dmi(x,y,z) Η µετάβαση από το πεδίο των ελκτικών δυνάµεων στο γήινο ελκτικό δυναµικό του πεδίου βαρύτητας

Transcript

1 Σηµερινή ενότητα του µαήµατος Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας ιδάσκοντες ηµήτρης εληκαράογλου Παρασκευάς Μήλας Γεράσιµος Μανουσάκης Στο νευτώνειο πεδίο ελκτικών δυνάµεων Η ελκτική δύναµη (1=- 1) που δέχεται το ένα σώµα από το άλλο έχει τη διεύυνση της ευείας που συνδέει τα κέντρα µάζας των δύο σωµάτων (,,) (=1) 1 (=-1) (ξ,η,ζ) Σε ένα ορογώνιο σύστηµα συντεταγµένων, συνήως συµβολίζουµε τις συντεταγµένες της έλκουσας µάζας µε ξ, η, ζ και τις συντεταγµένες της ελκόµενης µοναδιαίας µάζας στο P µε,, (,,) Η φορά της ελκτικής δύναµης (=1) στην ελκυόµενη µάζα είναι αντίετη από εκείνη του διανύσµατος της απόστασης, το οποίο κατευύνεται από την έλκουσα µάζα Μ στην µάζα (,,) (=1) (ξ,η,ζ) Μεγαλύτερες µάζες ισχυρότερη δύναµη Όσο αποµακρυνόµαστε από την αρχή των αξόνων του συστήµατος αναφοράς η δύναµη της γήινης βαρύτητας εξασενεί συνιστώσες της ελκτικής δύναµης στο εκάστοτε σηµείο στο χώρο Νευτώνειο πεδίο ελκτικών δυνάµεων 1 (=-1) (,,) (ξ,η,ζ) Στο νευτώνειο πεδίο ελκτικών δυνάµεων Νευτώνειο πεδίο ελκτικών δυνάµεων εκφράζει τις ελκτικές δυνάµεις που ασκούν µεταξύ τους δύο σώµατα µε µάζες και που βρίσκονται σε απόσταση Το γενικό διανυσµατικό πεδίο Η µετάβαση από το πεδίο των ελκτικών δυνάµεων στο γήινο ελκτικό δυναµικό του πεδίου βαρύτητας 7ο εξάµηνο, Ακαδ. Έτος (,, ) (Αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας) Γεωδαισίας) Προηγούµενα έχουµε δει (,,) (=1) 1 (=-1) (ξ,η,ζ) Αν µπορούσαµε να συνάρτηση βρούµε µια βαµωτή δυναµικού συνάρτηση Οι συνιστώσες Χ, Υ, Ζ (ή X, Y, Z) της ελκτικής δύναµης α δίνονταν από όπως µπορούν εύκολα να επαληευτούν µε µια απλή παραγώγιση Η συνάρτηση V α περιέγραφε ισοδύναµα το πεδίο όπου l (στο εδώ σχήµα) υποδηλώνει την απόσταση µεταξύ των δύο µαζών των ελκτικών δυνάµεων σε κάε σηµείο στο χώρο

2 Πεδίο ελκτικών δυνάµεων διαφορετικής κατανοµής µαζών Υπολογισµός ελκτικών δυνάµεων για διαφορετικές κατανοµές µαζών Απλούστερη Στην περίπτωση του πεδίου βαρύτητας της Γης, οι περίπτωση: σηµειακές µάζες. Μια µάζα (πηγή), ασκεί µια δύναµη σε οποιαδήποτε άλλη (µοναδιαία) µάζα ελκτικές δυνάµεις που ασκεί η Γη σε οποιαδήποτε υλική µάζα είναι η κύρια αιτία ύπαρξης του πεδίου Υπάρχει και µια δευτερεύουσα πηγή του πεδίου βαρύτητας της Γης που οφείλεται στη φυγόκεντρη δύναµη που ασκείται σε κάε µάζα που συµµετέχει στην περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της. της. Στην Pncp, o παγκόσµιος βαρυτικός νόµος του Νεύτωνα αναφέρεται έµµεσα σε βαρυτικές δυνάµεις των σωµάτων του σύµπαντος... ως εάν όλη η µάζα τους είναι συγκεντρωµένη στο κέντρο τους Νευτώνειο πεδίο ελκτικών δυνάµεων Νευτώνειο πεδίο ελκτικών δυνάµεων Ένα λεπτό σηµείο άξιο προσοχής Αυτό επιτρέπει µια αναδιατύπωση του Νόµου του Νεύτωνα σε απλούστερη µορφή Κεντρικό πεδίο δυνάµεων Επιπλέον, συνήως συµβολίζουµε την έλκουσα µάζα (1) µε ή Μ, και εωρούµε ότι η ελκυόµενη µάζα είναι ίση µε τη µοναδιαία µάζα (=1) Κεντρικό πεδίο δυνάµεων - Ο όρος οµογενές πεδίο δυνάµεων δηλώνει ότι σε κάε σηµείο του ευκλείδειου χώρου προσαρτάται το ίδιο σταερό διάνυσµα δύναµης Στην περίπτωση το πεδίου των ελκτικών δυνάµεων της γήινης βαρύτητας, τυπικά αποτελείται από µια οµοιόµορφη σειρά διανυσµάτων σε µια ακτινωτή διάταξη που δείχνουν σε µια και µόνο µία κατεύυνση - προς το κέντρο της Γης, όπου εωρείται ότι συγκεντρώνεται όλη η µάζα της Γης Το πεδίο βαρύτητας γίνεται ευκολότερα αντιληπτό µε τις δυναµικές γραµµές του κοντά στην γήινη επιφάνεια το πεδίο των βαρυτικών δυνάµεων µπορεί να εωρηεί ότι τυπικά αποτελείται από µια οµοιόµορφη σειρά διανυσµάτων που είναι παράλληλα µεταξύ τους και δείχνουν σε µια κατεύυνση προς το έδαφος Αυτές διατάσσονται έτσι ώστε το διάνυσµα της έντασης g να είναι σε κάε σηµείο εφαπτόµενο σε αυτές. g Τοπικά, π.χ. σε ένα δωµάτιο, το πεδίο της Γης είναι οµογενές: Οι γραµµές του είναι παράλληλες και η ένταση της βαρύτητας g έχει παντού την ίδια τιµή Ένταση του πεδίου βαρύτητας και δυναµικές γραµµές Σε τοπική κλίµακα, π.χ. µια µικρή περιοχή - Η δύναµη έλξης που ασκεί µια έλκουσα µάζα, σε µια µοναδιαία µάζα που απέχει από αυτήν απόσταση Κεντρικό πεδίο δυνάµεων ικαιολογηµένη προσέγγιση για τα ουράνια σώµατα (λόγω της µεγάλης µεταξύ τους απόστασης, συγκριτικά µε το µέγεος τους), άλλα όχι τόσο προφανής για το βαρυτικό πεδίο που δηµιουργεί το καένα από αυτά τα σώµατα, π.χ. η Γη Ένα λεπτό σηµείο άξιο προσοχής Παρότι οι δύο µάζες αλληλοέλκονται συµµετρικά (1 = -) συχνά διευκολύνει να εωρήσουµε τη µια µάζα ως έλκουσα, και την άλλη ως ελκόµενη. Μπορεί η Γη να εωρηεί ως σηµειακή µάζα που έλκει το µήλο?

