פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "פונקציות מרוכבות בדצמבר 2012"

Transcript

1 פונקציות מרוכבות אור דגמי, 30 בדצמבר 2012

2 אתר אינטרנט: סיכום הרצאות של פרופ גנאדי לוין בשנת לימודים 2013 מייל של המרצב: אפשר לקבוע פגישה. הקורסלאמבוססעלאףספרספציפי, אבלהואיסחיתסטנדרטיוישמספרספריםשאפשרלהשתמש בהם כגון: 1. Ahlfors, Comples Analysis 2. Evgrafov, Analytic Functions 1

3 תוכן עניינים 1 שדה של מספרים מרוכבים פעולות כפל וחיבור הגדרות וסימונים תכונות הערך המוחלט צורה פולרית של מספרים מרוכבים הגדרת הארגומנט הצורה הפולרית קבוצות מרוכבים התכנסות קבוצת נקודות מרוכבים קבוצות ב. C I פונקציות מרוכבות 13 4 מבוא מה היא פונקציה מרוכבת? גבול של פונקציה רציפות נגזרת מהי הנגזרת? משפט קושי רימן (Cauchy-Riemann) תכונות של נגזרת פונקציה הולומורפית פונקציות. sin,cos,exp האקספוננט הולומורפיות נגזרת שווה לפונקציה עצמה תכונות נוספות פונקציות cos ו sin הולומורפיות מסילות מסילות ותחומים מסילות צירוף או מכפלה של מסילות

4 תוכן עניינים תוכן עניינים מסילה גזירה אורך של מסילה מסילה הפוכה תחומים קבוצה קומפקטית תכונות סדרות פונקציות אינטגרלים קווים הגדרת האינטגרל הקווי תכונות אינדקס משפט הקירובים משפט קושי עבור משולש נוסחת ההצגה של קושי טורי חזקות תזכורת התכנסות של טורים קריטריון ויירשטרס טורי חזקות משפט. Abel נוסחת קושי הדמר פונקציה אנליטית רציפות במידה שווה אינטגרציה במידה שווה גזירה איבר איבר פונקציה הולומורפית היא אנליטית משפט. Liouville המשפט היסודי של האלגברה פונקציות קדומות הגדרות ותכונות בסיסיות תחום פשוט קשר מסילות הומוטופיות תחום פשוט קשר משפט ז ורדן משפט קושי כללי משפט היחידות II טורי לורן טורי לורן מבוא טבעת התכנסות

5 תוכן עניינים תוכן עניינים 12 אפסים מבודדים ונקודות סינגולריות מבודדות של פונקציות הולומורפיות אפסים נקודות סינגולריות מבודדות משפט פיקרד משפט קזורטי ויירשטראס סוחוצקי נוסחת קושי עבור תחום פשוט קשר משפט השאריות ושימושיו הקדמה משפט השאריות Theorem) (Residue בתחום פשוט קשר חישוב של אינטגרלים מסויימים פונקציות רציונליות טרנספורם פורייה של פונקציות רציונליות עיקרון של ארגומנט ומשפט רושה פונקציות מירומורפיות עיקרון של ארגומנט משפט רושה

6 תוכן עניינים תוכן עניינים 21/10/2012 5

7 פרק 1 שדה של מספרים מרוכבים 1.1 פעולות כפל וחיבור אנו מכירים את R 2 בתור אוסף הנקודות של מספרים ממשיים, כלומר: R 2 = {(x,y) x,y R} כמו כן, אנו יודעים להגדיר את פעולת החיבור: (x 1,y 1 )±(x 2,y 2 ) = (x 1 ±x 2,y 1 ±y 2 ) נרצה להגדיר את הכפל והחילוק. הפעולה החיבור הייתה חיבור וקטורי רגיל, אבל מרחבים וקטורים אין לנו כפל, לכן נצטרך להגדיר את הכפל והחילוק. ההגדרה של הכפל אפשרית ב R, 2 אבל אינה אפשרית ב R 3 לדוגמה. נרצה להנגדיר את ההריבוע של הנקודה: (0,1). נגדיר זאת כך: (0,1) (0,1) = ( 1,0) i := (0,1) ונסמן: i 2 = 1 ולכן נקבל: x := (x,0) iy := (0, y) כמו כן, נסמן: (x,y) = x+iy = (x,0)+(0,y) ואז נקבל כי: ואז, אם נגדיר את ההכפלה במישור נקבל: (x 1 +iy 1 )(x 2 +iy 2 ) נפתח את הסוגריים: := [ x 1 x 2 +ix 1 y 2 +iy 1 x 2 +i 2 ] y 1 y 2 = (x1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 +y 1 x 2 ) וזוהי למעשה ההגדרה שלנו להכפלת שתי נקודות במישור. 6

8 1.2. הגדרות וסימונים פרק 1. שדה של מספרים מרוכבים חילוק נגדיר: x 1 +iy 1 x 2 +iy 2 = x+iy כלומר, מתקיים: (x+iy)(x 2 +iy 2 ) = x 1 +iy 1 (x+iy)(x iy) = x 2 +y 2 נבחין כי מההגדרה: הערה למעשה הכפלה בצמוד. לכן, נכפיל את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה ונקבל: x 1 +iy 1 = (x 1 +iy 1 )(x 2 iy 2 ) x 2 +iy 2 x 2 = x 1x 2 +y 1 y 2 2 +y2 2 x 2 +i x 2y 1 x 1 y 2 2 +y2 2 x 2 2 +y2 2 וזה כמובן קיים אם ם 0 2.x 2 2 +y2 כלומר, 0 2 x או 0 2.y 1.2 הגדרות וסימונים הגדרה שדה של מספרים מרוכבים: קבוצה של נקודות z = x+iy כאשר x,y R עם הפעולות הנ ל נקראת שדה של מספרים מרוכבים. וזהו אכן שדה, 0 i+0 = 0 ו: 0 i+1 = 1 והוא מסומן ע י C. סימונים:.z החלק הממשי של x = Rez Imz y = החלק המדומה..z = x+iy הצמוד ל: z = x iy הערך המוחלט של z = x+iy הוא:. z = x 2 +y תכונות הערך המוחלט.x ומתקיים שיוויון אם ם = 0. z 0.1. x x 2 +y 2 מכיוון ש: z Imz וגם: z Rez.2.3 כמו כן: 2 z 1 +z 2 z 1 + x (אי שיוויון המשולש). ומכך נובע גם: 2. z 1 z 2 z 1 z.(z 2 0 (כאשר z1 z 2 = z 1 z z 1 z 2 = z 2 z וגם: הערה (תרגיל) נניח ש: z 1 z, 2 z,..., n שייכות לצד אחד של קו ישר l העובר דרך הראשית במישור המרוכב. 1 בעלות אותה תכונה (ביחס לאיזה ישר?) z 1, 1 z 2,..., 1 z n אזי: וגם: n z j 0 j=1 n j=1 1 z j 0 וגם: 7

9 1.3. תכונות הערך המוחלט פרק 1. שדה של מספרים מרוכבים. z = z.5 8

10 פרק 2 צורה פולרית של מספרים מרוכבים 2.1 הגדרת הארגומנט עבור כל מספר מרוכב 0 x+iy z = הגדרנו את ערך מוחלט. z = x 2 +y 2 נגדיר את הארגומנט של.z אם נסתכל על המישור המרוכב, ונסמן את הנקודה המרוכבת כוקטור היוצא מהראשית. נסמן את הזוית הנוצרת עם ציר ה x בתור ϕ (הארגומנט של z). ונקבל כ: { x = z cosϕ y = z sinϕ בפרט אם ϕ ארגומנט של z ו n Z אז: ϕ+2πn גם ארגומנט של z. 2.2 הצורה הפולרית z = r(cosϕ+isinϕ) כאשר: z r. = ו ϕ הארגומנט של z, כלומר: ϕ argz = {ϕ := ϕ 0 +2πn, n Z z ארגומנט של ϕ 0 } כלומר קבוצת הארגומנטים של z. סימון: e iϕ = cosϕ+isinϕ טענה אם: z 1 = r 1 e iϕ1 ו: z 2 = r 2 e iϕ2 כאשר: 1 ϕ 1 argz 1,r 1 = z ו: 2 ϕ 2 argz 2,r 2 = z אז: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(ϕ1+ϕ2) כלומר: r 1 r 2 הוא הערך המוחלט של z 1 z 2 ו: ϕ 1 +ϕ 2 הוא הארגומנט של.z 1 z 2 הוכחה: מסתמך על זהות טריגונומטרית: (cosϕ 1 +isinϕ 2 )(cosϕ 2 +isinϕ 2 ) = (cosϕ 1 cosϕ 2 sinϕ 1 sinϕ 2 )+i(cosϕ 1 sinϕ 2 +sinϕ 1 cosϕ 2 ) = cos(ϕ 1 +ϕ 2 )+isin(ϕ 1 +ϕ 2 ) (הערך המוחלט נובע מהתכונות של הערך המוחלט, ולכן קיבלנו את הנדרש. 9

11 2.2. הצורה הפולרית פרק 2. צורה פולרית של מספרים מרוכבים מסקנה אם 0 2 z אז: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(ϕ1 ϕ2) מסקנה אם: z = re iϕ 0 אזי עבור n Z מתקיים:.z n = r n e inϕ הערה (תרגיל) אם z = re iϕ 0 ו: n N אזי למשוואה: ω n = z בעלת בדיוק n פתרונות שונים. והם n 1 ω 0,ω 2,...,ω כאשר מתקיים: ω k = ( n r ) }{{} >0 e iϕ+2πk n לכל 0,1,...,n 1.k = 10

12 פרק 3 קבוצות מרוכבים 3.1 התכנסות קבוצת נקודות מרוכבים n=1 {z n } של נקודות ב C מתכנסת לנקודה a C אם קיים: הגדרה התכנסות: נאמר כי סידרה lim z n a = 0 n במילים אחרות, אם לכל > 0 ε קיים n 0 N כך שעבור כל n n 0 מתקיים: z n a < ε או: אם נגדיר כדור סביב נקודה a ברדיוס r: B(a,r) = {z z a < r} lim אם ם לכל כדור B(a,ε) סביב a כל הנקודות של הסדרה } n z} פרט למספר סופי של נקודות אז: n z n = a שייכות ל.B(a,ε) 3.2 קבוצות ב C הגדרנו בהגדרה הקודמת מהו כדור פתוח: B(a,ρ) = {z z a < ρ} נגדיר עתה כדור מנוקב, שהוא למעשה כדור פתוח ללא המרכז, כלומר: B(a,ρ)\{a} = {z 0 < z a < ρ} הגדרה נקודה פנימית: תהי E C תת קבוצה. נקודה a E נקראת פנימית אם קיים > 0 r כך ש :.B(a,r) E הגדרה קבוצה פתוחה: E תקרא קבוצה פתוחה אם כל נקודה z E היא פנימית. טענה כדור B(a,r) היא קבוצה פתוחה. 11

13 פרק 3. קבוצות מרוכבים 3.2. קבוצות ב C הוכחה: ההוכחה ברורה. נקח B(a,r) z, 0 אנו צריכים למצוא כדור סביב z 0 אשר מוכל כולו בכדור הגדול. עבור כל B(a,r) z 0 נתבונן בכדור: B(z 0,r z 0 a ) B(a,r) ההכלה ברורה מההגדרה. וכיוון שזה נכון לכל z 0 כנ ל, אזי הכדור הפתוחה עונה להגדרת הקבוצה הפתוחה כנדרש. הגדרה סביבה: כל קבוצה פתוחה שמכילה את הנקודה a נקראת סביבה של a. בפרט B(a,r) סביבה של a. הערה לרוב נסתכל על סביבות כדוריות. הגדרה קבוצה סגורה: E נקראת קבוצה סגורה אם המשלים (כלומר: (C\E היא קבוצה פתוחה. הגדרה נקודה חיצונית: נקודה a אשר מוכלת במשלים של E, כלומר a C\E נקראת נקודה חיצונית של E. הגדרה נקודת שפה: נקודת שפה של E הן כל הנקודות a כך שכל כדור סביב a מכיל נקודה מ E ונקודה לא מ E. את אוסף נקודות השפה של E מסמנים: E. הגדרה סגור: סגור של E (מסומן E) הוא האיחוד: E. = E E 12

14 חלק I פונקציות מרוכבות 13

15 פרק 4 מבוא 4.1 מה היא פונקציה מרוכבת? פונקציה מרוכבת היא כל פונקציה f : E C כאשר E. C או במילים אחרות, עבור כל z E מתקיים: f (z) = u(z)+iv(z) כאשר u,v שתי פונקציות ממשיות המוגדרות ב E. 4.2 גבול של פונקציה lim אם קיים: z z 0 הגדרה גבול: תהי.f : E C ותהי.A C,z 0 E נרא כי קיים הגבול: f (z) = A lim z 0 z E f (z) A = 0 z z 0 < δ f (z) A < ε או: לכל > 0 ε קיים > 0 δ עבור כל :z E z B(z 0,δ) E f (z) B(A,ε) או: עבור כל B(A,ε) קיים: (δ, B(z 0 כך ש: טענה y n a 2 ו: x n a 1 אם ם קיימים הגבולות: a = a 1 מתכנסת ל +ia 2 {z n = x n +iy n } n=1.1 f (z) = u(z)+iv(z) lim z z 0 f (z) = A = A 1 +ia 2 lim z z 0 u(z) = A 1, lim z z 0 v(z) = A אם f : E C כך ש: אז קיים: אם ם קיימים:

16 פרק 4. מבוא 4.3. רציפות הוכחה: ההוכחה כולה נובעת מכך שלכל: z = x+iy x y z x + y 4.3 רציפות. lim z z 0 הגדרה רציפות נקודתית: אם z 0 E ו:. f : E C אזי f נקראתרציפהב z 0 אם ם: ) 0 f (z) = f (z הגדרה פונקציה רציפה: f נקראת רציפה ב E אם f רציפה בכל נקודה של E. 15

17 פרק 5 נגזרת 5.1 מהי הנגזרת? הגדרה נגזרת נקודתית עם משתנה ממשי: בהינתן (a,b) R (קטע פתוח). תהי f : (a,b) C פונקציה. נאמר כי f גזירה בנקודה (a,b) t 0 אם קיים הגבול: f (t) f (t 0 ) lim = f (t 0 ) t t 0 t t 0 והגבול הוא ערך הנגזרת בנקודה זו. טענה אם u(t)+iv(t).t (a,b),f (t) = אזי f גזירה ב t 0 אם ם u ו v גזירות בנקודה t 0 ומתקיים: f (t 0 ) = u (t 0 )+iv (t 0 ) f (t) f (t 0 ) t t 0 = u(t) u(t 0) t t 0 +i v(t) v(t 0) t t 0 = u (t 0 )+iv (t 0 ) הוכחה: כל הדברים עד כה היו פשוטים מכיוון שהמשתנה היה ממשי. כעת נעבור למקרה היותר מעניין במרוכבות. הגדרה נגזרת נקודתית עם משתנה מרוכב: במקרה של f, : B(z 0 (r, R נאמר כי f גזירה ב z 0 אם קיים: f (z) f (z 0 ) lim = f (z 0 ) z z 0 z z 0 ושוב, כמובן זו הנגזרת ב z. 0 במקרה הזה, הטענה הקודמת לא שימושית. הומנם ניתן לכתוב כך את u,v אבל הן לא יהיו פונקציות ממשיות ולא בהכרח תהיה לנו הפרדה לחלק מדומה וחלק ממשי בצורה זו. נניח שקיימת ) 0.f (z נתקדם לכיוון z 0 במקביל לציר x ובמקביל לציר.y כלומר אם נסמן: z 0 = x 0 + iy 0 אז במקביל לציר y נתבונן ב: y y 0 z = x 0 +iy 16

18 5.2. משפט קושי רימן (Cauchy-Riemann) פרק 5. נגזרת f (z) f (z 0 ) i(y y 0 ) }{{} z z 0 = (u(z) u(z 0))+i(v(z) v(z 0 )) i(y y 0 ) = v(z) v(z 0) y y 0 i u(z) u(z 0) y y 0 ואז: אבל אם נתקדם במקביל לציר הx נקבל: x x 0 z = x+iy 0 f (z) f (z 0 ) x x 0 }{{} z z 0 = (u(z) u(z 0))+i(v(z) v(z 0 )) x x 0 = u(z) u(z 0) x x 0 +i v(z) v(z 0) x x 0 24/10/ משפט קושי רימן (Cauchy-Riemann). lim z z 0 α(z) z z 0 תזכורת פונקציה α(z) נקראת ) 0 o(z z (פונקציה אפסית) כאשר z z 0 אם מתקיים = 0.o(z z 0 ) o(z z 0 ) = o(z z 0 ).1.2 בהינתן α 1,α 2 C אז: ) 0 α 1 o(z z 0 )+α 2 o(z z 0 ) = o(z z תכונות. אם Reα(z) ו Imα(z) פונקציות ) 0 o(z z אז גם ) 0.α = o(z z Reo(z z 0 ) Imo(z z 0 ) = o(z z 0 ).3 f (z) = f (z 0 )+A(z z 0 )+o(z z 0 ) בפרט, f גזירה ב z 0 משמהו שקיים A C כך ש: תזכורת פונקציהממשית( u(x,y ( u(z) כאשר z )המוגדרתבסביבהשלהנקודה = x+iy z 0 = x 0 +iy 0 נקראת דיפרנציאבילית ב z 0 אם קיימים A,B R כך ש: u(z) = u(z 0 )+A(x x 0 )+B(y y 0 )+o(z z 0 ) אם u דיפרנציאבילית ב z 0 אזי מתקיים: { u x (z 0) = A u y (z 0) = B משפט משוואות קושי רימן (Cauchy-Riemann) בהינתן f : B(z 0,r) C פונקציה. x+iy) (z 0 = x 0 +iy 0,z =. נסמן:.v = Imf,u = Ref,f = u+iv אזי f גזירה בנקודה z 0 אם ם: פונקציות דיפרנציאביליות בנקודה.z 0 v,u.1 { u x (z 0 ) = v y (z 0 ) u y (z 0 ) = v x (z 0 ) 2. משוואות קושי רימן מתקיימות: 17

19 5.3. תכונות של נגזרת פרק 5. נגזרת Èדוגמה : נתבונן בפונקציה: (x+iy) 2.f (z) = z 2 = במקרה זה נקבל כי: u(z) = x 2 y 2 ו:.v(z) = 2xy נבחין כי: { u x = 2x = v y u y = 2y = v x f (z) f (z 0 ) = C(z z 0 ) }{{} +o(z z 0 ) (A+ib)[(x x 0)+i(y y 0)] כלומר, משוואות קושי רימן מתקיימות. הוכחה: f גזירה ב z, 0 לכן קיים C = A+iB כך ש: { u(z) u(z 0 ) = A(x x 0 ) B(y y 0 )+o(z z 0 ) v(z) v(z 0 ) = B(x x 0 )+A(y y 0 )+o(z z 0 ) אם ם: { A = u x (z 0 ) B = v y (z 0 ) אם ם u פונקציה דיפרנציאבילית ב z 0 ומתקיים: { B = v x (z 0 ) A = v y (z 0 ) וגם v פונקציה דיפרנציאבילית ב z 0 ו: { u x (z 0 ) = v y (z 0 ) u y (z 0 ) = v x (z 0 ) כלומר אם ם: כנדרש. 5.3 תכונות של נגזרת טענה תהיינה f,g פונקציות גזירות ב z 0 אזי: (א) f רציפה ב z. 0 (ב) αf +βg גזירה ב z 0 כאשר.α,β C (ג) (z)g(z) f גזירה ב.z 0.g(z 0 ) 0 אם: גזירה ב z 0 f(z) g(z) (ד) 18

20 5.4. פונקציה הולומורפית פרק 5. נגזרת.2 כמו כן, תהי f גזירה ב g,z 0 מוגדרת בסביבה של ) 0 w 0 = f (z וגזירה ב w 0 אזי פונקציה: F (z) = g f (z) = g(f (z)) מוגדרת בסביבה של z 0 ומתקיים כלל השרשרת: (g f) (z 0 ) = g (f (z 0 ))f (z 0 ) הוכחה: 2. ראשית, מכך שהפונקציות גזירות ב z 0 ו w 0 נקבל כי מתקיים: f (z) f (z 0 ) = f (z 0 )(z z 0 )+o(z z 0 ) }{{} w 0 g(w) g(w 0 ) = g (w 0 )(w w 0 )+o(w w 0 ) g(f (z)) g(f (z 0 )) = g (f (z 0 )) (f (z) f (z 0 )) +o(f (z 0 )(z z 0 )+o(z z 0 )) = }{{} f (z 0)(z z 0)+o(z z 0) g (f (z 0 ))f (z 0 )(z z 0 )+o(z z 0 )+o(z z 0 ) לכן: המעבר לפונקציה האפסית בסוף מכיוון ש: o(f (z 0 )(z z 0 )+o(z z 0 )) = f (z 0 )(z z 0 )+o(o(z z 0 )) o(f (z 0 )(z z 0 )+o(z z 0 )) z z 0 z z 0 f (z 0 )(z z 0 )+o(o(z z 0 )) והחלק הימני בהכפלה שואף לאפס, לכן זה נכון. 28/10/ פונקציה הולומורפית הגדרה פונקציה הולומורפית: תהי Ω קבוצה פתוחה ב C. פונקציה f : Ω C נקראת הולומורפית z. Ω גזירה בכל נקודה f אם בΩ (holomorphic) סימון: {כל הפונקציות ההולומורפיות ב Ω } (A A(Ω) = בגלל.(Analytic הגדרה פונקציה שלמה: פונקציה שהיא הולומורפית ב C נקראת פונקציה שלמה. A(C) f (z) = z : Èדוגמה Èדוגמה : zre(z) f (z) = גזירה רק באפס (הוכחה כתרגיל), ועל כן לא הולומורפית. d: : פולינום ממעלה Èדוגמה f (z) = a 0 z d +a 1 z d a d כאשר 0 0 a. כל פולינום הוא פונקציה הולומורפית ב C. P(z) f, (z) = כאשר P,Q פולינומים בלי שורשים משותפים. f מוגדרת ב Q(z) Èדוגמה : פונקציה רציונלית: {שורשי Ω = C\{Q וכמו כן גזירה בכל z Ω לכן, f הולומורפית ב Ω. 19

21 .5.5 פונקציות sin, cos, exp פרק 5. נגזרת 5.5 פונקציות sin, cos, exp האקספוננט הגדרה עבור כל z = x+iy נגדיר: exp(z) = e z = e x (cos(y)+isin(y)) הולומורפיות טענה C. היא פונקציה הולומורפית ב exp u(z) = Re(e z ) = e x cosy v(z) = Im(e z ) = e x siny הוכחה: z. בעלות נגזרות חלקיות רציפות, לכן הן דיפרנציאביליות בכל R 2 v,u נבדוק את משוואות קושי רימן: u x u y = e x cosy = v y = e x siny = v x על כן, לפי משפט קושי רימן הטענה נכונה כנדרש. למה היא נקראת?exp מכיוון שאם z מספר ממשי, אזי הexp המרוכב מתלכד עם פונקציית ה exp הממשית נגזרת שווה לפונקציה עצמה טענה (e z ) = e z הוכחה: אנו כבר יודעים שהאקספוננט גזירה. אז איך נמצא את הנגזרת? (e z ) = u x +iv x כלומר, אנו מתקרבים לz כאשר y קבוע, ואז נקבל את הנ ל. [ u(x+ x,y) u(x,y) = lim +i v(x+ x,y) v(x,y) ] e z+ x e z = lim = (e z ) (z) x 0 x x x 0 x (e z ) = e x cosy +ie x siny = e z כלומר: הערה זה היה מותר מכיוון שהפונקציה הייתה גזירה, לכן הגבול קיים ובהכרח שווה לנגזרת, אם לא היינו יודעים שהפונקציה גזירה ייתכן והגבול היה קיים אבל ייתכן שמכיוון אחר היינו מקבלים ערך אחר. 20

22 פרק 5. נגזרת.5.5 פונקציות sin, cos, exp תכונות נוספות.e z1+z2 = e z1 e z2.1.z לכל e z לכל 0 w למשוואה e z = w ישנם סדרת פתרונות (מכיוון ש:.(e z = e z+2πi פונקציות cos ו sin עבור x R אנו יודעים כי מתקיים: e ix e ix = cosx+isinx = cosx isinx ולכן: cosx = eix +e ix 2 sinx = eix e ix 2i נרצה לבחון עבור כל z C נקבל כי: cosz = eiz +e iz 2 sinz = eiz e iz 2i כאשר: e iz = e y (cosx+isinx) אזי, אם z = x R אזי cosz ו sinz מתלכדים עם פונקציות הcos וsin המוכרות. (cosz) = eiz (iz) +e iz ( iz) = i e iz e iz = sinz (sinz) = eiz i e iz ( i) = cos(z) 2i הולומורפיות טענה C. הולומורפיות ב sinz ו cosz הוכחה: מכלל השרשרת נקבל: (מכיוון ש.(i = 1 i הערה כתרגיל, לחשב את : ) 2 cos(z 1 ±z ו ) 2.sin(z 1 ±z tanz = sinz לsin ולcos אין cos z למעשה, הרבה פונקציות אלמנטרית ניתן להרחיב כפונקציה הולומורפית, לדוגמה: אפסים משותפים (אנו יודעים כי: = 1 z.(sin 2 z +cos 2 אבל הדבר אינו נכון לכל פונקציה אלמנטרית, לדוגמה x α כאשר α R ו > 0 x, או ל lnx כאשר > 0 x. 21

23 פרק 6 מסילות 6.1 מסילות ותחומים מסילות הגדרה מסילה: מסילה ב R 2 היא כל פונקציה רציפה:. : [a,b] R 2 הגדרה מסילות שקולות: בהינתן שתי מסילות 1 : [a 1,b 1 ] R 2 ו: 2 : [a 2,b 2 ] R 2 נקראות שקולות אם קיים שינוי של פרמטר ] 2 h : [a 1,b 1 ] [a 2,b כאשר h פונקציה רציפה, על, עולה ממש כך ש 1 h רציפה. כך ש: 2 (h(t)) = 1 (t) במקרה כזה נסמן. 1 2 טענה שקילות מסילות זהו יחס שקילות. כלומר:.1 רפלקסיביות:..2 סימטריות: טרנזטיביות: אם 1 2 וגם 2 3 אז:. 1 3 הוכחה: ברור. הגדרה נקודת התחלה: נקודת ההתחלה של מסילה : [a,b] R 2 היא.(a) הגדרה נקודה סופית: נקודה סופית של מסילה : [a,b] R 2 היא.(b) הגדרה מסילה סגורה: מסילה : [a,b] R 2 נקראת סגורה אם (b).(a) = הגדרה מסילה פשוטה: מסילה : [a,b] R 2 נקראת פשוטה אם עבור כל (t 1 ) (t 2 ) t 1 < t 2 פרט למקרה כאשר t 1 = a ו t 2 = b והיא מסילה סגורה. הערה מסילה פשוטה לא חייבת להיות סגורה, אבל היא יכולה. וכמו כן, היא לא חוצה את עצמה פרט למקרה של מסילה סגורה. הגדרה מסילת ז ורדן: מסילה פשוטה וסגורה נקראת מסילת ז ורדן. נבחין כי אם : [a,b] R 2 מסילה ו: [a,b] [c,d] אז הצימצום של על [c,d] זה מסילה: : [c,d] R 2 כך ש: (t) (t) = כאשר [c,d].t 22

24 6.1. מסילות ותחומים פרק 6. מסילות צירוף או מכפלה של מסילות תהיינה [a,b] R 2 ו: β : [b,c] R 2 כך ש: β(b) (b) = אז צירוף של המסילות,β, המסומן: β זו מסילה σ : [a,c] R 2 כך שהצמצומים: σ [a,b] = ו:.σ [b,c] = β הערה נניח שיש שתי מסילות כך שנקודה סופית של מסילה אחת היא נקודת ההתחלה של מסילה שניה אבל הן מוגדרות על תחומים כלליים, אז עדיין ניתן להגדיר צירוף של שתי המסילות. כלומר כאשר: : [a,b] R 2 ו: σ [0, σ : [0,1] R כך ש: 1 β : [c,d] R 2 כך ש (b) β(c) = אז ניתן להגדיר מסילה β באופן הבא: 2] 2.β שקולה ל σ [ 1 2,1] שקולה ל ו: (t) = x(t)+iy(t) C (t) = x (t)+iy (t) מסילה גזירה את הנגזרת של מסילה בC נגדיר באופן הבא: הגדרה מסילה גזירה ברציפות (חלקה): מסילה : [a,b] R 2 נקראת גזירה ברציפות אם הנגזרת (t) קיימת לכל [a,b] t ופונקציה (t) רציפה ב.[a,b] וכמו כן, הנגזרת לא מתאפסת באף נקודה. הגדרה מסילה גזירה ברציפות למקוטעין: מסילה : [a,b] R 2 נקראתגזירהברציפותלמקוטעיןאםקיימת חלוקה a = t 0 < t 1 <... < t n = b כך ש j+1] [tj,t גזירה ברציפות כאשר 0,...,n 1.j = (t) = e 2πit = cos(2πt)+ כך ש: : [0,1] C זהכל מסילה השקולה ל : מעגל היחידה S 1 Èדוגמה isin(2πt) (כלומר גם ϕ,[0,2π] cosϕ+isinϕ היא מעגל היחידה). S 1 היא מסילה סגורה, פשוטה וגזירה ברציפות. הערה כאן הוא דיבר על כך שאפשר להגדיר שמסילה גזירה ברציפות אם היא שקולה למסילה גזירה ברציפות. Èדוגמה : C (t) = e 4πit, : [0,1] לא פשוטה לכן לא מעגל היחידה..(t) = e 2πi(1 t),[0,1] C : Èדוגמה (t) = כאשר: : [0,1] C הוא מסילה שקולה ל z 1 z 2 C כאשר [z 1,z 2 ] : קטע Èדוגמה (1 t)z 1 +tz 2 כאשר z 1 נקודת ההתחלה, z 2 נקודה סופית..[z 1,z 2,...,z m ] = [z 1,z 2 ] [z 2,z 3 ]... [z m 1,z m ] : קו פוליגונלי: מסילהששקולהלמסילה: Èדוגמה אורך של מסילה הגדרה אורך של מסילה: בהינתן : [a,b] R 2 מסילה. נאמר ש בעלת אורך סופי אם קיים > 0 M כך שלכל חלוקה: a = t 0 < t 1 <... < t n = b מתקיים: n 1 (t k+1 ) (t k ) < M k=0 n 1 l() = sup (t k+1 ) (t k ) T k=0 במקרה זה, נגדיר את אורך המסילה להיות: 23

25 פרק 6. מסילות 6.1. מסילות ותחומים תכונות טענה אם 1, 2 שתי מסילות בעלות אורך סופי והצירוף = 1 2 מוגדר אזי גם בעלת אורך סופי ו: = l().l( 1 )+l( 2 ) הוכחה: לא נוכיח. הערה הוכחנו את זה באינפי 2 אם אני לא טועה. הסיכום באתר. טענה תהי : [a,b] R 2 גזירה ברציפות למקוטעין, אזי היא בעלת אורך סופי ומתקיים: b l() = (t) dt a הערה כלומר אם: a = t 0 < t 1 <... < t n = b כך ש ] k+1 [tk,t גזירה ברציפות, אזי: l() = n 1 t k+1 k=0 t k (t) dt נחזור על ההגדרות: 31/10/2012 הגדרה תהי : [a,b] R 2 מסילה..[a,b] ורציפה ב t קיימת לכל (t) גיזרה ברציפות אם 1. a = τ 0 < τ 1 <... < τ n = b.2 אם בנוסף (t) 0 לכל τ אזי חלקה. 3. גזירה ברציפות למקוטעין אם קיימת חלוקה: כך שכל צמצום ] k+1 [τk,τ עבור n 1 k 0 מסילה גזירה ברציפות. l() = טענה אם : [a,b] R 2 גזירה ברציפות למקוטעין אז בעל אורך סופי ומתקיים: b a (t) dt = n 1 k=0 τk+1 τ k (t) dt T = {a = t 0 < t 1 <... < t n = b} הוכחה: מספיק להוכיח כאשר גזירה ברציפות תהי: n 1 n 1 (t k+1 ) (t k ) = (x(t k+1 ) x(t k )) 2 +(y(t k+1 ) y(t k )) 2 k=0 k=0 חלוקה. נתבונן בסכום: 24

26 6.2. קבוצה קומפקטית פרק 6. מסילות אבל x,y הן פונקציות ממשיות וגזירות. לכן ממשפט לגראנז לכל k קיימות ] 1+k θ x k,θy k t] k,t כך ש: n 1 = (x (θk x))2 +(y (θ y k ))2 (t k+1 t k ) k=0.θ x k θy k כעת נשתמש ברציפות של x ו.y מכיוון שהן b אבל לא ממש כיוון ש a וזה כמעט סכום רימן ל (t) dt רציפות בקטע סגור [a,b] הן רציפותבמידה שווה (ממשפט קנטור באינפי 1). לכן, כאשר פרמטר החלוקה ישאף לאפס גם המרחק בין θx k ל θ y k ישאף לאפס ונקבל כי: = x (θk x)2 +y (θk x)2 (t k+1 t k )+ ε k (t k+1 t k ) b כאשר a כאשר ε k ε ו 0 ε כאשר פרמטר החלוקה 0.λ(T) לכן הביטוי הנ ל שואף לאינטגרל (t) dt 0 λ(t) היות וזה סכום רימן של החלוקה מסילה הפוכה הגדרה מסילה הפוכה: תהי : [a,b] R 2 מסילה. המסילה : [a,b] R 2 המוגדרת ע י = (t) נקראת ההפוכה ל. (a+b t) הערה (שלי) ברור כי האורך של מסילה הפוכה הוא האורך של המסילה המקורית תחומים הגדרה תחום: קבוצה D R 2 תקרא תחום אם: 1. D קבוצה פתוחה..2 D קשירה מסילתית (כלומר, לכל נקודות z 1,z 2 D קיים קו פוליגונלי : [a,b] D כך ש (a) = z 1 ו:.(b) = z קבוצה קומפקטית הגדרה קבוצה E R 2 תקרא קומפקטית אם לכל כיסוי פתוח שלהת קיים תת כיסוי סופי תכונות תכונות אשר ראינו והוכחנו באינפי מתקדם 1 או טופולוגיה עבור קבוצות קומפקטיות: 1. במקרה של R, 2 מספיק שהקבוצה תהא סגורה וחסומה..2 אם E קבוצה קומפקטית ו f : E R 2 רציפה אז: (E) f קומפקטית. 3. פונקציה f רציפה על E, אזי f רציפה במידה שווה. הגדרה רציפות במידה שווה: f תקרא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שלכל z 1,z 2 E מתקיים: z 1 z 2 < δ f (z 1 ) f (z 2 ) < ε 4. אם f : E R רציפה ו E קומפקטית אז f חסומה ומקבלת max ו min (משפט ויירשטראס). 25

27 6.3. סדרות פונקציות פרק 6. מסילות 6.3 סדרות פונקציות הגדרה נאמר כי סידרה של פונקציות f n : E C מתכנסת במידה שווה ל f : E C אם לכל > 0 ε קיים :z E מתקיים לכל n N כך שלכל N N f n (z) f (z) < ε משפט אם E קומפקטית וכל f n היא פונקציה רציפה וגם: f n f במ ש(במידה שווה) בE אזי f רציפה. הוכחה: f (z 1 ) f (z 2 ) f (z 1 ) f n (z 1 ) + f n (z 1 ) f n (z 2 ) + f n (z 2 ) f (z 2 ) אבל מרציפות במידה שווה האיברים הראשון והשלישי קטנים מ בסה כ נקבל כי: ε 3 כל אחד, ומרציפות f n גם האמצעי קטן מ ε 3 ולכן ε 26

28 פרק 7 אינטגרלים קווים 7.1 הגדרת האינטגרל הקווי תהי : [a,b] C מסילה ותהי f : C (כלומר מהתמונה של אל C, כמו כן, נבחין כי התמונה של חסומה ואף קומפקטית היות ו[ b,a] קטע קומפקטי). T = {a = t 0 < t 1 <... < t n = b} לכל חלוקה: וכל אוסף של נקודות: ] k+1 τ k [t k,t לכל n 1 k 0 נגדיר סכום אינטגרל: n 1 S T (f) = f ((τ k ))((t k+1 ) (t k )) k=0 הערה לא צריך להיות כאן ערך מוחלט על אף שזה היה שונה באינטגרל קווי שראינו בעבר. אינטגרבילית על f הוא פרמטר החלוקה), נאמר כי λ(t) (כאשר lim הגדרה אם קיים גבול: (f) λ(t) 0 S T f (z)dz = lim λ(t) 0 S T (f) ומתקיים: Èדוגמה : אם (t) = t ו: u(t)+iv(t) f (t) = אז: S T (f) = S T (u)+is T (v) טענה אם [a,b] t ו (t) = t וכמו כן מתקיים: u(t)+iv(t) f (t) = אז: b b קיימים ומתקיים: vdt ו: udt אם קיים fdz fdz = b a b udt+ a vdt a a 04/11/

29 פרק 7. אינטגרלים קווים 7.1. הגדרת האינטגרל הקווי טענה אם מסילה : [a,b] C גזירה ברציפות ו: f : C רציפה אז קיים f (z)dz ומתקיים: b f (z)dz = f ((t)) (t)dt a הוכחה: נתבונן בסכום האינטגרלי של : f (z)dz n 1 n 1 S T (f) = f ((τ j ))((t j+1 ) (t j )) = f ((τ j ))[(x(t j+1 ) x(t j ))+i(y(t j+1 ) y(t j ))] j=0 j=0 j=0 כאשר: ] j+1.τ j [t j,t ממשפט מלגראנז קיימים ] j+1 θ x j,θy j [t j,t כך ש: n 1 = f ((τ j ))x ( n 1 θj) x (tj+1 t j )+i f ((τ j ))y ( θj) y (tj+1 t j ) j=0 כעת, הפונקציה f : [a,b] C היא רציפה כהרכבת רציפות. ולכן רציפה במידה שווה מכיוון שהיא רציפה על קטע סגור. לכן, לכל j קיים ε x j כך ש: f ((τ j )) = f ( ( θ x j)) +ε x j j=0. כמו כן, מתקיים 0 ε כאשר 0.λ(T) לכן, נתבונן על הסכום הראשון שקיבלנו: ε x ומתקיים: j ε n 1 f ((τ j ))x ( n 1 θj) x (tj+1 t j ) = f ( ( θj)) x x ( n 1 θj) x (tj+1 t j )+ ε x j x ( θj) x (tj+1 t j ) j=0 j=0 b כאשר 0.λ(T) ואליו הסכום השני שואף לאפס היות והפונקציה n 1 ε x j x ( θj) x (tj+1 t j ) εmax [a,b] x (b a) j=0 a הסכום הראשון, שואף ל f ((t))x (t)dt רציפה במ ש ולכן הנגזרת חסומה ולכן: n 1 f ((τ j ))x ( θj) x (tj+1 t j ) j=0 a b ולכן: f ((t))x (t)dt n 1 f ((τ j ))y ( θj) y (tj+1 t j ) j=0 a b ובאופן דומה, נקבל גם: f ((t))y (t)dt 28

30 פרק 7. אינטגרלים קווים 7.2. תכונות 7.2 תכונות טענה f (z)dz = ומתקיים: f (z)dz אם קיים, f (z)dz והמסילה אזי גם קיים: f (z)dz הוכחה: זה נובע מייד מההגדרה של האינטגרל, היות והסכום האינטגרלי של עבור החלוקה: T = {a = t 0 < t 1 <... < t n = b} n 1 S T (f) = f ((τ j ))((t j+1 ) (t j )) [a,b] h : כךש: (t), (h(t)) = אזהסכוםהאינטגרלישל עבורהחלוקה: T = j=0 { } ã = t 0 < t 1 <... < t n = b הוא: [ ] אם קיים הומאומורפיזם עולה ã, b n 1 S T (f) = f ( ( τ j )) ( ( ) )) t j+1 ( t j = ST (f) j=0 המתקבלת מהחלוקה T כ ) j. t j = h(t היא: כיוון ש: ) j t j = h(t וגם: ) j.τ j = h(τ. f (z)dz = f (z)dz אזגם האינטגרלעלהמסילהההפוכה(נסמנה )קייםומתקיים: קיים, טענה אם f (z)dz הוכחה: נובעת מההגדרה גם כן. תהי : [a,b] C מסילה. נסמן את המסילה ההפוכה: (a+b t). (t) = הסכום האינטגרלי של הוא: fdz n 1 f ( (τ j ) )( (t j+1 ) (t j ) ) n 1 = f ((a+b τ j ))((a+b t j+1 ) (a+b t j )) j=0 j=0 נסמן: t. n j = a + b t j (נבחין שהסדר שלהם מתהפכת מכיוון שהעתקה בינהם היא יודרת, לכן הגדרנו בטור n j באינדקס). ולכן נקבל כי: = S T (f) המינוס הוא מכיוון שהאינדקסים בסכום כעת הם הפוכים, לכן אנו מכפילים ב 1. T = {a = a+b t n <... < b = a+b t 0 } עבור החלוקה: טענה (αf (z)+βg(z))dz = ומתקיים: (αf (z)+βg(z))dz קיים, אז f (z)dz + β אם g(z)dz קיים α. α f (z)dz g(z)dz +β S T (αf +βg) = αs T (f)+βs T (g) הוכחה: שוב מההגדרה, ומתקיים: 29

31 פרק 7. אינטגרלים קווים 7.2. תכונות טענה אם קיים, fdz וכמו כן פונקציה f כך שקיים > 0 M, המקיים: f (z) M לכל z. וכמו כן, נניח כי בעלת אורך אזי: fdz Ml() n 1 S T (f) = f ((τ j ))((t j+1 ) (t j )) M (t j+1 ) (t j ) j j=0 הוכחה: n 1 M sup (t j+1 ) (t j ) = Ml() T j=0 b a f ((t)) (t)dt b f ((t)) (t) dt M (t) dt = Ml() b a a הערה טענה fdz = אזי קיים:.f : C מוגדר. וכמו כן: = 1 קיימים, וגם 2 2 ו: fdz 1 אם fdz. 1 fdz + 2 fdz הוכחה: נסמן: 1 : [a,b] C ו:. 2 : [b,c] C אנו מניחים כי מתקיים: (b). 1 (b) = 2 אם T 1 היא חלוקה של.(T 1 צירוף החלוקות,T 2 (כלומר T = T 1 T 2 אז, נסמן: [b,c] חלוקה של T 2 ו: [a,b] S T,1 2 (f) = S T1, 1 (f)+s T2, 2 (f) T היא חלוקה של הקטע [a,c] ומתקיים: ניתן להניח שבכל חלוקה של [a,c] הנקודה b היא אחת מנקודות החלוקה, אחרת נוסיף אותה. מסקנה תהי : [a,b] C גזירה ברציפות למקוטעין ו f : C רציפה. אז קיים: ומתקיים: fdz fdz = b a f ((t)) (t)dt הערה אם x(t)+iy(t) = ו: u(z)+iv(z),f (z) = אז באופן פורמלי נכתוב: f (z)dz = (u+iv)(dx+idy) = udx vdy +i udy+vdx קיימים. לכן, לומר ש קיים, f (z)dz זה לומר שהאינטגרלים udx vdy i+ udy +vdx 30

32 פרק 7. אינטגרלים קווים 7.2. תכונות Èדוגמה = 1 : (z).f נתבונן באינטגרל:. dz נבחין כי: n 1 S T (1) = ((t j+1 ) (j j )) = (t n ) (t 0 ) = (b) (a) j=0 dz = (b) (a) כלומר: תרגיל נניח כי היא שפה של המשולש שקודקודיו A. 1 A, 2 A, 3 חשבו את: xdz, ydz zdz טענה נוסחת ניוטון לייבניץ.z Ω לכל F (z) = f (z) כך ש Ω ב F פונקציה רציפה. נניח שקיימת פונקציה הולומורפית f : Ω C תחום, Ω אזי לכל מסליה (גזירה ברציפות למקוטעין) : [a,b] Ω מתקיים: f (z)dz = F ((b)) F ((a)) f (z)dz = b a b a f ((t)) (t)dt = b u (t)dt+i a b a F ((t)) (t)dt = b a F =u+iv (F ) {}}{ (t)dt = הוכחה: v (t)dt = (u(b) u(a))+i(v(b) v(a)) = (F )(b) (F )(a) 31

33 7.3. אינדקס פרק 7. אינטגרלים קווים 7.3 אינדקס : [a,b] ותהי.n Z כאשר f (z) = (z z 0 ) n ובפונקציה: Ω = C\{a} : נתבונן בתחום: Èדוגמה Ω מסילה סגורה. (z z0)n+1 F (z) = מוגדרת והולומורפית בΩ ו: F (z) = (z z 0 ) n לכל.z Ω ולכן, n+1 עבור כל 1 n הפונקציה לפי הטענה: (z z 0 ) n dz = F ((b)) F ((a)) = 0 אבל זוהי מסילה סגורה, לכן (a) (b) = ולכן: הערה בפרט, אם f פולינום ו מסילה סגורה אזי האינטגרל = 0 fdz תמיד. מה קורה כאשר 1 = n? אין לנו פונקציה קדומה לכל ln) z על מספרים שליליים). תהי : [0,1] Ω מעגל סביב.((t) = z 0 +Re 2πit (דהיינו: z 0 נחשב את האינטגרל: 1 dz = z z (t)dt = (t) z 0 0 R2πi e 2πit dt R e 2πit = 2πi dz z z 0 = 2πi הערה הכיוון פה חשוב. מסילה הפוכה תניב: הגדרה אינדקס: אינדקס של נקודה z 0 ביחס למסילה סגורה : [a,b] C כך ש :z 0 / i(z 0,) := 1 dz 2πi z z 0.t [,1] כאשר (t) = z 0 +Re 2πit : Èדוגמה i(z 0,) = +1 h(τ) = b dz (t)dt = z z 0 (t) z 0 τ a a (t) (t) z 0 dt, a τ b 32 טענה (, i(z 0 הוא מספר ממשי שלם. הוכחה: נגדיר: 07/11/2012

34 פרק 7. אינטגרלים קווים 7.3. אינדקס (t) היא (t) z 0 אנו רוצים להראות כי h(b) = 2πi k כאשר.k Z פונקציה h היא פונקציה.h : [a,b] C פונקציה, מתקיים: (τ) (τ) z 0 רציפה למקוטעין. לכן, h היא פונקציה רציפה. לפי נוסחת ניוטון לייבניץ בכל נקודת רציפות τ של h (τ) = (τ) (τ) z 0 (τ) אפשר לגזור את g. נחשב את הנגזרת: (τ) z 0 נגדיר ) 0.g(τ) = e h(τ) ((τ) z ואז בכל נקודת רציפות τ של g (τ) = h (τ) }{{} (τ) (τ) z 0 e h(τ) ((τ) z 0 )+e h(τ) ( (τ)) = e h(τ) [ (τ)+ (τ)] = 0 פונקציה g רציפהב[ a,b ],גזירהברציפותלמקוטעין, והנגזרת 0 = (τ) g בכלנקודתגזירותשל g ולכן: = const g g(a) = e 0 ((a) z 0 ) = (a) z 0 לכן, g(a) = (a) z 0 וגם: g(b) = e h(b) ((b) z 0 ) = e h(b) ((a) z 0 ) e h(b) = 1 }{{} =g(a) 2πi i(z 0,) = h(b) = 2πik, k Z ולכן: הערה מדובר בכמות סופית של נקודות אי רציפות. ולא כמות ממידה אפס לכן g באמת קבועה. טענה K C קבוצה קומפקטית. מסילה. תהי פונקציה F : K C (הכוונה כאן לתמונה של, המקור הוא. (z,w) K רציפה לפי זוג ({(z,w) z, w L} עבור כל w K נגדיר: I(w) = F (z,w)dz אז I רציפה ב K. הערה הכוונהברציפותלפינורמהב,C 2 לכל 0 > ε קיים 0 > δ כךשε z z 0 < δ F (z) F (z 0 ) < (כאשר (z,w) z = איבר במקור של הפונקציה). כמו כן הוא הוסיף: I(w) I(w 0 ) = F (z,w) F (z,w 0 )dz וכמו כן, אנו מניחים כי בעלת אורך. הוכחה: F רציפה על קבוצה קומפקטית K R 4 ולכן F רציפה במ ש. לכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שאם w 1,w 2 K וגם z 1 z 2 < δ אז: I(w 1 ) I(w 2 ) = F (z,w 1 ) F (z,w 2 ) < ε לכל.z ולכן, אם w 1 w 2 < δ אז: F (z,w 1 ) F (z,w z )dz sup F (z,w 1 ) F (z,w 2 ) l() εl() z לכן, I רציפה במידה שווה. 33

35 פרק 7. אינטגרלים קווים 7.4. משפט הקירובים מסקנה z. Ω הוא מספר קבוע כאשר i(z,) אזי Ω = תחום כך ש Ω מסילה סגורה. i(z,) = 1 du 2πi u z F (u,z) = 1 u z הוכחה: נגדיר: כאשר כאן u ו F : Ω C.z Ω היא פונקצי רציפה כאשר (u,z) Ω מכיוון ש z u כיוון ש u וΩ z והחיתוך בין הקבוצות ריק. לכן, לכל קבוצה קומפקטית K, Ω לפי טענה קודמת i(z,) היא פונקציה רציפה לכל z. K מצד שני: Ω קבוצה קשירה מסילתית, ומכיוון ש K היא כל קבוצה קומפקטית בΩ אז מטענה קודמת i(z,) רציפה בΩ. ומכיוון ש i(z,) מקבלת רק ערכים שלמים, אזי היא קבועה. מסקנה ברכיב קשירות לא חסום של,C\ האינדקס הוא 0. הוכחה: מצד אחד, הוא קבוע שם, מצד שני 0 i(z,) כאשר z. והרי: i(z,) = 1 du 2πi u z 1 u z 1 0 z u }{{} לכן: במידה שווה לפונקציה u כי קבוצה חסומה. 11/11/ משפט הקירובים משפט הקירובים מסילה בΩ. : [a,b] Ω רציפה. f : Ω C תחום, Ω אזי לכל > 0 ε קיים > 0 δ כך שלכל חלוקה b} T = {a = t 0 < t 1 <... < t n = נגדיר קו פוליגונלי = T ),(b)].[(a),(t 1 ),...,(t n 1 אם הפרמטר של החלוקה T מקיים λ(t) < δ אז: f (z)dz f (z)dz < ε T הערה אנו מניחים שδ מספיק קטן כך ש. T Ω הוכחה: קיים > 0 d כך שלכל z מתקיים.B(z,d) Ω נבחין כי: d = dist(, Ω) = inf z w Ω { z w } > 0 34

36 פרק 7. אינטגרלים קווים 7.4. משפט הקירובים הערה חיובי כי קבוצה קומפקטי, ו Ω קבוצה סגורה, אבל לא נחתכת עם ולכן המרחק הוא חיובי. כמו כן, אם Ω הוא כל המרחב אז השפה ריקה וכל d מתאים. כמו כן, בגלל ש קומפקטית אז גם בעיות של חסימות נפתרות. ( B z, d ) Ω 2 לכן לכל z מתקיים: 2) K.K = z B( z, d קומפקטית. מכיוון ש K חסומה (ברור) וגם K סגורה כיוון שאם u u n אז: נגדיר: ( u n B z n, d ) 2 אזי ניתן להניח ש: z n z ולכן: u n z n d 2 u z d 2 ( u B z, d ) K 2 ולכן: כמו כן, f רציפה על קבוצה קומפקטית K, לכן, f רציפה במידה שווה על K. נסמן: l() ρ. = יהי > 0 ε, קיים > 0 σ כך שלכל z,z K מתקיים: z z < δ f (z ) f (z ) < ε 2ρ קיים > 0 δ כך שלכל חלוקה T של [a,b] אם λ(t) < δ אז: לכל שתי נקודות τ 1,τ 2 כך ש: k+1,t k τ 1 τ 2 t מתקיים: { (τ 1 ) (τ 2 ) < min σ, d } 2 (מרציפות במידה שווה של פונקציית ). : [a,b] C נעריך עבור T K Ω (נבחין שכל נקודה של (t) T היא בין ) k (t ל ) k+1,(t אבל המרחק בין ) k (t ל w (t k ) wמתקיים: [(t k ),(t k+1 )] כלומר עבור כל (t k+1 )/ ו (t k ) הוא קטן מהמרחק בין T (t).( (t k+1 ) (t k ) < d 2 נגדיר: k = [tk,t k+1 ] n 1 fdz fdz = n 1 fdz fdz T k=0 k k=0 [(t k ),(t k+1 )] n 1 ( fdz fdz f ((t k ))dz k [(t k ),(t k+1 )] k k=0 [(t k ),(t k+1 )] f ((t k ))dz) לכן: 35

37 7.5. משפט קושי עבור משולש פרק 7. אינטגרלים קווים n 1 = (f (z) f ((t k )))dz k k=0 n 1 k=0 sup f (z) f ((t k )) z k }{{} ε 2ρ n 1 l( k )+ [(t k ),(t k+1 )] k=0 z [(t k ),(t k+1 )] הביטוי בסוגריים מתאפס בגלל נוסחת ניוטון לייבניץ. (f (z) f ((t k )))dz sup f (z) f ((t k )) (t k+1 ) (t k ) }{{} ε 2ρ n 1 ε 2ρ l( k ) +l() k=0 = ε 2ρ 2ρ = ε }{{} l()=ρ 7.5 משפט קושי עבור משולש {K n } סידרה של קבוצות קומפקטיות ב R d כך ש / n K n+1 K ומתקיים: תזכורת תהי 0 < diam(k n ) = sup z 1,z 2 K n z 1 z 2 n 0 k n = {z 0 } n אזי: הגדרה משולש: משולש: קבוצה סגורה חסומה עם שפה: [A,B,C,A] כך ש A,B,C לא שייכות לקו ישר. משפט קושי עבור משולש נניח שפונקציה f מוגדרת והולומורפית בתחום Ω אזי: 0 = f (z)dz כאשר: = [A,B,C,A] הוכחה: az + bz2 ו 2 שלב ראשון נכון כאשר: f (z) = a + bz כי אז f פונקציה שלמה אשר בעלת פונקציה קדומה: מסילה סגורה. שלב שני עבור משולש σ נסמן: S =שטח σ המשולש ו: P =ההיקף σ של המשולש. נניח בשלילה שקיים משולש ו: > 0 δ כך ש: f (z)dz > δs נחלק את המשולש ל 4 משולשים שווים (4), (3), (2), (1) ע י הקווים התיכונים של. 36

38 פרק 7. אינטגרלים קווים 7.5. משפט קושי עבור משולש A B (3) C 1 B 1 (4) (1) (2) A 1 C fdz = 4 j=1 (j) fdz אזי: כאשר [A,B,C,A] = ו: (1) = [B,A 1,C 1,B] (2) = [A 1,C,B 1,A 1 ] (3) = [B 1,A,C 1,B 1 ] (4) = [C 1,A 1,B 1,C 1 ] נראה שעבור משולש אחד 1 בין (j) עבור = 1,2,3,4 j מתקיים: fdz > δs 1 1 f (j)fdz δs (j) נניח בשלילה שלכל = 1,2,3,4 j מתקיים: fdz = 4 j=1 (j) fdz 4 4 fdz δs (j) = δs (j) j=1 j=1 אז: סתירה. נבחין כי: S S 1 = 1 4 וכמו כן: P.P 1 = 1 2 נעשה את אותה הבניה במשולש 1 ונקבל משולש 2 כך ש 1 P P 2 = 1 2 ומתקיים: 1 S S 2 = 1 4 וגם: 1 2 ומתקיים: fdz > δs 2 2 כך למעשה נקבל סידרה של משולשים n כך ש 1+n n וכמו כן: S n+1 = 1 4 S n = 1 4 n+1s P n+1 = 1 2 P n = 1 2 n+1p 37

39 7.5. משפט קושי עבור משולש פרק 7. אינטגרלים קווים fdz > δs n n ומתקיים: n diam.כעת, n < P } n } סדרה יורדת של קבוצות קומפקטיות לכן קיים: n אבל אנו יודעים כי 0 n = {z 0 } Ω f (z) = f (z 0 )+f (z 0 )(z z 0 )+α(z)(z z 0 ) אבל נבחין כי f גזירה ב z 0 לכן: כאשר α פונקציה אפסית כלומר 0 α(z) כאשר.z z 0 מהשלב הראשון אנו יודעים כי: 0 = (f (z 0 )+f (z 0 )(z z 0 ))dz n ולכן: δs n < f (z)dz = [f (z) (f (z 0 )+f n (z 0 )(z z 0 ))]dz = n α(z)(z z 0 )dz sup α(z)(z z 0 ) P n < sup α(z) (P n ) 2 = sup α(z) P2 n z n z n z n 4 n לכן עבור כל n מתקיים: δ S 4 n < sup α(z) P2 z n 4 n sup α(z) > z n ( δ S P 2 ) > 0 לכן: מצד שני: sup α(z) 0 z n n. z z 0 < P n n כי: 0 14/11/2012 הגדרה מעגל: מעגל סביב נקודה z 0 ברדיוס R מסומן ע י: (R,.S(z 0 זו מסילה השקולה למסילה: : [0,2π] C (t) = z 0 +Re it 38

40 פרק 7. אינטגרלים קווים 7.5. משפט קושי עבור משולש מסקנה ממשפט קושי עבור משולש (7.5.3).1 תהי f הולומורפית ב Ω שמכיל,R) B(z 0 אזי: f (z)dz = 0 S(z 0,R).2 תהי f הולומורפית ב,r δ) B(z 0,R+ε)\B(y 0 כאשר,R) B(y 0,r) B(z 0 אז: f (z)dz = fdz S(z 0,R) S(y 0,z) הוכחה: 1. לפי משפט הקירובים. מספיק להוכיח שלכל קו פלויגונלי סגור S T ב (R, B(z 0 עם הקודקודים על (R, S(z 0 מתקיים: 0 = fdz S T נסמן: =A n {}}{ S T = A 0,A 2,...,A n 1, A 1 n 1 fdz = S T k=0 [z 0,A k,a k+1,z 0] נבחין כי: fdz (מכיוון שעל כל קוטר שנוצר בין A k ל z 0 אנו עוברים פעמיים, פעם אחת בכל כיוון). המשולשים עם השפה ] 0 [z 0,A k,a k+1,z מוכלים ב,R) B(z 0 לכן גם ב Ω ולכן לכל k מתקיים: 0 = fdz [z 0,A k,a k+1,z 0] ממשפט קושי עבור המשולש. A 0 A 1 39

41 פרק 7. אינטגרלים קווים 7.6. נוסחת ההצגה של קושי 2. כעת, במקום להסתכל על משולשים נסתכל על הריבועים שנוצרים מהקירובים בין שני המעגלים. כלומר, נעביר 1 n l} {k כאשר n גדול וזוית בין קרניים צמודות היא 2π n (והן מסודרות נגד כיוון דרך נקוה n y 0 קרניים k=0 השעון), נסמן ע י A k ו B k את נקודות החיתוך של l k עם (R, S(z 0 ו (z,.s(y 0 לפי משפט הקירובים: fdz = fdz lim n [A 0,A 1,...,A n 1,A 0] S(z 0,R) lim fdz = fdz n [B 0,B 1,...,B n 1B 0] S(y 0,r) וגם: [A 0,A 1,...,A n 1,A 0] ולכן מספיק להוכיח עבור 1 n ש: fdz fdz = 0 [B 0,B 1,...,B n 1,B 0] הערה ה 1 n זה כדי שנהיה בתחום שבו f הולומורפית. [A 0,A 1,...,A n 1,A 0] fdz fdz = [B 0,B 1,...,B n 1,B 0] n 1 k=0 [B k,a k,a k+1,b k+1,b k ] fdz כעת: אבל כל אינטגרל בסכום מתאפס, מכיוון שעבור 1 n מדובר בקו פוליגונלי סגור בתחום הולומורפי, ולכן האינטגרלים מתאפסים. דהיינו, עבור כל k מרובע P k עם השפה ] k [B k,a k,a k+1,b k+1,b נמצא בתחום ההולומורפי של,f לכן ממשפט קושי עבור המשולש מתקבל כי: fdz = fdz + fdz = 0+0 = 0 [B k,a k+1,b k+1,b k ] [B k,a k,a k+1,b k+1,b k ] [B k,a k,a k+1,b k ] 7.6 נוסחת ההצגה של קושי משפט נוסחת ההצגה של קושי תהי f הולומורפית בתחום Ω שמכיל כדור סגור B(a,R), אז לכל נקודה B(a,R) z 0 אזי: f (z 0 ) = 1 f (z) dz 2πi S(a,R) z z 0 18/11/

42 7.6. נוסחת ההצגה של קושי פרק 7. אינטגרלים קווים תרגיל: למשפט קושי (עבור מלבן). נחשב: g(λ) = e ax2 e iλx dx זהו טרנספורם פורייה של e. ax2 אם נגדיר: F (z) = e az2 e iλz F (x+iy) = e a(x2 y 2 )+λy e i(2axy+λx) אז קיבלנו פונקציה שלמה. אם נציב: z = x+iy נקבל: על כל קטע [ R,R] נקבל מלבן אשר חסום עם y 0 מסויים. שהאינטגרל עליו מתאפס ממשפט קושי. אבל איזה y 0 נבחר? נבחין כי באקספוננט המרוכב למעשה כתוב לנו: (λ+,x(2ay לכן נרצה לבחור y. 0 = λ 2a S(z 0,r) ϕdz = ϕ(z) = f (z) z z 0 הוכחה: נגדיר פונקציה: אז ϕ הולומורפית ב } 0.Ω\{z לפי המסקנה ממשפט קושי (חלק 2), עבור כל > 0 r מספיק קטן: ϕdz = ϕdz S(z 0,r) S(a,R) S(z 0,r) f (z) f (z 0 ) dz = dz + z z 0 S(z 0,r) z z 0 I(r) max z z 0 =r f (z) f (z 0 ) dz = S(z 0,r) z z 0 }{{} I(r) נבחין כי: dz f (z 0 ) +I(r) = 2πif (z 0 )+I(r) S(z 0,r) z z 0 נרצה להראות כי 0 I(r) כאשר 0,r : f (z) f (z 0 ) z z 0 2πr 0 r 0 f (z) f (z 0 ) lim = f (z 0 ) z z 0 z z 0 הביטוי בערך מוחלט חסום מכיוון ש: עבור = 1 ε קיים > 0 0 r כך ש: z z 0 < r 0 f (z) f (z 0 ) f (z 0 ) z z 0 < 1 f (z) f (z 0 ) z z 0 f (z 0 ) +1 = M S(a,R) f (z) z z 0 dz = 2πi f (z 0 ) אזי: = 0 I(r) לכל z טן ו: 41

43 פרק 8 טורי חזקות 8.1 תזכורת ראינו באינפי כי בהינתן, a n (x x 0 ) n אז תחום ההתכנסות שלו הוא קטע. אבל אנו לא רוצים להסתכל על x ממשי, אלא מרוכב, נקבל כי תחום ההתכנסות יהיה כדור. לדוגמה נרצה להסתכל על הטור של: x+1 2, הוא מתכנס בתחום (1,1 ), אבל כאשר נסתכל על x מרוכב, הוא יתכנס בכדור ברדיוס 1, ועל השפה של העיגול הזה, יש נקודה i שעבורו הביטוי בתוך השורש מתאפס. וסביב 0 אי אפשר להגדיר את z (נראה בהמשך). לכן, סביב נקודה זו, אי אפשר להמשיך את הפונקציה, שוב, את כל זה נראה בהמשך. 8.2 התכנסות של טורים מתכנס אם u n סדרה של מספרים מרוכבים, נאמר כי הטור: u} n } 0=n n 1 S n = u k, n = 1,2,... k=0 הגדרה התכנסות טורים: אם הסידרה של סכומים חלקיים: מתכנסת ל S. טענה קריטריון קושי טור u n מתכנס אם ם לכל > 0 ε קיים N N כך שלכל m > n > N מתקיים: m 1 u k < ε k=n מסקנה אם טור u n מתכנס בהחלט (כלומר < n u מתכנס) אזי u n מתכנס. הערה זה נובע ישירות מאי שיוויון המשולש. 42

44 8.3. טורי חזקות פרק 8. טורי חזקות הגדרה התכנסות במידה שווה: נאמר כי f n f על קבוצה E במידה שווה אם: ε > 0 n 0 n > n 0 z E f n (z) f (z) < ε כמו כן, נתבונן בטור פונציונאלי: u n (z) כאשר 0=n u} n {(z) פונקציות מרוכבות המוגדרות עלקבוצה E. נאמר כי הטור מתכנסבמידה שווה ב E אם סידרה: n 1 S n (z) = u k (z), n 1 k=0 מתכנסת במידה שווה בקבוצה E. טענה פונקציה רציפה על E. אם בנוסף כל u n רציפה על E אזי גם הסכום: n(z) 0=n u קריטריון ויירשטרס משפט קריטריון ויירשטרס {a n } המקיימת 0 n,a כך ש: < n. a ולכל n > n 0 ולכל z E מתקיים: נניח שקיימת סדרה מתכנס במידה שווה בE. מתכנס ל S(z) (מכיוון שטור עם איברים גדולים יותר מתכנסים). אבל ε > 0 n 0 m > n > n 0 m 1 k=n u n (z) אזי: u n (z) a n הוכחה: עבור כל z E הטור (z) u n a k < ε למה ההתכנסות במ ש? לפי קריטריון קושי: m 1 m 1 u k (z) u k (z) k=n k=n m 1 k=n a k < ε לכן, לכל :z E אבל זה נכון לכל m, > n לכן אפשר להסתכל בגבול m. ומכאן: ε > 0 n 0 n > n 0 z E u k (z) ε אבל נבחין כי מה שכתוב בערך המוחלט זה: (z).s(z) S n כלומר זהו בדיוק קריטריון קושי להתכנסות במ ש. k=n 8.3 טורי חזקות a n (z z 0 ) n טורי חזקות הנם טורים מהצורה: 43

45 8.3. טורי חזקות פרק 8. טורי חזקות כאשר: {a n } C וגם:.z 0 C משפט Abel משפט Abel מתכנס עבור איזשהו z, 1 z 0 אזי הוא מתכנס בהחלט ובמידה שווה בכל כדור סגור: אם טור a n(z z 0 ) n B(z 0,r) = { z z 0 r} מתכנס ב z, 1 לכן קיים M כך ש: n 0 a n (z 1 z 0 ) n M כאשר 0.r < z 1 z הוכחה: a n (z z 0 ) n נקח r כך ש. z 1 z 0 > r אזי לכל,r) z B(z 0 מתקיים: n ( ) a n (z z 0 ) n = a n (z 1 z 0 ) n z z 0 n r z 1 z 0 M = MΘ n z 1 z 0 Θ = r z 1 z 0 < 1 כאשר: מתכנס בהחלט ובמ ש ב מתכנס כי < 1.Θ לכן, לפי קריטריון ויירשטרס הטור a n (z z 0 ) n הטור: MΘ n.b(z 0,r) מסקנה לכל טור חזקות קיים מספר + R 0 (רדיוס התכנסות של הטור) כך שהטור מתכנס במ ש בהחלט בכל כדור. z z 0 > R כך ש: z ומתבדר עבור כל,{ z z 0 r r < R} מסקנה אם < R R) הוא רדיוס ההתכנסות של טור חזקות ( a n (z z 0 ) n אזי עבור כל z כך ש z z 0 > R הסידרה: {a n (z z 0 ) n } לא חסומה. כלומר, לא קיים M כך ש: a n (z z 0 ) n M lim n c n = sup{c c nk c} lim n c n = inf{c c nk c} לכל n. תזכורת,c n R נוסחת קושי הדמר 44

46 8.3. טורי חזקות פרק 8. טורי חזקות R = משפט נוסחת קושי הדמרד נתון ע י: 1 הרדיוס ההתכנסות של טור חזקות a n (z z 0 ) n lim n a n 1 /n 1 1 z = z n המשפט יוכח תרגול. Èדוגמה : רדיוס ההתכנסות הוא = 1 R וקל לראות כי אז הטור באמת לא חסום. Èדוגמה : z n n n=1 2 z n n גם כאן, = 1.R Èדוגמה : n=1 רדיוס ההתכנסות הוא = 1 R. הטור גם מתכנס ב 1 = z, אבל לא ב = 1 z. (לא בטוח, אבל יש תחושה של המרצה שהוא גם לא מתכנס באף נקודה אחרת על השפה). שווים. ו: n 1 na n z n=1 מסקנה מקושי הדמרד רדיוס ההתכנסות של הטורים: a n z n lim na n 1 /n 1 = lim a n 1 /n 1 = lim a n 1 /n n n n, lim ולכן: n n1 /n הוכחה: מכיוון שמתקים = 1 תרגיל: אפשר להסתכל על טור: f (z) = z 2n = z +z 2 +z 4 +z 8 +z z n = 1 1 z f (z) = z +f ( z 2) עדיין מתקיים = 1.R אפשר לראות כי: 45

47 8.4. פונקציה אנליטית פרק 8. טורי חזקות. a n cosϕ נתבונן בטור:,a n R Èדוגמה טורי פורייה: Re a n z n = a n r n cos(nϕ) כאשר. z = r 8.4 פונקציה אנליטית הגדרה תהי f פונקציה מוגדרת בתחום f Ω, נקראת אנליטית בΩ אם באופן מקומי f היא הסכום של טור חזקות. כלומר,לכלΩ z 0 קייםטורחזקות a n (z z 0 ) n כךש f היאהסכוםשלטורזהבאיזשהוכדורסביב( ε,.b(z 0 נרצה להוכיח את שני המשפטים הבאים: משפט סכום של טור חזקות הוא פונקציה הולומורפית בעיגול ההתכנסות. מסקנה כל פונקציה אנליטית היא הולומורפית. משפט כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית. 21/11/ רציפות במידה שווה אינטגרציה במידה שווה טענה =n f} n } סדרה של פונקציות המוגדרות ורציפות על ומתקיים: f n f במ ש על. אז מתקיים: בהינתן מסילה, lim f n dz = fdz n f n fdz sup f n f l() 0 n הוכחה: באופן שקול, ניתן לטעון: טענה אם 0 n ו u n פונקציות רציפות על מסילה כך ש: S(z) = u n (z) כאשר הטור מתכנס במ ש על אזי מתקיים: S(z)dz = u n (z)dz 46

48 פרק 8. טורי חזקות 8.5. רציפות במידה שווה מסקנה תהי: f (z) = a n (z z 0 ) n בעיגול ההתכנסות B של הטור. אזי, עבור כל מסילה ב B שמתחילה ב z 0 ומסתיימת a n (w z 0 ) n+1 f (z)dz = n+1 בנקודה w B מתקיים: f (z) = a n (z z 0 ) n גזירה איבר איבר משפט גזירה איבר איבר בעיגול ההתכנסות R} B = { z z 0 < אז f גזירה בכל נקודה z B ומתקיים: f (z) = na n (z z 0 ) n 1 n=1 אם: הוכחה: לפי נוסחת קושי הדמרד, רדיוס ההתכנסות של טור החזקות של הנגזרת שווה ל R. בפרט, לכל z B מתקיים: na n (z z 0 ) n 1 n 0 f (z) f (w) z w f (z) = S n (z)+r n (z) S n (z) = r n (z) = ( Sn (z) S n (w) f 1 (w) = z w ניתן להניח ש = 0 0 z. נוכיח שf גזירה בנקודה w: B n 1 a k z k k=0 a k z k k=n = (z) f 1 עבור.z B מתקיים: נסמן: n 1 na n z n=1 S n (w) ) +(S n (w) f 1(w))+ r n(z) r n (w) z w כעת, S n הוא פולינום. ולכן לכל n מתקיים: ( ) Sn (z) S n (w) lim S z w z w n(w) = 0 47

49 8.6. פונקציה הולומורפית היא אנליטית פרק 8. טורי חזקות בנוגע ל r, n מכיוון שהטור מתכנס בהחלט, ניתן לרשום: r n (z) r n (w) z w = z k w k a k z w = ( a k z k 1 +z k 2 w+...+zw k 2 +w k 1) k=n k=n כעת, מתקיים:, z, w ρ < R ולכן: k 1 z k j w j 1 ρ ולכן נקבל: r n (z) r n (w) z w k a k ρ k 1 k=n n 0 מתכנס בהחלט בעיגול ההתכנסות R},{ z < לכן < n 1, n a n z וקיבלנו כי n=1 מכיוון שהטור n 1 na n z הביטוי לעיל הוא שארית של טור מתכנס בהחלט. (בפרט, לכל z קרוב לw ). נעבור לאיבר k=1 rn(z) rn(w) z w אזי, לכל > 0 ε קיים n 0 כך שלכל n n 0 מתקיים < ε האחרון בביטוי לעיל: n 1 S n (w) f 1(w) = ka k w k 1 ka k w k 1 = ka k w k 1 k=1 k=n n 0 ושוב, עבור w נתון זוהי שארית של טור מתכנס, בפרט עבור n 1 n 0 מתקיים: S n(w) f 1 (w) < ε הערה הוכחה זהה לחלוטין להוכחה עבור ממשיים. מסקנה אם f (z) = a n (z z 0 ) n בעיגול ההתכנסות B אזי f גזירה ב B אינסוף פעמים ולכל :m N f (m) (z) = n(n 1)...(n m+1)a n (z z 0 ) n m n=m ובפרט כל פונקציה אנליטית היא גזירה אינסוף פעמים. 8.6 פונקציה הולומורפית היא אנליטית משפט תהי f הולומורפית בתחום Ω. אזי f אנליטית ב Ω. במילים אחרות, אם B(z 0 (r, Ω אזי קיים טור חזקות: סביב נקודה, a n (z z 0 ) n,z 0 שמתכנס ל f ב,r).B(z 0 הוכחה: לפי נוסחת ההצגה של קושי עבור (r, B(z 0 מתקיים לכל (r, w: B(z 0 f (w) = 1 f (z) 2πi S(z 0,r) z w dz 25/11/

50 8.6. פונקציה הולומורפית היא אנליטית פרק 8. טורי חזקות נבחין כי: 1 z w = 1 (z z 0 ) (w z 0 ) = 1 z z w z0 }{{} = z z 0 w z 0 <1 z z 0 1 z z 0 ( w z0 z z 0 ) n ולכן: המעבר האחרון הוא סכום של טור הנדסי, כמו כן: 0 w z 0 < z z מכיוון ש w בפנים של הכדור (r, B(z 0 ואילו z על המעטפת. f (w) = 1 2πi S(z 0,r) ( ) n f (z) w z0 dz z z 0 z z 0 אבל בתוך האינטגרל זה טור המתכנס במידה שווה עבור (r, z S(z 0 כי: θ := w z 0 z z 0 = w z 0 < 1 r max f (z) f (z) z z 0 S(z 0,r) = M r ולכן: ( ) n f (z) w z0 M θ n z z 0 z z 0 ואז נקבל כי: ומתקיים: f (w) = 1 2πi S(z 0,r) Mθ n < θ ולכן, מקריטריון ויירשטרס הטור מתכנס במ ש עבור z. לכן, נקבל כי: f (z)(w z 0 ) n (z z 0 ) n+1 dz = a n (w z 0 ) n a n = 1 f (z) 2πi S(z 0,r) (z z 0 ) n+1dz כאשר: הערה התכנסות במ ש על הכדור הסגור היא כי ניתן לקחת כדור עם רדיוס קצת יותר גדול, מכיוון שהוא מוכל בקבוצה פתוחה. f (m) (z 0 ) = m! f (z) 2πi S(z 0,r) (z z 0 ) m+1dz מסקנה

51 8.6. פונקציה הולומורפית היא אנליטית פרק 8. טורי חזקות.a m = f(n) (z 0) m! עבור 0 m. מכיוון ש: = (z) f בתחום,D) B(z 0 (כלומר הטור מתכנס הערה תחת התנאים של המשפט מתקיים: a n (z z 0 ) n.d = inf בתחום) כאשר, Ω) w Ω z 0 w = dist(z 0 מסקנה נוספת מכך, היא מהמקרה הפרטי של = 1 m, ונקבל את משפט :Liouville משפט Liouville משפט משפט Liouville כל פונקציה f שלמה (כלומר הולומורפית ב C) וחסומה (כלומר, קיים M כך ש f (z) M לכל z C היא קבועה. הוכחה: מספיק להוכיח שלכל z 0 C מתקיים: = 0 ) 0.f (z במקרה שלנו,Ω = C לכן, עבור כל > 0 :R f (z 0 ) = 1 f (z) 2πi (z z 0 ) 2dz S(z 0,R) 0 f (z 0 ) 1 M 2π R 2 2πR = M R ולכן: p(z) = z d +a 1 z d a d לכל > 0,R לכן: (z) = f.0 מסקנה חשובה היא: המשפט היסודי של האלגברה משפט המשפט היסודי של האלגברה כל פולינום ממעלה d 1 הוא בעל שורש. הוכחה: 1 ϕ (z) = 1 ρ(z) נניח בשלילה ש: 0 p(z) לכל z. C נגדיר פונקציה: אז ϕ פונקציה שלמה. מצד שני, היא חסומה. ואומנם, קיים: 1 lim ϕ(z) = lim z z z d +... = 0 z d +a 1 z d a d z d מדוע? מכיוון שמאי שיוויון המשולש נקבל: ) d d a k z d k = z (1 d a k z k k=1 ולכן כאשר z נקבל כי הביטוי בסוגריים שואף ל 1 ולכן זה מתנהג כמו z. d 50 k=1

52 8.6. פונקציה הולומורפית היא אנליטית פרק 8. טורי חזקות תרגיל z אז: p(z) z d כלומר: p(z) z d 1 z לכן, קיים > 0 R כך ש: z > R מתקיים 1. ϕ(z) ϕ רציפה ב B(0,R) ולכן ϕ חסומה ב.B(0,R) אזי ϕ שלמה וחסומה, לכן ϕ קבועה. ולכן גם מסקנה כל פונקציה הולומורפית בתחום Ω היא אנליטית ב Ω וההפך. בפרט כל פונקציה הולומורפית היא גזירה פעמים. p = 1 ϕ קבוע. וזו סתירה (מכיוון שp ממעלה לפחות 1). 51

53 פרק 9 פונקציות קדומות 9.1 הגדרות ותכונות בסיסיות הגדרה תהי f פונקציה המוגדרת בתחום Ω. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f ב Ω אם F הולומורפית ב Ω ו: F (z) = f (z) לכל.z Ω טענה z Ω לכל F 1 (z) F 2 (z) = c כך ש c אם ם קיים Ω בתחום f שתי פונקציות קדומות של ו F 2 F 1 הערה ההפך כמובן אם כ פונקציה קדומה של f קטן, אזי לכל קבוע F c+ c, גם פונקציה קדומה. F (z) = f (z) f (z) = 0 הוכחה: נסמן: F = F 1 F 2 אזי: לכל Ω. z Ω הוא תחום, לכן F קבוע. הכיוון השני הוא ברור. משפט תהי f פונקציה הולומורפית בכדור (R, B(z 0 (באופן יותר כללית בתחום קמור Ω). אז f בעלת פונקציה קדומה בכדור. F (z) = f (w)dw [z 0,z] הוכחה: נגדיר לכל,R) :z B(z 0 נוכיח כי F גזירה ב z וכי מתקיים: (z).f (z) = f נתבונן בנקודה קרובה z z + הקרובה לz. המשולש עם הקודקודים z 0,z,z z + מוכל בכדור פתוח. ולכן, לפי משפט קושי עבור המשולש מתקיים: f (w)dw = 0 [z 0,z+ z,z,z 0] F (z + z) F (z) = [z 0,z+ z] f (w)dz + f (w)dw = f (w)dw [z,z 0] [z,z+ z] לכן: 52

54 9.1. הגדרות ותכונות בסיסיות פרק 9. פונקציות קדומות F (z + z) F (z) f (z) z = [z,z+ z] ולכן: f (w)dw f (z)dw = f (w) f (z)dw [z,z+ z] [z,z+ z] F (z + z) F (z) f (z) z sup f (w) f (z) z w [z,z+ z] נקח ערך מוחלט ונקבל: = o( z ) לפי רציפות של f בנקודה z נקבל כי: (מכיוון שכל w בקטע קרוב עד כדי z לz לכן מרציפות (z) f (w) f קטנים מספיק). מסקנה משפט קושי כללי בכדור אם f הולומורפית בכדור B, אזי עבור כל מסילה סגורה ב B מתקיים: f (z)dz = 0 הוכחה: : [a,b] B מסילה, אז: f (z)dz = F ((b)) F ((a)) = F ((a)) F ((a)) = 0 כאשר F פונקציה קדומה של f ב B. 53

רשימת משפטים והגדרות

רשימת משפטים והגדרות רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F

Διαβάστε περισσότερα

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx

I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה

Διαβάστε περισσότερα

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z.

פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן. (z z 0 ) m. c n = 1. 2πi γ (ξ z 0 ) n+1dξ, .a 1 = 1 f(z)dz בפרט,.a 2πi γ m וגם 0 0 < z z 0 < r בעיגול הנקוב z. פרק 5 טורי חזקות 5.5 טור לורן הגדרה 5. טורלורןסביבקוטב z מסדרm שלפונקציה( f(z הואמהצורה n m a n(z z m. למשל,טורלורן שלהפונקציה e z /z 2 סביב הוא + 2./z 2 +/z+/2+/3!z+/4!z משפט 5. תהי f פונקציה אנליטית

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy

x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים

חדווא 2 סיכום טענות ומשפטים חדוו"א 2 סיכום טענות ומשפטים 3 ביוני 2 n S(f, T ) := (t k+ t k ) inf k= סכום דרבו תחתון מוגדר על ידי [t k,t k+ ] f אינטגרל רימן חלוקות של קטע חלוקה של קטע [,] הינה אוסף סדור סופי של נקודות מהצורה: טענה.2

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות

סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim

Διαβάστε περισσότερα

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1

מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1 1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשעו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים: לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב

מערך תרגיל קורס סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי 2 למדעי המחשב מערך תרגיל קורס 89-33 סמסטר ב תשע ה בחשבון אינפיניטסימלי למדעי המחשב יוני 05, גרסה 0.9 מבוא נתחיל עם כמה דגשים: דף הקורס נמצא באתר.www.math-wiki.com שאלות בנוגע לחומר הלימודי מומלץ לשאול בדף השיחה באתר

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין

סיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1

חשבון אינפיניטסימלי 1 חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012

חשבון אינפיניטסימלי מתקדם II 21 ביוני 2012 חשבון אינפיניטסימלי מתקדם 836 II אור דגמי, or@digmi.org ביוני אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ ארז לפיד בשנת לימודים נושאים לקורס. המרחב.C(K). קירוב ע י פולינומים, משפט Stone-Weirstrss

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי (2)

חשבון אינפיניטסימלי (2) חשבון אינפיניטסימלי (2) איתי שפירא 30 ביוני 2017 מתוך הרצאות מהאונברסיטה העברית 2017. i.j.shpir@gmil.com תוכן עניינים 1 מבוא והשלמות 5 1.1 כלל לופיטל................................. 5 1.2 חקירת פונקציות..............................

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות

אוסף שאלות מס. 3 פתרונות אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,

Διαβάστε περισσότερα

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות

קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעב (2012) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.

חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )

1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A ) הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012

מבנים אלגבריים II 27 במרץ 2012 מבנים אלגבריים 80446 II אור דגמי, or@digmi.org 27 במרץ 2012 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ אלכס לובוצקי בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים 1 שדות 3 1.1 תזכורת מהעבר....................................................

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשעד (2014) דפי עזר לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת

Διαβάστε περισσότερα

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות

חשבון אינפיניטסמלי 2 סיכומי הרצאות חשבון אינפיניטסמלי סיכומי הרצאות 9 ביולי מרצה: פרופ מתניה בן ארצי מתרגל: מני אקא mennyk@mth.huji.c.il סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmil.com הערה לקראת המבחנים כרגע חסרים מספר דברים

Διαβάστε περισσότερα

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי

הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

n x 2 i x i x 2 i 1 x i A n = אשר מייצגים את השטח של איחוד של מלבנים, במקרה אחד החוסמים את הגרף מבחוץ, ובמקרה השני אשר חסומים בתוך הגרף.

n x 2 i x i x 2 i 1 x i A n = אשר מייצגים את השטח של איחוד של מלבנים, במקרה אחד החוסמים את הגרף מבחוץ, ובמקרה השני אשר חסומים בתוך הגרף. סיכומים בחדו"א 2 שירי ארטשטיין 22 co כל הזכויות שמורות לשירי ארטשטיין. אין להעתיק, לשכפל, לצלם, לתרגם, להקליט, לשדר, לקלוט ו/או לאכסן במאגר מידע בכל דרך ו/או אמצעי מכני, דיגיטלי, אופטי, מגנטי ו/או אחר

Διαβάστε περισσότερα

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.

טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח. 1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן

אלגברה לינארית 1 יובל קפלן אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר

Διαβάστε περισσότερα

3-9 - a < x < a, a < x < a

3-9 - a < x < a, a < x < a 1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,

תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס תורת הקבוצות (80200) באוניברסיטה העברית, תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012

תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2 אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות

תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית

Διαβάστε περισσότερα

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך.

סיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך. סיכום לינארית 28 בינואר 2 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך הערות יתקבלו בברכה nogarotman@gmailcom תוכן עניינים 3 מבוא והגדרות בסיסיות 6 שדות 7 המציין של

Διαβάστε περισσότερα

"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי

קשר-חם : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת

Διαβάστε περισσότερα

co ארזים 3 במרץ 2016

co ארזים 3 במרץ 2016 אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11

אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11 אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור

סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות

אלגברה לינארית מטריצות מטריצות הפיכות מטריצות + [( αij+ β ij ] m λ [ λα ij ] m λ [ αijλ ] m + + ( + +C + ( + C i C m q m q ( + C C + C C( + C + C λ( ( λ λ( ( λ (C (C ( ( λ ( + + ( λi ( ( ( k k i חיבור מכפלה בסקלר מכפלה בסקלר קומוטטיב אסוציאטיב

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית

Διαβάστε περισσότερα

מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות בינואר 2013

מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות בינואר 2013 מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות 80711 אור דגמי, or@digmi.org 23 בינואר 2013 אתר אינטרנט: http://digmi.org סיכום הרצאות של פרופ מתניה בן ארצי בשנת לימודים 2013. ספר לימוד של פינצ ובר רובינשטיין מבוא למד

Διαβάστε περισσότερα

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית

מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית מושגי יסוד בטופולוגיה אלגברית 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים I הרצאות 5 1 מנהלות......................................... 5 2 חבורה יסודית...................................... 5 2.1 הגדרות ועובדות

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012

תורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה! הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות 234293 אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה:

Διαβάστε περισσότερα

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.

תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא

Διαβάστε περισσότερα

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx

ושל (השטח המקווקו בציור) . g(x) = 4 2x. ו- t x = g(x) f(x) dx פרק 9: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי O 9 ושל בציור שלפניך מתוארים גרפים של הפרבולה f() = נמצאת על הנקודה המלבן CD מקיים: הישר = 6 C ו- D נמצאות הפרבולה, הנקודה נמצאת על הישר, הנקודות ( t > ) OD = t נתון:

Διαβάστε περισσότερα

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים:

אוסף שאלות מס. 5. שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), בשתי דרכים: אוסף שאלות מס. 5 שאלה 1 בדוגמאות הבאות, נגדיר פונקציה על ידי הרכבה: y(t)).g(t) = f(x(t), חשבו את הנגזרת (t) g בשתי דרכים: באופן ישיר: על ידי חישוב ביטוי לפונקציה g(t) וגזירה שלו, בעזרת כלל השרשרת. בידקו

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשעא, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית

אלגברה לינארית 1. המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית אלגברה לינארית 1 Uטענה U: אם c פתרון של המערכת (A b) ו v פתרון של המערכת (0 A) אזי c + v פתרון של המערכת הלא הומוגנית גם כן. יתרה מזאת כל פתרון של (A b) הוא מהצורה c + v כאשר v פתרון כלשהו של המערכת ההומוגנית

Διαβάστε περισσότερα

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple  Ó

ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ. Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â. ÈÂÒÈapple Â Ó ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ ÂȈ appleâù Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â ÈÂÒÈapple Â Ó תוכן העניינים 7 9 6 0 8 6 9 55 59 6 מושגים בסיסיים... אינטרוולים וסביבות... מאפיינים של פונקציות... סוגי הפונקציות ותכנותיהם...

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה

אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען

Διαβάστε περισσότερα

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r

חישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות

Διαβάστε περισσότερα

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות

תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

1 סכום ישר של תת מרחבים

1 סכום ישר של תת מרחבים אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +

Διαβάστε περισσότερα

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" (80420) באוניברסיטה העברית,

תורת ההסתברות 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס תורת ההסתברות 1 (80420) באוניברסיטה העברית, תורת ההסתברות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות " (80420) באוניברסיטה העברית, 8 2007. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע מועד ב', מיום 14/7/2010 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תש"ע מועד ב', מיום 14/7/2010 שאלון: 316, 035806 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 E נתון: 1 רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר B

Διαβάστε περισσότερα

משוואות דיפרנציאליות רגילות 80320

משוואות דיפרנציאליות רגילות 80320 1 משוואות דיפרנציאליות רגילות 832 דויד שיפרוט 25 ביוני 215 תוכן עניינים Á מבוא 2 1 הגדרות................................................................ 2 4 ÁÁ משוואות מסדר ראשון משוואה לינארי מסדר ראשון:.....................................................

Διαβάστε περισσότερα

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות

מינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 ס"מ = CD.

שאלה 1 נתון: (AB = AC) ABC שאלה 2 ( ) נתון. באמצעות r ו-. α שאלה 3 הוכח:. AE + BE = CE שאלה 4 האלכסון (AB CD) ABCD תשובה: 14 סמ = CD. טריגונומטריה במישור 5 יח"ל טריגונומטריה במישור 5 יח"ל 010 שאלונים 006 ו- 806 10 השאלות 1- מתאימות למיקוד קיץ = β ( = ) שאלה 1 במשולש שווה-שוקיים הוכח את הזהות נתון: sin β = sinβ cosβ r r שאלה נתון מעגל

Διαβάστε περισσότερα

PDF created with pdffactory trial version

PDF created with pdffactory trial version הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7

אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7 אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 7 2 1 1 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 0 1 1 3 1 2 3 1 2 0 1 5 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0.1 עבור :A לכן = 3.rkA עבור B: נבצע פעולות עמודה אלמנטריות

Διαβάστε περισσότερα

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010.

В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 2010. ודים בוגיינקו תורגם ע"י מריה סבצ'וק משוואות פ ל זהו תרגום מרוסית של הספר: В.О. Бугаенко. Уравнения Пелля. Второе издание. МЦНМО, 00. http://biblio.mccme.ru/ode/34/shop קובץ PDF של ההוצאה הראשונה ברוסית:

Διαβάστε περισσότερα

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.

החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח. החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע

Διαβάστε περισσότερα

טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות

טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות טריגונומטריה הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות את הפונקציות הטריגונומטריות ניתן להגדיר באמצעות הקשרים בין הניצבים לבין היתר ובין הניצבים עצמם במשולש ישר זווית בלבד: לדוגמה: סינוס זווית BAC (אלפא)

Διαβάστε περισσότερα