Διαταραχές Τροχιάς (2)

Transcript

1 Διαταραχές Τροχιάς (2) Μάθημα 6 ο Βαρυτικές διαταραχές δυναμικό πεπλατυσμένου σώματος Επίδραση τρίτου σώματος (α) γραμμική αέναη κίνηση (β) κίνηση σε συντονισμό Μη βαρυτικές διαταραχές Μεταβολές του μεγάλου ημιάξονα της τροχιάς (α) αεροδυναμική τριβή (β) φαινόμενο Yarkovsky (γ) επίδραση παλιρροιών

2 Συντηρητικές διαταραχές εξίσωση κίνησης (σε διανυσματική μορφή) όπου R η παρελκτική συνάρτηση (disturbing function) εξισώσεις μεταβολής των στοιχείων της τροχιάς (εξ. Lagrange)

3 Πλάτυνση του κεντρικού σώματος Δ.Ε. Κίνησης: U = μ r, R = μ J R 2 ( a 3 a r )3 (3sin 2 φ 1) Όπου φ = γεωγραφικό πλάτος sin(φ) = sin(i) sin(ω+ν) (a /r) 3 =( 1+e cos ν)3 1 e 2, (a /r) 3 = 1 T 0 T (a/r) 3 d t με r 2 dν dt = h dt = r2 dν h Υπολογίζω τη μέση τιμή της R ανά περίοδο R = μ J R 2 ( a sin2 i) (1 e2 ) ( 3/ 2) όπου R Ω = R ω = R λ =0 ȧ = ė = i = 0

4 Επίδραση τρίτου σώματος O m i r i = R i R r j = R j R r i = (U i +R i ) M ψ r i G(M+m U i = i ) r i r j m j R i = G m j r j r i Gm j r i r j r j 3 m i m j M R = G M m i r i r i 3 +G M m j R i = G M m i r i r i 3 +G m i m j R j = G M m j r j r j 3 +G m i m j r j 3 r j (r j r i ) 3 r ij (r i r j ) 3 r ij Ανάπτυγμα σε σειρά Taylor-Fourier: R = Gm j kl Ορίζω: λ = Ω+ω+Μ ω = Ω+ω S (a,a ',e,e ', I, I ') cos φ φ = k 1 λ+k 2 λ '+k 3 ω+k 4 ω'+k 5 Ω+k 6 Ω '

5 (α) Γραμμική θεωρία αέναης κίνησης Από το ανάπτυγμα Fourier κρατάμε μόνο τους σημαντικότερους όρους ως προς e i,e j και μόνο αν η μέση τιμή ανά περίοδο είναι μη μηδενική: R = 1 2 π (2 π ) 2 0 R d λ1 d λ 2 όλοι οι όροι cos που περιέχουν τα λ i 0 R i = G m i M na 2 i [ A i1 e 2 i + A i2 e 1 e 2 cos(ω 1 ω 2 ) + Β i1 Ι 2 i + Β i2 Ι 1 Ι 2 cos(ω 1 Ω 2 )] Θ. Laplace-Lagrange: R λ i =0 a i =σταθ Οι εξισώσεις Lagrange απλοποιούνται (αφού a=σταθ) και δίνουν ένα γραμμικό σύστημα Δ.Ε για τα e,i,ω,ω: Σύνθεση απλών αρμονικών ταλαντώσεων με πολύ χαμηλές συχνότητες!!! Οι τροχιές των πλανητών είναι ευσταθείς και απλά υφίστανται μικρές ταλαντώσεις

6 (β) Κίνηση σε συντονισμό Από το ανάπτυγμα Fourier κρατάμε μόνο τους σημαντικότερους όρους που αντιστοιχούν σε φ για το οποίο ισχύει η συνθήκη συντονισμού φ = k 1 λ+k 2 λ '+k 3 ω+k 4 ω' +k 5 Ω+k 6 Ω ' φ k 1 λ 1 + k 2 λ 2 = k 1 n 1 + k 2 n 2 =0 a 1 /a 2 = ( k 1 / k 2 ) (2/3) π.χ. k 1 =1, k 2 =-2 συντονισμός 1:2! με α 1 /α 2 = ( ή 3.23 AU) Μόνο ένας όρος από την R! de dt R = C (a) e cos(λ 1 2 λ 2 +ω) da dt 2na 2 e sin φ a n sin φ da de = 2 a e e2 = e 0 2 ln(a/a 0 ) Οι εξισώσεις Lagrange δίνουν λύση τύπου εκκρεμούς για τα (a,φ)

7 H πρώτη εξίσωση του Lagrange είναι: da dt = 2 n a R λ και χρησιμοποιώντας τον 3ο νόμο του Kepler, παίρνουμε: dn dt = 3 n2 a R λ αλλά φ n φ ṅ οπότε φ + β 2 (e) sin φ = 0 Μη γραμμικές (αλλά επιλύσιμες) ταλαντώσεις των n a e φ φ

8 Συμπέρασμα: Ο μεγάλος ημιάξονας της τροχιάς, a, παραμένει κατά μέσον όρο σταθερός αγνοώντας μη γραμμικά φαινόμενα (χάος) Ο όρος πλάτυνσης (J 2 ) δεν αλλάζει τη μέση τιμή του a Εκτός συντονισμών (3-body) έχουμε μικρού πλάτους, ανεξάρτητες ταλαντώσεις, χωρίς να αλλάζει η μέση τιμή του a Σε συντονισμό (3-body) έχουμε μεγάλου πλάτους, συζευγμένες ταλαντώσεις αλλά με σταθερή τη μέση τιμή του a οι βαρυτικές διαταραχές διατηρούν τη μέση τιμή του a αφού διατηρούν την ενέργεια του συστήματος

9 Μη βαρυτικές διαταραχές (α) Αεροδυναμική τριβή: Η δύναμη τριβής με τα μόρια της ατμόσφαιρας, πυκνότητας ρ, είναι: F T = 1 2 ρ r 2 C T S όπου 0<C Τ <2 ο συντελεστής αεροδυναμικής τριβής του σώματος, S η κάθετη διατομή του δορυφόρου και m γ T =F T /m s s η μάζα του: Υπολογίζοντας το γινόμενο: ṙ γ Τ = ρ ṙ 3 C T S 2 m s η εξίσωση του Gauss (για το a) δίνει: da dt = ρ μ a C T S m s υποθέτοντας κυκλικές τροχιές, δηλ. ṙ = v = μ a

10 (β) φαινόμενο Yarkovsky: Η περιστροφή του σώματος και η πεπερασμένη θερμική αγωγιμότητά του ασυμμετρία των μεγίστων απορρόφησης και εκπομπής εφαπτομενική συνιστώσα της δύναμης επαναφοράς σε πρώτη προσέγγιση... Μεταβολή του μεγάλου ημιάξονα της τροχιάς: <da Y /dt> ~ 2.7 x 10-3 / D(km), [ AU / My ]

11 (γ) επίδραση παλιρροιών: Ύψος της παλίρροιας (ισορροπία): Στην πραγματικότητα, το παλιρροϊκό εξόγκωμα δεν βρίσκεται στη διεύθυνση M m! [ n <> 2π/Τ ταλαντώσεις + τριβή διαφορά φάσης, φ ] Αν n > 2π/Τ φ<0 n < 2π/Τ φ>0 (π.χ. Γη-Σελήνη) Η μάζα του εξογκώματος ασκεί ροπή στο σύστημα των δύο σώματων!

12 Το έργο ανύψωσης του εξογκώματος είναι: ενώ το έργο της παλίρροιας είναι: Και ο παράγοντας κατανάλωσης ενέργειας, Q, δίνει το φ: Σε μία περίοδο, Τ, ο ρυθμός μεταβολής της τροχιακής ενέργειας του δορυφόρου είναι ~ ΔΕ/Τ, απ' όπου παίρνουμε: Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του πλανήτη μεταβάλλεται επίσης L = r F = I Ω+ M m M +m d (n a 2 ) dt Ω m Q( R )3 n 2 M a