חשבון אינפיניטסימלי 1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "חשבון אינפיניטסימלי 1"

Transcript

1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית,

2 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L A TEX 2ε ב- 15 בפברואר עדכונים ותיקונים יופיעו ב-/ לתגובות, לתיקונים ובכל עניין אחר, אנא כתבו ל- yuvak@gmx.net. סיכומים נוספים בסדרה: אלגברה לינארית 1 חשבון אינפיניטסימלי אלגברה לינארית 2 חשבון אינפיניטסימלי 2 תורת הקבוצות תורת ההסתברות 1 מבנים אלגבריים

3 תוכן עניינים R המספרים הממשיים שדות קבוצות אינדוקטיביות עקרון ההוכחה באינדוקציה תכונת השלמות שורשים וחזקות סדרות 2 19 אריתמטיקה של גבולות התכנסות במובן הרחב סדרות מונוטוניות המספר. e תת-סדרות גבולות עליונים ותחתונים סדרות קושי חזקות עם מעריך ממשי טורים טורים מתכנסים טורים חיוביים טורים עם סימנים מתחלפים קיבוץ איברים שינוי סדר הסכימה מכפלת טורים שברים עשרוניים פונקציות, גבולות ורציפות פונקציות גבולות רציפות תנאים לקיום גבול ולרציפות חסימות אריתמטיקה של גבולות הרכבת פונקציות משפט ערך הביניים פונקציות מונוטוניות 4.9 3

4 תוכן עניינים תוכן עניינים 55 פונקציות אלמנטריות גבולות במובן הרחב רציפות במידה שווה חשבון דיפרנציאלי 5 59 הנגזרת הנגזרת כשיפוע המשיק אריתמטיקה של נגזרות נגזרת הפונקציה ההפוכה משפטי ערך ממוצע נגזרות הפונקציות הטריגונומטריות 5.6 4

5 R 1 המספרים הממשיים R 1 המספרים הממשיים 1.1 שדות אקסיומות השדה הגדרה. (,+,F) 1 תיקרא שדה אם מתקיימות התכונות הבאות: שדה x, y F x y = y x, x + y = y + x.1 (חילוף קומוטטיביות) x, y, z F (x y) z = x (x y), (x + y) + z = x + (y + z).2 (קיבוץ אסוציאטיביות) x, y, z F x (y + z) = xy + xz.3 (פילוג דיסטריבוטיביות ( 2 0 F : x F x + 0 = 0 + x = x.4 1 F : x F 1 x = x 1 = x (קיום איברים נייטרליים) x F y F : x + y = y + x = 0.5 (קיום איברים נגדיים; האיבר הנגדי יחיד, לכן נוכל לסמנו y) = x 0 x F y F : x y = y x = 1.6 (קיום איברים הפכיים; האיבר ההפכי יחיד, לכן נוכל לסמנו 1 x y) = תכונות שדה מסקנות מהאקסיומות: x, y, a F x + a = y + a = x = y.1 הוכחה. נחבר את האיבר הנגדי: x + a = y + a = (x + a) + ( a) = (y + a) + ( a) על-פי חוק הקיבוץ ותכונת הנגדי, נקבל = x + (a + ( a)) = y + (a + ( a)) = x = y.2 (א) = 0 0 x x הוכחה. 0 x = x 0 = x (0 + 0) = x = נחבר 0 x, ועל-פי תכונת הנגדי, נקבל x 0 + ( x 0) = x 0 + x 0 + ( x 0) 0 = x 0 1 קבוצה שמוגדרות בה הפעולות הבינאריות : F F F + ("חיבור") ו- F : F F ("כפל"). 2 במערכות שאינן שדה, לעתים תתקיים תכונה זו רק מימין או משמאל; כאן אין זה משנה, בגלל חוק החילוף. 5

6 R 1 המספרים הממשיים 1.1 שדות x ax + b = c = a 1 (ax + b) = a 1 c (ב) x ( 1) = x a 0, b, c F!x F : ax + b = c.3 הוכחה. נניח כי x קיים ונוכיח כי הוא יחיד. = x + a 1 b = a 1 c = x + a 1 b + ( a 1 b) = a 1 c + ( a 1 b) = x = a 1 c a 1 b = a 1 (c b) יחידות x נובעת מהמוגדרות-היטב של הכפל. כדי להוכיח קיום, נציב במשוואה או נטען שניתן להפוך את הגרירות..4 (א) = 0 0 (ב) = (x + y) = ( x) + ( y).5 ( x) = x.6 x, y F x 0 y 0 = x y 0, (x y) 1 = x 1 y 1.7 x 0 (x 1 ) 1 = x.8 (x y) = ( x) y = x ( y).9 x 0 ( x) 1 = (x 1 ) תכונת הסדר שדה סדור הגדרה. שדה (,+,F) ייקרא שדה סדור אם על (,+,F) ניתן להגדיר יחס סדר המקיים את התכונות הבאות:.1 לכל,x, y F אחת משלוש האפשרויות x = y,y < x,x < y מתקיימת;.2 תורשתיות (טרנזיטיביות): x, y, z F x > y y > z = x > z 3.3 תאימות לפעולות + ו- : x, y, z F x < y = x + a < y + a x, y F a > 0 x < y = a x < a y דוגמה. R הוא שדה סדור. מתקיימות התכונות: x < y, u < v = x + u < y + v.1 x < y = x + u < y + u u < v = y + u < y + v הוכחה. לכן, מטרנזיטיביות,.x + u < y + v x < y y < x.2 3 תכונה דומה עבור שוויון קיימת אף בשדה לא-סדור, כמובן. 6

7 1.2 קבוצות אינדוקטיביות R 1 המספרים הממשיים הוכחה. אם x < y אזי y)),x + ( (x + y)) < y + ( (x + ולכן. y < x x 0 = x > 0 x > 0.3 a < 0 = (x < y ax > ay).4 x < 0, y < 0 = 0 < x y.5 4 x 0 = x x > 0.6 x > 0 = x 1 > 0 x < 0 = x 1 < אם x > y שווי סימן, 1 x y 1 > טענה 1 (צפיפות הסדר): יהי <), +, (F, שדה סדור, ויהיו.x < y F אזי קיים איבר z F המקיים.x < z < y הוכחה. ידוע כי ל- F 1 = יש איבר הפוך. נגדיר y).z = 2 1 (x + למה :1.1 y x < z < x < y = x + x < x + y = (x + y) < y + y = x < 2 1 (x + y) < y הוכחה. x x 0. x = הגדרה. יהי x. F הערך המוחלט של x מוגדר על-ידי x x < ערך מוחלט אי-שוויון המשולש x, y F טענה 2 (אי-שוויון המשולש): y x + y x + הוכחה. אם = 0 x או = 0 y או x ו- y שווי סימן, הטענה טריוויאלית (ויתקבל שוויון). כעת נניח כי x ו- y שוני סימן. בלי הגבלת הכלליות, נניח y. < 0 < x נניח בנוסף 0 y x. + אזי y. x + y = x + y = x + ( y ) < x + איבר מקסימלי איבר מינימלי הגדרה. יהי <), +, (F, שדה סדור. תהי.A F איבר a 0 A ייקרא האיבר המקסימלי ב- A אם. a A a a 0 איבר a 1 A ייקרא האיבר המינימלי ב- A אם. a A a a 1 הגדרה. יהי <), +, (F, שדה סדור. יהיו.a 1 < a 2 F תת-הקבוצה I F המוגדרת על-ידי קטעים } 2 I = {f F a 1 < f < a נקראת קטע פתוח ב- F. אילו a 1 ו- a 2 היו נכללים בקטע (אי-שוויון חלש במקום חריף בהגדרת הקבוצה), הקטע היה נקרא קטע סגור. (קטע יכול, כמובן, להיות חצי פתוח וחצי סגור.) אם גבולות הקטע בשדה, הקטע נקרא קטע חסום. (קטע לא-חסום יהיה, למשל, מהצורה (.I = {f F a 1 > f} 4 זהו מקרה פרטי של תכונה 5. 7

8 R 1 המספרים הממשיים 1.2 קבוצות אינדוקטיביות 1.2 קבוצות אינדוקטיביות קבוצה אינדוקטיבית הגדרה. תת-קבוצה I R נקראת קבוצה אינדוקטיבית אם I 1 ומתקיים לכל x כי.x I = x + 1 I הטבעיים הגדרה. הקבוצה N R קבוצת המספרים הטבעיים היא הקבוצה בין כל הקבוצות האינדוקטיביות: I I אינד =.N טענה 3: N היא קבוצה אינדוקטיבית. הוכחה. I R אינדוקטיבית = I.1 מכאן, I I = N אינד.1 כעת, יהי.x N אז לכל I אינדוקטיבית,.x I לפי התנאי השני,.x + 1 I מכאן x + 1 I ולכן.x + 1 N הראינו N 1 וכן ; x N x + 1 N לכן N אינדוקטיבית טענה :4 אם I N קבוצה אינדוקטיבית,.I = N משפט 5: ב- N מתקיימות הטענות הבאות: m, n N א. m + n N m, n N ב. m n N m, n N ג. N) (n > m = n m n N ד. + 1 n ^n N : n < ^n < א. יהי.n N נגדיר.I n = {m N n + m N} N הוכחה. I n היא קבוצה אינדוקטיבית. למה 1.5: הוכחה. אם n N אז,n + 1 N ולכן I n.1 כעת, יהי ;m I n נראה כי.m + 1 I n מכך ש-,m I n מתקיים N ;n + m N אינדוקטיבית ולכן.n + (m + 1) N אז.m + 1 I n הראינו כי I n N קבוצה אינדוקטיבית, ולכן.I n = N ב. יהי.n N נגדיר N}.J n = {m N n m J n היא קבוצה אינדוקטיבית. למה 2.5: הוכחה. n = n N,1 לכן J n.1 כעת, יהי.m J n אז,n m N ולפי 5 א גם.m + 1 J n כלומר,.n m + n = n(m + 1) N ג. נגדיר N)}.K = {n N m N (n > m = n m n N למה 1 :3.5 n הוכחה. נגדיר.I = {n N n 1} N מתקיים 1,1 לכן I.1 עבור 1,n מתקיים 1 1 +,n ולכן גם.n + 1 I אז I N אינדוקטיבית, ומכאן.n 1,n N כלומר, לכל.I = N 8

9 1.2 קבוצות אינדוקטיביות R 1 המספרים הממשיים לפי הלמה, 1} < m {m N = כלומר, התנאי מתקיים באופן ריק לגבי = 1,n ולכן K.1 כעת, נניח כי n K ונראה כי.n + 1 K מכך ש- K. m < n n m N,n נתבונן ב- 1 +,n ויהי + 1 n.s < נראה כי n + 1 s N וינבע ש- K :n + 1 אם.s > 1 אחרת, ;n = n N מתקיים,s = 1 למה :4.5 לכל.n 1 N,1 < n N הוכחה. נניח כי קיים ^n < 1 שעבורו.^n 1 N אזי {^n} J = N \ קבוצה אינדוקטיבית: 1 ^n ולכן J ;1 עבור {^n}.n + 1 N \ {^n + 1},n N \ 5 אז J אינדוקטיבית = N J = סתירה, והלמה מתקיימת. לפי הלמה,.s 1 N בנוסף, + 1 n s < ולכן ;s 1 < n אז על-פי ההנחה,.n (s 1) = n + 1 s N ד. נניח כי קיים N x כך ש- 1 + n.n < x < אז בפרט + 1 n ;x < לכן מתקיים = 1 n.x n < n + 1 אבל + 1 n n < ולכן, מהטענה הקודמת, x n טבעי וקטן מ- 1 סתירה ללמה 3.5. הגדרה. הקבוצה Z קבוצת המספרים השלמים היא הקבוצה השלמים Z = {n N} {0} { n N} טענה :6 מספר ממשי x R הוא מספר שלם m x = n עבור.n, m N הוכחה. (= ) ראשית, נראה כי לכל n m,n m, n שלם. אם,n > m על-פי טענה 5 ד.n m N אם.n m = 0 Z,n = m אם,m n = (n m) N,n < m ואז.n m Z ( =) יהי.x Z נראה כי קיימים n, m N כך ש- m.x = n אם > 0,x 1 1) + (n x = n = טבעי. אם = 0,x.x = 1 1 אם < 0,x x = n N ונוכל לכתוב.x = 1 (n + 1) טענה 7: המספרים השלמים סגורים לכפל ולחיבור. הוכחה. כתרגיל. הגדרה. הקבוצה Q קבוצת המספרים הרציונאליים היא הקבוצה { m, n Z Q = x R x = m } n = m n 1 הרציונאליים n 0 טענה 8: קבוצת המספרים הרציונאליים עם פעולות הכפל והחיבור ויחס הסדר של המספרים הממשיים מהווה שדה סדור: <), +, (R,.(Q, +,, <) 5 יש לשים לב שאנו לא מניחים ש- 1 n קיים ב- J ; אם,n J ודאי n + 1 J קיים, והרי אם נניח n + 1 = ^n מראש n, / N לפי ההנחה. 9

10 R 1 המספרים הממשיים 1.3 עקרון ההוכחה באינדוקציה הוכחה. מספיק להוכיח סגירות (ביחס לכפל, חילוק, לקיחת נגדי ולקיחת הופכי) כל השאר נורש מ- R. קיום 1 0, נובע מיידית מההגדרה. 1.3 עקרון ההוכחה באינדוקציה אינדוקציה פשוטה אינדוקציה משפט 9 (אינדוקציה פשוטה): תהי (n) P סדרת טענות (N n). אם (1) P טענה נכונה ולכל n נכונה לכל P (n) נכונה), P (n + 1) = נכונה P (n)) מתקיים n N הוכחה. נגדיר (n)} P טענה נכונה N.I = {n על-פי הנתון, I 1 ו- I.n I = n+1 אז I אינדוקטיבית. בנוסף,,I N ולכן.I = N אינדוקציה מלאה משפט 10: תהי A N. אזי ב- A קיים איבר מינימלי. הוכחה. נניח בשלילה כי לקבוצה A אין מינימום. אם A = N אזי = 1 A,min לכן נניח בנוסף.B = {b N a A a b} תהי.A N למה 1.10: B קבוצה אינדוקטיבית. הוכחה. B,1 כי 1 n n N ובפרט 1 a. a A N כעת נניח כי.n B אזי. a A a n אך אם n,n A איבר מינימלי ב- A סתירה; לכן.n / A (כלומר, אי-השוויון הופך לחריף.) למה + 1 :2.10 n a A a (כלומר, (n + 1 B הוכחה. לפי טענה 5 ד, + 1 n. x N x > n = x מכאן נקבל כי מתקיים.n + 1 B ולכן, a A a > n = a n + 1 כעת, B N אינדוקטיבית = N.B = לכן =,A 6 בסתירה להנחה. 7 טענה 11: לכל קבוצה סופית לא-ריקה של מספרים טבעיים יש מקסימום. הוכחה. נוכיח באינדוקציה על מספר איברי הקבוצה. עבור = 1 n, הטענה טריוויאלית. נניח כי הטענה נכונה עבור.n תהי B קבוצה בת + 1 n איברים: } n+1.b = {b 1,..., b נגדיר } n.a = {b 1,..., b על-פי הנחת האינדוקציה, ל- A קיים מקסימום.max A = a נפריד לשני b n+1 a < b n+1 max B = a a b n+1 מקרים: 6 כפי שהוסבר בהוכחת למה,1.10 A.n B = n / 7 כלומר, לא קיימת A כך של- A אין איבר מינימלי. 10

11 1.4 תכונת השלמות R 1 המספרים הממשיים משפט 12 (אינדוקציה מלאה): תהי (n) P סדרת טענות (N n). אם לכל n N מתקיים אינדוקציה מלאה 8.n נכונה לכל P (n),( k < n נכונה P (k) = נכונה P (n)) הוכחה. תהי (b)} P איננה נכונה N.B = {b נניח בשלילה.B מכאן, ל- B קיים איבר מינימלי.b 0 אז לכל P (k) b 0 > k נכונה, ולכן ) 0 P (b נכונה סתירה לכך ש- B b 0 (כלומר, ) 0 P (b איננה נכונה). 1.4 תכונת השלמות שלמות R טענה :13 לא קיים r Q כך ש- 2 = 2.r הוכחה. נניח בשלילה שקיים.( 9 p, q N) r = p q.r2 = 2,r Q בלי הגבלת הכלליות, נוכל r 2 =. a A, b B אזי להניח כי p או q אי-זוגי. אז ( ) 2 p = 2 = p 2 = 2q 2 = זוגי p אי-זוגי q q מכיוון ש- p זוגי, ניתן לכתוב p, = 2m ואז (2m) 2 = 2q 2 = 2m 2 = q 2 = זוגי q סתירה. משפט 14 (אקסיומת השלמות): תהיינה A, B R כך ש- b a קיים R r כך ש- r. b B b r, a A a (כלומר, קיים איבר ממשי שמפריד, במובן החלש, בין A לבין B.) דוגמה. ברציונאליים האקסיומה לא מתקיימת: נבחר, למשל, } 2 > q A = { q Q ו- } 2 < q.b = { q Q חסמים. a A איבר R c חסמים הגדרה. תהי.A R איבר R b נקרא חסם מלעיל של A אם a b. a A נקרא חסם מלרע של A אם a c הגדרה. תהי A. R איבר R r נקרא חסם עליון של (sup (A A אם r הוא חסם מלעיל של A ולכל חסם מלעיל b של.b r,a 10 איבר R r נקרא חסם תחתון של (inf A) A אם r הוא חסם מלרע של A ולכל חסם מלרע b של b. r A, דוגמה. אם 1} < x A = {x R 0 < אז = 1 A.sup אם } 2 < q B = { q Q אז 2 = B.sup אם N} C = { 1 1 n n אז = 1 C.sup 8 באופן מובלע מוכח ש-( 1 ) P נכונה מכיוון שאין טבעי קטן מ- 1, באופן ריק מתקיים שלכל < 1 k P (k) נכונה. 9 אפשר להניח זאת, כי r חיובי. 10 כלומר, r הוא החסם-מלעיל הקטן ביותר. 11

12 R 1 המספרים הממשיים 1.4 תכונת השלמות משפט 15: לכל קבוצה חסומה מלעיל A R קיים חסם עליון יחיד. הוכחה. תהי A R קבוצה חסומה מלעיל. נגדיר B להיות קבוצת החסמים-מלעיל של A: a}.b = {b R a R b אז B.A, לפי אקסיומת השלמות, קיים r R כך ש- r a A a ו- r. b B b למה 1.15: r הוא חסם עליון של A. הוכחה. (נובעת משני האי-שוויונים המגדירים את r.) למה 2.15: חסם עליון של קבוצה חסומה מלעיל A R הוא יחיד. הוכחה. יהיו r 1 r, 2 חסמים עליונים של r 2 r, 1 A. הם בפרט חסמים מלעיל של A. עליון מלעיל 1 r r 2 מלעיל עליון r 1 r 2 = r 1 = r טענה 16: תהי A קבוצה חסומה מלעיל. איבר r R הוא החסם העליון של A אם ורק אם א. r חסם מלעיל של A; ב. לכל < ε 0 קיים a A כך ש- a.r ε < הוכחה. (= ) נניח כי r R הוא חסם עליון של A. ראשית, על-פי הגדרה, r חסם מלעיל של A. נניח בשלילה כי קיים < ε 0 כך שלכל.a r ε a A במקרה זה, r ε חסם מלעיל; אך r, ε < r בסתירה לכך ש- r חסם עליון. ( =) נניח כי r R מקיים את התנאים א +ב. ראשית, r חסם מלעיל על-פי תנאי א. נניח בשלילה שקיים u R שהוא חסם מלעיל של.u < r,a נגדיר.ε 0 = r u לכל a u,a A ולכן,r ε 0 a בסתירה לתנאי ב. הגדרה. תהיינה.A, B R אזי A + B = {a + b a A b B} A B = {a b a A b B} A = { a a A} A 0 a A a 0 טענה 17: תהיינה,A B R קבוצות חסומות מלעיל. אז א. ;sup(a + B) = sup A + sup B ב. ;inf( A) = sup A ג. אם 0 B A, אזי.sup(A B) = sup A sup B הוכחה. כתרגיל. 12

13 1.4 תכונת השלמות R 1 המספרים הממשיים x R ארכימדיות הממשיים משפט 18 (ארכימדיות של המספרים הממשיים): n N : x < n ארכימדיות הממשיים הוכחה. נניח בשלילה כי N חסומה מלעיל; לכל קבוצה חסומה מלעיל קיים חסם עליון. יהי a R החסם העליון של N..a 1 2 למה :1.18 קיים n N כך ש- a < n הוכחה. ראשית, a חסם עליון של N ולכן. n N n a אם לא קיים n N שעבורו a 1 2 < n אז 1 2 a חסם מלעיל של,N בסתירה לכך ש- a (a 1 2 <) חסם עליון. 1 2 a n N : ולכן,a < a n + 1 N 11 בסתירה באמצעות הלמה, בפרט < n לכך ש- a חסם עליון של N..0 < 1 n מסקנה :19 לכל < ε R 0 קיים n N כך ש- ε <.ε 1 n אזי לכל.n 1 ε,n N קיבלנו הוכחה. נניח בשלילה כי קיים < ε 0 כך שלכל n, N שמספר ממשי גדול מכל טבעי, בסתירה לארכימדיות הממשיים צפיפות טענה :20 יהיו R a, b כך ש- b.a < a + 1 < אזי קיים מספר שלם z Z כך ש-( b.z (a, הוכחה. ראשית, מספיק להוכיח את הטענה עבור 0 b :a, אם (a, b),a < 0 < b,0 ואם 0 b,a < נחליף את האינטרוול b) (a, ב-( a.( b, כעת, a < a + 1 < b.0 נתבונן ב-{ a L = {s Z s קבוצת השלמים שחסומים מלעיל על-ידי.a למה :1.20 יהי u חסם עליון של.L אזי.a 1 u הוכחה. נניח 1 a.u < אם נחליף כל s L ב- 1 + s,t = עדיין יתקיים,t a בסתירה לכך ש- u חסם עליון. 12 לכן.a 1 u למה :2.20 u.a 1 < קיים s L כך ש- a.a 1 < s u אחרת, 1 a חסם מלעיל סתירה. לכן.s + 1 (a, b) ולכן,s + 1 Z בנוסף,.a < s + 1 a + 1 < b. b, c R הגדרה. תת-קבוצה A R נקראת צפופה אם c) c > b = A (b, תת-קבוצה צפופה טענה 21: R Q היא קבוצה צפופה. 11 חיברנו 1 לשני האגפים. 12 החסם העליון על + 1 L גדול ב- 1 מזה של L למעשה, "הזזנו" כל איבר ב- L קדימה ב

14 R 1 המספרים הממשיים 1.5 שורשים וחזקות < 1.0 קיים n N כך הוכחה. יהיו R b, c כך ש- b.c > אז > 0 b ;c נתבונן ב- c b.c b נקבל > 1,b = nb,c = nc ואם נסמן,nc nb לפי הארכימדיות. אז > 1,n > 1 ש- c b. ^z n ( b n, c לכן, מהטענה הקודמת, קיים מספר שלם Z ^z כך ש-( c.^z (b, אז c) n ) = (b,.(b, c) קיים באינטרוול, ^z n כלומר, לפחות מספר רציונאלי אחד, טענה :22 יהיו.b, c R אם,c > b אזי c) (b, מכיל אינסוף מספרים רציונאליים. הוכחה. נניח בשלילה שקיים אינטרוול (c,b) שמכיל מספר סופי של מספרים רציונאליים. יהיו a 1,..., a n כל המספרים הרציונאליים באינטרוול c).(b, לכל קבוצה סופית של מספרים ממשיים קיים מקסימום; יהי.q = max a i אז b < q < c ו-( c (q, c) (b, לא מכיל נקודות רציונאליות, בסתירה לצפיפות Q. 1.5 שורשים וחזקות טענה :23 קיים r R כך ש- 2 = 2.r 13 הוכחה. נגדיר } 2 2 U 14.U = { x R x חסומה מלעיל (למשל, על-ידי,(2 לכן קיים ל- U חסם עליון. יהי r R החסם העליון של U. למה = 2 : r הוכחה. נניח בשלילה כי > 2 2.r עבור < ε,0 נתבונן ב- ε) 2 :(r (r ε) 2 = r 2 2εr + ε 2 r 2 2εr ε < r2 2 2r עבור ε מספיק קטן, גם > 2 2εr :r 2 אם ניקח,2εr < r 2 2 נקבל ו- (r ε) 2 < r 2 <.2 לכן r ε הוא חסם מלעיל של,U בסתירה לכך ש- r.sup U = כעת נניח בשלילה כי < 2 2.r נתבונן ב- ε) 2,(r + עבור < ε < r :0 (r + ε) 2 = r 2 + 2εr + ε 2 = r 2 + ε(2r + ε) r 2 + 3εr (r+ε) 2 U אז.(r+ε) 2 r 2 +3εr ולכן < 2 3εr < מתקיים 2 r 2 ε < 2 r2 3r אם ו- r איננו חסם מלעיל סתירה.,a 0 = 1,a בנוסף, נגדיר עבור 0.a n = a }. {{.. a } הגדרה. יהי.n N,a R נסמן n פעמים.a n = 1 a = (a n ) 1 n חזקה a n+m = m a n a טענה :24 m a kn = (a n ) k 13 עד כה, הראינו ש- 2 אינו רציונאלי, אך לא הוכחנו ממשיות. על-מנת להוכיח זאת, נשתמש בתכונה היחידה שהממשיים מקיימים אך לא הרציונאליים שלמות (או, באופן שקול, קיום סופרמום). 14 אפשר גם לקחת רק את החיוביים; זה לא משנה. 14

15 1.5 שורשים וחזקות R 1 המספרים הממשיים הגדרה. יהי r = a 1 n = n a.n N,0 < a הוא המספר הממשי החיובי המקיים.r n = a שורש טענה :25 יהי < x, y R,n N,0 < a.0 אז.x n = y n = a = x = y 15 הוכחה. נניח בשלילה כי < y < x.0 מכאן,,y n < x n בסתירה להנחה.x n = y n משפט :26 לכל < n N 0 קיים < r R 0 כך ש- a.(r = a 1 n = n a) r n = הוכחה. ניתן להכליל את טענה 23 לקיום שורש ריבועי לכל ממשי חיובי. למה :1.26 לכל < u 1 ולכל n N קיים < x R 1 כך ש- u < x n <.1 הוכחה. 1,n לכן 2 n > n ומכאן לכל > 1,x.x n < x 2n אז מספיק להוכיח כי קיים x = 1+u ומתקיים 2 R u כך ש- u.x 2n < נוכיח באינדוקציה על.n אם = 1,n נבחר. u > 1 1 < x 2 < u כעת נניח כי ל- N n נתון, לכל < u 0 קיים < x 1 כך ש- u < x 2n < 1 ונמצא x כך ש- u :x 2n+1 < לפי הנחת האינדוקציה, קיים < x R 1 כך ש- u,x 2n < 16 ולכן.x 2n+1 = (x 2n ) 2 < u יהי < a 1 ויהי.n N נגדיר a}.l = {x > 0 x n זו קבוצה חסומה מלעיל, לכן קיים.r = sup L למה :2.26 a r n =. a לפי למה,1.26 קיים < λ 1 כך הוכחה. נניח בשלילה כי.r n < a אזי > 1 n r בסתירה לכך ש- r,λr L אז.(λr) n = r n λ n < ו- a λ n < a r n ובפרט,1 < λ n < a ש- r n הוא חסם מלעיל.. a לפי למה,1.26 קיים < δ 1 כך כעת נניח בשלילה כי.r n > a אזי < 1 n r a, < rn בסתירה לכך ש- r חסם עליון. 17 ש- < δn < rn a,1 ובפרט δ n < rn a ו- δ n = ( r δ )n לכן.r n = a.( 1 r )n = ו- a r n = 1 a אז ; r : r = n 1 עבור < 1 a <,0 מתקיים a 1 < 1 ו- a m n טענה :27 א. a = mn a a m n ב. m ab = m a m b n a < ג. n b a < b ד. m a < n a m < n,1 < a הוכחה. כתרגיל. def הגדרה. (a 1 n ) m = ( n a) m = (k, m, n N,a < 0) a km טענה :28 n kn = a m הוכחה. כתרגיל. 15 טענה זו מוכיחה את יחידות השורש. 16 נשים לב כי ) 2 2n.x 2n+1 = x 2n 2 = (x 17 מתקיים < δ = r δ < r 1 ץ 15

16 2 סדרות 2 סדרות סדרה איברי הסדרה ;a i R מסמנים n=1 (a n ) 18. ניתן להגדיר סדרה כהעתקה.f : N R דוגמה (סדרה קבועה). n a n = c R a n = 1 n דוגמה (סדרה הרמונית). דוגמה (סדרה חשבונית). n > 1 a n a n 1 = t a 1, q 0 an+1 a n דוגמה (סדרה גיאומטרית). = q הגדרה. יהי a R ויהי > 0.ε הקטע הפתוח ε) (a ε, a + נקרא סביבה (סביבת (ε של הנקודה.a הגדרה. תהי n=1 (a n ) סדרה. איבר b R הוא גבול של הסדרה n=1 (a n ) אם 0 ε > 0 n.n n > n 0 a n b < ε סביבה של נקודה גבול של סדרה הגדרה. תהי P טענה. נאמר שסדרה 1=n a) n ) מקיימת את הטענה P כמעט לכל n אם קיים n 0 טבעי כך שלכל n > n 0 הטענה מתקיימת עבור a. n הגדרה. תהי n=1 (a n ) סדרה. איבר b R הוא גבול של הסדרה ) n (a אם לכל < ε 0 איברי הסדרה שייכים לסביבת ε של b כמעט לכל n. הגדרה. סדרה 1=n a) n ) נקראת סדרה מתכנסת אם קיים לה גבול. סדרה 1=n a) n ) שאין לה גבול נקראת סדרה מתבדרת. גבול של סדרה: הגדרה שקולה סדרה מתכנסת סדרה מתבדרת דוגמה. 0 היא נקודת גבול של הסדרה ההרמונית, n=1.(a n = 1 n ) הוכחה. צ"ל כי לכל > 0 ε קיים n 0 N כך שלכל.a n 0 < ε n > n 0 n 0 < n <.0 לכל 1 n 0 יהי נתון > 0 ε. הראינו (מסקנה 19) כי קיים n 0 כך ש- ε < (. ( 1)n n, 1 n < 1 n 0 כנדרש. מתקיים < ε (a n = ( 1)n מתכנסת ל- 0. דוגמה. n=1 n ) 0 = 1 n הוכחה. (אותה הוכחה, כי דוגמה. סדרה גיאומטרית מתבדרת אם > 1 q ומתכנסת ל- 0 אם < 1 q. למה :1.28 1) > (.q לכל x R קיים n N כך ש- x.q n > הוכחה. > 1 q.(c > 0) q = 1 + c = כעת, על-פי אי-שוויון ברנולי, 19 = n q (1 + c) n > n > כך שלכל n 0 אזי קיים n 0.x R יהי.(1 + c) n 1 + nc.n 0 > x c נבחר.(1 + c)n0 1 + n 0 c > x 18 או n=1.{a n} 19 אי-שוויון ברנולי:.(x 1) n N (1 + x) n 1 + nx ניתן להוכחה באינדוקציה. 16

17 2 סדרות בהינתן,x R על-פי הלמה,. n 0 n > n 0 q n > x לכן הסדרה מתבדרת. למה :2.28 1) < q < (.0 לכל < ε 0 קיים n 0 N כך שלכל.q n < ε n > n 0 1 n > n 0 ε < <.1 כעת, לפי הלמה הקודמת, מתקיים 1 q הוכחה. < 1 q < 0 =.q n < ε = ( 1 q )n משפט :29 תהי n=1 (a n ) סדרה מתכנסת. אם a ו- b הן נקודות גבול של n=1 (a n ) אזי.a = b.ε = b a אזי 3 הוכחה. נניח בשלילה כי a. b בה"כ, a. < b יהי a ε < a < a + ε < b ε < b < b + ε = (a ε, a + ε) (b ε, b + ε) = a נקודת גבול, לכן קיים n 0 כך שלכל b.a n (a ε, a + ε) n > n 0 נקודת גבול, לכן קיים n 1 כך שלכל.a n (b ε, b + ε) n > n 1 לכן אם ניקח ) 1,n > max(n 0, n ε),a n (a ε, a + ε) (b ε, b + בסתירה לכך שהחיתוך ריק. טענה :30 תהיינה n=1 (b n ) n=1,(a n ) סדרות. אם a n = b n כמעט לכל,n אזי n=1 (a n ) מתכנסת 1=n b) n ) מתכנסת. אם הן מתכנסות, יש להן אותו גבול. הוכחה. נסמן ב- n ^ את האינדקס שהחל ממנו שתי הסדרות משתוות. אם ) n (a מתכנסת, אזי. ε > 0 n 0 n > n 0 a n a < ε כעת: ε > 0 n 1 = max(n 0, ^n) n > n 1 b n a = a n a < ε סדרה חסומה מלעיל סדרה חסומה מלרע הגדרה. סדרה n=1 (a n ) נקראת חסומה מלעיל אם קיים M R כך שלכל.a n M n N סדרה n=1 (b n ) נקראת חסומה מלרע אם קיים C R כך שלכל.b n C n N סדרה 1=n d) n ) נקראת חסומה אם היא חסומה מלעיל ומלרע. סדרה חסומה טענה :31 תהי n=1 (a n ) סדרה מתכנסת. אזי n=1 (a n ) סדרה חסומה. הוכחה. תהי 1=n a) n ) סדרה מתכנסת. אזי יש לה גבול. נסמנו ב- a. נבחר = 1 ε. מהתכנסות. a n a < 1 n > כך שלכל n 0 נובע שקיים n 0 (a n ) נגדיר } n0.c = min {a 1, a 1,..., a n0 },M = max {a + 1, a 1,..., a טענה :32 תהיינה n=1 (a n ) ו- n=1 (b n ) סדרות מתכנסות. אם קיים ^n כך שלכל ^n < n מתקיים.lim b n lim a n אז,b n a n הוכחה. נסמן.b = lim b n,a = lim a n נניח בשלילה כי.a < b מהתכנסות הסדרות נקבל.ε = b a 3 שקיים 0) n 1 = max(n a 0, n b כך שלכל a n a < ε n 1 < n ו- ε. b n b < נבחר.b n a n n בסתירה לכך שכמעט לכל,n כמעט לכל a n < a + b a 3 < b b a 3 כלומר, < b n 17

18 2 סדרות משפט 33 (משפט הסנדוויץ ): תהיינה n=1 (c n ) n=1,(b n ) n=1,(a n ) סדרות כך ש-( (a n ו-( (c n מתכנסות לאותו גבול.L נניח כי. M n > M a n b n c n אזי.lim b n = L הוכחה. צ"ל. ε > 0 n 0 n > n 0 b n L < ε יהי נתון (a n ).ε ו-( (c n מתכנסות ל- L, לכן קיימים n 2,n 1 כך שמתקיים < L n > n 1 a n n > n 0 L ε < a n אזי.n 0 = max(n 1, n 2, M) נגדיר. n > n 2 c n L < ε,ε n.b n L = bn L < ε = b n c n < L + ε.lim 1 n דוגמה. יהי < α Q.1 אזי = 0 α.lim 1 n 1 )0 (0 N. n לפי למת הסנדוויץ, = 0 α n 1 α n הוכחה. 0) ( דוגמה. יהי < 1 α <.0 אזי = 1 a.lim n הוכחה. ראשית, < 1 a.a a n = n נרצה להראות כי = 1 a.lim n נניח בשלילה שהסדרה אינה מתכנסת ל- 1. אזי קיים > 0 ε כך שקיימים אינסוף אינדקסים n שעבורם = n k a < 1 כך ש- ε nk כלומר, קיימים אינסוף אינדקסים 20. n a < 1 ε k 0 < k כך שלכל קיים k 0 (0 < δ < a (ובפרט, לכל 0 < δ אולם לכל.a < (1 ε) n k 0 (ε n k 1), בסתירה להנחת השלילה. לכן הסדרה מתכנסת ל- 1. < δ < a דוגמה. = 1 n.lim n הוכחה. נניח כי הסדרה אינה מתכנסת ל- 1. אזי קיים > 0 ε וסדרה אינסופית של אינדקסים. n k nk > 1 + כך ש- ε n 1, n 2,... (1 + ε) n k = 1 + n k ε + k n k(n k 1) 2 k 1 + ε < n k nk (1 + ε) n k < n k ( ) nk ε > 2 ( ) nk 2 על-פי נוסחת הבינום: ε 2 = n k(n k 1) ε 2 2 ε 2 < (1 + ε) n k < n k = n k 1 ε 2 < 1 0 < ε 2 < 2 2 n k 1 בסתירה לכך שהסדרה אינה מתכנסת ל- 1 לא יכול להיות שכל איברי סדרה ששואפת ל- 0.(ε 2 ) יהיו גדולים ממספר חיובי ( n k 1 2 ) למה 34: תהי 1=n a) n ) סדרה. הטענות הבאות שקולות: א. lim a n = a שהוא). 20 יש לשים לב שמדובר כאן על אי-התכנסות הסדרה למספר מסויים, לא על התבדרותה (אי-התכנסותה לכל מספר 18

19 2.1 אריתמטיקה של גבולות 2 סדרות ב. = 0 a) lim(a n ג. = 0 a lim a n הוכחה. השקילות נובעת מיידית מההגדרה: א. ε > 0 n 0 n > n 0 a n a < ε = lim a n = a ב. = 0 a) ε > 0 n 0 n > n 0 (a n a) 0 < ε = lim(a n ג. = 0 a ε > 0 n 0 n > n 0 a n a 0 < ε = lim a n טענה :35 תהי n=1 (a n ) סדרה. a.lim a n = a = lim a n = הוכחה. ε > 0 n 0 n > n 0 a n a < ε = lim a n = a צ"ל כי. ε > 0 n 0 n > n 0 a n a < ε על-פי אי-שוויון המשולש, a a n. a n a < ε = a n a < ε לכן. a n a 2.1 אריתמטיקה של גבולות משפט :36 תהיינה n=1 (b n ) n=1,(a n ) סדרות מתכנסות. אזי lim(a n + b n ) = lim a n + lim b n הוכחה. צ"ל. ε > 0 n 0 n > n 0 (a n + b n ) (a + b) < ε n 1 n > n 1 a n a < ε 2 וכן. n 2 n > n 2 b n a < ε 2 נגדיר על-פי הנתון,.n 0 = max(n 1, n 2 ) n > n 0 (a n +b n ) (a+b) = (a n a)+(b n b) a n a + b n n < ε 2 + ε 2 = ε משפט :37 תהיינה n=1 (b n ) n=1,(a n ) סדרות מתכנסות. אזי lim(a n b n ) = lim a n lim b n הוכחה. צ"ל. ε > 0 n 0 n > n 0 (a n b n ) ab < ε נגדיר 1 1) + b.c = max( a + 1, (מכאן, a < c ועל-פי אי-שוויון המשולש, (. b n b < min( ε 2c, 1) 1 = b n < b + 1 c n 2 n > וכן n 1 n > n 1 a n a < min( ε 2c, 1)( ε 2c על-פי הנתון, מתקיים ).n 0 = max(n 1, n 2 ) נגדיר.n 2 b n a < min( ε 2c, 1) 19

20 2 סדרות 2.1 אריתמטיקה של גבולות n > n 0 (a n b n ) ab = (a n a)b n + (b n b)a (a n a)b n + (b n n)a < ε 2c b n + ε 2c a < 2 ε 2c = ε משפט :38 תהיינה ) n )(b n,(a סדרות מתכנסות כך ש- 0 n lim b ולכל.b n 0 n אזי lim a n b n = lim a n lim b n.( ε > 0 n 0 n > n 0 1 b n 1 1 b < ε) lim b n = 1 limb n הוכחה. מספיק להוכיח כי n כמו-כן, עבור. b b n < min(ε b b 2, b מהתכנסות,b n קיים n 1 כך שלכל ) n > n 1 2 b, b b n < ε b ומכאן, 2 < ε b b n לכן. b מספיק גדול, n b < 2 1 b n 1 b = b b n b b n = b b n 1 b 1 b n < ε טענה :39 תהי ) n (a מתכנסת, > 0 n,lim a n 0, n a ויהי. 21 r Q אזי lim a r n = (lim a n ) r הוכחה. א. נניח כי r. N lim a r n = lim a n... a }{{ n = (lim a } n )... (lim a n ) = (lim a n ) r r פעמים ב. נניח כי.r Z אם = 0,r.lim a 0 n = lim 1 = 1 = (lim a n ) 0 = n a 0 n = 1 lim a r n = lim 1 a n... a n }{{} r פעמים = (lim 1 a n )... (lim 1 a n ) אם < 0,r 1 1 = lim a n... lim a n = (lim a n ) r m a n נניח בשלילה כי הסדרה.lim m a n = m lim a n נטען כי.(m N) r = 1 m ג. נניח כי אינה מתכנסת ל-. m lim a n אזי קיים < ε 0 כך שלסדרה אינסופית של אינדקסים n k. m a nk m lim a n > ε נניח כי לכל m a nk m lim a n > ε k (האפשרות השנייה כתרגיל). אזי לכל m a nk > m lim a n + ε k ומכאן > m a nk > ( m lim a n + ε). a n lim a n < ε m n > כך שלכל n 0 לא קיים n 0,a n בסתירה להתכנסות,lim a n +ε m 21 עדיין לא הגדרנו חזקות ממשיות. 20

21 2.2 התכנסות במובן הרחב 2 סדרות p lim a q n = אזי על-פי הסעיפים הקודמים,.(0 < q N) r = p q ד. נניח כי Q ( ) 1 p,(lim a כנדרש. q n ) p = (lim a n ) 1 q = (lim an ) p q b k = 1 k (סדרת הממוצעים). אזי טענה :40 א. תהי ) n (a סדרה מתכנסת. נגדיר k n=1 a n lim b k = lim a n (התכנסות צזארו). 22 ב. תהי ) n (a סדרה מתכנסת, > 0 n. n a נגדיר c k = k a 1... a k (סדרת הממוצעים הגיאומטריים). אזי.lim c k = lim a n lim n a n = מתכנסת. אזי q n = an+1 a n ג. תהי ) n (a סדרה, > 0 n. n a נניח כי הסדרה.lim an+1 a n הוכחה. כתרגיל. 2.2 התכנסות במובן הרחב סדרה מתכנסת ל- + סדרה מתכנסת ל- סדרה מתכנסת במובן הרחב הגדרה. סדרה n=1 (a n ) נקראת סדרה מתכנסת (במובן הרחב) ל- + אם > n M R n 0 C נקראת סדרה מתכנסת (במובן הרחב) ל- אם (a n ) סדרה n=1.n 0 a n > M.R n 0 n > n 0 a n < C סדרה 1=n a) n ) נקראת מתכנסת במובן הרחב אם היא מתכנסת או מתכנסת במובן הרחב ל- ±. דוגמה. a n = log n,a n = 2 n,a n = n מתכנסות במובן הרחב (ל- +). b n = ( 1) n מתבדרת, גם במובן הרחב. טענה 41: אם סדרה מתכנסת במובן הרחב אזי הגבול (במובן הרחב) יחיד. הוכחה. ראשית, נניח כי הסדרה ) n a) מתכנסת ל- R L. הוכחנו כי סדרה מתכנסת היא חסומה. לכן קיים < M R 0 כך ש- M, n N M < a n < ולכן הסדרה איננה מתכנסת במובן הרחב ל- ±. נניח כי ) n (a מתכנסת במובן הרחב ל- + (עבור כתרגיל). אזי > n M R n 0 n. 0 a n > M סדרה כזאת איננה חסומה, ולכן אין לה גבול ממשי. עם זאת, הסדרה ) n a) חסומה מלרע, ולכן איננה מתכנסת ל-. טענה 42: תהי ) n a) סדרה המתכנסת במובן הרחב ל- + ותהי ) n b) סדרה חסומה מלרע. אזי.lim(a n + b n ) = הוכחה. קיים C R כך ש- C. n N b n > צ"ל. M R n 0 n > n 0 a n + b n > a n + C > M מהתכנסות ) n (a (במובן הרחב) ל- + נובע כי n 0 n > n 0 a n > M C =. n > n 0 a n + b n > M 22 ההיפך אני בהכרח נכון: למשל, סדרת הממוצעים של הסדרה (המתבדרת) a n = (1 ) n היא. 1, 0, 1 3, 0, 1 5,

22 2 סדרות 2.3 סדרות מונוטוניות משפט 43: תהי ) n a) סדרה מתכנסת במובן הרחב ל- + ותהי ) n b) סדרה שעבורה > K.lim(a n b n ) = אזי.0 n b n > K הוכחה.. M R n 0 n > n 0 a n b n > M מהתכנסות ) n (a במובן הרחב, > n n 0. n > n 0 a n b n > a n K > max(m, 0) M = n 0 a n > max(m,0) K טענה :44 תהיינה ) n (b n ),(a סדרות כך שלכל.b n a n n אזי א. = n lim a n = = lim b ב. = n lim b n = = lim a הוכחה. א. M) M R n 0 n > n 0 (b n > M = a n b n > ב. כתרגיל. טענה :45 תהי ) n (a סדרה, 0 n. n a lim 1 a n א. ± = n = lim a 0 = 23 lim 1 ב. = 0 n a = = lim a n 1 a n < ε. ε > 1 0 n0 n > n 0 a n הוכחה. א. נניח ש- + = an.lim צ"ל < ε, n 0 n > n 0 a n > M = 1 ε מתקיים M = 1 ε עבור,lim a n = + לפי. a n > 1 ε כנדרש. ב. כתרגיל סדרות מונוטוניות סדרה מונוטונית הגדרה. סדרה ) n a) נקראת מונוטונית עולה אם 1+n n ; a n a מונוטונית עולה ממש אם ; n a n < a n+q מונוטונית יורדת אם n+1 ; n a n a מונוטונית יורדת ממש אם. n a n > a n+1 משפט :46 תהי n=1 (a n ) סדרה מונוטונית חסומה. אזי n=1 (a n ) מתכנסת. הוכחה. נניח כי 1=n a) n ) היא סדרה מונוטונית עולה (עבור מונוטונית יורדת כתרגיל); אזי יש לה חסם עליון.sup{a 1, a 2,...} = L נראה כי.lim a n = L צ"ל L. ε > 0 n 0 n > n 0 a n L < ε הוא חסם עליון של ) n,(a לכן > ε. a n L < ε = ε > 0 n > n 0 L ε < a n0 a n L כעת,.0 n 0 L ε < a n0 לכן הסדרה מתכנסת. משפט 47: כל סדרה מונוטונית מתכנסת במובן הרחב. ( 1 יכולה להתבדר. a n 23 הסדרה ) 22

23 2.4 המספר e 2 סדרות הוכחה. נניח כי 1=n a) n ) היא סדרה מונוטונית עולה. אם ) n a) חסומה, לפי המשפט הקודם היא מתכנסת במובן הצר ולכן גם במובן הרחב. כעת נניח כי n=1 (a n ) אינה חסומה (מלעיל). אזי לכל M R קיים n 0 כך ש-.M < a n0 ממונוטוניות ) n, n > n 0 M < a n0 a n,(a כנדרש. דוגמה. יהי < 1 q <.0 אזי n=1 (a n = q n ) מתכנסת ל- 0. הוכחה. ראשית, הסדרה a n = q n היא מונוטונית יורדת ממש וגדולה מ- 0. לכן, על-פי המשפט הקודם, הסדרה מתכנסת. נותר לחשב את הגבול. יהי L. = lim a n = lim q n נקבל lim q n = lim q q n 1 = lim q lim q n 1 = q L = L = ql ומכיוון ש- 1 < q <,0 בהכרח = 0.L למה 48 (הלמה של קנטור): תהי n=1 (I n = [a n, b n ]) סדרת קטעים סגורים כך שלכל n N n כך שלכל c R אזי קיימת נקודה יחידה.lim I n = lim(b n a n ) = ו- 0 I n+1 I n.c I n הוכחה. ] n.a n a n+1 b n+1 b n = [a n+1, b n+1 ] = I n+1 I n = [a n, b כלומר,,a 1 ו- חסומות (על-ידי b 1 (b n ו-( (a n ) מונוטונית יורדת. הסדרות (b n מונוטונית עולה ו-( (a n ) בהתאמה). נוכל לסמן.c 2 = lim b n,c 1 = lim a n c 1 = c 2 למה 1.48: הוכחה. לכל < ε 0 קיים n 0 כך שלכל a n c 1 < ε n 0 < n ו- ε ; b n c 2 < עבור n מספיק גדול,. a n b n < ε כעת: ε > 0 c 1 c 2 c 1 a n + a n b n + b n c 2 < 3ε לכן.c 1 = c 2 לכל n מתקיים.a n c 1 = c 2 b n לכן ] n. n c 1 = c 2 [a n, b נותר להוכיח יחידות נניח בשלילה כי, בה"כ,.c 1 < c 2 n=1i n אזי לכל n N a n :c 1, c 2 I n n N < c 2 c 1 b n a n = c 1 < c 2 b n.0 לפי משפט הסנדוויץ, 0 n b n a ו < c 2 c 1 בסתירה לכך ש-<,c 2 c 1 0 = 2.4 המספר e נתבונן בסדרה.a n = (1 + 1 n )n טענה :49 הסדרה n=1 (a n = (n + 1 n )) מתכנסת. הוכחה. נראה כי הסדרה 1) + 1 n n( מונוטונית עולה (ממש) וחסומה. 23

24 2 סדרות 2.5 תת-סדרות ( n n ( n) = n ( 1 ) k k=0 k) n 1 n k = n k=0 = n k=0 n! (n k)!k! 1 n k (n k+1)... n 1 n k k! = n k=0 C n,k 1 k!.c n,k = n k+1 n n k+2 n... n n כאשר C למה :1.49 א. 1 n,k ב. C n+1,k C n,k הוכחה. א. כל גורם קטן או שווה ל- 1, לכן גם המכפלה. n i (הוכחה כתרגיל). לכן כל אחד מגורמי n C n+1,k גדול או שווה לגורם המקביל (n+1) i n+1 ב. באופן כללי, אם i < n אז = (n+1) k+1 n+1 (n+1) k+2 n+1... n+1 n+1 n k+1,c n,k = לכן גם המכפלה. n n k+2 n... n ב- n n (n + 1 n )n n k=0 1 k! למה 2.49: א. n n (הסדרה חסומה) ב. < 3 k! k=0 1 (1 + 1 n (הסדרה מונוטונית) ג. n+1 )n+1 > (1 + 1 n )n 1.49 א n (1 + 1 n )n = n k=0 C n,k 1 k! n k=0 1 k! = 1 + n k=1 1 k! = n k=2 1 k! n k=0 1 k! הוכחה. א n 1 k=2 (k 1)k = n k=2 ( 1 k 1 1 k ) = (1 1 n ) < 3 ב. (1 + 1 n+1 )n+1 > (1 + 1 n )n n+1 k=0 C n+1,k 1 k! > n k=0 C n,k 1 k! 1 (n+1)! + n 1.49 ב 1 n+1,k k=0 C k! > n k=0 C n,k 1 k! ג. e).e def איננו רציונאלי; e איננו אלגברי (. 24 המספר e הגדרה. = lim (1 + 1 n )n 2.5 תת-סדרות תת-סדרה הגדרה. תהי n=1 (a n ) סדרה, ותהי נתונה סדרה עולה ממש של אינדקסים < 2 n 1 < n 1.(a n ) נקראת תת-סדרה של הסדרה n=1 (a nk ) הסדרה k=1.... < n k < n k+1 <... דוגמה. n=1.(a n = n)..., 4 1, 2, 2 2, 2 3, 2 היא תת-סדרה של הטבעיים. דוגמה. תהי n=1 (b n ) כך ש-.b n = ( 1) n לסדרה זו ישנן תת-סדרות קבועות:... 1, 1, ו-... 1,.1, גבול חלקי הגדרה. תהי n=1 (a n) ותהי k=1 (a nk ) תת-סדרה של n).(a אם תת-הסדרה k=1 (a nk ) מתכנסת [במובן הרחב], גבולה נקרא גבול חלקי [במובן הרחב] של הסדרה 1=n a). n ) 24 מספר אלגברי הוא פתרון של פולינום כלשהו שמקדמיו רציונאליים. 24

25 2.5 תת-סדרות 2 סדרות משפט 50: תהי 1=n a) (n סדרה מתכנסת במובן הרחב. אזי כל תת-סדרה של 1=k a) n ) מתכנסת (במובן הרחב) לאותו גבול. הוכחה. ראשית, נניח כי.R L = lim a n תהי k=1 (a nk ) תת-סדרה של ) n.(a k לכל (כי k > k 0 = n 0 a nk L < ε = ε > 0 n 0 n > n 0 a n L < ε.(n 0 n ומכאן k0,k n k כעת נניח כי = n.lim a k > k 0 = n 0 a nk > M = M R n 0 n > n 0 a n > M טענה 51: תהי ) n a) סדרה. אם לסדרה ) n a) קיימים גבולות חלקיים (במובן הרחב) שונים, אזי הסדרה ) n (a מתבדרת. הוכחה. נניח כי לסדרה ) n (a גבולות חלקיים.L 1, L 2 R ראשית, לא ייתכן שהסדרה ) n (a מתכנסת (במובן הרחב) ל- +, שכן סדרה המתכנסת ל- + לא מכילה תת-סדרה חסומה מלעיל. (באופן דומה עבור.) כעת, נניח כי.a n u R אם,u L 1, L 2 קיימות סביבות זרות של,L 2,L 1,u ולכן לאינסוף אינדקסים n האיברים a n נמצאים מחוץ לסביבה הנתונה של u, בסתירה להתכנסות ) n (a ל- u. אם u = L 1 או,u = L 2 נקבל סתירה להתכנסות, באותו אופן. 25 משפט 52: תהי 1=n a) n ) סדרה. איבר L R הוא גבול חלקי של הסדרה ) n a) אם"ם כל סביבת a). n ) מכילה אינסוף איברים מהסדרה L של ε הוכחה. ראשית, אם L גבול חלקי של הסדרה 1=n a) (n אז קיימת תת-סדרה 1=k a) nk ) המתכנסת לגבול L; על-פי הגדרת התכנסות תת-סדרה ) nk a), כל סביבה של L מכילה את כל איברי תת-הסדרה החל ממקום מסויים, ולכן מכילה אינסוף איברים מהסדרה המקורית. להיפך, יהי L R איבר שכל סביבה שלו מכילה אינסוף איברים מהסדרה ) n a). נבחר.ε n = 1 n סביבת = 1 1 ε של L מכילה אינסוף איברים מהסדרה; נבחר n 1 להיות האינדקס המינימלי של איבר בסביבה זו. נבחר n 2 להיות האינדקס המינימלי הגדול מ- n 1 כך ש- a n2 נמצא.((a n ) גבול חלקי של L =) מתכנסת ל- L (a nk ) k=1 בסביבת = ε של,L וכו. למה 1.52: משפט 53: תהי ) n a) סדרה. + הוא גבול חלקי של ) n a) אם"ם הסדרה ) n a) איננה חסומה מלעיל. הוכחה. + הוא גבול חלקי של ) n a); אזי ישנה תת-סדרה ) nk a) המתכנסת ל- + ולכן איננה חסומה מלעיל. מכאן, הסדרה ) n a) כולה איננה חסומה מלעיל. 25 יכולנו גם להניח בשלילה כי (n a) מתכנסת ויש לה גבולות חלקיים L; 1 L 2 לפי המשפט הקודם, היינו מקבלים,L 1 = L 2 בסתירה להנחה. 25

26 2 סדרות 2.5 תת-סדרות להיפך, נניח כי ) n a) איננה חסומה מלעיל. לכל n טבעי קיים איבר בסדרה, a. s > n נבנה תת-סדרה המתכנסת (במובן הרחב) ל- +. נבחר n 1 כך ש- 1 > n1 ;a נבחר n 2 כך ש- n 2 > n 1 ו- 2 > n2.a ברקורסיה, בהינתן,n 1,..., n k נבחר אינדקס k+1 n k < n כך ש- k.a nk > למה 1.53: תת-הסדרה ) nk a) מתכנסת במובן הרחב ל- +. הוכחה. כתרגיל. משפט 54 (בולצ אנו-ויירשטראס): לכל סדרה חסומה ) n a) ישנה תת-סדרה מתכנסת. הוכחה. תהי ) n (a סדרה חסומה. קיימים מספרים ממשיים c 0,b 0 כך שלכל.c 0 a n b 0 n לפחות אחד מהאינטרוולים I R 1,I L 1 מכיל אינסוף איברים מהסדרה ) n.(a נבחר a 1 מתוך אינטרוול I R 2 מכיל אינסוף איברים מהסדרה ) n a). בהינתן האינטרוול זה. לפחות אחד מהאינטרוולים I, L 2 I, k נחצה אותו לאינטרוולים 1+k I. L 1+k < IR לפחות אחד מהם מכיל אינסוף איברים מהסדרה.n k+1 > n k שייך לאינטרוול המכיל אינסוף איברים, כך ש- a נבחר nk+1.(a n ) למה 1.54: הסדרה ) nk a) שנבחרה מתכנסת. הוכחה. יהי.L = lim a nk = k I k I k על-פי הלמה של קנטור, חיתוך זה הוא נקודה בודדת. לכל.L I k,k לפי בחירת האיברים ) nk,(a לכל.a nk I k k לכן. k L a nk I k = b0 c0 2 k ε > 0 k 0 k > k 0 L a nk b 0 c 0 2 k < b 0 c 0 < b 0 c 0 < ε 2 k0 k 0 מסקנה 55: לכל סדרה ) n a) קיימת תת-סדרה המתכנסת במובן הרחב. הוכחה. (נובע משני המשפטים הקודמים.) משפט 56: סדרה ) n a) מתכנסת במובן הרחב אם"ם יש לה גבול חלקי בודד. הוכחה. ) n a) מתכנסת במובן הרחב כל תת-סדרה שלה מתכנסת לאותו גבול, ולכן יש לה גבול חלקי בודד. להוכחת הכיוון השני, נותר להראות כי לסדרה מתבדרת (במובן הרחב) יש לפחות שני גבולות חלקיים. תהי ) n a) סדרה מתבדרת במובן הרחב. נניח, בנוסף, כי ) n a) חסומה.לפי משפט קודם, ל-( (a n קיים גבול חלקי (a n ).L מתבדרת, לכן.a n L לכן קיים < ε 0 כך שקיימת תת-סדרה ) nk (a כך ש- ε. a nk L תת-הסדרה ) nk (a בעצמה חסומה, לכן לפי בולצ אנו-ויירשטראס יש לה גבול חלקי L L^ L^. כי בכל סביבה של L^ ישנם אינסוף איברים מתת-הסדרה ) nk a) אך בסביבת ε של L אין בכלל איברים מתת-הסדרה ) nk a). כעת נניח כי ) n a) איננה חסומה. אם ) n a) לא חסומה מלעיל ולא חסומה מלרע, אזי ± הם גבולות חלקיים שלה. לכן ניתן להניח כי ) n a) חסומה מלרע ולא חסומה מלעיל. ) n a) איננה חסומה מלעיל, לכן + הוא גבול חלקי שלה. אבל ) n a) מתבדרת במובן הרחב n a, לכן 26

27 2.6 גבולות עליונים ותחתונים 2 סדרות קיים M R כך שקיימים אינסוף איברים מהסדרה ) n a) הקטנים מ- M, ולכן קיימת תת-סדרה ) nk a) כך שלכל a. nk < M k תת-סדרה זו חסומה, לכן לפי בולצ אנו-ויירשטארס יש לה גבול חלקי L. מכאן, L ו- + הם גבולות חלקיים של הסדרה ) n a). 2.6 גבולות עליונים ותחתונים גבול עליון ותחתון הגדרה. תהי n=1.(a n ) def lim sup a n = lim a n = inf {M R n 0 n > n 0 a n M} = inf U def lim inf a n = lim a n = sup {C R n 0 n > n 0 a n C} = sup L def אם ) n (a איננה חסומה מלעיל, אזי + = n ;lim a אם ) n (a איננה חסומה מלעיל, אזי def.lim a n = lim = lim = + 1, 1, 2, 2, 3, 3, , 1, 1, 1, 7, 5, או lim = 1 lim = 1 a n = ( 1) n דוגמה. lim = 1 lim = 1 a n = n משפט :57 תהי ) n (a סדרה חסומה. אזי.lim inf a n lim sup a n הוכחה. יהי.C L,M U אזי קיים n 1 N כך שלכל C a n1 n > n 1 וגם.a n1 M מכאן,.sup L inf U = L U = C M = C a n1 M טענה :58 יהי.L = lim a n אזי לכל L < t קיים n 0 N כך שלכל.a n < t n > n 0 הוכחה. נניח בשלילה כי קיים L < t כך שלאינסוף אינדקסים.t a n n N אזי אם,^t < t = U {x R t x} לכן נוכל לכתוב.^t / U = {M R n 0 n > n 0 a n M} L < t inf U סתירה. משפט 59: תהי ) n a) סדרה חסומה. אזי lim a n הוא הגבול החלקי הגדול ביותר של ) n a) ו- lim a n הוא הגבול החלקי הקטן ביותר של ) n a). הוכחה. נוכיח עבור.lim a n למה :1.59 אם t,lim a n < t איננו גבול חלקי של הסדרה ) n.(a הוכחה. לפי הטענה הקודמת, יש מספר סופי של איברים כך ש-.lim a n < t < a n לכן סביבת ε של t תכיל לכל היותר מספר סופי של איברים, ו- t איננו גבול חלקי. למה 2.59: בסביבת ε של lim a n ישנם אינסוף אינדקסים. 27

28 2 סדרות 2.7 סדרות קושי הוכחה. נניח בשלילה כי עבור ε כלשהו יש מספר סופי של איברים בסביבת.lim a n אזי קיים < ε 0 כך ש-( ε (lim a n ε, lim a n + מכיל לכל היותר מספר סופי של איברים מהסדרה ) n a). לפי טענה קודמת, גם עבור lim a n + ε יש מספר סופי של איברים שגדולים ממנו. מכאן, יש לכל היותר מספר סופי של איברים מ-( a) n המקיימים,lim a n ε < a n ולכן.lim a n ε U כלומר, inf U lim a n ε סתירה. מסקנה :60 תהי ) n (a סדרה חסומה. ) n (a מתכנסת אם"ם.lim a n = lim a n טענה :61 תהיינה ) n (a ו-( (b n סדרות חסומות כך שלכל.b n a n n N אזי א. lim a n lim b n ב. lim b n lim a n טענה :62 תהיינה ) n (a ו-( (b n סדרות חסומות. אזי א. lim a n = lim a n ב. lim a n = lim a n ג. lim(a n + b n ) lim a n + lim b n ד. lim(a n + b n ) lim a n + lim b n ה. אם לכל lim(a n b n ) lim a n lim b n,b n 0,a n 0 n ו. אם לכל lim a n b n lim a n lim b n,b n 0,a n 0 n טענה 63: תהי ) n b) סדרה חסומה ותהי ) n a) סדרה מתכנסת. אזי בטענות ג, ד, ה וו מתקיים שוויון. 2.7 סדרות קושי סדרת קושי הגדרה. סדרה n=1 (a n ) נקראת סדרת קושי אם לכל < ε 0 קיים n 0 כך שלכל m, n n 0. a m a n < ε משפט 64: כל סדרה מתכנסת (במובן הצר) היא סדרת קושי. ε הוכחה. תהי ) n (a סדרה מתכנסת..L = lim a n יהי נתון < ε.0 הסדרה מתכנסת, לכן עבור 2 קיים n 0 כך שלכל. a n L < ε 2 n > n 0 לכל. a n L < ε 2, a m L < ε 2,m, n > n 0 לכן, על-פי אי-שוויון המשולש, a m a n = (a m L) + (L a n ) a m L + L a n < ε 2 + ε 2 = ε טענה 65: תהי ) n a) סדרת קושי. אזי ) n a) סדרה חסומה. 28

29 2.8 חזקות עם מעריך ממשי 2 סדרות. a m a n < 1 n 0 נגדיר = M n 0 כך שלכל < m, n הוכחה. ניקח = 1.ε קיים n C אזי מתקיים.C = min(a 1,..., a n0, a n0+1 1),max(a 1,..., a n0, a n ).a n M משפט :66 תהי ) n (a סדרה. אזי ) n (a סדרה מתכנסת אם"ם ) n (a סדרת קושי. הוכחה. ( =) הוכחנו כי אם ) n (a מתכנסת, ) n (a קושי. ( =) נניח כי ) n a) קושי. סדרת קושי היא בפרט סדרה חסומה. לפי בולצ אנו-ויירשטראס, a. nk יהי נתון > 0 ε. קיים k 0 כך לכל סדרה חסומה קיימת תת-סדרה מתכנסת L. a nk L < ε 2 k הסדרה ) n (a היא סדרת קושי, לכן קיים n 0 כך שלכל 0 שלכל < k. a m a n < ε 2 n 0 < m, n נבחר k0+1).n 1 = max(n 0, n יהי k + 1 k 1 אינדקס שעבורו,n k 1 ו-, n > n 1 a n a nk1 < ε 2 כי > כי n 1, a nk1 L < אזי ε 2.n 0 n 1 < n k1.n k1 > n 0 מכאן, a n L = (a n a nk1 ) (a nk1 L) a n a nk1 + a nk1 L < ε (יתרון תנאי קושי על תנאי ההתכנסות הוא שאין צורך לדעת מה הגבול על-מנת לקבוע התכנסות.) 2.8 חזקות עם מעריך ממשי עד כה, דנו ב- < a R,q Q) a q.(0 הגדרה. r n x R,r n Q,0 < a R,a x = lim a rn חזקה ממשית טענה :67 יהי x R ותהיינה ) n (s n ),(r סדרות של מספרים רציונאליים כך ש-= lim r n.lim a sn = lim a rn מתכנסות, אזי מתקיים (a sn ),(a rn ) אם הסדרות.lim s n = x הוכחה. למה :1.67 נניח כי ) n (v היא סדרה שעבורה = 0 n ;lim v אזי ) vn (a מתכנסת, ו- 1 = vn.lim a הוכחה. 0 n.q v יהי.k N אזי קיים n(k) כך שלכל. v n < 1 k n(k) < n אזי.a 1 k < a vn < a 1 k בהינתן < ε,0 נבחר k כך ש- ε.a 1 k < 1 + עבור,n(k) < n נקבל.1 ε < a 1 k < a vn < a 1 k < 1 + ε כעת, נתון.(a sn ) L 2 > 0,(a rn ) L 1 > 0.r n x,s n x L 1 L 2 = lim arn a sn למה = lim arn sn = 1 = L 1 = L 2 טענה :68 a.q r n x,1 < אזי הסדרה ) rn (a מתכנסת. 29

30 2 סדרות 2.8 חזקות עם מעריך ממשי הוכחה..r n x לכן קיים n 0 כך שלכל.[x] 2 < r n < [x] + 2 n > n 0 לכן נקבל [x]+2, n > n 0 a [x] 2 < a rn < a ו-( (a rn סדרה חסומה. לפי משפט בולצ אנו-ויירשטראס, קיימת תת-סדרה ) k (a rn המתכנסת לגבול.L למה :1.68 L lim a rn =.c k = a r k הוכחה. ;r n x.b k = a rn k L לכן,r nk x ומכאן L טענה :69 יהי > 0,a ותהי ) n (x סדרה כך ש- x.lim x n = אזי.lim a xn = a x הוכחה. לכל n נבחר רציונאלי r n המקיים. a rn a xn < 1 n, r n x n < 1 n למה :1.69 x lim a rn = a.x n 1 n לפי משפט הוכחה. n) (r היא סדרת מספרים רציונאליים. < r n < x n + 1 n הסנדוויץ, נקבל.r n x כעת,.lim a rn = a x = lim r n = x.a xn a x לפי משפט הסנדוויץ, נקבל.a rn 1 n < < a axn rn + 1 n b n אזי.2 lim n ( n) n הראינו 3 e = lim ( 1 + x n) n משפט :70 x = e הוכחה. למה 1.70: תהי ) n b) סדרה עולה של מספרים טבעיים כך ש- ( ) bn b n e e ε הוכחה.. k N n 0 n > n 0 b n > k אזי ( ) k ( ) bn < e k b n ( a n ) an למה 2.70: תהי( a )סדרהעולה n 26 שלמספריםממשייםכךש- an.אזי ( 1 + ) [an] ( [a n ] + 1 a n הוכחה. מכך ש- 1 + ] n,[a n ] a n < [a ) an ( ) [an]+1 [a n ].e על-מנת להעריך את הגבול, נשתמש במשפט הסנדוויץ. עבור צד שמאל (ועבור צד ימין, ( 1 + ) [an] 1 = [a n ] + 1 e {}}{ ( ) [an] [a n ] באופן דומה) נקבל {}}{ ( ) e [a n ] לא באמת דרוש; שאיפה ל- מספיקה. 30

31 2.8 חזקות עם מעריך ממשי 2 סדרות למה :3.70 יהי < a,x R,0 ותהי ) n (a סדרת ממשיים חיוביים כך ש- a.a n אזי.a x n a x הוכחה. נתבונן בסדרה.( an a )x לכל < ε 0 קיים n 0 כך שלכל ε < an a < 1 + ε n > n ( a na ) x ε) [x]+1 ( a na.(1 לכן 1 ) x עבור > 0,x + ε) [x]+1 (1.lim ( 1 + n) x n למה :4.70 יהי > 0.x אזי = e x,a n a = lim ( ) 1 + x n ( ) n x n = lim x הוכחה. אם n = e x ( lim 1 + x ) [ n ( = lim 1 + x ] x x = a n n)n x = e x.1 [ ( ) εn למה :5.70 תהי ε n סדרה אי-שלילית, 0 n.nε אזי = 1 n.lim (1 + ε n ) ( nε n lim (1 + ε n ) n = lim ε n ) 1 εn } {{ } e εn 3 nεn 1 = n 0 n > n 0 ( ] nεn εn הוכחה. ) 1 εn 3 הטענה נובעת לפי משפט הסנדוויץ. למה :6.70 תהי ε n סדרה אי-שלילית, 0 n.nε אזי = 1 n.lim (1 ε n ) + (1 = u.1 לכן, לפי משפט הסנדוויץ, מכיוון u הוכחה. עבור < 1 u 1 u ) 1,0 < ( ) n + ε n ) n 1 + εn (1,1 נקבל 1 ε n שמתקיים 1 n (1 + 2εn ) [( lim (1 ε n ) n = lim 1 + ε ) n ] 1 n = 1 1 ε n,ε n נקבל = x2 בנוסף, אם n x n = (1+ x n )(1 x n ) 1 x n ( lim 1 + x ) n (1 x2 = lim n ) n 2 n (1 x n.lim ( 1 + x n) n למה :7.70 יהי < 0.x אזי = e x = 1 x 2 n 2 1 x n הוכחה. נוכל לכתוב,0 < x לכן, על-פי הלמות והמשפט עבור.nε n 0 2 n 2 ) n e x x lim(1 = )n lim(1 + = 1 ( x) n )n 27 לא על-פי משפט הסנדוויץ : הערכים התוחמים מימין ומשמאל קבועים. 31

32 3 טורים 3 טורים טור תהי ) n (a סדרת מספרים ממשיים. נסמן S N = a a N (הרישא של הטור). n=1 def a n = lim S N N 3.1 טורים מתכנסים מתכנס אם הגבול lim S N קיים. טור מתכנס נאמר שטור 1=n a n דוגמה.... 0, a 1,..., a n0, 0, 0,. N > n 0 S N = S n0 = a a n0 במקרה זה, סדרת הסכומים החלקיים.(q 1) S N = N n=0 qn = 1 qn+1 1 q קבועה החל ממקום מסויים, ולכן היא מתכנסת. ; סדרת הסכומים החלקיים דוגמה. n=0 qn n=0 qn = lim 1 qn+1 1 q = 1 1 q אם < 1 q <, 1 לא מתכנס במובן הצר. אם 1,q n=0 qn = N זוגי 1 = N S מתבדרת. N אי-זוגי 0 מתבדר: q, q 2, q 3,...) S N (1, מתבדרת. אם 1 <,q n=0 qn לא מתכנס: אם 1 =,q n=0 ( 1)n.(S N = מתכנס ) N+1 n=1 n(n+1) = n=1 ( 1 n 1 דוגמה. = 1 ) n+1 מתכנס, אזי = 0 n.lim a טענה :71 אם n=1 a n מתכנס, לכן.lim S N = L יהי נתון < ε.0 אזי קיים N 0 כך שלכל N > N 0 הוכחה. n=1 a n. L S n 1 < ε 2 ו- S n L < ε 2,n > עבור N a n = S n S n 1. S N L < ε 2. a n = S n S n 1 < ε 2 + ε 2 לכן, על-פי אי-שוויון המשולש, נקבל כנדרש = ε. 1 דוגמה. נבנה טור מתבדר a n כך ש- 0 n a. נתבונן ב- n 1. k k 1 2 למה :1.71 לכל,k N. 1 k k k 1. 1 לכן = 1 2 2k k+1 1 2k,..., 1 2k 1 2k 1 מתבדר. n הוכחה. למה 2.71: 1 מתכנס, אזי S N מתכנסת ולכן S N קושי. n הוכחה. אם. S m S n < 1 10 N 0 < m, n כך שלכל סדרת קושי, קיים N 0 S N אם.ε = 1 יהי 10 < 1 k S 2k S 2 1 סתירה. יהי.k > N 0 אזי גם.2k > N 0 נקבל 10 32

33 3.1 טורים מתכנסים 3 טורים קריטריון קושי להתכנסות זנב טור מתכנס (במובן הצר) אם"ם לכל < ε 0 קיים > 0 N כך שלכל,m > N משפט :72 n n=1 a. a m a m+k < ε מתקיים k > 0 הוכחה. a n מתכנס N lim S קיים N S היא סדרת קושי. כלומר, לכל < ε 0 קיים n 0 כך שלכל. S m1 S m2 < ε n 0 < m 1, m 2 בלי הגבלת הכלליות, נניח כי ;m 2 < m 1 לכן. S m1 S m2 = a m a m1 < ε. a n זנב הטור של r m = הגדרה. יהי a n טור. נגדיר n=m+1 a n משפט :73 תהי ) n (a סדרה ויהי a n טור. אזי א. a n מתכנס אם"ם כל זנב של הטור מתכנס; 28 ב. = n a אם"ם כל זנב מתכנס במובן הרחב ל-. 29 = m r מתכנס. לכן r m מקיים את תנאי קושי, ולכן כל הטור הוכחה. א. יהי n=m+1 a n מקיים את תנאי קושי. בנוסף, אם טור מתכנס אזי הוא מקיים את תנאי קושי, ולכן גם הזנב. = m r ובסכים ב. נניח = n a. אזי = N.lim S נתבונן בזנב הטור n=m+1 a n.lim S N = נרצה להראות ש- ; S N = N n=m+1 a n S N חסומה ו- סדרה קבוע. על-פי טענה,42 מכיוון ש- C C כאשר, S N = S N C שואפת ל-, S N שואפת ל-. טענה 74: תהיינה ) n a) ו-( b) n סדרות הנבדלות אחת מהשנייה במספר סופי של איברים ) < } n {n N a n b.( אזי a n מתכנס n b מתכנס. הוכחה. החל ממקום מסויים a n ו- b n זהות, לכן נקבל שיש M כך שלכל ra m = m, > M. n=m+1 a n = rb m = n=m+1 b n.lim r m = 0 מתכנס a n טענה 75: הוכחה. ( =) ברור ממה שהראינו קודם. = m ;r לכן, n=m+1 a n = L S m ניתן לכתוב.lim S N = L מתכנס. אזי a n ( =) כנדרש, = 0 m.lim r m = lim(l S m ) = L lim S טענה :76 ) n (b n ),(a סדרות; b n = T, a n = S, ויהי.c R אזי א. (a n + b n ) = S + T ; ב. ca n = c a n = cs. 28 ניתן גם לטעון שהטור מתכנס אם"ם קיים זנב של הטור שמתכנס. 29 גם הטענה המקבילה לגבי נכונה. 33

34 3 טורים 3.2 טורים חיוביים.T = lim T N,S = lim S N.T N = N n=1 b n,s N = N הוכחה. א. n=1 a n.m N = N נגדיר n=1 (a n + b n ) = S N + T N n=1 (a n + b n ) = lim M N = lim(s N + T N ) = lim S N + lim T N = S + T.U N = N ב. נגדיר n=1 ca n = cs N n=1 ca n = lim U N = lim cs N = c lim S N = cs = c a n 3.2 טורים חיוביים טור חיובי הגדרה. טור a n נקרא טור חיובי אם > 0 n n. a S N כלומר, סדרת הסכומים החלקיים. N 1S N S נקבל N+1,S N = N אם n=1 a n היא סדרה מונוטונית עולה (ממש). טענה 77: יהי a n טור חיובי. אזי a n מתכנס במובן הרחב, ואם סדרת הסכומים החלקיים חסומה (מלעיל) אזי a n מתכנס. משפט 78 (מבחן ההשוואה): יהיו b n, a n טורים חיוביים כך ש- b n ) n a n b n שולט על a n.( אזי א. b n מתכנס = n a מתכנס (במובן הצר); ב. a n מתבדר = n b מתבדר. S N = N חסומה, ולכן הוכחה. א. b n מתכנס, לכן סדרת הסכומים החלקיים 1=n b n T N = N חסומה. כמו-כן, T N מונוטונית. מכאן, T N מתכנסת, ולכן, הסדרה n=1 a n על-פי הגדרה, a n מתכנס. מבחן ההשוואה ב. (כשלילת א, או, בדרך החיוב, לפי כך שסד מונוטונית בלתי-חסומה מתבדרת.) משפט :79 n b n, a טורים חיוביים., n an אזי אם b n מתכנס a n מתכנס. b n א. אם קיים < u 0 כך ש- u, n v an אזי a n מתכנס n b מתכנס. b n ב. אם קיימים < v < u 0 כך ש- u הוכחה. א. נניח b n. n a n u b n מתכנס n u b מתכנס. ממשפט קודם, u b n מתכנס = n a מתכנס.. n 0 < v an מסעיף א, b n מתכנס = n a מתכנס. b n ב. u. n v an מסעיף א, a n מתכנס = n b מתכנס. b n = bn a n 1 v לכן a n מתכנס n b מתכנס. משפט 80 (מבחן השורש של קושי): יהי a n טור חיובי. אם קיים < 1 q < 0 כך שלכל n N < 1 q n a n אזי a n מתכנס. הוכחה.. n n a n < q = a n < q n על-פי מבחן ההשוואה, q n מתכנס = an מתכנס. מבחן השורש של קושי 34

35 3.2 טורים חיוביים 3 טורים מתכנס, לפי 2 ) n=2 3(n 2 (n3 ) an = 2 ) דוגמה. n=1 3(n 2 (n3 ) n 3 (n2 ) = (3 n n ) n = 3n = ( ) 3 n 2 (n3 ) (2 (n2) ) n 2 n2 2 n 2. n לכן ה- 2 -זנב 3 2 n 3 4 < 1 = ( 3 2 n ) n 3 4 < 1 מבחן קושי, ולכן הטור כולו מתכנס. מסקנה 81: יהי a n טור חיובי. אזי א. > 1 n lim n a אזי a n מתבדר; ב. < 1 n lim n a אזי a n מתכנס. הוכחה. א. נניח כי > 1 n.lim n a אם = n (a n ),lim n a איננה חסומה; מכאן, סדרת הסכומים החלקיים איננה חסומה, ו- a n מתבדר. כעת, נניח כי > 1 n L.L = lim n a הוא בפרט גבול חלקי; לכן ישנם אינסוף אינדקסים n שעבורם < L ε < n a n < L+ε.1 כלומר, לאינסוף אינדקסים.(L ε) n < a n n הסדרה ) n (a איננה חסומה (היא מונוטונית עולה ושואפת ל-, על-פי אי-השוויון האחרון), לכן סדרת הסכומים החלקיים של an איננה חסומה והטור מתבדר. ב. < 1 n.l = lim n a למה :1.81 כמעט לכל. n a n < L + ε n הוכחה..lim n a n < L + ε לכן, לפי הגדרת גבול עליון, מעבר ל- ε L + יש לכל היותר מספר סופי של איברים מהסדרה. n a n קיים N 0 כך שלכל. n a n < L + ε < 1 n > N 0 נתבונן בזנב n n N n a < 1 ε L. + לפי מבחן השורש של קושי, זנב זה מתכנס, ולכן a n מתכנס. משפט 82 (מבחן המנה): יהי a n טור חיובי (ממש). an+1 n אזי a n מתכנס; a n א. אם < 1 q an+1 n אזי a n מתבדר. a n ב. אם 1 a n = a 1 a2 a a 1... n a n 1 הוכחה. א. n 1 a 1 q מבחן המנה,lim n a1 q n. n a n מכיוון ש- 1 = a1 q q n = n 1 לכן q q N 0 n > N 0 an+1 a n = 1 < lim מתבדר. a n n a n n a1 q q < (1 + ε)q < 1 מתכנס. לכן a n מתכנס. ולפי מבחן השורש n=n a 0+1 n מתבדר. מתבדר = n n=1 a ב.. n a 1 a n לכן n=1 a 1 an+1 a n = 1 > lim מתכנס; a n טענה :83 n a חיובי. הוכחה. כתרגיל משפט 84 (מבחן העיבוי): תהי ) n a) סדרה חיובית מונוטונית יורדת (0 n a). לכל j N נגדיר מבחן העיבוי b j מתכנס..b j = 2 j a 2 j אזי a n מתכנס 35

36 3 טורים 3.3 טורים עם סימנים מתחלפים (n m)a n = הוכחה. תהי ) n (a סדרה מונוטונית יורדת, > 0 n. n a עבור,n > m n 1 k=m a n n 1 k=m 2 k 1 a 2 k 2 k 1 a 2 k 1 a k 2 k 1 n 1 k=m a m = (n m)a m כעת, נבחר :m = 2 k 1,n = 2 k a s 2 k 1 a 2 k 1 s=2 k 1 1 k.s 2 k 1 = 2 אם נסמן s=1 a s = ( k 2 ) j 1 נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים j=1 2 a j 1 s,b j = 2 j a 2 j נקבל 1 2 k b j j=1 k 2 j 1 j=1 2 j 1 a s k j=1 k 1 b j 1 = a 1 + j=1 b j. 1 נגדיר = j b j = 2 j a 2 n = 1 n < α) (a α (0 סדרה מונוטונית יורדת, 0 n דוגמה. תהי ) α מתכנס. j=1 (21 α ) j מתכנס a n על-פי מבחן העיבוי,.2 j 1 (2 j ) = 2 j(1 α) α זהו טור גיאומטרי, q = 2 1 α לכן הוא מתכנס אם"ם < 1 q 1 α < < α טענה :85 תהי ) n (a סדרה מונוטונית היורדת ל- 0 כך ש- a n מתכנס. אזי = 0 n.lim n na הוכחה. (יהי > 1 (.n k=[ n 2 ] a k n k=[ n 2 ] a k k k=[ n 2 ] a n n 2 a n 0 na n 2 שואף ל- 0 ; לכן, על-פי משפט הסנדוויץ, 0 מכיוון ש- a n מתכנס, הזנב k=[ n 2 ] a k ו- 0 n.na דוגמה (הכרחיות המונוטוניות). נגדיר a n = n אם n = k 3 עבור k טבעי כלשהו, = 0 n a ומתכנס, אולם ל- na n יש שני גבולות חלקיים (1 ו- 0 ), n=1 a n = n=1 1 k אחרת; אז 3 ולכן אין לה גובל. 3.3 טורים עם סימנים מתחלפים התכנסות בהחלט הגדרה. תהי ) n a) סדרה ויהי a n טור. נמאר שהטור a n מתכנס בהחלט אם הטור an מתכנס. 36

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשעו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים: לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1

Διαβάστε περισσότερα

סרוקל רזע תרבוח 1 ילמיסיטיפניא ןובשח

סרוקל רזע תרבוח 1 ילמיסיטיפניא ןובשח חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 עמוד חוברת עזר לקורס חשבון אינפיטיסימלי 495 יולי 4 תוכן העניינים נושא עמוד נושא כללי 3 רציפות זהויות טריגונומטריות 4

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות 08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי (2)

חשבון אינפיניטסימלי (2) חשבון אינפיניטסימלי (2) איתי שפירא 30 ביוני 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shpir@gmil.com תוכן עניינים 1 מבוא והשלמות 5 1.1 כלל לופיטל................................. 5 1.2 חקירת פונקציות..............................

Διαβάστε περισσότερα

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin( א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( ) פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

אינפי 1 פרופ י. בנימיני אביב תש ע

אינפי 1 פרופ י. בנימיני אביב תש ע אינפי 1 פרופ י. בנימיני אביב תש ע ברשימות ראשוניות אלה יש בוודאי שגיאות רבות: טעויות דפוס, אי בהירויות ואפילו טעויות מתמטיות. תודתי נתונה מראש לכל מי שיעביר אלי הערות ותיקונים מכל סוג. בכתיבת הרשימות נעזרתי

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

co ארזים 3 במרץ 2016

co ארזים 3 במרץ 2016 אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשעב זהויות טריגונומטריות תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז

פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות 88-211 סמסטר א תשע ז הוראות בהגשת הפתרון יש לרשום שם מלא, מספר ת ז ומספר קבוצת תרגול. תאריך הגשת התרגיל הוא בתרגול בשבוע המתחיל בתאריך ג טבת ה תשע ז, 1.1.2017. שאלות

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

פולינומים אורתוגונליים

פולינומים אורתוגונליים פולינומים אורתוגונליים מרצה: פרופ' זינובי גרינשפון סיכום: אלון צ'רני הקורס ניתן בסמסטר אביב 03, בר אילן פולינומים אורתוגונאליים תוכן עניינים תאריך 3.3.3 הרצאה מרחב מכפלה פנימית (הגדרה, תכונות, דוגמאות)

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 15 במרץ 2017

c ארזים 15 במרץ 2017 הסתברות למתמטיקאים c ארזים 15 במרץ 2017 הקורס הוא המשך של מבוא להסתברות שם דיברנו על מרחבים לכל היותר בני מניה. למשל, סדרת הטלות מטבע בלתי תלויות היא דבר שאי אפשר לממש במרחב בן מניה נסמן את התוצאה של ההטלה

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012

פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012 פונקציות מרוכבות 80519 אור דגמי, or@digmi.org 30 בדצמבר 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ גנאדי לוין בשנת לימודים 2013 מייל של המרצב: levin@math.huji.ac.il אפשר לקבוע פגישה. הקורסלאמבוססעלאףספרספציפי,

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes

Διαβάστε περισσότερα

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב מערך תרגיל קורס 89-33 סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

i שאלות 8,9 בתרגיל 2 ( A, F) אלגברת יצירה Α היא זוג כאשר i F = { f קבוצה של פונקציות {I קבוצה לא ריקה ו A A n i n i מקומית מ ל. A נרשה גם פונקציות 0 f i היא פונקציה n i טבעי כך ש כך שלכל i קיים B נוצר

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט

אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשסט 467 אלגברה א', סמסטר חורף תשס"ט, פתרונות לשיעורי הבית, עמוד מתוך 6 467 אלגברה א' - פתרונות לשיעורי הבית סמסטר חורף תשס"ט תוכן עניינים : גליון שדות... גליון מרוכבים 7... גליון מטריצות... גליון 4 דירוג,

Διαβάστε περισσότερα

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך.

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך. סיכום לינארית 28 בינואר 2 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך הערות יתקבלו בברכה nogarotman@gmailcom תוכן עניינים 3 מבוא והגדרות בסיסיות 6 שדות 7 המציין של

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות ניר אדר ניר אדר.

תורת הקבוצות ניר אדר ניר אדר. גירסה 101 2432010 גירסה 100 6122003 תורת הקבוצות מסמך זה הורד מהאתר http://wwwunderwarcoil אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

(ספר לימוד שאלון )

(ספר לימוד שאלון ) - 40700 - פתרון מבחן מס' 7 (ספר לימוד שאלון 035804) 09-05-2017 _ ' i d _ i ' d 20 _ i _ i /: ' רדיוס המעגל הגדול: רדיוס המעגל הקטן:, לכן שטח העיגול הגדול: / d, לכן שטח העיגול הקטן: ' d 20 4 D 80 Dd 4 /:

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות מטריצות + [( αij+ β ij ] m λ [ λα ij ] m λ [ αijλ ] m + + ( + +C + ( + C i C m q m q ( + C C + C C( + C + C λ( ( λ λ( ( λ (C (C ( ( λ ( + + ( λi ( ( ( k k i חיבור מכפלה בסקלר מכפלה בסקלר קומוטטיב אסוציאטיב

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאלגברה ליניארית

מבוא לאלגברה ליניארית BEN GURION UNIVERSITY BE ER SHEVA, ISRAEL אוניברסיטת בן גוריון בנגב באר שבע מבוא לאלגברה ליניארית אמנון יקותיאלי המחלקה למתמטיקה אוניברסיטת בן גוריון amyekut@mathbguacil חוברת זו מיועדת לקורסים באלגברה

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות

תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 836 II אור דגמי, or@digmi.org ביוני אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ ארז לפיד בשנת לימודים נושאים לקורס. המרחב.C(K). קירוב ע י פולינומים, משפט Stone-Weirstrss

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה! הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות

רשימת משפטים וטענות נכתב על ידי יהונתן רגב רשימת משפטים וטענות λ = 0 A. F n n ערך עצמי של A אם ורק אם A לא הפיכה..det(λ I ערך עצמי של λ F.A F n n n A) = 0 אם ורק אם: A v וקטור עצמי של Tהמתאים יהי T: V V אופרטור לינארי. אם λ F ערך עצמי של,T לערך העצמי λ, אזי λ הוא

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" (80420) באוניברסיטה העברית,

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס תורת ההסתברות 1 (80420) באוניברסיטה העברית, תורת ההסתברות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות " (80420) באוניברסיטה העברית, 8 2007. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

תרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית:

תרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית: משפט הדיברגנץ תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: div(f ) dxdy = F, n dr נוסחת גרין I: uδv dxdy = u v n dr u, v dxdy הוכחה: F = (u v v, u x y ) F = u v כאשר u פו' סקלרית:

Διαβάστε περισσότερα

n x 2 i x i x 2 i 1 x i A n = אשר מייצגים את השטח של איחוד של מלבנים, במקרה אחד החוסמים את הגרף מבחוץ, ובמקרה השני אשר חסומים בתוך הגרף.

n x 2 i x i x 2 i 1 x i A n = אשר מייצגים את השטח של איחוד של מלבנים, במקרה אחד החוסמים את הגרף מבחוץ, ובמקרה השני אשר חסומים בתוך הגרף. סיכומים בחדו"א 2 שירי ארטשטיין 22 co כל הזכויות שמורות לשירי ארטשטיין. אין להעתיק, לשכפל, לצלם, לתרגם, להקליט, לשדר, לקלוט ו/או לאכסן במאגר מידע בכל דרך ו/או אמצעי מכני, דיגיטלי, אופטי, מגנטי ו/או אחר

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות

אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות אלגברה לינארית 2 משפטים וטענות סוכם ע"פ הרצאות פרופ' מ.קריבלביץ' 1.2 אידאלים של פולינומים הגדרה 1.13 יהי F שדה. קבוצת פולינומים [x] I F נקראת אידיאל ב [ x ] F אם מתקיים:.0 I.1.2 לכל f 1, f 2 I מתקיים.f

Διαβάστε περισσότερα

(Derivative) של פונקציה

(Derivative) של פונקציה נגזרת Drivtiv של פונקציה t הנגזרת היא המושג החשוב בקורס, ולה חשיבות מעשית רבה היא מכמתת את קצב השינוי של תופעה כלשהי פיסיקלית, כלכלית, וויזואלית דוגמאות: מהירות של עצם היא קצב השינוי במקומו, ולכן המהירות

Διαβάστε περισσότερα

s ק"מ קמ"ש מ - A A מ - מ - 5 p vp v=

s קמ קמש מ - A A מ - מ - 5 p vp v= את זמני הליכת הולכי הרגל עד הפגישות שלהם עם רוכב האופניים (שעות). בגרות ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006 מהירות - v קמ"ש t, א. () נסמן ב- p נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה: רוכב אופניים עד הפגישה זמן -

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות

לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות לוגיקה ותורת הקבוצות למדעי המחשב הרצאות גדי אלכסנדרוביץ' תוכן עניינים 2..................................................... מבוא 1 3.................................... תורת הקבוצות הנאיבית מושגי יסוד

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα