28, 29 Θεωρία παιγνίων Στη θεωρία παιγνίων χρησιμοποιούμε υποδείγματα για τη στρατηγική συμπεριφορά των οικονομικών μονάδων που καταλαβαίνουν ότι οι ενέργειές τους επηρεάζουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ 252 Αντικειμενοστρεφής Προγραμματισμός Προγραμματιστική Εργασία Χειμερινού Εξαμήνου Σκάκι

ΗΥ 252 Αντικειμενοστρεφής Προγραμματισμός Προγραμματιστική Εργασία Χειμερινού Εξαμήνου Σκάκι ΗΥ 252 Αντικειμενοστρεφής Προγραμματισμός Προγραμματιστική Εργασία Χειμερινού Εξαμήνου 2008 Σκάκι Α. Εισαγωγή Το σκάκι είναι ένα επιτραπέζιο παιχνίδι με μακραίωνη ιστορία. Παίζεται από δυο παίχτες αντιπάλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ

ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ ΚΑΝΟΝΕΣ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ Στην Αυλή του Βασιλιά Νέα αξιώματα πρέπει να καταληφθούν! Οι Άρχοντες αιτούνται για τα καλύτερα αξιώματα της χώρας, αναζητώντας δύναμη και προνόμια. Νέα περιεχόμενα και αλλαγές στην

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

x < y ή x = y ή y < x.

x < y ή x = y ή y < x. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εαρινό Εξάμηνο 011-1 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χ.Κουρουνιώτης Μ8 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Φυλλάδιο 1 Ανισότητες Οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι. Ενισχύουμε αυτήν την ιδέα με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 34 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 4 Μαρτίου 2017

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 34 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 4 Μαρτίου 2017 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 6 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 3645 e-mail : ifo@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Paepistimiou (Εleftheriou Veizelou)

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Τελική Εξέταση Απρίλιος 204 Σελ. από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα