מבני נתונים אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "מבני נתונים אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון:"

Transcript

1 מבני נתונים בס"ד, ט' אדר א' תשע"א: שעור 1 אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: בחינת מגן 20%. תרגילים: 14 13, מורידים את האחד הכי גרוע. 10% מהציון. אתר: סיכומים לפנות למתרגלים. סיפורים, מוטיבציה זהו קורס ראשון מתוך שלושה שמתעסק באלגוריתמים: מבני נתונים, אלגוריתמים בסיסיים, "מימוש" במסגרת של מבני נתונים. אלגוריתמים, אלגוריתמים מתקדמים יותר. חישוביות. יעילות של אלגוריתמים, היררכיה, בעיות N P קשות. אלגוריתם: סדרת פעולות לבצוע משימה \ פתרון בעיה נתונה. מבנה נתונים: צורת שמירת מידע המאפשרת כמה פעולות בסיסיות: הכנסת מידע: אלגוריתם פשוט, הוצאת מידע, עדכון מידע. 1. אלגוריתמי מיון. 2. מבני נתונים. 3. אלגוריתמים חשובים: (א) דחיסת מידע. (ב) אלגוריתמים גרפיים. (ג) פונקציות גיבוב.hashing אליפות כדורגל עם 8 קבוצות. יש שתי שיטות: 1

2 1. שיטת הליגה: כל קבוצה מתחרה נגד כל הקבוצות האחרות. הנתונים מאוחסנים בטבלה 8 8 (האלכסון הראשי ריק). 2. שיטת הגביע: נחלק ל 4 זוגות, נחלק את המנצחים לזוגות, ואז הזוג המנצח יתחרו ביניהם. אלו שני אלגוריתמים לארגן תחרות. נרצה לשאול את השאלות הבאות: 1. איזה אלגוריתם יותר טוב? תלוי במטרה שלי. 2. נניח שהמטרה היא לבחור את האלופה. הגביע טוב יותר. משימה אלגוריתמית: בנה מודל של המציאות (הגדרת מטרות מדוייקות): לתכנן אלגוריתם. ואז צריך להוכיח את הנכונות שלו, ולנתח את המחיר. ננתח את הזמן ומספר המשחקים עבור n קבוצות. נתחיל עם המקרה הפשוט, n. = 2 k ) ( משחקים. n 2 = n(n 1) 2 1. בשיטת הליגה יש לנו.2 בשיטת הגביע יש לנו 1 n.2 k k = 2 k 1 = כמה סיבובים (n) T נצטרך?.1 בשיטת הליגה 1 n.t (n) = 2. בשיטת הגביע בכל שלב (יום משחק) מספר הקבוצות שנשארות קטן פי 2, ולכן עבור n = 2 k נצטרך k סיבובים כדי להגיע לקבוצה המנצחת. כלומר log 2 n משחקים. מה יקרה אם n אי זוגי? ) (, ולכן.T (n) = n n משחקים, מתוך 2 n בשיטת הליגה, בכל סיבוב יש לנו 2. בשיטת הגביע, n אינו חזקה של 2, ולכן צריך להגדיר את האלגוריתם קצת אחרת: אם בשלב מסויים יש לנו מספר אי זוגי של קבוצות, יש קבוצה שתעלה אוטומטית לשלב הבא. למה: כל מספר טבעי n נמצא בין 2 חזקות עוקבות של k+1 :2.2 k n < 2.(2 k k הוכחה: סדרת המספרים..., 2k,... 2, 1, שואפת ל עם.k ) נקבע,n יהי k מקסימלי כך ש n.2 k אזי k+1.2 k n < 2 נשים לב כי 2 k n ולכן T (n).n < 2 k+1 2n מקיימת + 1 k,k = T ( 2 k) T (n) T ( 2 k+1) = כלומר log 2 n 2 = log 2 n 1 T ( 2 k) T (n) T ( 2 k+1) log 2 n + 1 = log 2 2n אלגוריתמי מיון: נתון מערך של n מספרים ממשיים. (n).a (1),..., a צריך למיין אותם בסדר עולה, כלומר להחזיר מערך (n).a (1) a (2)... a 2

3 1. אלגוריתם מיון בועות. :Bubble Sort (a) For i = 1 to n - 1 i. For j = 1 to n - i A. if (a(j) > a(j+1)) then swap a(j) and a(j+1). צריך: (א) להוכיח נכונות: באינדוקציה על i. טענה: לכל i, אחרי האיטרציה ה iית, במקומות n i+1,..., n עומדים i המספרים הגדולים, ממויינים בסדר הנכון. אם נוכיח זאת, זה יהיה נכון בפרט עבור 1 n i, = ז"א במקומות, n...,2 יעמדו המספרים הגדולים ממויינים לפי הסדר וזה יגיד שכל המערך ממויין. בדיקת הטענה: עבור = 1,i אנו עוברים על 1 n,j = 1,..., ומחליפים את (j) a עם 1) + (j a אם 1) + (j.a (j) > a נניח שהאיבר הגדול נמצא במקום,k מרגע שנגיע אליו, תמיד נחליף אותו עם הבא אחריו עד שהוא יגיע למקום n. בשלב האינדוקציה נניח שהטענה נכונה עבור i, נוכיח עבור + 1 i. אנו מניחים שכל המקומות מימין (n n) i כבר טופלו. אנו מבצעים את אותה הפעולה על n. התאים השמאליים, ונעביר את האיבר הגדול ביותר מביניהם למקום ה i n i (ב) לנתח מחיר: ניתן לכל פעולה מחיר של 1: קידום משתנה, השוואה, והחלפה. אזי ( ) n 1 n i n i n (n 1) T (n) = 1 + ( ) = (n 1)+3 (n i) = (n 1)+3 2 i=1 j=1 יש לנו בעיה עם ההנחה שנותנת מחירים לבעיות, ולכן נכניס את הסימונים i=1 האסימפטוטיים, T (n) n 2 או 2).T (n) = Θ ( n בס"ד, ט"ז אדר א' תשע"א: שיעור 2 רקורסיה מיון בועות: נתון מערך (n),a [1,..., n] = a (1),..., a וצריך למיין אותו. האלגוריתם משבוע שעבר: 1. For i = 1 to n - 1 (a) For j = 1 to n - i i. if (a(j) > a(j+1)) then 3

4 A. swap a(j) and a(j+1). נרשום כעת את האלגוריתם הרקורסיבי: Bubble Sort A [1,..., n] 1. IF n = 1 return A [1,..., n] 2. else (a) Bubble A [1,..., n] (b) Bubble Sort A [1,..., n 1] Bubble A [1,..., k] 1. For j = 1 to k 1 do (a) if a (j) > a (j + 1) i. swap a (j), a (j + 1) ניתוח האלגוריתם:.1 נכונות:.V 2. זמן ריצה: נסמן (n) T את זמן הריצה של האלגוריתם על [n A.,1]..., משוואת רקורסיה של (n) T היא: (n),t (n) = T (n 1)+Θ עם תנאי התחלה (1) Θ.T (n) = טענה: 2).T (n) = Θ ( n (צריך למצוא קבועים כך ש.(a n 2 T (n) an 2 1. הוכחה איטרטיבית: T (n) T (n 1) + cn T (n 2) + c (n 1) + cn... T (1) + 2c + 3c +... nc = n [ ] n (n + 1) = d + c i = d + c 1 d n 2 2 i=2 כאשר d),d = max (c, ולכן 2).T (n) = O ( n באותו אופן נוכיח 2),T (n) = Ω ( n ובסה"כ 2) T (n) = Θ ( n מש"ל. 2. הוכחה באינדוקציה לטענה (ניסוח מדויק עם קבועים של הטענה): יהי d קבוע כך T (n) T (n 1) + d n אזי.T (n) d n 2 שמתקיים T (1) d (א) עבור = 1 :n.t (1) d = d 1 2 4

5 (ב) נניח שהטענה נכונה עבור n ונוכיח עבור + 1 n: T (n + 1) T (n) + d (n + 1) dn 2 + d (n + 1) = d ( n 2 + n + 1 ) d ( n 2 + 2n + 1 ) = = d (n + 1) 2 טענה לא נכונה: (n).t (n) = O הוכחה באינדוקציה:.1 עבור = 1,n.V,T (1) = O (1).2 (n).t (n) = T (n 1) + O (n) = O (n 1) + O (n) = O הרמאות במעבר האחרון, אנו משנים את הקבוע לכל n, ומגדילים אותו ז"א אין לנו קבוע יחיד. Merge Sort A [1,..., n]: 1. if n = 1 return A [1,..., n] 2. else (a) Merge Sort A [ ] 1,..., n 2 (b) Merge Sort A [ n ( 2 + 1,..., n] (c) Merge A [ ] [ 1,..., n 2, A n , n]) אלגוריתם :Merge Sort (נניח (n = 2 k Merge (B [1,..., m], C [1,..., m]) A [1,..., 2m]: Θ (n) T (n) = 2T ( n. 2) + Θ (n) T (1) = Θ (1) משוואת הרקורסיה: טענה: n).t (n) = Θ (n log בס"ד, כ"ג אדר א' תשע"א: שעור 3 עץ הרקורסיה בכל רמה סכום הפעולות הוא n, כאשר הרמה של העץ הוא.log n את הטענה במדויק. יהי n. = 2 k נניח כי מתקיימת ( לצורך הוכחה באינדוקציה ננסח n ) T (n) 2T + d n, אזי,T (n) d n log n + d n משוואת רקורסיה 2 T (1) d בפרט n) T (n) = O (n log (הטענה n) T (n) = Ω (n log וההוכחה שלה דומות). הוכחה: צריך להוכיח עבור n = 2 k כי מתקיים.T ( 2 k) d 2 k k + d 2 k נראה זאת 5 באינדוקציה על k.

6 .1 עבור = 0 :k.t (1) d 0 + d 1 = d 2. נעבור מ k ל 1 + k: T ( 2 k+1) 2T ( 2 k) + d 2 k+1 2 ( d 2 k k + d 2 k) + d 2 k+1 = = d 2 k+1 k + d 2 k+1 + d 2 k+1 = d2 k+1 (k + 1) + d 2 k+1 הוכחנו כי n) T (n) = O (n log עבור n שהוא חזקה של.2 טענה: n) T (n) = O (n log לכל.n הוכחה: קיים k כך שמתקיים. n 2 2k n 2 k+1 2n אנו יודעים ש T (n) T ( 2 k+1) c 2 k+1 (k + 1) c (2n) log (2n) c n log n (המרצה ניסה להחליק את העובדה ש ( n ) T מונוטונית עולה ניתן לבצע זאת ע"י הגדלת המערך לחזקה של 2). שיטת "הפרד ומשול" Divide and Conquer לפתרון בעיות אלגוריתמיות זו שיטה לפתרון הבעיה המחלקת את הבעיה למספר בעיות יותר קטנות, ומגיעה לפתרון של הבעיה הגדולה ע"י פתרון כל הבעיות הקטנות ושילוב הפתרונות האלו לפתרון הבעיה הכללית (דוגמא: אלגוריתם מיון מיזוג). הערה: לא כל בעיה ניתן לפתור בצורה כזו. משפט האב לאלגוריתמים רקורסיביים: נתונה בעיה בגודל n. נניח כי אנו מצליחים לפתור אותה ע"י חלוקה ל a בעיות בגודל n כ"א. נניח כי עלות החיבור של הפתרונות לבעיות b החלקיות לפתרון הבעיה הכוללת היא (k Θ ( n אז אנו יודעים את הדבר הבא לגבי (n) T: נסמן.q = a b k יש שלושה מקרים:.T (n) = Θ ( n k) אזי,q < 1.1.T (n) = Θ ( n k log n ) אזי,q = 1.2.T (n) = Θ ( n ) log b a > 1.3,q אזי T (1) = Θ (1). אם נתבונן בעץ הרקורסיה: ( n ) משוואת הרקורסיה היא k) T (n) = at + Θ ( n b ברמה העליונה יש לי nk פעולות לחיבור. ברמה השניה יש לי a בעיות בגודל, n b ולכן השילוב 6

7 . n ( n השילוב ) k b בעיות, בגודל a 2 בשלב השלישי יש a2.a = שלהם הוא b b k nk = qn k ( n ) k יעלה.a 2 = q 2 n k גובה העץ הוא.r = log b n אם נחבר את כל הרמות נקבל b 2.q תלויה בפרמטר S = r i=0 qi ההתנהגות של הטור.T (n) = n k r i=0 qi.t (n) = Θ ( n k) ולכן נעריך,S i=0 qi = Θ (1) אזי,q < 1.1.T (n) = Θ ( n k log n ) לכן נעריך.S = r + 1 = Θ (log n) אזי,q = 1.2.n מכאן נעריך חזקה כלשהי של.S = qr+1 1 = Θ (q r ) אזי,q > 1.3 q 1 T (1) = Θ (1) ( n ) הוכחה של משפט האב באינדוקציה: בהינתן נוסחת רקורסיה מדוייקת (k T (n) = at + Θ ( n b O ( n k) q < 1 נוכיח כי = 1 q.t (n) = O ( n k log n ) O ( n ) log b a q > 1,n = b r q כלומר d T (n) עבור נוכיח את המקרה > 1.q נראה כי q 1 nlog b a :r באינדוקציה על T (b r q ) d q 1 ar.t (b r ) d q q 1 ar d בעצם נוכיח טענה חזקה יותר: q 1 brk.t (1) d = d q q 1.1 עבור = 0 :r d q 1 2. מעבר מ r ל 1 + r: T ( b r+1) at (b r ) + d b (r+1)k ad qar b rk + db (r+1)k = q 1 = dq ( ) ad q 1 ar+1 q 1 brk db (r+1)k = dq ( qb k ) d q 1 ar+1 q 1 brk db (r+1)k = = dq ( ) qd q 1 ar+1 q 1 b(r+1)k db (r+1)k = dq ( ) q q 1 ar+1 q 1 1 db (r+1)k = = dq q 1 ar+1 1 q 1 db(r+1)k 7 בס"ד, ר"ח אדר ב' תשע"א: שעור 4

8 מיון: בפעם הקודמת ניתחנו סיטואציה כללית של שיטת הפרד ומשול בקשר לבעיית המיון, Quick Sort(A [1..n]): 1. if n = 1 return A 2. else (a) m Partition (A [1..n]) (b) Quick Sort (A [1..m 1]) (c) Quick Sort (A [m + 1..n]) והוכחנו משפט כללי על הסיבוכיות. מיון מהיר :quick sort מחלק את המערך, לנקודת אמצע, כך שכל המקומות לפניה קטנים: ([n..1] Partition A) ממנה, וכל המקומות אחריה גדולים ממנה. T (n) = T (m 1) + T (n m) + Θ (n). זמן הריצה: T (1) = 1 ( n ).1 נניח ש n זוגי,,m = n נקבל (n) T (n) = 2T + Θ כמו,merge sort ולכן 2 2.T (n) = Θ (n log n).2 אם,m = n אז נקבל (n),t (n) = T (n 1) + Θ כמו מיון בועות, בו.T (n) = Θ ( n 2).3 נניח כי תמיד,cn m (1 c) n כאשר < 0.5 c <,0 כפי שראינו בתרגיל, יש לנו עץ לא מאוזן, עם d log n רמות (d קבוע שתלוי ב c ). למה להתעסק בזה, אין לנו ודאות מה יקרה? תשובה אפשרית: יש פתרון טוב יותר ממיון מיזוג. (המיזוג יותר יקר מהחלוקה עם הפיבוט). לא באמת נכון. נניח שאנו רוצים לחלק אנשים לתחרות בשיטת גביע הדרך להתגבר על חוסר איזון אפשרי היא בעזרת בחירה מקרית. טענה: בחירה מקרית של הציר בכל שלב באלגוריתם מיון מהיר מבטיחה n) T (n) = Θ (n log בסיכוי מאוד גבוה. 8

9 9 חסמים תחתונים על זמן ריצה של אלגוריתמי מיון. טענה: כל אלגוריתם למיון מקיים T, (n) n בתנאי שגישה לכל תא במערך עולה לפחות (1) Ω פעולות. הוכחה: התשובה או הפלט הניתן ע"י אלגוריתם מיון הוא סדור חדש של איברים במערך (במילים אחרות, תמורה של n},....({1, תמורה σ S n היא פונקציה n}, n} {1,...,... {1, חח"ע, ו! n. S n = נאמר כי האלגוריתם מחזיר תמורה σ S n אם אחרי המיון.A [σ (1)] < A [σ (2)] <... < A [σ (n)] נניח כי האלגוריתם עושה m < n פעולות, זאת אומרת, יש מקום אחד במערך שהאלגוריתם לא ניגש אליו. נסמן אותו ב n k 1. אז לא יתכן שקיבלנו תשובה נכונה כי המקום של [k] A אינו מוכרע. משפט: לכל אלגוריתם מיון המשתמש רק בהשוואות בין איברי המערך, זמן הריצה הוא.Ω (n log n) הוכחה:.1 האלגוריתם מחזיר תמורה.σ S n 2. נתאר את הריצה של האלגוריתם בעזרת עץ השוואות: נשווה a 1 מול 3 n a. מכאן יש לי התפצלות ל 2 מקרים. על סמך כל השוואה אנחנו מתפצלים לשתי אפשרויות, עד שנחליט שמספיק לנו: הגענו ל σ 1 S n יחידה המתאימה להשוואות. ייתכנו השוואות שיובילו למסלול עמוק, וכאלו שיובילו למסלול קצר יחסית. (א) בעלים של העץ נמצאות כל התמורות האפשריות סה"כ!n עלים. (ב) זמן הריצה הוא גובה העץ אורך המסלול הארוך ביותר מהשורש לעלה. 3. למה: לעץ בינארי בגובה h יש לכל היותר 2 h עלים. הוכחה: באינדוקציה על h: (א) עבור = 0 h, יש עלה בודד, כלומר 2 0 עלים. (ב) מעבר האינדוקציה: נניח כי הטענה נכונה לעצים בגובה לכל היותר h, עץ בגובה + 1 h מתפרק לשני עצים בגובה h. לפי הנחת האינדוקציה, ב T 1, T 2 יש לכל

10 היותר 2 h עלים. לכן העלים של T הם סכום העלים בשני העצים, והוא לכל היותר.2 2 h = 2 h+1 4. לפי שתי האבחנות והלמה מתקיים כי גובה h של ההשוואות של אלגוריתם המיון מקיים ( n ) 2 h n ( n )n n! h log n! = log i log i log 2 = n 2 2 log n = Ω (n log n) 2 i=1 i= n 2 בס"ד ז' אדר ב' תשע"א: שעור 5 מבני נתונים מופשטים :Abstract Data Types מבנה שמאפשר לשמור קבוצה דינמית של איברים. מאפשר להכניס איבר, להוציא איבר (לפי קריטריון מסויים), לעדכן איבר, ולבצע שאילתא על איבר (האם נמצא ומה ערכו). בד"כ נרצה גם אפשרות לקחת קבוצה בלי מבנה, ולבנות ממנה מבנה (מעבר מקבוצה ללא מבנה לקבוצה עם מבנה המאפשר פעולות יעילות). דוגמאות: מחסנית Stack מאפשרת הכנסת איבר,push והוצאת איבר pop בשיטת.LIFO צריך להבדיל בין ADT לבין מימוש שיכול להינתן ע"י מערך או רשימה. תור מאפשר הכנסת איבר (1) Θ, והוצאת איבר (1) Θ בשיטת.FIFO המימוש יכול להינתן ע"י מערך לדוגמא. עץ קדימויות :Priority Queue (ערימה זו דרך לממש עץ קדימויות): נתון אוסף של תהליכים במחשב עם קדימויות שונות. אנו מעוניינים: א. לתחזק את התור. ב. בכל שלב לדעת להחליט איזה תהליך לבצע. בעץ קדימויות נרצה לבצע את הפעולות הבאות בצורה יעילה: 1. ערך של האיבר המקסימלי (ז"א הקדימות המקסימלית). 2. הוצאת האיבר המקסימלי. 3. עדכון ערך (הגדלת ערך). 4. הכנסת איבר חדש. 5. בניית המבנה. ניתן לממש תור קדימויות ע"י מערך ממויין לפי הקדימויות. מחיר הפעולות הנדרשות: 10

11 11 1. ערך האיבר המקסימלי (1) Θ: מחזירים את האיבר במקום n. 2. הוצאת האיבר המקסימלי (1) Θ: נוציא את האיבר האחרון במערך, ונוריד את המצביע לסוף המערך. 3. עדכון ערך: אנחנו צריכים להזיז את איברי המערך כדי למיין אותו. זה דורש (n) Θ. זה לא טוב, נחפש מימון טוב יותר. ניתן מימוש של תור קדימויות ע"י מבנה אחר (הערמה) שיאפשר את ביצוע הפעולות 4 1 בזמן.O (n) ובניית הערמה בזמן,O (log n) הגדרות בתורת הגרפים:.1 גרף E),G = (V, כאשר V קבוצת הקודקודים, E V V אוסף זוגות של קודקודים שהן הצלעות של G. מסלול בגרף רשימת קודקודים v 1,..., v k כך שלכל 1 k i,1.(v i, v i+1 ) E גרף G הוא קשיר אם קיים מסלול בין כל שני קודקודים. מסלול בגרף נקרא מסלול פשוט אם אינו חוזר על קודקודים. מעגל בגרף זה אוסף קודקודים v 1,..., v k כך שלכל 1 k,(v i, v i+1 ) E 1 i וגם.(v 1, v k ) E 2. עץ (E T,V) הוא גרף קשיר ללא מעגלים פשוטים באורך 3 (מעגל פשוט לא חוזר על קודקודים). עץ עם שורש זה עץ עם קודקוד מיוחד (שורש). (נתייחס מעכשיו רק לעצים עם שורש) בעל התכונות הבאות: יש מסלול פשוט יחיד בין כל שני קודקודים בעץ. עומק של קודקוד בעץ הוא אורך המסלול מהשורש של הקודקוד הזה. רמה k של עץ כל הקודקודים בעומק k. קודקוד w הוא ההורה parent של קודקוד u, אם במסלול (היחיד) מהשורש ל u, w הוא הקודם המיידי ל u. u ייקרא בן של w. 3. עץ בינארי הוא עץ שלכל קודקוד שלו יש לכל היותר 2 בנים. עלה בעץ זה קודקוד ללא ילדים.

12 4. עץ בינארי שלם זה עץ בינארי שלכל קודקוד שאינו עלה יש 2 בנים, וגם כל העלים נמצאים באותו עומק. 5. עץ בינארי כמעט שלם זה עץ בינארי שכל הרמות שלו פרט לרמה האחרונה מלאות וברמה האחרונה יכולים להיות חסרים מספר עלים מימין. הגדרה: ערמה זה עץ בינארי כמעט שלם עם ערכים בקודקודים, בעל תכונות הערימה: אם u. גדול מהערך של w אז הערך של u הוא הורה של w מימוש של ערמה ע"י במערך באופן הבא: הבנים של תא i הם תאים + 1 2i,2i, באופן i שקול ההורה של i הוא התא. 2 תכונות הערמה: לכל A [i] A [2i],i וגם 1] + [2i.A [i] A הפעולות בתור קדימויות הממומש ע"י ערמה במערך: Heap-Max(A) (a) return A [1] Extract-Max 1. ערך האיבר המקסימלי: (1) Θ: 2. הוצאת הערך המקסימלי מהמערך: בס"ד כ"א אדר ב' תשע"א: שעור 6 (a) return A [1] (in the end) (b) A [1] A [HeapSize (A)] (c) HeapSize (d) Max-Heapify(A, 1) כל הפעולות קבועות חוץ מהאחרונה שתתבצע בסדר גודל של (n Θ, (log באופן הבא: נתחיל מהשורש, ואם הוא גדול מאחד הבנים שלו, נחליף אותו עם הבן הגדול יותר, וברקורסיה נחלחל כלפי מטה עד שנקבל שוב ערמה. תור קדימויות: מבנה נתונים מופשט ) (ADT שמאפשר בצורה יעילה את הפעולות.max (A).1.Extract max (A).2 12.increase_key(A, x).3

13 .insert(a, x)..4 המימוש של תור קדימויות מתבצע ע"י ערמה :(Heap) עץ בינארי כמעט שלם. עם ערכים בקודקודים ועם תכונת ערימה: לכל קודקוד x, הערך של x גדול מערכי בניו. ערמה ממומשת ע"י מערך [n A,,1]..., כאשר הערך של השורש מוכנס ל [ 1 ] A, וממשיכים ברקורסיה לפי הכלל הבא: בניו של הקודקוד שנמצא ב [ i ] A מוכנסים ל [ 1 + 2i] A. [2i], A תכונת הערמה מתורגמת לתכונה של המערך עם המימוש 1] + [2i.A [i] A [2i], A בעצם אנחנו משתמשים במערך ממויין חלקית, אבל חושבים עליו בתור עץ. בהינתן עץ בינארי ניתן קידוד לקודקודים של העץ בצורה הבאה: 1 (root) B, (x) 0.B (r son of x) B (x) 1,B (l son of x) B כעת נחשב את הקידוד לפי בסיס בינארי, ונכניס כל צומת לתא המתאים במערך. באופן דומה, בהינתן מערך נרשום כל אינדקס בבסיס בינארי, והוא יאמר לנו לאן אנחנו הולכים בעץ. תכונות של המספור הבינארי (x) :B : x B.1 אורך הקידוד (x) B שווה ל + 1 (x).depth 2. בכל רמה של העץ, המספרים (x) B עולים משמאל לימין. 3. עבור עץ בינארי כמעט שלם, המספרים (x) B עוברים על הערכים, n...,2,1 (הגדרה שקולה של עץ בינארי כמעט שלם). 4. (x) B הכתובת של המקודם של x במערך המממש את הערימה. מסקנה: הגובה ) T) h של עץ בינארי כמעט שלם עם n איברים מקיים.log 2 n h (T ) log 2 n + 3 הוכחה: נשתמש בתכונות של המספור הבינארי. העומק (n) h (t) = depth ששווה לפי תכונה 1 לאורך הייצוג הבינארי של n ועוד 1. וזה נמצא בין log n לבין 1+n log לפי הטענה הבאה: טענת עזר: בינאריות. כדי להציג מספר n בצורה בינארית נצטרך בין log n ל 1 + n log ספרות הוכחה: נרשום k+1,2 k n < 2 אזי אורך הייצוג של 2 k הוא + 1,k ושל k+1 2 הוא + 2,k לכן אורך הייצוג s הוא + 2 n log n 1 < k s k + 1 < log (התבלבלתי כאן קצת עם התוספת של קבועים המרצה אמר שזה לא משנה). בעיה: נתון מערך [n A 1]... בלי שום תכונות. נרצה לייצר ממנו מערך. 13

14 .1 נמיין את.A עלות n).ω (n log 2. נגדיר B בתוך הערמה לעתיד, ונעשה ([i] insert(b, A לכל האיברים: ככל הידוע לנו, המחיר של זה הוא (n Ω. n) log Build_max_heap(A) 3. אלגוריתם יעיל יותר: n =length(a) for i = n to 1 max_heapify(a [i,..., n], A [i]) טענה: האלגוריתם מייצר ערימה חוקית בזמן (n) Θ. הוכחה: 1. נכונות: (k max_heapify(x, מקבל x שורש של עץ בינארי כמעט שלם שמקיים את תכונות הערמה מלבד השורש, ומייצר ערימה חוקית. נראה באינדוקציה יורדץ על i כי אחרי האיטרציה עם + 1 i,n המערך n] A [i,..., מקיים את תכונת הערימה (לכל תת ערימה המשוכנת בו). בסופו של דבר עבור = 1 i נקבל שאחרי האיטרציה מספר n המערך n] A [1,..., מקיים את תכונת הערימה. (א) עבור i: = n המערך [n] A הוא ערימה באופן ריק. (ב) נניח נכונות ל i+1, ונוכיח נכונות ל i : כל תת ערימה המשוכנת במערך [n A i] +,1..., היא ערימה חוקית, ולכן גם הערימה שקודקודה i מקיימת את התכונה, למעט הקודקוד (כי,2i). 2i + 1 > i אם נבצע max_heapify על הקודקוד, נקבל שגם הוא יקיים את תכונת הערימה, וכעת כל תת ערימה במערך [n A,i]..., מקיימת את תכונת הערימה. 2. נראה כי זמן הריצה של האלגוריתם הוא (n) Ω ((n) O. ברור): נשים לב כי זמן ריצה של ביצוע אחד של max_heapify הוא #swaps לכן זמן הריצה הכולל.T (n) n נשים לב כי מספר i=1 (3 #swaps (i) + 2) = 2n + 3 n i=1 #swaps (i) ההחלפות זהה למספר הפעמים שקודקודים יכולים "לעלות". לכן.T (n) 2n + 3 n מס' הפעמים שקודקוד j עולה הוא לכל j=1 # {j moves up} היותר (j) D depth כאשר D עומק העץ כולו, ו ( j ) d הוא עומק j בסיום האלגוריתם. 14

15 לכן צריך להעריך את n (D d (j)) j=1 D d=0 2 d (D d) = k=d d = cn + 2 = O (n) D D 2 D k k = 2 D k2 k cn + k=0 k=0 k2 k = k=0 (למה k2 k מתכנס ל 2? ההסבר מהשיעור מסובך לרישום, אבל מספיק שנדע שהוא מתכנס (מאינפי) כדי לדעת שהוא קבוע). בס"ד כ"ח אדר ב' תשע"א: שעור 7 עצי חיפוש בינאריים :BST ראינו בתרגיל עץ בינארי עם ערכים בקודקודים המקיים שכל ערך ב (( x ) T (right גדול מהערך ב x, וכל ערך ב (( x ) T (left קטן מהערך של x. ניתן לבצע פעולות רבות על,BST בזמן שהוא קבוע כפול גובה העץ. בשיעור הזה נדגים עצי חיפוש בינאריים מאוזנים בעלי גובה לוגריתמי. לכן כל הפעולות שלמדנו ייקחו זמן לוגריתמי. עצי :(Adelson-Velskii-Lardis 1962) AVL הגדרה: עץ בינארי ייקרא עץ AVL אם לכל קודקוד x בעץ, מתקיים. h (T (right (x))) h (T (left (x))) 1 דוגמאות: 1. עץ בינארי שלם הוא עץ.AVL 2. שרשרת בגובה 2 היא לא,AVL נגדיר גובה של עץ ריק = 1. אזי תת העץ השמאלי של השורש הוא בגובה 1, ותת העץ הימני הוא בגובה 1. נוכיח כי הגובה של עץ AVL לוגריתמי במספר הקודקודים. נסמן ב n את מספר הקודקודים. ב k את הגובה. נרצה להוכיח כי (n k. = O (log במקום זה נראה כי k),n = Ω ( a כאשר > 1 a (נוכל לבחור 1.61.(a נזכור כי בעץ בינארי שלם.n = Ω ( 2 k) נסמן n k מספר הקודקודים המינימלי של עץ AVL בגובה k. נגדיר רקורסיה על הסדרה.n 2 = 4,n 0 = 1, n 1 = 2 אזי: ונראה כי היא עולה אקספוננציאלית ב k. {n k } 15

16 למה: לכל k מתקיים.n k+1 > n k הוכחה: נתבונן בעץ T בגובה + 1 k עם 1+k n. יש לו לפחות בן אחד בגובה k, גם הוא תת עץ,AVL ולכן בעל n k קודקודים לפחות (זה בעצם בדיוק, כי אחרת ניתן להחליף אותו בעץ AVL מינימלי בגובה k, ולקבל עץ קטן יותר). אם נוסיף את השורש של T, יש לנו לפחות + 1 k n קודקודים. מסקנה: מבנה של עץ AVL מינימלי בגובה + 1 k: יש לנו שורש, עם בן אחד שהוא עץ AVL מינימלי בגובה k, ובן נוסף שהוא עץ AVL מינימלי בגובה 1 k. לכן יש לנו נוסחת נסיגה:.n k+1 = n k + n k נעשה חילוף משתנה, ונגדיר סדרה חדשה: 1+ k G. k = n נקבל רקורסיה יותר מוכרת לסדרה ולכן < G k+1 = G k + G k 1 :G k סדרת פיבונצ'י המקורית:... 5, = 0, 1, 1, 2, 3,,F ולכן k+3.g k = F (.F k = ) k ( 5 1 ) k 5 טענת עזר: <,1 ואלו 1 ϕ = 2 מסקנה: נשים לב כי 1.61 ϕ =.G k, n k = Ω ( ϕ k) לכן גם,F k > 1 5 ( לכן k) ϕ k 1 ) = Ω ( ϕ הוכחת הטענה: נתבונן באוסף כל הסדרות..., 1 a 0, a המקיימות k 1 : a k+1 = a k + a.( ) נגדיר הפעולות חיבור וכפל בקבוע.).., 1.c (a 0, a 1,...) = (ca 0, ca גם הסדרה החדשה מקיימת את הרקורסיה.( ) נגדיר.).., 1 (a 0, a 1,...) + (b 0, b 1,...) = (a 0 + b 0, a 1 + b שגם היא מקיימת את ( ). הרעיון העיקרי: נמצא שתי סדרות כנ"ל,α β המקיימות את ( ) שקל להבין את המבנה שלהם. נמצא שני קבועים c 1, c 2 כך ש,c 1 α + c 2 β = F כלומר מספיק לבדוק כי c 1 α 0 + c 2 β 0 = 0 : ( ) (סדרה המקיימת את ( ) מוגדרת ע"י שני האיברים הראשונים). c 1 α 1 + c 2 β 1 = 1 את הסדרות,α β נחפש בין סדרות הנדסיות, כלומר נבדוק מתי סדרה (k ( x מקיימת את x k+1 = x k + x k 1 x 2 = x + 1 x = 1 ± ( ), כלומר

17 1 + ) k 5 זה נותן לנו שתי סדרות הנדסיות המקיימות את הרקורסיה ( ): 2 (,α k = ( 1 ) 5 2 = k β. נותר לנו למצוא את הקבועים c 1, c 2 שיקיימו את מערכת המשוואות.c 1 = 1 5, c 2 = 1 5 ( ). פותרים את המערכת ומוכיחים את הטענה ע"י אלגוריתמית נראה איך לבצע פעולות insert, delete על עץ חיפוש בינארי בעל תכונת AVL ולשמור על תכונה זו. פעולת :insert פעולת הכנסה שמפירה את תנאי האיזון יכולה להשפיע על הקודקודים שהם אבות קדמונים של הקודקוד החדש. האלגוריתם מכניס קודקוד חדש בצורה הרגילה של,BST ואח"כ יעבור על המסלול מהקודקוד החדש לשורש, ויתקן במידה ונמצאה הפרה של תנאי.AVL נשים לב כי ניתן לראות הפרה רק אחרי שעולים לפחות פעמיים. נראה כי כשאנחנו מתקנים את ההפרה הראשונה, אנו שומרים על הגובה המקורי של העץ ששורשו בקודקוד המופר, ולכן אין צורך להמשיך לטפס הלאה. התיקון מתחלק ל 4 מקרים, לפי המיקום של הקודקוד המוכנס יחסית לקודקוד בו נזהה את ההפרה הראשונה. 1. :LL אם נרד מהשורש המופר לקודקוד החדש, בתחילת המסלול נרד פעמיים שמאלה. נסמן: B הקודקוד המופר. (B).Br = right (B).A = left באופן דומה נסמן h עבר מגובה T (Al) וכי T. אנו יודעים כי הקודקוד החדש נמצא ב ( Al ).Al, Ar לגובה + 1 h. לכן בהכרח הגובה של (Ar) T הוא h (אם הוא היה + 1 h, B לא מופר, ואם בגובה 1 h, היתה הפרה כבר ב A ). באופן דומה הגובה של Br הוא h בדיוק, כדי לקבל הפרה ב B. נסובב את העץ כך ש A הוא השורש, בניו הם,Al, B והבנים של B הם.Ar, Br צריך לראות כי זהו עץ AVL תקין בגובה + 2 h (הגובה המקורי). באופן דומה ניתן לטפל בשאר המקרים (תרגיל). בס"ד כ"ז ניסן תשע"א, י"ב בעומר: שעור 9 בשיעור 8 על הסתברות לא הייתי. 17 אלגוריתם לדחיסת מידע

18 בעיה: נתון קובץ כתוב אנגלית. רוצים לשמור אותו בצורה בינארית (לצורך שמירה במחשב \ שליחה בערוץ תקשורת). מה הצורה הטובה ביותר לעשות זאת. אנחנו מחפשים: 1. קידוד הניתן לפיענוח (הטקסט ניתן לשחזור). 2. קידוד הקצר ביותר. דוגמא: נתון טקסט הכתוב בעזרת 6 אותיות (f a) עם הצפיפות הבאה: a b c d e f קובץ באורך 100,000 אותיות תדירות ב % קידוד אחיד , 000bits אורך משתנה , 000bits בעיה אפשרית: יש מצבים בלי פענוח יחיד. למשל עבור 1101 c a,,1 b,101 לא נוכל לדעת האם 1101 הוא קידוד של ab או של c. הגדרה: צופן חסר רישא (חסר תחילית) הוא צופן שבו קידוד של אף אות אינו התחלה של קידוד של אות אחרת. דוגמא הצופן באורך משתנה שראינו חסר רישא ומאפשר פענוח בצורה מאוד פשוטה. למשל עבור, נראה ש a = 0, ברגע שהגענו לרצף מוכר, אנו שמים את האות, a a b e ומתחילים מחדש. בסה"כ מקודד לנו.aabe נתאר קידוד באופן הבא: אנחנו מתחילים משורש של העץ. פנייה שמאלה משמעותה 0, פנייה ימינה משמעותה 1. בעזרת עץ בינארי נתאר גם את הקידוד: הקידוד של כל אות ניתן ע"י המסלול מהשורש אל האות, וגם את הפענוח: בהינתן רצף ביטים נלך על העץ לפי ההוראות של הרצף עד שנגיע לאות. תמיד נדבר על עצים בינאריים המתאימים לצפנים שבהם האותיות נמצאות בעלים של העץ. זה מבטיח: 1. תכונת צופן חסר תחילית. 2. כל צופן חסר רישא ניתן לתאר ע"י עץ כזה. סימונים והגדרות: נתונה קבוצת אותיות A. = n A, נתון קובץ F הכתוב באותיות מ A. נסמן ב ( c ) f את הצפיפות באחוזים של האות c ב F. בהינתן צופן T, נגדיר (c) l את אורך הקידוד של c המוגדר ע"י T, ששוה לאורך המסלול ב T מהשורש לעלה המכיל את c. נשים.L (T ) = F c A לב כי אורך הקידוד של F שווה ל ( c ) f (c) l 100 הבעיה היא למצוא T הממזער את ) T) L. הבחנות: 18

19 .1 אם (y) f (x) < f אז (y) l (x) l עבור T אופטימלי. 2. לשתי אותיות עם הצפיפות הנמוכה ביותר קיים עץ אופטימלי שיש בו לשתי אותיות אלה אותו אורך קידוד. הרעיון של הופמן: בכל שלב נאחד את שתי האותיות הכי נדירות לאות חדשה שצפיפותה היא סכום הצפיפויות של שתי האותיות הללו. בדוגמא שלנו: נחבר את,e f לקודקוד חדש בעל צפיפות 14, שבניו הם,e. f באופן דומה נחבר את,b c לאות חדשה עם צפיפות 25. עכשיו נאחד את d עם,e, f ובשלב הבא נאחד את b, c עם.d, e, f בס"ד י"ח אייר תשע"א, ל"ג בעומר: שעור 11 lookup (k).o (1) insert (k) delete (k) חסר שעור 10 מיום י"א אייר. פונקציות גיבוב.(hash) נדרש מילון,ADT המספק לנו דוגמא: ציוני בוחן של סטודנטים: מפתחות מספרי ת.ז., ולכל מפתח צמוד ערך הציון. 1. פתרון ראשון: קובץ excel בסדר עולה וליד כל ת.ז. הציון. נקבל (n Ω (log עבור הפעולות (חיפוש בינארי)..2 פתרון "טוב יותר": למספר את ת.ז. במספרים, m...,1, כאשר,m N אבל (N),m = O ולהכניס את הציונים למערך באורך m. ואז כל הפעולות מתבצעות באופן הבא: כדי להכניס ציון של מפתח k ניגש ישירות לתא [k] A. הבעיה: איך נזכור את ההתאמה בין הת"ז למספרים, m...?1,.3 פתרון טוב ראשון: נגדיר פונקציה 1} m h : {i.d.} {0,..., באופן הבא: h.h (k) = k mod m תיקרא פונקצית גיבוב. יש לנו יעילות במקום (N),m = O וכל הפעולות הן (1) O. מה קורה עם התנגשויות? אם כמה מפתחות k 1,..., k t נופלים לאותו תא במערך, נוציא מתא זה רשימה מקושרת המכילה את כל המפתחות k. 1,..., k t מחיר הפעולות יהיה (t) O לפי אורך הרשימה הספציפית אליה הגיבוב הפנה. המטרה היא למצוא פונקצית גיבוב שתיצור רשימות קצרות. 19

20 מה קורה אם להרבה מפתחות k יש אותו ערך מודולו m? לא ניתן לפסול זאת, ובמקרה זה נגיע למצב שאחרי גיבוב כל הפעולות עולות (N) Ω. 4. נבנה פונקציה "מכוערת" יותר, שבה הסיכוי להתנגשויות קטן יותר. למשל הפונקציה ). זו פונקציה טובה, אך גם m,h (k) = (γk γk ) כאשר γ אי רציונלי (בד"כ 2 לה כפי שנראה, ניתן לבנות קלט S רע, שיביא לרשימות מקושרות ארוכות. 5. ננסה פונקצית גיבוב מקרית: נניח כי יש לנו S, = N ומערך [m..1] A. אנו לוקחים כל פעם מפתח, ושולחים אותו לתא בצורה אקראית. היתרון: הרשימות המקושרות יהיו קצרות באופן טיפוסי (נוכיח), החסרון: פונקציה מטופשת, כי לא נדע לאן שלחנו כל מפתח. נגדיר Z i להיות אורך הרשימה המקושרת היוצאת מהתא i של המערך. זה משתנה מקרי התלוי בבחירות של פונקצית הגיבוב. בסה"כ יש לנו Z 1,..., Z m מ"מ.,Z i,k = 1 h (k) = i 0 o.w..e [Z i ] = N m למה: לכל i m,1 הוכחה: נגדיר מ"מ עבור m},i {1,..., ועבור,k S נגדיר,E [Z i,k ] = 1 m מתקיים.Z i = k S Z i,k ברור כי.Z i,k Ber.E [Z i ] = k S E [Z i,k] = k S ( ) 1 m 1 לכן m = N m ראינו עד כה שני סוגים של פתרונות עבור פונקציות גיבוב: 1. פתרונות דטרמיניסטיים (מודולו, הפונקציה המכוערת). 2. פתרון מקרי פנוקציית גיבוב מקרית. רע לא נוכל לזכור את ערכי הפונקציה. נראה כי לכל פונקציית גיבוב דטרמיניסטית ישנם קלטים היוצרים תחת הפונקציה הזו רשימות מקושרות ארוכות: למה: יהי U עולם המפתחות, ו { m.h : U {1,..., נניח כי. U Nm אז קיימת תת קבוצה של מפתחות S, U כך ש N S = שכולם נשלחים לאותו תא ע"י h (שובך היונים). הוכחה: נחלק את U למחלקות שקילות לפי התוצאה של h. יש לנו m מחלקות שקילות, ולא ייתכן שכולן בגודל קטן מ N. 20

21 פתרון לכל הבעיות: משפחה אוניברסלית של פונקציות גיבוב. הגדרה: m}} H = {h : U {1,..., היא משפחה אוניברסלית של פונקציות גיבוב אם לכל שני מפתחות שונים,x y U מתקיים = 1 (y)}.p h H {h (x) = h כעת לא משנה m מה הקלט, התוחלת של אורך הרשימות היא קטנה. הערה: זו משפחה קטנה ופשוטה של פונקציות גיבוב שהתנהגותן מבחינת התנגשויות דומה לזו של פונקצית גיבוב מקרית. 1. העובדה שהמשפחה הזו קטנה, תאפשר חישוב פשוט (שאין לפונקציות מקריות). 2. "מקריות" תוביל לרשימות מקושרות קצרות ללא תלות בקלט. למה: תהי H משפחה אוניברסלית של פונקציות גיבוב. תהי S. = N S, U אזי לכל x S מתקיים בממוצע על פונקציות h, H אורך הרשימה המקושרת אליה ישתייך x הוא לכל היותר + N.1 m הוכחה: נגדיר מ"מ (h) L x אורך הרשימה המקושרת של x תחת פונקצית הגיבוב h. צריכים להוכיח כי.E [L x ] 1 + N לכל,y S נגדיר משתנה עזר (h) C x,y האם m ) 1 ( = (h),l x לכן y S C x,y, (h) וכן,C x,y (h) Ber מתקיים.h (x) = h (y) m E [L x ] = y S E [C x,y] = 1 x y S m + 1 = N 1 m + 1.m = 2 r נמספר כל k U וכל } r,m {1,..., 2 נתאים קידוד בניה של משפחה אוניברסלית של פונקציות גיבוב: בה"כ נניח כי. U = 2 l ב 1} l, {0, 1} r.{0, פונקציות גיבוב יהיו פונקציות.h : F l 2 F r 2 נבנה פונקציות כאלו ע"י מטריצות מסדר.(h M r,l (F 2 )).r l כאשר.h : v hv נגדיר ) 2 H. = M r,l F) טענה: H זו משפחה אוניברסלית של פונקציות גיבוב. בהינתן הטענה בהינתן קלט S U באורך N, נבחר מטריצה מקרית h H (נגריל כל קואורדינטה), ואז נבצע גיבוב על S בעזרת הפונקציה h. בס"ד כ"ה אייר תשע"א, מ' בעומר פונקציות גיבוב: נניח כי מרחב המפתחות U, = 2 l וכי m. = 2 r הגדרנו משפחה של פונקציות F l 2 F r 2 ע"י מטריצות ) 2,M M r l (F ופונקציה.h M : x Mx עבור.(Mx) i = l j=1 a ijx j מתקיים M = (a ij ) 21

22 הגדרה: H היא משפחה אוניברסלית של פונקציות גיבוב אם לכל x y מתקיים.P h H {h (x) = h (y)} 1 m טענה: המשפחה )} 2 H = {h M : M M r l (F היא משפחה אוניברסלית. הוכחה: נראה כי לכל :P {h (x) = h (y)} = P {Mx = My} = 1 2 r,x y F l 2.P M Mr l {Mx = My} = P M {M (x y) = 0} = P M,z 0 {Mz = 0} למה: לכל 0 z Fl 2 מתקיים.P M {Mz} = 1 2 r אם נוכיח את הלמה, זה יסיים את ההוכחה..(Mz) ז"א המאורע { 1 =... = (Mz) r הוכחת הלמה: נשים לב ש 0 = Mz אם"ם = 0 l }.{(Mz) i = 0} = j=1 a ijz j נתבונן במאורע = 0.{Mz = 0} = r i=1 {(Mz) i ( ) = 0} 1 נזכור כי בחירה מקרית של M היא בחירה של כל אחת מהקואורדינטות a ij Ber { 2 l } { } { }.P j=1 a ijz j = 0 = P באופן בלתי תלוי. לכן = 0 ij j:z j =1 a ijz j = 0 = P M j:z j =1 a נראה כי הביטוי j:z j 1= a ij הוא 0 בסיכוי. 1 2 אם יש רק מחובר אחד, אז הוא מקיים זאת, כי כל בית a ij נבחר להיות 0 בסיכוי אחד. עבור > 1 k מחוברים, נחלק את הסכום לסכום של 1 k מחוברים, שהסכום שלו הוא b, והמחובר האחרון ששוה ל b בסיכוי חצי, ו b 1.P M {(Mz) i.1 2 בסה"כ הוכחנו כי = 1 2 0} = בסיכוי חצי. לכן הסכום כולו הוא 0 בסיכוי P {Mz = 0} = P ( r ) {(Mz) i = 0} = i=1 מאחר ושורות M נבחרות באופן ב"ת, לכן r P {(Mz) i = 0} = i=1 r i=1 1 2 = 1 2 r = m אלגוריתמים על גרפים בעיה: נתונה רשת (אוסף של קודקודים עם צלעות לדוגמא רשת כבישים המחברים ערים בישראל). המטרה למצוא תת רשת המאפשרת להגיע מכל מקום, בעלת מחיר מינימלי. במונחים של גרפים: נתון גרף קשיר (E G =,V) על הקודקודים, ופונקצית מחיר e E W קשיר, וכך ש ( e ) T = (V, E כך ש ( E E המטרה למצוא.W : E R + מינימלי בתנאי זה (נקרא למחיר ) T) W). בניסוח נוסף: המטרה למצוא תת גרף קשיר.W (T ) = e E W (e) מינימלי, כאשר W (T ) בעל,G של T = (V, E ) אינטואיטיבית, בפתרון האופטימלי T אין מעגלים. וזה מוביל אותנו להגדרה: 22

23 23 הגדרה: עץ פורש של גרף G הוא תת גרף T קשיר וחסר מעגלים. טענה: 1. בכל גרף קשיר יש עץ פורש. 2. לכל עץ פורש יש 1 n צלעות. 3. כל גרף קשיר על n קודקודים עם 1 n צלעות הוא עץ פורש. הוכחה: נשתמש בהגדרה של רכיב קשירות בגרף: C V הוא רכיב קשירות אם v 1, v 2 C יש מסילה מ v 1 ל,v 2 ולכל v C, w V \C אין מסילה מ v ל w. למה: H גרף עם חלוקה לרכיבי קשירות H, = C i ומוסיפים ל H צלע (y e, =,x) אזי: 1. אם,x y שייכים לאותו רכיב קשירות אזי בגרף החדש יש מעגל. 2. אם,x y אינם שייכים לאותו רכיב קשירות, לא הוספנו מעגל בגרף. הוכחת הלמה: 1. נניח כי,x y שייכים לאותו רכיב קשירות, והוספנו צלע חדשה {y e, =,x} מכיוון ש C קשיר, יש ב C כבר יש מסלול בין x ל y. קיבלנו שני מסלולים שונים בין x ל y ולכן קיבלנו מעגל..2 נניח,x C 1, y C 2 וב H אין מעגלים. נראה כי הצלע y} {x, לא מוסיפה מעגל. נניח בשלילה כי קיים מעגל בגרף החדש, המעגל הזה חייב להכיל את הצלע {y,x}, ולכן חייב לתת שני מסלולים זרים בצלעות בין x ל y. אבל,x y נמצאים בשני רכיבי קשירות שונים של H ולכן כל מסלול ביניהם, חייב לעבור דרך הצלע {y,x}, בסתירה. הוכחת הטענה: 1. בכל גרף קשיר G יש עץ פורש T: נבנה את T בצורה איטרטיבית: נאתחל E. = φ בכל שלב נתבונן ברכיבי הקשירות של T, ונוסיף צלע המחברת בין שני רכיבי קשירות שונים בגרף ) E T. =,V) עד שנקבל רכיב קשירות יחיד. לאחר האיטרציה ה k מתקיים: (א). E = k (ב) בגרף ) E (V, יש n k רכיבי קשירות. (ג) אם > 1 k n, קיימת צלע E\E e המחברת שני רכיבי קשירות שונים.

24 לפי החלק השלישי, נוכל להוסיף צלעות כל עוד > 1 k n, ולפי הלמה הקודמת מכיוון שכל צלע מחברת שני רכיבי קשירות, היא לא מוסיפה מעגל, ולכן הגרף ) E T =,V) הינו חסר מעגלים. עבור 1 n k = נקבל גרף עם רכיב קשירות אחד חסר מעגלים. בס"ד ג' סיון תשע"א, מ"ז בעומר: שיעור 13 בעיה: נתון גרף קשיר לא מכוון E), V = n,g = (V, עם פונקצית מחיר + R.W : E המטרה למצוא עץ ) T T =,V) E כך ש E E T בעל מחיר מינימלי. כאשר.W (T ) = e E T W (e) טענה: קיים עץ פורש ) T.E T E,T = (V, E הגדרה: קבוצת קודקודים C V היא רכיב קשירות בגרף ) H H = (V, E אם: 1. לכל,x y C ניתן להגיע מ x ל y על צלעות ב E. H.2 לכל,x C,z C לא ניתן להגיע מ x ל z. הוכחנו למה :1 יהי ) H H = (V, E עם m רכיבי קשירות..V = C i תהי.e = (x, y) V V \E H אזי יש שתי אפשרויות: 1. y,x שייכים לאותו רכיב קשירות C, אזי הוספת הצלע e ל H סוגרת מעגל. 2. אם,x y שייכים לרכיבי קשירות שונים הוספת הצלע e אינה סוגרת מעגל, ואף מקטינה את מספר רכיבי הקשירות ב 1. הוכחת הטענה: נגדיר את E T בצורה איטרטיבית: נגדיר.T 0 = (V, E 0 ), E 0 = φ בשלב ה i i < n) (1 נתבונן ברכיבי הקשירות של הגרף i 1.T תהי i 1 e E\E שמחברת בין 2 רכיבי קשירות שונים של 1 i T (צריך להוכיח כי קיימת כזו). נגדיר {e} E, i = E 1 i ונגדיר ) i.t i = (V, E נחזיר את n 1,T נראה כי n 1 T הוא עץ פורש. נראה באינדוקציה על i, כי מתקיימים 3 דברים:.1 אם מספר רכיבי הקשירות בגרף ) i 1 T i=1 = (V, E גדול מ 1, קיימת צלע e E המחברת שני רכיבי קשירות שונים.. E i = i.2.3 מספר רכיבי הקשירות ב T i הוא.n i 24

25 נשים לב כי אם (3), (2), (1) מתקיימים, נוכל להריץ את האלגוריתם 1 n שלבים, ואז לגרף 1 n T יש רכיב קשירות בודד ולכן הוא קשיר. כמו כן מכיוון שבכל שלב הוספנו צלע המחברת רכיבי קשירות שונים, לא ייצרנו מעגלים לפי למה 1, ולכן 1 n T = T הוא עץ פורש. הוכחת (3), (2), :(1) 1. נניח בשלילה כי בשלב מסויים עבור i < n 1 אין צלע המחברת 2 רכיבי קשירות שונים, ומספר רכיבי הקשירות >1. יהיה C 1, C 2 שני רכיבי קשירות שונים, ויהי x. C 1, y C 2 ז"א מעכשיו כל צלע תעבור בתוך רכיב הקשירות שלה, ולעולם לא נוכל להגיע מ x ל y, וזה בסתירה לקשירות של G. = 0.2 φ, E 0 = וכי + 1 i 1 E i = E i 1 {e} = E (נשים לב כי תמיד בוחרים.(e E\E i 1 3. יהי C i מספר רכיבי הקשירות ב C. 0 = n T. i לפי למה 1, מכיוון שכל פעם מוסיפים צלע המחברת שני רכיבי קשירות שונים, i C i = C טענה 2: לכל עץ פורש בגרף עם n קודקודים יש 1 n צלעות. טענה :3 יהי ) H H = (V, E גרף קשיר עם 1 V צלעות אזי H הוא עץ. האלגוריתם של קרוסקל Kruscal למציאת עץ פורש מינימלי: נאתחל.T 0 = (V, E 0 ),E 0 = φ בכל שלב i נבחר i 1,e E\E שאינה סוגרת מעגל, ושמשקלה מינימלי בתנאי זה. נגדיר {e},e i = E i 1 ו (.T i = (V, E i נחזיר את n 1 T (אלגוריתם חמדן.(greedy עלות האלגוריתם ניתן לתחזק מבנה נתונים (ערימה מתוחכמת) המאפשר את ביצוע האלגוריתם בזמן (( V ) O. E ) log משפט: האלגוריתם של קרוסקל מחזיר עץ פורש מינימלי. הגדרות: לצורך המשפט נשתמש בכמה הגדרה: חתך בגרף הוא חלוקה של קודקודים לשתי קבוצות, V. = S V S\ הגדרה: צלע e E נמצאת בחתך אם t},e = {s, כך ש S \.s S, t V הגדרה: הצלע e היא צלע קלה בחתך אם e נמצאת בחתך, ומשקלה מינימלי בין כל הצלעות בחתך. הגדרה: החתך (S\,S) V מכבד קבוצת צלעות A, אם לכל e e, A אינה צלע בחתך. 25

26 משפט עזר: תהי A E תת קבוצה של צלעות של עץ פורש מינימלי. יהי (S\,S) V חתך המכבד את A. תהי E צלע קלה בחתך, אזי קבוצת הצלעות A E היא תת קבוצה של צלעות של עץ פורש מינימלי. הוכחה: נניח כי צלע e מחברת בין קודקוד x S לקודקוד y. V S\ נתבונן בעץ מינימלי T המכיל את A. בתוך T יש מסלול בין x ל y. ולכן קיימת e בתוך הצלעות של T המחברת בין S ל S \.V מתקיים e / A כי החתך מכבד את,A וכן ) (e W (e) W כי e היא צלע קלה בחתך. נוריד מ T את הצלע.e הגרף מתפרק לשני רכיבי קשירות V = C 1 C 2 כאשר,x C 1 y C 2 (בעץ T יש מסלול יחיד בין,x, y הורדת e על המסלול הזה מפרידה בין,x, y ועכשיו לא נוכל להגיע מזה לזה). עכשיו נוסיף את הצלע e המחברת בין C. 1, C 1 לכן קבלנו גרף קשיר חדש {e}.t = T \ {e } הגרף T הוא עץ כי הוספת הצלע e לא יוצרת מעגל כי e מחברת רכיבי קשירות שונים. קבלנו כי T הוא עץ פורש. נשים לב כי T A. {e} נותר להוכיח כי T הוא עץ פורש מינימלי: מכיוון ש { e } {,T = T \ {e לכן ) (T,W (T ) = W (T )+W (e) W (e ) W אבל T הוא עץ פורש מינימלי, לכן גם T עץ פורש מינימלי. הוכחה של משפט קרוסקל: נראה כי לכל i < n 1, קיים עץ פורש מינימלי T i המכיל את קבוצת הצלעות E. i אם כן העץ 1 n Tn 1 = T יהיה עץ פורש מינימלי. נראה באינדוקציה על i: עבור = 0,i זה ברור. נניח ל 1 i, ונוכיח ל i : נגדיר 1 i A. = E תהי e הצלע שהאלגוריתם בוחר להוסיף ל.(C 1, V \C 1 ) נגדיר חתך T שונים. בגרף i 1 C 1, מחברת שני רכיבי קשירות C 2 e.e i 1 נשים לב ש e היא צלע קלה בחתך, והחתך מכבד את A לכן נוכל להשתמש במשפט העזר ולומר כי קיים עץ פורש מינימלי המכיל את {e}.e i = E i 1 {e} = A 26

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק.

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק. 1 גרפים / חזרה כללית: סיכומים למבחן בקורס אלגוריתמים סמסטר א' 2008-9 (פרופ' מיכה שריר) מושגים: גרף: גרף,, V קבוצת קודקודים, קבוצת קשתות. מכוון: הקשתות הן זוגות סדורים, לא מכוון: הקשתות הן קבוצה בת שני

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers".

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers. Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers". The purpose of the course "Statistics for Managers" is to get familiar with the basic concepts required for statistical reasoning: Types of Analyses,

Διαβάστε περισσότερα

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם בס"ד יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם עבודת מסכמת זו הוגשה כחלק מהדרישות לקבלת תואר "מוסמך למדעים" M.Sc. במדעי המחשב באוניברסיטה הפתוחה החטיבה למדעי המחשב

Διαβάστε περισσότερα

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת Query Optimization מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? נתונה שאילתה בגודל m, מהו גודל התוצאה? לדוגמה: יחס n R(A) ומסד נ ת ונים בגודל עם 2 שורות, שבא חת מהן יש את הע רך 0 ובשניה יש א ת

Διαβάστε περισσότερα

מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5. בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a r system החוק F מייצג כוחות אמיתיים בלבד).

מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5. בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a r system החוק F מייצג כוחות אמיתיים בלבד). כח דלמבר במערכת מסתובבת : מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5 בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a system החוק F F מייצג כוחות אמיתיים בלבד). השני של ניוטון = ma body לא

Διαβάστε περισσότερα

אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï

אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï Ò כולנו יחד - מתחברים לטוב יליון מסß אר ון קבלה לעם תשרי תשע א ספטמבר ± מחג לחג: יומן מסע פנימי חינוך עמß עמß µ מהי קבלה? עמß עמß הנה

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [1]

מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [1] מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [] תוכן עניינים מבחני ספציפיקציה- מבחן LM (כופלי לגרנג')... 4 טעויות ספציפיקציה... ) הוספת משתנה לא רלוונטי.... ) השמטת משתנה רלוונטי... מולטיקוליניאריות... 4 ) מולטיקוליניאריות

Διαβάστε περισσότερα

 ËÈÒ ÈappleÂ Ï È ËÓÂÎÈÒÙ ÒÈappleÎ appleèá Î ÂÁ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá

 ËÈÒ ÈappleÂ Ï È ËÓÂÎÈÒÙ ÒÈappleÎ appleèá Î ÂÁ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá 77 ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá Æ ÈÂÙˆ appleèá ÌÎÈÚÂˆÈ Ó ÂÓ Ï ÌÎÏ Ù Ó ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá ÌÎÈappleÙÏ ÆÔÓÊ ÂÏ Ó ÏÚ Â Ó ÆÌ ÂappleÁ È ÌÈ apple Ï Ù ÏÎÎ ÌÈÓ ÌÈ apple appleèá ÂÏ Â ÙÏ ÂÏ Æ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá

Διαβάστε περισσότερα

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית פברואר 00 כל הזכויות שמורות למרכז ארצי לבחינות ולהערכה )ע"ר( אין להעתיק או להפיץ בחינה זו או קטעים ממנה בכל צורה ובכל אמצעי, או ללמדה - כולה או חלקים ממנה - בלא אישור בכתב

Διαβάστε περισσότερα

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 )

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 ) HM HM מאפיינים טכנולוגיה: עוגן נקבה סוג פלדה העוגן נקבה: Cold Formed steel D62 סוג פלדה הבורג :. Steel f uk = 0 N/mm 2 ; f yk = 6 N/mm 2 גלוון: 5µ Zn HM Bolt HM Eye European Approval ETA01/00 ETAG001 option

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use

Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use R5 37805-05B נכנס לתוקף במרץ 37805-05B Effective March 2015 / Σε ισχύ από το Μάρτιο 2015 / 2015 Blom-Singer is

Διαβάστε περισσότερα

ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE תחרות WFF שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... גיליון 392 פברואר 2010

ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE תחרות WFF שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... גיליון 392 פברואר 2010 ביטאון אגודת חובבי הרדיו בישראל ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE גיליון 392 פברואר 2010 בגיליון: תורן השידור בברלין תחרות WFF לוויינים שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... הכל על הכל - מידעון לחובבי הרדיו

Διαβάστε περισσότερα

ריבוי אלחוטית בהעדר קו ראייה, הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח. וגיוון ערוצים Diversity and Selective MIMO

ריבוי אלחוטית בהעדר קו ראייה, הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח. וגיוון ערוצים Diversity and Selective MIMO אנטנות בתקשורת אלחוטית וגיוון ריבוי עניינים תוכן אלחוטית בהעדר קו ראייה, תקשורת הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה (LOS) (NLOS) משוואת תקשורת עם קו ראייה פיתוח משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח של

Διαβάστε περισσότερα

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית דצמבר 0 ת וכן עניינים מועד דצמבר 0 חשיבה מילולית מטלת כתיבה... חשיבה מילולית פרק ראשון... חשיבה מילולית פרק שני... חשיבה כמותית פרק ראשון... 0 חשיבה כמותית פרק שני... אנגלית

Διαβάστε περισσότερα

Coaching for psychomotor Empowerment Coach ME

Coaching for psychomotor Empowerment Coach ME ד"ר אורלי יזדי-עוגב המרכז לקידום השליטה המוטורית ותפקודי למידה ; 050-5382160050-6930972 נייד : 04 -רח' הדקל 10 חדרה 38220 טלפקס: 6344476 ; אתר: ; yazdi@macam.98.ac.il ; y_orly@netvision.net.il אלקטרוני:דואר

Διαβάστε περισσότερα

1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה*

1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה* 1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה* מבוא 1.1 התכונות המכניות של החומרים המרכיבים את הבטון המזוין, ובעיקר הבטון על כל מרכיביו, הינם נושא רחב ומורכב ומהווה התמחות בפני עצמה. ספרות רחבה ביותר קיימת על הנושא

Διαβάστε περισσότερα

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ תירבע English Ελληνικά www.parrot.biz www.parrot.biz English Ελληνικά עברית 5 15 34 Warning : The manufacturer Parrot S.A. and it s affiliates should not be held

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Showerguard

Blom-Singer Showerguard Blom-Singer Showerguard USER Instructions For Use R5 37728-05C 37728-05C Effective March 2014 Blom-Singer is a registered trademark in the United States of Hansa Medical Products. / InHealth Technologies

Διαβάστε περισσότερα

CD/MP3 Hands-free Receiver

CD/MP3 Hands-free Receiver CD/MP3 Hands-free Receiver RHYTHM N BLUE User manual For Bluetooth Mobile Phone ENG GRE P.3 P.15 HEB P.38 Warning The manufacturer Parrot S.A. and its affiliates should not be held liable towards end users

Διαβάστε περισσότερα

"רבי, מה אני לחיי העולם הבא"? מתוך דרשותיו של הרב אמנון יצחק שליט"א

רבי, מה אני לחיי העולם הבא? מתוך דרשותיו של הרב אמנון יצחק שליטא בס"ד 152 קובץ שבועי בעניני יהדות מהוצאת להזמנת עלונים ולפרסום טל: 03-6762226 מופץ בכל הארץ ב- 90,000 עותקים "ו לא ת ח לּ לוּ א ת שׁ ם ק דשׁ י ו נ קדּ שׁ תּ י בּ תוֹ ך בּ נ י י שׂ רא ל א נ י ה' מ קדּ שׁ כ ם" "רבי, מה

Διαβάστε περισσότερα

Hands-free Car Kit. Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual. For Bluetooth Mobile Phone P.3 ENG HEB

Hands-free Car Kit. Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual. For Bluetooth Mobile Phone P.3 ENG HEB Hands-free Car Kit Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual For Bluetooth Mobile Phone ENG HEB P.3 Parrot 3200 LS-COLOR PLUS English עברית Ελληνικά......... 07-20 34-21 35-48 www.parrot.com GENERAL INFORMATION

Διαβάστε περισσότερα

המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון

המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון פרופ' המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון הפקולטה למדעי הטבע, המחלקה לכימיה ביולוגית חיים כהן,, טל. 03-9066623, פקס. 08-9200749, email:hcohen@ariel.ac.il דו"ח מסכם בדיקת היתכנות - קיבוע פסולות רדיואקטיביות

Διαβάστε περισσότερα

ילדים חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון

ילדים חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון ילדים רבעון בנושא רפואת ילדים מרץ - מאי 2007 גיליון מס' 2 חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון מו"ל: שלמה בואנו עורכת:

Διαβάστε περισσότερα

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ תירבע English Ελληνικά www.parrot.biz www.parrot.biz English Ελληνικά עברית 5 17 38 Warning : The manufacturer Parrot S.A. and its affiliates should not be held

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Showerguard

Blom-Singer Showerguard Blom-Singer Showerguard USER Instructions For Use R5 37728-05D / 2016 ראונימ ףקותב / 2016 37728-05D Effective January Με ισχύ από τον Ιανουάριο του 2016 Blom-Singer and InHealth Technologies are registered

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis

Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use R5 37742-05B / 2016 ראונימ ףקותב / 2016 37742-05B Effective January Με ισχύ από τον Ιανουάριο του 2016 Blom-Singer

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ  Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2016 - I. ΜΗΛΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 2016 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 03 - EXAMPLES ALG & COMPL 1 Example: GCD συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

תוכן העניינים. The Talmudic discussion on building a porter's lodge and a door for the courtyard

תוכן העניינים. The Talmudic discussion on building a porter's lodge and a door for the courtyard אוקימתא מחקרים בספרות התלמודית והרבנית שנה א (תשע"ג) תוכן העניינים 1 25 71 93 105 133 195 243 293 319 369 421 שלמה גליקסברג מוטי ארד גלעד ששון אפרים בצלאל הלבני מנחם בן שלום שמא יהודה פרידמן רבין שושטרי

Διαβάστε περισσότερα

"מנהיגות פדגוגית בישראל" הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דו"ח מסכם עבור מכון "אבני ראשה"

מנהיגות פדגוגית בישראל הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דוח מסכם עבור מכון אבני ראשה מטרות המחקר מטרת המחקר "מנהיגות פדגוגית בישראל" הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דו"ח מסכם עבור מכון "אבני ראשה" פרופ' שאול אורג וד"ר יאיר ברזון הייתה לבדוק את הקשר בין מנהיגות מדד של "מנהיגות פדגוגית בישראל"

Διαβάστε περισσότερα

החינוך וסביבו שנתון המכללה ל"ז

החינוך וסביבו שנתון המכללה לז החינוך וסביבו שנתון המכללה ל"ז תשע"ה 2015 1 החינוך וסביבו כרך ל ז, תשע ה - 2015 עורכת: ד ר אסתי אדיבי-שושן מערכת: פרופ נמרוד אלוני פרופ ליאורה גביעון ד ר חיים חיון ד ר מעין מזור פרופ דן סואן פרופ אלי צור

Διαβάστε περισσότερα

טונוס : Modified Ashworth Scale. Associated Reaction Rating Scale תחושה: Fugl -Meyer Assessment of the Upper extremity

טונוס : Modified Ashworth Scale. Associated Reaction Rating Scale תחושה: Fugl -Meyer Assessment of the Upper extremity כלי ערכת מדידה בטיפול באדם פגיעה עם נוירולוגית פברואר תוכן עניינים 8 7 8 6 7 8 9 6 מבוא לשימוש בכלי מדידה ליקויים פיזיקליים - Functions Body Structures and תנועות אקטיביות: טופס הערכת תנועות אקטיביות טונוס

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη Μάθηµα 9 ο. Ταξινόµηση. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη Μάθηµα 9 ο. Ταξινόµηση. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 9 ο Ταξινόµηση Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ταξινόµηση Εισαγωγή Selection sort Insertion sort Bubble sort

Διαβάστε περισσότερα

אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group

אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group A Publication of The אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group רבעון בנושא אלרגיה, אסתמה ומחלות דרכי הנשימה גיליון מס' 2 תזונת תינוקות-המלצות > דרכי הטיפול באמפיזמה תורשתית > COPD ואסתמה - המשיק והשונה >

Διαβάστε περισσότερα

שיווק מכונות בע"מ מכשיר סימון נייד. מכשירים מבוקרי מומנט לסגירת ברגים עיתון לענף המתכת

שיווק מכונות בעמ מכשיר סימון נייד.  מכשירים מבוקרי מומנט לסגירת ברגים עיתון לענף המתכת גיליון מס 184 פברואר מרץ 25 2014, ש ח כולל מע מ עיתון לענף המתכת בהוצאת מירב-דסקלו הפקות בע מ עיבוד שבבי l עיבוד פח l יציקות תבניות l ריתוך l ציפוי וגימור מתכות וחומרים l תיב מ www.benygrinding.co.il 36

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

מיתון עומס חום בערים מדבריות באמצעות צמחים - באר שבע כמקרה בוחן

מיתון עומס חום בערים מדבריות באמצעות צמחים - באר שבע כמקרה בוחן 33 אקולוגיה וסביבה ;12 :)1(3 42-33 מיתון עומס חום בערים מדבריות באמצעות צמחים - באר שבע כמקרה בוחן עודד פוצ'טר ]1, 2[*, ירון יעקב ]1[, לימור בר )שעשוע( ]3[, ]5[ שבתאי כהן ]4[, יוסי טנאי ]4[ ופועה בר )קותיאל(

Διαβάστε περισσότερα

הורים כותבים עם ילדיהם: תכנית לקידום ניצני אוריינות והסתגלות לכיתה א'

הורים כותבים עם ילדיהם: תכנית לקידום ניצני אוריינות והסתגלות לכיתה א' הורים כותבים עם ילדיהם: תכנית לקידום ניצני אוריינות והסתגלות לכיתה א' עדי אלימלך, דורית ארם מבוא המעבר מהגן לבית-הספר מהווה תקופה משמעותית בהתפתחותם של ילדים והבנת מערכת הכתב מהווה את אחד האתגרים המרכזיים

Διαβάστε περισσότερα

wayücaw et- ášer `al-bêtô lë mör mallë et- amtühöt hä ánäšîm öºkel Ka ášer yûklûn Sü ët wüsîm Ke sep- îš Büpî amtahtô

wayücaw et- ášer `al-bêtô lë mör mallë et- amtühöt hä ánäšîm öºkel Ka ášer yûklûn Sü ët wüsîm Ke sep- îš Büpî amtahtô GENESIS 44 1 And he commanded the steward of his house, saying: 'Fill the men's sacks with food, as much as they can carry, and put every man's money in his sack's mouth. 1 ויצו את אשר על ביתו לאמר מלא

Διαβάστε περισσότερα

Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran. Texts

Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran. Texts Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran Texts 1. Ben Sira 51:23 (MS B): Turn aside to me, you untutored, and lodge in my house of study. 2. 1QS (Community Rule) 8.12-15: פנו אלי סכלים ולינו בבית

Διαβάστε περισσότερα

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á

ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á Ï È ÁÏ ÌÈÏ Â È ÔÂÎÓ המרכז למדיניות סביבתית מייסודה של קרן צ'רלס ה' רבסון ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á ÏÂÚÙ Â ÏÂ Èapple Ï ÂÓ Ô È ÏÏ Ú Á Ò Ì ÒÈÚ תשס"ז 2007 פרסומי המרכז למדיניות

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

נוסחאות ונתונים בפיזיקה

נוסחאות ונתונים בפיזיקה מדינת ישראל משרד החינוך נוסחאות ונתונים בפיזיקה נספח לבחינות הבגרות ברמה של 5 יח"ל לשאלונים מס' 654,653,65,97553,97554,97555,98,3654,975,9753 )החל בקיץ תשס"ז( תוכן העניינים נוסחאות עמוד מכניקה אלקטרומגנטיות

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Διαίρει και Βασίλευε Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Διαίρει και Βασίλευε Divide and Conquer Η τεχνική διαίρει και βασίλευε αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

LXX w/ Logos Morphology

LXX w/ Logos Morphology א דנ י י הו ה א ת ה ה ח ל ות ל ה רא ות Deut 3:24 א ת ע ב ד א ת ג דל ו א ת י ד ה ח ז ק ה א ש ר מ י א ל ב ש מ י ם וב א רץ א ש ר י ע ש ה כ מ ע ש י ו כ ג ב ו רת Deut 9:26 ו א ת פ ל ל א ל י הו ה ו א מ ר א דנ

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Ταξινόμηση. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Ταξινόμηση. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Είσοδος n αντικείμενα a 1, a 2,..., a n με κλειδιά (συνήθως σε ένα πίνακα, ή λίστα, κ.τ.λ)

Διαβάστε περισσότερα

www.costaschatzinikolas.gr

www.costaschatzinikolas.gr ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ σε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ (ΑΕΠΠ) Επαναληπτικά Θέματα Πανελληνίων Ημερησίων Λυκείων 2003-2012 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ σε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ (ΑΕΠΠ) Επαναληπτικά Θέματα Πανελληνίων

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων (Data Structures)

Δομές Δεδομένων (Data Structures) Δομές Δεδομένων (Data Structures) Δένδρα (Trees) Βασικές Έννοιες. Δυαδικά Δένδρα. Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης. AVL Δένδρα. Δένδρα: Βασικές Έννοιες Ορισμοί Λειτουργίες Υλοποιήσεις ΑΤΔ Δένδρο: μοντέλο ιεραρχικής

Διαβάστε περισσότερα

Π.Μ.. ΣΜΖΜΑΣΟ ΠΛΖΡΟΦΟΡΗΚΖ ΓΗΠΛΧΜΑΣΗΚΖ ΔΡΓΑΗΑ. Υπνινγηζηηθή ζύγθξηζε ησλ αιγνξίζκσλ Heap Sort θαη Weak Heap Sort. Βαζηιεία Φνξκόδε Α.Μ.

Π.Μ.. ΣΜΖΜΑΣΟ ΠΛΖΡΟΦΟΡΗΚΖ ΓΗΠΛΧΜΑΣΗΚΖ ΔΡΓΑΗΑ. Υπνινγηζηηθή ζύγθξηζε ησλ αιγνξίζκσλ Heap Sort θαη Weak Heap Sort. Βαζηιεία Φνξκόδε Α.Μ. Π.Μ.. ΣΜΖΜΑΣΟ ΠΛΖΡΟΦΟΡΗΚΖ ΓΗΠΛΧΜΑΣΗΚΖ ΔΡΓΑΗΑ Υπνινγηζηηθή ζύγθξηζε ησλ αιγνξίζκσλ Heap Sort θαη Weak Heap Sort. Βαζηιεία Φνξκόδε Α.Μ. 43/11 Δπηβιέπσλ Καζεγεηήο: ακαξάο Νηθφιανο, Δπ. Καζεγεηήο Σκήκα Δθαξκνζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ÌÈ ÂÓÈÏ ÌÈÓ Ó ÌÈ Ï. ±ÆµÆ Á ٠ÌÂÈ ÂÏÈÚÙ Â Â ÏÁÓ ÏÚ Ú ÈÓ

ÌÈ ÂÓÈÏ ÌÈÓ Ó ÌÈ Ï. ±ÆµÆ Á ٠ÌÂÈ ÂÏÈÚÙ Â Â ÏÁÓ ÏÚ Ú ÈÓ ÌÈ ÂÓÈÏ ÌÈÓ Ó ÌÈ Ï ±ÆµÆ Á ٠ÌÂÈ ÒÈappleÎ M.P.H, M.Med. Sc, M.S.W, M.N, M.A, M.Sc, M.B.A, M.H.A, H.M.B.A Èapple Â È ÂÓÈÏÏ Á ٠ÌÂÈ Ph.D È ÈÏ Â Â apple È ÂˆÈÚ ÂÏÈÚÙ Â Â ÏÁÓ ÏÚ Ú ÈÓ ÌÈ ÌÈΠÌÈÓ Ó ÌÈ Ï ÁÂ

Διαβάστε περισσότερα

BDC = α AM BD AMD. . BAM = 90 α M C

BDC = α AM BD AMD. . BAM = 90 α M C דוגמאותלשאלותבגאומטרייה כוללהצעותשונותלדרכיפתרון שאלות 1,2,3 מתאימיםלשלישהראשוןשלכיתהח', יתר השאלותמתאימות לשלישהשלישישלכיתהח' E במשולש. נקודהעלהצלע במשולש, נקודהעלהצלע E נמקומדועמשולש דומהלמשולשE E 1

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Bubble Sort Quick Sort. Αντρέας Δημοσθένους Καθηγητής Πληροφορικής Ολυμπιάδα 2012

Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Bubble Sort Quick Sort. Αντρέας Δημοσθένους Καθηγητής Πληροφορικής Ολυμπιάδα 2012 Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Bubble Sort Quick Sort Αντρέας Δημοσθένους Καθηγητής Πληροφορικής Ολυμπιάδα 2012 3 5 1 Ταξινόμηση - Sorting Πίνακας Α 1 3 5 5 3 1 Ταξινόμηση (Φθίνουσα) Χωρίς Ταξινόμηση Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

K r i t i k i P u b l i s h i n g - d r a f t

K r i t i k i P u b l i s h i n g - d r a f t n n T ime(n) = Θ(n 2 ) T ime(n) = Θ(2n) n i=1 i = Θ(n2 ) T (n) = 2T ( n 2 ) + n = Θ(n log n) i i i i i i i & i i + L(1..n) i L(i) n n L n i j : L[i] L[1..j]. (j n) j = j + 1 L[i] < L[j] i = j i

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Ενότητα 6 Πίνακες Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Τύπος πίνακα (array) Σύνθετος τύπος δεδομένων Αναπαριστά ένα σύνολο ομοειδών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ x x x y y x y?? Ευριπίδης Μάρκου Ευάγγελος Κρανάκης Άρης Παγουρτζής Ντάννυ Κριζάνκ ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΜΑΡΚΟΥ Τµήµα Πληροφορικής µε Εφαρµογές στη Βιοϊατρική Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Περίληψη Αλγόριθµοι τύπου Brute-Force Παραδείγµατα Αναζήτησης Ταξινόµησης Πλησιέστερα σηµεία Convex hull Βελτιστοποίηση Knapsack problem Προβλήµατα Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΕΛΟΣ IFIP, IOI Org. GREEK COMPUTER SOCIETY MEMBER OF IFIP, IOI Org.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΩΝ ΚΑΙ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΕΛΟΣ IFIP, IOI Org. GREEK COMPUTER SOCIETY MEMBER OF IFIP, IOI Org. 21 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ B ΦΑΣΗΣ (Μαθητές Λυκείου, ΕΠΑΛ, ΕΠΑΣ) ΧΑΛΚΙΔΙΚΟ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Οι παρακάτω λύσεις είναι απολύτως ενδεικτικές. Αρσένης Γεράσιμος 2 ο ΓΕΛ Μοσχάτου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (4) Μεθοδολογία αναδρομικών σχέσεων (Ι) Με επανάληψη της αναδρομής Έστω όπου r και a είναι σταθερές. Βρίσκουμε τη σχέση που εκφράζει την T(n) συναρτήσει της T(n-) την T(n)

Διαβάστε περισσότερα

ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε Γενική μέθοδος σχεδιασμού αλγορίθμων: ιαίρεση σε ( 2) υποπροβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Fortran και Αντικειμενοστραφής προγραμματισμός.

Fortran και Αντικειμενοστραφής προγραμματισμός. Fortran και Αντικειμενοστραφής προγραμματισμός www.corelab.ntua.gr/courses/fortran_naval/naval Δδάσκοντες: Άρης Παγουρτζής (pagour@cs.ntua.gr) (Επίκουρος Καθηγητής ΣΗΜΜΥ ) Δώρα Σούλιου (dsouliou@mail.ntua.gr)

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Πρώτοι αριθµοί και τα Βασικά Θεωρήµατά τους Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 1 Πρωτοι αριθµοι και τα Βασικα Θεωρηµατα τους Στη µνήµη

Διαβάστε περισσότερα

ιαφάνειες παρουσίασης #4

ιαφάνειες παρουσίασης #4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ http://www.softlab.ntua.gr/~nickie/courses/progtech/ ιδάσκοντες: Γιάννης Μαΐστρος (maistros@cs.ntua.gr) Στάθης Ζάχος (zachos@cs.ntua.gr) (nickie@softlab.ntua.gr) ιαφάνειες παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2000 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (Ενδεικτικές Λύσεις) Τ. Σελλής - N. Koζύρης Θέμα 1ο

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός & Πρόρρηση. Θερμοδυναμικών Ιδιοτήτων

Υπολογισμός & Πρόρρηση. Θερμοδυναμικών Ιδιοτήτων Υπολογισμός & Πρόρρηση Θερμοδυναμικών Ιδιοτήτων d du d Θερμοδυναμικές Ιδιότητες d dh d d d du d d dh U A H G d d da d d dg d du dq dq d / d du dq Θεμελιώδεις Συναρτήσεις περιέχουν όλες τις πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Αθηνών. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Παραλληλία. Κ. Χαλάτσης, Εισαγωγή στην Επιστήµη της Πληροφορικής και των Τηλεπικοινωνιών

Πανεπιστήµιο Αθηνών. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Παραλληλία. Κ. Χαλάτσης, Εισαγωγή στην Επιστήµη της Πληροφορικής και των Τηλεπικοινωνιών Αλγόριθµοι-Προγραµµατισµός /2 Παραλληλία οµές εδοµένων Παραλληλία (Parallelism) Παραλληλία, ταυτοχρονισµός Παράλληλος αλγόριθµος - σειριακός αλγόριθµος Παράδειγµα : υπολογισµός κέρδους module σειριακό_κέρδος(λ_α,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ταξινόµησης

Αλγόριθµοι Ταξινόµησης Αλγόριθµοι Ταξινόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Οι αλγόριθµοι ταξινόµησης SelectionSort, InsertionSort, Mergesort, QuickSort, BucketSort Κάτω φράγµα της αποδοτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Αλγόριθμοι Σωρών 1. Σωρός Μεγίστων 2. Ταξινόμηση με Σωρό 3. Σωρός Ελαχίστων Μεγίστων 4. Διπλός Σωρός Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Ουρά Προτεραιότητας Η ουρά προτεραιότητας (prioiity

Διαβάστε περισσότερα

Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1

Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1 Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1 Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση εισόδου σε δύο υπο-ακολουθίες:

Διαβάστε περισσότερα

Exodus 20:1-4, 7-9, (rcl Year a, Proper 22) LXX Vulgate MT. καὶ ο«σα ε ν τοι^ς υ«δασιν υ ποκα' τω τη^ς γη^ς.

Exodus 20:1-4, 7-9, (rcl Year a, Proper 22) LXX Vulgate MT. καὶ ο«σα ε ν τοι^ς υ«δασιν υ ποκα' τω τη^ς γη^ς. Exodus 20:1-4, 7-9, 12-20 (rcl Year a, Proper 22) 20:1 Καὶ ε λα' λησεν κυ' ριος πα' ντας τοὺς λο' γους του' τους λε'γων 20:2 Εγω' ει μι κυ' ριος ο θεο' ς σου, ο«στις ε ξη' γαγο' ν σε ε κ γη^ς Αι γυ' πτου

Διαβάστε περισσότερα

Medi power (Overseas) Public Co. Limited

Medi power (Overseas) Public Co. Limited Medi power (Overseas) Public Co. Limited לכבוד הבורסה לניירות ערך רח' אחד העם 54 תל-אביב 65202 לכבוד רשות ניירות ערך רח' כנפי נשרים 22 ירושלים 95464 ניקוסיה, 24 יולי, 2011 ג.א.נ., הנדון: מדיפאואר (אוברסיז)

Διαβάστε περισσότερα

November Compressed November Condensed November

November Compressed November Condensed November Typotheque type specimen & OpenType feature specification. Please read before using the fonts. November Compressed November Condensed November OpenType font family supporting Latin based languages with

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ  Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2016 - I. ΜΗΛΗΣ ΑΠΛΗΣΤΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Greedy Algorithms 1 Greedy algorithms H βασική ιδέα: Άρχισε από ένα υπο-πρόβλημα μικρού μεγέθους Επαναληπτικά,

Διαβάστε περισσότερα

גישות לטיפול בסוכר ת בעזרת צמחים סיניים אביב מסי נגר

גישות לטיפול בסוכר ת בעזרת צמחים סיניים אביב מסי נגר גישות לטיפול בסוכר ת בעזרת צמחים סיניים אביב מסי נגר Dip.Ac. www.aviv-clinic.co.il נושאי ההרצאה דגשים כיצד בוחרים את הפורמולות והצמחים הכרה של הגישה הטיפולית בסוכרת הרפואה הסינית כשפה טיפולית ספרות ומחקרים

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 4: Διαίρει και Βασίλευε. Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 4: Διαίρει και Βασίλευε. Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 4: Διαίρει και Βασίλευε Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ἀβαδδών א ב ד ון Rev 9:11 ἀββα א ב א Mk 14:36 Rom 8:15 Gal 4:6. Ἅβελ ה ב ל Matt 23:35 Lk 11:51 Heb 11:4 Heb 12:24. Ἀβιὰ א ב י ה Matt 1:7 Lk 1:5

Ἀβαδδών א ב ד ון Rev 9:11 ἀββα א ב א Mk 14:36 Rom 8:15 Gal 4:6. Ἅβελ ה ב ל Matt 23:35 Lk 11:51 Heb 11:4 Heb 12:24. Ἀβιὰ א ב י ה Matt 1:7 Lk 1:5 Tabelle der lexikalischen Semitismen Einträge in [ ] bedeuten: semitische Verwendung des Wortes nur in aufgelisteten Stellen Table of Lexical Semitisms Entries in [ ] mean: Semitic usage of word only in

Διαβάστε περισσότερα

Quick Start Guide Guía de inicio rápido Manual de início rápido Οδηγός γρήγορης έναρξης מדריך להתחלה מהירה

Quick Start Guide Guía de inicio rápido Manual de início rápido Οδηγός γρήγορης έναρξης מדריך להתחלה מהירה Quick Start Guide Guía de inicio rápido Manual de início rápido Οδηγός γρήγορης έναρξης מדריך להתחלה מהירה ע בר י ת/ English/Español/Português/Ελληνικά CUH-ZVR1 7028446 What's in the box? Qué contiene

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου

Διαβάστε περισσότερα

Σωροί. Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ουρές Προτεραιότητας Σωροί υλοποίηση και πράξεις Ο αλγόριθμος ταξινόμησης HeapSort

Σωροί. Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ουρές Προτεραιότητας Σωροί υλοποίηση και πράξεις Ο αλγόριθμος ταξινόμησης HeapSort Σωροί Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ουρές Προτεραιότητας Σωροί υλοποίηση και πράξεις Ο αλγόριθμος ταξινόμησης HeapSort ΕΠΛ 231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 9-1 Ουρά προτεραιότητας

Διαβάστε περισσότερα

Texts for Scriptural Reasoning

Texts for Scriptural Reasoning Texts for Scriptural Reasoning 7. Prayer The Scriptural Reasoning Society 1 Psalm 44 1 1 For the Leader; a Psalm of the sons of Korah. Maschil. 2 O God, we have heard with our ears, our fathers have told

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες. FORTRAN και Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός

Πίνακες. FORTRAN και Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Πίνακες (i) Δομημένη μεταβλητή: αποθηκεύει μια συλλογή από τιμές δεδομένων Πίνακας (array): δομημένη μεταβλητή που αποθηκεύει πολλές τιμές του ίδιου τύπου INTEGER:: pinakas(100)ή INTEGER, DIMENSION(100)::pinakas

Διαβάστε περισσότερα

SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors

SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors - SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors 2 pole 3000 rpm 50Hz Rated current Power Efficiency Rated Ratio Noise Output Frame Speed Weight 3V 400V 415V factor Class 0%Load 75%Load torque

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 7 ο. έντρο. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 7 ο. έντρο. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 7 ο έντρο Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης έντρο Ορισµός Υλοποίηση µε Πίνακα Υλοποίηση µε είκτες υαδικό έντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ (συνέχεια)

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ (συνέχεια) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ (συνέχεια) Πολλαπλασιασμός: μπορούμε καλύτερα; Διαισθητικά, επειδή ο πολλαπλασιασμός φαίνεται να απαιτεί άθροιση περίπου n πολλαπλασίων μιας από τις εισόδους, και δεδομένου ότι κάθε πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I

Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης: Α. SelectoSort Ταξινόμηση με Επιλογή Β. IsertoSort Ταξινόμηση με Εισαγωγή Γ. MergeSort

Διαβάστε περισσότερα

Ορθότητα Χωρική αποδοτικότητα. Βελτιστότητα. Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση. Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1

Ορθότητα Χωρική αποδοτικότητα. Βελτιστότητα. Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση. Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Ανάλυση Αλγορίθμων Θέματα Θέματα: Ορθότητα Χρονική αποδοτικότητα Χωρική αποδοτικότητα Βελτιστότητα Προσεγγίσεις: Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3)

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) 3.1 Ασυμπτωτικός συμβολισμός (Ι) Οι ορισμοί που ακολουθούν μας επιτρέπουν να επιχειρηματολογούμε με ακρίβεια για την ασυμπτωτική συμπεριφορά. Οι f(n) και g(n) συμβολίζουν

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 5. IMPLICITATION

Chapter 5. IMPLICITATION Chapter 5. IMPLICITATION 5.1 Introduction The analysis of LXX Isaiah would be less complicated if we were able to outline a consistent and uniform translation method which was applied by its translator.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 16: Σωροί. Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Ουρές Προτεραιότητας - Ο ΑΤΔ Σωρός, Υλοποίηση και πράξεις

Διάλεξη 16: Σωροί. Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Ουρές Προτεραιότητας - Ο ΑΤΔ Σωρός, Υλοποίηση και πράξεις ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Διάλεξη 16: Σωροί Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Ουρές Προτεραιότητας - Ο ΑΤΔ Σωρός, Υλοποίηση και πράξεις Ουρά Προτεραιότητας Η δομή

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα