Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet."

Transcript

1 Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina tela, površina, zapremina itd. Vektorska veličina je odred ena prvcem, smerom i intenzitetom. Takve veličine su na primer brzina, sila, ubrzanje itd. Vektorske veličine kraće nazivamo vektorima. Oni se mogu predstaviti dužima. Vektor čije su krajnje tačke A i B ima pravac odred en pravom AB na kojoj leži ovaj vektor, pri čemu se ta prava naziva nosač vektora. Smer vektora čije su krajnje tačke A i B je odred en ured enim parom gde je A početna, a B krajnja tačka vektora. Intenzitet moduo se predstavlja dužinom duži AB, tj. duž AB je takva da je njena mera jednaka intenzitetu vektora. Intenzitet je skalarna veličina i uvek je nenegativna. Vektor je zadat ako mu je zadat pravac, smer i intenzitet. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Definicija 1.. Vektor je paralelan pravoj, ili nekoj ravni, ako je njegov nosač paralelan sa tom pralom ili sa tom ravni. Definicija 1.3. Vektori istog pravca ili paralelni istoj ravni nazivaju se kolinearnim vektorima. 1

2 Definicija 1.4. Dva vektora istog pravca, istog intenziteta nazivaju se suprotnim vektorima. Definicija 1.5. Vektori paralelni jednoj ravni nazivaju se komplanarni vektori. Definicija 1.6. Vektor čiji je intenzitet jednak jedinici naziva se jedinični vektor. Definicija 1.7. Ort vektora a je jedinični vektor istog pravca i smera kao i vektor a. Definicija 1.8. Nula vektor je vektor čiji intenzitet je jednak nuli. 1.1 Sabiranje vektora Neka su data dva vektora a i b neka je O proizvoljna tačka u prostoru. Ako vektore a i ab paralelnim pomeranjem dovedemo u položaj da im je O zajednički početak, tada postoje jedinstvene tačke A i B takve da je OA = a, OB = b. Zbir vektora a i b u oznaci a + b je vektor c = OC c = a + b gde je tačka C teme paralelograma OACB suprotno temenu O. Osobine: a + b + c = grupa a + 0 = a a + a = 0 a + b = b + a Slika 1.1: a + b + c

3 1. Množenje vektora skalarom Definicija 1.9. Proizvod α a = a α proizvoljnog vektora a i proizvoljnog skalara α je vektor za koji važi: 1. a i α a su kolinearni vektori. a i α a su za α > 0 istog smera, a za α < 0 suprotnog 3. 0 a = 0 i α 0 = 0 4. α a = α a Vektori a i b su istog pravca paralelni ako i samo ako je a = k b. a b a = k b Osobine: 1. 1 a = a. k a + b = k a + k b 3. k + k 1 a = k a + k 1 a 4. k k 1 a = k k 1 a a + b a + b - nejednakost trougla Zadaci: 1. Ako su a i b vektori osnovica datog trapeza, a m srenje linije, dokazati da je m = a+ b. Rešenje. m = f + b + e m = f + a e m = a + b } + 3

4 m = a+ b m a, b 0.. Dokazati da je zbir vektora u pravcu težišne duži trougla jednak Rešenje. AA 1 = AC + CA 1 = AC + 1 CB CC 1 = CB + BC1 = CB + 1 BA BB 1 = BA + AB 1 = BA + 1 AC + AA 1 + CC 1 + BB 1 = 3 AC + CB + BA = 0 Domaći. 3. Neka je T težište trougla ABC i O proizvoljna tačka. Dokazati da je OA+ OT = OB+ OC Neka su dati vektori a i b. Pomoću njih odrediti vektor paralelan simetrali ugla izmed u njih. 5. Neka je duž AB podeljena u tački C u razmeri p : q i neka je O proizvoljna tačka. Izraziti vektor OC Preko vektora OA i OB. OC = OA + AC AC = p p+q AB = p p+q OB OA OC = OA + p p+q OB OA = q p+q OA + p p+q OB OC = q p+q OA + p p+q OB q p+q + p p+q = 1 4

5 Teorema 1.1. Neka su date tačke A, B i O. Tada je tačka C izmed u tačaka A, B akko OC = t OB + 1 t OA, 0 t Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranicu u odnosu krakova p : q. Rešenje. p q = AB AC AD = t AB + 1 t AC AD = λ AB + AC = λ AB + AB AC AB AC AB AB + AC AB AC AB AC + + λ AC = AC λ AB + λ AC = 1 1 λ = 1 = AB + 1 AC AB AB AC + AC AD = q AB p+q AC + AB + p p+q AC = q p+q AC 1 AB AC +1 = 1 p q +1 5

6 AB AC = p q Domaći. 7. Odsečci koji spajaju sredine suprotnih ivica tetraedra se uzajamno polove. 8. Neka je T težište ABC. Dokazati AT + BT + CT = 1 3 AB + BC + CA Rešenje. AT + BT + CT = 0 / Slika 1.: AT + BT + CT = AT BT + AT CT + BT CT AB + BT = AT AB = AT BT BA = TA TB/ TA TA TB + TB = BA Analogno je, CB = TB TC/ 6

7 TB TB TC + TC = CB TC TC TA + TA = AC TA + TB + TB + TC + TC + TA BA + CB + AC TA + TB + CB + AC TC 3 AT + BT + CT = AB + AC + BC TA TB + TA TC + TB TC = TA TB + TA TC + TB TC = BA + AT + BT + CT = 1 3 AB + AC + BC 1.3 Skalarni proizvod vektora Definicija Skalarni proizvod geometrijskih vektora a i b je realan broj, u oznaci a b koji je jednak proizvodu intenziteta tih vektora i kosinusa ugla izmed u njih, tj. a b = a b cos a, b. Osobine. 1. a b = b a. α a b = a α b = α a b 3. a + b c = a c + b c 1. Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački. Rešenje: ABC AB = HB HA 7

8 Slika 1.3: HA + AB = HB Kako je h c = CF = FC sledi da je skalarni proizvod vekrora AB i HC jednak nuli, tj. HC AB = 0. HC HB HA = Analogno je, HC HB = BC HA BC HA HC HB = 0... Sabiranjem levih i desnih strana jednakosti 1 i, dobija se HC HB HA + HA HC HB = 0 HC HB HA HB = 0 HC HA HB = 0 AC = HC HA 8

9 HC HB = 0 HB AC, pa ako je E presečna tačka pravih odred enih vektorima AC i HB sledi da je BE AC što znači da visina HB prolazi kroz tačku H. Visine ABC se seku u jednoj tački H.. Pokazati da su dijagonale romba normalne. Rešenje: AB = a BC = b Slika 1.4: d 1 = a + b d = a b a = b...1 d 1 d 1 = a + b a b = a a + b a b a b b = a a b c d 1 d1 cos d1, d = a a cos a, a b b cos b, b b b d 1 d1 cos d1, d = a a 1 b b 1 = a b... Zamenom 1 u, dobija se d 1 d1 cos d1, d = a a = 0/ 1 d 1 d 1 9

10 cos d1, d = 0 d1, d = π d 1 d 3. Pokazati da je ugao nad prečnikom prav Rešenje. a b AC BC AC BC = 0 AC BC = 0 Slika 1.5: AC BC = OA + OC BO + OC BO + r = OC OA + BO = OC 0 = 0 = r + OA OC + OC 4. Paralelogram sa jednakim dijagonalama je pravougaonik. Dokazati. Rešenje. 10

11 AB = a, AD = b, d 1 = AB + AD = AB + BC = AC d = AB AD = DB d 1 = AB + AD = a + b d = AB AD = a b d 1 d 1 = d d = d 1 = d = d d 1 d1 cos d1, d 1 = d 1 d d cos d, d = d d 1 d 1 = a + b a + b = a a+ a b+ b b = a a cos a, a+ a b cos a, b + b b cos b, b = a + a b cos a, b + b = d 1 d1 cos d1, d 1 = d d d = a b a b = a a a b+ b b = a a cos a, a a b cos a, b + b b cos b, b = a a b cos a, b + b = d d cos d, d = d... Iz 1 i sledi [ a + a b cos a, b + b ] [ a a b cos a, b + b ] = 11

12 d 1 d 4 a b cos cos a, b = 0 a, b = 0/ : 4 a b a, b = 90 a, b = π 5. Primenom skalarnog proizvoda vektora dokazati kosinusnu teoremu za ugao. Rešenje: AB = c, BC = a, AC = b Slika 1.6: AB, AC = α BC = AC AB = b c a = b c a a = b c b c = b b b c c b + c c = b b b c + c c a a cos a, a = b b cos b, b b c cos b, c + c c cos c, c 1

13 a = b + c b c cos α a = b + c bc cos α 6. Primenom vektora dokazati Pitagorinu teoremu. Rešenje: AB = a, AC = b AB + BC + CA = 0 BC = AB CA = AC AB...1 Iz 1 je BC BC = AC AB AC AB BC BC = AC AC AC AB AB AC + AB AB BC BC cos BC, BC = AC AC cos AC, AC AB AC cos AB, AC + AB AB cos AB, AB BC = AC AB AC cos π + AB BC = AC + AB c = a + b 7. Neka je u ABC dato AB = 4, AC =, α = 60. Ako tačka D deli stranicu BC u odnosu 1 :, odrediti cos DA, DC. Rešenje. DA = AD = 3AB + 1 3AC DC = 3BC = 3 AC AB 13

14 DA = 3AB + 1 3AC = AB + 4 AB AC + AC = AB + 4 AB AC cos ε + AC = = 84 9 DC = AC AB = 4 9 AC AC AB AC cos α + AB = 4 9 DA DC = = 48 9 AB + 1 3AC 3 AB AC + AB = = 48 9 AC AB = 9 AB AC AB + AC cos DA, DC = DA DC DA DC = = = 8 14 = 7 8. Neka je u paralelogramu ABCD dato AB = 3, AD =, cos α = 1 6. Neka je tačka O presek dijagonale, tačka F deli DC u odnosu : 1, a tačka E deli DB u odnosu 3 : 1. Odrediti cos ugla izmed u AE i OF. Rešenje. 1 6 AE = 1 4AD + 3 4AB OF = OA + AD + DF = 1 AB Slika 1.7: AD + AB + 14 AD + 3AB = 1 AD +