3 . Αλληλεπίδραση πεδίων δυνάµεων Αλληλεπίδραση πεδίων δυνάµεων Αλληλεπίδραση πεδίων δυνάµεων Στις κοσµικές αποστάσεις µεταξύ πλανητών και των δορυφόρων τους, τα επιµέρους πεδία δυνάµεων αλληλεπιδρούν καισεκάποιασηµεία αλληλοαναιρούνται Ταχύτητα σε κυκλική τροχιά v = G για ένα δορυφόρο µεταξύ Γης και Σελήνης η τροχιά του α είναι πιο αργή από ότι εάν η Σελήνη δεν ήταν εκεί π.χ. ένας δορυφόρος σε τροχιά µεταξύ Γης και Σελήνης α χρειαστεί λιγότερο χρόνο για µια πλήρη περιφορά γύρω από τη Γη, σε σχέση µε το χρόνο περιφοράς της Σελήνης γύρω από τη Γη:, υ (αγνοώντας την επίδραση της βαρύτητας της Σελήνης στο δορυφόρο) Joseph ous e gnge: το 177, απέδειξε ότι σε ένα σύστηµα σωµάτων υπάρχουν σηµεία όπου οι βαρυτικές δυνάµεις που ασκούνται µέσα στο σύστηµα εξουδετερώνονται αµοιβαία... Αλληλεπίδραση πεδίων δυνάµεων εκεί όπου η συνδυασµένη βαρυτική έλξη της Γης και της Σελήνης ισοδυναµεί ακριβώς µε την κεντροµόλο δύναµη δηλαδή, ο δορυφόρος διατηρεί πάντα την ίδια έση σε σχέση µε τη Γη και τη Σελήνη Παρόµοια σηµεία gnge υπάρχουν και για τα βαρυτικά πεδία Ήλιου και Γης Αλληλεπίδραση πεδίων δυνάµεων Eth Well oon Well 4, 5 σηµεία σταερής ισορροπίας 1,, σηµεία ασταούς ισορροπίας Στην αεροδιαστηµική, τα σηµεία gnge εωρούνται ιδιαίτερα σηµαντικά γιατί παρουσιάζουν χαρακτηριστικά πλεονεκτήµατα για τις διαστηµικές αποστολές. Σηµεία gnge υπάρχουν και µεταξύ πλανητών ιαπλανητικές λεωφόροι Σεληνιακή εξερεύνηση και µελλοντικές σεληνιακές αποστολές µπορούν να επωφεληούν από τα σηµεία gnge στο σύστηµα Ήλιου-Γης-Σελήνης, ώστε να εκτελεστούν στην περιοχή τους τροχιακές µανούβρες (obtl tnsfes) χαµηλής κατανάλωσης ενέργειας... (,,) 1 1 (=- 1 ) (ξ,η,ζ) γ α β (,,) 1 1 (=- 1 ) (ξ,η,ζ) γ α β Τα αρνητικά πρόσηµα για τις συνιστώσες της ελκτικής δύναµης υποδηλώνουν ότι η διεύυνσή της είναι αντίετη από εκείνη του διανύσµατος από το σηµείο υπολογισµού προς την έλκουσα µάζα Οι (), (), και ()είναι βαµωτές συναρτήσεις των µεταβλητών,, δηλαδή συνιστούν ένα βαµωτό πεδίο γ α β Αποσύνεση της ελκτικής δύναµης που ασκείται σε µια µάζα στο χώρο στις επιµέρους συνιστώσες της (), (), () Συνιστώσες της δύναµης έλξης Συνιστώσες της δύναµης έλξης...

4 Για την επέκταση της ισχύος του νόµου της παγκόσµιας έλξης στο πεδίο δυνάµεων που ασκείται σε µια ελκυόµενη µάζα από ένα σώµα συγκεκριµένων διαστάσεων και κατανοµής της µάζας του, απαιτείται ένας διαφορετικός τρόπος υπολογισµού της βαρυτικής δύναµης. Στην γενικότερη περίπτωση που οι διαστάσεις ενός σώµατος είναι σηµαντικές και η πυκνότητα του παρουσιάζει ανοµοιογένεια ή ασυνέχειες, το βαρυτικό πεδίο που δηµιουργεί ένα τέτοια αντικείµενο, µπορεί εν γένει να αποκλίνει από την σφαιρικά συµµετρική λύση που ισχύει για σηµειακές πηγές. Υπολογισµός ελκτικών δυνάµεων για διαφορετικές κατανοµές µαζών Η συνολική ελκτική δύναµη είναι το διανυσµατικό άροισµα των επιµέρους δυνάµεων Απλούστευση του προβλήµατος λόγω (αξονικής, σφαιρικής, ) συµµετρίας π.χ., 1 και 14 αλληλοαναιρούνται ακριβώς, όπως και οι -συνιστώσες των 1 και Αυτή είναι η γενική αρχή που εφαρµόζεται σε πολλά φαινόµενα (π.χ., ηλεκτρικά φορτία), όχι µόνο βαρυτικά φαινόµενα. Για το βαρυτικό πεδίο αυτό σηµαίνει, ότι η βαρυτική δύναµη που ενεργεί σε ένα επιλεγµένο σωµατίδιο είναι ένα διανυσµατικό άροισµα όλων των βαρυτικών δυνάµεων που οφείλονται σε καένα από τα άλλα σωµατίδια στο σύστηµα Αυτή φαίνεται κατ αρχήν προφανής, αλλά στην πραγµατικότητα δεν ισχύει για κάε δύναµη που συναντάµε στη φυσική: π.χ., οι ισχυρές πυρηνικές δυνάµεις µεταξύ των στοιχειωδών σωµατιδίων δεν υπακούουν την αρχή αυτή, ούτε και τα ισχυρά βαρυτικά πεδία που δηµιουργούνται στο Σύµπαν κοντά στις λεγόµενες µαύρες τρύπες. Πολλαπλές διακριτές µάζες Καεµία από τις σηµειακές µάζες, = 1,,,n δηµιουργεί το δικό της πεδίο δυνάµεων 14 Έστω ότι αντί για µια µάζα, σε διαφορετικά σηµεία Ρι(ξ,η,ζ) σε ένα χώρο υπάρχει ένας πεπερασµένος αριµός σηµειακών µαζών 1,, n, ή εν συντοµία, = 1,,,n που ενεργούν σε µια άλλη µάζα (υπόεµα) σε σηµείο Ρ(,,) αρχή της υπέρεσης ή επαλληλίας Αρχή της επαλληλίας (ή υπέρεσης) υπέρεσης) Πολλαπλές διακριτές µάζες 4 Η συνολική ελκτική δύναµη είναι το διανυσµατικό άροισµα των επιµέρους δυνάµεων Αρχή της επαλληλίας (ή υπέρεσης) υπέρεσης) Αρχή της επαλληλίας (ή υπέρεσης) υπέρεσης) Σηµειακές µάζες. Μια µάζα (πηγή), ασκεί µια δύναµη σε οποιαδήποτε άλλη (µοναδιαία) µάζα πράγµατι η απλούστερη περίπτωση Πεπερασµένος αριµός σηµειακών όπου κάε µάζα δηµιουργεί το δικό της πεδίο δυνάµεων Συνεχής κατανοµή µαζών στο χώρο Γραµµική κατανοµή (π.χ. ράβδος, τόξο, ) Επιφανειακή κατανοµή (π.χ. κυκλικός δίσκος, σφαιρικό κέλυφος ) -D κατανοµή µαζών σε ακίνητα ή περιστρεφόµενα σώµατα φυσικών σωµάτων π.χ. οµογενής σφαίρα ή σφαιροοειδές όπως η Γη Καεµία µε συνιστώσες κατά τη διεύυνση των αξόνων του συστήµατος αναφοράς:

5 (0,) Μ =( Η επίδραση τους σε µια µάζα σε κάποιο σηµείο Ρ(,,) είναι η συνολικά ασκούµενη ελκτική δύναµη από κάε έλκουσα µάζα ( δηλ., το διανυσµατικό άροισµα των επιµέρους δυνάµεων ) Το µέγεος της συνολικής ελκτικής δύναµης που ασκεί ράβδος οµογενούς πυκνότητας σε σηµειακή µάζα Προκειµένου να υπολογίσουµε την έλξη που ασκείται από σφαίρες και σφαιροειδή µε οµοιόµορφη και µε µεταβαλλόµενη πυκνότητα σε ένα σωµατίδιο, µπορούµε να χρησιµοποιηούν µια σειρά από βασικούς υπολογισµούς της ελκτικής δύναµης Οµογενής ράβδος µάζας Μ Η γραµµική πυκνότητα της είναι ρ = / Θεωρούµε το απειροστό κοµµάτι s της ράβδου µεταξύ και +s µε στοιχειώδη µάζα = ρ s που µπορεί να εωρηεί σαν υλικό σηµείο Η ελκτική δύναµη που ασκεί = G ˆ στη µάζα είναι + ˆ = = G ρ ˆ =... = G ( + ) κυκλικός δακτύλιος ή κυκλικό τόξο, µε γραµµική κατανοµή της µάζας του, σε στοιχειώδη µάζα εκτός ή εντός του δακτυλίου -s Ελκτική δύναµη οµογενούς ράβδου - παράδειγµα γραµµική πυκνότητα ρ = / απειροστό κοµµάτι s της ράβδου µεταξύ και +s =ρ ˆ ˆj nˆ = G = G nˆ = G ( + ) ( + ) + ( ˆ ˆj ) = = G = 0 [ + ] / =... = G στις έλξεις που ασκούν Ένας Παράδειγµα: Μια λεπτή ράβδος, µε συνολική µάζα Μ οµοιόµορφης πυκνότητας και µήκος βρίσκεται στον άξονα σε απόσταση από την αρχή του άξονα. Ποιο είναι το µέγεος της συνολικής βαρυτικής δύναµης που ράβδος ασκεί σε µια σηµειακή µάζα στην αρχή του άξονα; g Οι συνιστώσες αλληλοαναιρούνται net = (µε φορά προς το κέντρο των αξόνων) Ελκτική δύναµη οµογενούς ράβδου Ολοκλήρωση για ολόκληρο το µήκος της γραµµικής κατανοµής Εάν µια µάζα Μ είναι κατανεµηµένη σε ένα σώµα, κάε απειροελάχιστο κοµµάτι µάζας ασκεί µια δύναµη g στην µάζα : P(,0) (0,-) Μ πυκνότητα ρ ρ=l ( / )s 0 = (/) / + ) Γραµµική κατανοµή στοιχειωδών µαζών Γραµµική (οµογενής) Στοιχειώδεις µάζες Έλξη από πολλαπλές διακριτές µάζες Συνολική ελκτική δύναµη Πολλαπλές διακριτές µάζες ˆ 1 + ˆj στις έλξεις που ασκούν Ένας κυκλικός λεπτός δίσκος (απλό στρώµα), µε οµογενή επιφανειακή κατανοµή της µάζας του (σταερή επιφανειακή πυκνότητα), σε στοιχειώδη µάζα εκτός ή εντός του δίσκου

6 στις έλξεις που ασκούν στις έλξεις που ασκούν Ένα σφαιρικό σώµα οµογενούς Ένα λεπτό σφαιρικό κέλυφος, µε σταερή επιφανειακή πυκνότητα, σε στοιχειώδη µάζα στο εξωτερικό ή το εσωτερικό του κελύφους. Έλξη κυκλικού δακτυλίου πυκνότητας, σε µια στοιχειώδη µάζα στο εξωτερικό, στην επιφάνεια, στο εσωτερικό ή στο κέντρο του σώµατος. σε µια σηµειακή µάζα σε σηµείο Ρ στον άξονα ; ως συνάρτηση της συνολικής µάζας Μ του δακτυλίου P(,0) s PQ: P(0,0,) PQ: Q(ξ,η,0) s ( s στο σηµείο Ρ(0,0,), από µια οµογενή ράβδο σε σχήµα κυκλικού τόξου γωνίας, στο επίπεδο Απειροστό κοµµάτι s της ράβδου µεταξύ των γωνιών και + Το µέτρο του διανύσµατος (= P Q) δίνει την απόσταση = (+) της ελκυόµενης µάζας από κάε στοιχειώδη µάζα του κυκλικού τόξου Στοιχειώδεις µάζες, µάζες, κυκλικού τόξου - άσκηση - Ελκτική δύναµη σε µάζα στο Ο σηµείο Ο, από µια οµογενή ράβδο σε σχήµα ηµικύκλιου (>0), στο επίπεδο απειροστό κοµµάτι s της ράβδου µεταξύ των γωνιών και + π ρ = = G...? =..?.. = G ˆj 0...? + )? είναι το διάνυσµα. Λαµβάνοντας υπόψη ότι = (ξ-0) + (η-0) j + (0-) k = ( cos) + ( sn) j - k, υπολογίζονται εύκολα οι συνιστώσες,,, όπου εντός του ολοκληρώµατος οι αντίστοιχοι όροι είναι cos, sn, -. ρ = = G Στοιχειώδεις µάζες, µάζες, στον άξονα κυκλικού τόξου - άσκηση εντός του ολοκληρώµατος ο όρος P(0,0,) Q(ξ,η,0) ως άσκηση 0 Στοιχειώδεις µάζες, µάζες, στον άξονα κυκλικού τόξου Χρησιµοποιώντας πολικές Ελκτική δύναµη σε µάζα Φανταστείτε ότι ο δακτύλιος µπορεί να διαιρεεί σε πολύ µικροσκοπικά κοµµάτια στοιχειώδους µάζας () και σταερής πυκνότητας σ. Αυτό που διευκολύνει τη διαδικασία εφαρµογής της αρχής της επαλληλίας είναι η συµµετρική κατανοµή των στοιχειωδών µαζών. Στοιχειώδεις µάζες, µάζες, στον άξονα κυκλικού τόξου Έλξη κυκλικού δακτυλίου s σε µια σηµειακή µάζα σε σηµείο Ρ στον άξονα ; ως συνάρτηση της συνολικής µάζας Μ του δακτυλίου P(,0) P(0,0,) PQ: Q(ξ,η,0) = = G s ρ συντεταγµένες (,)=(cos, sn), και τη σχέση s =, µήκους τόξου s, ακτίνας και γωνίας : 0 α, των ακτινών στην αρχή και το τέλος του τόξου προκύπτει η στοιχειώδης µάζα = ρ s = ρ = G ˆ =...?...? ( + ) 0 Το υπέροχο (supeb) εώρηµα του Νεύτωνα: Νεύτωνα: Η έλξη σφαιρικού κελύφους ίνει σειρά βαρυτικών απλουστεύσεων που µπορούν να εφαρµοστούν σε αντικείµενα µέσα ή έξω από ένα σώµα µε σφαιρική συµµετρία. Ο Νεύτωνας, στην Pncp, απέδειξε το αντίστοιχο εώρηµα του κελύφους αναφέροντας

7 Η ελκτική δύναµη σφαιρικού κελύφους Ένα σφαιρικά συµµετρικό σώµα επηρεάζει βαρυτικά όλα τα εξωτερικά από αυτό υλικά σώµατα σαν όλη η µάζα του να ήταν συγκεντρωµένη σε ένα σηµείο στο κέντρο του =G Η ελκτική δύναµη σφαιρικού κελύφους Ένα σφαιρικά συµµετρικό σώµα επηρεάζει βαρυτικά όλα τα εξωτερικά από αυτό υλικά σώµατα σαν όλη η µάζα του να ήταν συγκεντρωµένη σε ένα σηµείο στο κέντρο του 1 άλλα όχι τόσο ικανοποιητική προσέγγιση για το πεδίο βαρύτητας ενός πλανήτη (η πλανητική... σκοπιά του προβλήµατος) Η ελκτική δύναµη σφαιρικού κελύφους Η ελκτική δύναµη στο εξωτερικό σφαιρικού κελύφους 4π = π sn Μια άµεση συνέπεια είναι ότι µέσα σε µια συµπαγή σφαίρα σταερής πυκνότητας, η ελκτική δύναµη ποικίλλει γραµµικά µε την απόσταση (=E) από το κέντρο και λόγω της συµµετρίας στο κέντρο του σώµατος η ελκτική δύναµη µηδενίζεται. Η ελκτική δύναµη στο εξωτερικό = = G cos φ = Όπως προκύπτει και από την περίπτωση ενός οµογενούς σφαιρικού κελύφους και η σφαίρα µπορεί να εωρηεί ως σύνολο από οµόκεντρα τέτοια κελύφη σφαιρικού κελύφους και αλλάζοντας µεταβλητή sn = s s ολοκλήρωσης: s s Λόγω συµµετρίας επηρεάζουν µόνο G οι δυνάµεις κατά = cos φ µήκος της s s G sn cos φ cos φ =... = s + s, s cos = + s = = G + cos φ s s = + G s = G 1 + s G sn cos φ s Παραδείγµατα ελκτικής δύναµης για διαφορετικές σφαιρικές κατανοµές µάζας Εφόσον οποιαδήποτε συµπαγής (οµογενής) σφαίρα µπορεί να εωρηεί είτε ως µια συµµετρική κατανοµή στοιχειωδών µαζών ενός κελύφους ίδιας ακτίνας, είτε ως σύνολο από ένετα (επάλληλα) τέτοια σφαιρικά κελύφη οµοιόµορφης πυκνότητας Συνάγεται ότι οποιαδήποτε συµπαγής (οµογενής) σφαίρα ασκεί σε µια µάζα στο εξωτερικό της µια τέτοια ελκτική δύναµη ως εάν ολόκληρη η µάζα της να ήταν συγκεντρωµένη στο κέντρο της Η ελκτική δύναµη στο εξωτερικό G Η ελκτική δύναµη στο εξωτερικό Εφόσον οποιαδήποτε συµπαγής (οµογενής) σφαίρα µπορεί να εωρηεί είτε ως µια συµµετρική κατανοµή στοιχειωδών µαζών ενός κελύφους ίδιας ακτίνας, είτε ως σύνολο από ένετα (επάλληλα) τέτοια σφαιρικά κελύφη οµοιόµορφης πυκνότητας = Εάν το σώµα αποτελείται από µια σφαιρικά συµµετρική κατανοµή µαζών σφαιρικό κέλυφος, κοίλη σφαίρα, δακτύλιος, δεν ασκεί βαρυτική δύναµη σε οποιοδήποτε µάζα, ανεξάρτητα από τη έση αυτής µέσα στο σώµα. ικανοποιητική προσέγγιση για ουράνια σώµατα µε µέγεος σχετικά µικρό σε σχέση µε την µεταξύ τους απόσταση (η γαλαξιακή... σκοπιά του προβλήµατος) Η ελκτική δύναµη σφαιρικού κελύφους #1 # Με ποια σειρά µεγέους κατατάσσονται οι ασκούµενες ελκτικές δυνάµεις στις εικονιζόµενες περιπτώσεις? Απάντηση: # #4 Είναι όλες ίδιες, δεδοµένου ότι η ελκυόµενη µάζα είναι στο εξωτερικό της εκάστοτε σφαιρικής κατανοµής ίδιας µάζας Μ

8 Η µη οµοιογενής Γη ισχύει το εώρηµα του κελύφους Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το εώρηµα του κελύφους για να αποδείξουµε ότι είναι δικαιολογηµένη η εώρηση ότι η όλη η µάζα της Γης βρίσκεται στο κέντρο της. φλοιός Ασενόσφαιρα Μέσοσφαιρα Εξωτ. πυρήνας Η µη οµοιογενής Γη ισχύει το εώρηµα του κελύφους G g = Φλ. G Α σ. Εσωτ. πυρήνας : [0, π] φ : [π, 0], s : [, + ] = ηλ., η συνολική ασκούµενη δύναµη από το κέλυφος στην µάζα, σε οποιοδήποτε σηµείο στο εσωτερικό του, είναι µηδέν = = G ˆ, 4 π '= = 4 π Η ελκτική δύναµη στο κέντρο της Γης Φανταστείτε ένα ταξίδι βαιά µέσα στη Γη, όπως απεικονίζεται από τον Ι. Βέρν στο γνωστό µυιστόρηµα του Ταξίδι στο κέντρο της Γης Είναι η επίδραση της βαρύτητας ισχυρότερη ή ασενέστερη στο κέντρο της Γης από ότι στην επιφάνεια της Γης; G ' net = G ˆ = G ˆ = g ˆ Σε µια σηµειακή µάζα τοποετηµένη στο εσωτερικό µιας σφαίρας οµογενούς πυκνότητας σ, ακτίνας, και συνολικής µάζας Μ, τι ελκτική δύναµη ασκείται, όταν η µάζα είναι σε απόσταση < ή στο κέντρο (=0) τι δύναµη ασκείται όταν η µάζα πέφτει (σε ένα νοητό τούνελ) από την επιφάνεια προς το κέντρο της σφαίρας; + G s = s εάν = 0 φ = π και s = - Εφόσον η συνολική ελκτική δύναµη από ένα σφαιρικό κέλυφος σε µια σηµειακή µάζα στο εσωτερικό του είναι µηδέν! και Οποιαδήποτε σφαιρική κατανοµή στοιχειωδών µαζών (π.χ. συµπαγής ή µε ακτινικά µεταβαλλόµενη πυκνότητα σφαίρα) µπορεί να δηµιουργηεί από οµόκεντρα τέτοια κελύφη Σε απόσταση <, η ελκτική δύναµη εξαρτάται µόνο από την επίδραση της µάζας () στην µάζα G οµογενούς σφαιρικού κελύφους Εξετάσουµε µόνο κώνους επιφανειακής πυκνότητας ρ, και µε µικρή στερεά γωνία, π.χ. Ω, που εκτείνονται από την έλκουσα µάζα και έχουν τη βάση τους σε τµήµατα του κελύφους µε µάζες 1 = ρ E1= ρ π (1 Ω) = ρ E= ρ π ( Ω) 1=(G 1/1)= = =(G /)= = 1 κέλυφος λεπτού πάχους φλοιού, µε επιφανειακή πυκνότητα µάζας ρ Εξωτ. πυρήνας ( Φλ + Ασ + Μεσ + Εξ.πυρ. + Εσ.πυρ. ) = οµογενούς σφαιρικού κελύφους Ασενόσφαιρα Μέσοσφαιρα Οι προκύπτουσες δυνάµεις 1 και είναι στην κατεύυνση του άξονα των κώνων και αλληλοεξουδετερώνονται ακριβώς!!! G Ε σ.πυρ. G Η περίπτωση της έλξης ενός σφαιρικού κελύφους σε µια µάζα στο εσωτερικό του αποδεικνύεται ότι είναι αρκετά απλή φλοιός G Ε ξ.πυρ. g = Ωστόσο η Γη δεν είναι οµοιογενής G Μ εσ. Εσωτ. πυρήνας οµογενούς σφαιρικού κελύφους eon Eule (1760): Είµαστε σίγουροι... ότι η βαρύτητα... ασκεί µεγαλύτερη δύναµη στην επιφάνεια της Γης, και µειώνεται σε αναλογία καώς αποµακρυνόµαστε από εκεί, πηγαίνοντας είτε προς το κέντρο, είτε ψηλότερα από την επιφάνεια του πλανήτη.

9 ταξίδι στο κέντρο της Γης g ( ) = G Ε g ( ) = ( ) = g ( ) = g = k Wbele, Tes Φανταστείτε µια ελεύερη πτώση, σε ένα υποετικό πηγάδι που διέρχεται από το κέντρο της Γης και συνδέει δυο αντιδιαµετρικά της σηµεία. G ( ), ( ) = ρ και για ένα σώµα συνολικής µάζας Μ (που αποτελείται από άπειρες στοιχειώδεις µάζες ) 4 π = π g =... = 84.5 n Η ελκτική δύναµη φυσικών σωµάτων Το άροισµα των ελκτικών δυνάµεων που ασκεί κάε στοιχειώδης µάζα του φυσικού σώµατος στην ελκυόµενη µάζα, αντικαίσταται από ένα τριπλό ολοκλήρωµα... Newton s ntegl net = (,, ) (,,) ρ V = G = G σώµα V V Η ελκτική δύναµη φυσικών σωµάτων Για τον υπολογισµό του γήινου πεδίου βαρύτητας απαιτείται η γνώση των διανυσµατικών συνιστωσών,,,, της βαρυτικής ελκτικής δύναµης σε κάε σηµείο στο χώρο... και µέσω µιας ολοκληρωµατικής διαδικασίας (,, ) Η ελκτική δύναµη φυσικών σωµάτων και αν εωρηεί ότι κάε σηµείο Ρ(,,) του φυσικού σώµατος, περικλείεται από µια στοιχειώδη µάζα Μ, όγκου V και πυκνότητας ρ, όπου = ρ V = ρ (,, ) (,,) ρ V = G = G N Ω Την επόµενη φορά (,,) Απόσταση της Απόσταση (,,) Η επίδραση τους σε µια µάζα, σε κάποιο σηµείο P(,, ), είναι η συνολικά ασκούµενη ελκτική δύναµη από κάε έλκουσα µάζα Ε Ε Μια σφαίρα µε κοιλότητα Μηδέν στο εσωτερικό της Όπως η Γη στο εξωτερικό g g Τα φυσικά σώµατα στην πραγµατικότητα µπορεί να εωρηούν ως ένα σύνολο διακριτών µαζών Μ1, Μ, Μ Μn, ή εν συντοµία Μ, = 1,,,n : (,, ) πυκνότητας) σφαίρα Γραµµική µεταβολή στο g εσωτερικό της, όπως και στο εξωτερικό της Γης, ενώ, g=0 στο κέντρο της (εξήγηση?) Η ελκτική δύναµη φυσικών σωµάτων Εάν µια µάζα Μ είναι κατανεµηµένη σε ένα σώµα, κάε απειροελάχιστο κοµµάτι µάζας ασκεί µια δύναµη ι στην µάζα : Συµπαγής (οµοιόµορφης Στοιχειώδεις µάζες συνεχής κατανοµή T = π Εξίσωση Hooke Αρµονική ταλάντωση Ε 4 π 9.81 s, ρ = g ( ) = g Ένταση της βαρύτητας ταξίδι στο κέντρο της Γης Μάζες Ελκτικές δυνάµεις Γήινο δυναµικό