Analiza rada Stirlingova motora

Transcript

1 Sveučilište u Splitu Prirodoslovno-matematički fakultet Diplomski rad, Dodiplomski studij matematike i fizike Mentor: prof. dr. sc. Paško Županović Analiza rada Stirlingova motora Tomislav Sorić Split, Srpanj 01

2 Sadržaj 1 Uvod Kratki vremenski pregled razvoja toplinskih uređaja i termodinamike Kratka povijest Stirlingova motora Alpha verzija Stirlinova motora 11.1 Stirlingov ciklus u modelu jednakih tlakova u cilindrima Kritika standardnog prikaza kružnog procesa kod Stirlingova motora Rad Primanje i otpuštanje topline radnog medija u ciklusu Nultočke Posebna rješenja jednadžbe Apsorbirana toplina za T T 1 << T Korisnost Stirlingova ciklusa u modelu jednakih tlakova Dvoatomni plin kao radni medij Korisnost Stirlingova ciklusa u ovisnosti o molarnom toplinskom kapacitetu radnog medija Promjena entropije okoline u jednom Stirlingovom ciklusu u modelu jednakih tlakova u cilindrima Proračun momenta sile na zamašnjak u modelu jednakih tlakova 9 3 Zaključak 33 Dodatak: Problemi kod praktične izvedbe Stirlingova motora 3

3 1 Uvod Toplinski strojevi su uređaji koji pretvaraju unutarnju energiju u mehaničku energiju. Krajnje pojednostavljeni toplinski stroj sastoji se od dvaju spremnika: toplijeg i hladnijeg, te radnog medija (vidi sliku 1) Radni medij apsorbira energiju iz toplijeg spremnika. Jedan dio te energije pretvori se u mehanički rad, a dio se preda hladnijem spremniku. Slika 1: Shematski prikaz toplinskog stroja Tema ovog rada je Stirlingov motor koji kao radni medij koristi plin. U pravilu to je zrak. 1.1 Kratki vremenski pregled razvoja toplinskih uređaja i termodinamike Najraniji poznati toplinski uređaj je "vatreni klip" koji se koristio za paljenje vatre. Vatreni klip je od prapovijesti korišten u jugoistočnoj Aziji i otocima Tihog oceana. Drevne verzije vatrenog klipa rađene su od drva, rogova životinja, bambusa ili olova. Uređaj se sastoji od šupljeg cilindra duljine do 15 cm, unutrašnjeg promjera 6-7 mm. Na jednom kraju je otvoren a na drugom zatvoren. Klip se postavi u cilindar tako da ga dnom hermetički zatvori. Mora biti izveden tako da se njime može jako udariti, a zatim ga se može brzo izvući iz cilindra. Klip je namjerno napravljen uskim, tako da je potrebna manja sila za komprimiranje zraka u cilindru. Klip mora imati usjek ili otvor u koji se smjesti kresivo. Kada se klip brzo nabije u cilindar, kompresija 3

4 zraka uzrokuje da temperatura naglo naraste do 60 C što je dovoljno da se kresivo u klipu zapali. Klip se sada brzo povuče, prije nego što izgori sav kisik unutar cilindra. Tinjajuće kresivo sada treba s klipa dovesti na lako potpaljivi materijal. Energija mišića ruke koja radi na komprimiranju zraka se prenosi u smanjeni volumen zraka tijekom kompresije i povećava temperaturu zraka koja je dovoljna za paljenje kresiva. Ako je kompresija prespora, toplina se rasipa u okolinu i plin se vraća u ravnotežu. Ako se kompresija radi dovoljno brzo onda zrak u cilindru nema vremena za postizanje toplinske ravnoteže s okolinom. Apsolutna temperatura plina tako postane dovoljno visoka za paljenje kresiva. Moderni vatreni klip napravljen na zapadu kroz eksperimente sa zračnim pištoljem, a ne po uzoru na azijski dizajn. Patentiran je godine istodobno u Engleskoj i Francuskoj. "Vatrene šprice" kako su tada nazivane, bile su popularne u domaćinstvima diljem Europe tijekom ranog devetnaestog stoljeća, sve do izuma šibica prije nove ere - Archytas iz Tarentuma koristi mlaz pare za pogon igračke - drvene ptice. Njegova ptica pokretana na mlazni pogon u jednom eksperimentu je letjela 00 metara. Smatra se da je pogonjena sustavom komprimiranog zraka. Architasova ptica je prvi zabilježeni leteći stroj u povijesti (Let Dedala i Ikara je vjerojatno mitski) 100 prije nove ere - Heron iz Aleksandrije razvio je prvi "mlazni motor". Motor poznat kao "aeolipile" (slika ), sastojao se od kotla i sfere povezanih sa dvije šuplje cijevi te još dvije šuplje savijene cijevi sa nožištima u sferi. Para dolazi iz kotla u sferu kroz dvije šuplje cijevi. Para kroz savijene cijevi izlazi iz sfere i uzrokuje njeno okretanje. Slika : Heronov " Aeolipile" Oko Kina razvija vatreno koplje - oružje koje je kombinacija bambusove cijevi koja sadrži barut i projektil U borbi između Kineza i Mongola zabilježena prva upotreba raketa.

5 Oko Leonardo da Vinci radi top na parni pogon Taqi al-din - prva parna turbina - koristila se za vrtnju ražnja. Na kraj ražnja stavi se kotač s lopaticama. Ispod kotača se postavi bakreni kotao sa vodom. Jedna otvorena mlaznica je iz kotla usmjerena prema lopaticama turbina. Kako se voda u kotlu zagrijava, para izlazi kroz mlaznicu i okreće lopatice turbine Giovanni Branca - parna turbina Robert Boyle objavljuje Boyleov zakon koji definira odnos između volumena i tlaka u plinu Edward Somerset, markiz od Worcestera, gradi parnu fontanu Otto von Guericke: Pokus s vakuumom(slika 3) Iz metalne kugle je isisan sav zrak, te je u njoj ostao vakuum. Sila vakuuma je tada korištena kao sila za podizanje tereta. Zabilježena je i demonstracija ovog eksperimenta, gdje 16 konja nije moglo razdvojiti dvije polukugle spojene vakuumom. Slika 3: Spomenik Guerickeovom eksperimentu u Magdeburgu 1687 Isaac Newton pokušava svoje nedavno formulirane zakone gibanja isprobati svojim "parnim kolima" (slika ). On je pokušao pokrenuti vozilo usmjeravanjem pare prema natrag kroz šiljate mlaznice. Zbog male snage pare, ovo vozilo nije radilo Denis Papin - konstruira atmosferski parni stroj, preteču parnog stroja. Prvi put u povijesti ostvario je termodinamički ciklus (dvije izobare i dvije izohore). Radni medij je bila voda, koja je u cilindru bila u kontaktu s klipom. Cilindar se grije izvana, a para podiže klip suprotstavljajući se atmosferskom tlaku. Zatim se vatra uklanja, klip se fiksira u gornjem položaju, a cilindar se hladi okolnim zrakom. Klip se nakon toga otpušta, te pada uslijed sile vakuuma koja je nastala kondenzacijom vode i tako podiže teret preko koloture Thomas Savery - rudarska parna crpka. Savery je prvi napravio 5

6 Slika : Newtonovo vozilo na paru pumpu za crpljenje vode iz rudnika. Sastoji se od kotla, dvije posude pod tlakom, te usisne i tlačne cijevi. Vodena para se iz kotla pušta u zatvorenu posudu, gdje se kondenzira pod utjecajem hladne vode koja curi plaštem posude. Rezultirajući vakuum otvara nepovrativi ventil na dnu posude, te povlači otpadnu vodu kroz usisnu cijev u tlačnu posudu. Kad se vodena para ponovo pusti u istu tlačnu posudu, ona istiskuje vodu kroz tlačnu cijev i još jedan nepovrativi ventil u spremnik na višoj razini. Istovremeno su u pogonu dvije posude, tako da je proces kontinuiran. Dok se jedna posuda prazni pod tlakom pare, druga se puni uslijed kondenzacije Thomas Newcomen -prvi parni stroj. Osnovna prednost ovog pred Papinovim strojem je razdvajanje kotla od radnog klipa i kondenzatora. Rad počinje puštanjem pare iz kotla, koja podigne klip. Zatvori se parni ventil, a otvori rashladni za uštrcavanje vode u cilindar. Nastali vakuum gurne radni štap prema dolje. Otvaranjem izlaznog ventila ispušta se voda iz cilindra William Cullen demonstrira prvi hladnjak na Sveučilištu u Glasgowu u Škotskoj James Watt - parni stroj. Dvoradni cilindar ima ventilne kutije za ulaz i izlaz pare, koja odlazi u odvojeni kondenzator. Time se ubrzava rad i smanjuju gubici topline, jer nema uštrcavanja vode u cilindar. Radni zamašnjak se pokreće preko zupčanika, čime se podvostručava broj okretaja. Wattov paralelogram pretvara kružno u pravocrtno gibanje Jacques Charles formulira zakon koji opisuje odnos između volumena i temperature u plinu Joseph Louis Gay-Lussac formulira zakon koji opisuje odnos između tlaka i temperature plina Robert Stirling - motor na vrući zrak 18 - Nicolas Leonard Sadi Carnot je razvio Carnot ciklus i pripadajući 6

7 hipotetski Carnotov toplinski motor koji je osnovni teorijski model za sve toplinske motore. 189: George Stephenson - lokomotiva "Rocket"(slika 5). Ova lokomotiva je imala ložište, kotao s dva parna cilindra i mehanizam za regulaciju snage. Potrošena para odvodila se iz cilindra u dimnjak da bi se povećala usisna moć, jer veća količina zraka omogućuje bolje izgaranje ugljena što daje veću snagu i brzinu lokomotive. Snaga stroja bila je oko 0 kw (današnje lokomotive imaju oko 1500 kw). Slika 5: Stephensonova Rocket lokomotiva 1860: Étienne Lenoir -prvi plinski motor Alphonse Beau de Rochas daje koncept četverotaktnog motora s unutarnjim izgaranjem s naglaskom na prethodno podcijenjenu važnost sabijanja mješavine zraka i goriva prije paljenja Nikolaus Otto patentira dvotaktni motor s unutarnjim izgaranjem nadograđujući Lenoirov Otto Langen - motor s unutarnjim izgaranjem britanski kemičar Sir William Crookes izmišlja uređaj koji pretvara toplinu zračenja svjetlosti izravno u rotacijsko gibanje Ludwig Boltzmann pronašao vjerojatnosni način za mjerenje entropije jednog ansambla idealnog plina čestica, u kojem je definirana entropija proporcionalna logaritmu broja mikrostanja koje plin može zauzeti Nikolaus Otto patentira četverotaktni motor s unutarnjim izgaranjem Samuel Griffin patentira šest-taktni motor s unutarnjim izgaranjem Charles A. Parsons gradi prvu modernu parnu turbinu. 7

8 189 - Rudolf Diesel patentira Diesel motor. 1. Kratka povijest Stirlingova motora Braća Robert i James Stirling dizajnirali su najmanje pet različitih motora na istom radnom principu (slika 6). Slika 6: Pet tipova Stirlingovog motora Prvi Stirlingov motor (tada poznat kao Stirlingov motor na vrući zrak) je patentirao Robert Stirling Slijedio je ranije pokušaje da se napravi motor na vrući zrak, ali ovo je vjerojatno bio prvi takav motor koji je našao praktičnu primjenu: Stirlingov motor je služio za transportiranje vode u kamenolomu. Naknadni razvoj je rezultirao raznim poboljšanim konfiguracijama izvornog motora, tako da su ovi strojevi 183. imali dovoljno snage za pokretanje svih strojeva u ljevaonici željeza u Dundeeu. Pretpostavlja se da je motivacija izumiteljima bilo stvoriti sigurniju alternativu parnim lokomotivama čiji su kotlovi u to vrijeme znali eksplodirati. Stirlingov motor je učinkovitiji na visokim, ali ne na vrlo visokim, temperaturama - što postavlja ograničenja u izboru materijala. U ranim godinama motori su se često kvarili, iako s daleko manje katastrofalnim posljedicama od eksplozije kotlova. Na primjer, motor u ljevaonici zamijenjen je parnim strojem nakon tri kvara vrućeg cilindra u četiri godine. Nakon neuspjeha motora u ljevaonici ne postoji zapis o daljnjem angažmanu braće Stirling u razvoju motora pa se Stirlingov motor više nije natjecao s parnim kao izvor energije u industriji (parni kotlovi su sve sigurniji, a parni motori sve učinkovitiji). Međutim, od rade se različite izvedbe manjih Stirlingovih motora za namjene u kojima nije potrebna velika snaga - kao što je crpljenje vode iz bunara (slika 7). Obično su radili na nižim temperaturama, tako da su relativno neučinkoviti. No, njihova prednost je u tome što je njima, za razliku od parnog stroja, 8

9 Slika 7: Crpka za vodu pokretana Stirlingovim motorom lako upravljati. Nekoliko vrsta je ostalo u proizvodnji do kraja stoljeća, ali osim nekoliko manjih mehaničkih poboljšanja dizajn Stirling motora u cjelini u tom razdoblju stagnira. Tijekom prve polovice dvadesetog stoljeća ulogu malih Stirlingovih motora za kućanstvo postupno preuzimaju elektromotori i mali motori s unutarnjim izgaranjem. Do kasnih 1930-ih je u velikoj mjeri bio zaboravljen, proizvodi se samo za igračke i manje ventilacijske uređaje. U tom razdoblju Philips nastoji proširiti prodaju svojih radio prijemnika u dijelovima svijeta bez opskrbe strujom. Philipsova uprava odlučila je proizvesti prenosive generatore male snage, te je grupi inženjera dala zadatak da nađe alternativne izvore energije za tu svrhu. Nakon sustavne studije, tim je odlučio razvijati Stirling motor, navodeći kao razlog tihi rad i sposobnost da radi na različitim izvorima topline (npr. na običnoj uljnoj lampi - jeftinoj i svima dostupnoj). Oni također navode da, za razliku od parnih i motora s unutarnjim izgaranjem, Stirlingov motor dugo nije razvijan i tvrde da bi moderni materijali trebali omogućiti velika poboljšanja. Potaknuti prvim eksperimentalnim motorima snage 16 W, proizvodnja i razvoj su nastavljeni i tijekom drugog svjetskog rata. Proizvodnja početne serije (slika 8)je započela 1951, ali je postalo jasno da cijenom ne mogu konkurirati tranzistorskom radiju. Na kraju je proizvedeno oko 150 setova od planiranih 50. Neki su završili na tehničkim sveučilištima i koledžima diljem svijeta. 9

10 Slika 8: Philipsov radio prijemnik 1958 Roelf Jan Meijer - (Philips Research Laboratories) - suvremeni Stirling motor Umjesto savijene radne osovine Meijer je primijenio tzv. rombni mehanizam, kojeg pokreću dva zupčanika. Umjesto izravnog grijanja dodane su brojne cijevi čime je povećana ogrjevna površina. Hlađenje je također poboljšano s mnogo cijevi oko cilindra, a između vrućih i hladnih cijevi je smješten regenerator. Philips je nastavio raditi na razvoju eksperimentalnih Stirlingovih motora za različite primjene do kasnih 1970-ih, ali nije postigao komercijalni uspjeh. Međutim, oni su donijeli veliki broj patenata i prikupili mnoštvo informacija koje su temelj razvoja u suvremeno doba. Počevši od 1986, Infinia Corporation je počeo razvijati Stirling motore i termoakustične hladnjake koristeći povezane tehnologije. Dizajn koristi savijene ležajeve i hermetički zatvorene cikluse helija. Od 010, korporacija je objavila više od 30 patenata, a razvili su i niz komercijalnih proizvoda. U novije vrijeme, NASA razmatra upotrebu Stirlingovih motora grijanih nuklearnim pogonom za produženu misiju na vanjski Sunčev sustav. 10

11 Alpha verzija Stirlinova motora.1 Stirlingov ciklus u modelu jednakih tlakova u cilindrima Alfa tip Stirlingova motora sastoji se od dva međusobno okomito postavljena identična cilindra koji su u dodiru sa energijskim spremnicima temperatura T 1 i T (T > T 1 ). Dna cilindara su spojena uskom cijevi preko koje cilindri izmjenjuju topliji i hladniji dio radnog medija. Klipovi su štapovima duljine l zglobno vezani s zamašnjakom u točki koja se giba po kružnici radijusa r. Duljina štapova je podešena tako da klipovi u svojim krajnjim položajima dodirnu dna cilindara. Slika 9: Shematski prikaz rada Stirlingova motora. Izračunat ćemo tlak plina u motoru u ovisnosti o obujmu plina u ciklusu. Označimo s h 1 i h udaljenosti klipova u hladnom i toplom cilindru od njihova dna. Kut zakreta kotača ϕ mjerimo od položaja u kome se nađe štap hladnog cilindra kad je obujam radnog medija u ovom cilindru najmanji. Iz slike (9) slijedi: h 1 = l + r h 1 = l + r ( l r sin ϕ π ) ( rcos ϕ π ) ( l r cos ϕ π ) ( + rsin ϕ π ) (1) () Radi jednostavnijeg računa pretpostavit ćemo da je l >> r i ispustiti ćemo članove koji sadrže r u gornjim jednadžbama. 11

12 [ ( h 1 = r 1 cos ϕ π )] [ ( h = r (1 + sin ϕ π )] Ukupan obujam radnog medija je: ( V = Ar ) cosϕ (3) () (5) Uz pretpostavku da je tlak radnog medija isti u oba cilindra, jednadžbe stanja sistema radnog medija u cilindrima glase: pah 1 = n 1 RT 1 (6) pah = (n n 1 )RT (7) Ovdje je A površina poprečnog presjeka klipova, n ukupan broj molova radnog medija, a n 1 broj molova u hladnom cilindru. Tlak radnog medija za dane pomake klipova h 1 i h je p = nrt 1T /A h 1 T + h T 1 (8) Pomoću izraza (3) i () gornji izraz nakon kraćeg računa postaje Ovdje je p = nrt 1 T /Ar T 1 + T T 1 + T cos(ϕ δ) δ = arctg T T 1 π (9) (10) Kut δ kazuje koliko ekstremne vrijednosti tlaka zaostaju za ekstremnim vrijednostima obujma radnog medija. Kružni proces Stirlingova motora u (p, V ) dijagramu prikazan je na slici (10). Za pojedinu točku procesa ne može se napisati jedna jednadžba stanja radnog medija jer radni medij u motoru nije globalno već samo lokalno (unutar cilindara) u ravnoteži. 1

13 Slika 10: Kružni proces Stirlingovog motora za različite vrijednosti omjera temperatura spremnika. Temperatura toplijeg spremnika je stalna.. Kritika standardnog prikaza kružnog procesa kod Stirlingova motora Na slici 11 prikazan je kružni proces radnog medija u Stirlingovom motoru. Slika 11: p-v dijagram α verzije Strlingovog motora za omjer T /T 1 = /3 U slučaju da su temperature oba spremnika iste gornja i donja krivulja na dijagramu sa slike 11 bi se poklopile i iščezao bi rad. U ovom slučaju tlak pada od najmanjeg obujma plina (ϕ = 0) do najvećeg obujma (ϕ = π) i ponovno raste od najvećeg prema najmanjem obujmu. No ako su temperature 13

14 različite tada je tlak u sistemu veći pri povećavanju obujma radnog medija (krivulja 1--3 na slici (11) i 0 < ϕ < π na slici (13)) od rada koji se vrši nad radnim medijem pri njegovom sabijanju (3--1 na slici (11) i π < ϕ < π na slici (13)). Povećanje temperature pri povećanju obujma plina rezultat je mehaničke konstrukcije. Treba uočiti da točka u (p, V ) dijagramu sa slike 11 ne predstavlja stanje radnog medija jer on nije u ravnotežnom stanju. U literaturi se Stirlingov ciklus najčešće prikazuje kroz pojednostavljeni model od dvije izohore i dvije izoterme (slika 1). Slika 1: Pojednostavljeni kružni ciklus Stirlingovog motora Bitan nedostatak ovakvog prikaza rada Stirlingova motora leži u pogrešnoj pretpostavci da je radni medij globalno u ravnoteži. Slika 13: Apsorbirana toplina, rad i promjena unutrašnje energije po jednom molu zraka za Stirlingov stroj kod kojeg je T 1 = 73, 15K, T = 3 T 1 1

15 .3 Rad Rad plina u jednom ciklusu jednak je: W = π 0 pdv (11) Uzimajući u obzir izraze za tlak (9) i volumen (5), rad (11) postaje: W = nrt 1T π Ar Ar 0 sinϕ T 1 + T dψ (1) T1 + T cos (ϕ δ) Iz (1) se može se vidjeti da ukupan rad neće ovisiti o površini klipa A. Nakon integriranja (1) postaje: W = πsinδnr T T 1 T 1 + T T 1 T T 1 + T (13) Nakon uvrštavanja δ iz (10), transformacije arctg arcsin i arctg arccos te uvođenja oznake B = T T 1 (1) dobije se konačan izraz za rad plina u jednom ciklusu: W = nrt 1 π(b 1) B 1 + B B 1 + B (15) Dakle, rad ovisi o broju molova plina i temperaturama toplijeg i hladnijeg spremnika. Rad raste sa omjerom temperatura 1. Slika 1: Rad u ovisnosti o omjeru temperatura toplijeg i hladnijeg spremnika 15

16 . Primanje i otpuštanje topline radnog medija u ciklusu..1 Nultočke Toplina se može izračunati polazeći od prvog zakona termodinamike: ili dq = de + pdv (16) dq = dn C V (T T 1 ) + pdv (17) Da bi se izračunala toplina primljena u procesu potrebno je odrediti interval kutova za koje je dq > 0. Zatim se toplina dobije integracijom (16) ili (17) po tom intervalu. Promjena broja molova plina (n u (17))u drugom cilindru može se dobiti iz jednadžbe stanja plina pv = n RT (18) Kombiniranjem (18), izraza za tlak (9) i izraza za volumen toplijeg cilindra [ ( V = Ar 1 + sin ϕ π )] (19) dobije se broj molova plina u drugom cilindru: 1 + sin ( ) ϕ π n = n 1 + T T T cos (ϕ δ) T1 (0) Derivacijom (0) i uz oznaku (1) izraz za promjenu broja molova plina glasi: dn n ( cos ϕ π = ) [ 1 + B ] 1 + B cos (ϕ δ) ( 1 + B 1 + B cos (ϕ δ) ( 1 + sin ( ϕ π )) [ ] 1 + B sin (ϕ δ) ) dϕ (1) Nakon uvođenja kuta ϑ = ϕ π arctgα arccosα (1) postaje: i transformacija arctgα arcsinα i dn n B (cosϑ sinϑ 1) = dϑ () (1 + B + sinϑ Bcosϑ) Time je određen prvi član u prvom zakonu termodinamike (17). Drugi član u izrazu za toplinu je pdv. Tlak je dan sa (9), a dv se dobije derivacijom izraza za volumen (5) 16

17 Sada je pdv nrt 1 = dv = Arsinϕ (3) Bsinϕ 1 + B dϑ () 1 + B cos (ϕ δ) Radi jednostavnosti računa ponovo se uzima kut ϑ = ϕ π, pa nakon razvoja sinusa zbroja i sređivanja izraz za toplinu (16) glasi: [ B (cosϑ sinϑ 1) dq = nc V (T T 1 ) (1 + B + sinϑ Bcosϑ) + nrt sinϑ + cosϑ Nakon svođenja na zajednički nazivnik: 1 + B + sinϑ Bcosϑ (5) ] dϑ C VR (B 1)(cosϑ sinϑ 1) + sin(ϑ + π ) [1 + sinϑ + B(1 cosϑ)] dq = BnRT 1 dϑ (1 + B + sinϑ Bcosϑ) (6) Nul točke se dobiju rješavanjem po ϑ jednadžbe dq=0 gdje je dq zadan sa (6): C V R (B 1) (cosϑ sinϑ 1)+ sin(ϑ+ π )(1+B+sinϑ Bcosϑ) = 0 (7) Jednadžba (6) je analitički teško rješiva, a numerička rješenja za različite B su prikazana na grafu (slika 15) Numerički proračun dovedene i odvedene topline (slika 16) zasnovan je na određivanju predznaka topline (6) u pojedinim dijelovima ciklusa. Račun je proveden u jednom ciklusu od 0 o do 360 o, sa korakom 0, 01 o, za zadane omjere temperatura toplijeg i hladnijeg spremnika (slika 17). Izvršeni rad u jednom ciklusu dobije se kao razlika apsorbirane i otpuštene topline. Rezultati numeričkog proračuna u potpunosti se poklapaju sa radom koji se dobije integracijom pdv u jednom ciklusu (izraz 15). 17

18 Slika 15: Nultočke ϑ 1 i ϑ za različite omjere temperatura Slika 16: Numerički dobiveni Q + (B), Q (B) i W (B) = Q + (B) Q (B).. Posebna rješenja jednadžbe Jednadžba (6) je analitički teško rješiva, pa ćemo analizirati nekoliko posebnih rješenja. 18

19 Slika 17: Količina topline izmijenjene s okolinom u toku jednog ciklusa za različite vrijednosti omjera temperatura B 1. B = 1 (Odnosno T 1 = T ) Za B = 1 (7) postaje: ( sin ϑ 1 + π ) = 0 (8) Rješenja su ϑ 1 = π i ϑ = 3π (slika 18) Slika 18: Nultočke za T 1 = T 19

20 . B U ovom slučaju jednadžba za nultočke glasi (cosϑ sinϑ 1) + sin(ϑ + π (1 cosϑ) = 0 (9) a rješenja su: ϑ 1 = π 1 i ϑ = 0(slika 19) 3. B 1 << 1. Slika 19: Nultočke za T 1 << T Iz 1) i ) i iz grafa (15) može se uočiti da se povećavanjem omjera B točka ϑ 1 pomiče od 3π do 0, a ϑ se pomiče u istom smjeru od π do (slika 0). 5π 1 Slika 0: Pomicanje nultočki pri pomicanju B od 1 do Rješenja za situaciju kada je B > 1 tražit ćemo u obliku ϑ 1 = π ɛ 1 i ϑ = π ɛ 0

21 Uz oznaku a = C V (B 1) << 1, (30) R jednadžba (7) za ϑ 1 glasi: [ ( ) ( ) ] π π a cos ɛ 1 sin ɛ [ π sin ɛ 1 + π ] [ ( ) ( ( ))] π π 1 + sin + B 1 cos (31) Nakon razvoja sinusa i kosinusa zbroja i uvrštavanja sin π = cos π = te aproksimacija cosɛ 1 = 1 i sinɛ 1 = ɛ 1, dobije se: a ( ) ( ) ɛ ɛ 1 1 ɛ 1 1 (1 + B) = 0 (3) a odavde rješenje ɛ 1 : ɛ 1 = a 1 + B = C V R B 1 B + 1 (33) Rješenje druge nul točke ima oblik ϑ = 3π ɛ (3) A jednadžba iz koje je tražimo glasi: [ ( ) ( ) ] 3π 3π a cos ɛ sin ɛ 1 + ( 3π sin ɛ + 3π ) { ( ) [ ( )]} 3π 3π 1 + sin + B 1 cos (35) Nakon računa sličnog kao (31)-(33) dobije se: ɛ = a 1 + B = C V R B 1 B + 1 = ɛ 1 = ɛ (36) 1

22 ..3 Apsorbirana toplina za T T 1 << T 1 Apsorbirana i otpuštena toplina može se dobiti integriranjem jednadžbe (16) ili (17) sa granicama dobivenim u prethodnom poglavlju. Q + = za ovaj slučaj granice su: ϑ 1 = π ɛ i ϑ = 3π ɛ ili i θ θ Izraz za toplinu (6), uz granice (38) i (39) glasi: de + pdv (37) ϕ 1 = ɛ (38) ϕ 1 = π ɛ (39) Q + = n π ɛ ɛ Nakon uvođenja ψ = ϕ δ C V (T T 1 ) dn + π ɛ nrt 1 T sinϕ ɛ T 1 + T T1 + T cos(ϕ δ) dϕ (0) Q + = C [ V nrt 1 R (B 1) 1 + sin(π ɛ π ) ] 1 + B 1 + sin(ɛ π π ɛ 1 + Bcos(π ɛ δ) 1 + B 1 + Bcos(ɛ δ) + Bsinϕ ɛ 1 + B 1 + B cos(ϕ δ) dϕ (1) koristeći aproksimacije za δ δ = arctgb π () δ = arctg [1 + (B 1)] π (3) δ arctg1 + d arc tgx (B 1) π dx δ π x (B 1) π δ B 1 () (5) << (6) {[ ( Q+ ) 1 = a + (B 1) nrt 1 B + ] ɛ } (1 + B 1 ) (7)

23 Nakon kraćeg računa, uz zanemarivanje člana koji sadrži (B 1), Q + = nr T T 1 T 1 + T ln + (8) Usporedbom numeričkog proračuna apsorbirane topline (6) i aproksimacijskog izraza (8), za T T 1 << T 1 vidi se da aproksimacija daje točne vrijednosti samo ako je T = T1 (1). Slika 1: Usporedba numeričkog proračuna apsorbirane topline (6) i aproksimacijskog izraza (8) za T T 1 << T 1. 3

24 .5 Korisnost Stirlingova ciklusa u modelu jednakih tlakova.5.1 Dvoatomni plin kao radni medij Stupanj korisnosti Stirlingovog motora dobije se kao omjer rada (13) i apsorbirane topline u jednom ciklusu. Iz (13) uz W = πsinδnr T T 1 T 1 + T T 1 T T 1 + T (9) sinδ = sin B 1 B 1 (50) Za male vrijednosti omjera temperatura može se, koristeći izraz za apsorbiranu toplinu (8) analitički izračunati stupanj korisnosti η: Nakon skraćivanja: η = W T π(b 1)nR T T 1 +T 1 T 1 T Q = T1 +T + nr ln + T T 1 T1 +T (51) η = π ln + (B 1) 1 ( B 1) 1 B B (5) Na slici () je prikazan rezultat numeričkog proračuna korisnosti Stirlingovog motora, kao omjera izvršenog rada i apsorbirane topline dobivenih na način koji je opisan u poglavljima (.3) i (.) Kod malih omjera temperatura (B < 1,, što odgovara realnim uvjetima rada motora) stupanj korisnosti Stirlingova motora raste sa B i iznosi oko 70% stupnja korisnosti Carnotova stroja koji bi radio na istim temperaturama (maksimalna omjer stupnja korisnosti Stirlingovog u odnosu na Carnotov stroj dobije se za omjer temperatura B = 1, 058 i iznosi stirling = 7, 08%). U tom području približno carnot točan stupanj korisnosti može se dobiti iz (5). Maksimalni mogući stupanj korisnosti Stirlingova motora dobije se za omjer temperatura B = 10/3 i iznosi 37, % (stupanj korisnosti Carnotovog stroja za B = 10/3 bio bi 70%). Kako se omjer temperatura povećava stupanj korisnosti opada i teži nuli kad B. Proračun, naime, pokazuje da se za veliki omjer temperatura toplina između motora i okoline izmjenjuje u vrlo kratkom dijelu ciklusa u kojem se gotovo čitava apsorbirana toplina vrati u okolinu. Takvo ponašanje Stirlingova motora kod velikog omjera temperatura suprotno je ponašanju

25 Carnotovog stroja za kojeg, kao što je poznato, stupanj korisnosti s omjerom temperatura raste i teži prema 1 kad B. Slika : Korisnost u ovisnosti o omjeru temperatura hladnijeg i toplijeg spremnika.5. Korisnost Stirlingova ciklusa u ovisnosti o molarnom toplinskom kapacitetu radnog medija Gornji proračun napravljen je za slučaj da je radni medij zrak, kojeg u dobroj aproksimaciji smatramo dvoatomnim plinom čija molekula ima 5 stupnjeva slobode. Međutim, u slučaju da je radni medij plin čija molekula ima i stupnjeva slobode, ili neka smjesa plinova sa različitim brojevima stupnjeva slobode molekula, računamo da je molarni specifični toplinski kapacitet pri konstantnom volumenu C v = i R, gdje je i prosječni broj stupnjeva slobode molekula koji se dobije uzimajući u obzir zastupljenost pojedinih komponenti k u smjesi: i = n ki k nk U skladu s time, mijenja se prvi član u jednadžbi (6), a time i ukupna količina apsorbirane i otpuštene topline sistema u jednom ciklusu, po jednom molu plina. Numerički proračun pokazuje da se ukupna količina apsorbirane i otpuštene topline povećavaju sa i, ali njihova razlika, tj. izvršeni rad po molu plina u jednom ciklusu ostaje isti. Do istog zaključka dolazi se u teorijskom razmatranju (poglavlje.3) iz kojeg proizlazi da izvršeni rad ovisi o broju molova plina i omjeru temperatura, ali ne i o molarnom specifičnom toplinskom kapacitetu. To znači da se za 5

26 dobivanje istog korisnog rada mora iz okoline apsorbirati veća količina topline što je prosječni broj stupnjeva slobode molekula veći, odnosno da stupanj korisnosti toplinskog stroja opada sa povećanjem broja stupnjeva slobode. Najveći stupanj korisnosti imat će Stirlingov stroj koji kao radni medij koristi jednoatomni plin (i = 3). Rezultati numeričkog proračuna stupnja korisnosti motora u ovisnosti o omjeru temperatura T T 1 i prosječnom broju stupnjeva slobode molekula plina i prikazani su na slici (3) Slika 3: Korisnost za različite C V 6

27 .6 Promjena entropije okoline u jednom Stirlingovom ciklusu u modelu jednakih tlakova u cilindrima Entropiju okoline računamo uz realnu pretpostavku da hladniji spremnik temperature T 1 uzima toplinu iz okoline, a topliji spremnik temperature T predaje toplinu okolini. Iz toga slijedi: S okoline = Q T 1 Q+ T (53) Gdje je Q količina topline koju sistem otpusti, odnosno okolina apsorbira u jednom ciklusu, a Q + količina topline koje sistem apsorbira iz okoline u jednom ciklusu. Koristeći rezultate numeričkog proračuna Q i Q + opisanog u poglavlju (.) dobiju se rezultati prikazani na slici (). Slika : Povećanje entropije okoline u ovisnosti o omjeru temperatura toplijeg i hladnijeg spremnika. Prikazana je ovisnost S okoline /nr o omjeru temperatura T T 1. Vidljivo je da je promjena entropije okoline uvijek veća od nule, i raste sa porastom omjera temperatura T T 1. Ovaj proračun potvrđuje ono što smo očekivali, a što slijedi iz drugog zakona termodinamike. Jedini stroj kod kojeg se entropija okoline ne bi povećavala bio bi idealni Carnotov stroj. Za male vrijednosti omjera T T 1 1, pokazuje se da S okoline 0. Analitički proračun apsorbirane i otpuštene topline u aproksimaciji B 1 << 1 to potvrđuje. Apsorbirana toplina u tom slučaju izračunata je u poglavlju (..3) i iznosi Q + = nr T T 1 T 1 +T ln + 7 (8). Istim računom, ali integra-

28 cijom po području gdje sistem otpušta toplinu (kutovi od 3π ɛ do 7π ɛ) isti rezultat dobije se i za Q. Tada vrijedi: S okoline = Q Q+ = nr T ln + T 1 T T 1 + T nr T 1 T 1 + T odnosno ln + (5) S okoline = nr ln + T 1 + T (T T 1 ) (55) Promatramo slučaj T = T1, dakle dobivamo S okoline 0, kao i u numeričkom proračunu za male B. Naravno, S okoline teži u nulu sa pozitivne strane jer se uvijek uzima T > T 1. U slučaju da je omjer temperatura jako velik, odnosno T >> T 1 relacija (53) svodi se na S Okoline = Q T 1 (56) Rezultat numeričkog proračuna prikazan na slici (5) pokazuje da u tom slučaju S Okoline nrb 5 Slika 5: Omjer promjene entropije okoline u ovisnosti o omjeru temperatura B 8

29 .7 Proračun momenta sile na zamašnjak u modelu jednakih tlakova Tlak u cilindrima, a time i ukupna sila koja djeluje na klipove i zakretni moment koji ubrzava zamašnjak određen je količinom, tj. brojem molova u cilindrima. n = pv 1 RT 1 + pv RT = p RT 1 (V 1 + V B ) (57) Uzimajući u obzir (3) i () n = p Ar [1 cos(ϕ π RT ) + 1B + 1B sin(ϕ π ] ) 1 (58) Najmanja količina plina dobije se za slučaj kada se cilindri pune zrakom kod najmanjeg volumena (ϕ = 0) n min = p atmar (1 RT 1 )(1 + 1 B ) (59), a najveća kada se pune pri najvećem volumenu (ϕ = π) n max = p atmar RT 1 (1 + )(1 + 1 B ) (60) Omjer najmanje i najveće količine plina je n min n max = + Uvrštavanjem n u jednadžbu (9) dobije se tlak zraka u cilindrima u ovisnosti o kutu p min = p max = 1 + B 1 + B 1 + B cos(ϕ δ) (1 )p atm (61) 1 + B 1 + B 1 + B cos(ϕ δ) (1 + )p atm (6) Sila koja djeluje na klipove (ako uzmemo da je pozitivan smjer prema gore, suprotno težini) je pa je: F = (p p atm ) A (63) [ (1 + B)(1 F min = ) ] 1 + B 1 + B cos(ϕ δ) 1 p atm A (6) 9

30 [ (1 + B)(1 + F max = ) ] 1 + B 1 + B cos(ϕ δ) 1 p atm A (65) Moment sile koji djeluje na zamašnjak jednak je zbroju momenata sila koje stvaraju oba klipa koji su spojeni sa zamašnjakom štapovima međusobno pomaknutim u fazi za π M = F r [sin(ϕ π ) + sin(ϕ + π ] ) = F r sinϕ (66) Što u ekstremnim slučajevima iznosi: [ (1 + B)(1 M min = ] Arpatmsinϕ 1 + B 1 + B cos(ϕ δ) 1 (67) [ (1 + B)(1 + M max = ] Arpatmsinϕ 1 + B 1 + B cos(ϕ δ) 1 (68) Na slikama (6) i (7) je prikazana ovisnost sile na klipove i zakretnog momenta koji djeluje na zamašnjak o kutu ϕ za slučajeve najmanje i najveće moguće količine plina u cilindrima, za omjer temperatura B = 3. U proračunu su uzete u obzir dimenzije cilindara u konstrukciji, da bi se dobila procjena najvećih sila i momenata u konkretnom slučaju: Radijus zamašnjaka r = 5 10 m Površina cilindra A = (, 5 10 m) π Atmosferski tlak p atm = 10135P a U proračunu je zanemaren utjecaj težine klipova i trenja između klipova i cilindara. Vidi se da je u slučaju najmanje količine zraka u cilindrima tlak u njima manji od atmosferskog u većem dijelu ciklusa, dok je kod najveće količine zraka tlak veći od atmosferskog u čitavom ciklusu. Zbog toga momenti sila imaju suprotan predznak u ova dva slučaja. Međutim, to ne znači da će se zamašnjak rotirati u suprotnom smjeru. Naime, početna točka rada motora je u prvom slučaju ϕ = 0, a u drugom ϕ = π, tako da se zamašnjak u oba slučaja ubrzava, a zatim usporava u istom smjeru vrtnje. Iz (66) se može izračunati i srednji moment sile klipova na zamašnjak: M = 1 π F r sinϕdϕ (69) π 0 30

31 Slika 6: Rezultantna sila na cilindre 0 Slika 7: Rezultantni moment sile na zamašnjak Nakon uvrštavanja (63) i (9): M = 1 π Ar ( ) nrt 1 T /Ar sinϕ π T 1 + T T 1 + T cos(ϕ δ) p 0 dϕ (70) M = 1 π ( sinϕ π 0 nrt 1 T T 1 + T T 1 + T cos(ϕ δ) 31 ) dϕ Ar p π 0 sinϕdϕ π 0 (71)

32 Drugi član u (71) nakon integriranja nestane, a nakon integriranja prvog člana dobije se srednji moment sile klipova na zamašnjak: M = nrt 1 (B 1) B(B + 1 B ) (7) B + 1 Usporedbom (7) i izraza za rad plina u jednom cilusu (15) dobivenog u poglavlju (.3) može se uočiti da u jednom ciklusu vrijedi:. W = πm (73) 3

33 3 Zaključak U radu je napisana kratka povijest nastanka i razvoja Stirlingovog motora i napravljena je teorijska analiza rada alfa verzije motora. Pokazano je da Stirlingov motor koji bi koristio zrak kao radni medij može u realnim uvjetima, kad je omjer temperatura toplijeg i hladnijeg spremnika između 1 i 1, raditi sa stupnjem korisnosti do 70 % u odnosu na stupanj korisnosti Carnotovog stroja koji bi radio na istim temperaturama. Analiza također pokazuje da se povećanjem omjera temperatura stupanj korisnosti povećava samo do određene vrijednosti, a nakon toga opada. To znači da se, čak i kad bi to tehnički bilo moguće, ne isplati povećavati omjer temperatura iznad optimalne vrijednosti. Na kraju je pokazano da bi se učinkovitost Stirlingovog motora povećala ako bi se kao radni medij umjesto zraka koristio jednoatomni ili pak smjesa jednoatomnih i dvoatomnih plinova. 33

34 Dodatak: Problemi kod praktične izvedbe Stirlingova motora Jedan od ciljeva ovog rada bio je i projektiranje jednog Stirlingovog motora α tipa. Zamišljeno je da motor čine dva vertikalno postavljena aluminijska cilindra koji su postavljeni u plastične spremnike na različitim temperaturama (slika 8). Problem u ovoj izvedbi je curenje radnog medija između klipa i cilindra na višoj temperaturi. Do curenja dolazi zato što klip zbog termičkog širenja treba napraviti promjerom manjim od unutrašnjeg promjera cilindra. Proračun pokazuje da je volumen zraka koji u jedinici vremena "iscuri" iz cilindra proporcionalan trećoj potenciji širine zračnog raspora između klipa i cilindra. Problem se može riješiti postavljanjem prstena na klipove. Promjer elastičnog prstena prilagođavao bi se promjeni promjera cilindra zbog termičkog širenja i time bi se širina zračnog raspora smanjila toliko da curenje zraka postane zanemarivo. 3

35 Slika 8: Bokocrt Stirlingova motora 35

36 Literatura [1] Paško Županović, "Termodinamika s osnovama statističke fizike", "Sveučilište u Splitu - Prirodoslovno matematički fakultet", Split (01) [] I. N. Bronstein, K. A. Semendaev, "Matematički priručnik", "Tehnička knjiga", Zagreb (1975) [3] [] [5] [6] technology 36