15 91 16 AE = AD + 3 4AB = 1 16AD AD AB AB = AD AD AB cos α AB = 1 16 AE = 91 OF = AD + 3 OF = 17 1 = = AD + 1 6AB = 1 4AD + 1AD AB AB = AD AB cos α AB = 1 4 OF 1 AE = AD AB 4AD + 3 4AB = 1 8AD + 3 AD + 1 8AB = 1 8 AD AB AD cos α + AB = = = 49 4 cos OF, AE = OF AE OF AE = = AB = = = Dat je pravougaonik ABCD i tačka E. Dokazati: a ED EB = EA EC b EA + EC = EB + ED Rešenje. a ED EB = EO + OD EO + OB = OD = EO OD...1 EO + EO OB + OD 15

16 Slika 1.8: EA EC = EO + OA EO + OC = EO + EO OC + OA AO = EO AO... AO = OD Iz 1 i sledi ED EB = EA EC b AC = DB EC EA = EB ED EC EA = EB ED EC EC EA + EA = EB EB ED + ED EC + EA = EB + ED 16

17 EA + EC = EB + ED 10. Neka je dat jednakostranični ABC i njemu tačka X čija su odstojanja od stranica trougla jednaka t 1, t, t 3. Ako su X 1, X, X 3 podnožja normala iz tačke X na stranice odrediti koeficijente k 1, k, k 3, takve da važi: Rešenje. Slika 1.9: k 1 XX1 + k XX + k 3 XX3 = 0 a XX 1 t 1 a + XX t a + XX 3 t 3 = 0 k 1 = 1 t 1, k = 1 t, k 3 = 1 t Neka je u tetraedru ABCD dato AB = 1, AC =, AD = 3, cos AB, AC = 1, cos AC, AD = 1 6, cos AB, AD = 1 3. Neka tačka F deli CD u odnosu 3 : 1, a tačka E deli BF u odnosu : 3. Odrediti ugao izmed u AE i AF. Rešenje: AE = 3 5AB + 5AF AF = 1 4AC + 3 4AD 17

18 AE = 3 5AB AC + 3 4AD Slika 1.10: = 3 5AB AC + 3 AD AE 3 = 5AB AC AD = 9 5AB AC + 9 AB AC + 18 AB AD + 6 AC AD = AD AB AC AD AB AC cos AB, AC + AB AD cos AB, AD + 6 AC AD cos AC, AD = = = = = 7 4 AE = 7 18

19 AF = AC + 3 4AD = 1 16AC AC AD AD = AC + 6 AC AD cos AC, AD + 9 AD = = = = AF = 91 4 AE AF = = AB + 1 AC + 3 AD AC + 3 4AD = AB AC+ 9 AB AD+ 1 AC + 3 AC AD+ 3 AD AC+ 9 AD = AB AC cos AB, AC AB AD cos AB, AD + AC AC AD cos AC, AD AD AC cos AD, AC + AD = = = = cos AE, AF = AE AF AE AF = = = Neka su u i v vektori različiti od 0, i takvi da je vektor u v normalan na vektor u+ v i u v normalan na vektor u+ v. Odrediti ugao izmed u vektora u i v. Rešenje. u v u + v = 0 u v u + v = 0 } 19

20 u + u v u v v = 0 u + u v 4 u v v = 0 u + u v v = 0 u 3 u v v = 0 u + u v cos α v = 0/ : v u 3 u v cos α v = 0/ : v u v u v } } + u v cos α 1 = 0 3 u v cos α = 0/ 1 4 u v cos α + 1 = 0 u v cos α = 1 4 u v = 0 } u v = 5 4 u v = 5 8 cos α = 1 4 u v = = 4 5 = Neka je u ABC dato AB = 4, AC =, α = 60. Ako tačka D deli stranicu BC u odnosu 1 :, odrediti cos DA, DC. Rešenje. DA = AD = 3AB + 1 3AC 0

21 DC = 3BC = 3 AC AB DA = 3AB + 1 3AC = AB + 4 AB AC + AC = AB + 4 AB AC cos ε + AC = = 84 9 DC = AC AB = 4 9 AC AC AB AC cos α + AB = 4 9 DA DC = = 48 9 AB + 1 3AC 3 AB AC + AB = = 48 9 AC AB = 9 AB AC AB + AC cos DA, DC = DA DC DA DC = = = 8 14 = Neka su A, B, C, D proizvoljne četiri tačke u prostoru. Dokazati da je AB CD + AC DB + AD BC = 0 Rešenje: AB = c, AC = b, AD = d iz ABC BC = AC AB = b c iz ABD DB = AB AD = c d iz ACD CD = AD AC = d b AB CD + AC DB + AD BC = c d b + b c d + d b c = c d c b + b c b d + d b d c = c d b c + b c d b + d b c d = c d c d + b c b c + b d b d = 0 1

22 Slika 1.11: AB CD + AC DB + AD BC = Odrediti ugao izmed u naspramnih ivica tetraedra. Rešenje: ABCD - tetraedar sa osnovom ABC. Odred uje se ugao izmed u bočnih ivica AB i CD BC i AD; CA i BD; BC = AC AB/ AD CD = AD AC/ AB BD = AD AB/ CA BC AD = AC AB CD AB = AD AC BD CA = AD = AC AD AB AD AB = AD AB AC AB AD AB CA = AD CA AB CA +

23 Slika 1.1: BC AD + CD AB + BD CA = AC AD AB AD + AD CA AB CA = AC AD AC AD + AB AC AB AC = 0 BC AD = BC AD cos BC, AD CD AB = BD CA = CD AB cos CD, AB BD CA cos BD, CA AD AB AC AB AB AD AB AD + BC AD + CD AB + BD CA = BC AD cos BC, AD + CD AB cos CD, AB + BD CA cos BD, CA = 0 Kako je BC AD > 0, CD AB > 0, BD CA > 0, jer vektori AB, BC, AC, AD, BD, CD nisu nulti vektori, onda je 3

24 cos BC, AD = cos π = 0 cos CD, AB = cos π = 0 cos BD, CA = cos π = 0, što znači da su naspramne ivice tetraedra normalne. 16. Ako je u teraedru ABCD AB CD, dokazati da je AC AD = BC BD Rešenje: AB CD AB DC a = a a cos a, a = a cos 0 = a 1 = a AC AD = AC AD = AC AD = AC AD AC + AD = AC + AD AC AD = AC + AD DC Iz ABC AC = AB + BC iz ABD AD = AB + BD [ ] AB + BC + AB + BD DC = AC AD = [ ] AB + BC + BD DC = AB DC + BC + BD DC = 0 + BC + BD BC BC + BD BC BC cos BC, BC BD BD cos BD, BD = BC cos 0 BD cos 0 = BC BD = BC BD DC = BC + BD DC = BC + BD BC BD = BC BC BD BD BD = BC BD = 4

25 1.4 Vektorski proizvod vektora Definicija Tri nekomplanarna vektora a, b i c sa zajedničkim početkom obrazuju desni trijedar ako se rotacija vektora a prema vektoru b, najkraćim putem, posmatra sa kraja vektora c, vrši suprotno kretanju kazaljke na časovniku. Slično se definiše levi trijedar, koji obrazuju tri nekomplanarna vektora a, b i c sa zajedničkim početkom. Slika 1.13: Definicija 1.1. Ako je n 0 jedinični vektor normalan na ravan koji obrazuju vektori a, b, pri čemu a, b i n 0 obrazuju desni trijedar, onda se vektor a b sin a, b n 0 naziva vektorski proizvod vektora a i b. a b a b sin a, b Osobine vektorskog proizvoda 1. a b = b a - antikomutativnost. a b = 0 a b a = k b 3. k a b = k a b = a k b - homogenost 4. a b + c = a b + a c 5

26 a n a i = n a a i i=1 i=1 Površina paralelograma konstruisanog nad vektorima a, b brojno je jednaka intenzitetu vektorskog proizvoda tih vektora. P = a b Brzina V ma koje tačke M krutog tela koje rotira brzinom ω oko date ose jednaka je V = ω r, gde je r vektor položaja tačke M, a osa rotacije prolazi kroz koordinatni početak. 1. Koristeći vektorski proizvod dokazati sinusnu teoremu za trougao u ravni. Rešenje: AB = c, BC = a, AC = b BC = AC AB = b c Slika 1.14: BC BC = BC BC sin BC, BC = 6 BC BC sin 0 = 0

27 BC = AC AB/ BC BC BC = BC AC AB = BC AC BC AB = 0 BC AC = BC AB BC AC sin BC, AC = BC AB sin BC, AB BC AC sin γ = BC AB sin π β BC AC sin γ = BC AB sin β/ 1 BC AC AB sin γ AB = sin β AC sin α c = sin γ b AC = AB + BC/ AC AC AC = AC AB + BC = AC AB + AC BC = 0 AC AC = AC BC AC AB sin α = AC BC sin γ/ 1 AC AB BC sin α BC = sin γ AB sin α c sin α a = sin γ a = sin β b = sin γ c a sin α = b sin β = c sin γ 7

28 . Neka je dat ABC i tačka O u njemu. Neka su vektori OA 1, OB1, OC 1 normalni na odgovarajuće stranice i imaju intenzitete jednake njihovim dužinama. Dokazati da je OA 1 + OB1 + OC 1 = 0. Rešenje. OA 1 + OB1 + OC 1 = a Slika 1.15: k a k je jedinični vektor normalan na ravan trougla k OA1 + OB1 + OC 1 BC + BA + CA = 0 k a = 0 k a = 0 k a sin 90 0 = 0 a = 0 = k OA 1 + k OB1 + k OC 1 = 8

29 a = 0 3. Na pustom ostrvu se nalaze palma i dve stene. Gusari su zakopali blago na mestu koje su odredili na sledeći način: položaj palme su rotirali oko stena u suprotnim smerovima za 90 i zatim su blago zakopali na sredini izmed u tako dobijenih tačaka. Kada su došli iduće godine da otkopaju blago videli su da je neko isčupao palmu. Kako da gusari pronad u blago? Rešenje. AB - A pomera u B BC - B pomera u C Slika 1.16: AB + BC - A pomera u B, i B pomera u C = AC PA = PS 1 + S 1 A = PS 1 k PS 1 9

30 1 PB = PS + S B = PS + k PS PF = 1 PA + PB = 1 PS1 + PS + 1 k PS PS 1 = 1 PS1 + PS + k PS k PS 1 = PS1 + PS + 1 k S 1 S 4. Za koju vrednost paramerta k će vektori p = k a+5 b i q = 3 a b biti kolinearni, ako vektori a i b to nisu Rešenje. p q p q = 0 p q = k a + 5 b 3 a b = 3k a a k a b +15 b a 5 b b = k a b 15 a b = a b k 15 p q = 0 k 15 = 0 k = Odrediti površinu paralelograma čije su stranice vektori a = m n i b = n m, gde su m i n jedinični vektori, a ugao izmed u m i n je π 6. Rešenje; a = m n b = n m m, n = π 6 m = n = 1 P = a b = m n n m = m n + 4 n m = 3 n m = = 3 30

31 6. Dve stranice trougla su p = a + 3 b i q = a 4 b, gde su a i b normalni ortovi. Izračunati visinu prema trećoj stranici trougla. Rešenje. Slika 1.17: p = a + 3 b a = b = 1 q = a 4 b a b P = 1 p q = 1 a + 3 b a 4 b = a b + 3 b a = 1 11 b sin a, b = 11 a a 8 a b + 3 b a 1 a b = 1 11 a b = 11 a r = p q = a + 3 b a + 4 b = a + 7 b r = a + 7 b r = 50 = 5 P = r h = a + 49 b + 14 a b = = 50 31

32 11 = 5 h h = Primenom vektorskog proizvoda izvesti Heronov obrazac za izračunavanje površine trougla. Rešenje. P = 1 c b P = 1 c b sin α P = 1 4 c b sin α = 1 4 c b 1 cos α = 1 4 c b c b cos α = c b c b cosα c b + c b cos α 1 4 a = b + c b c cos α a = b + c b c cos α = b + c a P = 1 4 c b b + c a c b + b + c a = b 1 16 a b c + c a = b 1 16 a b c + c a a b + c a + b c b + c a b + c + a 1 16 P = 4 1 a b + c a + b c b + c a b + c + a 1.5 Mešoviti proizvod vektora 3

33 Definicija Broj, odnosno skalar se mešoviti proizvod vektora a, b i c. [ a, ] b, c = a b c naziva Slika 1.18: Kada vektori a, b i c obrazuju desni trijedar onda je mešovit proizvod a b c jednak zapremini paralelopipeda konstruisanog nad vektorima a, b i c. Površina bazisa je B = a b visina paralelograma je jednaka skalarnoj projekciji vektora c na vektor a b pa je V = B H V = a b a b c a = b V = a b c a b c Tri vektora a, b i c su komplanarna linearno zavisna ako i samo ako je njihov mešoviti proizvod jednak nuli, tj. a b c = 0 a 0, b 0, c 0 Osobine mešovitog proizvoda [ 1. a, ] [ b, c = c, a, ] [ ] b = b, c, a - mešovit proizvod se ne menja pri cikličnoj permutaciji argumenata [. a, ] [ ] b, c = b, a, c - mešovit proizvod menja znak ako dva argumenta zamene mesta 33

34 3. 4. [ α a, ] b, c [ a + a 1, b, c [ = α ] a, ] b, c - homogenost [ = a, ] [ b, c + a 1, ] b, c - aditivnost 1. Dokazati da su vektori a, b i c komplanarni ako važi a b + b c + c a = 0 a b + b c + c a = 0/ a a b a + b c a + c a a = 0 b c a [ ] b, c, a = 0. Neka su dati vektori V 1 = a + b + c, V = a b + c, V 3 = 4 a + b + 5 c. Pokazati da su komplanarni. V 1 = a + b + c V = a b + c V 3 = 4 a + b + 5 c [ V1, V, V ] 3 = 0 V1 V V 3 = 0 V 1 V = a + b + c a b + c = 3 a b + a c + 4 b c = a a a b + a c + b c 34

35 V1 V V [ 3 = 3 a ] b + a c + 4 b c 4 a + b + 5 c = 1 a b a 3 a b b 15 a b c + 4 a c a + a c b + 5 a [ = 15 a, ] [ b, c + a, c, ] [ ] [ b + 16 b, c, a = 15 a, ] [ b, c a, ] [ b, c + 16 a, ] b, c = 1.6 Vektori i koordinate a = x i + y j = x, y Koordinate nekog vektora su koordinate njegovog vrha, pri čemu se početak tog vektora nalazi u koordinatnom početku. Slika 1.19: AB = OB OA = x1 i + y 1 j y 1 y j = x 1 x, y 1 y x i + y j = x 1 x i + Koordinate vektora u ravni ili u prostoru dobijaju se tako što od koordinata vrha oduzmemo koordinate početka. A 5, ; B 0, 3 AB = 0 5, 3 = 5, 1 35

36 Slika 1.0: 1.7 Operacije sa vektorima zadatim koordinatama a = x, y b = x1, y 1 a + b = x + x 1, y + y 1 k a = kx, ky Slika 1.1: 1. Neka je dat trougao A 1, 0 ; B, ; C 3, 5. Odrediti vektore granica kao i težište trougla. AB = 1, 36

37 BC = 1, 7 CA =, 5 OT = OT = OA+ OB+ OC 3 1,0+,+3, 5 3 OT = 1 3 6, 3 Slika 1.: OT =, 1 37

38 . Neka je data duž sa krajevima A 1, 3 ; B 4, 0. Odrediti tačku na ovoj duži koja je deli u odnosu 3 :. OC = x, y Slika 1.3: OC = 5OA + 3 5OB = 5 1, , 0 = 14 5, Neka su date tačke A 1, 3 ; B 4, ; C 3, 3. Odrediti četvrto teme paralelograma ABCD. BD = BA + BC x 4, y = 5, 1 + 1, 5 = 6, 4 x 4 = 6 y = 4 x = y = } D, } Pokazati sa su tačke A 4, 3 ; B 5, 0 ; C 5, 6 ; D 1, 0 temena trapeza. 38

39 BC AD BC = 10, 6 AD = 5, 3 BC = k AD k = BC = AD 1.8 Skalarni proizvod u koordinatama Data su dva vektora: a = a 1, a, a 3 = a 1 i + a j + a 3 k b = b1, b, b 3 = b 1 i + b j + b 3 k a b = a 1 i + a j + a 3 k b 1 i + b j + b 3 k = a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 Primer. Odrediti ugao izmed u vektora a = 3, 1 i b = 4,. a = 3, 1 b = 4, a b = 1 = 10 a = a a = = 10 a = 10 b = 0 39

40 b = 5 cos α = a b a b = = 1 = α = 45 Formula za rastojanje izmed u dve tačke A x, y i B x 1, y 1 : d A, B = AB = x 1 x + y 1 y AB = x 1 x, y 1 y 1. Izračunati dužinu duži AB, A =, 1, B = 3, 4. Rešenje. AB = AB = 1, 3 = 10. Data su dva temena paralelograma A = 3, 5, B = 1, i presek dijagonala O = 1, 1. Odrediti koordinate ostalih temena i pokazati da je dati paralelogram romb. Rešenje. A = 3, 5 B = 1, O = 1, 1 D = x, y BD = BO x 1, y + =, 1 = 4, 40

41 { x 1 = 4 y + = { x = 3 y = 0 AC = AO x + 3, y + 5 =, 4 = 4, 8 { x + 3 = 4 y + 5 = 8 { x = 1 y = 3 C = 1, 3 D = 3, 0 AB = 4, 3 = = 5 AD = 0, 5 = = 5 OA OB OA =, 4 OB =, 1 OA OB = = 0 Domaći 3. Dokazati da su vektori a = 10, 5, 10, b = 11,, 10, c =, 14,?, ivice kocke. 41

42 4. Data su temena trougla A = 1,, 4, B = 4,, 0, C = 3,, 1. Odrediti uglove α i β. Rešenje. AB = 3, 0, 4 AC = 4, 0, 3 AB = 5 AC = 5 AB AC = = 0 cos α = α = 90 AB AC AB AC = 0 α = β = Vektorski proizvod u koordinatama Data su dva vektora: a = a 1, a, a 3 = a 1 i + a j + a 3 k b = b1, b, b 3 = b 1 i + b j + b 3 k a i j k b = a 1 a a 3 b 1 b b = a a 3 b b 3, a 1 a 3 b 1 b 3 3 Osobine: 1. Antikomutativnost, a 1 a b 1 b 4

43 i j k b a = b 1 b b 3 a 1 a a = i j k a 1 a a 3 3 b 1 b b = 3. Homogenost k a i j k b = ka 1 ka ka 3 b 1 b b = i j k a 1 a a 3 3 b 1 b b = k 3 3. Aditivnost a + b c = a c + b c i j k a 1 + b 1 a + b a 3 + b 3 c 1 c c 3 a b a b = i j k a 1 a a 3 c 1 c c 3 + i j k b 1 b b 3 c 1 c c = 3 1. Odrediti površinu trougla odred enog tačkama A = 6, 3, 1, B = 3, 6, 1, C = 1, 3, 6. Rešenje. AB = 3, 3, 0 AC = 5, 0, 5 P = 1 AB AC AB AC = i j k = 15, 15, 15 = 15 1, 1, 1 P = , 1, 1 = 15 1, 1, 1 = 15 3 P ABC = 15 3 Domaći. A = 1,, 1, B = 4, 3, 3, C = 3, 0, 5. 43

44 3. A = 1, 1,, B = 5, 6,, C = 1, 3, 1. Naći visinu i dužinu iz temena B. 4. Izvesti formulu za površinu trougla u ravni preko koordinata njegovih temena. Rešenje. A x 1, x ; B y 1, y ; C z 1, z AC = z 1 x 1, z x AB = y 1 x 1, y x P = AC AB i j k P = 1 z 1 x 1 z x 0 y 1 x 1 y x 0 = 1 z 1 x 1 z x y 1 x 1 y x = 1 z 1y z 1 x x 1 y + x 1 x z y 1 + z x 1 + x y 1 x 1 x = z 1 z 1 1 y 1 y 1 x 1 x Mešoviti proizvod u koordinatama a = a 1, a, a 3 = a 1 i + a j + a 3 k b = b1, b, b 3 = b 1 i + b j + b 3 k c = c 1, c, c 3 = c 1 i + c j + c 3 k a i j k b = a 1 a a 3 b 1 b b = a a 3 b b 3 3, a 1 a 3 b 1 b 3, a 1 a b 1 b 44

45 [ a, ] b, c a 1 a a 3 b 1 b b 3 c 1 c c 3 V = = a 1 a a 3 b 1 b b 3 c 1 c c 3 a a b c = c a 3 1 b b 3 c a 1 a 3 b 1 b 3 + c 3 a 1 a b 1 b = 1. Za koju vrednost parametra m tačke A = m,, 1, B = 0, m, 5, C = 1,, m i D =, 1, 3 pripadaju istoj ravni. DA = m, 1, 4 DB =, m 1, DC = 3, 1, m 3 [ DA, DB, DC ] = 0 m 1 4 m m 3 = 0 m m 1 m m 1 m + m 3 = m 3m + m 3 + 1m + 1 m m 6 = m 3 3m + m 3m + 9m 6 + 1m + 1 m m 6 = m m 6 m 6 = m 1 m 6 = m 1 m + 1 m 6 m 1 m + 1 m 6 = 0 m {1, 1, 6}. Odrediti zapreminu tetraedra čija su temena A =, 3, 5, B = 0,, 1, C =,, 3, D = 3,, 4. 45

46 36 AD = 1, 5, 1 AC = 4, 1, AB =, 5, 4 V P = = = 36 = V t = 1 6 V P V t = V t = Zapremina tetraedra je 5. Tri njegova temena su A =, 1, 1, B = 3, 0, 1, C =, 1, 3. Naći četvrto teme, ako se zna da je ono na y osi. Rešenje. A =, 1, 1, B = 3, 0, 1, C =, 1, 3. D = 0, y, 0. AB = 1, 1, AC = 0,, 4 AD =, y 1, y 1 1 V t = 5 V P = 6 5 = 30 = y 1 = 4y + 46

47 4y + = 5 6 = y + = 30 4y = 8 y = 7 D = 0, 7, 0. 4y + = 30 4y = 3 y = 8 D = 0, 8, 0 4. Odrediti vektor r koji je normalan na vektore a = 4,, 3, b = 0, 1, 3, sa osom O y gradi tup ugao i r = 6. Rešenje. a = 4,, 3 b = 0, 1, 3 r = 6 r = x, y, z 1. r a r b r = λ a b a b = i j k = i j + 4 k = 3, 1, 4 47

48 r = λ 3, 1, 4. r, O y > π r, j > π, j O y j = 0, 1, 0 r j < 0 λ 3, 1, 4 0, 1, 0 = 1λ < 0 λ > 0 3. r = 6 r = λ = 13 λ 13 λ = 6 λ = λ = hspace8mm λ = λ = r = 3, 1, 4 = 6, 4, 8 4. Dati su vektori a =, 4,, b = 1, 1,, c = 1,, 3. Naći vektor d d a, d c koji sa vektorom b gradi oštar ugao. Zapremina paralelopipeda odred enog vektorima b, c i d je 140. Rešenje. 1. d a, c d a d c d = λ a c 48

49 a c = 4 j 8 k i j k d = λ 16, 4, 8 d = 4λ 4, 1, a c d 1 4 a c d 4, 1, d. b, d < π = i j 6 + k 4 4 = 16 i d b > 0 4λ 4, 1, 1, 1, > 0 λ > 0 λ < 0 4λ = 140 4λ = λ = 140 λ = 1 λ = 1, λ = 1 λ < 0 λ = 1 d = 16, 4, 8 49

50 5. Odrediti vektor d koji je noemalan na vektore a = 4, 1, 1, b = 6, 0,, sa vektorom c = 1,, 3 gradi oštar ugao, a sa vektorima c i b obrazuje paralelopiped zapremine 4. Rešenje. a = 4, 1, 1 b = 6, 0, d a d b d = λ a b a b = i j k = i j k = i j 6 k a b =,, 6 d, c < π d c > 0 λ 1, 1, 3 1,, 3 > 0 λ 1,, 9 > 0 10λ > 0 λ < 0 λ = 4 λ = 4 4 λ = 4 λ = 1 λ = 1, λ = 1 λ < 0 λ = 1 50

51 d = 1, 1, 3 Domaći. 6. Odrediti vektor d koji je noemalan na vektor a = 8, 15, 3 sa osom O x gradi oštar ugao i d = 51. Rešenje. d = 45, 4, 0 7. Dati su vektori a = λ, 1, 1 λ, b = 1, 3, 0, c = 5, 1, Odrediti λ tako da vektor a zaklapa jednake uglove sa b i c. Za tako odred eno λ odrediti ugao vektora c prema ravni odred ene vektorima b i a.. Za tako odred eno λ odrediti zapreminu piramide, kao i visinu koja odgovara jednoj od strana piramide. Rešenje. 1. cos a, b = a b a b cos a, c = a c a c cos a, b = cos a, c = a b a b = a c a c = λ,1,1 λ 1,3,0 4λ +1+1 λ 1+9 = λ+3 5λ + λ+ 10 = λ,1,1 λ5, 1,8 4λ +1+1 λ λ 1+8 8λ 5λ + λ+ 90 / λ + λ + 6λ + 9 = λ + 7 8λ = λ = 1 4 cos π ϕ = c a b c a b 51

52 cos π ϕ = 5, 1,8 9 4, 3 4, = = π ϕ = arc cos arc sin V = V = B H 3 = = 1 6 H = 3 V B B = a b = 9 4i 3 4j + 5 4k = 190 = = = ϕ = π arc cos = ϕ = = H = 3V a b = = = = = 1, 9 8. Dokazati a b c = a c b b c a a = a 1, a, a 3 b = b1, b, b 3 c = c 1, c, c 3 a i j k b = a 1 a a 3 b 1 b b 3 = a a 3 b b 3, a 1 a 3 b 1 b 3, a 1 a b 1 b 5

53 a i j k b c = a a 3 b b 3 a 1 a 3 b 1 b 3 a 1 a b 1 b = c 1 c c 3 a 1 a 3 b 1 b 3 a 1 a b 1 b c c 3, a a 3 b b 3 a 1 a b 1 b c 1 c 3, a a 3 b b 3 a 1 a 3 b 1 b 3 c 1 c a c = a 1 c 1 + a c + a 3 c 3 b c = b1 c 1 + b c + b 3 c 3 a c b b c a = a 1 c 1 + a c + a 3 c 3 b 1, b, b 3 b 1 c 1 + b c + b 3 c 3 a 1, a, a 3 = a 1 c 1 + a c + a 3 c 3 b 1 b 1 c 1 + b c + b 3 c 3 a 1, a 1 c 1 + a c + a 3 c 3 b b 1 c 1 + b c + b 3 c 3 a, a 1 c 1 + a c + a 3 c 3 b 3 b 1 c 1 + b c + b 3 c 3 a 3 9. Dati su vektori a = 8, 4, 1 ; b =,, 1 ; c = 1, 1, 9. Odrediti projekciju vektora vecc na ravan odred enu vektorima a i b. Rešenje. x c a, b { x c a = 0 x c b = 0 x = α a + β b = 8α + β, 4α β, α + β { 8α + β 1, 4α β 1, α + β 9 8, 4, 1 = 0 8α + β 1, 4α β 1, α + β 9,, 1 = 0 { 81α + 9β 1 = 0 9α + 9β 9 = 0 { α = 1 6 β =

54 Slika 1.4: x = 1 6 a b 1.11 Prava u ravni Skup tačaka u ravni je prava akko je definisana jednačinom Ax + By + C = 0. x 0, y 0 p A, B p x, y p x x 0, y y 0 A, B 54

55 A x x 0 + B y y 0 = 0 Ax + By + C = 0, C = x 0 A y 0 B Ax + By + C = 0 { Ax0 + B 0 y + C = 0 Ax + By + C = 0 A x x 0 + B y y 0 = 0 x x 0, y y 0 A, B p : Ax + By + C = 0 - implicitni oblik jednačine prave A, B - vektor položaja prave p. x 0, y 0 p A x x 0 + B y y 0 = 0 - jednačina prave kroz tačku x 0, y 0 koja je normalna na vektor A, B. Vektor položaja neke prave nije jedinstven, ali su svi vektori položaja med usobno kolinearni. 1. Odrediti jednačinu prave koja je paralelna sa pravom x 6y + 5 = 0 i prolazi kroz tačku 1, 1. Rešenje. A = B = 6 p : x y 1 = 0 p : x 6y + 4 = 0 p : x 3y + = 0. Odrediti parametar m tako da prava 3x + 5y 1 = 0 bude paralelna, odnosno normalna na pravu 4x + my = 0. Rešenje. 55

56 a 3x + 5y 1 = 0 4x + my = = 5 m m = 0 3 b 3, 5 4, m 3, 5 4, m = m = 0 m = Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku 1, 5 i na koordinatnim osama odseca odsečke jednake dužine. Rešenje. A x x 0 + B y y 0 = 0 x y 5 = 0 x + y 4 = 0 4. Odrediti tačku simetričnu sa tačkom 3, 3 u odnosu na pravu x + y 4 = 0. q : A x 3 A y 3 = 0/ : A q : 1 x 3 y 3 = 0 x y + 3 = 0 B x 1, y 1 x 1 + y 1 4 = 0 x 1 y = 0 } 56

57 x 1 = 1 y 1 = } B = A+A 1, = 3, 3 + A 1, 3, 3 = A A = 1, 1 4. Odrediti jednačinu simetrale duži čiji su krajevi A, 3 i B 1, 5. I način: C = A+B s AB s C = 1, 4 AB = 3, s s : 3 x 1 + y 4 = 0 3x + y 13 = 0 6x + 4y 13 = 0 II način: skup tačaka u ravni jednako udaljen od temena-simetrala M x, y s d A, M = d B, M x + y 3 = x y 5 / 57

58 x 4x y 6y + 9 = x + x y 10y + 5 6x + 4y 13 = 0 5. Odrediti težište, ortocentar i centar opisanog kruga u ABC : A, 1, B,, C 3, 1 OT = 1 3 OA + OB + OC T = 1 3 A + B + C T = T = 1, 3,1+,+3, 1 3 BC = 5, 3 h a : 5 x 3 y 1 = 0 h a : 5x 3y 7 = 0 AC = 1, h b : x + y = 0 h b : x y + 6 = 0 5x 3y 7 = 0 x y + 6 = 0 } x = 3 7 y = 37 7 H 3 7, 37 7 BC = 5, 3 } 58

59 A = 3, 1+ = 1, 1 s a : 5 x 1 3 y 1 = 0 s a : 5x 3y 1 = 0 B = 3+, 1+1 = 5, 0 AC = 1, s b : 1 x 5 y 0 = 0 s b : x y 5 = 0 5x 3y 1 = 0 x y 5 = 0 } x = y = 3 14 O 11 14, 3 14 T = 1, 3 H 3 7, 37 7 O 11 14, 3 14 } y 3 = x y 3 = x 1 y 3 = y 3 = y = x x 1 x 1 59

60 3 14 = = = = = 1 Domaći. 6. Odrediti težište, ortocentar i centar opisanog kruga u ABC : A 3,, B 4, 5, C 4, Pramen pravih Definicija Pod pramenom pravih podrazumevamo skup svih tačaka koje prolaze kroz datu tačku. { Ax + By + C = 0 Ako je pramen odred en pravama onda opšti A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 element pramena ima oblik: Ax + By + C + α A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 1. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz presek pravih { x + y 6 = 0 i sadrži tačku 0, 3. x 3y + 4 = 0 Rešenje. x + y 6 + α x 3y + 4 = α = 0 3 5α = 0 α =

61 x + y x 3y + 4 = 0 10x + 5y 30 3 x 3y + 4 = 0 p : 7x + 14y 4 = 0/ : 7 p : x + y 6 = 0. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz presek pravih { x + y 6 = 0 x 3y + 4 = 0 i a paralelna je sa pravom 3x y + 1 = 0 b normalna je na pravu x 3y + 1 = 0 Rešenje. a { x + y 6 = 0 x 3y + 4 = 0 x + y 6 + α x 3y + 4 = 0 x + y 6 + αx 3αy + 4α = 0 + α x + 1 3α y α = 0 + α, 1 3α 3, 1 +α 3 = 1 3α 1 / 3 α = 3 9α α = 5 8 p : x + y x 3y + 4 = 0 16x + 8y x 15y + 0 = 0 1x 7y 8 = 0/ : 7 61

62 3x y 4 = 0 b + αx + 1 3α y α = 0 + α, 1 3α, 3 = 0 + α 3 1 3α = α 3 + 9α = 0 α = 1 11 x + y x 3y + 4 = 0 x + y x 3y + 4 = 0 x + 11y 66 x 3y + 4 = 0 1x + 14y 70 = 0 7x + y 10 = 0 3. Odrediti jednačinu prave koja sadrži presečnu tačku pravih x + 7y 8 = 0 i 3x + y + 5 = 0 i sa pravom x + 3y 7 = 0 gradi ugao od 45. Rešenje. x + 7y 8 + α 3x + y + 5 = 0 + 3αx αy + 5α 8 = αy = 8 5α + 3α x y = +3αx+8 5α 7+α y = +3α 7+α x + 8 5α 7+α 6

63 x + 3y 7 = 0 3y = 7 x y = 7 x 3 y = x k 1 = +3α 7+α k = 3 tg α = k k 1 1+k 1 k tg 45 = 1 = 5α 8 1α α+6+9α 37+α 1+6α+4+6α 37+α = α 7+α 7+α α 1. 5α 8 = 1α + 5 7α = 33 α = 33 7 x + 7y x + y + 5 = 0 14x + 49y 56 99x 66y 165 = 0 85x 17y = 0 85x + 17y 109 = 0. 5α + 8 = 1α

64 17α = 17 α = 1 x + 7y 8 3x + y + 5 = 0 x + 7y 8 3x y 5 = 0 x + 5y 13 = 0 x 5y + 13 = Odstojanje tačke od prave p : Ax + By + C = 0 a = x 0 x, y 0 y a n = n d jer je d = a cos x, y d = a n n = a n A = Ax 0 x+by 0 y +B A = Ax By+Ax 0+By 0 +B A +B Ax+By+C A +B = Ax By C A +B = d = Ax+By+C A +B x 0, y 0 p Ax 0 + By 0 + C = 0 Ax 0 + By 0 = C 1. Odrediti odstojanje tačke, 3 od prave 3x y + 5 = 0. Rešenje., 3 3x y + 5 = 0 64

65 d = = Odrediti jednačine simetrala uglova koje grade prave x+y+ = 0 i x + 7y + 3 = 0. Rešenje. { p : x + y + = 0 q : x + 7y + 3 = 0 dp = dq x+y = x+7y x+y+ = x+7y x + y + = x + 7y x + y + = x + 7y + 3 4x y + 7 = 0. 5 x + y + = x + 7y + 3 6x + 1y + 13 = 0 3. Odrediti odstojanje izmed u pravih 4x 3y + 15 = 0 i 8x 6y + 5 = 0. Rešenje. One su paralelne, jer je 4 : 8 = 3 : 6 0, 5 p p : 4x 3y + 15 = 0 65

66 d = = 5 10 = 1 4. Odrediti jednačinu prave koja je puta bliža pravoj 4x 3y + 15 = 0 nego pravoj 8x 6y + 5 = 0. Rešenje. d 1 = d 4x 3y = 8x 6y x 3y+15 5 = 8x 6y x 3y + 15 = 8x 6y x 3y + 15 = 8x 6y x 1y + 60 = 8x 6y + 5 8x 6y + 35 = 0. 16x 1y + 60 = 8x 6y + 5 x 18y + 85 = 0 5. Ako su A 4, 5 i B, 9 dva temena trougla ABC odrediti geometrijsko mesto tačaka C tako da je P ABC = 50. Rešenje. AB =, 14 1, 7 AB : 7 x 4 + y + 5 = 0 7x + y 3 = 0 P = AB h c P = 1 +7 h c = 50 5 h c = 50 h c = 10 66

67 7x+y = 10 7x + y 3 = x + y 3 = 50 7x + y 73 = 0. 7x + y 3 = 50 7x + y + 7 = 0 6. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz presek pravih { x y 1 = 0 a od tačke, 1 je udaljena za d = 3 3x + y 4 = 0 5. Rešenje. x y 1 + α 3x + y 4 = 0 p : + 3αx + α 1y + 4α 1 = 0 d = α +α α 1 +3α +α 1 = 3 5 / α α + 1 4α 1 = α + 9α + α α α + 10α 7 = 0 α 1, = 10± α 1, = 10±4 34 α 1 = 1 α =

68 α 1 = 1 p : x y + 3 = 0, p : x + y 3 = 0 α = 7 17 p : 11x y 9 = 0 7. Na pravoj p : x y +8 = 0 odrediti tačku jednako udaljenu od tačke 8, 3 i prave 3x + 4y 11 = 0. Rešenje. p : x y + 8 = 0 A 8, 3 q : 3x + 4y 11 = 0 d 1 = d A x, y { x 8 + y 3 = 3x+4y 11 5 x y + 8 = 0 x = y 8 y 16 + y 3 = 10y 35 5 / 4y 64y y 6y + 9 = 100y 700y y 1750y = 100y 700y y 1050y = 0/ : 5 y 4y + 16 = 0 y 1, = 4± y 1, = 4±30 68

69 { 36 y = 6 x = { 64 4 A 1 64, 36, A 4, 6 8. Odrediti centar upisanog kruga i njegov poluprečnik u trouglu čija su temena A 3, 5, B 5, 3, C 4, 4. Rešenje. CA = 7, 1 CB = 1, 7 AB = 8, 8 = 8 1, 1 k = CA CA + CB CB Slika 1.5: 6 5 1, 1 69 = , 1 + 1, 7 = 1 5 6, 6 =

70 1, 1 1, 1 1, 1 x 4 y 4 = 0 x y = 0 AB = 8, 8 AC = 7, 1 1 k1 = AB + AC AB AC 1 5, 6 5, 1 = 8, , 5 = 1, 1 7, = , =, 1 1, x y 5 = 0 x + y 7 = 0 { x + y 7 = 0 x y = 0 x = y 3y 7 = 0 { x = 7 3 y = 7 3 O 7 3, 7 3 AB : x y 5 = 0 x + y = 0 70

71 r = = Ugao izmed u dve prave Ugao izmed u dve prave je oštar ugao koje one zaklapaju n 1, n = α 1 cos α = cos α 1 cos α = n 1 n n 1 n 1. Odrediti ugao izmed u pravih 3x y + 5 = 0 i x + y 7 = 0. Rešenje. n 1 = 3, 1 n =, 1 cos α = n 1 n n 1 n = = 5 50 = 1 α = π Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz presek pravih { x + 3y 3 = 0 i sa pravom 3x+3y 1 = 0 gradi ugao cos α = x + y 1 = 0 Rešenje. x + 3y 3 + α x + y 1 = 0 + α x αy + 3 α = 0 n 1 = + α, 3 + α n = 3, 3 cos α = n 1 n n 1 n = +α,3+α3,3 +α +3+α 3 = 15+6α +3 3 α = 5 +10α / 71

72 34 36α + 180α + 5 = 5 18 α + 10α α 45α + 50 = 0 { 10 α 1, = 45±15 18 = x x + 19y 19 = 0 y = x y = 0 11x + 14y 14 = 0 Domaći. 3. Odrediti ravan koja sadrži presečnu tačku pravih 5x 4y 6 = 0 i x y 1 = 0, a sa pravom x y + 3 = 0 gradi ugao 45. Rešenje: x 3y + 1 = 0 Eksplicitni oblik jednačine prave: y = kx + n n je odsečak na y osi, k je koeficijent pravca k = tg α p 1 : y = k 1 x + n 1 p : y = k x + n ϕ = p 1, p ϕ = ϕ ϕ 1 Uzima se ϕ = ϕ ϕ 1, da bi se izbegao slučaj ϕ < ϕ 1 tg ϕ = tg ϕ ϕ 1 7

73 tg ϕ = tg ϕ tg ϕ 1 1+tg ϕ tg ϕ 1 tg ϕ = k k 1 1+k 1 k - ugao izmed u pravih p 1 p ϕ = π tg ϕ = 1 + k 1 k = 0 k 1 = 1 k p 1 p k 1 = k Parametarski oblik jednačine prave: x, y p A, B x x 0, y y 0 x x 0 A = y y 0 B x = A t + x 0 y = B t + y 0 p A, B = t } - Parametarski oblik jednačine prave Segmentni oblik jednačine prave: - x n + y m = 1 Ax + By + C = 0 Slika 1.6: 73

74 Ax + By = C x C A + y C B = 1 1. Odrediti jednačinu prave koja sadrži presek pravih x+y+1 = 0 i x y + = 0 i na koordinatnim osama odseca odsečke jednake po apsolutnoj vrednosti. Rešenje. x + y α x y + = 0 + α x + 1 αy α = 0 C A 1+α +α = C B = 1+α 1 α 1. 1+α +α = 1+α 1 α 1 + α 1 α = 1 + α + α 1 + α 1 α α = α = 0 α = 1. 1+α +α = 1+α α α α 1 = 1 + α + α 1 + α α 1 α = α = 0 α = 1 1 x y + 0 = 0 3 x + 3 y = 0 74

75 1.15 Kružnica d A, O = r x p + y q = r/ Slika 1.7: x p + y q = r - jednačina kružnice { x = x t y = y t { x = r cos t y = r sin t t = ϕ Pr. Odrediti jednačinu kružnice kojoj je duž AB prečnik, pri čemu je A 1, 1 i A 5, 3. O 3, r = A, O = = 5/ 75

76 K : x 3 + y = 5 Pr. Naći jednačinu kružnice koja prolazi kroz tačku 3, 6 i koncentrična je sa kružnicom x + y + 6x 4y 6 = 0. x + y + 6x 4y 6 = 0 x y 4 6 = 0 x y = 75 O 3, r = A, O = x y = = 100 = 10 -Potencija tačke u odnosu na krug Slika 1.8: Teorema 1.. Neka prava p koja sadrži tačku A seče krug u tačkama A 1 i A. Tada proizvod AA 1 AA ne zavisi od prave p. Proizvod AA 1 AA naziva se pontecijom tačke A u odnosu na krug K. Ako je t 76

77 dužina tangente duži povučene iz tačke A na krug K tada je pontencija tačke A jednaka t. AA A 1 AA 1 A jer je A je zajednički, A = A kao periferijski ugao nad istom tetivom AA AA = AA 1 AA 1 AA AA 1 = AA 1 AA Slika 1.9: Pr. Odrediti jednačinu kruga koji seče y-osu u tačkama 0, 1 i 0, 3 i koji dodiruje x-osu. x p + y q = r x p + y 7, 5 = 7, 5 x = 0, y = 3 p = 36 p = ±6 77

78 K : x 6 + y 7, 5 = 7, Uslov dodira prave i kruga k O, r k : x p + y q = r p : Ax + By + C = 0 Ap+Bq+C A +B = r - uslov dodira prave i kruga Definicija Ugao uzmed u dve krive u zajedničkoj tački A je ugao izmed u njihovih tangenti u toj tački. Teorema 1.3. Prava y = kx + n je tangenta na krug x + y = r, ako je r 1 + k = n, a kruga x a + y b = r ako je r 1 + k = ka b + n. Teorema 1.4. Ako je M x 1, y 1 neka tačka kruga x a +y b = r jednačina tangente kruga u toj tački glasi x a x 1 a+y b y 1 b = r. 1. Odrediti jednačinu tangente kroz tačku A 4, 3 na kružnicu x + y x + 4y = 0. x x y + 4y = 0 x 1 + y + = 5 t : Ax + By + C = 0 A t 4A + 3B + C = 0 C = 4A 3B 78

79 1 A B+C A +B = 5 A B+4A 3B A +B = 5/ A + B A B + 4A 3B = 5 A + B / 5 A AB + B = 5 A + B 5A 50AB + 5B = 5A + 5B 4A 10AB + 4B = 0/ : B 4 A B 10 A B + 4 = 0/ : A B 5 A B + = 0 A B1, = 5± = 5±3 4 A B 1 = 1 A B = 8 4 = C = 4A 3B C B = 4 A B 3 C B 1 = = 1 C B = 4 3 = 5 t : Ax + By + C = 0/ : B A B x + y + C B = 0 1 x + y 1 = 0/ 79

80 t 1 : x + y = 0 t : x + y + 5 = 0 1. Pod kojim uglom se seku prava x 3y 5 = 0 i krug x +y = 5. { x + y = 5 x 3y 5 = 0 x = 3y + 5 3y y = 5 9y + 30y y = 5 10y + 30y + 0 = 0/ : 10 y + 3y + = 0 y 1, = 3± 9 8 = 3±1 { y1 = y = 1 { x1 = 1 x = A, 1, B 1, t A : x y = 5 t A : x y 5 = 0 y = x 5 k t = x 3y 5 = 0 3y = x 5 y = 1 3 x 5 3 k = 1 3 tg α = = = = 1 tg α = 1 k t k 1+k t k

81 α = 45 α = π 4. Odrediti jednačinu tangente na krug x 3 + y 1 = 4 u tački A 1, x y 1 = 4 x 3 = 4 x + 6 = 4/ 1 x 6 = 4 x = x = 1 3.Naći jednačine tangenti kruga x + y 10x 1y + 36 = 0 koje su paralelne pravoj 4x 3y + 10 = 0. Rešenje. A, B = 4, 3 Ax + By + C = 0 4x 3y + 10 = 0 x 10x y 1y + 36 = 0 x 5 + y 6 = 5 p = 5, q = C 4 +3 = 5/ 5 + C = 5 81

82 1. + C = 5 C = 3 t 1 : 4x 3y + 3 = 0. C = 5 C = 7 t : 4x 3y 7 = 0 4. Napisati jednačinu kruga koji prolazi kroz tačke A, 9 ; B 4, 5 ; C 5, 8. Odrediti ugao koji tetiva AB zaklapa sa njim kao i tangente na krug iz tačke D 8, 4. Rešenje. k : x p + y q = r A k p + 9 q = r B k 4 p + 5 q = r C k 5 p + 8 q = r p + 4p q + q = r p + 8p q 10q + 5 = r p 10p q 16q + 64 = r { p + 4p + q 18q + 85 = p + 8p + q 10q + 41 p + 4p + q 18q + 85 = p 10p + q 16q + 89 { 4p 8q + 44 = 0/ : 4 14p q 4 = 0/ : { p + q 11 = 0 7p q = 0 8

83 q = 7p p + 14p 4 11 = 0 15p = 15 p = 1 q = 5 O 1, 5 r = d O, A = k : x = = = 5 = 5 t B : x y = 5 5 x 1 = 5/ 5 x 1 = 5 t B : x = 4 AB : y 9 = x + AB : y 9 = x + AB : y = x + 13 AB : x y + 13 = 0 cos ϕ = = 5 D 8, 4 t : Ax + By + C = 0 8A + 4B + C = 0 C = 8A 4B 83

84 A+5B+C A +B = 5/ A + B 5 A + B = A + 5B 8A 4B / 5 A + B = B 14AB + 49A 4A + 14AB + 4B = 0/ : B 1 A B 7 A B 1 = 0 A B1, = 7± = 7±5 4 A B 1 = 4 3 A B = 3 4 C = 8A 4B/ : B C B = 8A B 4 C B 1 = = 44 3 C 3 B = = t : 8A + 4B + C = 0/ : B t : 8 A B C B = 0 Ax + By + C = 0 t 1 : 4 3 x + y 44 3 = 0/ 3 4x + 3y 44 = 0 t : 3 4x + y + = 0/ 4 3x 4y 8 = 0 84

85 1.17 Elipsa Elipsa je geometrijsko mesto tačaka u ravni sa osobinom da je zbir rastojanja ma koje tačke tog skupa od dve fiksne tačke F 1 F žiže elipse te ravni ima konstantnu vrednost. F 1 F - velika osa elipse simetrala duži F 1 F - mala osa elipse M x, y - proizvoljna tačka elipse d M, F 1 + d M, F = a = d F 1 = c, 0, F = c, 0, 0 < c < a, F 1 F = c x + c + y + x c + y = a/ x + c + y + x c + y = 4a x a + y a c = 1 smena a c = b x a + y b = 1 - jednačina elipse Veličina e = c a naziva se ekscentricitet elipse. c = a b Prave x = a e i x = a a e, tj. kada se zameni x = c i x = a c nazivaju se direktrise elipse. Direktrisa x = a e odgovara žiži F = c, 0, a direktrisa x = a e odgovara žiči F 1 = c, 0. Količnik rastojanja od proizvoljne tačke elipse M = x, y do žiže i rastojanja od te tačke do odgovarajuće direktrise je konstantan i jednak je ekscentricitetu e. Parametarske jednačine elipse: { x = a cos t. y = b sin t Krug je elipsa kod koje je b = a, tj. c = 0. 85

86 Slika 1.30: 1. Duž AB klizi krajem A po osi O y, a krajem B po osi O x. Ako je AB = 1 odrediti geometrijsko mesto tačaka koje duž AB deli u odnosu : 1. Slika 1.31: OC = 3OB + 1 3OA = 3 t, , t 1 = 3 t, 1 3 t 1 = x, y x = 3 t y = 1 3 t 1 t = 3 x t 1 = 3y t + t 1 = 3 x + 3y = 9 4 x + 9y 86

87 t + t 1 = x + 9y = 144/ : x + y = 16/ : 16 x 64 + y 16 = Optičko svojstvo elipse Problem: Neka je data prava p i tačke A i B sa iste strane prave p na kojoj treba da se nalazi tačka C tako da zbir AB + CB bude najmanji mogući. - Tačka C se dobija tako što se tačka simetrično preslika u odnosu na pravu p i pri tome se dobije tačka A 1. Tačka CO koju tražimo će se nalaziti u preseku prave p i prave AB. AC + CB - minimalno AC + C B > AC + CB Slika 1.3: 87

88 Slika 1.33: A 1 C = C A A 1 C + C B > A 1 B = A 1 C + CB A 1 C = CA A 1 C + C B > CA + CB AC + C B > CA + CB AC + C B > AC + BC Teorema 1.5. Svetlosni zrak koji prolazi iz jedne žiže date elipse posle odbijanja od nje proći će kroz drugu žižu ili drugim rečima tangenta na elipsu u njenoj proizvoljnoj tački gradi jednake uglove sa dužima koje tu tačku spajaju sa žižama. Opišimo krug k oko proizvoljne tačke M na elipsi, koji prolazi kroz F, i neka produžena duž F 1 M, preko tačke M, preseca krug k u tački H. Kako je M središte kruga k MF = MH F MH je jednakokraki, i simetrala t kroz M je tangenta elipse u tački M. 88

89 F 1 H = F 1 M + MH = F 1 M + MF = A 1 A Uzmimo neku drugu tačku L t, L M. Kako je t simetrala stranice F H, F MH LF = LH LF + LF 1 = LF 1 + LH > F 1 H LF 1 + LF > A 1 A. Svaka tačka L M, prave t je izvan elipse, a to znači da je prava t tangenta elipse u tački M. Iz F MH MF = MH Kako je t simetrala F MH F M, t = t, MH = t, MF 1 t, MF 1 = t, MF Tangenta na elipsu Tangenta je prava koja sa elipsom ima tačno jednu zajedničku tačku. x a + y b = 1 Ax + By + C = 0 y = C+Ax B zamenom u jednačini elipse dobija se A a + B b C = 0 A a + B b = C uslov dodira prave i elipse 1. Odrediti jednačinu elipse koja dodiruje prave 3x y 0 = 0 i x + 6y 0 = 0. x a + y b = 1 9a + 4b = 400 a + 36b = 400/ 9 30b = 300 b = 10 a = } 89

90 a = 40 x 40 + y 10 = 1. Odrediti tangente na elipsu x + 4y = 0 koje su paralelne, a zatim i one koje su normalne na ravan x y 13 = 0. x + 4y = 0/ : 0 x 0 + y 5 = 1 p : x y 13 = 0 t : Ax + By + C = 0 t p A, B =, t : x y + C = 0 x y + C = 0 x 0 + y 5 = = C 100 = C C = ±10 } t : x y ± 10 = 0/ : t : x y ± 5 = 0 t A, B, = 0 A B = 0 B = A 90

91 t : Ax + By + C = 0 0A + 5A = C 5A = C C = ±5A t : Ax + Ay ± 5A = 0/ : A t : x + y ± 5 = 0 3. Odrediti tangente na elipsu x + 3y = 1 u tački A 3, 1. x + 3y = 1/ : 1 x 1 + y 7 = 1 t : Ax + By + C = 0 A t 3A + B + C = 0 C = 3A + B 1 A B = C x 1 + y 1 3 = 1 1 A B = 9A + 6AB + B 3 A B 6AB = 0/ : 3 B A B 4 A B + 4 = 0 A B1, = 4± A B 1, = 91

92 3A + B + C = 0/ : B 3 A B C B = C B = 0 C B = 7 t 1, : 3x + 3 1y = 1/ : 3 t 1, : x + y 7 = 0 4. Neka su p, p 1 i t prave koje su tangente na elipsu x a + y b = 1, pri čemu su p i p 1 tangente u krajnjim tačkama velike ose. Ako su A i B presečne tačke ovih tangenti sa tangentom t pokazati da se duž AB iz proizvoljne žiže vidi pod pravim uglom. F 1 A F 1 B F 1 A F 1 B = 0 t : x 0x a + y 0y b = 1 p : x = a p 1 : x = a x 0 x a + y 0y b = 1 Slika 1.34: 9

93 x = a x 0 a + y 0y b = 1 y = ab +b x 0 ay 0 A a, ab +b x 0 ay 0 x 0 x a + y 0y b = 1 x = a y = b x 0 ab ay 0 y = ab b x 0 ay 0 B a, ab b x 0 ay 0 F 1 A = a + c, ab +b x 0 ay 0 F 1 B = a + c, ab b x 0 ay Hiperbola Definicija Hiperbola je geometrijsko mesto tačaka kod kojih je razlika rastojanja od dve fiksne tačke po modulu konstantna i jednaka a > 0. x a y b = 1 - jednačina hiperbole A a B b = c - uslov dodira prave i hiperbole 93

94 Slika 1.35: 1.1 Optičko svojstvo hiperbole Slika 1.36: Tangenta hiperbole u nekoj njenoj tački je simertala ugla koja se dobija kada se ta tačka kao teme spoji sa žižama. 1. Dokazati da je proizvod rastojanja tačke na hiperboliod njenih asimptota konstantan za datu hiperbolu. x a y b = 1 a 1 : y = b a x 0 = b a x y 94

95 a : y = b a x 0 = b a x + y Slika 1.37: d A, a 1 d A, a = b a x 0 y 0 b a + 1 = b x 0 a y 0 a b +a a b b +a = b a = ba x 0 a y 0 b +a = const b a x 0+y 0 b a +1 = b a x 0 y0 = b +a a. Dokazati da je deo tangente hiperbole koji se nalazi izmed u njenih asimptota prepolovljen dodirnom tačkom. x a y b = 1 t : x 0x a y 0y b = 1 y = b a x } x 0 x a y 0y b = 1 koor. tačke A 1 x = a b bx 0 +ay 0 = x 1 y = b a x } x 0 x a y 0y b = 1 95

96 a b x = a b ay 0 bx 0 = x 1 + x = 1 bx 0 b x 0 a y 0 a b bx 0 ay 0 = x a b bx 0 +ay 0 + = a bx 0 b x 0 a y 0 x 0 je sredina duži x 1 x. Slika 1.38: a b bx 0 ay 0 = a b = x 0 x 0 a y 0 b = x 0 bx 0 ay 0 +bx 0 +ay 0 bx 0 +ay 0 bx 0 ay 0 = 1. Parabola Definicija Parabola je geometrijsko mesto tačaka kod kojih je zbir rastojanja od date tačke žiže do date prave direktrise jednako. Ax + By + C = 0 y = px B p AC = 0 - uslov dodira prave i parabole 1. Iz tačke, povući tangente na parabolu y = 16x Ax + By + C = 0/ : B 96

97 Slika 1.39: A B x + y + C B = 0 A + B + C = 0 C = A B B 8 AC = 0 4B A A B = 0 B A + AB = 0/ : B A B + A B = 0 A B A B = 0 A B1, = 1± 1+8 A B 1, = 1±3 97

98 A B = { 1 C B = A B C B = { 4 1. x + y + = 0. x + y 4 = 0 x y + 4 = Tačka na paraboli A x 0, y 0 - tačka na paraboli y = px = px + px y 0 y = px 0 + px = p x 0 + x y 0 y = p x 0 + x - jednačina tangente na paraboli u tački x 0, y 0 1. Naći jednačinu normale parabole y = 1x u njenoj tački x 0, 6. 6 = 1x 0 x 0 = 3 3, 6 t : 6y = 6 x + 3 x + y + 3 = 0 98

99 1.4 Optičko svojstvo parabole Svetlosni zrak koji kreće iz žiže, posle odbijanja od parabole nastavlja kretanje paralelno sa osom parabole. Drugim rečima: Tangenta parabole u tački A gradi jednake uglove sa pravom AF i sa pravom koja prolazi kroz tačku A i paralelna je sa osom parabole. y = px t : y 0 y = p x 0 + x 0 = px y 0 y + px 0 Slika 1.40: AF : y 0 x p + p x 0 y = 0 AF : y 0, p x 0 s : y = y 0 y y 0 = 0 cos t, AF = p py 0 y 0 +x 0y 0 p +y0 = y p 0 x 0 + y0 + p x 0 p +y0 x 0 + p = y 0 p +y 0 99

100 cos t, s = p, y 00,1 = y 0 p +y 0 1 p +y0 cos t, AF = cos t, s 1.5 Translacija u koordinatnom sistemu Slika 1.41: Ako je u ravni ili prostoru zadat skup tačaka jednačinom F x, y, z = 0, tada skup tačaka koji je dobijen od ovog skupa tačaka, translacijom za dati vektor p, q, r ima jednačinu F x p, y q, z r = Napisati jednačinu prave koja se dobija translacijom prave x 3y + 1 = 0 za vektor 1,. x y + 1 = 0 x 3y + 9 = 0. x + x 3 y + y x = 0 za p, q x p + x p 3 y q + y q x p = Rotacija u koordinatnom sistemu 100

101 z = cos ϕ + i sinϕ = e iϕ z 1 = z cos ϕ + i sinϕ Slika 1.4: Ako tačku z u kompleksnoj ravni hoćemo da rotiramo oko koordinatnog početka, onda z treba pomnožiti sa cos ϕ + i sinϕ, gde je ϕ traženi ugao rotacije. z = + 3i 45 z 1 = z cos 45 + i sin 45 z 1 = + 3i + i z 1 = + i + 3 i 3 z 1 = + 5 i x, y = x, y cos ϕ, sin ϕ Slika 1.43: 101

102 Slika 1.44: x, y = x cos ϕ y sin ϕ, x sin ϕ + y cos ϕ { x = x cos ϕ y sin ϕ y = x sin ϕ + y cos ϕ Formule za rotaciju tačke x, y za ugao ϕ. 1.7 Opšta jednačina krivih drugog reda Opšta jednačina krivih drugog reda je oblika: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 Koriste se formule za rotaciju { x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α A x cos α y sin α +B x cos α y sin α x sin α + y cos α+ C x sin α + y cos α +D x cos α y sin α+e x sin α + y cos α+ F = 0 A cos α sin α + B cos α sin α + C sin α cos α = 0 - koeficijent uz x y. 10

103 8 A sin α + B cos α + C sin α = 0 C A sin α = B cos α C A B Zadaci cos α = sin α A C B 1. Odrediti šta predstavlja skup tačaka zadat jednačinom 5x + 4xy + 8y + 8x + 14y + 5 = 0. Rešenje. A C B = ctg α 5 8 = ctg α 4 = ctg α tg α = 4 tg α 3 ; tg α = 1 tg α 4 3 = tg α 1 tg α 4 + 4tg α = 6tg α tg α 3tg α = 0 { tg α 1/ = 3± = 3±5 1 4 = sin α = tg α 1+tg α = = 4 5 cos α = 1 1+tg α = = 1 5 x = x 1 5 y 5 y = x 5 + y 1 5 } sin α = 5 ; cos α = x 5 1 y 5 x 5 1 y 5 x 5 + y 5 1 x 1 5 y x 5 1 y = 0 +8 x 5 + y x 4 5 x y y +4 5 x x y 4 5 x y 5 y x x y y x 16 5 y x y + 5 = 0 9x + 4y x 5 y + 5 = 0 9 x y =

104 9 x y = x y = 9 4 x x y = 1 + y 1 = Slika 1.45:. Šta predstavlja kriva zadata jednačinom 3x 10xy+3y 16x+ 4 = 0? Rešenje. A C B 3 3 = ctg α 10 = ctg α ctg α = 0 α = π α = 45 x = x y 104

105 16 y = x + y 3 x x y y 10 x y x + y +3 x + y + 4 = x x y + 1 y 10 1 x 1 y +3 1 x + x y + 1 y 8 x + 8 y + 4 = 0 x + 8y 8 x + 8 y + 4 = 0 x + 4 x + 8 y + y + 4 = 0 x y = x y = 36 x + 18 y + 4 = 1 Slika 1.46: 3. 6xy + 8y 1x 6y + 11 = 0. A C B 8 = ctg α 6 = ctg α tg α =

106 3 4 = tg α 1 tg α 3 + 3tg α = 8tg α 3tg α 8tg α 3 = 0 { tg α 1/ = 8± = 8± = 3 3 tg α = 3 sin α = tg α 1+tg α = = 9 10 cos α = 1 1+tg α = = 1 10 } sin α = 3 10 ; cos α = x = x 1 10 y 3 10 y = x y x 1 10 y 3 x y x y x y 1 10 x 1 10 y = x 8 10 x y 3 10 y x x y x 6 10 y + 11 = 0 10 y 1 10 x y x x y y + 11 = 0 10 y x x y y 1 10 x y x 9x y x y + 11 = 0 9 x x y y + 11 = 0 9 x 5 10 y = 0 106

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije

Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacrs/mii Matematika i informatika (1) (013), 19-74 PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Mihailo Krstić, Student Departmana

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)

Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija

12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija 12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija Elementarna pitanja: 1. Nabrojati sve geometriske figure prikazane na slici ispod. [kocka, kvadar, četverostrana piramida, sfera

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost:

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost: Geometrija 3, drgi kolokvijm Prezime i ime, broj indeksa, grpa Skicirati sledeće površi i ispitati njihov reglarnost: a f, v sh cos v, sh sin v,,, v [ π, π]; b g, v, 3, v,, v R a b Rešenje a Iz oblika

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET. Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET. Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Marjan M. Matejiæ Lidija V. Stefanoviæ Branislav M. Ranðeloviæ Igor. Milovanoviæ MATEMATIKA KOMPLETI ZADATAKA ZA PRIJEMNI ISPIT 011. Edicija: Pomoæni ud benici Marjan

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!

!!# $ %% %$ & % !'!  #$! " "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

Vizualizacija prostora Lobačevskog

Vizualizacija prostora Lobačevskog Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Master rad Vizualizacija prostora Lobačevskog Marijana Babić Beograd, 2010. godine MENTOR Dr. Srdan Vukmirović ČLANOVI KOMISIJE Dr. Srdan Vukmirović Dr. Predrag

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

KLASIƒNI NAUƒNI SPISI GEOMETRISKA ISPITIVANJA IZ TEORIJE PARALELNIH LINIJA. N. I. LOBAƒEVSKOG

KLASIƒNI NAUƒNI SPISI GEOMETRISKA ISPITIVANJA IZ TEORIJE PARALELNIH LINIJA. N. I. LOBAƒEVSKOG S R P S K K M I J N U K KLSIƒNI NUƒNI SPISI KNJIG III MTMTIƒKI INSTITUT KNJIG 3 GOMTRISK ISPITIVNJ IZ TORIJ PRLLNIH LINIJ O N. I. LOƒVSKOG Preveo RNISLV PTRONIJVI RUGO, PRO IRNO IZNJ O G R 1951 Na²ao sam

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Zbirka zadataka

Matematika Zbirka zadataka Matematika Zbirka zadataka Kristina Devčić Božidar Ivanković Veleučilište Nikola Tesla u Gospiću Uvod Unaprijed se zahvaljujemo na svakom komentaru o propustima i nedosljednostima, a svaka primjedba glede

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive.

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

x y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k

x y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k Σύνοψη Κεφαλαίου 3: Προβολική Γεωμετρία Προοπτική. Εάν π και π 2 είναι δύο επίπεδα που δεν περνάνε από την αρχή O στο R 3, λέμε οτι τα σημεία P στο π και Q στο π 2 βρίσκονται σε προοπτική από το O εάν

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Tijana Šukilović Matematički fakultet, Univerzitet Beograd May 2, 2011, Beograd Sadržaj 1 Racionalne Bézier-ove krive Polinomijalne Bézier-ove krive Algoritam

Διαβάστε περισσότερα

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Orijentacija Još jednom: Orijentacija i pravac - isto ili ne? Pravac je određen vektorom, ali rotacija vektora oko samog sebe nema daljeg uticaja. Orijentacija

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ

Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΉΜΩΝ ΑΓΩΓΉΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ, ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ &

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016

Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις σε Σχέσεις 07/04/2016 Άσκηση Φ4.1: Θεωρείστε τις ακόλουθες σχέσεις επί του συνόλου Α={1, 2, 3} 1. R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)} 2. S={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

Projektivna geometrija Milivoje Luki

Projektivna geometrija Milivoje Luki odatna nastava u Matematiqkoj gimnaziji 04.02.2007. Projektivna geometrija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com 1. vorazmera. Harmonijska spregnutost. Perspektivitet. Projektivitet efinicija: Neka su

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

PREDMETNI ISPITNI KATALOG ZA OPĆU MATURU

PREDMETNI ISPITNI KATALOG ZA OPĆU MATURU BOSNA I HERCEGOVINA FEDERACIJA BOSNE I HERCEGOVINE TUZLANSKI KANTON MINISTARSTVO OBRAZOVANJA/NAOBRAZBE, NAUKE/ZNANOSTI, KULTURE I SPORTA/ŠPORTA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA M PREDMETNI ISPITNI KATALOG ZA OPĆU

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

Λύση Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι διάφορη του μηδενός =

Λύση Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι διάφορη του μηδενός = 7. Άσκηση 1 2 1 Εστω ο πίνακας A = 1 3 2. Να δειχθεί ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιμοςκαιστησυνέχειαναυπολογιστείοαντίστροφος. 1 0 1 Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης 1/8 Κατάλληλες εσωτερικές μονάδες *HVZ4S18CB3V *HVZ8S18CB3V *HVZ16S18CB3V Σημειώσεις (*5) *4/8* 4P41673-1 - 215.4 2/8 Ρυθμίσεις χρήστη Προκαθορισμένες τιμές Θερμοκρασία χώρου 7.4.1.1 Άνεση (θέρμανση) R/W

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

Linearni operatori. Stepenovanje matrica

Linearni operatori. Stepenovanje matrica Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJSKA MEHANIKA Lagranževa i Hamiltonova mehanika

TEORIJSKA MEHANIKA Lagranževa i Hamiltonova mehanika TEORIJSKA MEHANIKA Lagranževa i Hamiltonova mehanika Voja Radovanović Fizički fakultet Univerzitet u Beogradu Beograd, 2016. 2 Sadržaj 1 Njutnova mehanika 9 1.1 Elementi kinematike tačke..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα