logn) = nlog. log(2n

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "logn) = nlog. log(2n"

Transcript

1 תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n) c > 0, c > 0, n > 0 n> n 0 c g( n) f ( n) c g( n) } log( n 0 logn log( n + n) =θ (logn) 0 Ω היאחסםתחתוןלסיבוכיותשלבעיה. θ היאחסםהדוק. g( n) Ω( f ( n)) f ( n) O( g( n)) f ( n) O( g( n)) f ( n) θ ( g( n)) f ( n) Ω( g( n)) + n) log(n ) = logn + = log n+ : log( n!) נוכיחש n) = θ ( n log n n n logn+ log( n ) log log n+ log( n ) log= log( n!) logn = nlog n log בחזקהקבועהכלשהי. ניתןלראותזאתע"ישימוש n+ log n= θ ( n ) n בחזקהקבועהכלשהיתמידיותרגדולמ בכלללופיטל (כש n שואףלאינסוף). =n log (אין השפעה לבסיס) θ (log3 n ) logn = o(log n) n = o( n) logn log logn= o( logn) תכנון דינמי כיצד נזהה שניתן לפתור בעיה באמצעות תכנון דינמי?

2 תתיבעיותחופפות. תתמבנהאופטימלי. הפתרוןהאופטימלישלהבעיהצריךלהיותמורכבמהפתרוןהאופטימלישל הבעיותהקודמות. - - i תרגיל לאורךנהריש n תחנות. בכלתחנה. j = i+,..., n איאפשרלשוטנגדהזרם. מחיריההשכרותנתוניםבמטריצה i =,...,n A nxn כך שהאיבר ניתןלשכורסירה ואפשרלהחזירהבכלתחנה a ij והחזרתהב. j איןתשלוםנוסףעלהחלפות. מצאאתסדרתההחלפותשתאפשרשייטבמחירמינימלימתחנה לתחנה מייצג את מחיר השכרת סירה בתחנה. n תתיהבעיותהכלליות כיצדמגיעיםבצורההאופטימליתלתחנה i. תתיבעיותבסיסיות הבעיותשמתחיליםמהן. סדרהפתרון. פתרוןתתבעיהכללית. פתרוןהשאלהכולה M[i] נסמןאותוב.i אלגוריתם נחפשלכלתחנה i אתהמחירהמינימליהדרושלהגיעמתחנה עד נתחילמתחנה. נסמן 0 = [ ]M ונמשיךלפיסדרהתחנות. פתרוןתתבעיהמסדר i יהיה: M [ i] = min M[ j] + a j i ( ) ji לאחרפתרוןכלתתיהבעיות, פתרוןהשאלהיהיה. M[n].O( n.o(n) לכןסה"כסיבוכיות ) סיבוכיות: יש n תתיבעיות. כלבעיהנפתרתבסיבוכיותלכלהיותרשל. k הוכחהבאינדוקציהעלסדרהפתרון. בדיקה המסלולהאופטימלימתחנה לעצמהיהיהבמחיר 0 (נשאריםבמקום). i. הנחה לכלi M[k], k הואהמחירהמינימלילהגיעמתחנה לתחנה.ii : M[ i] OPT[ i] נוכיחש.iii נסמן OPT[i] - סדרתההחלפותשנותנתמחירמינימלימתחנה לתחנה.i - התחנהשבה OPT[i] לקחאתהסירההאחרונהלפני.i נסמן j. j עדתחנה OPT[i] המסלולשל - OPT j נסמן [i] OPT[ i] = OPT [ i] + a M[ j] + a min M[ r] + a M[ i ( ) ] j ji ji ri = r i הנחתהאינדוקציהעל j DAG גרףמכווןללאמעגלים (גמ"ל) מיוןטופולוגי - בהנתןDAG, מיוןטופולוגיהואסדרעלהקודקודים, כךשאםישקשתמקודקוד i לקודקוד i, j יופיעלפני j במיון.

3 ישכמהאפשרויותסידורשיהיומיוןטופולוגי. אםהגרףהואמלא, איןאפשרותכזו. v u y x v,u,x,y u,v,x,y תרגול תרגיל נתוןעץT. מצאכמהקבוצותבלתיתלויותשלקודקודיםישבT. קבוצהבלתיתלויהשלקודקודיםהיא קבוצהשלקודקודיםכךשלאףאחדמהקודקודיםבקבוצהאין קשרלאחרים. v v v 3 v 4 v 5 v 6 קבוצותשלקודקודיםבודדים: v, v, v, v, v, v { } { } { } { } { } { } זוגותוכו': v, v { }

4 T v.t v נחפשלכלקודקוד v אתמס' תתיהקבוצות הבלתיתלויותבתתהעץשהואמגדיר נתחילמהעלים. בתתעץשלעלהיששתיקבוצותבלתיתלויותשלקודקודים. סדרהפתרוןיכוללהיותכלסדרשמבטיחשבזמןהפתרוןשל v כלתתיהבעיותשמתאימות לקודקודי יהיופתורות. לדוגמא: סדרלפירמות..T v נסמן v] - N[ מספרהקבוצותהבלתיתלויותב מס' הקבוצותשכוללותאת + v מס' הקבוצותשלאכוללותאת v N[ v ] = Π ( ) Π ( ) N[ v] = N[ u] + N[ u] u onof v u grandonof v פתרון הבעיה כולה הוא N[roo]. N[ v ] = N[ v ] N[ v ] + N[ v ] 0 3 N[ v ] = N[ v ] + N[ v ] N[ v ] N[ v ] סיבוכיות: כלקודקודנכנסלחישוב 3 פעמים: בחישובשלו, בחישובשלאבאשלוובחישובשלסבאשלו. לכן הסיבוכיותהיא n).o( הוכחת נכונות: נעשה זאת באמצעות אינדוקציה על סדר הפתרון. בסיסהאינדוקציה: מס' הקבוצותהבלתיתלויותבתתעץשלעלההוא : העלהעצמווהקבוצההריקה.. N[ u] T u הנחה: לכל קודקוד הוא מס' הקבוצותהבלתיתלויותב u T v

5 T v שכוללותאת v ועודמספר T v הואמס' הקבוצותהבלתיתלויותב מס' הקבוצותהבלתיתלויותב הקבוצותשלאכוללותאת. v מס' הקבוצותשלאכוללותאת v שווהלמספרהאפשרויותלאחדקבוצותבלתיתלויותמתתיהעציםשל הבניםולכן שווהלמכפלההקרטזיתשלמס' הקבוצותבכלבן. לפיהנחתהאינדוקציהמס' הקבוצותבכל. N[ u] לכןמס' הקבוצותמסוגזההוא. N[ u] הוא v שהואבןשל u Π u onof v ( ) שאלה נתונות 3 מחרוזות. באורךn. X באורךm. Y באורךn+m. Z תאראלגוריתםהקובעהאם Z הואמיזוגשל X וY. x, x,..., x y, y,..., y n n דוגמא למיזוג: Z = x, x, y, x, x, x, y, y X j Y i z i + j,i נרשום '' אם. בתא j ( m+ ) ( n+ נבנה מטריצה בגודל ( ו היא מיזוג של Y i \ X j 0 0 n m תתיהבעיותיהיוהשורה j) (0, והעמודה i,0) (. נפתוראתתתיהבעיותהבסיסיותע"יהשוואהשל X לZ וY לZ. סדרהפתרוןיהיהלפיסדרהשורות. הפתרוןיהיהבתאהימנימלמטה. ( ) ( ) if Z[ i+ j] = X[ j] and A[ i, j ] = or Z[ i+ j] = X[ i] and A[ i, j] = A[ i, j] = 0 ele תרגול קשתותשקיימותב BFS בגרףלאמכוון קשתותעץ, קשתותחוצות. u v אזי, v u v u הוכחאוהפרך אםישמסלולמכווןמ הסריקה. ל בגרףמכווןG ובDFS מתגלה לפני בעץ צאצא של דוגמא נגדית:

6 u v גרףנקראדוצדדיאםאפשרלחלקאתהקודקודיםשלולשתיקבוצות הקבוצות.,V, V כךשכלהקשתותהןבין תרגיל G= בהינתןגרףלאמכוון E) ( V, מתאימהשלהקודקודים. תאר אלגוריתם הקובע האם הוא דו צדדי ואם כן מוצא חלוקה V נבצעסריקתBFS עלהגרף. אםנגלהקשתחוצהבתוךאותהרמה, אזהגרףהואלאדוצדדי. אחרת הגרףהואדוצדדיוהחלוקההמתאימהתתקבללפיהזוגיותשלהרמות (קודקודיםברמהזוגיתיהיו בקבוצההראשונהוקודקודיםברמהאיזוגיתיהיובקבוצההשניה). כיוון : אינדוקציה: נניחשהגרףדוצדדי. הקודקודיםברמה i הםשכניםשלהקודקודיםברמה i. לפיהנחתהאינדוקציהכלהקודקודיםב.V לכןכלהקודקודיםברמה i חייביםלהיותב i הםבאותהקבוצה. נניחבליהגבלתהכלליותלגבי ולכןלאיכולהלהיותקשתביןשניקודקודיםברמה i. משפט: גרף הואדוצדדיאםורקאםאיןבומעגליםבאורךאיזוגי. כיוון : נניחשאיןקשתות חוצותבאותהרמהב.BFS נבצעחלוקהשלהקודקודיםלפיהזוגיותשלהרמות. לאתתכןקשתביןקודקודאיזוגילאיזוגימשוםשאיןקשתותבאותהרמה (לפיההנחה) ואיןקשתותבין רמותלאסמוכות (לפיתכונותהסריקה). באופןסימטריאיןקשתביןקודקודזוגילזוגיולכןהגרףדוצדדי. סיבוכיות: ) E. O( V + תרגיל נתונה מערכת של m אי שוויונים מהצורה x i < x j משתנים n על השמהמספקתהיאקביעתערךלמשתניםכךשכלאיהשוויוניםמתקיימים. תאראלגוריתםהבודק אםישהשמהמספקתואםכןמוצאכזאת.. x, x,..., xn

7 נבנה גרף מכוון כך שהקודקודים יהיו המשתנים ועבור כל אי שוויון x נבנה קשת מכוונת i < x j. x i x j בגרף שקיבלנו יהיה מעגל אם ורק אם אין השמה מספקת. מ כיווןראשון:. v v... vi נניחשישמעגלבגרף. נסמןאותוב v. vi איןשנימספריםשיכוליםלקייםאתהתנאיםעל לכןלפיבנייתהגרף v < v <... < vi וגם < v, v ולכןאיןהשמהמספקת. vi i j i j כיווןשני: נניחשאיןבגרףמעגלים. כלומרהגרףהוא.DAG לכןניתןלמייןאותוטופולוגית. ניתןערכיםלמשתנים לפיהמיקוםשלהםבמיוןהטופולוגי. יהי x < x אישוויוןמהנתון. אזיישקשת. x x לכן יופיעלפני במיוןולכןיקבלערךקטן x j x i. x j סיבוכיות:. O( m+ בנייתהגרף: (n. O( m+ בדיקתמעגלים: (n. O( m+ מיוןטופולוגי: (n. O( m+ סה"כ: (n תרגול w:. נגדירעוצמהשלקודקוד: V תרגיל יהיהG גרףמכווןעםמשקליםעלהקודקודים R P( u) = max{ w( v) {ישמסלולמכווןמ u ל v מצא את עוצמת כל קודקודי G. v V נניחשהגרףהוא.DAG נמייןאתהגרףטופולוגיתונמצאלכלקודקודאתהעוצמהשלו. נתחילמהקודקודהאחרוןבמיון, כאשרהעוצמהשלותהיהשווהלמשקלשלו. נמשיךמהסוףלהתחלה.. P( u) = max w( u), P( v) e( u, v) עבורקודקוד u נקבע: E ( { }). O( V + E) סיבוכיות: מיוןטופולוגי: E). O( V + מספרהבדיקותבתכנוןהדינמייהיהכמספרהקשתות. לכןסיבוכיותהתכנוןהדינמיתהיה סה"כ: E). O( V + הוכחה באינדוקציה על סדר הפתרון: בסיס: עבורהקודקודהאחרון.

8 לאיוצאתממנואףקשת. לכןהקודקודהיחידשניתןלהגיעאליוהואהקודקודעצמוולכןהעוצמהשלו היאהמשקלשלו.. ( { }). P( v) = max w( v), P( z) e( v, z) E v u הנחה: שאחרי לכל קודקוד היא במיון, העוצמהשל v z אם v הואהקודקודהכבדביותרשניתןלהגיעאליומ מסלולמ u ל. v לכן ) v. P( v) w( אם נניח בשלילה ש א. v = v אז, v, P v אזיששתיאפשרויות: ( ) > w( v ). w v סתירה. ( ) > w( v ) ב. קיים u, שכןשל כך ש P u ( ) > w( v ) כךש, v אושקיים u שכןשל v וקיים ואז לפי הנחת האינדוקציה קיים מסלול מ u לקודקוד w z ואז קיים מסלול גם מ ) v > w( ) ( v ל. z סתירה. אםהגרףמכילמעגלים נבנהגרף G המתקבלמG ע"יכיווץהרכיביםהקשיריםהיטבלקודקודים. משקלכל קודקודכזהיהיהמשקלהקודקודהמקסימליברכיב. עלהגרףשקיבלנו G (שהואDAG ) נריץאתהאלגוריתםהקודם. עוצמתכלקודקודבG תהיההעוצמהשלהקודקודהמתאיםלוב G. לדוגמא: סיבוכיות: E). O( V + v v, u G וקיים מסלול מ ל u.

9 לכןאםניקחאתאותומסלולב לקודקודהמתאיםל u ב G. אםישמסלולמקודקוד v לקודקוד ל u. כלקודקודבמסלולב לכןנקבלמסלולבG. G, חלקמהקשתותבויתכווצוונקבלמסלולמהקודקודהמתאיםל v v, u,g קודקודיםבG כךש u ב מתאים ל v u מתאים, v G ניתןלפתיחהלמסלולב G, כיווןשהקודקודמייצגרכיבקשירהיטב.. תרגיל יהיG גרףלאמכווןו קודקודבG. מצאאתהמעגלהפשוטהקצרביותרהמכילאת פתרון: נזכורעבורכלקודקודבאיזהתתעץהואובאיזורמההואנמצא. נעבורעלכלהקשתותבגרף. אםיש קשתחוצההסוגרתמעגלביןשניתתיעציםשונים, אזהיאשייכתלמעגל. 3 הערה: המעגליםשנמצאלאיהיוכלהמעגליםהמכיליםאת, אךהמעגלהמינימלייהיהאחדמאלה. זאתמשוםשיכוללהיותמעגלשישבוכמהקשתותחוצות. מעגלמסוגזהלאיהיהלעולםמינימלי. תרגול (המשך התרגיל מהשבוע שעבר) 3

10 המעגלהמינימליהואהסכוםהקטןביותרשלשתיהרמותשלתתיהעציםושלהקשתהחוצה. נריץBFS מ ונזכורלכלקודקודאתהרמהשלובסריקהואתהקודקודהשניבמסלולמ אליובסריקה (השורששלתתעץשהואבןשל ). נעבורעלכלהקשתותהחוצותהמחברותקודקודיםמתתיעצים שונים. לכלקשתכזוגודלהמעגלשהיאסוגרתיהיה סכוםהרמותשלהקודקודיםשלהועודאחד. נמצא אתהקשתהנותנתסכוםמינימלי. המעגלשקיבלנומורכבמהקשת (,v, )e,u ממסלולמ לu וממסלולמ לv. בגללשv,u נמצאים בתתיעציםשוניםשלבניםשל, המסלוליםהנ"לזריםולכןהמעגלפשוטומכילאת. ניקחמעגלפשוטכלשהוהמכילאת. המעגלמכיללפחותקשתאחתחוצהביןשניתתיעציםשונים. נסמןקשתזוכ v). e( u, המעגלמורכבממסלולמ לu, מסלולמ לv (המסלוליםזרים) והקשת (v. )e,u מכיווןשBFS מוצא אתהמסלוליםהקצריםביותר, המעגלהמתקבלמהמסלוליםבעץמ לu ומ לv עםהקשת (v )e,u הוא באורךקטןאושווהלמעגלשבחרנווהואפשוטומכילאת. לכןהמעגלהמינימליהפשוטהמכילאת מכילבדיוקקשתאחתחוצה..O( E) O() סיבוכיות:. O( V + E) :BFS בדיקה: מעברעלכלהקשתות, כלקשתב סה"כ: E). O( V + פעולות.. A, B גרףמכווןעםשתיתתיקבוצותשלקודקודים G= יהיה E) ( V, נגידכיA ניתנתלהפרדהמB אםאפשרלחלקאתקודקודיהגרףלשתיקבוצות V, V V ל ישאותוכיוון. V B ולכלהקשתותבין V, A כךש V ( V UV = V, V IV = ) בהנתןגרףוקבוצותכנ"לקבעהאם A ניתנתלהפרדהמ B. A B,a ונבדוקהאםקיימיםמסלוליםמ a לb ומb לa (למשלע"י b לקודקודים A, נכווץאתהקבוצות B.(BFS אםקיימיםשניהמסלולים, אזאיןחלוקהכזו. אחרתישחלוקה.

11 V נניחשיששנימסלולים: מסלולמa לb ומסלולמb לa. כלחלוקההמפרידהבין a לb חותכתאתשני המסלוליםולכןמכילהקשתותבכיווניםמנוגדים. לכןאיןחלוקה. a b V נניחשאיןאתשני המסלוליםונניחבליהגבלתהכלליותשאיןמסלולמB לA. V נסמןב אתכלהקודקודיםהניתניםלהגעהמ B. מכיווןשאיןמסלולמB לA, אז קודקודיםמA. A V B V נניחשישקשת v) ( u, כךש סיבוכיות: שתי סריקותBFS : לא כולל, v V u V אזיישמסלולמB לu ולכןישמסלולמB לv. סתירה. V. O( V + E) =G. תאראלגוריתםהמוצאקבוצתקודקודים U בעלתגודלקטןביותר, כך נתוןגרףמכוון E) ( V, לv. עבורוישמסלולמכווןמu u U קיים v ( V U שלכל ) אםהגרףהוא,DAG נבחראתהקבוצה U ע"יבחירתכלהקודקודיםבעלידרגתכניסה 0 (קודקודים שאיןאליהםאףקשת). אחרתנכווץרכיביםקשיריםהיטבעבורכלקודקודבעלדרגתכניסה 0 בגרף המכווץ. אםהואקודקודיחידבגרףהמקורי, נוסיףאותול U. אםהואמייצגרכיבקשירות, נבחרקודקוד אחדבאופן שרירותימהרכיב. תרגול (המשךהאלגוריתםמהתרגולהקודם) עבורגרףחסרמעגלים, אם u קודקודבעלדרגתכניסה 0, u חייבלהיותבקבוצה u (כיאיןמסלול מקודקודאחראליו). לכןכלהקודקודיםבעלידרגתכניסה 0 חייביםלהיותבקבוצה. אם u קודקודעםדרגתכניסהגדולהמ 0, קייםקודקוד כךשקיימתקשת u). e( u, u בעלדרגתכניסה 0, סיימנו. אחרתקיים אם דרגתכניסה 0, מכיווןשהגרףחסרמעגלים. u u וכךהלאה. התהליךיעצררקכשנגיעלקודקודעם אםהגרףמכילמעגלים, u קודקודבעלדרגה 0 בגרףהחדשו u קודקודברכיבש u מייצג. מכלמסלולמ u לקודקודאחר v בגרףהחדשאפשרלבנותמסלולמ u ל v בגרףהמקורי. לכן הקבוצהשבחרנוחוקית. תהי U קבוצהחוקית. לרכיב u בגרףהחדשישדרגתכניסה 0. לכןעבורקודקודבתוךהרכיבאפשר להגיעאליורקמהקודקודיםהאחריםברכיב. משוםכך U מכילהלפחותקודקודאחדמהרכיבבעל דרגה 0 ולכןהקבוצהשבחרנומינימלית.

12 מסלוליםקליםביותר =G עםמשקליםאישלילייםעלהקשתותונתוניםקודקודים נתוןגרף E) ( V, אנומחפשיםאתהמשקל הקלביותר (סכוםהקשתותבמסלול) מ ל.., האלגוריתםשלדייקסטרה נגדיר 3 סוגיםשלקודקודים:. קודקודיםשמצאנועבורםאתהמרחקהקצרביותרמ. קודקודיםשמצאנולהםמרחקזמנימ (מועמדים)..3 קודקודיםשעדייןלאמצאנועבורםאתהמסלולמ. (קודקודים פתורים). מתחיליםבקודקוד כמועמדעםמרחקזמני 0. שלבב': איטרציה מוצאיםאתהקודקוד v בעלהמרחקהזמניהקטןביותרמביןהמועמדים, הופכיםאת המרחקהזמנילקבוע (מעביריםאת v לפתורים). עבורכל u שכןשל v נעדכןאתהמרחקהזמני u). M[ u] = min M[ u], M[ v] + w( v, ( ) תתהבעיההכלליתהיאמציאתהמרחקהמינימלי מ דינמי. לכלקודקוד. נמצאאתהפתרוןבאמצעותתכנון v 8 v v v סיבוכיות: עלמבנההנתוניםלבצעאתהפעולותהבאות: - הוצאתמינימום. - עדכון. - הכנסה. בשימושבערימההסיבוכיותהכלליתהיא ) V.O( E log האלגוריתםשלדייקסטרהלאיעבודאםישנןקשתותשליליות. אםישנומספרקבועשלקשתות שליליות, אנויכוליםלמצואאלגוריתםאחרשיפתוראתהבעיהבאותהסיבוכיות. תרגיל: G= גרףמכווןעםמשקליםאישלילייםעלהקשתות, פרטלקשתאחת v) e( u, בעלת יהי E) ( V, משקלשליליונתוןקודקוד. מצאאתהמרחקמ ליתרהקודקודיםבגרף. נניחשאיןמעגליםבעלי משקלשלילי.

13 u -5 v 0 e נורידאתהקשת e ונמצאאתהמרחקמ לכלהקודקודיםבמסלוליםשלאמשתמשיםב דייקסטרהמ. נסמןב d אתהמרחקים. נמצאאתהמרחקמ v לכליתרהקודקודיםע"ידייקסטרהמ. v לכלקודקוד x נחשבאתהמרחק: x). d ( x) = min d ( x), d ( u) + w( e) + d ( ע"י ( ) v תרגול סיבוכיות: O( E log V ) ברורשהמסלולשמצאנוהואמסלולחוקי. אפשרלהניחשהמסלולהקלביותרמ לקודקודכלשהו x הואפשוט. יהיP המסלולהקלביותרמ ל x (אנומניחיםכי P הואמסלולפשוט הואלאיכוללהיותמעגל משוםשמשקלוהואאישלילי). אםP לאעוברדרך, e אזP קייםגםבגרףללאהקשתהשליליתולכן w( p) d מכיווןשדייקסטרה u (מסלולפשוטלא ( ). w( p) d ( x) min d ( x), d ( u) + w( e) + d ( x) v P מוצאאתהמסלולהמינימלי. לכן e, P= P כךש ל מסלול מ אםP עוברדרךהקשתהשלילית, אז P דרך.( e. x ל v מ e מסלולפשוטלאדרך P מנכונותדייקסטרהנקבל: w( P ) d ( u) w P d x ( ) v ( ) לכן min(...). w( P) d ( u) + w( e) + d ( x) אםישנומספרקבועשלקשתותשליליות, אנויכוליםלהפעילאלגוריתםהדומהלאלגוריתםהזה. אםאין לנומספרקבועשלקשתותשליליות, לאנוכללהשתמשבו. v יהיG גרףמכווןעםמשקליםאישלילייםעלהקשתות. קודקודבG. כלקשתבG צבועהבצבע כחולאואדום. מסלולמתחלףבגרףהואמסלולשאיןבושתיקשתותרצופותבאותוצבע.

14 מצאאתהמסלולהמתחלףהקלביותרמ ל ניתןלכלצומתשניערכים: משקלאדוםומשקלכחול, לפיצבעהקשתהאחרונהשהגיעהאליו. נריץ דייקסטרה. לאחרמכןנבחרעבורכלקודקודאתהמינימלימביןשניהערכים. B R :( vb המסלולהמתחלף לכלקודקודנחפששניערכים (מתייחסיםלקודקוד v כאלשניקודקודים, vr הקלביותרמ אליוהמסתייםבקשתאדומהוהמסלולהמסתייםבקשתכחולה. האתחוליהיההכנסת אדוםו כחוללמועמדים עםמשקלזמני 0. בשלב האיטרציהמוציאיםאתהמועמדהמינימליללאחשיבותלצבע, הופכיםאתהערךשלולסופיבצבע המתאיםומסתכליםרקעלהשכניםשלובצבעהנגדי. בסיוםהאלגוריתםבוחריםאתהמינימלימבין., סיבוכיות: מריציםדייקסטרהעל n קודקודים. בכלשלבנוספתבדיקהאחת (צבעשלקשת). לכןהסיבוכיותהיא ) V.O( E log הוכחה באינדוקציה על סדר הפתרון: 4 בסיס: המסלול המתחלף הקל ביותר מ לעצמוהואבמשקל.0 הנחת האינדוקציה: כל הקודקודים שנפתרו לפני =x ( נפתרונכון (הערךשלהםהואערךהמסלולהמתחלףהקל B, R ) v x ביותרהמסתייםבצבעהמתאים - M ( ) R u או.( M ( ) B u. v R נוכיחעבור, OPT המסלולהמתחלףהקלביותרמ ל v המסתייםבקשתאדומה. R יהי ) v (. OPT ( v R נסמן : u הקודקודהאחרוןבמסלוללפני v במסלול ). OPT R ( v) = OPT R ( v) u er לכן v) ( u, לפיהנחתהאינדוקציה: v) M [ u] OPT ( (בעצםהואשווה, אךמספיקההמסקנההזאת) ( ) B R u OPT ( v) M [ u] + w( e ) min M [ x] + w( e ( x, v)) = M ( v) R B R B R R x er ( x, v) E תרגול

15 נתוןגרףמכווןעםקיבוליםאישלילייםעלהקשתות. קיבולתשלמסלולמוגדרתכקיבולתהקשת המינימליתבמסלול. בהנתןקודקוד מצאעבורכלקודקוד v אתהקיבולתהמקסימליתשלמסלולמ ל. v האלגוריתםיפעלבדומהלדייקסטרה, פרטלשינוייםהבאים: אתחול נאתחלאתכלהקודקודיםבקיבולזמני 0 ונכניסאת למועמדיםעםקיבולזמני. שלב נוציאאתהמועמדבעלהקיבולהזמניהגדולביותר (נחזיקערימתמקסימום), נהפוךאותולפתור ונעדכןאתהשכניםשלו. אם u מעדכןאת, v אז v)) c( v) = max c( v),min c( u), w( e( u, { { }}.( d( v) = min { d( v), d( u) + w( e( u, v)), v אז } u e( u, v) E (בדייקסטרה אם u מעדכןאת { { c u w e u v }} c( v) = max min ( ), ( (, )) סיבוכיות: השינוימדייקסטרההואערימת מקסימוםבמקוםמינימוםוחישובשונהבכלעדכון. לכןהסיבוכיותהיא.O( E log V ) הוכחה באינדוקציה:. בסיס: המסלול הריק מ לעצמו הוא בקיבול.u c( u), v u הנחה: עבור כל קודקוד שנפתר לפני ל הוא הקיבולת המקסימלית של מסלול מ v אתהקודקודהאחרוןלפני u נסמןב. v ל המסלולבעלהקיבולתהמקסימליתמ, OPT v נסמן. e( u, v) בליהקשתהאחרונה OPT v OPT אתהמסלול v u. OPT v נסמןב במסלול. OPTv = min( OPT v u, w( e( u, v)) ) ( ) { } { ( )} x e( x, v) E לפי ההגדרה OPT = min OPT, w( e( u, v)) min c( u), w( e( u, v)) max min c( x), w( e( x, v)) = c( v) v v u הנחת האינדוקציה על מקסימום על קבוצה גדול u או שווה לכל איבר בה

16 ,. קשת e תקרא נתוןגרףמכוון G עםמשקליםאישלילייםעלהקשתות. נתוניםשניקודקודים מיותרתאםהיאלאשייכתלאףמסלולקלביותרמ ל. תאראלגוריתםהמוצאאתכלהקשתות המיותרותבG. ל. d נריץדייקסטרהמ ונקבללכלקודקוד u אתהמרחקמ ל.u נסמן u) ( נהפוךאתהגרףונריץדייקסטרהמ בגרףההפוך. נקבללכלקודקוד u אתהמרחקהקלביותרמ. d ( u) בגרףההפוך. נסמן u נעבורעלכלהקשתותבגרף. קשת (v )e,u המקיימתאתהשוויון ) d ( u) + w( e( u, v)) + d ( v) = d ( היאקשתלאמיותרת. כלהשארמיותרות. סיבוכיות: פעמייםדייקסטרה ) V.O( E log.o( E ) הפיכת הגרף ) E.O( חישוב קבוע לכל קשת סה"כ: ) V.O( E log.u d ( u) מנכונות דייקסטרה נובע כי ל הוא המרחק הקל ביותר מ הואהמרחקהקלביותרמ ל v בגרףההפוךולכןהואגםהמרחקהקלביותרבגרףהמקורימ. d ( u) + w( e) + d ( v) > d ( ) v) e( u, מיותרתאםורקאם d ( v). ל v נוכיחש e d ( u) כיווןראשון: נניחש ). d ( u) + w( e) + d ( v) = d ( לכןאםנבנהאתהמסלולהמתאיםל בשרשור עם, נקבלמסלולמ ל העוברדרך e ומשקלומינימלי. לכן e d ובשרשורעםהמסלולהמתאיםל v) ( לאמיותרת. ל העוברדרך e ומקיים ). w( P) = d ( הואמסלולמ v ל. P u ו P כיווןשני: נניחש e לאמיותרת. לכןקייםמסלול בנוי בצורה מ ל הוא מסלול מ P P e, כךש P P P משום ש הוא תת מסלול של מסלול קל ביותר מ ל, נקבל u) w( P ) = d ( ובכיווןההפוךלגבי נקבל v). w( P ) = d ( לכן v). d ( ) = w( P) = w( P ) + w( e) + w( P ) = d ( u) + w( e) + d ( P תרגול תרגיל נתוןגרףלאמכווןG עםמשקליםאישלילייםעלהקשתות. המכילאת. קודקודבG. מצאאתהמעגלהקלביותר

17 נריץדייקסטרה. נבנהעץמהקשתותביןהצמתיםלאבותשבונהדייקסטרה. בדומהלאלגוריתםהדומהבו השתמשנובBFS, הקשתהחוצהשביחדעםערכישניצמתיםבעלימסלולכלשהול, נותנתמסלול מינימלי, היאזושבונהאתהמעגלהקלביותר. הוכחאוהפרך בכלגרףלאמכווןG קייםקודקוד כך שעץ המסלולים הקלים ביותר מ הוא עץ פורש מינימלי. דוגמא נגדית: 3 3 דייקסטרה 3 עץ פורש מינימלי =G גרף. יהי E) ( V, חתךבגרףהואחלוקהשלהקודקודיםלשתיקבוצות:.V.V, V V V = V V = V V וקודקודשנינמצאב קשתבחתךהיאקשתשקודקודאחדשלהנמצאב קשתטובה קשתשהיאמינימליתבחתךמסויים.

18 קשתרעה קשתשהיאמקסימליתבמעגלמסויים. הוכח: =G גרףלאמכווןעםמשקליםאישלילייםעלהקשתות, כךשכלהמשקליםשונים, אזי אם E) ( V, קשת e לאיכולהלהיותגםטובוגםרעה. אנומניחיםשהגרףקשיר. e אם e קשתרעה, אזקייםמעגלש e היאהמקסימליתבו. לכןכלחתךהמכילאת לפחותבעודמקוםאחד. לכן e לאמינימליתבחתך. הוכח: באותם תנאים כל קשת היא טובה או רעה. חותך את המעגל עץ פורש מינימלי הסבר: ניקחעץפורשמינימלי. עבורכלקשתבעץניתןלהגדירחתך. קשתזותהיהבהכרחטובה. כל קשתאחרתבחתךסוגרתמעגלבונמצאתהקשתהטובה. הקשתהסוגרתאתהמעגלהיאהגדלהביותר בעץולכןהיאקשתרעה. =G עםמשקליםאישלילייםעלהקשתות. נתוןשכלהמשקליםשונים. נתוןגרףלאמכוון E) ( V, בהנתןקשתמסויימת v) e( u, קבעהאםהיאטובהאורעה. נמחקאת e ואתכלהקשתותשמשקלןגדולמ e מהגרף. נריץBFS מ u ונבדוקהאםבגרףהחדשיש מסלולל e. v היאקשתרעהאםורקאםישמסלולמ u ל v בגרףהחדש.

19 e לכן. e נניחשישמסלולבגרףהחדשמ u ל. v המסלולהנ"לסוגר מעגלעם. e e היאמקסימליתבמעגלכיווןשכלשארהקשתותקיימותבגרףהחדשולכןקטנותמ רעה. קשת ל מהמעגל, נקבלמסלולמ u e נניחש e קשתרעה. לכןקייםמעגלשהיאמקסימליתבו. אםנמחקאת v שכלהקשתותבוקטנותמ e ולכןהמסלולקייםגםבגרףהחדש. סיבוכיות: בניית הגרף החדש.O( E ). O( V + E ) BFS סה"כ: ) E. O( V + =G עםמשקליםאישלילייםונתון T עץפורשמינימלישל G. מוסיפיםלגרףקשת נתוןגרף E) ( V, חדשה. e מצאאתהעץהפורשהמינימלישלהגרףהחדש. נוסיףאת e לעץהפורשהמינימליונזרוקאתהקשתהמקסימליתבמעגלשנוצר. נניחשכלהמשקליםשונים. הקשתותבגרףהמקורי, פרטלקשתותT היורעות, כלומרהיהמעגלכךשהן מקסימליותבו. המעגליםהנ"ללאמשתניםעםהוספתקשתחדשה. לכןהקשתותנשארותרעות. הקשתהמקסימליתבמעגלשנסגרהיאקשתרעה. לכןזרקנואתכלהקשתותפרטלn קשתות ומשוםכךקיבלנועץפורשמינימלי. תרגול מציאתהשמהמספקתל SAT (לאחרשמצאנושישפתרון) נכווץרכיביקשירותונבצעמיוןטופולוגי. אנויודעיםשאףמשתנהלאנמצאבאותורכיבקשירותכמו שלילתו, כלומראיןמעגלהמכילמשתנהושלילתו.. x = i,( x i x i x i x i שלביה - הנחה: איןמעגלהמכילמשתנהושלילתו. - נכווץרכיביקשירותונעשהמיוןטופולוגי. - אם מופיעלפני במיוןהטופולוגי, = 0 x. אחרת (אם מופיע אחרי i i j נוכיחשהביטוי ) x ( x הואבעלהערך. קיימותהקשתותהבאותבגרף: x i x j נניחבשלילהשההשמהשבנינואינהמספקת, כלומרש = 0 x ו 0 = x. נגדיר:. x ו j x - המקוםשל i N( x) j i הצומתבמיוןהטופולוגי. אנויודעיםש ) x. N( x ) < N( x ), N( x ) < N( x ), N( x ) < N( x ), N( x ) < N( j i j j i i i j קיבלנוש ) x N( x ) < N( x ) N( x ) < N( x ) N( וזאתסתירה. לכןההשמההיאמספקת. i i j j i שאלה

20 צריךלמצואעץבעלמשקלמינימליעלn. G= נתוןגרףלאמכווןוממושקל E) ( V, קודקודים. נתוןהאלגוריתםהבא: - מצאעץפורשמינימלישלG. - מצאאתהעלהשהסרתוגורמתלהקטנתהמשקלשלהעץבאופןמקסימלי. - החזראתהעץ, פרטלעלההנ"ל. הוכחאוהפרךאתהאלגוריתם. דוגמאנגדית: האלגוריתםיתןלנועץעםמשקל 49 (ימחקאתהקשתבעלתהמשקל 6 ). העץהפורשהקטןביותרשל n צמתיםהואבמשקל.45 - שאלה נתוןגרףלאמכווןעםקיבולחיוביעלהקשתות. קיבולשלמסלולהואהקיבולהמינימלישלקשת במסלול. - יהיT העץהפורשהמקסימלישלהגרף. הוכחשהקיבולשלהמסלולהיחידבעץביןשני. v ל u שווהלקיבולהמקסימלישלמסלולמ u, קודקודים v תהי e הקשתהמינימליתבמסלולבין u ל v בעץ. נניחשישמסלולבגרףבין u ל v שהקיבולתשלוגדולהמהמסלולבעץ. לכןכלאחתמהקשתות במסלולהנ"לגדולהממשמ. e e מגדירהחתךבגרףהמפרידבין u ל. v לכןכלמסלולבין u ל v עוברבחתךהנ"ללפחותפעם אחת. משוםכךהמסלולבעלהקיבולהגדולביותרבין u ל v מכיללפחותקשתאחתבחתךהנ"לולכן e אינהמקסימליתבחתךשהיאמגדירה. זאתבסתירהלכךש e נמצאתבעץפורשמקסימום. מצא בזמן בגרף. ( log + ) O E V V אתהקיבולהמקסימלישלמסלולעבורכלזוגקודקודים

21 נמצאעץפורשמקסימום. מכלקודקוד v בעץנריץסריקה (למשלBFS ) ונחשבאתהקיבולמ v u (נניח u קרוביותרל,( v נסמן קודקודיהגרף. כאשרמגליםבסריקהקשת x. M[ v, x] = min M[ v, u], w ( u, x) ליתר ( ( )) תכונותשלעציםפורשיםמינימלים: האלגוריתםשלעץפורשמינימלייעבודגםעלקשתותשליליות. אםמעליםאתכלהקשתותבסכום מסויים, קשתשהיתהמינימליתבחתךתישארמינימליתבחתך. דרךנוספת לראותזאתהיאדרךמשקל העץ. אםאנומעליםאתכלהקשתותבסכוםקבוע, עץשהיהמינימלילפניכןישארעץפורשמינימלי. תרגול.6.04 רשתותזרימה, ופונקצייתקיבולאישליליתעל רשתזרימה ) ( N,, היאגרףמכווןעםקודקודים הקשתות e). c( זרימהברשתהיאפונקציהעלהקשתות e) f ( כךשהזרימהבכלקשתהיאבין 0 לקיבולהקשת, ( סכוםהזרימההנכנסתשווהלסכוםהזרימההיוצאת. ולכלקודקוד (פרטל זרימהמקסימליתהיאזרימהחוקיתכךשסכוםהזרימההיוצאתמ הואמקסימלי. ערךהזרימה סכוםהזרימההיוצאתמ. חתךברשת חלוקהשלהקודקודיםלשתיקבוצות, כךשקבוצהאחתמכילהאת והשניהאת. c( e) קיבולתשלחתך - e( u, v) u V v V f ( e) f ( e) זרימהבחתך - e( u, v) e( u, v) u V u V v V v V טענה בזרימה חוקית הזרימה בכל חתך שווה. משפט min ca= max flow החתךעםהקיבולהמינימליברשתשווהלערךהזרימההמקסימלית.

22 55 v v v 3 30 v 4 c= f = 7 FF מתחיליםעםזרימה 0. בכלשלבמחפשיםמסלולמשפרזרימהומזרימיםבוככלשניתן. כאשראיןיותרמסלוליםמשפרים, עוצרים. מסלולמשפר מסלוללאמכווןמ ל, כךשכלקשתקדימהלארוויהוכלקשתאחורהלא ריקה. פוטנציאלשיפורשלמסלול מינימוםפוטנציאלהשיפורשלהקשתותבו. פוטנציאלשיפורשלקשתבמסלול: קשתקדימה e) c( e) f ( קשתאחורה e) f ( סיבוכיותהאלגוריתםתלויהבערךהזרימה. לכןהסיבוכיותהיא ) F. O( E 55 5 v v 05 הגרף לאחר שיפור אחד: v 3 30 v 4

23 EC האלגוריתםפועלכמו FF עםהבדלאחד: המסלולהמשפרשנבחריהיההקצרביותרהאפשרי. V סיבוכיות: ) V. O( E טענה באלגוריתםהנ"למשתמשיםבכלקשתלכלהיותר הדגמתהרצתFF : מתחיליםעםזרימה 0: פעמים. 05 v v v 3 00 v v v3 v4 (המסלולהמשפרהראשוןיכוללהיותרק המסלולהמשפרהראשון: עםקשתותקדימה, משוםשבקשתותאחורההזרימההיא 0). פוטנציאלשיפור 3. v v v v 3 v v v פוטנציאלשיפור 3. 3

24 35 v v v v v v3 v4 המסלולשבחרנובהתחלהנהפךשובלמסלולמשפר, משוםשהגרף השתנה. פוטנציאלהשיפורהוא 3. v 4 65 v v v 3 v v v פוטנציאלשיפור v v v 3 60 v 4. v v פוטנציאלשיפור 3

25 95 v v v 3 v v v v v פוטנציאלשיפור v v v 3 70 וזוהי הזרימה המקסימלית. v 4 טענה החתך הוא מינימלי אם ורק אם עבור כל זרימה מקסימלית כל הקשתות קדימה יהיו רוויות וכל הקשתות אחורה ריקות. תרגיל נתונהרשתזרימהוזרימהמקסימליתבה. מצאחתךמינימלי. נסרוקמ ונתקדםרקעלקשתותקדימהלארוויותאואחורהלאריקות. כאשרלאנוכללהתקדםעוד נקבלחתךמינימלי. סיבוכיות:.BFS תרגיל בהנתןרשתזרימהוזרימהמקסימלית, מצאאלגוריתםהבודקהאםישנוחתךמינימלייחיד.

26 נשתמשבאלגוריתםהקודם. לאחרמכןנתחילמ ונלךהפוך. נתקדםכלפעםשישקשתאחורהלא רוויה. נתקדםעדשנקבלחתךמינימלי. אםזהואותוחתךשמצאנו, הואיחיד. אםלא, הואלאיחיד. כיוון : אםמצאנועודחתך, סימןשהואלאיחיד. כיוון : צריךלהוכיחשאםמצאנובשתיהסריקותאתאותוהחתך, זהוהחתךהיחיד. החתךהראשוןשמצאנובסריקההראשונההואהחתךהמינימליהקרובביותר ל. כלחתךמינימליאחר. V V בגרףבהכרחיכילאתהקבוצההמכילהאת. הוכחנושהחתךהואהכיקרובל. אםאנומפעיליםאתהאלגוריתםמהכיווןהשני, הואהכיקרובל. אםזהואותוחתך, אזזהוהחתךהיחיד. תרגול ומ חתךשנמצאע"יהרצתהאלגוריתםמ - ( V, V ) עבור כל חתך מינימלי ( V, V מתקיים ). V V V ו V V V = V = V e תאראלגוריתםהקובעהאם. e( u, v) תרגיל נתונהרשתזרימהוזרימהמקסימליתבה. כמוכןנתונהקשת שייכתלאחד (אויותר) מהחתכיםהמינימלייםברשת. טענה: קשת e שייכתלחתךמינימליאםורקאם כלהקטנהשלהקיבולתשלהמקטינהאתערךהזרימה המקסימליתברשת. נמצאמסלולעםזרימהחיוביתמ ל העוברדרך. e נקטיןאתהזרימהבמסלולב ε ונקטיןאת יכולתהקיבולשל e ב ε. נחפשמסלולמשפרזרימהמ ל e. שייכתלחתךמינימליאםורקאם איןמסלולכזה. נניחש e שייכתלחתךמינימלי M. הקטנהשלהקיבולתשל e ב ε מקטינהאתהקיבולשל M ב ε. לכןקיבלנוחתךבקיבולתקטנהמהמינימלי בגרףהמקוריולכןהזרימההמקסימליתקטנהיותר. נניחש e לאשייכתלאףחתךמינימלי. נסמן: M החתךהמינימלי, M החתךהקטןביותרהמכילאת M M. e מההנחהנובעש. M > M לכןאםנקטיןאתהקיבולשל e ב, החתכיםהיחידים M M שיפגעוהםהחתכיםהמכיליםאת e וקיבולםיהיהגדולאושווהל M. M < לכןהזרימה המקסימליתאינהמשתנה. שימושים של זרימה

27 שידוך בגרף דו צדדי שידוך הוא תת קבוצה של קשתות שאין לאף שתים מהן קודקוד משותף. גודלהשידוךהואמספרהקשתות (מספרהזוגותהמשודכים). שידוךמקסימליהואשידוךחוקיעםמספר מקסימלישלקשתות. מציאתהשידוךהמקסימלינעשיתע"יהוספתכיווןלקשתותמהקבוצההראשונהאלהקבוצההשניה. נוסיףקודקוד וקודקוד. נמתחקשתותמכוונותמ אלכלאחדמהקודקודיםבקבוצההראשונה. נמתחקשתותמהקבוצההשניהל. נגדירשלכלהקשתותישקיבול. הקיבולהמקסימלייהיהכל הקשתותשלהגרףהדוצדדישזורםבהןמשהו. כלקשתרוויהבגרףהדוצדדיהיאקשתבשידוך. הסבר: ישרקקשתאחתמ לכלקודקודבקבוצההראשונה. לכןאםהזרימההיא, תוכללהיותממנורק קשתאחתביןשתיהקבוצותבהישזרימה (אלגוריתם FF יתןערךשלםשלזרימהעבורקיבולתשלמה שלקשתות). סיבוכיות: לפיFF הסיבוכיותתהיה. O( E V ) ניתןלהראותהתאמהביןזרימהלשידוך. אםניתנתזרימה, ניתןלבנותשידוךחוקיבאותוגודל. אםניתן שידוך, ניתןלבנותממנוזרימה. אםאנולוקחיםזרימהמקסימלית, ניתןלהתאיםלהשידוך. השידוךהוא מקסימלי, משוםשאםהואהיהיותרגדולהיהניתןלבנותממנוזרימהגדולהיותרמהזרימההמקסימלית. תרגיל

28 ,...,m}.{ צריך y,..., yn,..., S. הקבוצותאינןבהכרחזרות. כולןמוכלותבקבוצה נתונות n קבוצות Sn,..., x ו למצוא (אולהגידשאין) מערכתכפולהשלנציגים, כלומרמספרים xn,...,,..., y שונים. yn ו x xn וכלהמספרים xi, yi Si כך ש קבוצות מספרים M m קשתותלפי שייכותבקיבול S M S n אם הזרימה המקסימלית שווה ל, n ישנציגיםכאלה. אםהיאקטנהמ, n איןנציגיםכאלה.. V = m סיבוכיות: הסיבוכיותהיאשל.FF נתרגםאת n<. לכן m לנתוניהשאלה. אנויודעיםש O( E V ) = E S i תרגול (סכום גודל הקבוצות). A V V משפטהול (משפטהחתונה) =G גרףדוצדדי. בG יששידוךהמכסהאת יהי ) V ( V, V, מתקיים אם ורק אם לכל. 3 N( A) - קבוצתהשכנים. A N( A),V אזלכלקודקודהשייךל נוכיחשאםיששידוךהמכסהאת לפחותבגודלשלהקבוצה. משוםכךלכל A A V מתקיים. ישבןזוג. לכןמספרהשכניםהוא N( A) A V מספרהשכניםשלהגדולאושווהמגודלה. נניחשהתנאימתקיים, כלומרלכלתתקבוצהשל,V נוכיחאת נוכיחאתהטענהבעזרתרשתזרימה. אםנראהשברשתהזרימהשיצרנוישזרימהבגודל הטענה.

29 V V נבנה רשת זרימה ונוכיח שיש בה זרימה בגודל נראה שהחתך המינימלי הוא בגודל. V V. V בקיבולתגדולהאושווהל חתךכלליבגרףיראהבצורההבאה ולכן הזרימה ברשת היא בגודל V וקודקודים מ (, קודקודיםמ :(V. V נראהשכלחתךהוא V V N( A) A V עלינולהראותשישבחתךלפחות שלA. V A+ N( A) V קשתות. אנויודעיםשמספרהשכניםשל A גדולאושווהמהגודל k הוכחשבגרףיש.( k תרגיל נתוןגרףדוצדדי k רגולרי (דרגתושלכלקודקודהיאבדיוק מושלמיםזרים (איןאףזוגדומהבאףאחדמהשידוכים). שידוכים הוכחהבאינדוקציה: בסיס: = k. גרף רגולריהואשידוךמושלם. הנחה: עבורגרף k רגולרי, בגרףיש k שידוכים מושלמים זרים. k אםנוכיח שבגרף k רגולרייששידוךמושלם, אזאפשרלמחוקשידוךזהמהגרףולקבלגרףk רגולרי. בגרףהזהישלפיההנחהk שידוכיםמושלמיםזרים. הםזריםגםלשידוךהחדשולכןיש שידוכיםמושלמיםזרים.

30 טענה: בגרף דו צדדי k רגולרי יש שידוך מושלם.. A נראה ש. V = V מספר הקשתות היוצאות מ V הוא V k. מספרהקשתותהיוצאותמ V A V k V. = V k.v מספיקלהוכיחשלכל נראהשיששידוךהמכסהאת תהי מתקיים הוא אותו מספר:. N( A) A A V קשתות. כלקודקודב. מספרהקשתותמ A ל הוא A) N( N( A) לכןל. k A נכנסות לפחות k A N( A) k מקבל בדיוק קשתות. לכןמספרהקודקודיםב N( A) הוא לפחות תרגיל נתונהרשימה M שלמטוסים, רשימה N שלנווטיםורשימה P שלטייסים. צריךלמצואצוותשיעלהמס' מקסימלישלמטוסיםלאוויר, כךשכלצוותמכילטייסונווט, כאשרלכל אישצוותנתונהרשימהשלמטוסיםשמותרלולעלותאליהם. פתרון: כדילמנועמצבבוכמהצוותיםנכנסיםלאותומטוס, נגדירקשתממטוסלהעתקשלעצמובקיבולת. N M P סיבוכיות:,FF משוםשהזרימהכאןחסומהע"ימספרהמטוסיםומספרהטייסים. ניתןלראותשכל טייסיכוללהיותשייךרקלמטוסאחד. באותואופןגםכלנווטיכוללהיותשייךרק למטוסאחד. משוםכךזהוציוותחוקיוגודלוהואגודלהזרימה. לכןאםהוכחנושישנהזרימהבגודל ניתןלבנותממנהציוותחוקיבגודל. k לכןהזרימההמקסימליתשווהלציוותהמקסימלי. שיטותלפתרוןבעיותזרימה:. לשחקעםהקיבולות.. גרףדוצדדי, תלתצדדי. 3. לפצלקודקודיםכדילהגבילקיבולתלקודקוד., k

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #8-9

מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #8-9 מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #89 מציאת מסלולים קצרים הבעיה: נתון גרף ממשוקל רוצים למצוא את המסלול הקצר בין זוג קודקודים עיקרון הרלקסציה של קשת: בדיקה האם ניתן לשפר מסלול מ s ל v ע"י מעבר דרך קודקוד u:?

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t.

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t. תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 פתרון שאלה 1 נזכר כי בגרף (E G, =,V) עבור שני קודקודים d(u, (v,u, v הוא אורך מסלול קצר ביותר מ u ל v. אם אין מסלול מ u ל.d(u, v) =,v נתונות שתי בעיות. בעיה א' מופע: גרף מכוון

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS

כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS כלליים שיטות חיפוש בבגרפים שיטה 1: חיפוש לרוחב S (readth irst Search) זמן: ) Θ( V + הרעיון: שימוש בתור.O שיטה 2: חיפוש לעומק S (epth irst Search) Θ( V + ) יהי =(V,) גרף כלשהו, V הוא צומת התחלת החיפוש.

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015)

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מרצה: פרופ' בני שור מתרגלים: אורית מוסקוביץ' וגל רותם 28.1.2015 הנחיות: 1. מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני כתיבת התשובות. 2. משך

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

גרפים אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 הגדרה: מגן דוגמאות: זוגות לא סדורים כיוון שבקבוצה סדר לא חשוב.

גרפים אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 הגדרה: מגן דוגמאות: זוגות לא סדורים כיוון שבקבוצה סדר לא חשוב. אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 אתר הקורס.clickit3 מרצה : בני מוניץ הציון: מבחן סופי: 80% שיעורי בית 20% ואפשרות לבוחן אמצע 20% מגן גרפים הגדרה: תהי V קבוצה סופית לא ריקה. ותהי E קבוצה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ). מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של

Διαβάστε περισσότερα

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק.

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק. 1 גרפים / חזרה כללית: סיכומים למבחן בקורס אלגוריתמים סמסטר א' 2008-9 (פרופ' מיכה שריר) מושגים: גרף: גרף,, V קבוצת קודקודים, קבוצת קשתות. מכוון: הקשתות הן זוגות סדורים, לא מכוון: הקשתות הן קבוצה בת שני

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

לוגיקה למדעי המחשב תרגולים לוגיקה למדעי המחשב תרגולים ניצן פומרנץ 17 ביוני 2015 אתר הקורס: במודל בשבוע הראשון התרגילים ייועלו גם ל www.cs.tau.ac.il/~shpilka/teaching לירון כהן: liron.cohen@math.tau.ac.il (לא לשלוח שאלות על החומר

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק רביעי

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק רביעי גירסה 00 232003 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק רביעי מסמך זה הינו הרביעי בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר) ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני גירסה 1.00 5.12.2002 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני מסמך זה הינו השני בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

תורישק :תורישקה תייעבב בוש ןייענ?t- t ל s- s מ לולסמ שי םאה 2

תורישק :תורישקה תייעבב בוש ןייענ?t- t ל s- s מ לולסמ שי םאה 2 סריקה לעומק רכיבים אי-פריקים רכיבים קשירים היטב מיון טופולוגי פרק 3 ב- Kleinberg/Tardos פרק 3.3-5 ב- al Cormen et קשירות נעיין שוב בבעיית הקשירות: ל- t? האם יש מסלול מ- s קשירות נעיין שוב בבעיית הקשירות:

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון גירסה 1. 11.11.22 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון מסמך זה הינו הראשון בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 ס"מ = CD.

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 סמ = CD. טריגונומטריה במישור 5 יח"ל טריגונומטריה במישור 5 יח"ל 010 שאלונים 006 ו- 806 10 השאלות 1- מתאימות למיקוד קיץ = β ( = ) שאלה 1 במשולש שווה-שוקיים הוכח את הזהות נתון: sin β = sinβ cosβ r r שאלה נתון מעגל

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון:

מבני נתונים אדמיניסטרציה דר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: מבני נתונים בס"ד, ט' אדר א' תשע"א: שעור 1 אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: בחינת מגן 20%. תרגילים: 14 13, מורידים את האחד הכי גרוע. 10% מהציון. אתר: www.cs.huji.ac.il/~dast

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

תורת הגרפים על פי הרצאות מאת פרופ' אהוד פרידגוט 11 ביולי 2010

תורת הגרפים על פי הרצאות מאת פרופ' אהוד פרידגוט 11 ביולי 2010 תורת הגרפים על פי הרצאות מאת פרופ' אהוד פרידגוט 11 ביולי 2010 רשם: שיר פלד, באמצעות L Y X גרסה 161 תיקונים יתקבלו בברכה במהלך ההפסקות או בכתובת מייל shirpeled@cs במבחן: להוכיח משפט אחד מתוך שניים ולפתור

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

תורת הגרפים - סימונים

תורת הגרפים - סימונים תורת הגרפים - סימונים.n = V,m = E בהינתן גרף,G = V,E נסמן: בתוך סימוני ה O,o,Ω,ω,Θ נרשה לעצמנו אף להיפטר מהערך המוחלט.. E V,O V + E כלומר, O V + E נכתוב במקום אם כי בכל מקרה אחר נכתוב או קשת של גרף לא

Διαβάστε περισσότερα

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע "י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות:

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות: שאלה 1 בנה אוטומט המקבל את שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} המכילות לפחות פעם אחת את הרצף ומיד אחרי כל אות מופיע הרצף. ניתן לפרק את השפה לשתי שפות בסיס מעל הא"ב :{,,} שפת כל המילים המכילות לפחות פעם אחת את

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה.

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. 1 לוגיקה סיכום הגדרות משפטים ודברים חשובים אחרים תודה רבה לניצן פומרנץ על הסיכום הכולל של החומר הקדמה הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. הערה 0.2 נשים לב שלכל שפה יש רובד

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז

מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשעז חוברת תרגולים בקורס "תורת גלואה" 88 311 21 בפברואר 2017 מתרגלת: שירה גילת סמסטר א 2017 תשע"ז ערך: איתי רוזנבאום 1 תורת גלואה תרגול ראשון חזרה מחוגים F שדה F. חוג הפולינומים עם מקדמים ב F [λ] זהו חוג אוקלידי,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

גירסה liran Home Page:

גירסה liran   Home Page: גירסה 1.00 26.10.03 סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה! הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5

ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5 הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) ביטויים רגולריים הרצאה 5 המצגת מבוססת על ספרם של פרופ' נסים פרנסיז ופרופ' שמואל זקס, "אוטומטים ושפות פורמליות", האוניברסיטה הפתוחה, 1987. גרסה ראשונה

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים ושפות פורמליות תרגולים

אוטומטים ושפות פורמליות תרגולים אוטומטים ושפות פורמליות תרגולים מבוסס על תרגולים של מר גולדגביכט עומר, אוניברסיטת בר אילן 2012. שיעור 1 הגדרות: א"ב: אוסף סופי ולא ריק של סימנים/אותיות/תווים. נסמן אותו באות. דוגמאות: 9},... 1,,{0, {א,..,.

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135) באוניברסיטה העברית,

אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס אלגברה לינארית 2 (80135) באוניברסיטה העברית, אלגברה לינארית 2 יובל קפלן סיכום הרצאות מר שמואל ברגר בקורס "אלגברה לינארית 2" (80135 באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

חלק א' שאלה 3. a=3, b=2, k=0 3. T ( n) היותר H /m.

חלק א' שאלה 3. a=3, b=2, k=0 3. T ( n) היותר H /m. פתרון למבחן במבני נתונים, מועד א', קיץ 2005 חלק א' שאלה 1 א. רכיב הקשירות החזק של קודקוד x בגרף מכוון הינו אוסף כל הקודקודים y שמקימים שיש מסלול מ- x ל- y וכן מסלול מy ל- x. טעויות נפוצות שכחו לכתוב שזה

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015

לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015 לוגיקה למדעי המחשב ניצן פומרנץ 25 ביוני 2015 רשימות בקורס לוגיקה למדעי המחשב, סמסטר אביב תשע"ה, אוניברסיטת תל אביב. טעויות קורות אשמח שתעדכנו אותי עליהן ושאתקנן. אמיר שפילקה shpilka@post.tau.ac.il שרייבר

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521

מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521 מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות 67521 חיים שחור סיכומי תרגולים של שאול אלמגור 21 ביוני 2012 תוכן עניינים 1 אוטומטים........................................................... 1 2 למת הניפוח......................................................

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים מבחן מועד א' סמסטר חורף תשס"ו

מבני נתונים מבחן מועד א' סמסטר חורף תשסו TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצים: רן אל-יניב, נאדר בשותי מבני נתונים 234218-1 מבחן מועד א' סמסטר חורף תשס"ו

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשס"ג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi

פתרונות מלאים אלגברה 1 מ בחן אמצע חורף תשסג מטריצה הפיכה ב- הפיכה סקלרית, לכן A = αi פתרונות מלאים אלגברה מ - 4 - בחן אמצע חורף תשס"ג -.. משך הבחינה :.5 שעות. שאלה מס' היא שאלת תרגילי בית. אין להשתמש בחומר עזר או מחשבונים. יש לענות על כל שאלה בדף נפרד ולנמק את התשובות. נא לרשום את השם

Διαβάστε περισσότερα