Immanuel Kant i problem religije (Boga) (Kritička i transcendentalna filozofija) Silvio Maršić

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Immanuel Kant i problem religije (Boga) (Kritička i transcendentalna filozofija) Silvio Maršić"

Transcript

1 Immanuel Kant i problem religije (Boga) (Kritička i transcendentalna filozofija) Silvio Maršić Immanuel Kant jest filozof koji je revolucionirao dotadašnje mišljenje o Bogu, o kozmosu, o čovjeku. Njegova kritika čistog uma, teorija vječnog mira i svjetskog pravnog sustava jesu i danas podjednako aktualne kao i u vremenu kada su nastale, ako ne i aktualnije. Možda ništa drugo do Kantove kritike religije i njegove teorije mira ne ukazuje toliko na njegovu epohalnu veličinu i već spomenutu aktualnost, odnosno suvremenost! U Kantovom učenju živa je i danas ideja prosvjetiteljstva ili, govoreći konkretnije, Kantovo genijalno povezivanje kritike religije i teorije mira. Kantova pitanja što je sudbina, je li duša besmrtna, jesu li prostor i vrijeme konačni ili beskonačni, ima li čovjek slobodnu volju, ima li Boga, smiju li oni koji vjeruju u Boga određivati, diktirati moralnu stranu društvenog života, zašto je ustavno uređeno društvo sklonije miru nego bilo koja vrsta vladavine nisu ništa izgubila na aktualnosti, a njegovi odgovori su i danas nadmoćniji drugima. (Königsberg, 22. travnja, 1724 Königsberg, 12. veljače, 1804) Immanuel Kant, po mnogima posljednji i najznačajniji filozof prosvjetiteljstva i jedan od nosilaca tzv. klasičnog njemačkog idealizma (Kant je ipak svrstan u njemačku klasičnu filozofiju), položio je temelje suvremenom zapadnom mišljenju. Upravo je on sam bio dokazom prosvjetiteljskog mota: Aude sapere! (Usudi se znati!) Imaj hrabrosti spoznati vlastiti um! Ništa, po Kantu, ne bi trebalo vrijediti kao izvjesno i prihvaćeno što um sam nije kao takvo priznao i prihvatio. Ništa se ne bi smjelo tvrditi u ime uma dok prethodno nisu ispitane moći samog tog uma. Tako mu svi važniji filozofi koji su uslijedili poslije njega duguju zahvalnost upravo za filozofijsko spoznavanje uma. Pa ipak, Kant je ostao kontroverzna figura u povijesti filozofije. Kant je s pravom nazvan kritičkim misliocem. Svojim je kriticizmom izveo prevrat u filozofiji, svojim je pristupom koji je nazvao kopernikanski obrat postavio nove temelje spoznajne teorije. U etici je krenuo od toga da udivljenje i strahopoštovanje izazivaju zvjezdano nebo nada mnom i moralni zakon u meni, i postavio čuveni kategorički imperativ: Postupaj samo prema onoj maksimi za koju ujedno možeš htjeti da postane opći zakon. Kantova se filozofija može podijeliti u dva dijela: do-kritički period i kritički period. U do-kritičkom periodu Kant se bavi materijalističkim tumačenjem svijeta. U kritičkom periodu on daje kritiku prethodne filozofije i filozofije svojih prethodnika, te tako potpuno prelazi na pozicije idealizma. U ovom periodu je napisao svoja najveća djela: Kritika čistog uma (o spoznaji), Kritika praktičkog uma (o etici) i Kritika moći suđenja/rasudne snage (o estetici) Filozof prosvjetiteljstva (povijesni kontekst) Ostaje otvoreno pitanje kako Kant razumije religiju. Budući da je pitanje o religiji, Bogu, najvišem dobru kao i apsolutno uzvišenom kod Kanta uvijek u svezi s umom, potrebno je ispravno pojmiti um. On je za Kanta najviša mjera prosvjetljenja i uvida i zato je on ono najplemenitije i najuzvišenije u čovjeku. Religija, pak, treba pokazati put prema savršenstvu. Kanta ne treba razumjeti kao tražitelja Boga nego kao mislioca u potrazi za božanskim (moralnim) u sebi (čovjeku). Prva i najvažnija novost novoga vijeka ili njegov prvi veliki obrat jest obrat teocentrizma u antropocentrizam. Bog već dugo vremena nije gospodar objektivnoga kozmosa. Taj je obrat načelan već u samoj srži humanizma (prisutan je i danas): da bi se načinilo mjesta za čovjeka, iz svijeta je trebalo potisnuti Boga. Ovdje je riječ o procesu koji je trajao tijekom cijeloga novoga vijeka. Možemo ustvrditi kako je novi vijek uspon čovjeka i silazak Boga sa scene svjetske povijesti. Čovjek novoga vijeka, kakav je zamišljen u tome projektu, autonoman je, a 1 Usp. I. KANT, Kritika čistog uma, Nakladni zavod Matice hrvatske, Zagreb, 1984, str

2 ne heteronoman. To znači da iznad njega nema višeg zakona u obliku Božjega zakona, već je on sam svoj zakonodavac. U moralnome smislu to je nastavak nečega što je započeto u srednjemu vijeku. Razvojem heliocentričnoga sustava postaje jasno da Bog više ne može biti doslovno transcendentan, gospodar kozmosa, jer kozmosom gospodare prirodni zakoni. To znači da Bog može biti ili Svemir sâm ili pak samo pokretač Svemira. U oba slučaja čovjeku se otvara mogućnost autonomije ravnanje po prirodnim zakonima ravnanje je po božanskim zakonima, a s druge strane Bog kao Tvorac svijeta prepušta gospodarenje čovjeku koji je nakon stvaranja slobodni gospodar povijesti. Dakle, samim razvojem znanosti Bogu se oduzima jedno od klasičnih teističkih svojstava, a to je, uz stvaranje i uništenje svijeta, sudjelovanje u povijesti svijeta (čudesima, providnošću te, napose u kršćanstvu, utjelovljenjem). Čovjek je taj gospodar koji vodi povijest, a moć kojom to čini jest razum. Time je Bog, već protjeran iz povijesti, sada protjeran i iz čovjeka. Na mjesto Boga sada dospijeva religija ne više kao subjektivna zbilja, nego kao intersubjektivna zbilja, ali jednom drugom, ne znanstvenom, nego političkom revolucijom (Francuskom revolucijom) Bog, tj. religija bivaju u potpunosti protjerani iz javne i privatne sfere. To razdoblje od Engleske do Francuske revolucije, to čuveno 18. stoljeće, dospijeva do zamisli kako snagu religije kao ideologije treba zamijeniti novom civilnom ili građanskom religijom. S njemačkim filozofom Immanuelom Kantom (njemačka klasična filozofija) zbiva se pravi obrat na polju filozofskog mišljenja, s obzirom na prosvjetiteljsku proklamaciju subjektivnih moći čovjeka. Kant gnoseološki postavlja optimističnu verziju spoznajnih sposobnosti kojima se, ponajprije ljudski djelatno, zahvaća stvarnost kao predmet spoznaje, ali i pesimistično priznaje restrikcija sigurnog dohvaćanja s onu stranu pojavnog svijeta. Kant je, zapravo, filozof prosvjetiteljstva. U programatskom spisu pod naslovom Što je prosvjetiteljstvo iz godine Kant je napisao: Prosvjetiteljstvo je čovjekov izlazak iz nesamostalnosti koju je sam skrivio. Nesamostalnost je nesposobnost za služenje vlastitim razumom bez tuđeg vodstva. Tu je nesamostalnost čovjek sam skrivio ako ona nije posljedica pomanjkanja razuma, nego odlučnosti i hrabrosti da se njime posluži bez tuđeg vodstva. Sapere aude! Imaj hrabrosti da se služiš svojim razumom! to je dakle geslo prosvjetiteljstva. Na prosvjetiteljstvo je veoma utjecao racionalizam. U prosvjetiteljstvu um je vrhovno načelo, i rješenja svih pitanja vezana su za svjetla uma (pro-svjetiteljstvo). Prosvjetiteljstvo u 18. stoljeću je Doba razuma i prosvjećenja i odnosi se na pravac i intelektualni pokret u europskoj filozofiji. 2 Ovaj pravac je zastupao racionalizam kao način utvrđivanja istine i autoritativnog sistema etike, estetike i znanja. Intelektualne vođe ovog pravca su se smatrale ne samo hrabrim nego i elitnim vođama, čija je svrha i namjera bila da povedu svijet ka napretku (progresu), i tako ga oslobode sumnjive tradicije, pune iracionalnosti, praznovjerja i tiranije, te ga izbave iz dugog i učmalog perioda koji se protezao poslije mračnog stoljeća (ili stoljeća tame). Vjerski ratovi (krvavi i nemilosrdni) su mu prethodili pa je trebalo iznaći rješenja za dugogodišnju krizu religije i društva. Um i kriticizam postaju glavna mjerila prosvjetiteljstva s kojima se nastoji nadomjestiti religija i pronaći rješenja za mnoge probleme društva. Prosvjetiteljstvo je pridonijelo ukidanju sudskih postupaka protiv vještica, krivovjernika, preuređenju sudstva, općim ljudskim pravima. Ovaj pokret je stvorio okvire za američku i francusku revoluciju, latinoamerički pokret za nezavisnost, kao i za uspon kapitalizma i pojavljivanje socijalizma. 2. Kritička filozofija Immanuela Kanta Primjena kritičke metode u filozofiji je Kantovo revolucionarno djelo. U osnovi toga djela nalazi se misao, dotle neisprobana ni od koga, da objekti, tj. predmeti iskustva, ovise od subjekta i uvjetovani su njime, a ne obratno, kako su svi raniji filozofi mislili. Ako subjekt određuje uvjete spoznaje predmeta iskustva, onda treba, prije svega, ispitati spoznajne moći subjekta. Kant je pretpostavio da je subjekt spoznaje um. Ako je on nosilac svega znanja i svih spoznajnih moći, onda to znači da um treba učiniti predmetom stroge primjene kritičke metode: Ako želimo ustanoviti vrijednost, granice i porijeklo spoznaje, onda je neophodno poduzeti ispitivanje samog uma, njegove strukture, osnovnih moći i njihovih područja, koja se trebaju strogo razgraničiti s gledišta kompetencija pojedinih moći. To se može postići samo strogom i sistematskom kritikom uma. Iz takve kritike uma treba proizići novi sustav filozofije, koji bi bio potpun i savršen. Kant ocjenjuje da je tako izvršena temeljna revolucija u načinu mišljenja i da to sliči onome što je Kopernik učinio u astronomiji, prihvativši pretpostavku da 2 Poznata je Kantova kvalifikacija o punoljetnosti prosvjetiteljske svijesti. Usp. V. FILIPOVIĆ, Klasični njemački idealizam, Matica hrvatska, Zagreb, 1976, str

3 se promatrač neba okreće sa Zemljom oko Sunca koje miruje. Usporedba nije sasvim adekvatna, jer Kant promatrača, tj. um, stavlja u centar, a čulne predmete zamišlja kao da se upravljaju prema osobinama naše moći opažanja i našeg razuma, tj. da su ovisni od subjekta ukoliko ih on spoznaje. Kant smatra da se pod tom pretpostavkom pokazuje kako je moguće opće i nužno znanje, kakvo posjedujemo u znanostima. 3 On to znanje proglašava apriornim, jer aposteriorno znanje, koje potiče samo iz iskustva, može biti samo opće, ali ne i nužno i univerzalno. Ako pod umom podrazumijevamo cjelokupnost naših spoznajnih moći, onda kritika uma treba pokazati: koje sve moći um sadrži, kakve su one, koliki im je opseg i gdje su njihove granice, kakva je njihova vrijednost i kakva je vrijednost znanja dobivena bilo kojom od tih moći? Kad je riječ o čovjekovoj sposobnosti da snagom razuma spoznaje stvari onda nas u prvom redu zanima pitanje pod kojim uvjetima se događa čovjekova razumska spoznaja. Kriticizam definira spoznaju kao sposobnost opažanja i kao sposobnost mišljenja. U razumu ne postoji nikakva intencionalna forma, nego ju razum tek stvara na temelju kategorija, posebno uzimajući u obzir kategorije prostora i vremena. Formiranje osjetilnog materijala kojeg nam nude naša osjetila ne događa se neposredno i one stoje pod direktnim utjecajem razuma. Za Kanta treba reći da je teorija postavljena u Kritici čistog uma o zajedničkom djelovanju razuma i osjeta zapravo nastala na temelju spoznajno-kritičkog pitanja o vrijednosti prirodno-znanstvene spoznaje, koja vrijedi za iskustvo, ali se iz nužnosti iskustva ne može obrazložiti. Zato bi trebalo istaknuti da Kantov kriticizam nije sam sebi svrha, nije po svojoj suštini rušilački. Jednom kada je dostignut nedogmatski nivo istraživanja, onda bi trebalo konstruirati i jednu transcendentalnu filozofiju ili sustav takve filozofije. Kritika se tako pokazuje kao konstitutivni element upravo konstruktivnog zahtjeva. Ono što je prethodno dovedeno u pitanje trebalo bi, shodno novim načelima, ponovno dovesti u jedinstvo. Jedinstvo percepcije usprkos kaotičnosti opažajnog materijala, jedinstvo razuma s obzirom na slijed predstava, jedinstvo uma s obzirom na heteronomiju strasti i interesa, to su neki od glavnih zadataka koje transcendentalna filozofija ima riješiti. A Kantovo rješenje, ukratko rečeno, jest da vrijeme i prostor kao osnovne forme našeg opažanja i pravila kao forme razuma čine mogućim našu spoznaju prirode. 3 Usp. I. KANT, Kritika čistog uma, isto, str Transcendentalna filozofija Immanuela Kanta Immanuel Kant pod jakim je dojmom napretka novovjekovne znanosti i zaostajanja metafizike koja ne uspijeva kročiti istinskim znanstvenim putem. Teoretskim se umom ne može dokazati ni da Bog postoji ni da ne postoji, što ne znači da nema nešto što se razlikuje od svijeta i što je temelj svijeta i reda u njemu. Kantu je stalo dokinuti oholost škola koje su sebi pripisivale preveliku moć i prava, a ne poljuljati vjerovanje do kojeg je došlo neuko mnoštvo. S jedne strane, u ćudorednosti vlada autonomija (zapovijedi vlastitog uma), a s druge strane, Kant tvrdi da su zapovijedi našega uma zapovijedi Božje. S Kantom i njemačkim idealizmom filozofija je iz površnosti prosvjetiteljstva stupila opet u dubinu. Pravo filozofsko mišljenje sada opet vodi riječ. Dolazi do velebnih ideja i smjelih sustavnih oblikovanja. U usporedbi sa senzualizmom, skepticizmom i plitkim utilitarizmom empirista, ova filozofija pokušava na svoj način stare granice stare metafizike, etike i religije nanovo razumjeti, te tako i osigurati. Kant nije odbacio temeljne težnje stare metafizike, interes za Bogom, dušom, besmrtnošću, slobodom, nadosjetilnim svijetom (mundus intelligibilis), već ih je pokušao ponovno utemeljiti i razumijevati. Njegovo pitanje je kako iskustvo može biti znanost, a to je ujedno i pitanje kako je moguća i metafizika kao znanost. Kantova filozofija želi biti transcendentalna filozofija, a ne transcendentna filozofija kakva je bila stara metafizika. Ona se ponudila spoznati stvar u njihovu po sebi bitku, dakle u njihovoj transcendenciji. No Kant misli i tvrdi da, doduše, postoje stvari po sebi, mislive su (noumena), ali u svojemu po sebi bitku nisu spoznatljive. Spoznati se mogu samo pojave (phenomena). To je sada njegova transcendentalna filozofija: istraživanje ne o predmetima po sebi, već istraživanje ljudskog načina spoznavanja s obzirom na pojave predmeta. Kant izričito tvrdi: Transcendentalnom nazivam svaku spoznaju koja se ne bavi i predmetima, nego vrstom naše spoznaje o predmetima uopće, ako ona treba da je apriori moguća. Prema tome, Kant želi u transcendentalnoj refleksiji pokazati kako spoznajni subjekt posjeduje spoznaje koje su apriorne, tj. ne potječu iz iskustva, ali ga kao uvjeti iskustva omogućuju. Ova transcendentalna refleksija uspostavlja ja-filozofiju. U transcendentnoj filozofiji riječ je o bitku kao zadnjem (ontološkom) uvjetu svega empirijskog; naprotiv, u transcendentalnoj filozofiji riječ je o ja kao zadnjem (transcendentalnom) uvjetu svega empirijskog. Obje strane philosophiae 145

4 perennis pripadaju jedna drugoj i međusobno se uvjetuju. U tome se sastoji i poznati Kantov kopernikanski obrat koji u zadacima metafizike prihvaća da se predmeti moraju upravljati prema našoj spoznaji. Istinska spoznaja predmeta sastoji se od pojave predmeta u osjetilnosti i mišljenja onoga što se pojavljuje pomoću razumskih pojmova. Osjetilna predodžba bez mišljenja je slijepa, a samo mišljenje bez pojave je prazno. Klasična metafizika koja proučava apstraktne vrhunske pojmove ne misli neku pojavu, nego je samo daljnja sinteza pojmova: ne donosi novih spoznaja. Metafizika kao znanost, dakle, nije moguća. 4 Najvažniji i najodlučniji dio djela Kritika čistog uma je transcendentalna dijalektika. Njezine teme su još uvijek velike teme stare metafizike: Bog, duša, svijet, sloboda, ali su one sad postale idejama, što je novo i osobito u Kantovoj metafizici. Ideja kod Kanta nije platonička ideja ili ideja engleskih empirista. Ona je pojam iz noticija (čisti pojam apriori), koji prekoračuje mogućnost iskustva. Sva naša spoznaja započinje u osjetilima, odakle ide k razumu i završava u umu. Kant svojim idejama ne niječe Boga i njegovu egzistenciju, dušu i besmrtnost; naprotiv, želi ih spasiti. Pojmovi su konstitutivna načela, a ideje regulativna. Baš u tome neki vide nedostatak. No, pojam heurističke funkcije kod Kanta ne znači da su Bog, svijet i duša zamišljeni predmeti. Znači samo to da mi o onome što odgovara tim predmetima nemamo neposredan zor, kakav imamo o stvarima što ih običavamo misliti u pojmovima. Boga, dušu, slobodu, ne možemo misliti i spoznavati onako kako spoznajemo neki kamen, kuću itd. Da je Bog najstvarnije od svih bića ne osporava ni Kant, dapače, njemu odgovara epitet vječnog zaljubljenika u metafiziku, no on misli da to biće samo nesavršeno mislimo i u pokušaju da ga mislimo nikada ne dospijevamo do kraja. Stoga je za nj to samo ideja. Je li u klasičnoj metafizici to bilo drukčije? Sigurno je da Bog za nas nije prozrena i pojmljena stvar po sebi, kao što je to s ostalim predmetima. 5 O Kantu, na kraju govora o njegovoj transcendentalnoj filozofiji, valja istaknuti da nije uspio utemeljiti filozofiju kao znanost, njegova filozofija nije postala Filozofija, nego je i ona, filozofija jedne, iako genijalne osobe Kantova filozofija. 4. Kant i transcendentalna teologija Kant je svoj zaključak o nužnom biću kao bespredmetnoj ideji čistoga uma primijenio na teologiju. Teologija pomišlja nužno biće čistim umom pomoću transcendentalnih pojmova (ens originarium, realissimum, ens entis). Kant je kao takvu naziva transcendentalnom teologijom. Jasno je da takva teologija nije utemeljena na stvarnosti, jer um u svojoj čisto spekulativnoj upotrebi ni izdaleka nije dostatan za tako veliki cilj, naime, da bi došao do opstojnosti nekog najvišeg bića i tako tu teologiju učinio stvarnom. Kao tvorevina čistog uma ona je bez objektivne vrijednosti i kao takva nedostatna u samoj sebi. No unatoč svojoj nedostatnosti korisna je kao nekakva stalna cenzura uma s obzirom na čiste ideje kojih se logična ispravnost može ustanoviti samo transcendentalnim mjerilima, tj. načelom proturječja, a takve čiste ideje susrećemo ne samo na području ljudske spoznaje, nego i na području teologije. Za ljudsku spoznaju je neophodno potreban čisti pojam najvišega bića kao bezpogrešan ideal koji zaključuje i kruni cijelu ljudsku spoznaju. Za teologiju (po Kantu moralnu u smislu moralne sigurnosti) je neophodno potreban čisti pojam nužnosti, beskonačnosti. No, bez neprekidne cenzure uma, ukoliko djeluje na transcendentalnoj razini, teško će ta teologija izbjeći varku osjetilnosti, smatra Kant Postulati praktičkog uma Metafizika ima za pravu svrhu svojeg istraživanja samo tri ideje: Bog, sloboda i besmrtnost, tako da drugi pojam povezan sa prvim treba dovesti do trećega kao nužnog zaključka. Sve čime se ova znanost inače bavi, smatra Kant, služi joj samo kao sredstvo da dođe do ovih ideja i njihovih realiteta. 7 Slobodno ljudsko djelovanje, osmišljavanje, sloboda naprosto, predmet je Kantove praktičke filozofije. To da ljudi moraju postaviti najviše svrhe da bi mogli djelovati te da moraju uvijek to imati pri umu, uz dakako svu nadu da će uspjeti, predstavlja problem za svaku generaciju ljudskog roda. Neravnodušnost koja se stvara kod čovjeka i njene posljedice koštat će um grdnih muka, jer će ga ona, i u pogledu sadašnjosti i s obzirom na budućnost slobode čovjeka, staviti 4 Usp. I. KANT, Kritika čistog uma, isto, str Isto, str Usp. R. BRAJČIĆ, Opravdanje čistoga uma, isto, str Isto, str

5 pred probleme kojima čovjek nije dorastao, a koje još manje može ne misliti: pred problem (postojanja) Boga i problem besmrtnosti (duše), s kojima se mora suočiti svako radikalno pitanje o slobodi koja nije i teško može biti lišena te neravnodušnosti. Sama sloboda nije ništa manji problem ako ona nije i problem svih problema ljudi. Kant je o tome zapisao: Nije istraživanje egzistencije Boga, besmrtnosti ( ) bila točka od koje sam pošao, nego je to bila antinomija čistog uma. Čovjekova je sloboda sama po sebi upitna. 8 Čisti um sam po sebi ne može doći do sigurne istine o tome, no, kao praktički (onaj koji ima određivati volju na moralno djelovanje), um pretpostavlja čovjeka kao slobodno biće. Kant je smatrao da postoji sloboda u čovjeku, a ne da je sve u čovjeku prirodna nužnost. Neravnodušnost što prožima čovjeka i Kanta je dovela do posebnog razmatranja tri postulata: slobode, besmrtnosti i Boga. On je pokušao odgovoriti na pitanje postoje li oni ili ne. Tu je morao pribjeći podjeli na dvije vrste egzistencije, ali je drugu, onu nepojavnu i po rangu višu, htio posvjedočiti na nov način. Bivstvo nesvodivo na pojavnost, i stoga nedostupno spoznaji, jest bivstvo slobode, besmrtnosti i Boga. To su teoretske izreke, kao takve nedokazive, koje su bitno skopčane s praktičnim zakonom, koje imaju apriornu neuvjetovanu vrijednost. Takvih je postulata tri: 1. sloboda mora se pretpostaviti da je čovjek slobodan da bi se od njega moglo zahtijevati da bude moralan. 2. besmrtnost duše jer ako duša ne bi bila besmrtna tada ne bismo imali razloga za moralnim usavršavanjem. 3. Božja opstojnost jer bez Boga kao savršenog moralnog bića ne bismo imali pravi standard prave moralne ispravnosti O slobodi volje kroz povijest (ukratko) Volja je naziv za ljudsku racionalnu sposobnost težnje prema dobru, za razliku od instinktivne težnje koja nije slobodna. Voljno djelovanje je vlastitost duhovnog ili samosvjesnog subjekta i ona je najviša i najsavršenija forma ljudske aktivnosti jer je svjesna i slobodna. Zajedno s umom predstavlja najvažnije moći duha. Pojam slobodne volje problematičnije je odrediti od svih ostalih ključnih pojmova zbog toga što ga svaki filozof razumije na donekle drugačiji način. Neka od najčešćih značenja slobodne volje jesu: sposobnost izbora između različitih mogućnosti, sposobnost stvaranja novih alternativa, sposobnost donošenja odluka neovisno o vanjskim uvjetima, sposobnost donošenja racionalnih odluka, neovisnost subjekta o drugim subjektima i neovisnost subjekta o nekim prirodnim zakonima. Pitanje slobode volje u biti je uvijek bilo u filozofiji i teologiji sporno i to već od Sokrata (koji je naglašavao znanje) pa sve do današnjih dana. Radi se naime o pitanju je li čovjek u djelovanju koje poduzima slobodan ili njegovo djelovanje ovisi o nečem drugom, tj. određuje li nužnost to djelovanje. Pitanje o slobodi volje prisutno je kod antičkih filozofa kod bavljenja unutarnjom kvalitetom motiva. Podvrgavanje osjetilnim motivima ti su filozofi smatrali ropstvom dok je svjesno podvrgavanje čovjeka onome što daje univerzalni razum za njih bila prava sloboda. Aristotel u Nikomahovoj etici nastoji dokazati da je za neko ćudoredno djelovanje osim razumnog znanja potrebna i čvrsta i postojana volja. Volja djeluje slobodno na temelju prethodnog izbora. Volja je ona instanca u čovjeku snagom koje čovjek donosi odluku koja će djela činiti, a od kojih će odustati. Aristotel izričito naglašava da čovjek osim razuma posjeduje i strastvenu dušu, a ta duša ne teži uvijek prema najvišem dobru. Sloboda volje se kod Aristotela utemeljuje na čovjekovu odlučivanju između najvećeg i tobožnjeg dobra. Dolaskom kršćanstva ponovno se aktualizira problem slobodne volje. S jedne strane teologija naglašava transcendenciju dok se s druge strane ne želi potpuno zanemariti niti imanencija i time obraniti sloboda ljudske volje u čovjekovom djelovanju. Sv. Toma Akvinski slobodu volje želi utemeljiti od konačnog cilja. Konačni cilj svakog djelovanja jest opće dobro. Čovjek može htjeti samo dobro jer ga na to sili razum. Problem slobode volje diskutirala je također i novija filozofija sa svojim poznatim predstavnicima (Spinoza, Leibniz i Kant). U Spinozovom svjetonazoru sve je determinirano. Misao o slobodi volje za Spinozu samo je utvara mašte. Sve je određeno apsolutnom Božjom nužnošću. Kod Leibnitza također je sve određeno Božjom voljom jer volja predodređena idejom dobra uvijek izabire ono najbolje. 8 Usp. I. KANT, Kritika praktičkoga uma, Izdavačko-grafički zavod, Beograd, 1979, str Isto, str Immanuel Kant o slobodi volje Kod Kanta nalazimo razliku između konstitutivnih i regulativnih principa ljudske spoznaje. Predmet znanja nikad ne 147

6 mogu biti sloboda volje, besmrtnost duše, bitak Boga jer oni ne mogu biti dio našeg osjetilnog iskustva. Stoga sloboda volje, besmrtnost duše, bitak Boga naša su uvjerenja, imaju značenje etičkog odnošenja. Kod Kanta pitanje slobode volje javlja se u potpuno novom obliku. Za Kanta pojavni svijet je određen načelom uzrok posljedica. Prema Kantu, uzročnost je jedna od nužnih i općevažećih predodžbi prema kojima naš duh gradi pojavni svijet. Ako pojavni svijet određuje zakon nužnosti onda u tom pojavnom svijetu ne može biti govora o slobodi volje, ona je moguća za Kanta pod određenim okolnostima samo u pojmovnom svijetu. Kant u svojoj teorijskoj filozofiji ne niječe slobodu volje, ali smatra da se ona iz čisto teorijskih razloga sa sigurnošću ne može dokazati te da se ona u odnosu na zakon kauzaliteta, dapače, pokazuje kao antinomija. U pojavnom svijetu sva djelovanja podliježu zakonu uzroka i posljedice. U pojmovnom svijetu voljni akti zamišljeni su tako da oni neovisno od empiričkih zakona proizlaze iz volje. U praktičnoj filozofiji Kant zamišlja slobodu volje kao nužni uvjet mogućnosti da bi se uopće mogao slijediti ćudoredni zakon. Ishodište etike je smisao da se samo dobra volja kao autonomna volja može iskazati apsolutno dobrom. Dobra volja je princip moralnog djelovanja to znači da nije dobra po iskustvu, nego je ona čisto htijenje, tj. dobra je po sebi. Pravi predmet moralnog djelovanja je dobra volja. To što je dobra volja dobra po sebi znači da je slobodna od svakog autoriteta. Upravo ta dobra volja, slobodna od svakog autoriteta, od svakog izvanjskog nametanja (Bog, država) nameće nam iznutra odgovornost. Kao razumna bića moramo nositi odgovornost za naše vlastito djelovanje. Dužnost je jedina forma u kojoj je moguće ćudoredno djelovanje. Poštovanje dužnosti kao dužnosti utemeljuje moralno djelo. 10 Kantov svojevrsni rigorizam predmet je kritike etičara. Scheler smatra da je Kant jednom za svagda oborio sve etike koje proizlaze iz pitanja šta je najviše dobro i koja je posljednja svrha naših voljnih radnji. Kant definira slobodu u etičkom smislu: Sloboda je u praktičnom razumu neovisnost samovolje pred pritiskom osjetilnih nagona. 11 U mjeri u kojoj je čovjek vremenito biće, pa posljedno gornjim izvodima i prirodno biće, u Kanta nema prostora za slobodu. Štoviše, u sklopu Kritike čistog uma, gdje je priroda shvaćena kao jedan univerzalni mehanizam, nema nikakva mjesta za nešto takvo kao što je čovječnost čovjeka. 10 Usp. I. KANT, Zasnivanje metafizike morala, isto, str Isto, str Zato Kant, tragajući za određenjem biti čovjeka, prelazi na područje praktičkog uma pa onda čovjeka određuje u ključu moraliteta. Moralitet je onaj oblik koji čini apsolutnu suprotnost mehanički shvaćenoj prirodi. No, rezultat tog pronalaženja prostora slobode sastoji se u razdvajanju čovjeka na dva međusobno potpuno suprotstavljena svijeta, koji se nalaze u odnosu apstraktne negativnosti. Tu dvojnost čovjeka kao prirodnog (i time nužno neslobodnog) bića, i kao moralnog (pa dakle moralistički slobodnog) bića, Kant će pokušati nadvladati u Kritici moći suđenja, posredstvom pojmova organskog i svrhovitog, ali sloboda koja se time postiže, a to je slobodna igra mašte i razuma, uopće ne dovodi u pitanje mehanicistički i determinirani karakter prirode. Slobodno proizvođenje svijeta stoga se svodi na subjektivističko proizvođenje lijepih predmeta ili na umjetničko stvaralaštvo, koje tzv. zbiljski svijet u bitnome uopće ne dovodi u pitanje. A ako se svemu tome doda da čak ni sam umjetnik koji proizvodi umjetničko djelo nije sposoban opisati ili znanstveno navesti kako njegova genijalnost proizvodi svoje djelo, onda će ograničenost Kantovih pokušaja da iziđe iz proturječja u koja se upleo htijući nadmašiti metafiziku biti sasvim vidljiva. Na taj način Kantova transcendentalna metoda ne dospijeva do mogućnosti problematiziranja društvene i povijesne zbilje. Bezvremena stvar po sebi, a upravo je stvar po sebi esencijalan zaostatak stare metafizike u Kantovoj filozofiji, onemogućuje da društvena zbilja postane predmet promišljanja transcendentalne filozofije. Time povijest bitno izmiče Kantu. Stoga se Kantov transcendentalni stav ograničava na subjektivnost. Subjekt svojim slobodnim djelovanjem proizvodi svijet kao ljudski, čovjekov svijet. Svijet nije nikakav postojeći, zatečen i dan svijet, nego je svijet (nefiksiran, nezajamčen, bitno nedovršen i nedovršiv) proizvod slobodnog proizvođenja, proizvođenja koje se zbiva na temelju volje slobodom obdarena umnog bića, tj. čovjeka. Bolje rečeno, sloboda u Kantovom obzorju nije nikakav dar, slobodu čovjek stječe umnim korištenjem vlastite volje, vlastitih ljudskih moći Kantov kriticizam o ideji besmrtnosti duše Duša, (grč. ψυχή, lat. anima), je svojim etimološkim značenjem vezana uz vjetar, životni dah, disanje. Duša označuje onaj unutarnji princip čijom snagom neko biće živi i djeluje, ona je princip svijesti. Antički i srednjovjekovni mislioci su obično razlikovali tri vrste duša: vegetativna, senzitivna i raci- 12 Isto, str

7 onalna. Toma Akvinski drži da u čovjeku postoji samo racionalna duša koja obavlja i niže aktivnosti. Stoici i neoplatonici (antički i renesansni) govore i o duši svijeta. Ljudska duša je čovjekov supstancijalni životni princip. Kršćanska filozofskoreligiozna misao naglašava razliku između duše i tijela shvaćajući čovjeka kao spoj dvaju principa, materijalnog (tijelo) i duhovnog (duša). Pitanje o duši u povijesti filozofije vodilo je do različitih odgovora. Da bi se dobio odgovor na to pitanje, potrebno je prekoračiti granice vlastitog ja koje je trajni supstrat našeg svjesnog života. Ono što se događa u čovjekovom tijelu može spoznati i neki drugi subjekt, no ono što se događa u čovjekovoj svijesti može biti shvaćeno samo od dotičnog subjekta. Čovjek osim tijela ima i dušu koja bitno određuje njegov intelektualni, osjećajni i voljni život. On bez sumnje ima prirodnu težnju za besmrtnošću odnosno težnju za trajnošću njegove egzistencije. Već su antički filozofi (Platon, Aristotel, Plotin) naučavali da duša postoji i nakon smrti (besmrtnost). Crkveni oci i skolastika su jedinstveni u tezi da je čovjekova duša besmrtna, no razlikuju se u shvaćanjima u svezi filozofskog dokazivanja njene egzistencije. Kod Descartesa besmrtnost duše je neupitna jer je potpuno druge prirode nego tijelo pa je takva od Boga pozvana na blaženstvo. Leibniz smatra da je duša centralna čovjekova monada. Ona doduše može zamijeniti tijelo, no nikada ne može bez tijela ostati. Kant priznaje u svojoj praktičnoj filozofiji (Kritika praktičkog uma) egzistenciju duhovne i besmrtne duše, no niječe mogućnost spoznaje besmrtnosti duše u okvirima teorijske filozofije. Zadobivanje najvišeg dobra na svijetu jest nužni objekt volje koja je odrediva pomoću moralnog zakona. Potpuna primjerenost volje moralnom zakonu jest svetost, neko savršenstvo za koje ni jedno umno biće ni u jednom času svojega opstanka nije sposobno. Tako je najviše dobro praktički moguće samo pretpostavkom besmrtnosti duše. Čovjek je obvezan težiti prema sve većem ćudorednom savršenstvu, što je u biti nemoguće bez vjere u besmrtnost duše. Potvrda duše je, po Kantu, nerazdvojivo povezana s dužnošću. Čovjek treba živjeti etički i moralno jer samo na taj način može prevladati granice ovoga svijeta i doći do savršenosti, blaženstva. Besmrtnost duše kao nerazdvojivo povezana s moralnim zakonom, postulat je čistog praktičkoga uma! Tako je spoznaja duše povezana s praktičkim zakonom, koji a priori bezuvjetno vrijedi. 13 Kant razlikuje: a) empirički ja sastoji se od cjelokupnosti svih unutarnjih pojava (psihički život) b) transcendentni ja predstavlja se kao realni i supstancijalni ja izvan svakog mogućeg iskustva. Iz ovoga ja moguća je samo praktična vjera. c) transcendentalni ja taj ja nije nešto što je realno, niti u pojavnosti niti u samom sebi, nego je to prije svega logički subjekt svake spoznaje, to je u biti uvjet mogućnosti a priori svake spoznaje. Taj subjekt je jedinstvo svih uvjeta a priori za svaku spoznaju neovisno od svakog iskustva. Krivo se shvaća da je kod Kanta taj Ego duša, iako se taj Ego odlikuje kroz jedinstvo, jednostavnost i identitet Kantova kritika dokazima za opstojnost Božju Immanuel Kant uspio je srušiti sve dokaze Božje opstojnosti u svojim veličanstvenim odlomcima djela Kritika čistog uma. Govoreći kako je Bog jednostavno prevelik za ovaj svijet i kako se na temelju našeg ograničenog znanja i materijalnog svijeta ne može zaključiti nešto iz svijeta gdje nema niti prostora, niti vremena i kako se ne može direktno iskusiti, Kant kao da je opovrgnuo svu vjerodostojnost dokazima za Božju opstojnost sv. Anselma Canterburyjskoga i sv. Tome Akvinskoga. Po Kantu, moguće su samo tri vrste dokaza za opstojnost Boga na osnovi spekulativnog uma. On je sve dokaze putem spekulativnog uma sveo na jedan, ontološki, a njega sa svojim argumentima opovrgao dajući do znanja kako će srušiti i sve druge dokaze koji mu se budu priložili. Kant nije zanijekao i srušio vjeru, štoviše, nigdje se nije izjasnio da nije vjernik, ali je potvrdio kako se razumom ne može spoznati Bog. Stav da Bog jest tj. da postoji najviše dobro u svijetu sintetički je stav a priori, smatra Kant u svojim razmišljanjima o opstojnosti Božjoj Ontološki dokaz za Božju opstojnost Ontološki ili apriorni argumenti vrsta su argumenata za Božju opstojnost, a posebnost im je u tome što iz apriornih premisa nastoje izvesti zaključak da Bog postoji. Apriorne premise jesu one premise do kojih nismo došli promatranjem svijeta (a posteriori), nego samim promišljanjem, što znači da 13 Usp. I. KANT, Kritika praktičkog uma, isto, str Usp. I. KANT, Kritika čistog uma, isto, str

8 je njihovo izvorište sam ljudski razum. U ontološkim se argumentima pojavljuju, ili se uz njih vežu pri objašnjenju njihove strukture, specifični filozofski izrazi poput nužno, analitički i apriorno koji najbolje karakteriziraju narav tih argumenata! Tako, npr., u povijesti prvi poznati ontološki argument (iz god.), onaj svetog Anselma iz Canterburyja, iz pojma Boga kao najvećeg bića koje se može zamisliti (analitički sud), koji mu služi, dakle, kao apriorna premisa (do nje nije došao na temelju promatranja svijeta), izvodi zaključak da takvo biće nužno mora postojati. 15 Slično njemu, ali iz drukčije apriorne premise naime iz pojma Boga kao savršenog bića kojemu se ništa ne može dodati i Descartes nastoji ukazati na nužnost Božje opstojnosti (1637. god.). Nakon Descartesa, ontološki dokaz brane i Leibniz i Hegel, a u novije vrijeme, svoje verzije ontoloških argumenata donose, između ostalih, Kurt Gödel i Alvin Plantinga Kant o ontološkome dokazu za Božju opstojnost Ontološki dokaz (Kant ga još naziva i kartezijevskim dokazom) izvodi se a priori na temelju samih pojmova, što znači da se iz pojma opstojnosti izvodi nužno biće. Međutim, premda je Božje biće ideja čistoga uma, ona još nije dokazana. Kant se naime čudi kako se uopće može dokazati njegova opstojnost iz pojma postojanja uopće. Započinje s nominalnom odredbom da je riječ o biću čiji je nebitak (nepostojanje) nemoguće i napominje da mi ne znamo uvjete koji to biće određuju tako da njegovo nepostojanje ne možemo zamisliti. Dakle, bez tih uvjeta ne znamo odnosi li se taj pojam na nešto ili ni na što. To što Kanta muči jest kako se može iz pojma mogućnosti neke stvari izvesti njezina opstojnost, štoviše, kako se može izvesti njezina nužna opstojnost, tj. kako je moguće dokazati postojanje bića koje bi odgovaralo tomu pojmu. 16 Tako se Kant koristi načelom geometrije i za to uzima primjer trokuta. Iz pojma trokuta slijedi da trokut ima tri kuta. To znači da postoji nužnost koja povezuje subjekt i predikat. Naime, ako ukinemo predikat ostaje samo pojam trokut bez njegova određenja (da ima tri kuta). Time se ukida i sam trokut. Ako se time trokut ne ukida (ne prestaje postojati) dolazimo do protuslovlja, jer apsolutna nužnost suda samo je uvjetovana nužnost stvari ili predikata u sud. Apsolutna nužnost u tom primjeru 15 Isto, str Isto, str znači da je nužno da trokut ima tri kuta, a uvjetovana nužnost znači da predikat imati tri kuta i vrijedi pod uvjetom da postoji trokut. Tu Kant napada stanovište prema kojem čisti um iz samovoljno prihvaćenoga pojma postavlja predmet koji mora nužno postojati. Dakle, u pojmu Boga mogu biti obuhvaćeni razni predikati poput jest svemoguć ili jest sveprisutan, ukinemo li pojam i predikate nema nikakva protuslovlja. No ako postavimo Boga bez predikata svemoguć i sveprisutan, onda, pod uvjetom da se držimo analogije s primjerom trokuta, zapadamo u protuslovlje, naime ukidamo postojanje apsolutno nužnog bića i tu nema ništa protuslovno. Ako Bog jest obuhvaćen pojmom najrealnijega bića, onda on sadržava svu zbilju pa i mogućnost postojanja te se tako iz logičke mogućnosti pojma zaključuje zbiljska mogućnost predmeta, što bi značilo da je postojanje obuhvaćeno u mogućnosti najrealnijega bića. Iz toga se onda zaključuje da opstojnost leži u pojmu mogućega, stoga se Božja opstojnost ne može nikako ukinuti, a da se ne zapadne u protuslovlje. Kant odbija ovakvo stanovište jer tvrdi da se iz načela da ova ili ona stvar postoji, koji je analitički sud, ne izriče ništa o toj stvari, jer za njega riječ zbilja (realnost): koja u pojmu stvari drukčije zvuči nego egzistencija u pojmu predikata, ne sačinjava stvar. 17 Iz toga onda slijedi znameniti Kantov stavak: Bitak očigledno nije realni predikat. Kant taj stav temelji na tome da ako predikat gledamo formalno logički, onda on može biti bilo što, jer se i sam subjekt u sudu može pojavljivati kao vlastiti predikat. No s pojmom određenja stvar stoji drugačije jer se tu ne apstrahira od sadržaja spoznaje. Naime, spoznaja se proširuje tako da se pojmu subjekta u predikatu pridodaje nešto novo što se prije nikako nije moglo pomišljati u subjektu, što nije bilo dio sadržaja subjekta. Stoga je realni predikat pojam o nečemu što može pridoći pojmu neke stvari, dakle, ono što prema Kantu donosi novu spoznaju o nekom predmetu, a to je moguće samo i jedino u iskustvu. S bitkom, stvar je obratna. On je ili kopula suda (trokut je geometrijski lik) ili pozicija neke stvari kao u sudu Bog jest. U tom drugom slučaju pojmu se ne pridaje nikakav predikat, nego se radi o odnosu pojma i predmeta, tj. radi se o poziciji subjekta koji, prisjetimo li se gornje argumentacije o ukidanju subjekta i predikata, ako jest, u sebi obuhvaća i sva određenja koja mu pripadaju. Dakle, ako se radi o pojmu Boga onda iz iskaza Bog jest slijedi da je on i svemoguć i prabiće i biće svih bića i najrealnije biće. 17 Isto, str

9 Stoga tu Kant zaključuje da ono što je zbiljsko ne sadržava ništa više nego ono što je moguće. 18 Nailazimo na još jedan Kantov znameniti primjer: sto talira. Stotinu zbiljskih talira i pojam o stotinu talira ne razlikuju se u sadržaju. Ali stvar postaje složenija kad se u sve to uplete pojam iskustva. Svoju spoznaju ne proširujemo pozicijom sto kuna jest, ali o tome da oni doista jesu moramo moći imati iskustvo da ih doista posjedujemo u našem novčaniku ili ih vidimo u trezoru neke banke. Naime kad bi tih stotinu kuna sadržavalo u zbilji nešto više nego li u određenju koje imam u pojmu, onda to nikako ne bih mogao znati, osim ako nemam iskustvo kojim proširujem spoznaju, a time i svoj pojam o njima. Za Kanta isto vrijedi i za pojam o Bogu, tj. i za njega važi da spoznaja mora biti moguća a posteriori, tj. u iskustvu, stoga tvrdi: Naš pojam o nekome predmetu može što i koliko hoće, mi ipak moramo izaći iz njega da bismo mu dodijelili egzistenciju. Kod predmeta osjetila događa se to zbog veze s jednim od mojih opažanja s empirijskim zakonima. No za objekte čistoga mišljenja nema nikakvoga sredstva da se spozna njihova opstojnost. Bog bi onda morao imati isti spoznajni status kao i bilo koje drugo biće s kojim se možemo susresti u iskustvu. Ako je on, dakle, mogući pojam i stoga nije protuslovan, mi ga nikako nećemo spoznati iz samih pojmova, budući da bitak nije realni predikat, a Bog nam je dan samo u ideji te nikako ne može biti predmet našega iskustva pa time o njemu ne možemo imati nikakve realne spoznaje Kantova filozofija religije (odnos morala i religije) Dakako, filozofiju religije teško je izdvojiti iz konteksta cjelokupne novovjekovne filozofije. Više je razloga. Kao prvo, stavovi novojekovnih filozofa o Bogu i religiji često su uvjetovani iskazanim stavovima u drugim dijelovima njihove filozofije. Kao drugo, stavovi o Bogu i religiji uvjetovani su i njihovim stavovima s obzirom na utjecaj znanosti, politike, ekonomije, kulture i drugih područja na njihovu filozofiju. Nadalje, njihovi su stavovi često vrlo različiti, a sličnosti je vrlo malo. Ključni su tekstovi novoga vijeka o Bogu i religiji za- ista mnogobrojni i teško ih je klasificirati. Naime, svaki od njih zahtijeva posebno objašnjenje. Ipak, tri područja kojima su se bavili novovjekovni filozofi s obzirom na Boga ističu se kao središnja, a to su: 1. pitanje Božje opstojnosti, njegovih svojstava i djelovanja 2. pitanje vrijednosti religije 3. kritika religije. U djelu Kritika čistog uma, Kant je napisao da postoje kategorije koje nadilaze granice sposobnosti čovjekovog uma, pa on o njima ne može ništa znati. Jedna od njih je i postojanje Boga (bit religije). Pošto se Bog, besmrtnost duše i sloboda, razumom ne mogu dokazati, (ali razum i neegzistenciju ovih ideja dokazati ne može) Kant zaključuje o pitanju vjere (...) morao bih znanje negirati da bih dobio mjesto za vjeru (religiju). Kant je doduše smatrao da svijetom vladaju mnoge vjere, ali je i sam vjerovao da treba postojati samo jedna religija, vjera u Boga, pa je i za tu jednu, jedinu, tražio da bude za privatnu upotrebu! Suočen sa životnim teškoćama u ovome svijetu, čovjek razvija shvaćanje univerzuma i svojeg postojanja kako bi našao svrhu i smisao života. Sama biblijska etika (onako kako bi se čovjek trebao ponašati) je u znaku dužnosti prema Bogu. U Starom zavjetu se one javljaju kao zabrane i zapovijedi dane od Boga, što je čini heteronomnom etikom čija je norma djelovanja dana čovjeku od Boga, dok temelje kršćanske etike nalazimo u Novom zavjetu gdje i dalje postoje iste te zabrane, ali one više nisu vršene od strane vjernika zbog straha od Boga nego iz ljubavi prema Bogu i čovjeku tu susrećemo ljubav kao najviša zapovijed. Upravo je i Immanuel Kant razmatrao u svojim djelima čovjeka i njegovu svrhu stavljajući u odnos njegove dvije bitne odrednice: moral i religiju. Religija je, smatra Kant, spoznaja svih naših dužnosti kao Božjih zapovijedi. Religija u kojoj se treba prethodno znati da je nešto Božja zapovijed jest objavljena dok je, po Kantu, prirodna religija ona u kojoj se mora znati da je nešto dužnost prije negoli se to može priznati za Božju zapovijed. Religija može biti prirodna, ali istodobno i objavljena, ako je tako sazdana da bi ljudi mogli i trebali do nje doći sami od sebe, upotrebom svoga uma. Prirodna religija kao moral, povezana s pojmom onoga što može izvršiti njegovu krajnju svrhu i povezana sa trajanjem čovjeka jest čisti praktički pojam uma, smatra Kant Isto, str Isto, str Usp. I. KANT, Religija unutar granica čistog uma, Izdavačkografički zavod, Beograd, 1990, str

10 Nitko se u povijesti filozofije nije ozbiljnije od Kanta držao Platonovog savjeta da se najprije treba upotrijebiti vlastiti um pa tek potom, ako je to nedovoljno, obratiti Bogu. Treba istaknuti da je religija kao tema postavljena u Kritici praktičkog uma ne samo u kontekstu pitanja Što trebam činiti? nego i pitanja Čemu se smijem nadati? Religija je tu određena kao spoznaja moralnih dužnosti kao Božjih zapovijedi. U djelu Religija unutar granica čistog uma Kant razmatra odnos religije prema ljudskoj prirodi koja je obuzeta dijelom dobrim, dijelom lošim nastrojenostima. On tu izlaže odnos dobrog i zlog principa kao dvaju uzroka koji postoje za sebe i djeluju utječući na čovjeka. Misao o radikalnom zlu proizlazi iz iskustva. Radikalno zlo se tiče nesposobnosti čovjekova htijenja da u svoju maksimu prihvati moralni zakon, i njegovo se porijeklo traži u zlom srcu svakoga od nas kao zajedničkom nazivniku za naš moralni habitus. Kant u svojim stavovima o religiji polazi od morala smatrajući da, ukoliko je zasnovan na pojmu čovjeka kao slobodnog bića, nije potrebna ni ideja nekog drugog bića nad njim da bi spoznao svoju dužnost, ni neka druga pobuda do sam zakon da bi je se pridržavao. Religija nije potrebna čovjekovoj slobodi (sloboda moralnost se u njoj ostvaruje kroz čovjekovu volju) jer je ona dovoljna sama sebi zahvaljujući čistom praktičnom umu. Za moral nije potrebna nijedna svrha za pravo djelovanje, nego mu je dovoljan zakon koji sadrži formalan uvjet za upotrebu slobode uopće. Immanuel Kant želi naglasiti da je moral u krajnjoj mjeri neovisan od religije, no ne jednom će ga povezati s njome. Kantov dvostruki odnos prema religiji proizlazi iz primata praktičnog nad teorijskim umom. Moral po Kantu, bez sumnji vodi nezaobilazno prema religiji, čime sebe proširuje u ideju jednog samovlasnog moralnog zakonodavca izvan čovjeka u čijoj volji je ona krajnja svrha (stvaranje pravednog svijeta) koja istodobno može i treba biti krajnja svrha čovjeka. Kada moral u svetosti svoga zakona raspoznaje jedan predmet od najvećeg poštovanja onda on na stupnju religije prikazuje u najvišem uzorku koji izvršava te zakone jedan predmet obožavanja i pojavljuje se u veličanstvenosti. 21 Uspostavljanje principa morala u njemu samom, tj. u volji, ideja da princip morala i religije nije u razumu, nego u volji, bitna je Kantova preokupacija. Od individue (čovjeka) se očekuje da njegove namjere budu moralno dobre. Po Kantu to je ostvarljivo premda postoje prije svega, teškoće individualne 21 Isto, str moralnosti. Čovjek mora najprije ovladati sobom, odrediti sama sebe, pa se tek onda angažirati oko svoga djelovanja. Čovjek je tako sazdan da može djelovati samo postavljajući ciljeve koji će ga odrediti, kao pojedinca, ali i u cjelokupnoj zajednici. U lancu ciljeva koji se ostvaruju pojedinačno, ali i u zajednici, bitna odrednica je i moralnost koja određuje ispravan odnos čovjeka prema sebi i nadasve prema drugima. Kant u svojim razmatranjima o moralnosti kod čovjeka primjećuje da se na čovjekovu sklonost za životinjstvo, društvenost i osobnost mogu nakalemiti svi poroci. Pokvarenost ljudskog srca ostvaruje se tek u akciji s drugima jer tek u povezanosti s njima nastaju zavist, žudnja za vlašću, za posjedovanjem, koje rasplamsavaju nagnuće za zlo. Nagnuće za zlo nije stvar čulnosti nego slobodne volje, odnosno moralnog htijenja, te se zlo mora uzeti kao uračunljivo. 22 Nastrojenost prema dobru ili prema zlu je kod svakoga nešto vlastito, svatko je za sebe njen tvorac, nije stečena u vremenu, i svatko je jedno ili drugo od same mladosti. Moralno zlo se, po Kantu, mora moći prevladati, ali nam ostaje nepojmljivo kako zao čovjek sam treba sebe učiniti dobrim. Ipak, etička zajednica na osnovi revolucije srca ostaje u Kantovim očima jedini pouzdan lijek ili barem protuteža protiv radikalnog zla. Immanuel Kant govori o vrlini nevidljive Crkve u kojoj se sjedinjuju svi koji vole dobro da bi stekli nadmoć nad zlom koje ih korjenito iskušava i kvari. Time je moralnost iz pojma osobne moralnosti proširena u pojam svjetsko-građanske ili moralnosti etičke (svjetske) zajednice. Zato u takvoj viziji nije beznačajna uloga umstvene/moralne religije. Ona pomaže da se dođe do pojma Boga kao moralnog vladaoca odnosno vrhovnog zakonodavca jedne etičke zajednice, dakle jedne instance koja je iznad moralnog zakona kao faktor uma. Učiniti da naše dužnosti shvatimo kao Božje zapovijedi jest glavni njen zadatak u stalnoj borbi da se othrvamo našoj slobodnoj volji iz koje proizlazi nagnuće prema zlu. 23 Vratit ću se za kraj općim oznakama filozofije religije novoga vijeka. Dakle, unutar nje se može reći: da Bog i religija, ali Bog i religija u svjetlu razuma, metode i znanosti, a ne u svjetlu vjere i religije. Nadalje, u prosvjetiteljstvu stoji nova ograda: da religija, ali ne nadnaravna, nego naravna. Konačno, nakon Kanta: da građanska ideologija, ali ne religija, barem ne kao 22 Isto, str Isto, str

11 javna i relevantna. Sam se Kant bavio prirodnom teologijom, iako na različite načine na teorijskom i praktičnom području. Na teorijskom području je htio pokazati da dokazi o postojanju Boga ne mogu biti dokazi u strogom smislu jer upotrebljavaju pojmove iskustva kako bi govorili o datostima s one strane svakog mogućeg iskustva. Iz toga pak Kant nije izvukao nikakav agnostički zaključak. Naprotiv, on je regulativnom idejom uma smatrao to da mora postojati apsolutni početak svijeta i da ovaj početak stoga ne može biti u svijetu pojava koje su sve uvjetovane. Veliku vrijednost Kant polaže na ograničavanje ljudskog razuma: nemamo nikakav pojam za apsolutni početak svijeta. Tu možemo misliti samo u analogijama, na primjer, apsolutni početak u analogiji sa slobodnim stvaranjem ljudskih artefakata. Analogiju, kaže Kant, ipak ne smijemo pogrešno razumjeti kao deskripciju Boga. Bog nije stvar. Što se pak praktičnog područja tiče, Kant se u svome spisu Religija unutar granica čistog uma (1793, 2. izdanje 1794) pridružio onoj Pavlovoj formulaciji koja kaže da je ćudoredni zakon Bog čovjeku zapisao u srce. Kant ovu točku još pojačava, navodeći da se istinska religija sastoji u slijeđenju moralnog zakona kojega, kao apsolutno obvezujućeg, snagom svoga uma može spoznati svaki čovjek. Sve je drugo, prema Kantu, praznovjerje bez obzira prakticira li ga turski hodža ili europski svećenik. No, je li Kantova istinska religija također kršćanska? Krenemo li od toga da moralni zakon i kršćanstvo nisu antiteze, onda Kantova istinska religija u svakom slučaju nije nekršćanska. Zanimljivo je i to da godine izlazi Fichteov Pokušaj kritike svekolikog otkrivenja. Djelo je, prema nekim podacima, greškom objavljeno bez Fichteovog imena i predgovora, pa su mnogi vjerovali da je to zapravo Kantova dugo očekivana filozofija religije. Kad je navodno Kant konačno otkrio tko je autor spisa, Fichte je već stekao ono za čim je dugo težio ovozemaljsku slavu. 7. Moralni zakon i umska vjera Dvije stvari ispunjaju dušu uvijek novim i sve većim udivljenjem i strahopočitanjem što se više i ustrajnije razmišljanje bavi njima: Zvjezdano nebo nada mnom i moralni zakon u meni. Nijednu od njih ne smijem izvan svojeg vidokruga tražiti kao obavijenu tamom ili pak u nedokučivosti; ja ih vidim pred sobom i neposredno ih povezujem sa sviješću o svojoj egzistenciji. Prva počinje od onog mjesta koje ja zauzimam u vanjskom osjetilnom svijetu, pa vezu u kojoj se ja nalazim proširuje do nedogledno-velikoga sa svjetovima nad svjetovima te sistemima od sistema, osim toga još do neograničenih vremena njihova periodičnog kretanja, s njegovim početkom i trajanjem. Druga stvar počinje od moje nevidljive vlastitosti, moje osobnosti, pa me prikazuje u svijetu koji ima pravu beskonačnost, ali koji je samo za razum primjetljiv, pa spoznajem da sam s njim ne samo kao tamo u slučajnoj, nego i u općoj i nužnoj vezi (ali na taj način ujedno sa svim onim vidljivim svjetovima). 24 Moralni je zakon svet (nepovrediv). Čovjek je doduše nesvet, ali mu čovječnost u njegovoj osobi mora biti sveta. U cijelom svijetu se sve što čovjek hoće i nad čime ima vlast može upotrijebiti također naprosto kao sredstvo; samo je čovjek, a s njime i svako umno biće, svrha sama po sebi. On je, naime, po autonomiji svoje slobode subjekt moralnog zakona, koji je svet. Kant je uvidio da je suvremenom čovjeku potreban autonoman moral, pa i religija u novom obliku mora biti u skladu s ljudskim dostojanstvom, odbacujući ugnjetavanje i nametanje sebe na osnovi autoriteta. U tom duhu je razrađena i Kantova ideja o vječnom miru. Čovjeku ne dolikuje da ubija i pljačka druge ljude jer, kao razumno biće, može rješavati probleme miroljubivim sredstvima, ako je društvo organizirano demokratski i racionalno i ako je orijentirano prema univerzalnim vrijednostima, u skladu s najvišim moralnim normama. 25 U djelu Kritika praktičkog uma Immanuel Kant formulira opće moralne maksime izvan kojih nema morala. Prema Kantu, zadaća je svakog konačnog umnog bića postizanje najvišega dobra koje se postiže u ćudorednosti te se od ćudorednosti ide prema blaženstvu. On blaženstvo određuje kao stanje umnoga bića na svijetu, kojemu u cjelini njegove egzistencije ide sve po želji i volji, pa se dakle osniva na skladu prirode s cijelim njegovim ciljem, isto tako s bitnim odredbenim razlogom njegove volje. Pretpostavka da postoji uzrok koji dovodi do blaženstva sastoji se u postuliranju Božje opstojnosti koja pripada uspostavljanju najvišega dobra, što se sastoji u vezi naše volje i moralnoga zakonodavstva čistoga uma. Kant smatra da je tu svezu uvjerljivo prikazao. Kant ipak smatra da blaženstvo nije krajnja svrha prirode, ali da čovjek može biti krajnja svrha stvaranja i to samo kao moralno biće. 24 I. KANT, Kritika praktičkog uma, Izdavačko-grafički zavod, Beograd, 1979, str Usp. I. KANT, Kritika praktičkog uma, Izdavačko-grafički zavod, Beograd, 1979, str

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

ARISTOTEL: O DUŠI. fra Dario Galić i fra Bojan Rizvan

ARISTOTEL: O DUŠI. fra Dario Galić i fra Bojan Rizvan Broj 1-4 (2009)/1-2 (2010) ARISTOTEL: O DUŠI fra Dario Galić i fra Bojan Rizvan Uvod Predstavljamo danas Aristotelovo djelo koje se naziva περι ψυχης; latinski je naziv De anima, a hrvatski O duši. Da

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα