ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ"

Transcript

1 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Να κατανοηθεί η έννοια της εκτίµησης σηµείου και της εκτίµησης διαστήµατος. Επίσης να κατανοηθεί η έννοια της δειγµατικής κατανοµής παραµέτρου και να υπολογισθούν µε χρήση της Κεντρικού Οριακού Θεωρήµατος διάφοροι παράµετροι δειγµατικών κατανοµών εκτός της κανονικής. Να εκτιµηθούν τα διαστήµατα εµπιστοσύνης παραµέτρων (π.χ. µέσης τιµής πληθυσµού). Επαφή µε κατανοµές όπως η t-κατανοµή και γνωριµία µε µεθόδους εκτίµησης όπως η µέθοδος των ροπών και της µέγιστης πιθανοφάνειας.

2 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ Εκτίµηση σηµείου (σηµειοκτιµητική) Εκτίµηση διαστήµατος (διαστήµατα εµπιστοσύνης) Μέθοδοι προσέγγισης Μέθοδος των ροπών (method of momets) Μέθοδος µέγιστης πιθανοφάνειας (method of maimum likelihood) Ορισµοί Στατιστικές (συναρτήσεις) συναρτήσεις των µετρήσεων, 2, του δείγµατος Εκτιµήτριες (estimators) συναρτήσεις των µετρήσεων που χρησιµοποιούνται για την εκτίµηση παραµέτρων (π.χ. µέση τιµή) Εκτιµήτριες σηµείου (poit estimators) όταν εκτιµούν σηµεία όπως την µέση τιµή, τη διασπορά, την πιθανότητα. Ιδιότητες καλών εκτιµητριών Αµεροληψία (ubiasedess). Η εκτιµώµενη παράµετρος είναι ίση µε την παράµετρο του πληθυσµού Αποτελεσµατικότητα (efficiecy). Η ακρίβεια ης εκτίµησης είναι µικρή ή και καλύτερα ελάχιστη. 2

3 ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΟΡΙΑΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΚΟΘ-) Ας υποτεθεί ότι επιλέγεται ένα τυχαίο δείγµα, 2,, µεγέθους, από έναν πληθυσµόστονοποίοη µεταβλητή Χ που µελετάται έχει κανονική κατανοµή, N(µ, σ 2 ). Τότε η µέση τιµή τηςείναιµ και η διασπορά σ 2 / (και τυπική απόκλιση σ / ). Επίσης η δειγµατική κατανοµή της είναι κανονική. Παρόµοια η δειγµατική κατανοµήτουαθροίσµατος έχει µέση τιµή µ και διασπορά σ 2 (και τυπική απόκλιση σ) καιέχεικανονικήκατανοµή. (ΚΟΘ-2) Ας υποτεθεί ότι επιλέγεται ένα τυχαίο δείγµα, 2,, µεγέθους, από έναν πληθυσµό στονοποίοη µεταβλητή Χ που µελετάται έχει κάποια κατανοµή (όχι κανονική) µε µέση τιµή µ και διασπορά σ 2. Τότε αν το είναι µεγάλο, ηδειγµατική κατανοµή της είναιπροσεγγιστικά κανονική µε µέση τιµή µ και διασπορά σ 2 / (και τυπική απόκλιση σ / ). Η προσέγγιση γίνεται όλο και καλύτερη καθώς το αυξάνεται. Επίσης η δειγµατική κατανοµή του αθροίσµατος είναιc προσεγγιστικά κανονική µε µέση τιµή µ και i= i διασπορά σ 2 (και τυπική απόκλιση σ). i= i 3

4 Ποσοστό Ποσοστό Παράδειγµα 4.. Η κατανοµή σχετικών συχνοτήτων 000 παρατηρήσεων µιας διακριτής ΤΜ Χ ακολουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή µε τιµές -0 Το ιστόγραµµα των σχετικών συχνοτήτων, αποτελείται από 0 ακίδες ίσου (περίπου) ύψους προς 0,0. Η µέση τιµή και διασπορά είναι: = 5,45 και s 2 = 8,24. Επιλέγουµε 00 δείγµατα των 0 µετρήσεων από αυτή την κατανοµή και υπολογίζουµε την µέση τιµή. 20% 0% 8% 5% 6% 0% 4% 5% 2% 0% Μέση τιµή δείγµατος, = 0 =, 2,,..., 0 4

5 ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ.Ε. για τη µέση τιµή πληθυσµού α) σ 2 γνωστό Αν η κατανοµή των µετρήσεων ακολουθεί κανονική κατανοµή µε Ν(µ, σ 2 ) τότε η ακολουθεί κανονική κατανοµή Ν(µ, σ 2 /). Το 95% διάστηµα εµπιστοσύνης θα δίνεται από την σχέση, 96 σ / < µ < +, 96 σ / Όπου,96= Ζα από πίνακες κανονική κατανοµής β) σ 2 άγνωστο Αν η κατανοµή των µετρήσεων ακολουθεί όχι απαραίτητα κανονική κατανοµή µε Ν(µ, σ 2 ) τότε η ακολουθεί κανονική κατανοµή Ν(µ, σ 2 /). Το 95%διάστηµα εµπιστοσύνης θα υπολογίζεται προσεγγιστικά µε βάση την τιµή της s 2 από την σχέση., 96 s/ < µ < +, 96 s/ t s/ < µ < + t s/, a, a Όπου,96= Ζα από πίνακες κανονική κατανοµής Για κανονική κατανοµή χρησιµοποιούµε τον παρακάτω τύπο Αν ζητηθεί 99% διάστηµα εµπιστοσύνης η τιµή,96 αντικαθιστάται από την τιµή 2,58 5

6 Παράδειγµα 4.2. Ο δείκτηςνοηµοσύνης ( Ν) µαθητών -4 ετών έχει κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 00 και τυπική απόκλιση 6. (α) Ποια είναι η πιθανότητα ο Ν ενός τυχαία επιλεγµένου µαθητού να βρίσκεται µεταξύ 95 και 0; (β) Σ ένα τυχαίο δείγµα 0 µαθητών, ποια είναι η πιθανότητα ο µέση τιµή των Ν τους ευρίσκεται µεταξύ 95 και 0; Χ: δείκτης νοηµοσύνης ατόµου Ν(0, 62) η κατανοµή που ακολουθεί ο δείκτης νοηµοσύνης των παιδιών ηλικίας -4 ετών. Ν(0, 62/0) η κατανοµή τουδείγµατος της µέσης τιµής των 0 ατόµων ( a) P(95 < X < 0) = P( < Z < ) = P( 0,3 < Z < 0,63) = 6 6 PZ ( < 0,63) PZ ( < 0,3) = 0,7357 [ PZ ( < 0.3)] = 0, ,627 = 0, ( B) P(95 < X < 0) = P( < Z < ) = P( 0,99 < Z <,98) = 5,06 5,06 PZ ( <,98) PZ ( < 0.99) = 0, 976 [ PZ ( < 0,99)] = 0,85 6

7 Παράδειγµα 4.3. Σε µια φαρµακοβιοµηχανία έγινε µια χηµική ανάλυση για να ελεγχθεί η δραστικότητα των προϊόντων της. Τα αποτελέσµατα της δραστικότητας 60 κοµµατιών (πειραµατικών µονάδων) του προϊόντος ΑΜΧΤ έδωσαν = 905 και s= 7,85. Υπολογίστε, τα 95% και 99% διάστηµα εµπιστοσύνης της µέσης τιµής δραστικότητας, m, αυτού του προϊόντος. Χ: δραστικότητα του φαρµάκου Ν(905, 7,85 2 ) η κατανοµή που ακολουθεί η δραστικότητα των φαρµάκων. Ν(0, 7,85 2 /60) η κατανοµή τηςµέσης δραστικότητας των φαρµάκων 95%.Ε.: (905 (,96)(7,85) / 60, (,96)(7,85) / 60 ) = (902,23, 907,77), 99%.Ε.: (905 (2,58)(7,85) / 60, (2,58)(7,85) / 60 ) = (90,36, 908,64). 7

8 Η t (studet) κατανοµή είγµα µεγέθους µε µετρήσεις, 2, 3,. Η µεταβλητή ακολουθεί κανονική κατανοµή Ν(µ, σ 2 ) Η τυχαία µεταβλητή Συµβολισµός Τ~t - T µ s Μαθηµατικός τύπος: Ειδική περίπτωση συνάρτησης Γ(Χ) (gamma fuctio) = ακολουθεί µια κατανοµή tµε - β.ε Χαρακτηριστικά: Α) συµµετρική κατανοµή γύρω από 0 Β) όσο οι β.ε. µεγαλώνουν η κατανοµή t τείνει στην κανονική. Γ) υψηλότερες τιµές στις «άκρες» της κατανοµής και «χαµηλότερες προς το κέντρο (σε σχέση µε την κανονική κατανοµή). 5 β.ε. 25 β.ε. 8

9 Παράδειγµα 4.4. Τα παρακάτω δεδοµένα είναι µετρήσεις εκπνεόµενου όγκου αέρος (ΕΟΑ) από ένα δείγµα 8 φοιτητών: 3,69 4,08 4,50 2,85 4,47 3,83 3,54 4,47 4,4 4,30 3,0 4,6 4,56 5,0 3,57 4,6 4,78 5,00 Αν οι µετρήσεις ακολουθούν κανονική κατανοµή υπολογίστετα95 και99% Ε Χ: εκπνεόµενος όγκος αέρα Β.Ε.= =8-=7 Τιµές t-κατανοµής για 7 β.ε. και α=0,05 και 0,0 είναι: t 7, 0,05 =2, και t 7, 0,0 =2,90 95%.Ε.: (4,28 (2,)(0,6) / 8, 4,28 + (2,)(0,6) / 8 ) = (3,824, 4,432), 99%.Ε.: (4,28 (2,90) (0,6) / 8, 4,28 + (2,90)(0,6) `/ 8 ) = (3,70, 4,546). Οι τιµές της κατανοµής t υπολογίζονται από τον Πίνακα της t-κατανοµής 9

10 ΜΕΓΙΣΤΗ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑ (maimum likelihood) Η εκτίµηση διαφόρων στατιστικών παραµέτρων µπορεί να γίνει µε µέθοδος της µέγιστης πιθανοφάνειας (maimum likelihood) Η συνάρτηση πιθανοφάνειας µια παραµέτρου θ η οποία εκφράζεται από τις τιµές µετρήσεων (, 2, 3, ) Π θ 2 = i= (,,... ) f(, θ ) Ο λογάριθµος της συνάρτησης πιθανοφάνειας χρησιµοποιείται πιο πολύ στην εκτίµηση. Λ ( θ ) = l[ Π ( θ, 2,... )] = l[ f( i, θ)] Η µέγιστη τιµή της παραπάνω συνάρτησης βρίσκεται εφαρµόζοντας γνωστές µαθηµατικές σχέσεις (µηδενισµός ης παραγώγου και αρνητική 2η παράγωγος στο σηµείο µηδενισµού) Λ θ 2 ( θ) Λ( θ) 2 i= = 0 & < 0 θ i 0

11 Παράδειγµα. Ας υποθέσουµε ότι οι, 2, είναι ένα τυχαίο δείγµα παρατηρήσεων της ΤΜ Χ όπου Χ ακολουθεί την εκθετική κατανοµή µε άγνωστη παράµετρο θ, δηλαδή δηλαδή f()= e -/θ /θ, (0, + ). Θα εκτιµήσουµε τηνπαράµετρο θ µε τηνµέθοδο της µέγιστης πιθανοφάνειας Π ( θ,,... ) = f(, ) = e = e 2 i i / θ i= θ i= i= θ θ / θ θ Λ ( θ) = l[ Π ( θ, 2,... )] = lθ θ Η τιµή της πρώτης παραγώγου που µηδενίζει την υπολογίζεται ως i= Λ( θ ) ˆ θ θ θ i i= = i = θ = = i= Η οποία είναι η µέγιστη πιθανοφάνεια µια και η δεύτερη παράγωγος είναι 0. i ( ) 2 Λθ i= 2 i = = < 0

12 ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΓΙΑ ΓΝΩΣΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ιωνυµική Παράµετρος ΕΜΠ 95% Ε Τύπος p pˆ = / pˆ ±, 96 pˆ( pˆ) / Προσεγγιστικός Poisso λ ±, 96 / / Προσεγγιστικός Εκθετική θ ±, 96 / Προσεγγιστικός Κανονική µ ± t s,0,05 / Ακριβές 2

13 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΚΟΘ H ιωνυµική Bi(, p) σ.µ.π. προσεγγίζεται (για µεγάλα ) από την κανονική κατανοµή Ν(p, p(-p)). Πρακτικά, η προσέγγιση αυτή είναι καλή για µεγάλα όταν: αν p < 0,5 τότε p > 5 ή αν p > 0,5 τότε (-p) > 5 Η Poisso Po(λ) σ.µ.π. προσεγγίζεται (για µεγάλα λ) από την κανονική κατανοµή Ν(λ, λ). Πρακτικά, η προσέγγιση αυτή είναι καλή για µεγάλα λ, λ >> 5. Παράδειγµα. Αντιληπτική ικανότητα Κεφ.. Χ: αριθµός χαµηλών επιδόσεων Προσεγγίζουµε µε την ιωνυµική µε µια κανονική µε µέση τιµή p και διασπορά p(-p). ηλαδή Χ~Ν(2,5, 2,375). Υπολογίζουµε την πιθανότητα P(X 7) ή P(X 6,5). Έχουµε: 6,5 2,5 PX ( 6,5) = PZ ( ) = PZ ( 2,60) = PZ ( < 2,60) = 0,9953 = 0,0047 2,375 Η οποία δεν είναι πολύ διαφορετική από αυτή της Βi(50, 0,05) αν και δεν ισχύει η συνθήκη p<0,5 και p>5. 3

14 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ (ΧΡΗΣΗ EXCEL) 4

15 ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ t TINV =TINV(0.05; F8-) ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ.Ε. CONFIDENCE =CONFIDENCE(0,05;F7;F8) ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ SQRT =SQRT(F8) ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ AVERAGE =AVERAGE(A2:A9) ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ STDEV =STDEV(A2:A9) 5

16 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ (ΧΡΗΣΗ SPSS) EXAMINE VARIABLES=ogkos /PLOT NONE /STATISTICS DESCRIPTIVES /CINTERVAL 95 /MISSING LISTWISE /NOTOTAL. 6

17 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ (ΧΡΗΣΗ SPSS) Descriptives OGKOS Mea 95% Cofidece Iterval for Mea Lower Boud Upper Boud Statistic Std. Error 4,28,44 3,824 4,432 5% Trimmed Mea Media Variace Std. Deviatio Miimum Maimum Rage Iterquartile Rage Skewess Kurtosis 4,45 4,60,374,6 2,850 5,00 2,250,855 -,458,536 -,42,038 7

18 ν 0,0 0,05 0,0 ν 6,34 2,706 63, ,920 4,303 9, ,353 3,82 5, ,32 2,776 4, ,05 2,57 4, ,943 2,447 3, ,895 2,365 3, ,860 2,306 3, ,833 2,262 3, ,82 2,228 3,69 0,796 2,20 3,06 2,782 2,79 3, ,77 2,60 3,02 3 4,76 2,45 2, ,753 2,3 2, ,746 2,20 2,92 6 7,740 2,0 2, ,734 2,0 2, ,729 2,093 2, ,725 2,086 2, ,72 2,080 2, ,77 2,074 2, ,74 2,069 2, ,7 2,064 2, ,708 2,060 2, ,706 2,056 2, ,703 2,052 2, ,70 2,048 2, ,699 2,045 2, ,67 2,000 2, if,650,960 2,580 if ΠΙΝΑΚΑΣ t - ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (STUDENT) 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0, t - t - 8

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας Επικοινωνία: Πτέρυγα 4, Τοµέας Κοινωνικής Ιατρικής Εργαστήριο Βιοστατιστικής Τηλ. 4613 e-mail: biostats@med.uoc.gr thalegak@med.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #3: Εκτιμητική Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα 11 η Διάλεξη Εκτιμήτρια Κάθε στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού (π.χ. ο δειγματικός μέσος) Σημειακή εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων συνεχούς τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτησης κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίων µεταβλητών καθώς και την µέση τιµή και διασπορά τους

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Δειγματοληψία. Δειγματοληψίας. Δειγματοληψία. Τυχαία Δειγματοληψία. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική ΙI Ενότητα 1: Δειγματοληψία και Κατανομές Δειγματοληψίας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1. ειγµατοληψία Πιθανοτικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

1991 US Social Survey.sav

1991 US Social Survey.sav Παραδείγµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας µε ένα δείγµα Στα παραδείγµατα χρησιµοποιείται απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους 1 από το αρχείο δεδοµένων 1991 US Social Survey.sav Το δείγµα λαµβάνεται µε την διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Υπολογισμός πιθανοτήτων και πρόβλεψη τιμών από τις τιμές των παραμέτρων και

Διαβάστε περισσότερα

Δείγμα (μεγάλο) από οποιαδήποτε κατανομή

Δείγμα (μεγάλο) από οποιαδήποτε κατανομή ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 4ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δείγμα από κανονική κατανομή Έστω Χ= Χ Χ Χ τ.δ. από Ν µσ τότε ( 1,,..., n) (, ) Τ Χ Χ Ν Τ Χ σ σ Χ Τ Χ n Χ S µ S µ 1( ) = (0,1), ( ) = ( n 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Παραμέτρων

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιμητές Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Estimators MLE)

Εκτιμητές Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Estimators MLE) Εκτιμητές Μεγίστης Πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood Estimators MLE) Εστω τ.δ. X={x, x,, x } με κατανομή με σ.π.π. f(x;θ). Η από-κοινού σ.π.π. των δειγμάτων είναι η συνάρτηση L f x, x,, x; f x i ; και

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίμηση Διαστήματος. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Στατιστική ΙI. Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον Μέσο

Εκτίμηση Διαστήματος. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Στατιστική ΙI. Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον Μέσο Στατιστική ΙI Ενότητα : Εκτίμηση Διαστήματος Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Aν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική ΙΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης, cemma@eco.auth.gr 1 Εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

I2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα

I2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα I. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης (cetral tedecy) Χρήσιμα για την περιγραφή της θέσης της κατανομής από την οποία προέρχονται. Δημοφιλέστερα: Μέση τιμή, κορυφή και διάμεσος.

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics)

Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Τυχαίο δείγμα και στατιστική συνάρτηση Χ={x 1, x,, x n } τυχαίο δείγμα μεγέθους n προερχόμενο από μια (παραμετρική) κατανομή με σ.π.π. f(x;θ).

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Θεόδωρος Χ. Κουτρουµ ανίδης Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΘ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ορεστιάδα 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Παράγωγες κατανοµές

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Κεϕάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. {x 1,..., x n } της X από ένα δείγµα µεγέθους n. Τότε η σηµειακή εκτίµηση της θ δίνεται

Κεϕάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. {x 1,..., x n } της X από ένα δείγµα µεγέθους n. Τότε η σηµειακή εκτίµηση της θ δίνεται Κεϕάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος που υπολογίζονται από τα δεδοµένα που έχουν συλλεχθεί, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, χρησιµοποιούνται για την εκτίµηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

P(200 X 232) = =

P(200 X 232) = = ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Εκτιμητική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ Φουσκάκης- Ασκήσεις στην Εκτιµητική ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ ) Έστω Χ,, Χ και Υ,,Υ ανεξάρτητα τµ από πληθυσµούς µε µέση τιµή θ και γνωστές διασπορές σ και σ είξτε ότι για c [0,] η U = c X +(-c) Y είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, που ϑα δούµε παρακάτω, υπολογίζονται από τα στατιστικά δεδοµένα που έχουµε συλλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ

Σημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ 10ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... Σ ΑΜ:. Ημερομηνία: Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στόχοι: (a) να δοθεί µια εισαγωγή στη θεωρία της στατιστικής συµπερασµατολογίας ελέγχων υποθέσεων, (b) να παρουσιάσει τις βασικές εφαρµογές αυτών των ελέγχων: µέσης τιµής, ποσοστού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά και Εκτιμητικής Ορισμός 1.1. Όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος αποτελούν το δειγματοχώρο (sample space) που συμβολίζεται με. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

(X1 X 2 ) 2}. ( ) f 1 (x i ; θ) = θ x i. (1 θ) n x i. x i log. i=1. i=1 t2 i

(X1 X 2 ) 2}. ( ) f 1 (x i ; θ) = θ x i. (1 θ) n x i. x i log. i=1. i=1 t2 i ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I: ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ 8 Ιουνίου 005 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου 005 ΘΕΜΑΤΑ Εστω X = (X,, X n ), n, τυχαίο δείγµα από κατανοµή Bernoull B(, θ), θ Θ = (0, ) (α) (0 µονάδες) Να δειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τον έλεγχο της υπόθεσης της ισότητα δύο μέσων τιμών με εξαρτημένα δείγματα. Εξαρτημένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2: Έλεγχοι υποθέσεων για µέσες τιµες πληθυσµών (T-tests) µέσω SPSS

Ενότητα 2: Έλεγχοι υποθέσεων για µέσες τιµες πληθυσµών (T-tests) µέσω SPSS Ενότητα : Έλεγχοι υποθέσεων για µέσες τιµες πληθυσµών (T-tests) µέσω SPSS.. Έλεγχος υποθέσεων για το µέσο µ ενός πληθυσµού Έστω ότι θέλουµε να ελέγξουµε αν ο µέσος µ ενός κανονικού πληθυσµού (µε άγνωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 25 1.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ... 25 1.3 Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

7. Εκτιμήσεις Τιμων Δεικτων

7. Εκτιμήσεις Τιμων Δεικτων Μαθηματικά και Στατιστικη στην Βιολογια ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (1 ο ) Τμημα Βιολογιας Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Mathematics and Statistics in Biology WINTER SEMESTER (1 st ) School of Biology Aristotle

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Ενότητα: Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Απόστολος Μπατσίδης Τμήμα: Μαθηματικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 25 Νοεµβρίου 2009 Ορισµός Εστω X µια διακριτή τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας f(x) = e λ λx, x = 0, 1,..., (1) x! όπου 0 < λ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80.

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80. ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΤ ΧΟΛΗ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΗ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ακαδ. Έτος -3 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 47/8 v.kouras@fμe.aegea.gr Σηλ: 735457 Διωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 6_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Παράμετροι θέσης όταν θέλουμε να εκφράσουμε μια μεταβλητή με έναν αριθμό π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2

Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων. της σ 2 είναι επίσης αµερόληπτη. n 1 +n 2 4.2. ΑΠΛ Η ΓΡΑΜΜΙΚ Η ΠΑΛΙΝ Ρ ΟΜΗΣΗ 79 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιγραφική Στατιστική, Εκτίµηση και Ελεγχος Παραµέτρων 1. είξτε ότι η εκτιµήτρια s 2 της διασποράς σ 2 είναι αµερόληπτη. 2. ύο τυχαίες µεταβλητές X 1 και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα