Archive of SID. یا یات کار دی وا د لا جان مقدمه 1 2 چکیده 1 SDE. ا درس الکترونیکی:

Transcript

1 ج ه ر یا یات کار دی وا د لا جان سال م ماره ١ (ایپپی ٢۴ ھار ٨٩ ص ص ٩٣-١٠١ مقایسه عددی جواب معادله دیفرانسیل تصادفی با نوفه سفید گاوسی و پواسونی رمضان رضاییان رحمان فرنوش. چکیده دانشکده علوم پایه دانشگاه ا زاد اسلامی واحد علوم تحقیقات تهران ایران دانشکده علوم ریاضی دانشگاه علم و صنعت نارمک تهران ایران فرم تصادفی مدل ریاضی مربوط به انتشار ویروس ایدز که یک معادله دیفرانسیل تصادفی (SDE می باشد را در نظر می گیریم. در SDE توزیع نوفه سفید نقش بسزایی در حل عددی و تحلیلی دارد. هدف ما در این مقاله مقایسه جواب عددی SDE مربوطه را با استفاده از نرم افزار کلمات کلیدی: مقدمه با نوفه سفید گاوسی و پواسونی برای مدل انتشار ویروس ایدز می باشد. نتایج عددی و شبیه سازی MATLAB انجام داده و در نهایت نتیجه گیری می نماییم. معادلات دیفرانسیل تصادفی نوفه سفید گاوسی نوفه سفید پواسونی انتگرال ایتو فرا یند وینر روش اویلر ماریاما. سیستم های فیزیکی اغلب بوسیله معادله دیفرانسیل معمولی (ODE مدل سازی می شوند. هر چند بسیاری از مدل ها به صورت مطلوبی نمایش داده می شوند ولی در بسیاری ازموارد اثرات تصادفی نادیده گرفته می شوند. تا مدتها در بسیاری ازمدل های توسعه یافته برای توصیف پدیده های فیزیکی عبارتهای تصادفی به دلیل عدم وجود روش های عددی نامناسب و فقدان کامپیوترهای به اندازه کافی توانمند نادیده گرفته می شد. در سال های اخیر مدل سازی ریاضی به دلیل کاربرد وسیع ا ن در علوم مورد توجه قرار گرفته است. قسمت عمده ای 3 X = { X ( روی فضای : T از این مدل ها در قالب فرا یندهای تصادفی می باشند. یک فرایند تصادفی } احتمال P ( Ω, F, Ω فضای نمونه F یک سیگما میدان P یک تابع احتمال می باشد و مجموعه اندیس X ( یک = X (, گذار T یک تابع X : T Ω R از دو متغیر است به طوری که برای هر,(. T Sochaic differeial equaio Ordiary differeial equaio 3 Sochaic proce * عهده دار مکاتبات ا درس الکترونیکی: r.rezaeya@gmail.com 93

2 رضا یان و ھ کار قا ه ددی واب عاد د ا ل صاد ی با و ید گاو ی وپ وا و ی (w X,. یک تجسم و یا مسیر نمونه ای از فرا یند تصادفی نامیده : Ω متغیر تصادفی و برای هر R w Ω می شود[]. ازمهم ترین مثال هادر فرا یند تصادفی می توان حرکت برا ونی W 4 فرا یند وینر ( را نام برد. برای اولین بار در سال 87 میلادی گیاه شناسی بنام رابرت برا ون مشاهده نمود که دانه های گرده معلق در مایع دارای حرکت اند و در سال 95 انیشتین علت حرکت را بمباران دانه های گرده توسط مولکول های مایع معرفی کرد که بعدها به نام حرکت برا ونی نامیده شد[ ]. دو مدل ریاضی برای توصیف حرکت ذره ای که تحت بمباران مولکولی قرار گرفته اند عبارتند از فرا یند وینر و معادلات دیفرانسیل تصادفی. یک فرا یند وینر استاندارد } : }یک فرا یند گاوسی زمان پیوسته است با نموهای مستقل به طوری که به ازای هر W ( = W. P., E( W =, Var( W W = در اینجا کلیاتی از SDE و انتگرال های تصادفی بیان می نماییم. فرض نمایید ODE زیر را مفروض باشد: ( X ( جوابی از این معادله دیفرانسیل تصادفی باشد که در شرایط اولیه = X ( ;, x که اگر صدق کند. ا ن گاه با انتگرال گیری از طرفین رابطه فوق نتیجه می شود : dx ( = f (, X ( d X ( = x X ( = X ( + f (, X ( d ( با اضافه کردن عوامل تصادفی در سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی در شرایط اولیه شرایط مرزی مساله یادر توصیف تابع سیستم فیزیکی ( یک سیستم SDE بوجود می ا ید. بعضی از عرصه هایی که در این نوع معادلات برای مدل سازی به کار می روند عبارتند از انتشار سخت سرمایه گذاری بودجه دینامیک جمعیت زلزله شناسی علوم پزشکی فعالیت های ماهواره ای و غیره. فرا یند تصادفی در نظر بگیرید که معادله ( توسط این فرا یند مختل می شود یعنی: ( ξ را یک dx ( = f (, X ( d + g(, X ( ξ ( d ( در این صورت X = { X ( : } یک فرا یند تصادفی معادله SDE یک ( f (, X ( 6 و ضریب انتشار هم مربوط می سازد[ ]. که, g است که دو فرا یند X ( { ξ ( و } : { X ( : } 5 باضریب رانش X = را به حال اگر این فرا یند اخلال کننده ناشی از بمباران مولکولی باشد ا ن گاه با استدلال فیزیکی می توان نتیجه گرفت ( ξ به صورت نوفه سفید مشتق فرا یند وینر با یک پارامتر مناسب است[ 3 ]. 4 Wieer Proce 5 drif 6 diffuio 94

3 ج ه ریا یات کار دی وا د لا جان (١٣٨٩ ٢۴ ١٠١-٩٣ باانتگرال گیری از طرفین رابطه ( داریم: X (, w = X (, w g(, X (, w ξ ( w d ξ w Lim ( = X (, w = X (, w + + f (, X (, w d + W ( + W ( f (, X (, w d + g (w b(, X (, w dw ( w { W (, } (3 وقتی: در نتیجه: اما می دانیم که فرا یند مشتق پذیر نیست و به عنوان یک فرا یند تصادفی از وجود خارجی ندارد در حقیقت یک چگالی طیفی یکنواخت ایجاب می کند که تابع کوواریانس ا ن مضرب ثابتی از 7 تابع دیراک- دلتا باشد. فرا یند وینر در هر بازه زمانی متناهی باتغییر کراندار نیستند بنابراین دومین انتگرال در (3 برای هر مسیر نمونه ای نمی تواند تعبیری نظیر یک انتگرال ریمان استیلیس داشته باشد. پس روابط معادلات مربوط به انتگرال گیری b a f ( ا ن با انتگرال متداول ذکر شده متفاوت است به طوری که ( dw ( به مفهوم معمولی وجود ندارد و به i- مین = * j I f j [ ] i i, صورت معادلات با انتگرال های تصادفی ایتو و یا استراتنوویچ بیان می شود[ 4 ]. اگر را ( w = فاصله زمانی فرض کنیم ا ن گاه انتگرال که با انتخاب نقاط ابتدای بازه انتهای چپ فاصله زمانی ( تعریف می شوند انتگرال ایتو نامیده و بانماد: T f (, w dw ( w * تعریف می شود انتگرال j = ( j+ + J f T ( w = f (, w dw ( w j نمایش می دهیم و انتگرالی را که با انتخاب نقاط میانی بازه استراتنوویچ نامیده و به صورت زیر نشان می دهیم : و مدل (3 را یک می باشد که SDE می نامیم. به شکل عمومی زیر است: { X ( یک فرا یند ایتو هر فرا یندی که در( 3 صدق نماید مانند { : X ( = X ( + f (, X ( d + g(, X ( dw ( 7 Dirac-dela 8 Io 9 Sraoovich 95

4 رضا یان و ھ کار قا ه ددی واب عاد د ا ل صاد ی با و ید گاو ی وپ وا و ی حل معادله SDE عموما پیچیده است و تنها حالات خاصی وجود داردکه راه حل های ا ن ها شناخته شده است ببینید.(Kloede با وجود راهحلهای عمومی ارایه شده توسط محققان فاصله بین پیشرفتهای نظری در معادلات دیفرانسیل تصادفی با کاربرد عملی ا ن بسیار زیاد است و به همین علت در دهه های گذشته در مدل سازی ریاضی مربوط به حوادث طبیعی از عامل تصادفی صرفنظر می کردند. یکی از مهمترین دلایل ا ن ها این بوده که در ا ن زمان روش حل عددی مناسب برای مدل ها ارایه شده با وجود عامل تصادفی در دسترس نبوده است. در سال های اخیر ریاضیدانان و ا ماردانان زیادی در این زمینه فعالیت نموده اند که از جمله نتایج ا ن 9 می توان به روش اویلر ماریاما که یکی از ساده ترین روش ها برای تقریب عددی SDE [4]. سپس میلستین بوسیله بسط تیلور یک جواب تقریبی برای SDE در حالت کلی ارایه نمود[ 5 ]. می باشد اشاره کرد کیم و کیونلی برای اولین بار در 6 میلادی تقریب عددی SDE بانوفه سفید پواسونی را مطرح کردند[ 6 ]. با وجود روش های عددی فوق در دهه های اخیردانشمندان زیادی در رشته های مختلف در مسایل کاربردی خود با فرض وجود عامل تصادفی مدل های مربوطه را به روش عددی حل نمودند از جمله ا رنی و راعو مدل ریاضی مربوط به انتشار ویروس ایدز در هندوستان را به روش عددی بافرض نوفه سفید گاوسی حل نمودند[ 7 ]. در ایران در مرجع [8] در سال( 7 فرا یند انتشار ویروس ایدز را مورد بررسی قرار گرفته و مدل SDE را با نوفه سفید گاوسی به روش اویلر تقریب زده اند. حال ما در این مقاله قصد داریم که در فرم SDE با نوفه سفید گاوسی و پواسونی انجام داده و نتیجه گیری کنیم. مربوط به انتشار ویروس ایدز یک مقایسه بین تقریب عددی برای این منظور در بخش روش حل عددی SDE با نوفه سفید گاوسی و پواسونی رابه طور مجزا از هم و به صورت مختصر بیان می کنیم و در بخش 3 مدل SDE را با استفاده از نرم افزار MATLAB انجام داده و نتیجه گیری می نماییم. تقریب عددی SDE فرض کنید فرا یند ایتو { X [ T ] } : انتشار ویروس ایدز را شناسایی نموده و محاسبات عددی dx = f (, X ( d + g(, X ( dw ( = X جواب های SDE اسکالر, (4 با مقدار اولیه X ( = x و افرازداده شده در فاصله = τ < τ < τ <... τ... τ N = T [,T ] باشد که در ا ن توزیع نوفه سفید گاوسی می باشد. تقریب اویلر (4 یک فرا یند تصادفی زمان پیوسته صدق می کند { y T [ T ]} y =, : است که در معادله بازگشتی زیر 9 Euler Maryama Mehod Mileie Mehod Kim ad Kyuly Ari ad Rao 96

5 ج ه ریا یات کار دی وا د لا جان (١٣٨٩ ٢۴ ١٠١-٩٣ y + = y + f (, y ( τ + τ + g( τ, y ( Wτ W + τ =,,,..., N (5 برای با مقدار اولیه T =, y = y( τ, y = x = max, W = W W N(,, τ = + + τ τ { y : =,,,..., } دنباله y = N مقداری از تقریب اویلر-ماریاما در زمان مشخص dw ( [5,4]ξ ( = d N ( =,,,..., می باشد[ 4,.[8 τ حال فرض نمایید نوفه سفید در (4 دارای توزیع پواسونی باشد که به صورت زیر ξ ( = ( = Z δ ( τ = τ δ ( τ = τ y = y, T است که در فرم { [ ]} : y+ = y + f (, y + g(, y X 3 { } تعریف می گردد: که در ا ن ( δ یک تابع دیراک- دلتا است. تقریب اویلر برای این مدل یک فرا یند تصادفی زمان گسسته ( بازگشتی زیر صدق می نماید. یک نمونه تصادفی X = Z Z ارتفاع, y = y(, y = X ( که در ا ن = x = Z,... Z را یک نمونه تصادفی گوییم هرگاه متغیرهای تصادفی همتوزیع و مستقل از هم باشند از توزیع پارامتر z µ e. Φ( Z =. θ ( Z µ Z = µ l( U (, می باشد[ ]., (6 مشخصی مثلا توزیع نمایی با µ می باشند { } Z که توسط رابطه زیر شبیه سازی می گردد : (Z θ عددی تصادفی از توزیع یکنواخت در فاصله واحد 3 Sample 97

6 قا ه ددی واب عاد د ا ل صاد ی با و ید گاو ی وپ وا و ی رضا یان و ھ کار شناسایی مدل یکی از ساده ترین مدل های رشدجمعیت جمعیت انسĤن ها باکتری ویروس و... عبارت است از: dn ( = a ( N(, N( = N d نرخ رشد و جمعیت در زمان a ( (, تعداد کل جمعیت در لحظه N( مقدار ثابت N (7 که در ا ن است که ضریب a( کاملا مشخص و معلوم نمی باشد ولی فقط می دانیم که: 3 a ( = r( + '' oie'' که رفتار نوفه (oie برایمان دقیقا مشخص نمی باشد ولی توزیع احتمال ا ن کاملا مشخص است و r( هم a( = r( + bξ می باشد. حال فرض کنید dw ( d تابعی غیر تصادفی بر حسب (8 که = ξ ξ نوفه سفید می باشد( ( r ( و b مقادیر ثابت باشند. با جایگذاری ( 8 در (7 داریم: = a dn( = ( r( + b d ξ N( dn ( = an( d + bn( dw N( = N e ( a b + bw در نتیجه: جواب (9 یک فرا یند تصادفی است که ا ن را حرکت برا ونی هندسی می نامیم[ 3 ] یکی از مدل های تصادفی رشدجمعیت رشد ویروس ایدز در سطح یک جامعه محدود است که برای اولین بار dy = y dw ( r X y r y d + ( b X y b y (9 توسط ا رنی و راعو در[ 7 ] به صورت زیر معرفی گردید X b ضرایب ثابت b, r,, r ( که در ا ن زمان تعداد افراد سالم در جامعه تعداد افراد مبتلا به ویروس ایدز در یک فرا یند وینر استاندارد می باشد. فرم( یک مدل SDE باضریب رانش b X y b y { : o} W و ضریب انتشار است. از ا نجاي ی که به صورت تحلیلی نمی توان جواب و r X y r دقیق ( را محاسبه کرد به روش عددی جواب تقریبی ا ن را به دست می ا وریم و چون ساده ترین روش روش اویلر-ماریاما است با استفاده از این روش جواب تقریبی ( را به کمک برنامه MATLAB به دست y می ا وریم. 98

7 ج ه ریا یات کار دی وا د لا جان (١٣٨٩ ٢۴ ١٠١-٩٣ 4 نتایج عددی مدل ( یک فرم تصادفی باضراي ب مربعی می باشد و معادلات دیفرانسیل با ضراي ب مربعی تحت شرایط بسیار بسیار ویژه ای جواب دقیق ا ن را می توان به دست ا ورد و در حالت کلی نمی توان این کار را انجام داد لذا ناچاریم چنین معادلاتی را به روش عددی تقریب زده و جواب عددی ا ن را به دست بیاوریم. برای این منظور با فرض X 4 =, b =.5, r =, = کمک نرم افزار MATLAB مقادیر زیر حاصل گردیده است: Y با استفاده از روش اویلر- ماریاما و به و = T=ime y wih GWN wih PWN y که در ا ن GWN نماد نوفه سفید گاوسی و PWN نوفه سفید پواسونی است. برای مقایسه دقیق تر در نتیجه گیری با استفاده از برنامه MATLAB و مقادیر اولیه فوق نمودار تعداد افراد مبتلا به ویروس ایدز را در فاصله زمانی [T,] برای مدل ( با نوفه سفید گاوسی و پواسونی بطور مجزا از هم رسم نموده ایم که نمودار حاصل به صورت زیر می باشد. مقادیر در نمودار ( منحنی که به صورت نقطه چین است Y به ازای نوفه Yرا با فرض نوفه سفید گاوسی نمایش می دهدو منحنی با خط ممتد نمایش مقادیر سفید پواسونی می باشد. برای دقت بیشتر با مقادیر اولیه فوق برای نمودار : نمودار تعداد افراد مبتلا به ویروس ایدز Y = 4 با = Y به ازای 6 = = Yرا به دست ا وردیم که نتایج در جدول زیر و نمودار MATLAB حاصل با استفاده از روش اویلر-ماریاما در برنامه ( نشان داده شده است. T=ime y wih GWN y wih PWN

8 و رضا یان و ھ کار قا ه ددی واب عاد د ا ل صاد ی با و ید گاو ی وپ وا و ی = 6 نمودارهای (3 به ترتیب نشان می دهد. نمودار : نمودار تعداد افراد مبتلا به ویروس ایدز Y با = و = 6 Y = e بازای 4 = Y را با نوفه سفید گاوسی و پواسونی برای (4 حاصل نمودار 3 : نمودار تعداد افراد مبتلا به ویروس ایدز Y = e = 4 با نمودار 4 : نمودار تعداد افراد مبتلا به ویروس ایدز 6 = Y = e با با توجه به نمودارهای فوق در می یابیم که تقریب عددی با نوفه سفید پواسونی برای مدل فوق در مقایسه با نوفه سفید گاوسی از خطای کمتری برخوردار می باشد و جواب دقیق تری حاصل می گردد.

9 ج ه ریا یات کار دی وا د لا جان (١٣٨٩ ٢۴ ١٠١-٩٣ منابع [] S. Karli, H. M. Taylor, A fir coure i ochaic procee, AP, 975. [] L. Arold, Sochaic Differeial Equaio, Theory ad Applicaio, Wiley, 974. [3] B. Oedal, Sochaic Differeial Equaio. Spriger, 985. [4] P.E. Kloede, E. Plae. Numerical oluio of Sochaic Differeial Equaio, Spriger, Berli, 995. [5] G. N. Milei, Numerical Iegraio of SDE, Kluwer Academic Publiher, Dordrech, 995. [6] C. Kim, E.K. Lee, Numerical Mehod for Solvig Differeial Equaio wih Dichoomou oie, Phyical Review, E73, 6 6. [7] S. R. Ari, S. Rao, Mahemaical Modelig of AIDS epidemic i Idiaa, Curre Sciece [8] E. Paha, H. R. Moafaei, Diffuio proce of AIDS i IRAN, mahemaical ciece, 7. [9] K.Burrage ad E.Plae, Rug-Kua Mehod for Sochaic Differeial Equaio, A. Numer. Mah. 994,, [] M.Carlei, Numerical oluio of Sochaic Differeial problem i he biociece, j.comp.appl. Mah, 85 6, 4-44.

10 رضا یان و ھ کار قا ه ددی واب عاد د ا ل صاد ی با و ید گاو ی وپ وا و ی