Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet."

Transcript

1 Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina tela, površina, zapremina itd. Vektorska veličina je odred ena prvcem, smerom i intenzitetom. Takve veličine su na primer brzina, sila, ubrzanje itd. Vektorske veličine kraće nazivamo vektorima. Oni se mogu predstaviti dužima. Vektor čije su krajnje tačke A i B ima pravac odred en pravom AB na kojoj leži ovaj vektor, pri čemu se ta prava naziva nosač vektora. Smer vektora čije su krajnje tačke A i B je odred en ured enim parom gde je A početna, a B krajnja tačka vektora. Intenzitet moduo se predstavlja dužinom duži AB, tj. duž AB je takva da je njena mera jednaka intenzitetu vektora. Intenzitet je skalarna veličina i uvek je nenegativna. Vektor je zadat ako mu je zadat pravac, smer i intenzitet. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Definicija 1.. Vektor je paralelan pravoj, ili nekoj ravni, ako je njegov nosač paralelan sa tom pralom ili sa tom ravni. Definicija 1.3. Vektori istog pravca ili paralelni istoj ravni nazivaju se kolinearnim vektorima. 1

2 Definicija 1.4. Dva vektora istog pravca, istog intenziteta nazivaju se suprotnim vektorima. Definicija 1.5. Vektori paralelni jednoj ravni nazivaju se komplanarni vektori. Definicija 1.6. Vektor čiji je intenzitet jednak jedinici naziva se jedinični vektor. Definicija 1.7. Ort vektora a je jedinični vektor istog pravca i smera kao i vektor a. Definicija 1.8. Nula vektor je vektor čiji intenzitet je jednak nuli. 1.1 Sabiranje vektora Neka su data dva vektora a i b neka je O proizvoljna tačka u prostoru. Ako vektore a i ab paralelnim pomeranjem dovedemo u položaj da im je O zajednički početak, tada postoje jedinstvene tačke A i B takve da je OA = a, OB = b. Zbir vektora a i b u oznaci a + b je vektor c = OC c = a + b gde je tačka C teme paralelograma OACB suprotno temenu O. Osobine: a + b + c = grupa a + 0 = a a + a = 0 a + b = b + a Slika 1.1: a + b + c

3 1. Množenje vektora skalarom Definicija 1.9. Proizvod α a = a α proizvoljnog vektora a i proizvoljnog skalara α je vektor za koji važi: 1. a i α a su kolinearni vektori. a i α a su za α > 0 istog smera, a za α < 0 suprotnog 3. 0 a = 0 i α 0 = 0 4. α a = α a Vektori a i b su istog pravca paralelni ako i samo ako je a = k b. a b a = k b Osobine: 1. 1 a = a. k a + b = k a + k b 3. k + k 1 a = k a + k 1 a 4. k k 1 a = k k 1 a a + b a + b - nejednakost trougla Zadaci: 1. Ako su a i b vektori osnovica datog trapeza, a m srenje linije, dokazati da je m = a+ b. Rešenje. m = f + b + e m = f + a e m = a + b } + 3

4 m = a+ b m a, b 0.. Dokazati da je zbir vektora u pravcu težišne duži trougla jednak Rešenje. AA 1 = AC + CA 1 = AC + 1 CB CC 1 = CB + BC1 = CB + 1 BA BB 1 = BA + AB 1 = BA + 1 AC + AA 1 + CC 1 + BB 1 = 3 AC + CB + BA = 0 Domaći. 3. Neka je T težište trougla ABC i O proizvoljna tačka. Dokazati da je OA+ OT = OB+ OC Neka su dati vektori a i b. Pomoću njih odrediti vektor paralelan simetrali ugla izmed u njih. 5. Neka je duž AB podeljena u tački C u razmeri p : q i neka je O proizvoljna tačka. Izraziti vektor OC Preko vektora OA i OB. OC = OA + AC AC = p p+q AB = p p+q OB OA OC = OA + p p+q OB OA = q p+q OA + p p+q OB OC = q p+q OA + p p+q OB q p+q + p p+q = 1 4

5 Teorema 1.1. Neka su date tačke A, B i O. Tada je tačka C izmed u tačaka A, B akko OC = t OB + 1 t OA, 0 t Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranicu u odnosu krakova p : q. Rešenje. p q = AB AC AD = t AB + 1 t AC AD = λ AB + AC = λ AB + AB AC AB AC AB AB + AC AB AC AB AC + + λ AC = AC λ AB + λ AC = 1 1 λ = 1 = AB + 1 AC AB AB AC + AC AD = q AB p+q AC + AB + p p+q AC = q p+q AC 1 AB AC +1 = 1 p q +1 5

6 AB AC = p q Domaći. 7. Odsečci koji spajaju sredine suprotnih ivica tetraedra se uzajamno polove. 8. Neka je T težište ABC. Dokazati AT + BT + CT = 1 3 AB + BC + CA Rešenje. AT + BT + CT = 0 / Slika 1.: AT + BT + CT = AT BT + AT CT + BT CT AB + BT = AT AB = AT BT BA = TA TB/ TA TA TB + TB = BA Analogno je, CB = TB TC/ 6

7 TB TB TC + TC = CB TC TC TA + TA = AC TA + TB + TB + TC + TC + TA BA + CB + AC TA + TB + CB + AC TC 3 AT + BT + CT = AB + AC + BC TA TB + TA TC + TB TC = TA TB + TA TC + TB TC = BA + AT + BT + CT = 1 3 AB + AC + BC 1.3 Skalarni proizvod vektora Definicija Skalarni proizvod geometrijskih vektora a i b je realan broj, u oznaci a b koji je jednak proizvodu intenziteta tih vektora i kosinusa ugla izmed u njih, tj. a b = a b cos a, b. Osobine. 1. a b = b a. α a b = a α b = α a b 3. a + b c = a c + b c 1. Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački. Rešenje: ABC AB = HB HA 7

8 Slika 1.3: HA + AB = HB Kako je h c = CF = FC sledi da je skalarni proizvod vekrora AB i HC jednak nuli, tj. HC AB = 0. HC HB HA = Analogno je, HC HB = BC HA BC HA HC HB = 0... Sabiranjem levih i desnih strana jednakosti 1 i, dobija se HC HB HA + HA HC HB = 0 HC HB HA HB = 0 HC HA HB = 0 AC = HC HA 8

9 HC HB = 0 HB AC, pa ako je E presečna tačka pravih odred enih vektorima AC i HB sledi da je BE AC što znači da visina HB prolazi kroz tačku H. Visine ABC se seku u jednoj tački H.. Pokazati da su dijagonale romba normalne. Rešenje: AB = a BC = b Slika 1.4: d 1 = a + b d = a b a = b...1 d 1 d 1 = a + b a b = a a + b a b a b b = a a b c d 1 d1 cos d1, d = a a cos a, a b b cos b, b b b d 1 d1 cos d1, d = a a 1 b b 1 = a b... Zamenom 1 u, dobija se d 1 d1 cos d1, d = a a = 0/ 1 d 1 d 1 9

10 cos d1, d = 0 d1, d = π d 1 d 3. Pokazati da je ugao nad prečnikom prav Rešenje. a b AC BC AC BC = 0 AC BC = 0 Slika 1.5: AC BC = OA + OC BO + OC BO + r = OC OA + BO = OC 0 = 0 = r + OA OC + OC 4. Paralelogram sa jednakim dijagonalama je pravougaonik. Dokazati. Rešenje. 10

11 AB = a, AD = b, d 1 = AB + AD = AB + BC = AC d = AB AD = DB d 1 = AB + AD = a + b d = AB AD = a b d 1 d 1 = d d = d 1 = d = d d 1 d1 cos d1, d 1 = d 1 d d cos d, d = d d 1 d 1 = a + b a + b = a a+ a b+ b b = a a cos a, a+ a b cos a, b + b b cos b, b = a + a b cos a, b + b = d 1 d1 cos d1, d 1 = d d d = a b a b = a a a b+ b b = a a cos a, a a b cos a, b + b b cos b, b = a a b cos a, b + b = d d cos d, d = d... Iz 1 i sledi [ a + a b cos a, b + b ] [ a a b cos a, b + b ] = 11

12 d 1 d 4 a b cos cos a, b = 0 a, b = 0/ : 4 a b a, b = 90 a, b = π 5. Primenom skalarnog proizvoda vektora dokazati kosinusnu teoremu za ugao. Rešenje: AB = c, BC = a, AC = b Slika 1.6: AB, AC = α BC = AC AB = b c a = b c a a = b c b c = b b b c c b + c c = b b b c + c c a a cos a, a = b b cos b, b b c cos b, c + c c cos c, c 1

13 a = b + c b c cos α a = b + c bc cos α 6. Primenom vektora dokazati Pitagorinu teoremu. Rešenje: AB = a, AC = b AB + BC + CA = 0 BC = AB CA = AC AB...1 Iz 1 je BC BC = AC AB AC AB BC BC = AC AC AC AB AB AC + AB AB BC BC cos BC, BC = AC AC cos AC, AC AB AC cos AB, AC + AB AB cos AB, AB BC = AC AB AC cos π + AB BC = AC + AB c = a + b 7. Neka je u ABC dato AB = 4, AC =, α = 60. Ako tačka D deli stranicu BC u odnosu 1 :, odrediti cos DA, DC. Rešenje. DA = AD = 3AB + 1 3AC DC = 3BC = 3 AC AB 13

14 DA = 3AB + 1 3AC = AB + 4 AB AC + AC = AB + 4 AB AC cos ε + AC = = 84 9 DC = AC AB = 4 9 AC AC AB AC cos α + AB = 4 9 DA DC = = 48 9 AB + 1 3AC 3 AB AC + AB = = 48 9 AC AB = 9 AB AC AB + AC cos DA, DC = DA DC DA DC = = = 8 14 = 7 8. Neka je u paralelogramu ABCD dato AB = 3, AD =, cos α = 1 6. Neka je tačka O presek dijagonale, tačka F deli DC u odnosu : 1, a tačka E deli DB u odnosu 3 : 1. Odrediti cos ugla izmed u AE i OF. Rešenje. 1 6 AE = 1 4AD + 3 4AB OF = OA + AD + DF = 1 AB Slika 1.7: AD + AB + 14 AD + 3AB = 1 AD +

15 91 16 AE = AD + 3 4AB = 1 16AD AD AB AB = AD AD AB cos α AB = 1 16 AE = 91 OF = AD + 3 OF = 17 1 = = AD + 1 6AB = 1 4AD + 1AD AB AB = AD AB cos α AB = 1 4 OF 1 AE = AD AB 4AD + 3 4AB = 1 8AD + 3 AD + 1 8AB = 1 8 AD AB AD cos α + AB = = = 49 4 cos OF, AE = OF AE OF AE = = AB = = = Dat je pravougaonik ABCD i tačka E. Dokazati: a ED EB = EA EC b EA + EC = EB + ED Rešenje. a ED EB = EO + OD EO + OB = OD = EO OD...1 EO + EO OB + OD 15

16 Slika 1.8: EA EC = EO + OA EO + OC = EO + EO OC + OA AO = EO AO... AO = OD Iz 1 i sledi ED EB = EA EC b AC = DB EC EA = EB ED EC EA = EB ED EC EC EA + EA = EB EB ED + ED EC + EA = EB + ED 16

17 EA + EC = EB + ED 10. Neka je dat jednakostranični ABC i njemu tačka X čija su odstojanja od stranica trougla jednaka t 1, t, t 3. Ako su X 1, X, X 3 podnožja normala iz tačke X na stranice odrediti koeficijente k 1, k, k 3, takve da važi: Rešenje. Slika 1.9: k 1 XX1 + k XX + k 3 XX3 = 0 a XX 1 t 1 a + XX t a + XX 3 t 3 = 0 k 1 = 1 t 1, k = 1 t, k 3 = 1 t Neka je u tetraedru ABCD dato AB = 1, AC =, AD = 3, cos AB, AC = 1, cos AC, AD = 1 6, cos AB, AD = 1 3. Neka tačka F deli CD u odnosu 3 : 1, a tačka E deli BF u odnosu : 3. Odrediti ugao izmed u AE i AF. Rešenje: AE = 3 5AB + 5AF AF = 1 4AC + 3 4AD 17

18 AE = 3 5AB AC + 3 4AD Slika 1.10: = 3 5AB AC + 3 AD AE 3 = 5AB AC AD = 9 5AB AC + 9 AB AC + 18 AB AD + 6 AC AD = AD AB AC AD AB AC cos AB, AC + AB AD cos AB, AD + 6 AC AD cos AC, AD = = = = = 7 4 AE = 7 18

19 AF = AC + 3 4AD = 1 16AC AC AD AD = AC + 6 AC AD cos AC, AD + 9 AD = = = = AF = 91 4 AE AF = = AB + 1 AC + 3 AD AC + 3 4AD = AB AC+ 9 AB AD+ 1 AC + 3 AC AD+ 3 AD AC+ 9 AD = AB AC cos AB, AC AB AD cos AB, AD + AC AC AD cos AC, AD AD AC cos AD, AC + AD = = = = cos AE, AF = AE AF AE AF = = = Neka su u i v vektori različiti od 0, i takvi da je vektor u v normalan na vektor u+ v i u v normalan na vektor u+ v. Odrediti ugao izmed u vektora u i v. Rešenje. u v u + v = 0 u v u + v = 0 } 19

20 u + u v u v v = 0 u + u v 4 u v v = 0 u + u v v = 0 u 3 u v v = 0 u + u v cos α v = 0/ : v u 3 u v cos α v = 0/ : v u v u v } } + u v cos α 1 = 0 3 u v cos α = 0/ 1 4 u v cos α + 1 = 0 u v cos α = 1 4 u v = 0 } u v = 5 4 u v = 5 8 cos α = 1 4 u v = = 4 5 = Neka je u ABC dato AB = 4, AC =, α = 60. Ako tačka D deli stranicu BC u odnosu 1 :, odrediti cos DA, DC. Rešenje. DA = AD = 3AB + 1 3AC 0

21 DC = 3BC = 3 AC AB DA = 3AB + 1 3AC = AB + 4 AB AC + AC = AB + 4 AB AC cos ε + AC = = 84 9 DC = AC AB = 4 9 AC AC AB AC cos α + AB = 4 9 DA DC = = 48 9 AB + 1 3AC 3 AB AC + AB = = 48 9 AC AB = 9 AB AC AB + AC cos DA, DC = DA DC DA DC = = = 8 14 = Neka su A, B, C, D proizvoljne četiri tačke u prostoru. Dokazati da je AB CD + AC DB + AD BC = 0 Rešenje: AB = c, AC = b, AD = d iz ABC BC = AC AB = b c iz ABD DB = AB AD = c d iz ACD CD = AD AC = d b AB CD + AC DB + AD BC = c d b + b c d + d b c = c d c b + b c b d + d b d c = c d b c + b c d b + d b c d = c d c d + b c b c + b d b d = 0 1

22 Slika 1.11: AB CD + AC DB + AD BC = Odrediti ugao izmed u naspramnih ivica tetraedra. Rešenje: ABCD - tetraedar sa osnovom ABC. Odred uje se ugao izmed u bočnih ivica AB i CD BC i AD; CA i BD; BC = AC AB/ AD CD = AD AC/ AB BD = AD AB/ CA BC AD = AC AB CD AB = AD AC BD CA = AD = AC AD AB AD AB = AD AB AC AB AD AB CA = AD CA AB CA +

23 Slika 1.1: BC AD + CD AB + BD CA = AC AD AB AD + AD CA AB CA = AC AD AC AD + AB AC AB AC = 0 BC AD = BC AD cos BC, AD CD AB = BD CA = CD AB cos CD, AB BD CA cos BD, CA AD AB AC AB AB AD AB AD + BC AD + CD AB + BD CA = BC AD cos BC, AD + CD AB cos CD, AB + BD CA cos BD, CA = 0 Kako je BC AD > 0, CD AB > 0, BD CA > 0, jer vektori AB, BC, AC, AD, BD, CD nisu nulti vektori, onda je 3

24 cos BC, AD = cos π = 0 cos CD, AB = cos π = 0 cos BD, CA = cos π = 0, što znači da su naspramne ivice tetraedra normalne. 16. Ako je u teraedru ABCD AB CD, dokazati da je AC AD = BC BD Rešenje: AB CD AB DC a = a a cos a, a = a cos 0 = a 1 = a AC AD = AC AD = AC AD = AC AD AC + AD = AC + AD AC AD = AC + AD DC Iz ABC AC = AB + BC iz ABD AD = AB + BD [ ] AB + BC + AB + BD DC = AC AD = [ ] AB + BC + BD DC = AB DC + BC + BD DC = 0 + BC + BD BC BC + BD BC BC cos BC, BC BD BD cos BD, BD = BC cos 0 BD cos 0 = BC BD = BC BD DC = BC + BD DC = BC + BD BC BD = BC BC BD BD BD = BC BD = 4

25 1.4 Vektorski proizvod vektora Definicija Tri nekomplanarna vektora a, b i c sa zajedničkim početkom obrazuju desni trijedar ako se rotacija vektora a prema vektoru b, najkraćim putem, posmatra sa kraja vektora c, vrši suprotno kretanju kazaljke na časovniku. Slično se definiše levi trijedar, koji obrazuju tri nekomplanarna vektora a, b i c sa zajedničkim početkom. Slika 1.13: Definicija 1.1. Ako je n 0 jedinični vektor normalan na ravan koji obrazuju vektori a, b, pri čemu a, b i n 0 obrazuju desni trijedar, onda se vektor a b sin a, b n 0 naziva vektorski proizvod vektora a i b. a b a b sin a, b Osobine vektorskog proizvoda 1. a b = b a - antikomutativnost. a b = 0 a b a = k b 3. k a b = k a b = a k b - homogenost 4. a b + c = a b + a c 5

26 a n a i = n a a i i=1 i=1 Površina paralelograma konstruisanog nad vektorima a, b brojno je jednaka intenzitetu vektorskog proizvoda tih vektora. P = a b Brzina V ma koje tačke M krutog tela koje rotira brzinom ω oko date ose jednaka je V = ω r, gde je r vektor položaja tačke M, a osa rotacije prolazi kroz koordinatni početak. 1. Koristeći vektorski proizvod dokazati sinusnu teoremu za trougao u ravni. Rešenje: AB = c, BC = a, AC = b BC = AC AB = b c Slika 1.14: BC BC = BC BC sin BC, BC = 6 BC BC sin 0 = 0

27 BC = AC AB/ BC BC BC = BC AC AB = BC AC BC AB = 0 BC AC = BC AB BC AC sin BC, AC = BC AB sin BC, AB BC AC sin γ = BC AB sin π β BC AC sin γ = BC AB sin β/ 1 BC AC AB sin γ AB = sin β AC sin α c = sin γ b AC = AB + BC/ AC AC AC = AC AB + BC = AC AB + AC BC = 0 AC AC = AC BC AC AB sin α = AC BC sin γ/ 1 AC AB BC sin α BC = sin γ AB sin α c sin α a = sin γ a = sin β b = sin γ c a sin α = b sin β = c sin γ 7

28 . Neka je dat ABC i tačka O u njemu. Neka su vektori OA 1, OB1, OC 1 normalni na odgovarajuće stranice i imaju intenzitete jednake njihovim dužinama. Dokazati da je OA 1 + OB1 + OC 1 = 0. Rešenje. OA 1 + OB1 + OC 1 = a Slika 1.15: k a k je jedinični vektor normalan na ravan trougla k OA1 + OB1 + OC 1 BC + BA + CA = 0 k a = 0 k a = 0 k a sin 90 0 = 0 a = 0 = k OA 1 + k OB1 + k OC 1 = 8

29 a = 0 3. Na pustom ostrvu se nalaze palma i dve stene. Gusari su zakopali blago na mestu koje su odredili na sledeći način: položaj palme su rotirali oko stena u suprotnim smerovima za 90 i zatim su blago zakopali na sredini izmed u tako dobijenih tačaka. Kada su došli iduće godine da otkopaju blago videli su da je neko isčupao palmu. Kako da gusari pronad u blago? Rešenje. AB - A pomera u B BC - B pomera u C Slika 1.16: AB + BC - A pomera u B, i B pomera u C = AC PA = PS 1 + S 1 A = PS 1 k PS 1 9

30 1 PB = PS + S B = PS + k PS PF = 1 PA + PB = 1 PS1 + PS + 1 k PS PS 1 = 1 PS1 + PS + k PS k PS 1 = PS1 + PS + 1 k S 1 S 4. Za koju vrednost paramerta k će vektori p = k a+5 b i q = 3 a b biti kolinearni, ako vektori a i b to nisu Rešenje. p q p q = 0 p q = k a + 5 b 3 a b = 3k a a k a b +15 b a 5 b b = k a b 15 a b = a b k 15 p q = 0 k 15 = 0 k = Odrediti površinu paralelograma čije su stranice vektori a = m n i b = n m, gde su m i n jedinični vektori, a ugao izmed u m i n je π 6. Rešenje; a = m n b = n m m, n = π 6 m = n = 1 P = a b = m n n m = m n + 4 n m = 3 n m = = 3 30

31 6. Dve stranice trougla su p = a + 3 b i q = a 4 b, gde su a i b normalni ortovi. Izračunati visinu prema trećoj stranici trougla. Rešenje. Slika 1.17: p = a + 3 b a = b = 1 q = a 4 b a b P = 1 p q = 1 a + 3 b a 4 b = a b + 3 b a = 1 11 b sin a, b = 11 a a 8 a b + 3 b a 1 a b = 1 11 a b = 11 a r = p q = a + 3 b a + 4 b = a + 7 b r = a + 7 b r = 50 = 5 P = r h = a + 49 b + 14 a b = = 50 31

32 11 = 5 h h = Primenom vektorskog proizvoda izvesti Heronov obrazac za izračunavanje površine trougla. Rešenje. P = 1 c b P = 1 c b sin α P = 1 4 c b sin α = 1 4 c b 1 cos α = 1 4 c b c b cos α = c b c b cosα c b + c b cos α 1 4 a = b + c b c cos α a = b + c b c cos α = b + c a P = 1 4 c b b + c a c b + b + c a = b 1 16 a b c + c a = b 1 16 a b c + c a a b + c a + b c b + c a b + c + a 1 16 P = 4 1 a b + c a + b c b + c a b + c + a 1.5 Mešoviti proizvod vektora 3

33 Definicija Broj, odnosno skalar se mešoviti proizvod vektora a, b i c. [ a, ] b, c = a b c naziva Slika 1.18: Kada vektori a, b i c obrazuju desni trijedar onda je mešovit proizvod a b c jednak zapremini paralelopipeda konstruisanog nad vektorima a, b i c. Površina bazisa je B = a b visina paralelograma je jednaka skalarnoj projekciji vektora c na vektor a b pa je V = B H V = a b a b c a = b V = a b c a b c Tri vektora a, b i c su komplanarna linearno zavisna ako i samo ako je njihov mešoviti proizvod jednak nuli, tj. a b c = 0 a 0, b 0, c 0 Osobine mešovitog proizvoda [ 1. a, ] [ b, c = c, a, ] [ ] b = b, c, a - mešovit proizvod se ne menja pri cikličnoj permutaciji argumenata [. a, ] [ ] b, c = b, a, c - mešovit proizvod menja znak ako dva argumenta zamene mesta 33

34 3. 4. [ α a, ] b, c [ a + a 1, b, c [ = α ] a, ] b, c - homogenost [ = a, ] [ b, c + a 1, ] b, c - aditivnost 1. Dokazati da su vektori a, b i c komplanarni ako važi a b + b c + c a = 0 a b + b c + c a = 0/ a a b a + b c a + c a a = 0 b c a [ ] b, c, a = 0. Neka su dati vektori V 1 = a + b + c, V = a b + c, V 3 = 4 a + b + 5 c. Pokazati da su komplanarni. V 1 = a + b + c V = a b + c V 3 = 4 a + b + 5 c [ V1, V, V ] 3 = 0 V1 V V 3 = 0 V 1 V = a + b + c a b + c = 3 a b + a c + 4 b c = a a a b + a c + b c 34

35 V1 V V [ 3 = 3 a ] b + a c + 4 b c 4 a + b + 5 c = 1 a b a 3 a b b 15 a b c + 4 a c a + a c b + 5 a [ = 15 a, ] [ b, c + a, c, ] [ ] [ b + 16 b, c, a = 15 a, ] [ b, c a, ] [ b, c + 16 a, ] b, c = 1.6 Vektori i koordinate a = x i + y j = x, y Koordinate nekog vektora su koordinate njegovog vrha, pri čemu se početak tog vektora nalazi u koordinatnom početku. Slika 1.19: AB = OB OA = x1 i + y 1 j y 1 y j = x 1 x, y 1 y x i + y j = x 1 x i + Koordinate vektora u ravni ili u prostoru dobijaju se tako što od koordinata vrha oduzmemo koordinate početka. A 5, ; B 0, 3 AB = 0 5, 3 = 5, 1 35

36 Slika 1.0: 1.7 Operacije sa vektorima zadatim koordinatama a = x, y b = x1, y 1 a + b = x + x 1, y + y 1 k a = kx, ky Slika 1.1: 1. Neka je dat trougao A 1, 0 ; B, ; C 3, 5. Odrediti vektore granica kao i težište trougla. AB = 1, 36

37 BC = 1, 7 CA =, 5 OT = OT = OA+ OB+ OC 3 1,0+,+3, 5 3 OT = 1 3 6, 3 Slika 1.: OT =, 1 37

38 . Neka je data duž sa krajevima A 1, 3 ; B 4, 0. Odrediti tačku na ovoj duži koja je deli u odnosu 3 :. OC = x, y Slika 1.3: OC = 5OA + 3 5OB = 5 1, , 0 = 14 5, Neka su date tačke A 1, 3 ; B 4, ; C 3, 3. Odrediti četvrto teme paralelograma ABCD. BD = BA + BC x 4, y = 5, 1 + 1, 5 = 6, 4 x 4 = 6 y = 4 x = y = } D, } Pokazati sa su tačke A 4, 3 ; B 5, 0 ; C 5, 6 ; D 1, 0 temena trapeza. 38

39 BC AD BC = 10, 6 AD = 5, 3 BC = k AD k = BC = AD 1.8 Skalarni proizvod u koordinatama Data su dva vektora: a = a 1, a, a 3 = a 1 i + a j + a 3 k b = b1, b, b 3 = b 1 i + b j + b 3 k a b = a 1 i + a j + a 3 k b 1 i + b j + b 3 k = a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 Primer. Odrediti ugao izmed u vektora a = 3, 1 i b = 4,. a = 3, 1 b = 4, a b = 1 = 10 a = a a = = 10 a = 10 b = 0 39

40 b = 5 cos α = a b a b = = 1 = α = 45 Formula za rastojanje izmed u dve tačke A x, y i B x 1, y 1 : d A, B = AB = x 1 x + y 1 y AB = x 1 x, y 1 y 1. Izračunati dužinu duži AB, A =, 1, B = 3, 4. Rešenje. AB = AB = 1, 3 = 10. Data su dva temena paralelograma A = 3, 5, B = 1, i presek dijagonala O = 1, 1. Odrediti koordinate ostalih temena i pokazati da je dati paralelogram romb. Rešenje. A = 3, 5 B = 1, O = 1, 1 D = x, y BD = BO x 1, y + =, 1 = 4, 40

41 { x 1 = 4 y + = { x = 3 y = 0 AC = AO x + 3, y + 5 =, 4 = 4, 8 { x + 3 = 4 y + 5 = 8 { x = 1 y = 3 C = 1, 3 D = 3, 0 AB = 4, 3 = = 5 AD = 0, 5 = = 5 OA OB OA =, 4 OB =, 1 OA OB = = 0 Domaći 3. Dokazati da su vektori a = 10, 5, 10, b = 11,, 10, c =, 14,?, ivice kocke. 41

42 4. Data su temena trougla A = 1,, 4, B = 4,, 0, C = 3,, 1. Odrediti uglove α i β. Rešenje. AB = 3, 0, 4 AC = 4, 0, 3 AB = 5 AC = 5 AB AC = = 0 cos α = α = 90 AB AC AB AC = 0 α = β = Vektorski proizvod u koordinatama Data su dva vektora: a = a 1, a, a 3 = a 1 i + a j + a 3 k b = b1, b, b 3 = b 1 i + b j + b 3 k a i j k b = a 1 a a 3 b 1 b b = a a 3 b b 3, a 1 a 3 b 1 b 3 3 Osobine: 1. Antikomutativnost, a 1 a b 1 b 4

