אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון"

Transcript

1 גירסה אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון מסמך זה הינו הראשון בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת לפרופסור שמעון אבן ז"ל, על העזרה העצומה שעזר לי בהבנת החומר ובשאלות רבות עליהן ענה לי כאשר למדתי את הנושא. שמעון אבן היה מרצה שהערכתי מאוד ותרומתו למסמך זה היתה משמעותית. מקורות: המסמך מבוסס במידה רבה על הרצאותיו של פרופסור שמעון אבן משנת 22 וכן על שאלות רבות עליהן שמעון אבן ענה לי. ספרו של שמעון אבן מ- 1979, Graph Algorithms פרקים מספרו החדש של שמעון אבן, שפורסמו בשנת 22 חלקים מהרצאות וידאו של פרופסור ראובן בר יהודה בנושא אלגוריתמים בתורת הגרפים. המסמכים כוללים נקודות רבות ממקורות אלו, ובנוסף תובנות רבות, דוגמאות ורעיונות שאספתי במהלך לימוד הקורס. עמוד 1

2 מושגי יסוד, v V = { v, וקבוצת קשתות גרף (E )G V, הוא מבנה המכיל קבוצת צמתים }..., 1 2 e. E = { e, לכל קשת יש שתי נקודות קצה, שאינן בהכרח שונות, וכן שם. אלא אם } נציין אחרת, E,V הן קבוצות סופיות. במקרה זה נאמר גם כי הגרף G הוא סופי. שתי קשתות שיש להן את אותם הקצוות יקראו קשתות מקבילות. קשת שיש לה שני קצוות, שהם למעשה אותו קצה, תיקרא חוג עצמי. הדרגה של צומת v, שתסומן d(v), תוגדר בתור מספר הקשתות הפוגעות בצומת v. אם דרגת צומת היא, נאמר כי הצומת מבודדת. סימון e יהיו,u v קשתות ו- e צומת. נסמן: u v במקרה זה נאמר כי e מחבר בין u ל- v. אם יש צומת שקצוותיה הן,u. v,... v { v, וקשתות,...} e { e,, כך ש- P מתחילה בצומת מסלול P הוא סידרה של צמתים }, v 1 וכך, e 1 שמחברת אותה אל, v שאחריה מופיעה קשת, שתסומן כלשהו, נניח e1 e2 הלאה, המקיימת מספר תכונות. נסמן: v2.... P : v v 1 תכונות המסלול: 1+i e יש צומת משותפת. e i ול- 1. ל- e i איננה חוג עצמי, ואיננה בקצה המסלול, אז אחד מקצוותיה נמצא 2. אם הקשת גם בקשת שלפניה והקצה השני שלה נמצא גם בקשת שאחריה. עמוד 2

3 יהי מסלול סופי P. נגדיר את אורך המסלול להיות מספר הקשתות במסלול. מסלול ריק הוא מסלול בעל צומת אחד וללא קשתות. מעגל הוא מסלול שמתחיל ומסתיים באותו הצומת. הערות ניתן להבין מה כי אין מעגלים אינסופיים. מסלול ריק איננו מעגל. מעגל פשוט יוגדר בצורה הבאה: 1. הליכת "הלוך וחזור" על קשת כלשהי איננה מעגל פשוט. 2. כל מעגל באורך 3 או יותר שאין בו חזרה על אף צומת פרט לקצוות הינו מעגל פשוט. 3. חוג עצמי הינו מעגל פשוט. מסלול פשוט הוא מסלול שאף צומת אינה מופיעה בו פעמיים. גרף פשוט הוא גרף בלי חוגים עצמיים ובלי קשתות מקבילות. גרף קשיר הוא גרף בו קיים מסלול בין כל שני צמתים.. E V 2 טענה בגרף פשוט מתקיים: עמוד 3

4 + טענה יהי G גרף פשוט. אם בין כל זוג צמתים קיימת קשת, נקרא ל- G גרף מלא. V. E = במקרה זה, מתקיים כי 2, v V = { v, וקבוצת קשתות גרף מכוון (E )G V, הוא מבנה המכיל קבוצת צמתים }, e. E = { e, בגרף מכוון קשת הינה זוג סדור. } נגדיר דרגות בגרף מכוון: d in הינה מספר הקשתות הנכנסות אל הצומת. d out הינה מספר הקשתות היוצאות מן הצומת. סימון u v e יהיו,u v קשתות ו- e צומת. נסמן: אם יש צומת שקצוותיה הן,u. v במקרה זה נאמר כי e מחבר בין u ל- v. u נקראת צומת ההתחלה ואילו v נקראת צומת הסיום. טענה. v V = d in ( v) d dout ( v) = v V בגרף מכוון וסופי, מתקיים כי E טענה (חשובה). v V d( v) = 2 בגרף לא מכוון וסופי, מתקיים כי E למה 1 בגרף לא מכוון וסופי יש מספר זוגי של צמתים שדרגתם אי זוגית. הוכחה: נשתמש בטענה, הטוענת כי מספר הקשתות בגרף לא מכוון הינו זוגי. הזוגיות של מספר הקשתות נקבעת אך ורק על ידי הצמתים מהם יוצא מספר אי זוגי של קשתות. מכיוון שכך, ומכיוון שמספר הקשתות הינו זוגי, הלמה הוכחה. עמוד 4

5 ייצוג גרפים במחשב על מנת שנוכל לנתח את סיבוכיות הזמן והמקום של אלגוריתמים בתורת הגרפים, נראה כיצד אנו מייצגים גרפים בזיכרון מחשב. מטריצת שכנויות כאשר נרצה לייצג גרפים פשוטים (מכוונים או לא מכוונים) במחשב, נוכל לייצגם,i ( במטריצה יופיע 1 אם יש קשת בין הצמתים בעזרת מטריצת שכנויות. במקום ה- (j ה- i וה- j, אחרת יהיה במקום זה. כאשר נייצג גרף לא מכוון, המטריצה תהיה מטריצה סימטרית.. E V. גרף יקרא דליל אם logv E << V 2 גרף יקרא דליל אם מטריצת שכנויות איננה ייצוג יעיל לגרפים, כאשר אנו עובדים עם גרפים דלילים. ייצוג גרפים על ידי רשימות פגיעה כאשר אנו משתמשים ברשימות פגיעה, אנו איננו מגבילים את עצמנו לגרפים פשוטים. כמו כן, סיבוכיות המקום הינה ליניארית בהתאם למספר הקשתות והצמתים, ואינה ריבועית כמו בייצוג בעזרת מטריצת שכנויות. תיאור מבנה הנתונים: אנו משתמשים במערך צמתים. לכל צומת v ישנו תא במערך. בכל תא ישנה רשימה של קשתות, שהן הקשתות הפוגעות בה. בסוף הרשימה ישנו.NIL עבור כל אחת מהרשימות, קיים מצביע N(v) המצביע אל האיבר הנוכחי ברשימה. בתחילה N(v) מצביע אל האיבר הראשון ברשימה או אל NIL אם הרשימה ריקה. כמו כן, נשתמש במערך קשתות, שיכיל עבור כל צומת את שני הקצוות שלה (או את קצה ההתחלה וקצה הסיום, במקרה של גרף מכוון), וכן דגל שאומר האם הקשת בשימוש בגרף או לא. בתחילה כל הקשתות אינן משומשות. מסלול P יקרא מסלול מקסימלי, אם לא ניתן להרחיב אותו,כלומר אין קשתות יוצאות מצומת הסיום, בהן לא ביקרנו. מסלול P יקרא מסלול מקסימום, אם לא ניתן למצוא מסלול ארוך ממנו בגרף הנתון. עמוד 5

6 דוגמא נניח כי בידינו גרף הנראה כך: A B D-C-E במקרה זה, D-C-Eהינו המסלול המקסימלי, מכיוון שאיננו מסוגלים להפוך אותו למסלול גדול יותר (לצמתים Dו- E, הקצוות, אין שכנים מלבד C). ישנם שני מסלולי מקסימום: A-B-C-Eו- A-B-C-D. הם מקסימום מכיוון שאי מסלולים אחרים בגרף שארוכים מהם. TRACE נרצה כעת אלגוריתם (P,TRACE(s, כך שבהינתן גרף סופי (E )G V, וצומת התחלה, s V תאתר מסלול מקסימלי המתחיל ב- s ואינו עובר על צומת יותר מפעם אחת. התוצאה תוחזר לתוך הרשימה או המערך P, שבתחילה הינו ריק. סיבוכיות הזמן המבוקשת של TRACE הינה O. E ( ) מימוש אפשרי: Procedure TRACE(s, P) v s while N(v) points to an edge (and not to NIL) do if N(v) points to a used edge do change N(v) to point to the next item in the list else do e N(v) change the flag of e to used add e to the end of P use the edge table to find the second endpoint of e, say it is u v u עמוד 6

7 גרף אויילר משפט אויילר גרף בלתי מכוון, סופי וקשיר הוא גרף אויילרי אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים: 1. יש בדיוק שני צמתים שדרגתם אי זוגית. 2. כל הצמתים בעלי דרגה זוגית. במקרה 1, כל מסלול אויילר הוא מסלול פתוח. במקרה 2, כל מסלול אויילר הוא מעגל. מסלול יקרא מסלול אויילרי אם זהו מסלול בו אנו עוברים על כל קשת פעם אחת. מסלול יקרא מסלול המילטוני אם זהו מסלול בו אנו עוברים בכל צומת פעם אחת. אלגוריתם למציאת מסלול אויילרי בין צומת a לצומת b יהי G גרף סופי, בו יש בדיוק שני צמתים שדרגתם אי זוגית, שנסמנם,a. b נרצה למצוא מסלול אויילרי בין צמתים אלו. ראשית, נמצא מסלול מקסימלי בעזרת TRACE בין a ל- b. מכיוון שהגרף הוא סופי, האלגוריתם ייעצר בסופו של דבר, ויחזיר לנו מסלול. לאחר שמצאנו מסלול זה, והשתמשנו באחת מהקשתות שמחברת את a, דרגתו של a זוגית כעת. מכיוון שכך, a איננו יכול להיות סיום המסלול יותר. לפי אותו הגיון, מכיוון שכל דרגות הצמתים זוגיות מלבד b, המסלול אינו יכול להסתיים באף אחד מהצמתים בדרך, ולכן בהכרח, P מסתיים בצומת b. אם P כולל את כל הצמתים ב- G, סיימנו, אחרת, מתקיימים ההיסקים הבאים: 1. הדרגה של כל צומת היא זוגית. 2. ישנן כמה קשתות הצמודות לצמתים, שלא נעשה בהן שימוש, הצמודות אל P. כעת, נבצע את התהליך הבא: נמצא צומת כזו, ונבנה ממנה מסלול מקסימלי P, הכולל את הצמתים והקשתות השונים בהם איננו משתמשים ב- P, שמתחיל בצומת v. מכיוון שדרגות כל הצמתים זוגיות, אזי זהו מעגל, ו- v הינה גם צומת הסיום. נאחד את המעגל עם P וניצור מסלול גדול יותר. ככה נמשיך עד שלא ישארו יותר קשתות אותן לא ביקרנו. עמוד 7

8 סדרות דה ברואין דוגמא נרצה לרשום מעגל של אפסים ואחדות, כל שכל המילים הבינריות באורך n יופיעו בו כרצף עבור 3=n: ניתן לפרוש את המעגל לאיברים השונים: עבור 2=n: עבור 1=n: 1 L, יסומן Σ מעל n אותיות. מספר המילים באורך σ אלף בית של =Σ {,1,... יהי 1} σ n 1 L a a1... a מעל,Σ כך שעבור כל =L. סדרת דה ברואין היא רצף (מעגלי) וערכו: σ a j a j a j+ n 1 מילה w בעלת n אותיות מעל Σ, קיים j<σ כך שמתקיים: = w (חישובי האינדקסים נעשים מודולו L). עמוד 8

9 + יהיו. nσ, N G σ, n מוגדר כך: גרף מכוון דה ברואין (E ( V, n 1 Σ. מעל המילים באורך 1 n σ 1 V, = Σ כלומר קבוצת כל n.1 n. E = Σ.2 1 n b1 b2... b ומסתיימת בצומת b מתחילה בצומת 1b2... b n הקשת המכוונת 3.. b b b n בקשתות נמצאות המילים השונות של השפה, בעוד שבצמתים נמצאת "התוצאה" אחרי shift של התו האחרון של המילה, שבעזרתה נוכל להרכיב את המילים הבאות בשפה. איך נמצא בגרף כזה סדרת דה ברואין? נמצא מסלול אויילרי על כל הקשתות. טענה, nσ, N מתקיים: + לכל G σ, n קשיר היטב. א. E) ( V,. din ( v) = d out ( v) ב. = σ, v V G σ, n הינו גרף אוליירי מעגלי. ג. E) ( V, הוכחת ג': גרף התשתית קשיר (לפי א'), ודרגות הכניסה והיציאה שוות (לפי ב'), ולכן הגרף אויילרי מעגלי. מסקנה n σ. יש סדרת דה ברואין באורך, nσ, N + לכל עמוד 9

10 אלגוריתם למציאת המסלול הקצר ביותר בגרפים הקדמה ישנן מספר סוגי בעיות כאשר אנו נדרשים למצוא את המסלול הקצר ביותר בין גרפים. נברר את הפרטים הבאים, לפני שנחליט על האלגוריתם בו נשתמש: האם הגרף הוא גרף מכוון או גרף לא מכוון? אורכי הקשתות שוות באורכן או שונות? האם מותרות קשתות "באורך" שלילי? מי המקור והיעד? האם נרצה את המסלול הקצר ביותר מצומת s t מצומת s אל כל שאר הצמתים? מכל צומת אל כל צומת? האם נרצה למצוא מסלול אחד? את כל המסלולים האפשריים? BFS אלגוריתם המוצא מסלול קצר ביותר בגרף לא מכוון (E G(V, מצומת, s t כאשר אורכי כל הקשתות שווים ל- 1. האלגוריתם: סמן את s ב-. i חזור : כל צומת לא מסומנת השכנה לצומת שמסומנת ב- i, תסומן ב- i+1. הגדל את i ב- 1. כל עוד t לא סומן (או כל עוד יש צומת לא מסומנת, אם נתעניין במרחקים בין s לכל שאר הצמתים). סימונים נסמן ב- λ(v) את הסימון של צומת v. נסמן ב- (v) δ את המרחק המינימום בין.{ v λ( v) נסמן ב- את הקבוצה: {i =.v אל s A i עמוד 1

11 A A1 A2 A3 תכונות λ(v) אין קשתות המחברות קבוצות A i מרוחקות.. A i 1, A i עובר דרך כל מסלול מ- s אל אם לצומת v סימון,λ(v) אזי קיים מסלול באורך אליו. משפט v V, λ ( v) = δ ( v) הערות האלגוריתם תקף גם עבור גרפים מכוונים. ניתן לממש את האלגוריתם גם באמצעות תור. אם נחפש את המרחקים בין s אל כל הצמתים, נדרוש שהגרף יהיה סופי. אם נחפש רק את המרחק בין s אל t, מספיק לדרוש רק כי דרגות היציאה מכל הצמתים הינן סופיות. טענה זו תורחב מייד. סיבוכיות האלגוריתם: אם מחפשים מסלול בין s אל t, או בין s אל כל שאר הצמתים, סיבוכיות האלגוריתם הינה (E )O. אחרת, אם מחפשים את המרחקים הכי קצרים בין כל צומת אל כל צומת אחרת, סיבוכיות האלגוריתם ) ( הינה.O E V עמוד 11

12 בעיה אחת ההערות שהרגע הצגנו, היא כי כדי למצוא מסלול מ- s אל t, מספיק לדרוש כי דרגות היציאה יהיו סופיות. דרישה זו איננה נכונה במלואה. נביט בדוגמא הבאה: s 5 t מסלול אחד באורך סופי והוא 5, ומסלול שני באורך אינסופי, אך מתכנס לפחות מ- 5. אם זאת, האלגוריתם לא יהיה מסוגל לאתר את המסלול השני., ε כאשר לפיכך, נתקן את הערה ונדרוש גם כי עבור כל קשת e, יתקיים כי > ε )l (e > קבוע. עמוד 12

13 Diskjstra s Algorithm האלגוריתם שנראה כעת מטפל אף הוא בגרפים מכוונים. יהי גרף (E,G(V, ותהי צומת התחלה s. נדרוש כי לכל קשת e השייכת לגרף, אורך (e )l. המשימה שלנו היא למצוא את (v) δ עבור כל צומת בגרף. אם ידוע שכל אורכי הקשתות הוא שלמים חיוביים, ניתן להחליף כל קשת e על ידי מסלול שעובר דרך (e )l צמתים באורך 1, ולהשתמש באלגוריתם הישן. אם זאת, פתרון מעין זה הופך את האלגוריתם לבלתי סביר מבחינת סיבוכיות. האלגוריתם שנראה כעת הוא מעין שכלול של,BFS והוא מאפשר לעשות את החיפוש בזמן ליניארי. Procedure DIJKSTRA(G, s, λ) λ( s) T { s} P φ whilet φ do choose a vertax v T for which λ( v) is minimum { } { } T T \ v P P v e for every v u do if u T then do { } { λ λ } λ( u) min ( u), ( v) + l( e) else, if u P then do λ( u) λ(v)+l(e) T T u T זוהי קבוצה זמנית של צמתים מסומנים, כלומר, צמתים עבור λ נקבע, אולם הערך עוד יכול להשתנות. P היא קבוצה של צמתים מסומנים באופן קבוע. צמתים יכולים להיות ב- P ב, -T או עדיין לא מסומנים. עמוד 13

14 טענה כאשר מפעילים אלגוריתם זה על כל גרף סופי, הוא נעצר בסופו של דבר. הוכחה: כל צומת נכנס ל- T לכל היותר פעם אחת, וכל צומת שנבחרת בשורה 5 באלגוריתם עוזבת את T, ולכן הביצוע של שורה 5 לוקח לכל היותר אחרי ביצוע שורה 5 טענה.O( V ) V פעמים לכל היותר, T חייבת להיות ריקה, והאלגוריתם עוצר. במהלך ביצוע האלגוריתם, כל צומת שניתן להגיע אליה מ- s מסומנת. טענה עבור כל צומת v שמסומנת במהלך האלגוריתם ב- (v )λ, קיים מסלול באורך (v )λ מהצומת s אל הצומת v. מסקנה. λ( v) δ בכל זמן במהלך ריצת האלגוריתם, (v ( משפט כאשר האלגוריתם עוצר, עבור כל צומת v שניתן להגיע אליה מהצומת s, מתקיים כי. λ( v) = δ ( v) הערות האלגוריתם עובד על גרפים מכוונים וגם על גרפים לא מכוונים. אם נחפש את המרחקים בין s אל כל הצמתים, נדרוש שהגרף יהיה סופי. אם נחפש רק את המרחק בין s אל t, מספיק לדרוש רק כי דרגות היציאה מכל הצמתים הינן סופיות. האלגוריתם עובד עבור אורכי מסלול כלשהם (L) ולא רק עבור <L. הגרף יכול להיות פשוט או לא פשוט. 2 סיבוכיות האלגוריתם: O V + E ( ) עמוד 14

15 The Ford Algorithm l( e) אלגוריתם זה מטפל בגרפים מכוונים. יהי גרף סופי (E,G(V, ותהי צומת התחלה s. לכל קשת e השייכת לגרף, אורך כלשהו. המשימה שלנו היא למצוא את (v) δ עבור כל צומת בגרף. מעגל ייקרא מעגל שלילי אם סכום ארכי הקשתות עליו הוא שלילי. הערה נשים לב שאם קיים מסלול בין צומת s בגרף אל מעגל שלילי C, הרי שהמרחק מ- s אל המעגל אינו מוגדר. עבור כל אורך מסלול אפשרי אל C, נוכל לעשות סיבוב נוסף על המעגל, ולקבל מסלול באורך קצר יותר. האלגוריתם Procedure gen-ford(g, s, l, λ) for every v V do λ( v) λ( s) e while there is an edge u v such that λ( u) is finite and λ( v) > λ( u) + l( e) do λ( v) λ( u) + l( e) הערה באלגוריתם זה אף צומת איננה מקבלת קביעות עד לסיום האלגוריתם. עמוד 15

16 טענה במהלך ריצת האלגוריתם של,Ford אם קיימת צומת v, עבורה מתקיים כי (v )λ הינו סופי, אזי בהכרח קיים מסלול ישיר בין s אל v, שאורכו (v )λ. הוכחה: e x הקשת האחרונה ששופרה, כך שאחריה תהא y e). λ( y) λ( x) + l( על פי ההנחה, יש מסלול באורך נגיע אל y, ולכן יש מסלול באורך (v )λ אל y. טענה שונתה - אל x. אם נחבר אליו את e, λ( y) λ( x) אם לגרף אין מעגלים שליליים נגישים מ- s, ואם במהלך ריצת האלגוריתם של,Ford קיימת צומת v, עבורה מתקיים כי (v )λ הינו סופי, אזי קיים מסלול מכוון פשוט, בין s אל,v שאורכו v).λ( טענה אם לגרף אין מעגלים שליליים נגישים מ- s, אזי בסוף ריצת האלגוריתם של,Ford מתקיים עבור כל צומת כי v). λ( v) = δ ( הערה סיבוכיות אלגוריתם זה ידועה. כיוון שאנו יודעים את הסיבוכיות של אלגוריתם זה, נוכל לכתוב אלגוריתם לאיתור מעגלים שליליים. ניתן לאלגוריתם זמן לרוץ בהתאם לסיבוכיות שלו. אם האלגוריתם עוצר בסוף זמן זה, הרי שאין מעגלים שליליים בגרף, אחרת ישנם מעגלים שליליים בגרף. מימוש וסיבוכיות מימוש אפשרי לאלגוריתם: {,,..., 1 2 } E= e e e E for v times for i = 1 to E update any node that need update עמוד 16

17 ( ) סיבוכיות האלגוריתם הינה. O V E נשים לב כי זהו אלגוריתם סופי, אפילו אם בגרף מצויים מעגלים שליליים. אם נחפש את המסלולים הכי קצרים מכל צומת אל כל צומת, הרי שהסיבוכיות תהיה 2. O V E ( ) Floyd Algorithm אלגוריתם זה מטפל בגרפים מכוונים. יהי גרף סופי (E,G(V, ותהי צומת התחלה s. לכל קשת e השייכת לגרף, אורך (e )l כלשהו. המשימה שלנו היא למצוא את (v δ (,u עבור כל צומת בגרף, כלומר למצוא את המרחק בין הצומת u אל הצומת v, עבור כל זוג סדור של צמתים בגרף. כמו כן, אנו מניחים כי אין מעגלים שליליים בגרף, שאין בו חוגים עצמיים, וכן שאין בו קשתות מקבילות. אם בין שתי צמתים יש יותר מקשת אחת, הרי שאנו מסוגלים להתעלם מכל הצמתים, מלבד מהקצרה ביותר, ולהפעיל את האלגוריתם עליה. האלגוריתם של Floyd מבצע את המשימה של מציאת המרחקים בין כל צומת אל כל צומת אחרת, בסיבוכיות של 3.O( V ) מבנה הנתונים והנחות:. V = { 1, 2,..., n} נניח כי אוסף הצמתים V נתון והוא : k δ k ( i, j) מתקיים כי k n ונניח כי עבור כל δ, בשם n נגדיר מטריצה בגודל n היא למעשה המסלול הקצר ביותר בין צומת i אל צומת j, אשר לא עובר בין הצמתים. k+ 1, k+ 2,..., n דוגמא e l( e) i j exists λ ( i, j) = else ( ) ( i, j) = min ( i, j), ( i,1) + (1, ) 1 λ λ λ λ λ ( ) ( i, j) = min ( i, j), ( i, 2) + (2, ) λ λ λ λ λ עמוד 17

18 הכללת הדוגמא e l( e) i j exists λ ( i, j) = else ( ) k k k k λ ( i, j) = min λ ( i, j), λ ( i, k) + λ ( k, λ) האלגוריתם n Procedure FLOYD(G(V,E), l, δ ) for every 1 i n do e if there is a self loop i i and l( e) < then do δ ( i, i) l( e) else ( i, i) δ for every 1 i, j n such that i j do e if there is an edge i j then do δ ( i, j) l( e) else δ ( i, j) for every k, starting with k = 1 and ending with k = n do for every 1 i, j n do { } δ k ( i, j) min δ k ( i, j), δ k ( i, k) + δ k ( k, j) - גודל המטריצה. 2 O( V ) 3.O( V ) סיבוכיות זיכרון של האלגוריתם: סיבוכיות הזמן של האלגוריתם: עמוד 18

19 נסכם את האלגוריתמים השונים: any l Floyd all all 3 O( V ) Ford any l s all or all all ( E) O V or 2 ( E) O V Diskjstra l>= s t or s all 2 ( + E) O V or 3 ( ) O V l= 1 s t or s all O( E ) BFS שם האלגוריתם אורך כל קשת מה אנחנו מוצאים סיבוכיות זמן סגור טרנזיטיבי של גרפים T = ( V, E T כך ש: סגור טרנזיטיבי של גרף מכוון G=(V,E) הוא גרף מכוון ) -G. ל- אם ורק אם יש מסלול מכוון לא ריק מ- u =e u v E T בv כלומר, סגור טרנזיטיבי הוא גרף בו קיימת קשת המחברת בין כל שתי צמתים בהם קיים מסלול בגרף המקורי. עמוד 19

20 דוגמא נניח כי נתון הגרף הבא: הסגור הטרנזיטיבי של הגרף הנ"ל הינו: האלגוריתם של Warshall לחישוב סגור טרנזיטיבי נניח כי הצמתים ממוספרים מ 1 ועד n, כלומר: {n V. = {,...,1,2 להלן האלגוריתם של Warshall לחישוב סגור טרנזיטיבי של גרף מכוון: (1) for every 1 i, j n, do: (2) if e= i j E, then T ( i, j) 1 (3) else, T ( i, j) (4) for every k, starting with k=1 and ending with k=n, do: (5) for every 1 i, j n, do: (6) T ( i, j) max{ T ( i, j), T ( i, k) T ( k, j)} עמוד 2

21 T ( i, j) = טענה בסיום האיטרציה ה- k של הלולאה שבשורות (6)-(4) מתקיים כי 1 אם יש מסלול מכוון ב- מG - לi -j שצמתי הביניים בו הם מהקבוצה אם ורק.{ 1,2,..., k} משפט האלגוריתם של Warshall מחשב את הסגור הטרנזיטיבי של G, כלומר בסיום האלגוריתם מתקיים לכל תא במטריצה T: 1 T ( i, j) = there is a nonempty directed otherwise path in G from i to j קשר לאלגוריתם של :Floyd (j δ (,i אם ורק אם לא =, i לפי נכונות האלגוריתם של Floyd מתקיים כי לכל j קיים מסלול מכוון ב- מG - לi -j. לפי המשפט לגבי האלגוריתם של,Warshall אנו.T ( i, j ) סופי אם ורק אם = 1 δ ( i, j) : i נקבל כי לכל j 2 O( V ) סיבוכיות: 2 שורות (1)-(3) לוקחות ) V O( זמן. הלולאה שבשורות (6)-(4) מתבצעת V פעמים, כאשר כל איטרציה לוקחת זמן. 3 לכן הסיבוכיות הכוללת של האלגוריתם היא ) V )O. EOF עמוד 21

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

תורת הגרפים - סימונים

תורת הגרפים - סימונים תורת הגרפים - סימונים.n = V,m = E בהינתן גרף,G = V,E נסמן: בתוך סימוני ה O,o,Ω,ω,Θ נרשה לעצמנו אף להיפטר מהערך המוחלט.. E V,O V + E כלומר, O V + E נכתוב במקום אם כי בכל מקרה אחר נכתוב או קשת של גרף לא

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני גירסה 1.00 5.12.2002 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני מסמך זה הינו השני בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק רביעי

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק רביעי גירסה 00 232003 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק רביעי מסמך זה הינו הרביעי בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר) ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS

כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS כלליים שיטות חיפוש בבגרפים שיטה 1: חיפוש לרוחב S (readth irst Search) זמן: ) Θ( V + הרעיון: שימוש בתור.O שיטה 2: חיפוש לעומק S (epth irst Search) Θ( V + ) יהי =(V,) גרף כלשהו, V הוא צומת התחלת החיפוש.

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t.

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t. תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 פתרון שאלה 1 נזכר כי בגרף (E G, =,V) עבור שני קודקודים d(u, (v,u, v הוא אורך מסלול קצר ביותר מ u ל v. אם אין מסלול מ u ל.d(u, v) =,v נתונות שתי בעיות. בעיה א' מופע: גרף מכוון

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

גרפים אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 הגדרה: מגן דוגמאות: זוגות לא סדורים כיוון שבקבוצה סדר לא חשוב.

גרפים אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 הגדרה: מגן דוגמאות: זוגות לא סדורים כיוון שבקבוצה סדר לא חשוב. אלגוריתמים בתורת הגרפים הרצאה 1 גיא פלג 15 במרץ 2012 אתר הקורס.clickit3 מרצה : בני מוניץ הציון: מבחן סופי: 80% שיעורי בית 20% ואפשרות לבוחן אמצע 20% מגן גרפים הגדרה: תהי V קבוצה סופית לא ריקה. ותהי E קבוצה

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #8-9

מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #8-9 מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #89 מציאת מסלולים קצרים הבעיה: נתון גרף ממשוקל רוצים למצוא את המסלול הקצר בין זוג קודקודים עיקרון הרלקסציה של קשת: בדיקה האם ניתן לשפר מסלול מ s ל v ע"י מעבר דרך קודקוד u:?

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

logn) = nlog. log(2n

logn) = nlog. log(2n תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5

מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5 מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5 כתוב אוטומט דטרמיניסטי לשפות הבאות מעל הא"ב.Σ={,} א. *Σ. q, ב. q, ג. {ε}, q, q ד. } = 3 {w w mod, q, q,, ה. ''} {w w does not contin the sustring q 4 q 3 q q כתוב אוטומט דטרמיניסטי

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ). מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר עי החמישייה: 2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים (234218) 1

מבני נתונים (234218) 1 מבני נתונים (234218) 1 חומר עזר לבחינה 13 בספטמבר 2016 שימו לב: מותר לצטט טענות המופיעות בדף זה ללא הוכחה. כל טענה אחרת, שאינה מופיעה באופן מפורש, יש לנמק באופן מלא. נימוקים מהצורה "בדומה לטענה שבחומר

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת תרגול 3 ניתוח לשיעורין תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר 2011. ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת חסמי זמן ריצה נמוכים יותר מאשר חסמים המתקבלים כאשר

Διαβάστε περισσότερα

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע "י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות:

ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות: שאלה 1 בנה אוטומט המקבל את שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} המכילות לפחות פעם אחת את הרצף ומיד אחרי כל אות מופיע הרצף. ניתן לפרק את השפה לשתי שפות בסיס מעל הא"ב :{,,} שפת כל המילים המכילות לפחות פעם אחת את

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5

ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5 הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) ביטויים רגולריים הרצאה 5 המצגת מבוססת על ספרם של פרופ' נסים פרנסיז ופרופ' שמואל זקס, "אוטומטים ושפות פורמליות", האוניברסיטה הפתוחה, 1987. גרסה ראשונה

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ.קריבלביץ' 1.2 אידאלים של פולינומים הגדרה 1.13 יהי F שדה. קבוצת פולינומים [x] I F נקראת אידיאל ב [ x ] F אם מתקיים:.0 I.1.2 לכל f 1, f 2 I מתקיים.f

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים

אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים אלגוריתמים ללכסון מטריצות ואופרטורים לכסון מטריצות יהי F שדה ו N n נאמר שמטריצה (F) A M n היא לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה (F) P M n כך ש D P AP = כאשר λ λ 2 D = λ n

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015)

מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מרצה: פרופ' בני שור מתרגלים: אורית מוסקוביץ' וגל רותם 28.1.2015 הנחיות: 1. מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני כתיבת התשובות. 2. משך

Διαβάστε περισσότερα

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק.

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק. 1 גרפים / חזרה כללית: סיכומים למבחן בקורס אלגוריתמים סמסטר א' 2008-9 (פרופ' מיכה שריר) מושגים: גרף: גרף,, V קבוצת קודקודים, קבוצת קשתות. מכוון: הקשתות הן זוגות סדורים, לא מכוון: הקשתות הן קבוצה בת שני

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו

מבני נתונים מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשסו TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצים: רן אל-יניב, נאדר בשותי מבני נתונים 234218-1 מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

Nir Adar

Nir Adar גירסה 28.6.2003-1.00 רשימת דילוגים מסמך זה הורד מהאתר. אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש במידע המופיע במסמך, וכן לנכונות

Διαβάστε περισσότερα

גירסה liran Home Page:

גירסה liran   Home Page: גירסה 1.00 26.10.03 סיכום באלגברה א מסמך זה הורד מהאתר.hp://uderwar.liveds.co.il אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

Regular Expressions (RE)

Regular Expressions (RE) Regular Expressions (RE) ביטויים רגולריים עד כה דנו במספר מודלים חישוביים להצגת (או ליצור) שפות רגולריות וראינו שכל המודלים האלה הם שקולים מבחינת כוח החישובי שלהם. בסעיף זה נראה עוד דרך להצגת (או ליצור)

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים מבחן מועד א' סמסטר חורף תשס"ו

מבני נתונים מבחן מועד א' סמסטר חורף תשסו TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצים: רן אל-יניב, נאדר בשותי מבני נתונים 234218-1 מבחן מועד א' סמסטר חורף תשס"ו

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון:

מבני נתונים אדמיניסטרציה דר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: מבני נתונים בס"ד, ט' אדר א' תשע"א: שעור 1 אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: בחינת מגן 20%. תרגילים: 14 13, מורידים את האחד הכי גרוע. 10% מהציון. אתר: www.cs.huji.ac.il/~dast

Διαβάστε περισσότερα

תורישק :תורישקה תייעבב בוש ןייענ?t- t ל s- s מ לולסמ שי םאה 2

תורישק :תורישקה תייעבב בוש ןייענ?t- t ל s- s מ לולסמ שי םאה 2 סריקה לעומק רכיבים אי-פריקים רכיבים קשירים היטב מיון טופולוגי פרק 3 ב- Kleinberg/Tardos פרק 3.3-5 ב- al Cormen et קשירות נעיין שוב בבעיית הקשירות: ל- t? האם יש מסלול מ- s קשירות נעיין שוב בבעיית הקשירות:

Διαβάστε περισσότερα

חלק א' שאלה 3. a=3, b=2, k=0 3. T ( n) היותר H /m.

חלק א' שאלה 3. a=3, b=2, k=0 3. T ( n) היותר H /m. פתרון למבחן במבני נתונים, מועד א', קיץ 2005 חלק א' שאלה 1 א. רכיב הקשירות החזק של קודקוד x בגרף מכוון הינו אוסף כל הקודקודים y שמקימים שיש מסלול מ- x ל- y וכן מסלול מy ל- x. טעויות נפוצות שכחו לכתוב שזה

Διαβάστε περισσότερα

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1

גמישויות. x p Δ p x נקודתית. 1,1 גמישויות הגמישות מודדת את רגישות הכמות המבוקשת ממצרך כלשהוא לשינויים במחירו, במחירי מצרכים אחרים ובהכנסה על-מנת לנטרל את השפעת יחידות המדידה, נשתמש באחוזים על-מנת למדוד את מידת השינויים בדרך כלל הגמישות

Διαβάστε περισσότερα

בשחמה יעדמב תומסרופמ תויעב ןד גוא רתויב רצקה לולסמה תאיצמ קלופ הרש הבתכ היעבה רואית

בשחמה יעדמב תומסרופמ תויעב ןד גוא רתויב רצקה לולסמה תאיצמ קלופ הרש הבתכ היעבה רואית אוגדן בעיות מפורסמות במדעי המחשב מציאת המסלול הקצר ביותר כתבה שרה פולק תיאור הבעיה הבעיה המתוארת בפרק זה עוסקת במציאת המסלול הקצר ביותר בין שני צמתים בגרף משוקלל. את הבעיה הגדיר דייקסטרה בשנת 1956, כשעבד

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה.

הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. 1 לוגיקה סיכום הגדרות משפטים ודברים חשובים אחרים תודה רבה לניצן פומרנץ על הסיכום הכולל של החומר הקדמה הגדרה 0.1 טיעון הוא תקף אם בכל פעם שההנחות נכונות גם המסקנה נכונה. הערה 0.2 נשים לב שלכל שפה יש רובד

Διαβάστε περισσότερα

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod )

שדות הגדרת השדה: חשבון מודולו n: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות משפט: יהא F שדה. משפט: יהא F שדה ו- (mod ) שדות הגדרת השדה: הגדרה: שדה F הוא קבוצה שיש בין אבריה שתי פעולות אחת נקראת חיבור ותסומן ב + האחרת נקראת כפל ותסומן ב * כך שתתקיימנה הדרישות הבאות: a, b F a b. סגירות לחיבור: F a F a 0 0 a a a, b, c F a

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 8: מטלאב לולאות

תרגול 8: מטלאב לולאות מבוא למחשב בשפת Matlab : מטלאב לולאות נכתב על-ידי רמי כהן,אולג רוכלנקו, לימור ליבוביץ ואיתן אביאור כל הזכויות שמורות לטכניון מכון טכנולוגי לישראל לולאת while a=input('enter a positive number:'); קליטת

Διαβάστε περισσότερα