43 i j k b a = b 1 b b 3 a 1 a a = i j k a 1 a a 3 3 b 1 b b = 3. Homogenost k a i j k b = ka 1 ka ka 3 b 1 b b = i j k a 1 a a 3 3 b 1 b b = k 3 3. Aditivnost a + b c = a c + b c i j k a 1 + b 1 a + b a 3 + b 3 c 1 c c 3 a b a b = i j k a 1 a a 3 c 1 c c 3 + i j k b 1 b b 3 c 1 c c = 3 1. Odrediti površinu trougla odred enog tačkama A = 6, 3, 1, B = 3, 6, 1, C = 1, 3, 6. Rešenje. AB = 3, 3, 0 AC = 5, 0, 5 P = 1 AB AC AB AC = i j k = 15, 15, 15 = 15 1, 1, 1 P = , 1, 1 = 15 1, 1, 1 = 15 3 P ABC = 15 3 Domaći. A = 1,, 1, B = 4, 3, 3, C = 3, 0, 5. 43

44 3. A = 1, 1,, B = 5, 6,, C = 1, 3, 1. Naći visinu i dužinu iz temena B. 4. Izvesti formulu za površinu trougla u ravni preko koordinata njegovih temena. Rešenje. A x 1, x ; B y 1, y ; C z 1, z AC = z 1 x 1, z x AB = y 1 x 1, y x P = AC AB i j k P = 1 z 1 x 1 z x 0 y 1 x 1 y x 0 = 1 z 1 x 1 z x y 1 x 1 y x = 1 z 1y z 1 x x 1 y + x 1 x z y 1 + z x 1 + x y 1 x 1 x = z 1 z 1 1 y 1 y 1 x 1 x Mešoviti proizvod u koordinatama a = a 1, a, a 3 = a 1 i + a j + a 3 k b = b1, b, b 3 = b 1 i + b j + b 3 k c = c 1, c, c 3 = c 1 i + c j + c 3 k a i j k b = a 1 a a 3 b 1 b b = a a 3 b b 3 3, a 1 a 3 b 1 b 3, a 1 a b 1 b 44

45 [ a, ] b, c a 1 a a 3 b 1 b b 3 c 1 c c 3 V = = a 1 a a 3 b 1 b b 3 c 1 c c 3 a a b c = c a 3 1 b b 3 c a 1 a 3 b 1 b 3 + c 3 a 1 a b 1 b = 1. Za koju vrednost parametra m tačke A = m,, 1, B = 0, m, 5, C = 1,, m i D =, 1, 3 pripadaju istoj ravni. DA = m, 1, 4 DB =, m 1, DC = 3, 1, m 3 [ DA, DB, DC ] = 0 m 1 4 m m 3 = 0 m m 1 m m 1 m + m 3 = m 3m + m 3 + 1m + 1 m m 6 = m 3 3m + m 3m + 9m 6 + 1m + 1 m m 6 = m m 6 m 6 = m 1 m 6 = m 1 m + 1 m 6 m 1 m + 1 m 6 = 0 m {1, 1, 6}. Odrediti zapreminu tetraedra čija su temena A =, 3, 5, B = 0,, 1, C =,, 3, D = 3,, 4. 45

46 36 AD = 1, 5, 1 AC = 4, 1, AB =, 5, 4 V P = = = 36 = V t = 1 6 V P V t = V t = Zapremina tetraedra je 5. Tri njegova temena su A =, 1, 1, B = 3, 0, 1, C =, 1, 3. Naći četvrto teme, ako se zna da je ono na y osi. Rešenje. A =, 1, 1, B = 3, 0, 1, C =, 1, 3. D = 0, y, 0. AB = 1, 1, AC = 0,, 4 AD =, y 1, y 1 1 V t = 5 V P = 6 5 = 30 = y 1 = 4y + 46

47 4y + = 5 6 = y + = 30 4y = 8 y = 7 D = 0, 7, 0. 4y + = 30 4y = 3 y = 8 D = 0, 8, 0 4. Odrediti vektor r koji je normalan na vektore a = 4,, 3, b = 0, 1, 3, sa osom O y gradi tup ugao i r = 6. Rešenje. a = 4,, 3 b = 0, 1, 3 r = 6 r = x, y, z 1. r a r b r = λ a b a b = i j k = i j + 4 k = 3, 1, 4 47

48 r = λ 3, 1, 4. r, O y > π r, j > π, j O y j = 0, 1, 0 r j < 0 λ 3, 1, 4 0, 1, 0 = 1λ < 0 λ > 0 3. r = 6 r = λ = 13 λ 13 λ = 6 λ = λ = hspace8mm λ = λ = r = 3, 1, 4 = 6, 4, 8 4. Dati su vektori a =, 4,, b = 1, 1,, c = 1,, 3. Naći vektor d d a, d c koji sa vektorom b gradi oštar ugao. Zapremina paralelopipeda odred enog vektorima b, c i d je 140. Rešenje. 1. d a, c d a d c d = λ a c 48

49 a c = 4 j 8 k i j k d = λ 16, 4, 8 d = 4λ 4, 1, a c d 1 4 a c d 4, 1, d. b, d < π = i j 6 + k 4 4 = 16 i d b > 0 4λ 4, 1, 1, 1, > 0 λ > 0 λ < 0 4λ = 140 4λ = λ = 140 λ = 1 λ = 1, λ = 1 λ < 0 λ = 1 d = 16, 4, 8 49

50 5. Odrediti vektor d koji je noemalan na vektore a = 4, 1, 1, b = 6, 0,, sa vektorom c = 1,, 3 gradi oštar ugao, a sa vektorima c i b obrazuje paralelopiped zapremine 4. Rešenje. a = 4, 1, 1 b = 6, 0, d a d b d = λ a b a b = i j k = i j k = i j 6 k a b =,, 6 d, c < π d c > 0 λ 1, 1, 3 1,, 3 > 0 λ 1,, 9 > 0 10λ > 0 λ < 0 λ = 4 λ = 4 4 λ = 4 λ = 1 λ = 1, λ = 1 λ < 0 λ = 1 50

51 d = 1, 1, 3 Domaći. 6. Odrediti vektor d koji je noemalan na vektor a = 8, 15, 3 sa osom O x gradi oštar ugao i d = 51. Rešenje. d = 45, 4, 0 7. Dati su vektori a = λ, 1, 1 λ, b = 1, 3, 0, c = 5, 1, Odrediti λ tako da vektor a zaklapa jednake uglove sa b i c. Za tako odred eno λ odrediti ugao vektora c prema ravni odred ene vektorima b i a.. Za tako odred eno λ odrediti zapreminu piramide, kao i visinu koja odgovara jednoj od strana piramide. Rešenje. 1. cos a, b = a b a b cos a, c = a c a c cos a, b = cos a, c = a b a b = a c a c = λ,1,1 λ 1,3,0 4λ +1+1 λ 1+9 = λ+3 5λ + λ+ 10 = λ,1,1 λ5, 1,8 4λ +1+1 λ λ 1+8 8λ 5λ + λ+ 90 / λ + λ + 6λ + 9 = λ + 7 8λ = λ = 1 4 cos π ϕ = c a b c a b 51

52 cos π ϕ = 5, 1,8 9 4, 3 4, = = π ϕ = arc cos arc sin V = V = B H 3 = = 1 6 H = 3 V B B = a b = 9 4i 3 4j + 5 4k = 190 = = = ϕ = π arc cos = ϕ = = H = 3V a b = = = = = 1, 9 8. Dokazati a b c = a c b b c a a = a 1, a, a 3 b = b1, b, b 3 c = c 1, c, c 3 a i j k b = a 1 a a 3 b 1 b b 3 = a a 3 b b 3, a 1 a 3 b 1 b 3, a 1 a b 1 b 5

53 a i j k b c = a a 3 b b 3 a 1 a 3 b 1 b 3 a 1 a b 1 b = c 1 c c 3 a 1 a 3 b 1 b 3 a 1 a b 1 b c c 3, a a 3 b b 3 a 1 a b 1 b c 1 c 3, a a 3 b b 3 a 1 a 3 b 1 b 3 c 1 c a c = a 1 c 1 + a c + a 3 c 3 b c = b1 c 1 + b c + b 3 c 3 a c b b c a = a 1 c 1 + a c + a 3 c 3 b 1, b, b 3 b 1 c 1 + b c + b 3 c 3 a 1, a, a 3 = a 1 c 1 + a c + a 3 c 3 b 1 b 1 c 1 + b c + b 3 c 3 a 1, a 1 c 1 + a c + a 3 c 3 b b 1 c 1 + b c + b 3 c 3 a, a 1 c 1 + a c + a 3 c 3 b 3 b 1 c 1 + b c + b 3 c 3 a 3 9. Dati su vektori a = 8, 4, 1 ; b =,, 1 ; c = 1, 1, 9. Odrediti projekciju vektora vecc na ravan odred enu vektorima a i b. Rešenje. x c a, b { x c a = 0 x c b = 0 x = α a + β b = 8α + β, 4α β, α + β { 8α + β 1, 4α β 1, α + β 9 8, 4, 1 = 0 8α + β 1, 4α β 1, α + β 9,, 1 = 0 { 81α + 9β 1 = 0 9α + 9β 9 = 0 { α = 1 6 β =

54 Slika 1.4: x = 1 6 a b 1.11 Prava u ravni Skup tačaka u ravni je prava akko je definisana jednačinom Ax + By + C = 0. x 0, y 0 p A, B p x, y p x x 0, y y 0 A, B 54

55 A x x 0 + B y y 0 = 0 Ax + By + C = 0, C = x 0 A y 0 B Ax + By + C = 0 { Ax0 + B 0 y + C = 0 Ax + By + C = 0 A x x 0 + B y y 0 = 0 x x 0, y y 0 A, B p : Ax + By + C = 0 - implicitni oblik jednačine prave A, B - vektor položaja prave p. x 0, y 0 p A x x 0 + B y y 0 = 0 - jednačina prave kroz tačku x 0, y 0 koja je normalna na vektor A, B. Vektor položaja neke prave nije jedinstven, ali su svi vektori položaja med usobno kolinearni. 1. Odrediti jednačinu prave koja je paralelna sa pravom x 6y + 5 = 0 i prolazi kroz tačku 1, 1. Rešenje. A = B = 6 p : x y 1 = 0 p : x 6y + 4 = 0 p : x 3y + = 0. Odrediti parametar m tako da prava 3x + 5y 1 = 0 bude paralelna, odnosno normalna na pravu 4x + my = 0. Rešenje. 55

56 a 3x + 5y 1 = 0 4x + my = = 5 m m = 0 3 b 3, 5 4, m 3, 5 4, m = m = 0 m = Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku 1, 5 i na koordinatnim osama odseca odsečke jednake dužine. Rešenje. A x x 0 + B y y 0 = 0 x y 5 = 0 x + y 4 = 0 4. Odrediti tačku simetričnu sa tačkom 3, 3 u odnosu na pravu x + y 4 = 0. q : A x 3 A y 3 = 0/ : A q : 1 x 3 y 3 = 0 x y + 3 = 0 B x 1, y 1 x 1 + y 1 4 = 0 x 1 y = 0 } 56

57 x 1 = 1 y 1 = } B = A+A 1, = 3, 3 + A 1, 3, 3 = A A = 1, 1 4. Odrediti jednačinu simetrale duži čiji su krajevi A, 3 i B 1, 5. I način: C = A+B s AB s C = 1, 4 AB = 3, s s : 3 x 1 + y 4 = 0 3x + y 13 = 0 6x + 4y 13 = 0 II način: skup tačaka u ravni jednako udaljen od temena-simetrala M x, y s d A, M = d B, M x + y 3 = x y 5 / 57

58 x 4x y 6y + 9 = x + x y 10y + 5 6x + 4y 13 = 0 5. Odrediti težište, ortocentar i centar opisanog kruga u ABC : A, 1, B,, C 3, 1 OT = 1 3 OA + OB + OC T = 1 3 A + B + C T = T = 1, 3,1+,+3, 1 3 BC = 5, 3 h a : 5 x 3 y 1 = 0 h a : 5x 3y 7 = 0 AC = 1, h b : x + y = 0 h b : x y + 6 = 0 5x 3y 7 = 0 x y + 6 = 0 } x = 3 7 y = 37 7 H 3 7, 37 7 BC = 5, 3 } 58

59 A = 3, 1+ = 1, 1 s a : 5 x 1 3 y 1 = 0 s a : 5x 3y 1 = 0 B = 3+, 1+1 = 5, 0 AC = 1, s b : 1 x 5 y 0 = 0 s b : x y 5 = 0 5x 3y 1 = 0 x y 5 = 0 } x = y = 3 14 O 11 14, 3 14 T = 1, 3 H 3 7, 37 7 O 11 14, 3 14 } y 3 = x y 3 = x 1 y 3 = y 3 = y = x x 1 x 1 59

60 3 14 = = = = = 1 Domaći. 6. Odrediti težište, ortocentar i centar opisanog kruga u ABC : A 3,, B 4, 5, C 4, Pramen pravih Definicija Pod pramenom pravih podrazumevamo skup svih tačaka koje prolaze kroz datu tačku. { Ax + By + C = 0 Ako je pramen odred en pravama onda opšti A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 element pramena ima oblik: Ax + By + C + α A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 1. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz presek pravih { x + y 6 = 0 i sadrži tačku 0, 3. x 3y + 4 = 0 Rešenje. x + y 6 + α x 3y + 4 = α = 0 3 5α = 0 α =

61 x + y x 3y + 4 = 0 10x + 5y 30 3 x 3y + 4 = 0 p : 7x + 14y 4 = 0/ : 7 p : x + y 6 = 0. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz presek pravih { x + y 6 = 0 x 3y + 4 = 0 i a paralelna je sa pravom 3x y + 1 = 0 b normalna je na pravu x 3y + 1 = 0 Rešenje. a { x + y 6 = 0 x 3y + 4 = 0 x + y 6 + α x 3y + 4 = 0 x + y 6 + αx 3αy + 4α = 0 + α x + 1 3α y α = 0 + α, 1 3α 3, 1 +α 3 = 1 3α 1 / 3 α = 3 9α α = 5 8 p : x + y x 3y + 4 = 0 16x + 8y x 15y + 0 = 0 1x 7y 8 = 0/ : 7 61

62 3x y 4 = 0 b + αx + 1 3α y α = 0 + α, 1 3α, 3 = 0 + α 3 1 3α = α 3 + 9α = 0 α = 1 11 x + y x 3y + 4 = 0 x + y x 3y + 4 = 0 x + 11y 66 x 3y + 4 = 0 1x + 14y 70 = 0 7x + y 10 = 0 3. Odrediti jednačinu prave koja sadrži presečnu tačku pravih x + 7y 8 = 0 i 3x + y + 5 = 0 i sa pravom x + 3y 7 = 0 gradi ugao od 45. Rešenje. x + 7y 8 + α 3x + y + 5 = 0 + 3αx αy + 5α 8 = αy = 8 5α + 3α x y = +3αx+8 5α 7+α y = +3α 7+α x + 8 5α 7+α 6

63 x + 3y 7 = 0 3y = 7 x y = 7 x 3 y = x k 1 = +3α 7+α k = 3 tg α = k k 1 1+k 1 k tg 45 = 1 = 5α 8 1α α+6+9α 37+α 1+6α+4+6α 37+α = α 7+α 7+α α 1. 5α 8 = 1α + 5 7α = 33 α = 33 7 x + 7y x + y + 5 = 0 14x + 49y 56 99x 66y 165 = 0 85x 17y = 0 85x + 17y 109 = 0. 5α + 8 = 1α

64 17α = 17 α = 1 x + 7y 8 3x + y + 5 = 0 x + 7y 8 3x y 5 = 0 x + 5y 13 = 0 x 5y + 13 = Odstojanje tačke od prave p : Ax + By + C = 0 a = x 0 x, y 0 y a n = n d jer je d = a cos x, y d = a n n = a n A = Ax 0 x+by 0 y +B A = Ax By+Ax 0+By 0 +B A +B Ax+By+C A +B = Ax By C A +B = d = Ax+By+C A +B x 0, y 0 p Ax 0 + By 0 + C = 0 Ax 0 + By 0 = C 1. Odrediti odstojanje tačke, 3 od prave 3x y + 5 = 0. Rešenje., 3 3x y + 5 = 0 64

65 d = = Odrediti jednačine simetrala uglova koje grade prave x+y+ = 0 i x + 7y + 3 = 0. Rešenje. { p : x + y + = 0 q : x + 7y + 3 = 0 dp = dq x+y = x+7y x+y+ = x+7y x + y + = x + 7y x + y + = x + 7y + 3 4x y + 7 = 0. 5 x + y + = x + 7y + 3 6x + 1y + 13 = 0 3. Odrediti odstojanje izmed u pravih 4x 3y + 15 = 0 i 8x 6y + 5 = 0. Rešenje. One su paralelne, jer je 4 : 8 = 3 : 6 0, 5 p p : 4x 3y + 15 = 0 65

66 d = = 5 10 = 1 4. Odrediti jednačinu prave koja je puta bliža pravoj 4x 3y + 15 = 0 nego pravoj 8x 6y + 5 = 0. Rešenje. d 1 = d 4x 3y = 8x 6y x 3y+15 5 = 8x 6y x 3y + 15 = 8x 6y x 3y + 15 = 8x 6y x 1y + 60 = 8x 6y + 5 8x 6y + 35 = 0. 16x 1y + 60 = 8x 6y + 5 x 18y + 85 = 0 5. Ako su A 4, 5 i B, 9 dva temena trougla ABC odrediti geometrijsko mesto tačaka C tako da je P ABC = 50. Rešenje. AB =, 14 1, 7 AB : 7 x 4 + y + 5 = 0 7x + y 3 = 0 P = AB h c P = 1 +7 h c = 50 5 h c = 50 h c = 10 66

67 7x+y = 10 7x + y 3 = x + y 3 = 50 7x + y 73 = 0. 7x + y 3 = 50 7x + y + 7 = 0 6. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz presek pravih { x y 1 = 0 a od tačke, 1 je udaljena za d = 3 3x + y 4 = 0 5. Rešenje. x y 1 + α 3x + y 4 = 0 p : + 3αx + α 1y + 4α 1 = 0 d = α +α α 1 +3α +α 1 = 3 5 / α α + 1 4α 1 = α + 9α + α α α + 10α 7 = 0 α 1, = 10± α 1, = 10±4 34 α 1 = 1 α =

68 α 1 = 1 p : x y + 3 = 0, p : x + y 3 = 0 α = 7 17 p : 11x y 9 = 0 7. Na pravoj p : x y +8 = 0 odrediti tačku jednako udaljenu od tačke 8, 3 i prave 3x + 4y 11 = 0. Rešenje. p : x y + 8 = 0 A 8, 3 q : 3x + 4y 11 = 0 d 1 = d A x, y { x 8 + y 3 = 3x+4y 11 5 x y + 8 = 0 x = y 8 y 16 + y 3 = 10y 35 5 / 4y 64y y 6y + 9 = 100y 700y y 1750y = 100y 700y y 1050y = 0/ : 5 y 4y + 16 = 0 y 1, = 4± y 1, = 4±30 68

69 { 36 y = 6 x = { 64 4 A 1 64, 36, A 4, 6 8. Odrediti centar upisanog kruga i njegov poluprečnik u trouglu čija su temena A 3, 5, B 5, 3, C 4, 4. Rešenje. CA = 7, 1 CB = 1, 7 AB = 8, 8 = 8 1, 1 k = CA CA + CB CB Slika 1.5: 6 5 1, 1 69 = , 1 + 1, 7 = 1 5 6, 6 =

70 1, 1 1, 1 1, 1 x 4 y 4 = 0 x y = 0 AB = 8, 8 AC = 7, 1 1 k1 = AB + AC AB AC 1 5, 6 5, 1 = 8, , 5 = 1, 1 7, = , =, 1 1, x y 5 = 0 x + y 7 = 0 { x + y 7 = 0 x y = 0 x = y 3y 7 = 0 { x = 7 3 y = 7 3 O 7 3, 7 3 AB : x y 5 = 0 x + y = 0 70

71 r = = Ugao izmed u dve prave Ugao izmed u dve prave je oštar ugao koje one zaklapaju n 1, n = α 1 cos α = cos α 1 cos α = n 1 n n 1 n 1. Odrediti ugao izmed u pravih 3x y + 5 = 0 i x + y 7 = 0. Rešenje. n 1 = 3, 1 n =, 1 cos α = n 1 n n 1 n = = 5 50 = 1 α = π Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz presek pravih { x + 3y 3 = 0 i sa pravom 3x+3y 1 = 0 gradi ugao cos α = x + y 1 = 0 Rešenje. x + 3y 3 + α x + y 1 = 0 + α x αy + 3 α = 0 n 1 = + α, 3 + α n = 3, 3 cos α = n 1 n n 1 n = +α,3+α3,3 +α +3+α 3 = 15+6α +3 3 α = 5 +10α / 71

72 34 36α + 180α + 5 = 5 18 α + 10α α 45α + 50 = 0 { 10 α 1, = 45±15 18 = x x + 19y 19 = 0 y = x y = 0 11x + 14y 14 = 0 Domaći. 3. Odrediti ravan koja sadrži presečnu tačku pravih 5x 4y 6 = 0 i x y 1 = 0, a sa pravom x y + 3 = 0 gradi ugao 45. Rešenje: x 3y + 1 = 0 Eksplicitni oblik jednačine prave: y = kx + n n je odsečak na y osi, k je koeficijent pravca k = tg α p 1 : y = k 1 x + n 1 p : y = k x + n ϕ = p 1, p ϕ = ϕ ϕ 1 Uzima se ϕ = ϕ ϕ 1, da bi se izbegao slučaj ϕ < ϕ 1 tg ϕ = tg ϕ ϕ 1 7

73 tg ϕ = tg ϕ tg ϕ 1 1+tg ϕ tg ϕ 1 tg ϕ = k k 1 1+k 1 k - ugao izmed u pravih p 1 p ϕ = π tg ϕ = 1 + k 1 k = 0 k 1 = 1 k p 1 p k 1 = k Parametarski oblik jednačine prave: x, y p A, B x x 0, y y 0 x x 0 A = y y 0 B x = A t + x 0 y = B t + y 0 p A, B = t } - Parametarski oblik jednačine prave Segmentni oblik jednačine prave: - x n + y m = 1 Ax + By + C = 0 Slika 1.6: 73

74 Ax + By = C x C A + y C B = 1 1. Odrediti jednačinu prave koja sadrži presek pravih x+y+1 = 0 i x y + = 0 i na koordinatnim osama odseca odsečke jednake po apsolutnoj vrednosti. Rešenje. x + y α x y + = 0 + α x + 1 αy α = 0 C A 1+α +α = C B = 1+α 1 α 1. 1+α +α = 1+α 1 α 1 + α 1 α = 1 + α + α 1 + α 1 α α = α = 0 α = 1. 1+α +α = 1+α α α α 1 = 1 + α + α 1 + α α 1 α = α = 0 α = 1 1 x y + 0 = 0 3 x + 3 y = 0 74

75 1.15 Kružnica d A, O = r x p + y q = r/ Slika 1.7: x p + y q = r - jednačina kružnice { x = x t y = y t { x = r cos t y = r sin t t = ϕ Pr. Odrediti jednačinu kružnice kojoj je duž AB prečnik, pri čemu je A 1, 1 i A 5, 3. O 3, r = A, O = = 5/ 75

76 K : x 3 + y = 5 Pr. Naći jednačinu kružnice koja prolazi kroz tačku 3, 6 i koncentrična je sa kružnicom x + y + 6x 4y 6 = 0. x + y + 6x 4y 6 = 0 x y 4 6 = 0 x y = 75 O 3, r = A, O = x y = = 100 = 10 -Potencija tačke u odnosu na krug Slika 1.8: Teorema 1.. Neka prava p koja sadrži tačku A seče krug u tačkama A 1 i A. Tada proizvod AA 1 AA ne zavisi od prave p. Proizvod AA 1 AA naziva se pontecijom tačke A u odnosu na krug K. Ako je t 76

77 dužina tangente duži povučene iz tačke A na krug K tada je pontencija tačke A jednaka t. AA A 1 AA 1 A jer je A je zajednički, A = A kao periferijski ugao nad istom tetivom AA AA = AA 1 AA 1 AA AA 1 = AA 1 AA Slika 1.9: Pr. Odrediti jednačinu kruga koji seče y-osu u tačkama 0, 1 i 0, 3 i koji dodiruje x-osu. x p + y q = r x p + y 7, 5 = 7, 5 x = 0, y = 3 p = 36 p = ±6 77

78 K : x 6 + y 7, 5 = 7, Uslov dodira prave i kruga k O, r k : x p + y q = r p : Ax + By + C = 0 Ap+Bq+C A +B = r - uslov dodira prave i kruga Definicija Ugao uzmed u dve krive u zajedničkoj tački A je ugao izmed u njihovih tangenti u toj tački. Teorema 1.3. Prava y = kx + n je tangenta na krug x + y = r, ako je r 1 + k = n, a kruga x a + y b = r ako je r 1 + k = ka b + n. Teorema 1.4. Ako je M x 1, y 1 neka tačka kruga x a +y b = r jednačina tangente kruga u toj tački glasi x a x 1 a+y b y 1 b = r. 1. Odrediti jednačinu tangente kroz tačku A 4, 3 na kružnicu x + y x + 4y = 0. x x y + 4y = 0 x 1 + y + = 5 t : Ax + By + C = 0 A t 4A + 3B + C = 0 C = 4A 3B 78

79 1 A B+C A +B = 5 A B+4A 3B A +B = 5/ A + B A B + 4A 3B = 5 A + B / 5 A AB + B = 5 A + B 5A 50AB + 5B = 5A + 5B 4A 10AB + 4B = 0/ : B 4 A B 10 A B + 4 = 0/ : A B 5 A B + = 0 A B1, = 5± = 5±3 4 A B 1 = 1 A B = 8 4 = C = 4A 3B C B = 4 A B 3 C B 1 = = 1 C B = 4 3 = 5 t : Ax + By + C = 0/ : B A B x + y + C B = 0 1 x + y 1 = 0/ 79

80 t 1 : x + y = 0 t : x + y + 5 = 0 1. Pod kojim uglom se seku prava x 3y 5 = 0 i krug x +y = 5. { x + y = 5 x 3y 5 = 0 x = 3y + 5 3y y = 5 9y + 30y y = 5 10y + 30y + 0 = 0/ : 10 y + 3y + = 0 y 1, = 3± 9 8 = 3±1 { y1 = y = 1 { x1 = 1 x = A, 1, B 1, t A : x y = 5 t A : x y 5 = 0 y = x 5 k t = x 3y 5 = 0 3y = x 5 y = 1 3 x 5 3 k = 1 3 tg α = = = = 1 tg α = 1 k t k 1+k t k

81 α = 45 α = π 4. Odrediti jednačinu tangente na krug x 3 + y 1 = 4 u tački A 1, x y 1 = 4 x 3 = 4 x + 6 = 4/ 1 x 6 = 4 x = x = 1 3.Naći jednačine tangenti kruga x + y 10x 1y + 36 = 0 koje su paralelne pravoj 4x 3y + 10 = 0. Rešenje. A, B = 4, 3 Ax + By + C = 0 4x 3y + 10 = 0 x 10x y 1y + 36 = 0 x 5 + y 6 = 5 p = 5, q = C 4 +3 = 5/ 5 + C = 5 81

82 1. + C = 5 C = 3 t 1 : 4x 3y + 3 = 0. C = 5 C = 7 t : 4x 3y 7 = 0 4. Napisati jednačinu kruga koji prolazi kroz tačke A, 9 ; B 4, 5 ; C 5, 8. Odrediti ugao koji tetiva AB zaklapa sa njim kao i tangente na krug iz tačke D 8, 4. Rešenje. k : x p + y q = r A k p + 9 q = r B k 4 p + 5 q = r C k 5 p + 8 q = r p + 4p q + q = r p + 8p q 10q + 5 = r p 10p q 16q + 64 = r { p + 4p + q 18q + 85 = p + 8p + q 10q + 41 p + 4p + q 18q + 85 = p 10p + q 16q + 89 { 4p 8q + 44 = 0/ : 4 14p q 4 = 0/ : { p + q 11 = 0 7p q = 0 8

83 q = 7p p + 14p 4 11 = 0 15p = 15 p = 1 q = 5 O 1, 5 r = d O, A = k : x = = = 5 = 5 t B : x y = 5 5 x 1 = 5/ 5 x 1 = 5 t B : x = 4 AB : y 9 = x + AB : y 9 = x + AB : y = x + 13 AB : x y + 13 = 0 cos ϕ = = 5 D 8, 4 t : Ax + By + C = 0 8A + 4B + C = 0 C = 8A 4B 83

84 A+5B+C A +B = 5/ A + B 5 A + B = A + 5B 8A 4B / 5 A + B = B 14AB + 49A 4A + 14AB + 4B = 0/ : B 1 A B 7 A B 1 = 0 A B1, = 7± = 7±5 4 A B 1 = 4 3 A B = 3 4 C = 8A 4B/ : B C B = 8A B 4 C B 1 = = 44 3 C 3 B = = t : 8A + 4B + C = 0/ : B t : 8 A B C B = 0 Ax + By + C = 0 t 1 : 4 3 x + y 44 3 = 0/ 3 4x + 3y 44 = 0 t : 3 4x + y + = 0/ 4 3x 4y 8 = 0 84

85 1.17 Elipsa Elipsa je geometrijsko mesto tačaka u ravni sa osobinom da je zbir rastojanja ma koje tačke tog skupa od dve fiksne tačke F 1 F žiže elipse te ravni ima konstantnu vrednost. F 1 F - velika osa elipse simetrala duži F 1 F - mala osa elipse M x, y - proizvoljna tačka elipse d M, F 1 + d M, F = a = d F 1 = c, 0, F = c, 0, 0 < c < a, F 1 F = c x + c + y + x c + y = a/ x + c + y + x c + y = 4a x a + y a c = 1 smena a c = b x a + y b = 1 - jednačina elipse Veličina e = c a naziva se ekscentricitet elipse. c = a b Prave x = a e i x = a a e, tj. kada se zameni x = c i x = a c nazivaju se direktrise elipse. Direktrisa x = a e odgovara žiži F = c, 0, a direktrisa x = a e odgovara žiči F 1 = c, 0. Količnik rastojanja od proizvoljne tačke elipse M = x, y do žiže i rastojanja od te tačke do odgovarajuće direktrise je konstantan i jednak je ekscentricitetu e. Parametarske jednačine elipse: { x = a cos t. y = b sin t Krug je elipsa kod koje je b = a, tj. c = 0. 85

86 Slika 1.30: 1. Duž AB klizi krajem A po osi O y, a krajem B po osi O x. Ako je AB = 1 odrediti geometrijsko mesto tačaka koje duž AB deli u odnosu : 1. Slika 1.31: OC = 3OB + 1 3OA = 3 t, , t 1 = 3 t, 1 3 t 1 = x, y x = 3 t y = 1 3 t 1 t = 3 x t 1 = 3y t + t 1 = 3 x + 3y = 9 4 x + 9y 86

87 t + t 1 = x + 9y = 144/ : x + y = 16/ : 16 x 64 + y 16 = Optičko svojstvo elipse Problem: Neka je data prava p i tačke A i B sa iste strane prave p na kojoj treba da se nalazi tačka C tako da zbir AB + CB bude najmanji mogući. - Tačka C se dobija tako što se tačka simetrično preslika u odnosu na pravu p i pri tome se dobije tačka A 1. Tačka CO koju tražimo će se nalaziti u preseku prave p i prave AB. AC + CB - minimalno AC + C B > AC + CB Slika 1.3: 87

88 Slika 1.33: A 1 C = C A A 1 C + C B > A 1 B = A 1 C + CB A 1 C = CA A 1 C + C B > CA + CB AC + C B > CA + CB AC + C B > AC + BC Teorema 1.5. Svetlosni zrak koji prolazi iz jedne žiže date elipse posle odbijanja od nje proći će kroz drugu žižu ili drugim rečima tangenta na elipsu u njenoj proizvoljnoj tački gradi jednake uglove sa dužima koje tu tačku spajaju sa žižama. Opišimo krug k oko proizvoljne tačke M na elipsi, koji prolazi kroz F, i neka produžena duž F 1 M, preko tačke M, preseca krug k u tački H. Kako je M središte kruga k MF = MH F MH je jednakokraki, i simetrala t kroz M je tangenta elipse u tački M. 88

89 F 1 H = F 1 M + MH = F 1 M + MF = A 1 A Uzmimo neku drugu tačku L t, L M. Kako je t simetrala stranice F H, F MH LF = LH LF + LF 1 = LF 1 + LH > F 1 H LF 1 + LF > A 1 A. Svaka tačka L M, prave t je izvan elipse, a to znači da je prava t tangenta elipse u tački M. Iz F MH MF = MH Kako je t simetrala F MH F M, t = t, MH = t, MF 1 t, MF 1 = t, MF Tangenta na elipsu Tangenta je prava koja sa elipsom ima tačno jednu zajedničku tačku. x a + y b = 1 Ax + By + C = 0 y = C+Ax B zamenom u jednačini elipse dobija se A a + B b C = 0 A a + B b = C uslov dodira prave i elipse 1. Odrediti jednačinu elipse koja dodiruje prave 3x y 0 = 0 i x + 6y 0 = 0. x a + y b = 1 9a + 4b = 400 a + 36b = 400/ 9 30b = 300 b = 10 a = } 89

90 a = 40 x 40 + y 10 = 1. Odrediti tangente na elipsu x + 4y = 0 koje su paralelne, a zatim i one koje su normalne na ravan x y 13 = 0. x + 4y = 0/ : 0 x 0 + y 5 = 1 p : x y 13 = 0 t : Ax + By + C = 0 t p A, B =, t : x y + C = 0 x y + C = 0 x 0 + y 5 = = C 100 = C C = ±10 } t : x y ± 10 = 0/ : t : x y ± 5 = 0 t A, B, = 0 A B = 0 B = A 90

91 t : Ax + By + C = 0 0A + 5A = C 5A = C C = ±5A t : Ax + Ay ± 5A = 0/ : A t : x + y ± 5 = 0 3. Odrediti tangente na elipsu x + 3y = 1 u tački A 3, 1. x + 3y = 1/ : 1 x 1 + y 7 = 1 t : Ax + By + C = 0 A t 3A + B + C = 0 C = 3A + B 1 A B = C x 1 + y 1 3 = 1 1 A B = 9A + 6AB + B 3 A B 6AB = 0/ : 3 B A B 4 A B + 4 = 0 A B1, = 4± A B 1, = 91

92 3A + B + C = 0/ : B 3 A B C B = C B = 0 C B = 7 t 1, : 3x + 3 1y = 1/ : 3 t 1, : x + y 7 = 0 4. Neka su p, p 1 i t prave koje su tangente na elipsu x a + y b = 1, pri čemu su p i p 1 tangente u krajnjim tačkama velike ose. Ako su A i B presečne tačke ovih tangenti sa tangentom t pokazati da se duž AB iz proizvoljne žiže vidi pod pravim uglom. F 1 A F 1 B F 1 A F 1 B = 0 t : x 0x a + y 0y b = 1 p : x = a p 1 : x = a x 0 x a + y 0y b = 1 Slika 1.34: 9

93 x = a x 0 a + y 0y b = 1 y = ab +b x 0 ay 0 A a, ab +b x 0 ay 0 x 0 x a + y 0y b = 1 x = a y = b x 0 ab ay 0 y = ab b x 0 ay 0 B a, ab b x 0 ay 0 F 1 A = a + c, ab +b x 0 ay 0 F 1 B = a + c, ab b x 0 ay Hiperbola Definicija Hiperbola je geometrijsko mesto tačaka kod kojih je razlika rastojanja od dve fiksne tačke po modulu konstantna i jednaka a > 0. x a y b = 1 - jednačina hiperbole A a B b = c - uslov dodira prave i hiperbole 93

94 Slika 1.35: 1.1 Optičko svojstvo hiperbole Slika 1.36: Tangenta hiperbole u nekoj njenoj tački je simertala ugla koja se dobija kada se ta tačka kao teme spoji sa žižama. 1. Dokazati da je proizvod rastojanja tačke na hiperboliod njenih asimptota konstantan za datu hiperbolu. x a y b = 1 a 1 : y = b a x 0 = b a x y 94

95 a : y = b a x 0 = b a x + y Slika 1.37: d A, a 1 d A, a = b a x 0 y 0 b a + 1 = b x 0 a y 0 a b +a a b b +a = b a = ba x 0 a y 0 b +a = const b a x 0+y 0 b a +1 = b a x 0 y0 = b +a a. Dokazati da je deo tangente hiperbole koji se nalazi izmed u njenih asimptota prepolovljen dodirnom tačkom. x a y b = 1 t : x 0x a y 0y b = 1 y = b a x } x 0 x a y 0y b = 1 koor. tačke A 1 x = a b bx 0 +ay 0 = x 1 y = b a x } x 0 x a y 0y b = 1 95

96 a b x = a b ay 0 bx 0 = x 1 + x = 1 bx 0 b x 0 a y 0 a b bx 0 ay 0 = x a b bx 0 +ay 0 + = a bx 0 b x 0 a y 0 x 0 je sredina duži x 1 x. Slika 1.38: a b bx 0 ay 0 = a b = x 0 x 0 a y 0 b = x 0 bx 0 ay 0 +bx 0 +ay 0 bx 0 +ay 0 bx 0 ay 0 = 1. Parabola Definicija Parabola je geometrijsko mesto tačaka kod kojih je zbir rastojanja od date tačke žiže do date prave direktrise jednako. Ax + By + C = 0 y = px B p AC = 0 - uslov dodira prave i parabole 1. Iz tačke, povući tangente na parabolu y = 16x Ax + By + C = 0/ : B 96

97 Slika 1.39: A B x + y + C B = 0 A + B + C = 0 C = A B B 8 AC = 0 4B A A B = 0 B A + AB = 0/ : B A B + A B = 0 A B A B = 0 A B1, = 1± 1+8 A B 1, = 1±3 97

98 A B = { 1 C B = A B C B = { 4 1. x + y + = 0. x + y 4 = 0 x y + 4 = Tačka na paraboli A x 0, y 0 - tačka na paraboli y = px = px + px y 0 y = px 0 + px = p x 0 + x y 0 y = p x 0 + x - jednačina tangente na paraboli u tački x 0, y 0 1. Naći jednačinu normale parabole y = 1x u njenoj tački x 0, 6. 6 = 1x 0 x 0 = 3 3, 6 t : 6y = 6 x + 3 x + y + 3 = 0 98

99 1.4 Optičko svojstvo parabole Svetlosni zrak koji kreće iz žiže, posle odbijanja od parabole nastavlja kretanje paralelno sa osom parabole. Drugim rečima: Tangenta parabole u tački A gradi jednake uglove sa pravom AF i sa pravom koja prolazi kroz tačku A i paralelna je sa osom parabole. y = px t : y 0 y = p x 0 + x 0 = px y 0 y + px 0 Slika 1.40: AF : y 0 x p + p x 0 y = 0 AF : y 0, p x 0 s : y = y 0 y y 0 = 0 cos t, AF = p py 0 y 0 +x 0y 0 p +y0 = y p 0 x 0 + y0 + p x 0 p +y0 x 0 + p = y 0 p +y 0 99

100 cos t, s = p, y 00,1 = y 0 p +y 0 1 p +y0 cos t, AF = cos t, s 1.5 Translacija u koordinatnom sistemu Slika 1.41: Ako je u ravni ili prostoru zadat skup tačaka jednačinom F x, y, z = 0, tada skup tačaka koji je dobijen od ovog skupa tačaka, translacijom za dati vektor p, q, r ima jednačinu F x p, y q, z r = Napisati jednačinu prave koja se dobija translacijom prave x 3y + 1 = 0 za vektor 1,. x y + 1 = 0 x 3y + 9 = 0. x + x 3 y + y x = 0 za p, q x p + x p 3 y q + y q x p = Rotacija u koordinatnom sistemu 100

101 z = cos ϕ + i sinϕ = e iϕ z 1 = z cos ϕ + i sinϕ Slika 1.4: Ako tačku z u kompleksnoj ravni hoćemo da rotiramo oko koordinatnog početka, onda z treba pomnožiti sa cos ϕ + i sinϕ, gde je ϕ traženi ugao rotacije. z = + 3i 45 z 1 = z cos 45 + i sin 45 z 1 = + 3i + i z 1 = + i + 3 i 3 z 1 = + 5 i x, y = x, y cos ϕ, sin ϕ Slika 1.43: 101

102 Slika 1.44: x, y = x cos ϕ y sin ϕ, x sin ϕ + y cos ϕ { x = x cos ϕ y sin ϕ y = x sin ϕ + y cos ϕ Formule za rotaciju tačke x, y za ugao ϕ. 1.7 Opšta jednačina krivih drugog reda Opšta jednačina krivih drugog reda je oblika: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 Koriste se formule za rotaciju { x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α A x cos α y sin α +B x cos α y sin α x sin α + y cos α+ C x sin α + y cos α +D x cos α y sin α+e x sin α + y cos α+ F = 0 A cos α sin α + B cos α sin α + C sin α cos α = 0 - koeficijent uz x y. 10

103 8 A sin α + B cos α + C sin α = 0 C A sin α = B cos α C A B Zadaci cos α = sin α A C B 1. Odrediti šta predstavlja skup tačaka zadat jednačinom 5x + 4xy + 8y + 8x + 14y + 5 = 0. Rešenje. A C B = ctg α 5 8 = ctg α 4 = ctg α tg α = 4 tg α 3 ; tg α = 1 tg α 4 3 = tg α 1 tg α 4 + 4tg α = 6tg α tg α 3tg α = 0 { tg α 1/ = 3± = 3±5 1 4 = sin α = tg α 1+tg α = = 4 5 cos α = 1 1+tg α = = 1 5 x = x 1 5 y 5 y = x 5 + y 1 5 } sin α = 5 ; cos α = x 5 1 y 5 x 5 1 y 5 x 5 + y 5 1 x 1 5 y x 5 1 y = 0 +8 x 5 + y x 4 5 x y y +4 5 x x y 4 5 x y 5 y x x y y x 16 5 y x y + 5 = 0 9x + 4y x 5 y + 5 = 0 9 x y =

104 9 x y = x y = 9 4 x x y = 1 + y 1 = Slika 1.45:. Šta predstavlja kriva zadata jednačinom 3x 10xy+3y 16x+ 4 = 0? Rešenje. A C B 3 3 = ctg α 10 = ctg α ctg α = 0 α = π α = 45 x = x y 104

105 16 y = x + y 3 x x y y 10 x y x + y +3 x + y + 4 = x x y + 1 y 10 1 x 1 y +3 1 x + x y + 1 y 8 x + 8 y + 4 = 0 x + 8y 8 x + 8 y + 4 = 0 x + 4 x + 8 y + y + 4 = 0 x y = x y = 36 x + 18 y + 4 = 1 Slika 1.46: 3. 6xy + 8y 1x 6y + 11 = 0. A C B 8 = ctg α 6 = ctg α tg α =

106 3 4 = tg α 1 tg α 3 + 3tg α = 8tg α 3tg α 8tg α 3 = 0 { tg α 1/ = 8± = 8± = 3 3 tg α = 3 sin α = tg α 1+tg α = = 9 10 cos α = 1 1+tg α = = 1 10 } sin α = 3 10 ; cos α = x = x 1 10 y 3 10 y = x y x 1 10 y 3 x y x y x y 1 10 x 1 10 y = x 8 10 x y 3 10 y x x y x 6 10 y + 11 = 0 10 y 1 10 x y x x y y + 11 = 0 10 y x x y y 1 10 x y x 9x y x y + 11 = 0 9 x x y y + 11 = 0 9 x 5 10 y = 0 106

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

EUKLIDSKA GEOMETRIJA EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivni zadaci. Uvod

Konstruktivni zadaci. Uvod Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,

Διαβάστε περισσότερα

Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.

Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična. Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015

Milan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015 Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP

PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje

Zbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije

Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Primene kompleksnih brojeva u geometriji Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 2009.

Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 2009. Univerzitet u Kragujevcu Tehnički fakultet u Čačku Katedra za matematiku Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE Čačak, 009. Autori: Mr Nada Damljanović Mr Rale Nikolić Recenzenti: Prof. dr Mališa

Διαβάστε περισσότερα

POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03

POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03 POLIEDRI Ivana Bojović 171/03 Sadržaj Poliedarske površi...2 Prizma...5 Piramida...8 Zarubljena piramida...10 Pravilni poliedri...11 Površina poliedara...12 Površina prizme...12 Površina pravouglog paralelopipeda...13

Διαβάστε περισσότερα

7.5. KOORDINATNI SISTEMI

7.5. KOORDINATNI SISTEMI - 84-75 KOORDINATNI SISTEMI 75 Dekartov desni pravougli koordinatni sistem U paragrafu 73 definisali smo desni pravougli koordinatni sistem (O;i, j, k) gdje su: (a) koordinatni početak ili ishodište O

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina

OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina OTPORNOST MTERJL Geometrijske karakteristike ravnih površina GEOMETRJSKE KRKTERSTKE RVNH POVRŠN POVRŠN POPREČNOG PRESEK STTČK MOMENT POPREČNOG PRESEK MOMENT NERJE POPREČNOG PRESEK GEOMETRJSKE KRKTERSTKE

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacrs/mii Matematika i informatika (1) (013), 19-74 PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Mihailo Krstić, Student Departmana

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

dr Lidija Stefanović INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRŠINSKI ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA; II DEO SKC Niš, 2009.

dr Lidija Stefanović INTEGRALI: KRIVOLINIJSKI, DVOJNI, TROJNI, POVRŠINSKI ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA; II DEO SKC Niš, 2009. dr idija tefanović INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI ZA TUENTE TEHNIČKIH FAKUTETA; II EO KC Niš, 9. dr idija tefanović INTEGRAI: KRIVOINIJKI, VOJNI, TROJNI, POVRŠINKI ZA TUENTE TEHNIČKIH

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y . ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)

Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *) .7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo

Διαβάστε περισσότερα

12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija

12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija 12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija Elementarna pitanja: 1. Nabrojati sve geometriske figure prikazane na slici ispod. [kocka, kvadar, četverostrana piramida, sfera

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković MATEMATIKA II VEŽBE Dr Boban Marinković 1 Neodredjeni integral dx = x + C, dx x = ln x + C, dx = arcsin x + C, 1 x 2 a x dx = ax ln a + C, cos x dx = sin x + C, dx x 2 a = 1 2 2a ln x a x + a + C, dx x2

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarne, cilindrične, sferne koordinate 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarni koordinatni sistem 2D polarni koordinatni sistem ima koordinatni početak (pol), koji predstavlja centar koordinatnog

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema:

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Koordinatni sistemi Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Kartezijeve koordinate Korištenjem Kartezijevih koordinata položaj tačke u ravni se definiše sa dva broja,

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Transformacije u 3D i projekcije

Računarska grafika. Transformacije u 3D i projekcije Računarska grafika Transformacije u 3D i projekcije I ove se pretpostavlja konvencija pokretne virtuelne kamere Postoji formalna sličnost sa transformacijama u 2D grafici: oaje se jean član jenačina (a

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske transformacije

Geometrijske transformacije Računarstvo i informatika Računarska grafika Geometrijske transformacije Prof. Dr Slobodanka Đorđević - Kajan Katedra za računarstvo Elektronski fakultet Niš 1 Ciljevi Upoznati osnovne 2D geometrijske

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2 Mr VENE T BOGOSLAVOV ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 5 ispravljeno izdanje ZAVOD ZA UDŽBENIKE BEOGRAD Redaktor i recenzent DOBRILO TOŠIĆ Urednik MILOLJUB ALBIJANIĆ Odgovorni urednik MILORAD MARJANOVIĆ

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα