לוגיקה למדעי המחשב תרגולים

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "לוגיקה למדעי המחשב תרגולים"

Transcript

1 לוגיקה למדעי המחשב תרגולים ניצן פומרנץ 17 ביוני 2015 אתר הקורס: במודל בשבוע הראשון התרגילים ייועלו גם ל לירון כהן: (לא לשלוח שאלות על החומר במייל) שעת קבלה של לירון: ימי ראשון 12:30, הנדסת תוכנה 209. לתאם מראש במייל. באתר הקורס במודל יש פורום; אפשר לדון שם על הכל כולל תרגילי הבית. הקורס מתחלק לשני חלקים מרכזיים: תחשיב הפסוקים ותחשיב הפרדיקטים. הערות לגבי הרשימות: מסמן מוכל או שווה. תוכן עניינים I מבוא 1 תרגול 1 1 הגדרה אינדוקטיבית הוכחה באינדוקציה מבנית תחשיב הפסוקים II 3 נוסחה חוקית / פסוק / F. W F תרגול הצרנה שלמות פונקציונלית סמנטיקה 5 תרגול מערכת הוכחה 6 תרגול משפט הדדוקציה עקביות מערכות הוכחה אחרות 7 תרגול גדירות 8 תרגול תחשיב הפרדיקטים III תרגול ספיקות ותקפות תרגול הצרנות סגור אוניברסלי תרגול פסוקים בצורת P NF 12 (בן לי וולק, עד 13 המשך הצרנות בדיקת תקפות מילון עם סימן שוויון מערכת הוכחה. HC סוף הקורס) 10 תרגול תרגול

2 חלק I מבוא תרגול 1 1 הגדרה אינדוקטיבית.f : A n A היא מהצורה f F כך שלכל,F הבסיס. קבוצת פונקציות B A A העולם. הגדרה 1.1 הסגור של B לפי X) B,F ) F היא הקבוצה המינימלית המקיימת: B X B,F.1 2. סגורה תחת F f F, x 1,..., x n X B,F f(x 1,..., x n ) X B,F דוגמא: t} A = {s, היא קבוצת המילים הסופיות מעל F = {f 1, f 2 },B = {ε, st, ts}.s, t כאשר: f 1 (w 1, w 2 ) = sw 1 w 2 t f 2 (w 1, w 2 ) = w 1 w 2 w 1 מה יש ב X? B,F איך מוכיחים ש a? X B,F a X B,F a has a creation sequence from B in F.st X B,F יש אינסוף סדרות יצירה. מספיק להראות אחת בשביל להוכיח. נראה שתיים: st.1 atom ɛ.1 atom st.2 f 1 (ɛ, ɛ) מילה נוספת: sttsst X B,F ts.1 atom st.2 atom sttsst.3 f 2 (st, ts) כעת נרצה להראות שאיבר.sst / X B,F איך מוכיחים ש?a / X B,F X B,F T A אבל a: / T נחפש תכונה T, שכל האיברים בסגור מקיימים אותה והאיבר הספציפי אינו מקיים אותה. נגדיר T = { w {s, t} w is even } 1

3 1.1 הוכחה באינדוקציה מבנית יהיו T,X B,F המקיימות: B T.1.2 לכל f F אם a 1,..., a n T אז f(a 1,..., a n ) T אזי.X B,F T נוכיח באינדוקצית מבנה שכל המילים באורך זוגי. הבסיס: אם = 2 ts ɛ = 0, st = אז.B T נניח,w 1, w 2 T כלומר קיימים n, m N כך ש 2m w 1 = 2n, w 2 = אם ) 2 w = f 1 (w 1, w אז w = sw 1 w 2 t ולכן 2(n+m+1) w = s + w 1 + w 2 + t = 1+2n+2m+1 = כלומר מאורך זוגי אם ) 2 w = f 2 (w 1, w אז w = w 1 w 2 w 1 ולכן m) w = w 1 + w 2 + w 1 = 2n + 2m + 2n = 2(2n + כלומר מאורך זוגי כעת b} B = {aa},a = {a, ו { f } F = כאשר: דוגמא: { f(w) = aawb w starts with a bbwa else נוכיח שלא בעזרת אינדוקציה מבנית. נסמן: T = { w {a, b} w starts with a } האם?bba? X B,F הבסיס: aa מתחיל ב a. נניח,w 1 T כלומר w 1 מתחילה ב a. ) 1 :w = f(w לפי הנחת האינדוקציה wמתחילה 1 ב a ולכן.w = aaw 1 b וסיימנו. S = {w {a, b} # a (w) > # b (w)} האם?aaaabbbb / X B,F הבסיס:.aa 0 >.2 נניח,w 1 S כלומר (w).# a (w) > # b ;w = aaw 1 b אז מתחילה ב a אם w 1 :w = f(w 1 ) לפי הנחת האינדוקציה על w: 1 # a (w) = 2 + # a (w 1 ) > 1 + # b (w 1 ) = # b (w) אם w 1 מתחילה ב b אז w = bbw 1 a לא עובד! צריך לחזק את ההנחה X B,F S T S 2

4 חלק II תחשיב הפסוקים תרגול נוסחה חוקית / פסוק / F W F על: {P i i N} {,,,,, (, )} נגדיר נוסחה חוקית באופן אינדוקטיבי: כל פסוק אטומי הוא נוסחה חוקית. אם α, β נוסחאות חוקיות אז גם:,( α) (α β) כאשר },, {, דוגמא: האם (P 3 (P 2 ( P 1 ))) נוסחה חוקית? P 3.1 P 2.2 P 1.3 ( P 1 ).4 (P 2 ( P 1 )).5 (P 3 (P 2 ( P 1 ))).6 P 3 P 2 P דוגמא: האם ) 2 (P! P נוסחה חוקית? טענה 2.1 בנוסחה חוקית, בין כל שני פסוקים אטומיים מופיע קשר. הוכחה: (באינדוקציה מבנית); בסיס: α: = β הטענה מתקיימת באופן ריק. נניח את הטענה עבור נוסחאות,β. γ נפריד למקרים: אם (β ) α: = כל שני פסוקים אטומיים ב α הם ב β ולפי הנחת האינדוקציה על β, יש ביניהם קשר. אם (γ α: = β) יהיו שני פסוקים אטומיים ב α. אם שניהם ב β (ב γ ), לפי הנחת האינדוקציה יש ביניהם קשר. אם אחד ב β והשני ב γ יש ביניהם. הביטוי ( 2 P) 1 P אינו מקיים את התכונה הנ"ל, ולכן אינו נוסחה חוקית. 3

5 3 הצרנה 1. אם מחר ירד גשם (p), לא אבוא להרצאה (q). 1 p q 2. אצליח בבחינה (a) רק אם אעשה את תרגילי הבית (b). a b קשר הגרירה הלוגית לא מסתיר שום משמעות של זמן, ולכן הגרירה היא לא בהכרח במובן של סיבה ותוצאה לאורך זמן. אפשר להסתכל גם על (a b ) אבל אז נאבד את הצורה של הטענה. כדאי לנסות להצרין את הטענה באופן דומה לניסוח הטענה. 3. אם לא אצא עכשיו (p), אאחר (q). p q נשים לב שיש דמיון גדול בין הטענה הנ"ל לטענה: אם אצא עכשיו, לא אאחר. p q וזו הצרנה אחרת לגמרי! מומלץ להיצמד למשפט כפי שהוא כתוב ולא לתרגם אותו למה שאנו חושבים שהוא אומר. 4. טיעון מורכב: אם יוסי הגיע לתחנה (a) והרכבת יצאה בזמן (b), הוא היה פה עכשיו (c). (a b) c יוסי הגיע לתחנה אך אינו כאן עכשיו. a c מכאן, שהרכבת לא יצאה בזמן. (a b) c, a c = b 4 שלמות פונקציונלית α β ( α β) }, {, שלמה פונקציונלית {, } שלמה פונקציונלית, כי 1 מעתה נשמיט סוגריים לפי כללי השמטת סוגריים שנראו בהרצאה. 4

6 תרגיל: נגדיר קשר דו מקומי חדש p q p q t t f t f f f t f f f t הוכח כי { }, שלמה פונקציונלית. נבנה בעזרתו קבוצה שלמה פונקציונלית אחרת: α α α α β ( α) ( β) (α α) (β β) הערה 4.1 טעות נפוצה היא לבנות את בעזרת ו למשל, אבל זה לא מעניין אותנו תרגיל: הוכח כי הקבוצה {, } אינה שלמה פונקציונלית. נחפש תכונה שכל הנוסחאות מעל הקשרים האלה חייבות לקיים, אך יש טבלת אמת שלא מקיימת את הנוסחה הזאת. טענה 4.2 בכל נוסחה חוקית מעל {, }, בכל השמה בה כל הפסוקים האטומיים יקבלו t, גם הנוסחה תקבל t. הוכחה: ההוכחה באינדוקציה מבנית, כשמשתמשים רק בקשרים הנתונים: {, }. כעת ניקח טבלת אמת כלשהי שבשורה מסוימת בטבלה מקבלת רק t ומחזירה f. את טבלת האמת הזאת אי אפשר לממש בעזרת הקשרים {, }, לפי הטענה. השמה v מספקת פסוק α אם v(α) = t ונסמן v = α תרגול סמנטיקה פסוק יקרא ספיק אם יש השמה המספקת אותו (קבוצת פסוקים תיקרא ספיקה אם יש השמה המספקת את כל הפסוקים בה) פסוק יקרא טאוטולוגיה אם כל השמה מספקת אותו (α = ) פסוק יקרא סתירה אם אין השמה המספקת אותו חשוב לשים לב להבדלים בין השימוש בתוך תחשיב הפסוקים לבין המטה שפה (דיבור מלמעלה) אם נאמר ש α אינו טאוטולוגיה זה אומר שיש השמה שלא מספקת אותו. אבל אם α טאוטולוגיה α סתירה. כלומר טאולוגיה וסתירה אינם מושגים דואליים. ספיקות וסתירה הם מושגים דואליים. פסוקים α, β נקראים שקולים אם לכל השמה v(β) (α β) v(α) = פסוק α נובע מקבוצת פסוקים Γ אם בכל השמה בה Γ מסתפקת, גם α מסתפקת (α Γ) = הערה 5.1 תמיד נביעה היא של כל הפסוקים משמאל לסימן. כלומר,a b = c זה כמו,a} {b = c הערה a = b 5.2 אינה בשפת תחשיב הפסוקים. זוהי טענה, ועליה נוכל לומר האם היא נכונה או לא נכונה דוגמאות: טאוטולוגיות α α.1 α α.2 α α.3 5

7 סתירות.1 (α α) }{{} Demorgan α α }{{} α α α α }{{} α α comm, α α.2.3 α α לא סתירה נביעות α, α β = β האם הנביעה p, q r, q p = p מסתפקת? כן תכונות:.1 רפלקסיביות: α = α Γ Γ, Γ = α Γ = α 2. מונוטוניות: הערה 5.3 האם α, β = γ אומר אותו דבר כמו?(α β) γ לא! (α β) γ הוא פסוק בשפת תחשיב הפסוקים, ולבדו אין לו שום משמעות. = הוא במטה שפה. נוכל לתת לפסוק השני משמעות באופן הבא:,α β = γ מתקיימת אמ"מ α) (β γ טאוטולוגיה. (בתרגיל בית) האם,p? q = r r צד ימין הוא טאוטולוגיה נכון בכל השמה. לכן בפרט הוא נכון בכל השמה שמספקת את ההנחות. טאוטולוגיה נובעת מכל דבר, "מהקבוצה הריקה". r r = T יכול להיות נכון רק עבור T טאוטולוגיה, ועבור כל טאוטולוגיה.,p p = q נכון לכל q, כי אין אף השמה שמספקת את p וגם p. או באופן כללי יותר מקבוצה לא ספיקה נובע כל דבר. טענה Γ = α 5.4 אמ"מ { α} Γ אינה ספיקה. הוכחה: : נניח Γ. = α נניח בשלילה כי {α } Γ ספיקה. לכן, קיימת השמה v כך ש { α } v. = Γ כלומר, α. אמורה לספק גם את Γ וזוהי סתירה לנביעה, כי כל השמה שמספקת את v =α ואז v = α וגם v = Γ : נניח ש { α } Γ אינה ספיקה. תהא v השמה המספקת את Γ. נניח בשלילה v =α לכן v = α אבל אז { α},v = Γ בסתירה להנחה תרגיל: תהיינה,A B נוסחאות שיש להן פסוק אטומי משותף יחיד P. 0 הוכח כי אם (B P 0 A) טאוטולוגיה, אז P 0 A או P 0 B טאוטולוגיה. הוכחה: נניח B) P 0 (A טאוטולוגיה. נניח בשלילה P 0 A לא טאוטולוגיה וגם P 0 B לא טאוטולוגיה. לכן, קיימות השמות v 1, v 2 כך ש v 1 =P 0 A v 2 =P 0 B v 1 = P 0 v 2 = P 0 v 1 = A v 2 =B v 1 (q) v(q) = v 2 (q) t q appears in A q appears in B else נגדיר השמה חדשה v: ואז v(a) = v 1 (A) = t,v(p 0 ) = t ו f.v(b) = כלומר B) v =P 0 (A בסתירה. 6

8 תרגול מערכת הוכחה α (β α) :A 1 (α (β γ)) ((α β) (α γ)) :A 2 ( β α) (α β) :A 3 α α β β :MP הערה 6.1 באקסיומות אפשר להציב כל דבר. ב MP אפשר להציב רק את מה שכבר ראינו שיכיח, ורק במבנה המתאים. α β, β γ α γ תרגיל: 2 Γ α β (1) Γ β γ (2) A 2 (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (3) A 1 (β γ) (α (β γ)) (4) MP 2,4 α (β γ) (5) MP 3,5 (α β) (α γ) (6) MP 1,6 α γ (7) 6.1 משפט הדדוקציה Γ α β Γ, α β על פי משפט הדדוקציה, מספיק להראות בתרגיל הקודם ש α β, β γ, α γ Γ α (1) Γ α β (2) Γ β γ (3) MP 1,2 β (4) MP 3,4 γ (5) הערה 6.2 נשים לב שההוכחה הקודמת קונסטרוקטיבית וזו לא. אף על פי כן, הוכחת משפט הדדוקציה שראינו הייתה קונסטרוקטיבית ומתארת אלגוריתם שמאפשר לראות בנייה. 2 נסמן ב Γ הנחות 7

9 תרגיל: תהי C HP המערכת המתקבלת מ C HP על ידי החלפת A 3 באקסיומה: ( β α) (( β α) β) :A (Γ ϕ Γ הוכח כי ו C HP שקולות ϕ) β α, β α β A למה 6.3 הוכחה: לפי משפט הדדוקציה, מספיק להראות ש α β, β γ Γ β α (1) Γ β α (2) A 3 ( β α) (α β) (3) MP 1,3 α β (4) A 3 ( β α) ( α β) (5) α α α α (6) α γ(2, 6) β α (7) MP 5,7 α β (8) Γ Γ α β Γ, α β α β Γ, α Γ. ואז לפי משפט הדיכוטומיה (משפט ההוכחה לפי מקרים) שהוכחנו בכיתה β הערה 6.4 כפי שעשינו בתרגיל הזה, אפשר להשתמש בכל טענה שהוכחנו בתוך טענות אחרות, כאילו כתבנו את אותן שורות במקום המתאים. β α, α β β למה A הוכחה: מספיק להראות ש בגלל שההוכחה של משפט הדדוקציה משתמשת רק ב A 1, A 2 ו MP אז היא נכונה גם עבור C HP (בדקו!). Γ β α (1) Γ α (2) A ( β α) (( β α) β) (3) MP 1,3 ( β α) β (4) A 1 α ( β α) (5) MP 2,5 β α (6) MP 4,6 β (7) הוכחה: של התרגיל: מיידי משתי הלמות. 8

10 6.2 עקביות הגדרה 6.6 קבוצת פסוקים Γ נקראת עקבית במערכת הוכחה F אם קיים פסוק β כך ש Γ F β. Γ Γ וגם α משפט Γ 6.7 עקבית ב C HP אם ורק אם לא קיים פסוק α כך ש α.hp אינה עקבית ב C Γ {ϕ} אם ורק אם Γ,Γ ϕ (רפלקסיביות) לכן ϕ וגם (מונוטוניות) Γ, ϕ.γ ϕ לכן Γ, ϕ ו ϕ Γ, ϕ אז ברור ש ϕ Γ תרגיל: ϕ הוכחה: : נניח ϕ.hp אינה עקבית ב C Γ {ϕ} : נניח {ϕ} Γ אינה עקבית ב C ϕ.hp תרגול מערכות הוכחה אחרות תהי F מערכת הוכחה כלשהי עבור תחשיב הפסוקים.Γ F הגדרה 7.1 קבוצה Γ היא עקבית ב F אם קיים פסוק α כך ש α הוכח / הפרך: 1. אם φ עקבית ב F, אז F נאותה. לכן היא עקבית. היא לא נאותה F נפריך: ניקח מערכת בלי כללי היסק, ואקסיומה אחת. 3 P 0 מתקיים P 1 אבל P 0 ) P 0 אינה טאוטולוגיה). F מכיוון ש P 0 2. אם F נאותה אז עקבית ב F.. אבל אז מהנאותות נקבל כי P 0 טאוטולוגיה F הוכחה: נניח בשלילה φ אינה עקבית ב F. לכן בפרט, P 0 וזו כמובן סתירה תרגיל: נוסיף לשפת תחשיב הפסוקים קשר חד מקומי חדש. תהי S המערכת המכילה את בתוספת הבאים: α α :B 1 (α β) ( α β) :B 2 α α :B 3 וכלל היסק: α α הוכח: Γ, α S β אם ורק אם Γ S α β הוכחה: : נתון כי Γ S α β α β (1) assum. α (2) 2 α (3) MP 1,3 β (4) 3 לפי מוסכמות עד עתה P 0 הוא בהכרח איבר אטומי ולא משתנה שמייצג משהו אחר. 9

11 : נניח Γ, α S β לכן קיימת סדרת הוכחה ϕ 1,..., ϕ n = β מתוך {α} Γ ב S. נראה באינדוקציה ש Γ S α ϕ i בסיס: אם ϕ 1 אקסיומה: axiom/assum. ϕ 1 (1) A 1 ϕ 1 ( α ϕ 1 ) (2) MP 1,2 α ϕ 1 (3) אם :ϕ 1 = α B 1 α α נניח את טענת האינדוקציה עבור i. < n אם ϕ n אקסיומה או הנחה; מטופל כמו מקרה הבסיס. אם ϕ n מתקבל מ (i, j < n) ϕ i, ϕ j = ϕ i ϕ n ע"י :MP לפי הנחת האינדוקציה: Γ S α (ϕ i ϕ n ), Γ S α ϕ i induction hyp. α ϕ i (1) 2 MP α (ϕ i ϕ n ) (2) A 2 ( α (ϕ i ϕ n )) (( α ϕ i ) ( α ϕ n )) (3). (4) α ϕ n (5) אם ϕ n = ϕ i התקבל מ (i < n) ϕ i ע"י : לפי הנחת האינדוקציה,.Γ S α ϕ i induction hyp. α ϕ i (1) 1 ( α ϕ i ) (2) B 2 ( α ϕ i ) ( α ϕ i ) (3) MP 2,3 α ϕ i (4) B 3 α α (5) trans. α ϕ i (6) תרגיל: קבוצת פסוקים Γ נקראת חצי ספיקה אם יש שתי השמות v 1, v 2 כך שלכל ϕ: Γ v 1 ϕ or v 2 ϕ הוכח כי Γ חצי ספיקה אם ורק אם כל תת קבוצה סופית של Γ חצי ספיקה. הערה 7.2 יש תרגילים רבים בסגנון זה, הקשורים למשפט הקומפקטיות. הנקודה המהותית היא הבניה. צריך לבנות קבוצת פסוקים, שתחקה את התכונה המדוברת בשאלה. אז נוכל להפעיל את משפט הקומפקטיות. 10

12 בניה: T חצי ספיקה T ספיקה. אז Γ חצי ספיקה Γ ספיקה (לפי קומפקטיות) כל תת קבוצה סופית של Γ ספיקה כל תת קבוצה סופית של Γ חצי ספיקה. הוכחה: (ניתנה הוכחה חלקית) בה"כ נניח כי Γ מעל הפסוקים האטומיים {N P}. i i נגדיר את Γ מעל הפסוקים האטומיים N} {P i, Q i i 4. לכל ϕ Γ נבנה ϕ ע"י החלפת כל P i ב.Q i נגדיר: Γ = {ϕ ϕ ϕ Γ} נרצה להראות ש Γ חצי ספיקה Γ ספיקה. : נניח ש Γ חצי ספיקה. לכל v 1 ϕ :ϕ Γ או.v 2 ϕ נגדיר השמה :v { v 1 (P i ) R = P i v(r) = v 2 (Q i ) R = Q i ונקבל v ϕ או.v ϕ ניקח.ψ Γ בהכרח ψ = ϕ ϕ עבור ϕ Γ כלשהו. נקבל ש t 5 v(ψ) =. אז Γ ספיקה. : נניח ש Γ ספיקה. אז קיימת השמה v שמספקת אותה. תהי v 1 השמה כלשהי כך ש v(p i ) = P i לכל.i N לכל v 2 (P i ) = v(q i ) השמה כלשהי המקיימת ו v 2,i N תהא ϕ Γ אז ϕ ϕ Γ ואז בהכרח v(ϕ) = t או. v( ϕ) = t אבל v(ϕ) v 1 (ϕ) = 6 ובאותו אופן ϕ) v 2 (ϕ) = v(. לכן ϕ מסתפקת על ידי v 1 או על ידי,v 2 אז Γ חצי ספיקה כדרוש. Ass(Σ) = {v Ass v Σ} קבוצת פסוקים Σ מגדירה את קבוצת ההשמות: תרגול גדירות Ass(Σ) Σ {v t } {P i i N} Ass All tautologies Ass W F F { {v t, fttt.. } Pi i N +} הגדרה 8.1 קבוצת השמות K נקראית גדירה אם קיימת קבוצת פסוקים Σ כך ש Ass(Σ) = K איך מוכיחים שקבוצת השמות גדירה? תרגיל: הוכח כי K even = {v v P i, i is even} גדירה. הוכחה: נגדיר even}.σ = {P i i is צ"ל: Ass(Σ) = K even v K even even i, v P i α Σ, v α v Σ v Ass(Σ) 4 "מבחינת מימוש", אפשר לומר למשל ש P i הם p 2i ו Q i הם 1+2i p. 5 יש להסביר מדוע 6 יש להסביר מדוע 11

13 תרגיל: לכל j N נגדיר K j = {v v satises up to j atoms} = {v {P i v(p i ) = t} j} { ( ) Σ j = P i i A הוכח כי לכל K j j, גדירה. הוכחה: לכל j נגדיר } A N, A = j + 1 צ"ל: Ass(Σ j ) = K j v K j A N A = j + 1, i A : v P i A N A = j + 1, v i A P i ( ) A N A = j + 1, v P i a Σ j, v α v Σ j v Ass(Σ j ) i A איך מוכיחים שקבוצת השמות K אינה גדירה? 1. נניח בשלילה כי K גדירה על ידי קבוצת פסוקים X. 2. נגדיר קבוצת פסוקים Y עבורה אנו יודעים למצוא את ) Ass(Y (וגם קל) 3. נוכיח כי X Y אינה ספיקה: Ass(X Y ) = Ass(X) Ass(Y ) = K Ass(Y ) = 4. נוכיח כי X Y ספיקה (על ידי משפט הקומפקטיות): D x = D X, D y = D Y תהי D X Y סופית. נגדיר: נבנה השמה v שמספקת את D y ונרחיב אותה כך שתספק את D x (שתהיה ב K ). אז: v D = D x D y ולכן לפי משפט הקומפקטיות, X Y ספיקה תרגיל: הוכח כי הקבוצה K inf = {v v satises an innite number of atoms} = {v {P i v(p i ) = t} = } אינה גדירה. נעקוב בהוכחה אחרי השלבים שהגדרנו לעיל. הוכחה:.1 נניח בשלילה ש K inf גדירה על ידי X כלשהי; Ass(X) = K inf.2 נגדיר N},Y = { P i i ואז } f Ass(Y ) = {v 12

14 Ass(X Y ) = Ass(X) Ass(Y ) = K inf {v f } }{{} = v f / K inf 3. נוכיח כי X Y אינה ספיקה:.4 נוכיח כי X Y ספיקה. תהי D X Y סופית. נגדיר D x = X D ו D.D y = Y D y מהצורה } ik.{ P i1,..., P נסמן ב m את האינדקס המקסימלי של האטומים ב.D y נגדיר: { f i m v = t i > m,v K inf,v D y לכן v X ואז.v D x מתקיים v D = D x D y ועל פי משפט הקומפקטיות X Y ספיקה תרגיל: עבור,n N השמה v תיקרא n חזקתית אם לכל + N :i v P (n+2) i לכל n N נסמן ב K n את קבוצת ההשמות ה n חזקתיות. (פתרונות חלקיים) 1. הוכח או הפרך: K n גדירה לכל n. כן גדירה (הקבוצה מוגדרת בדיוק לפי הפסוקים האטומיים שהיא אמורה לספק). 2. השמה v תיקרא חזקתית אם קיים n שעבורו היא n חזקתית. נסמן ב K את קבוצת כל ההשמות החזקתיות. הוכח או הפרך: Ass\K גדירה. (האם קבוצת כל ההשמות שאינן חזקתיות, גדירה?) לא גדירה נחפש את הקבוצה Y הכי פשוטה שאנחנו יכולים: Y = {P i } 13

15 חלק III תחשיב הפרדיקטים תרגול נוסחה שם עצם R(t 1,...t n ) c α, α β,... x ( x α), ( x α) f(t 1,.., t n ) v(ϕ) {t, f} v(t) D M נתבונן בנוסחה: ( x R(x, c)) D M2 = N Domain D M1 = {0} (x, y) R M2 x y Relation R M1 = {(0, 0)} c M2 = 0 Constant c M1 = 0 מה המשמעות של? לכל מה? נגדיר מבנים M 1, M 2 לדוגמה: במבנה M, 2 מה המשמעות של (c?r(x, זה כמו 0 x. האם זו נוסחה נכונה? לא בהכרח, זה תלוי ב x. בלוגיקה קלאסית מסדר ראשון, התחום (Domain) חייב להיות לא ריק! תזכורת להגדרות מההרצאה (ודוגמאות):.ϕ של הוא t מודל (M, v) ונאמר כי M, v ϕ נסמן. v(ϕ) = t אם v והשמה M ספיקה במבנה ϕ,m. v כך ש ϕ v אם קיימת השמה M ספיקה במבנה ϕ ϕ ספיקה אם קיים מבנה בו היא ספיקה. R(x) ϕ. של v מודל הוא ונאמר ש M M ϕ אז נסמן,M. v ϕ v, לכל השמה אם נכונה ב M ϕ c) R(x, ב M 1 בגלל שהיא פסוק ב M 2 R(x, c) ϕ היא v ספיקה אם יש לה v מודל. נאמר ש ϕ תקפה אם היא נכונה בכל מבנה. R(x) R(x) ( x P (x)) ( x P (x)) תרגיל הוכח / הפרך: אם x ϕ נכונה ב M, אז ϕ נכונה ב M. לא נכון: ניקח (x) x P עם מבנה.P M = N even,d M = N :M ברור ש ( x ) x P מתקיים. ניקח = 7.v(x) אז (x).m, v P 14

16 נחפש נוסחה ϕ ספיקה אינה v ספיקה נתבונן ב P (x) x P (x) נוסחה זו מסתפקת: למשל עם המבנה מהתרגיל הקודם וההשמה = 4.v(x) למה היא לא v ספיקה? הוכחה: (לא פורמלית) בשביל לספק את הנוסחה, ההשמה חייבת לספק את (x) P וגם את (x) x. P אז אם (x) x, P נכונה במבנה הספציפי שלקחנו, קיימת השמה ל x שעבורה (x) P ואז עבור אותה השמה ל x לא יתקיים (x) P. אז זו השמה שאינה מספקת את הנוסחה ולכן נוסחה זו לא v ספיקה. Γ t ϕ Γ v ϕ Γ v ϕ Γ t ϕ ראינו בכיתה: נראה דוגמה לכך שהגרירה לא מתקיימת בכיוון v נביעה t נביעה: t R(x) x R(x) עם המבנה שראינו קודם D M = N, P M = N even והשמה = 6.v(x) אבל R(x) :R(x) v x מהם המבנים M בהם R(x) נכונה? בהכרח צריך להתקיים R. M = D M עוד דוגמה: x = c v x y (x = y) אפשר לבדוק ש t נביעה אינה מתקיימת, כי אפשר למצוא מבנה מתאים. D ואז כל האיברים שווים! אבל בשביל v מודל שיתאים לc x, = בהכרח מתקיים = 1 M ϕ = ( x P (x) x R(x)) x (P (x) R(x)) תרגול ספיקות ותקפות דוגמה האם ϕ ספיקה? תקפה? ניקח P M = R M = {0},D = N :M קל לראות ש v M, כלומר ϕ ספיקה. אבל ϕ אינה תקפה: למשל D = N ו P M = N even ו.R M = N odd ϕ = ( x P (x) x P (x)) y z (P (y) P (z)) דוגמה ϕ תקפה. יהי M מבנה כלשהו. אם :P M = D M x P (x) (1) M x P (x) x P (x) (2) M ϕ (3) M x P (x) כשהמעבר מ 1 ל 2 הוא לפי טבלת האמת של. אם = M :P 15

17 M y z (P (y) P (z)) M ϕ אז מתקים 2 במקרה הקודם לפי טבלת האמת של. אם P M D : יש,a P M יש.b / P M ואז: טענה 9.1 תהא T קבוצת נוסחאות ו ϕ פסוק. {ϕ} v ספיקה T אם ורק אם T. v ϕ הוכחה: : נניח {ϕ} v ספיקה. T לכן קיים M בו הקבוצה נכונה, כלומר: M T וגם M. ϕ ברור ש ϕ.m מצאנו v מודל של T שאינו v מודל של ϕ ולכן. T v ϕ : נניח T. v ϕ קיים מבנה M כך ש M T וגם M. ϕ בגלל ש ϕ פסוק (אין לו משתנים חופשיים ואז הוא לא תלוי בבחירת ההשמה עצמה) נקבל M. ϕ {ϕ} M T ולכן הקבוצה v ספיקה תרגיל: למצוא הפרכה לטענה אם לא נתון ש ϕ פסוק. טענה 9.2 יהיו t, s 1, s 2 שמות עצם. אם ) 2 v(s 1 ) = v(s אז /x]).v (t [ s1 /x]) = v (t [ s2 הוכחה: באינדוקציה על מבנה שם העצם t. מקרי הבסיס: :t = c v (c [ s1 /x]) = v(c) = v (c [ s2 /x]) v (y [ s1 /x]) = v(y) = v (y [ s2 /x]) :t = y x v (x [ s1 /x]) = v(s 1 ) = v(s 2 ) = v (x [ s2 /x]) :t = x נניח את טענת האינדוקציה עבור שמות עצם t 1,..., t n ונוכיח עבור ) n.f (t 1,..., t 7 v (f (t 1,..., t n ) [ s1 /x]) = v (f (t 1 [ s1 /x],..., t n [ s1 /x])) = f M (v (t 1 [ s1 /x]),..., v (t n [ s1 /x])) IH = f M (v (t 1 [ s2 /x]),..., v (t n [ s2 /x])) = v (f (t 1 [ s2 /x],..., t n [ s2 /x])) = v (f (t 1,..., t n ) [ s2 /x]) 10 הצרנות הטענה: יש חתול חכם מעל המילון: יחס חד מקומי ( ) C עבור חתול, ו ( ) S עבור חכם. x (C(x) S(x)) כל החתולים חכמים x (C (x) S (x)) הערה 10.1 כלל אצבע: תמיד ילך עם, ו תמיד ילך עם (עד כדי שקילויות). IH = Induction Hypothesis 7 16

18 תרגול סגור אוניברסלי הגדרה ϕ 11.1 נוסחה. } n F V (ϕ) {x 1,..., x סגור אוניברסלי של ϕ הוא פסוק מהצורה. x 1... x n ϕ סימון:.ϕ הערה ϕ פסוק. (בן לי וולק, עד סוף הקורס) 2. הסגור האוניברסלי אינו יחיד. 3. באופן דומה, אם Σ קבוצת נוסחאות. נגדיר: Σ = { ϕ ϕ Σ } תרגיל: תהא Σ קבוצת נוסחאות. הוכיחו שאם Σ t ספיקה אז t ספיקה. Σ 8 כלומר, אם יש מבנה M והשמה v שמספקים את Σ, אז יש מבנה M והשמה v שמספקים את Σ. הוכחה: נניח ש Σ t ספיקה. אז יש M, v ש Σ.M, v כיוון ש Σ קבוצת פסוקים מתקיים ש Σ.M כלומר, לכל השמה,v ולכל.M, v x 1... x n ϕ :ϕ Σ לכל,v לכל ϕ Σ ולכל :d 1,..., d n D M M, v [ d1 /x 1, d2 /x 2,..., dn /x n] ϕ תהי u השמה כלשהי ב M. לכן היא מקיימת,M. u Σ אז t ספיקה. Σ שאלה: האם הכיוון ההפוך נכון? כלומר: האם t ספיקה Σ Σ t ספיקה? תשובה: לא. R(y)} t ספיקה, Σ.Σ = { x R(x), y R(y)},Σ = {R(x), y Σ אינה. M x R(x) d D M, d R M R M = D M M y R(y) d D M, d / R M בסתירה תרגיל: (ממבחן!) τ מילון. Σ קבוצת פסוקים מעל ϕ, ψ.τ נוסחאות. נתון y).σ v x y ψ(x, נגדיר מילון חדש σ, ע"י הוספת סימן פונקציה חד מקומי חדש f ל τ. הוכיחו: עבור Σ קבוצת נוסחאות מעל τ, אם Σ { x ψ(x, f(x))} v ϕ אז Σ. v ϕ הוכחה: יהי M מבנה מעל המילון τ שמספק את Σ. המטרה: להראות ש M מספק את ϕ. כיוון ש M מספק את Σ, מהנתון נובע ש ( y M x y ψ(x, נמצא מבנה M מעל σ שיספק את f(x))} Σ. x } ψ(x, הפירושים לסימנים ב τ : כמו ב M ; העולם.f M : D M D M = D M D M כלומר להגדיר,f נשאר: לפרש את.D M = D M נשתמש ב ( y.m x y ψ(x, לכל d D M קיים e d D M כך ש [ d/y.m ψ [ d /x, e נגדיר,f M (d) = e d ואז f(x)).m x ψ(x, בנוסף M Σ כי כל הנוסחאות ב Σ מוגדרות מעל τ ו M זהה ל M על τ. אז ϕ.m ϕ מוגדרת מעל τ ולכן אם M ϕ גם. M ϕ פסוקים בצורת P N F תרגול הגדרה 12.1 פסוק ϕ הוא בצורת P NF אם ϕ = Q 1 x 1 Q 2 x 2...Q n x n α כאשר } {, i Q לכל i n 1 ו α נוסחה חסרת כמתים. 8 תזכורת: עבור קבוצת פסוקים, t ספיקות ו v ספיקות הן תכונות שקולות 17

19 טענה 12.2 לכל פסוק ϕ קיים פסוק שקול ϕ בצורת P. NF משפט 12.3 סקולם: קיים אלגוריתם שבונה, בהינתן פסוק ϕ פסוק אוניברסלי ϕ כך ש ϕ ספיק אם ורק אם ϕ ספיק. x 1... x n y ϕ(x 1,..., x n, y) x 1... x n ϕ(x 1,..., x n, f(x 1,..., x n )).1 להעביר את ϕ לצורת P NF 2. סילוק כמתי : כש f סימן פונקציה חדש y ψ(y) ψ ( c /y) הגדרה 12.4 מבנה הרברנד: τ מילון. M מבנה הרברנד עבור τ אם:.1 לכל d D M יש שם עצם s ללא משתנים מעל τ כך ש d s M =.2 לכל שני שמות עצם שונים,.s M 1 s M 2,s 1 s 2 משפט 12.5 הרברנד: τ מילון ללא סימן =. ϕ פסוק אוניברסלי מעל τ. אז ϕ ספיק אם ורק אם ϕ ספיק במבנה הרברנד תרגיל: הוכח: יהי ϕ פסוק יישי. אם ϕ נכון בכל מבנה הרברנד, אז ϕ תקף (לכל מבנה M). ϕ M, הוכחה: ϕ תקף אם ורק אם ϕ אינו ספיק באף מבנה. ϕ שקול לפסוק אוניברסלי. כיוון ש ϕ נכון בכל מבנה הרברנד, ϕ אינו ספיק באף מבנה הרברנד ולכן ϕ אינו ספיק תרגיל: יהי τ מילון, בלי סימן = ועם סימן קבוע אחד לפחות. הוכח/הפרך: יהי ϕ פסוק ספיק מעל τ, אז ל ϕ יש מודל שהוא מבנה הרברנד. הטענה אינה נכונה. דוגמה: τ מילון עם סימן קבוע אחד בלבד R c. סימן יחס חד מקומי. ϕ = R(c) x R(x) ϕ ספיק. D. M = { c M } חייב לקיים τ עבור M אינו ספיק במבנה הרברנד כי כל מבנה הרברנד ϕ תרגיל: הוכח/הפרך: אם פסוק נכון בכל מבנה הרברנד אז הוא תקף. דוגמה נגדית: ϕ = (R(c) x (R(x) R(f(x)))) x R(x) מילון: מכיל סימן קבוע c, סימן פונקציה חד מקומית f, סימן יחס חד מקומי R. ϕ לא תקף: נמצא מבנה M שבו ϕ לא נכון. למשל: f M.R M = {x x 1}.D M = N פונקציית העוקב ו 1 = M ϕ.c אינו נכון ב M. נניח בשלילה שיש מבנה הרברנד M שבו הפסוק אינו נכון. אז R(x) x לא נכון ב M ו נכון ב M. קבוצת שמות העצם ללא משתנים במילון R(c) x (R(x) R(f(x))) {c, f(c), f(f(c)),...} יהי s שם העצם הקצר ביותר כך ש ( R(s אינו נכון ב M (יש כזה, כי R(x) x אינו נכון ב M ). s c כי R(c) נכון ב M. לכן, ) f(s s = עבור s קצר יותר. מבחירת,s מתקיים ש ( R(s נכון. הפסוק R(f(x))) x (R(x) נכון ב M ולכן כיוון ש ( R(s נכון, כך גם R(s) ;R(f(s (( = זו סתירה לבחירת s. 18

20 ɛ δ x R(ɛ, δ, x) ɛ x δ R(ɛ, δ, x) ϕ ɛ x ɛ δ δ x (R(ɛ, δ, x) R(ɛ, δ, x )) = ψ α = Sk(ψ) = ɛ δ x (R(ɛ, f(ɛ, δ ), x) R(a, δ, b)) תרגיל: הוכיחו שהפסוק הבא תקף: הוכחה: נראה ש ϕ אינו ספיק. נבצע סקולמיזציה של ψ: כש f סימן פונקציה חדש ו b,a סימנים קבועים חדשים. ממשפט סקולם: ϕ אינו ספיק אם ורק אם α אינו ספיק. α פסוק אוניברסלי. ממשפט הרברנד: α לא ספיק אם ורק אם GrIns(α) לא ספיקה. תזכורת: :GrIns(α) קבוצת הנוסחאות שמתקבלות מהצבת שמות עצם חסרי משתנים ל (x R(ɛ, f(ɛ, δ,( b). R(a, δ, נרצה להראות GrIns(α) אינה ספיקה. משפט 12.6 הקומפקטיות אם GrIns(ψ) אינה ספיקה, אז יש תת קבוצה סופית שלה שאינה ספיקה. {a, b, f(a, a), f(a, b),.., f(a, f(a, a)),...} ϕ [ a /ɛ, b /δ, b /x] = R(a, f(a, b), b) R(a, b, b) }{{} β ϕ [ a /ɛ, f(a,b) /δ, a /x] = R(a, f (a, f(a, b)), a) R(a, f(a, b), b) }{{} β מהי קבוצת ש"ע חסרי המשתנים? נתבונן ב שני הפסוקים הנ"ל שייכים ל ( GrIns(α ולכן היא לא ספיקה. מסנקה: α לא ספיקה ϕ לא ספיק ϕ תקף. תרגול המשך הצרנות הצרינו את הטענות הבאות מעל מילון מתאים: 1. לכל קבוצה X קיימת קבוצה Y כך שעצמת Y גדולה מעצמת X. 2. לכל 2 קבוצות X ו Y, אם X מוכל ב Y אז עצמת X אינה גדולה מעצמת Y. 3. כל הקבוצות מוכלות ב V. 4. V אינה קבוצה. מילון: τ = set( ), R(, ), S(, ), V כש ( set(x אומר ש x קבוצה; ) Y R(X, אומר ש X מוכל ב S(X, Y ) Y; אומר עצמת Y גדולה מעצמת X..1 ϕ 1 : x (set(x) ( y (set(y) S(x, y)))) 19

21 ϕ 2 : x y ((set(x) set(y)) (R(x, y) S(y, x))).2 ϕ 3 : x (set(x) R(x, V )).3 ϕ 4 : set(v ).4 (אם כן: בעזרת משפט הרברנד; אם לא: דוגמה הוכיחו / הפריכו: טענה 4 נובעת לוגית מטענות נגדית) נוכיח את הטענה. ננרצה להראות ש.{ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 } ϕ 4 מספיק להראות ש { {ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, ϕ 4 אינה ספיקה (קל לראות שזה אמ"מ). שלב 1: נעבור לפסוקים אוניברסליים ϕ 1 : x (set(x) (set(f(x)) S(x, f(x)))) Σ = {ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, set(v )} GrIns(Σ) = α Σ GrIns(α) f סימן פונקציה חדש. רוצים להראות ש אינה ספיקה. נסתכל על ונמצא תתקבוצה לא ספיקה. קבוצת שמות עצם ללא משתנים: {V, f(v ), f(f(v )),...} set(v ) (set(f(v )) S(V, f(v ))), (set(f(v )) set(v )) (R(f(V ), V ) S(V, f(v ))), set (f(v )) R (f(v ), V ), set(v ) נביט בקבוצה הבאה: הקבוצה הזו אינה ספיקה, ולכן GrIns(Σ) לא ספיקה, ולכן (ממשפט הרברנד) Σ לא ספיקה. τ = R(, ), P (, ), c 14 בדיקת תקפות תרגיל: הוכיחו / הפריכו: קיים אלגוריתם שבהינתן פסוק ϕ מעל τ, מהצורה ϕ = x 1... x n y 1... y n α ϕ x 1... x n y 1... y n α β = y 1... y n ( α) [ c1 /x 1,.., cn /x n] כש α חסרת כמתים, מכריע האם ϕ תקף. קיים אלגוריתם. נוכיח: בהינתן ϕ, נבדוק האם ϕ ספיק. אחרי סקולמיזציה: β פסוק אוניברסלי ולכן הוא ספיק אם ורק אם GrIns(β) ספיקה. קבוצת שמות העצם ללא משתנים: } n,c} c 1,,... c (קבוצה זו סופית! אין סימני פונקציה); לכן אפשר לבדוק האם GrIns(β) ספיקה ע"י מיצוי של כל ההצבות האפשריות. 20

22 15 מילון עם סימן שוויון תרגול תרגיל: c σ = R(, ), =, f 1 ( ), f 2 (, ), מילון (עם סימן שוויון). הגדרה 15.1 מבנה M מעל σ הוא ממשי אם: D M = R R M = {(x, y) x < y} f M 2 (x, y) = x y c M = 0 א. מצאו נוסחה ϕ עם משתנה חופשי x, כך שמתקיים: לכל מבנה ממשי M והשמה f M 1,M v ϕ v, לא רציפה ב ( v(x ɛ > 0 δ > 0 b, a b < δ f(a) f(b) < ɛ תזכורת: פונקציה f רציפה בנקודה a אם: ϕ = ɛ (R(c, ɛ) ( δ (R(c, δ) y (R(f 2 (x, y), δ) R (f 2 (f 2 (x), f 2 (y)), ɛ)))) פתרון: ב. הוכיחו שקיים פסוק ψ כך שלכל מבנה ממשי M ψ M, ל f M 1 יש בדיוק נקודת אי רציפות אחת. ψ = x (ϕ(x) y (ϕ(y) y = x)) יהי M מבנה. M ψ לכל v קיים.M, v [ d /x] ϕ(x)...,d D M ג. הוכיחו: לא קיים פסוק α כך שלכל מבנה ממשי M מתקיים: M α ל f M 1 יש מספר סופי של נקודות אי רציפות. נרצה להשתמש במשפט הקומפקטיות. תזכורת משפט הקומפקטיות: Γ קבוצת פסוקים; Γ ספיקה כל תת קבוצה סופית של Γ ספיקה. הוכחה: נניח בשלילה שיש כזה פסוק.α לכל n N :1 נבנה פסוק,ψ n ש M ψ n ל f 1 יש לפחות n נקודות אי רציפות. נביט בקבוצה n}.γ {α} n N {ψ Γ. ψ m מספיק גדול כך ש m אז קיים M α אינה ספיקה כי אם Γ תהי Σ Γ תת קבוצה סופית. יהי k האינדקס המקסימלי ש Σ ψ k (אם אין כזה, = 1 k). נבנה מודל ל Σ (שהוא מבנה ממשי. למשל: = (a) f1 M f1 M להיות פונקציה עם בדיוק k נקודות אי רציפות. יהי M מבנה { ממשי; נגדיר את 1 a {1, 2,..., k} 0 else אז: מההנחה על.M α,α בנוסף M ψ m לכל m k ולכן.M Σ הראינו: Γ לא ספיקה, וכל תת קבוצה סופית כן ספיקה זוהי סתירה לקומפקטיות. נשאר לבנות את ψ: n n ψ n = x 1... x n (x i = x j ) i=1 ϕ(x i ) i j 21

23 16 מערכת הוכחה HC הגדרה 16.1 אקסיומות למערכת הוכחה α (β α) :A 1 (α (β γ)) ((α β) (α γ)) :A 2 ( β α) (α β) :A 3 ב α החופשי להצבה ב x t לכל שם עצם x α(x) α [ t /x] :A 4 אינו חופשי ב ϕ x כאשר x (ϕ ψ) (ϕ x ψ) :A 5 הגדרה 16.2 כללי היסק MP : (α β), α β Gen : ϕ(x) x ϕ(x) תרגיל: נגדיר מערכת חדשה :HC ע"י החלפת תבנית A 5 ואת הכלל Gen בכלל: M : γ α γ x α ϕ HC נוכיח: לכל ϕ :ϕ HC הכיוון הקל: להראות שאם ϕ יכיחה ב HC אז הוא יכיחה ב HC (תרגיל). הכיוון השני: נוכיח באינדוקציה על קבוצת הנוסחאות היכיחות שאם ϕ יכיחה ב HC אז ϕ יכיחה ב.HC כלומר, HC מכילה את האקסיומות של HC וסגורה ל Gen,.MP האקסיומות: 4 1 ברור כי הן אקסיומות ב.HC נראה שאקסיומות 5 יכיחה ב.HC α (β γ) ( (α β)) γ HC ( (α β)) γ α (β γ) HC טענה 16.3 טענת עזר: הוכחה: לפי משפט השלמות לתחשיב הפסוקים (יש לנו את אקסיומות 3 1 ואת.(MP הוכחה לאקסיומה 5: A 4 x (ϕ ψ) (ϕ ψ) (1) Above claim with (1) ( ( x(ϕ ψ)) ϕ) ψ (2) M, x / F V ( ) ( ( x(ϕ ψ)) ϕ) x ψ (3) Above claim with (2) ( x (ϕ ψ)) (ϕ x ψ) (4) פעולות: HC סגורה ל MP מההגדרה. נשאר להראות ש HC סגורה ל Gen : נניח ש α HC של x α. יהי β פסוק, (β).x / F V HC (ממשפט השלמות לתחשיב הפסוקים) ונראה הוכחה טענה β β 16.4 HC 22

24 Assum. הוכחה של x : α A 1 α ((β β) α) (1) α α (2) HC MP 1,2 (β β) α (3) M (β β) x α (4) Claim (β β) (5) MP 4,5 x α (6) פתרון: תרגול תרגיל: הוכח או הפרך תהי Γ קבוצת פסוקים, α פסוק אם Γ עקבית ב HC אז לפחות אחת מבין {α} Γ ו { α } Γ עקבית ב HC. 2. אותו דבר אבל נוסחאות במקום פסוקים. 1. נכון. הוכחה: משפט השלמות / הנאותות: Γ עקבית ל Γ יש מודל. מההנחה ש Γ עקבית: יש מבנה M ש Γ M. לכל השמה.M, v Γ,v תהי v השמה כלשהי. מתקיים: M, v α או.M, v α נניח ש α.m, v אז לכל השמה,v.M, v α מסקנה:.M α כלומר: {α}.m Γ אם M, v α אז באופן דומה { α}.m Γ מסקנה: { α} Γ עקבית..α = R(y),σ = R( ),Γ = { x R(x), x R(x)}.R M = {0},D M = {0, 1} שבו M עקבית: יש ל Γמודל Γ באופן דומה, גם {α } Γ אינה עקבית תרגיל: (ממבחן) Γ קבוצת נוסחאות ו ϕ נוסחה. נתון: ϕ מסתפקת בכל מבנה שבו Γ מסתפקת. הוכיחו / הפריכו: 1. קיימת תת קבוצה סופית Γ Γ שמקיימת: בכל מבנה שבו Γ נכונה, גם ϕ נכונה..Γ t 2. קיימת תת קבוצה סופית Γ Γ כך ש ϕ.γ תהי } n {α 1,..., α הוכחה של ϕ מתוך,Γ נסמן ב Γ את.1 הוכחה: נתון:.Γ v ϕ ממשפט השלמות, ϕ HC קבוצת האיברים ב Γ שמופיעים בהוכחה. Γ = {α i 1 i n, α i Γ} קיבלנו הוכחה של ϕ מתוך,Γ Γ סופית. ממשפט הנאותות:.Γ v ϕ.2 דוגמה: נבחר {R(x)}.ϕ = x R(x),Γ = נראה ש ϕ.γ v יהי.M Γ כלומר R(x) M לכל.R M = D M M, v R(x),v לכן.M, v ϕ מסקנה.M ϕ,d M = {0},M = D M, R M עבור.Γ = מקרה ראשון:.Γ t כך ש ϕ Γ נראה שאין Γ.M ϕ אבל M מתקיים.R M = מקרה שני: {R(x)}.Γ = Γ = נראה מבנה M והשמה v כך ש Γ M, v אבל,D M = {0, 1}.M, v ϕ.v(x) = כך ש 0 השמה ו v R M = {0} פתרון: מסקנה: הטענה לא נכונה. 23

25 תרגיל: נגדיר מערכת הוכחה חדשה N עבור לוגיקה מסדר ראשון: אקסיומות: α (β α) :A 1 (α (β γ)) ((α β) (α γ)) :A 2 ( α β) (β α) :A 3 ב α החופשי להצבה ב x t לכל שם עצם x α(x) α [ t /x] :A 4 כללי היסק:.MP תהי Γ קבוצת פסוקים אוניברסלית שאינה ספיקה. הוכיחו: קיימת סתירה היכיחה מ Γ ב N. תזכורת: ψ) x (ϕ ψ) (ϕ x כש ( ϕ ).x / F V תזכורת משפט הרברנד: Γ ספיקה Γ ספיקה במבנה הרברנד GrIns(Γ) ספיקה GrIns(Γ) ספיקה במבנה הרברנד. נסמן: GrIns(Γ) Γ ;Γ = לא ספיקה. ממשפט הקומפקטיות: יש תת קבוצה סופית Γ Γ לא ספיקה. טענה 16.5 אפשר להוכיח ב N כל פסוק ב Γ מתוך Γ. איך? ע" י הפעלה של אקסיומה 4. דוגמה: α ϕ, = x 1 x... n α חסרת כמתים. t שם עצם חסר משתנים. נכתוב הוכחה ל [ 1 x 2... x n α [ t /x A 4 x 1.. x n α x 2... x n α [ t /x 1] (1) Assum. ϕ (2) MP 1,2 x 2... x n α [ t /x 1] (3) נחליף כל נוסחה אטומית ב Γ במשתנה פסוקי חדש p. i נקבל קבוצה Γˆ בתחשיב הפסוקים שאינה ספיקה. בפרט: ) 0 ˆΓ (p 0 p (משפט השלמות עבור.( נתרגם בחזרה ונקבל ש ( α Γ (α עבור נוסחה.α מסקנה: α).γ (α נכתוב הוכחה של (α α) מתוך Γ. לכל פסוק מ Γ שמופיע בהוכחה. נחליף נחליף אותו בסדרת ההוכחה מתוך Γ הוכיחו / הפריכו: קיים אלגוריתם A שבהינתן פסוק ϕ מחזיר פסוק ϕ כך ש ϕ תקף אם ורק אם ϕ ספיק. נוכיח שאין כזה אלגוריתם. נראה שלו היה אלגוריתם A כנ"ל, היה אלגוריתם A שמכריע ספיקות של פסוק. פרוצדורה לבדיקת ספיקות: מקבלת ϕ. נעשה סקולמיזציה ומסתכלים על קבוצת ה GrIns. מטרה: לחפש תת קבוצה סופית לא ספיקה. אם מצאנו, מכריזים לא ספיק, אחרת ממשיכים. הוכחה: נניח שיש אלגוריתם כנ"ל. בהינתן פסוק ϕ, נריץ את A ונקבל ϕ שתקף אם ורק אם ϕ ספיק. נסתכל על ϕ ϕ ϕ : תקף ϕ לא ספיק. נריץ את הפרוצדורה לבדיקת ספיקות על ϕ. ϕ לא ספיק הפרוצדורה עוצרת ואומרת ϕ לא ספיק. אם כן ספיק ממשיכים לרוץ. האלגוריתם A: יריץ את הפרוצדורה לבדיקת ספיקות על ϕ ϕ, במקביל. אם ϕ ספיק אז נמצא תת קבוצה סופית של ) GrIns( ϕ ונעצור. אם ϕ לא ספיק נמצא תת קבוצה סופית של GrIns(Sk(ϕ)) ונעצור. 24

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( )

לדוגמא : dy dx. xdx = x. cos 1. cos. x dx 2. dx = 2xdx לסיכום: 5 sin 5 1 = + ( ) הוכחה: [ ] ( ) ( ) 9. חשבון אינטגרלי. עד כה עסקנו בבעיות של מציאת הנגזרת של פונקציה נתונה. נשאלת השאלה בהינתן נגזרת האם נוכל למצוא את הפונקציה המקורית (הפונקציה שנגזרתה נתונה)? זוהי שאלה קשה יותר, חשבון אינטגרלי דן בבעיה

Διαβάστε περισσότερα

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק.

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק. 1 גרפים / חזרה כללית: סיכומים למבחן בקורס אלגוריתמים סמסטר א' 2008-9 (פרופ' מיכה שריר) מושגים: גרף: גרף,, V קבוצת קודקודים, קבוצת קשתות. מכוון: הקשתות הן זוגות סדורים, לא מכוון: הקשתות הן קבוצה בת שני

Διαβάστε περισσότερα

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם

יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם בס"ד יישום חוקי הקשר למציאת קשרי גומלין בין מיקומי גידולים סרטנים למיקומי גרורותיהם עבודת מסכמת זו הוגשה כחלק מהדרישות לקבלת תואר "מוסמך למדעים" M.Sc. במדעי המחשב באוניברסיטה הפתוחה החטיבה למדעי המחשב

Διαβάστε περισσότερα

מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5. בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a r system החוק F מייצג כוחות אמיתיים בלבד).

מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5. בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a r system החוק F מייצג כוחות אמיתיים בלבד). כח דלמבר במערכת מסתובבת : מבוא ונוסחאות עיקריות לתרגיל כיתה מספר 5 בתרגול מספר 4 הוסבר שכאשר גוף נמצא בתוך מערכת המאיצה בתאוצה, a system החוק F F מייצג כוחות אמיתיים בלבד). השני של ניוטון = ma body לא

Διαβάστε περισσότερα

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת Query Optimization מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? נתונה שאילתה בגודל m, מהו גודל התוצאה? לדוגמה: יחס n R(A) ומסד נ ת ונים בגודל עם 2 שורות, שבא חת מהן יש את הע רך 0 ובשניה יש א ת

Διαβάστε περισσότερα

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers".

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers. Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers". The purpose of the course "Statistics for Managers" is to get familiar with the basic concepts required for statistical reasoning: Types of Analyses,

Διαβάστε περισσότερα

 ËÈÒ ÈappleÂ Ï È ËÓÂÎÈÒÙ ÒÈappleÎ appleèá Î ÂÁ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá

 ËÈÒ ÈappleÂ Ï È ËÓÂÎÈÒÙ ÒÈappleÎ appleèá Î ÂÁ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá 77 ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá Æ ÈÂÙˆ appleèá ÌÎÈÚÂˆÈ Ó ÂÓ Ï ÌÎÏ Ù Ó ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá ÌÎÈappleÙÏ ÆÔÓÊ ÂÏ Ó ÏÚ Â Ó ÆÌ ÂappleÁ È ÌÈ apple Ï Ù ÏÎÎ ÌÈÓ ÌÈ apple appleèá ÂÏ Â ÙÏ ÂÏ Æ ÈÓˆÚ ÂÒapple Ï appleèá

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [1]

מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [1] מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [] תוכן עניינים מבחני ספציפיקציה- מבחן LM (כופלי לגרנג')... 4 טעויות ספציפיקציה... ) הוספת משתנה לא רלוונטי.... ) השמטת משתנה רלוונטי... מולטיקוליניאריות... 4 ) מולטיקוליניאריות

Διαβάστε περισσότερα

אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï

אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï Ò כולנו יחד - מתחברים לטוב יליון מסß אר ון קבלה לעם תשרי תשע א ספטמבר ± מחג לחג: יומן מסע פנימי חינוך עמß עמß µ מהי קבלה? עמß עמß הנה

Διαβάστε περισσότερα

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית פברואר 00 כל הזכויות שמורות למרכז ארצי לבחינות ולהערכה )ע"ר( אין להעתיק או להפיץ בחינה זו או קטעים ממנה בכל צורה ובכל אמצעי, או ללמדה - כולה או חלקים ממנה - בלא אישור בכתב

Διαβάστε περισσότερα

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית דצמבר 0 ת וכן עניינים מועד דצמבר 0 חשיבה מילולית מטלת כתיבה... חשיבה מילולית פרק ראשון... חשיבה מילולית פרק שני... חשיבה כמותית פרק ראשון... 0 חשיבה כמותית פרק שני... אנגלית

Διαβάστε περισσότερα

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 )

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 ) HM HM מאפיינים טכנולוגיה: עוגן נקבה סוג פלדה העוגן נקבה: Cold Formed steel D62 סוג פלדה הבורג :. Steel f uk = 0 N/mm 2 ; f yk = 6 N/mm 2 גלוון: 5µ Zn HM Bolt HM Eye European Approval ETA01/00 ETAG001 option

Διαβάστε περισσότερα

ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE תחרות WFF שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... גיליון 392 פברואר 2010

ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE תחרות WFF שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... גיליון 392 פברואר 2010 ביטאון אגודת חובבי הרדיו בישראל ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE גיליון 392 פברואר 2010 בגיליון: תורן השידור בברלין תחרות WFF לוויינים שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... הכל על הכל - מידעון לחובבי הרדיו

Διαβάστε περισσότερα

ריבוי אלחוטית בהעדר קו ראייה, הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח. וגיוון ערוצים Diversity and Selective MIMO

ריבוי אלחוטית בהעדר קו ראייה, הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח. וגיוון ערוצים Diversity and Selective MIMO אנטנות בתקשורת אלחוטית וגיוון ריבוי עניינים תוכן אלחוטית בהעדר קו ראייה, תקשורת הקדמה:? היתרון של ריבוי וגיוון ערוצים מה (LOS) (NLOS) משוואת תקשורת עם קו ראייה פיתוח משוואת תקשורת בלי קו ראייה פיתוח של

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use

Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use R5 37805-05B נכנס לתוקף במרץ 37805-05B Effective March 2015 / Σε ισχύ από το Μάρτιο 2015 / 2015 Blom-Singer is

Διαβάστε περισσότερα

1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה*

1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה* 1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה* מבוא 1.1 התכונות המכניות של החומרים המרכיבים את הבטון המזוין, ובעיקר הבטון על כל מרכיביו, הינם נושא רחב ומורכב ומהווה התמחות בפני עצמה. ספרות רחבה ביותר קיימת על הנושא

Διαβάστε περισσότερα

Coaching for psychomotor Empowerment Coach ME

Coaching for psychomotor Empowerment Coach ME ד"ר אורלי יזדי-עוגב המרכז לקידום השליטה המוטורית ותפקודי למידה ; 050-5382160050-6930972 נייד : 04 -רח' הדקל 10 חדרה 38220 טלפקס: 6344476 ; אתר: ; yazdi@macam.98.ac.il ; y_orly@netvision.net.il אלקטרוני:דואר

Διαβάστε περισσότερα

"רבי, מה אני לחיי העולם הבא"? מתוך דרשותיו של הרב אמנון יצחק שליט"א

רבי, מה אני לחיי העולם הבא? מתוך דרשותיו של הרב אמנון יצחק שליטא בס"ד 152 קובץ שבועי בעניני יהדות מהוצאת להזמנת עלונים ולפרסום טל: 03-6762226 מופץ בכל הארץ ב- 90,000 עותקים "ו לא ת ח לּ לוּ א ת שׁ ם ק דשׁ י ו נ קדּ שׁ תּ י בּ תוֹ ך בּ נ י י שׂ רא ל א נ י ה' מ קדּ שׁ כ ם" "רבי, מה

Διαβάστε περισσότερα

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ תירבע English Ελληνικά www.parrot.biz www.parrot.biz English Ελληνικά עברית 5 15 34 Warning : The manufacturer Parrot S.A. and it s affiliates should not be held

Διαβάστε περισσότερα

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ תירבע English Ελληνικά www.parrot.biz www.parrot.biz English Ελληνικά עברית 5 17 38 Warning : The manufacturer Parrot S.A. and its affiliates should not be held

Διαβάστε περισσότερα

תוכן העניינים. The Talmudic discussion on building a porter's lodge and a door for the courtyard

תוכן העניינים. The Talmudic discussion on building a porter's lodge and a door for the courtyard אוקימתא מחקרים בספרות התלמודית והרבנית שנה א (תשע"ג) תוכן העניינים 1 25 71 93 105 133 195 243 293 319 369 421 שלמה גליקסברג מוטי ארד גלעד ששון אפרים בצלאל הלבני מנחם בן שלום שמא יהודה פרידמן רבין שושטרי

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Showerguard

Blom-Singer Showerguard Blom-Singer Showerguard USER Instructions For Use R5 37728-05C 37728-05C Effective March 2014 Blom-Singer is a registered trademark in the United States of Hansa Medical Products. / InHealth Technologies

Διαβάστε περισσότερα

CD/MP3 Hands-free Receiver

CD/MP3 Hands-free Receiver CD/MP3 Hands-free Receiver RHYTHM N BLUE User manual For Bluetooth Mobile Phone ENG GRE P.3 P.15 HEB P.38 Warning The manufacturer Parrot S.A. and its affiliates should not be held liable towards end users

Διαβάστε περισσότερα

המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון

המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון פרופ' המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון הפקולטה למדעי הטבע, המחלקה לכימיה ביולוגית חיים כהן,, טל. 03-9066623, פקס. 08-9200749, email:hcohen@ariel.ac.il דו"ח מסכם בדיקת היתכנות - קיבוע פסולות רדיואקטיביות

Διαβάστε περισσότερα

"מנהיגות פדגוגית בישראל" הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דו"ח מסכם עבור מכון "אבני ראשה"

מנהיגות פדגוגית בישראל הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דוח מסכם עבור מכון אבני ראשה מטרות המחקר מטרת המחקר "מנהיגות פדגוגית בישראל" הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דו"ח מסכם עבור מכון "אבני ראשה" פרופ' שאול אורג וד"ר יאיר ברזון הייתה לבדוק את הקשר בין מנהיגות מדד של "מנהיגות פדגוגית בישראל"

Διαβάστε περισσότερα

החינוך וסביבו שנתון המכללה ל"ז

החינוך וסביבו שנתון המכללה לז החינוך וסביבו שנתון המכללה ל"ז תשע"ה 2015 1 החינוך וסביבו כרך ל ז, תשע ה - 2015 עורכת: ד ר אסתי אדיבי-שושן מערכת: פרופ נמרוד אלוני פרופ ליאורה גביעון ד ר חיים חיון ד ר מעין מזור פרופ דן סואן פרופ אלי צור

Διαβάστε περισσότερα

Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran. Texts

Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran. Texts Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran Texts 1. Ben Sira 51:23 (MS B): Turn aside to me, you untutored, and lodge in my house of study. 2. 1QS (Community Rule) 8.12-15: פנו אלי סכלים ולינו בבית

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Showerguard

Blom-Singer Showerguard Blom-Singer Showerguard USER Instructions For Use R5 37728-05D / 2016 ראונימ ףקותב / 2016 37728-05D Effective January Με ισχύ από τον Ιανουάριο του 2016 Blom-Singer and InHealth Technologies are registered

Διαβάστε περισσότερα

ילדים חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון

ילדים חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון ילדים רבעון בנושא רפואת ילדים מרץ - מאי 2007 גיליון מס' 2 חיסונים חדשים לנגיף הרוטה שיטות האבחון החדשות לצליאק דלקות האוזן התיכונה הורמון גדילה: האם לטפל בילדים ללא חוסר בהורמון מו"ל: שלמה בואנו עורכת:

Διαβάστε περισσότερα

אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group

אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group A Publication of The אסתמה, אלרגיה ומחלות דרכי הנשימה Group רבעון בנושא אלרגיה, אסתמה ומחלות דרכי הנשימה גיליון מס' 2 תזונת תינוקות-המלצות > דרכי הטיפול באמפיזמה תורשתית > COPD ואסתמה - המשיק והשונה >

Διαβάστε περισσότερα

Hands-free Car Kit. Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual. For Bluetooth Mobile Phone P.3 ENG HEB

Hands-free Car Kit. Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual. For Bluetooth Mobile Phone P.3 ENG HEB Hands-free Car Kit Parrot 3200 LS-COLOR PLUS User manual For Bluetooth Mobile Phone ENG HEB P.3 Parrot 3200 LS-COLOR PLUS English עברית Ελληνικά......... 07-20 34-21 35-48 www.parrot.com GENERAL INFORMATION

Διαβάστε περισσότερα

ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á

ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á Ï È ÁÏ ÌÈÏ Â È ÔÂÎÓ המרכז למדיניות סביבתית מייסודה של קרן צ'רלס ה' רבסון ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á ÏÂÚÙ Â ÏÂ Èapple Ï ÂÓ Ô È ÏÏ Ú Á Ò Ì ÒÈÚ תשס"ז 2007 פרסומי המרכז למדיניות

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis

Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis Blom-Singer Adjustable Bi Flanged Fistula Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use R5 37742-05B / 2016 ראונימ ףקותב / 2016 37742-05B Effective January Με ισχύ από τον Ιανουάριο του 2016 Blom-Singer

Διαβάστε περισσότερα

שיווק מכונות בע"מ מכשיר סימון נייד. מכשירים מבוקרי מומנט לסגירת ברגים עיתון לענף המתכת

שיווק מכונות בעמ מכשיר סימון נייד.  מכשירים מבוקרי מומנט לסגירת ברגים עיתון לענף המתכת גיליון מס 184 פברואר מרץ 25 2014, ש ח כולל מע מ עיתון לענף המתכת בהוצאת מירב-דסקלו הפקות בע מ עיבוד שבבי l עיבוד פח l יציקות תבניות l ריתוך l ציפוי וגימור מתכות וחומרים l תיב מ www.benygrinding.co.il 36

Διαβάστε περισσότερα

הורים כותבים עם ילדיהם: תכנית לקידום ניצני אוריינות והסתגלות לכיתה א'

הורים כותבים עם ילדיהם: תכנית לקידום ניצני אוריינות והסתגלות לכיתה א' הורים כותבים עם ילדיהם: תכנית לקידום ניצני אוריינות והסתגלות לכיתה א' עדי אלימלך, דורית ארם מבוא המעבר מהגן לבית-הספר מהווה תקופה משמעותית בהתפתחותם של ילדים והבנת מערכת הכתב מהווה את אחד האתגרים המרכזיים

Διαβάστε περισσότερα

טונוס : Modified Ashworth Scale. Associated Reaction Rating Scale תחושה: Fugl -Meyer Assessment of the Upper extremity

טונוס : Modified Ashworth Scale. Associated Reaction Rating Scale תחושה: Fugl -Meyer Assessment of the Upper extremity כלי ערכת מדידה בטיפול באדם פגיעה עם נוירולוגית פברואר תוכן עניינים 8 7 8 6 7 8 9 6 מבוא לשימוש בכלי מדידה ליקויים פיזיקליים - Functions Body Structures and תנועות אקטיביות: טופס הערכת תנועות אקטיביות טונוס

Διαβάστε περισσότερα

wayücaw et- ášer `al-bêtô lë mör mallë et- amtühöt hä ánäšîm öºkel Ka ášer yûklûn Sü ët wüsîm Ke sep- îš Büpî amtahtô

wayücaw et- ášer `al-bêtô lë mör mallë et- amtühöt hä ánäšîm öºkel Ka ášer yûklûn Sü ët wüsîm Ke sep- îš Büpî amtahtô GENESIS 44 1 And he commanded the steward of his house, saying: 'Fill the men's sacks with food, as much as they can carry, and put every man's money in his sack's mouth. 1 ויצו את אשר על ביתו לאמר מלא

Διαβάστε περισσότερα

LXX w/ Logos Morphology

LXX w/ Logos Morphology א דנ י י הו ה א ת ה ה ח ל ות ל ה רא ות Deut 3:24 א ת ע ב ד א ת ג דל ו א ת י ד ה ח ז ק ה א ש ר מ י א ל ב ש מ י ם וב א רץ א ש ר י ע ש ה כ מ ע ש י ו כ ג ב ו רת Deut 9:26 ו א ת פ ל ל א ל י הו ה ו א מ ר א דנ

Διαβάστε περισσότερα

Exodus 20:1-4, 7-9, (rcl Year a, Proper 22) LXX Vulgate MT. καὶ ο«σα ε ν τοι^ς υ«δασιν υ ποκα' τω τη^ς γη^ς.

Exodus 20:1-4, 7-9, (rcl Year a, Proper 22) LXX Vulgate MT. καὶ ο«σα ε ν τοι^ς υ«δασιν υ ποκα' τω τη^ς γη^ς. Exodus 20:1-4, 7-9, 12-20 (rcl Year a, Proper 22) 20:1 Καὶ ε λα' λησεν κυ' ριος πα' ντας τοὺς λο' γους του' τους λε'γων 20:2 Εγω' ει μι κυ' ριος ο θεο' ς σου, ο«στις ε ξη' γαγο' ν σε ε κ γη^ς Αι γυ' πτου

Διαβάστε περισσότερα

מיתון עומס חום בערים מדבריות באמצעות צמחים - באר שבע כמקרה בוחן

מיתון עומס חום בערים מדבריות באמצעות צמחים - באר שבע כמקרה בוחן 33 אקולוגיה וסביבה ;12 :)1(3 42-33 מיתון עומס חום בערים מדבריות באמצעות צמחים - באר שבע כמקרה בוחן עודד פוצ'טר ]1, 2[*, ירון יעקב ]1[, לימור בר )שעשוע( ]3[, ]5[ שבתאי כהן ]4[, יוסי טנאי ]4[ ופועה בר )קותיאל(

Διαβάστε περισσότερα

Quick Start Guide Guía de inicio rápido Manual de início rápido Οδηγός γρήγορης έναρξης מדריך להתחלה מהירה

Quick Start Guide Guía de inicio rápido Manual de início rápido Οδηγός γρήγορης έναρξης מדריך להתחלה מהירה Quick Start Guide Guía de inicio rápido Manual de início rápido Οδηγός γρήγορης έναρξης מדריך להתחלה מהירה ע בר י ת/ English/Español/Português/Ελληνικά CUH-ZVR1 7028446 What's in the box? Qué contiene

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηµατική Λογική

Κατηγορηµατική Λογική Προβλήµατα της Προτασιακής Λογικής Γιατί δεν µας αρκεί η Προτασιακή Λογική; Εστω ότι ισχύουν τα P και Q: P : «Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος» Q : «Κάθε άνθρωπος είναι ϑνητός» R : «Ο Σωκράτης είναι ϑνητός» Μπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

wayühî ahárê haddübärîm hä ëºllè wayyöº mer lüyôsëp hinnë äbîºkä Hölè wayyiqqah et-šünê bänäyw `immô et-münaššè wü et- epräºyim

wayühî ahárê haddübärîm hä ëºllè wayyöº mer lüyôsëp hinnë äbîºkä Hölè wayyiqqah et-šünê bänäyw `immô et-münaššè wü et- epräºyim GENESIS 48 1 And it came to pass after these things, that one said to Joseph: 'Behold, thy father is sick.' And he took with him his two sons, Manasseh and Ephraim. 1 ויהי אחרי הדברים האלה ויאמר ליוסף

Διαβάστε περισσότερα

גישות לטיפול בסוכר ת בעזרת צמחים סיניים אביב מסי נגר

גישות לטיפול בסוכר ת בעזרת צמחים סיניים אביב מסי נגר גישות לטיפול בסוכר ת בעזרת צמחים סיניים אביב מסי נגר Dip.Ac. www.aviv-clinic.co.il נושאי ההרצאה דגשים כיצד בוחרים את הפורמולות והצמחים הכרה של הגישה הטיפולית בסוכרת הרפואה הסינית כשפה טיפולית ספרות ומחקרים

Διαβάστε περισσότερα

ÌÈ ÂÓÈÏ ÌÈÓ Ó ÌÈ Ï. ±ÆµÆ Á ٠ÌÂÈ ÂÏÈÚÙ Â Â ÏÁÓ ÏÚ Ú ÈÓ

ÌÈ ÂÓÈÏ ÌÈÓ Ó ÌÈ Ï. ±ÆµÆ Á ٠ÌÂÈ ÂÏÈÚÙ Â Â ÏÁÓ ÏÚ Ú ÈÓ ÌÈ ÂÓÈÏ ÌÈÓ Ó ÌÈ Ï ±ÆµÆ Á ٠ÌÂÈ ÒÈappleÎ M.P.H, M.Med. Sc, M.S.W, M.N, M.A, M.Sc, M.B.A, M.H.A, H.M.B.A Èapple Â È ÂÓÈÏÏ Á ٠ÌÂÈ Ph.D È ÈÏ Â Â apple È ÂˆÈÚ ÂÏÈÚÙ Â Â ÏÁÓ ÏÚ Ú ÈÓ ÌÈ ÌÈΠÌÈÓ Ó ÌÈ Ï ÁÂ

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

November Compressed November Condensed November

November Compressed November Condensed November Typotheque type specimen & OpenType feature specification. Please read before using the fonts. November Compressed November Condensed November OpenType font family supporting Latin based languages with

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

vai yo mer yhvh el-mo sheh bo el-par 'oh ki-a ni hich bad ti et-lib bov ve 'et-lev a va dav le ma 'an shi ti o to tai el leh be kir bov.

vai yo mer yhvh el-mo sheh bo el-par 'oh ki-a ni hich bad ti et-lib bov ve 'et-lev a va dav le ma 'an shi ti o to tai el leh be kir bov. EXODUS 10 1 And Yahowah said unto Moses: 'Go in unto Pharaoh; for I have hardened his heart, and the heart of his servants, that I might show these My signs in the midst of them; 1 ויאמר יהוה אל משה בא

Διαβάστε περισσότερα

Χημικές Διεργασίες: Χημική Ισορροπία η σύνδεση με τη Θερμοδυναμική

Χημικές Διεργασίες: Χημική Ισορροπία η σύνδεση με τη Θερμοδυναμική : Χημική Ισορροπία η σύνδεση με τη Θερμοδυναμική Η Θερμοδυναμική σε μία τάξη Θεμελιώδης συνάρτηση: F(U, S, V) = 0 Ενέργεια, ικανότητα παραγωγής έργου Εντροπία, μη ικανότητα παραγωγής έργου, μη διαθεσιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

DESKTOP - Intel processor reference chart

DESKTOP - Intel processor reference chart DESKTOP - Intel processor reference chart Family Intel Turbo Boost 7 - Max Turbo 4th Generation Intel Core i7 and i5 Family (22nm) Cores / Intel HD Graphics Intel vpro 1, i7-4960x 3.6 4.0 1866 15 MB L3

Διαβάστε περισσότερα

1 (32-2) And Jacob went on his way, and the messengers of Elohim met him. ve ya 'a kov ha lach le dar kov vai yif ge 'u-vov mal 'a chei e lo him.

1 (32-2) And Jacob went on his way, and the messengers of Elohim met him. ve ya 'a kov ha lach le dar kov vai yif ge 'u-vov mal 'a chei e lo him. GENESIS 32 [Genesis 31:55 is Genesis 32:1 in Hebrew] [Genesis 32:1-32 is Genesis 32:2-33 in Hebrew] 1 (32-2) And Jacob went on his way, and the messengers of Elohim met him. 1 ויעקב הלך לדרכו ויפגעו בו

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης 1 Κατακόρυφη - Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Έστω ότι έχουμε την συνάρτηση: f(x) = x + 3x 1 H γραφική της παράσταση είναι: Και την συνάρτηση f(x) = x + 3x + η οποία έχει προκύψει από την προηγούμενη αφού

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

1 And Yahowah said unto Moses: 'See, I have set thee in Elohim's stead to Pharaoh; and Aaron thy brother shall be thy prophet.

1 And Yahowah said unto Moses: 'See, I have set thee in Elohim's stead to Pharaoh; and Aaron thy brother shall be thy prophet. EXODUS 7 1 And Yahowah said unto Moses: 'See, I have set thee in Elohim's stead to Pharaoh; and Aaron thy brother shall be thy prophet. 1 ויאמר יהוה אל משה ראה נתתיך אלהים לפרעה ואהרן אחיך יהיה נביאך vai

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον Κατηγορηματικό Λογισμό. (α) Δεν υπάρχουν δύο διαφορετικές πτήσεις με τον ίδιο αριθμό. x 1, d 1, a 1, s 1, t 1, x 2, d 2, a 2,

Διαβάστε περισσότερα

SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors

SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors - SIEMENS Squirrel Cage Induction Standard Three-phase Motors 2 pole 3000 rpm 50Hz Rated current Power Efficiency Rated Ratio Noise Output Frame Speed Weight 3V 400V 415V factor Class 0%Load 75%Load torque

Διαβάστε περισσότερα

נוסחאות ונתונים בפיזיקה

נוסחאות ונתונים בפיזיקה מדינת ישראל משרד החינוך נוסחאות ונתונים בפיזיקה נספח לבחינות הבגרות ברמה של 5 יח"ל לשאלונים מס' 654,653,65,97553,97554,97555,98,3654,975,9753 )החל בקיץ תשס"ז( תוכן העניינים נוסחאות עמוד מכניקה אלקטרומגנטיות

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m Κεφάλαιο Τοπολογία του. Στοιχεία Θεωρίας Ορισµός Αν α και ɛ > ονοµάζουµε ɛ-περιοχή του α ή περιοχή κέντρου α και ακτίνας ɛ και συµβολίζουµε N α (ɛ) το σύνολο όλων των αριθµών που έχουν απόσταση από το

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

ORDNING FÖR MIDDAGSBÖN (L = ledare, F = församling)

ORDNING FÖR MIDDAGSBÖN (L = ledare, F = församling) ORDNING FÖR MIDDAGSBÖN (L = ledare, F = församling) TILL INGÅNG L: Herre, låt oss se din nåd. F: Och ge oss din frälsning. (Ps 85:8) F: Nu och alltid och i evigheters evighet. Amen, halleluja! HYMN PSALTARPSALM

Διαβάστε περισσότερα

#INGLiveWell ΤΥΧΕΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΔΩΡΩΝ / LUCKY NUMBERS FROM THE LOTTERY DRAW FOR THE GIFTS

#INGLiveWell ΤΥΧΕΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΚΛΗΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΔΩΡΩΝ / LUCKY NUMBERS FROM THE LOTTERY DRAW FOR THE GIFTS 1 1002 Euromedica 1 επίσκεψη σε γιατρούς διαφόρων ειδικοτήτων, στην Κλινική Αθήναιον 2 1008 Όμιλος Εταιρειών Υγείας ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ 3 1016 Όμιλος Εταιρειών Υγείας ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ 4 1017 Όμιλος Εταιρειών Υγείας ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Medi power (Overseas) Public Co. Limited

Medi power (Overseas) Public Co. Limited Medi power (Overseas) Public Co. Limited לכבוד הבורסה לניירות ערך רח' אחד העם 54 תל-אביב 65202 לכבוד רשות ניירות ערך רח' כנפי נשרים 22 ירושלים 95464 ניקוסיה, 24 יולי, 2011 ג.א.נ., הנדון: מדיפאואר (אוברסיז)

Διαβάστε περισσότερα

Ἀβαδδών א ב ד ון Rev 9:11 ἀββα א ב א Mk 14:36 Rom 8:15 Gal 4:6. Ἅβελ ה ב ל Matt 23:35 Lk 11:51 Heb 11:4 Heb 12:24. Ἀβιὰ א ב י ה Matt 1:7 Lk 1:5

Ἀβαδδών א ב ד ון Rev 9:11 ἀββα א ב א Mk 14:36 Rom 8:15 Gal 4:6. Ἅβελ ה ב ל Matt 23:35 Lk 11:51 Heb 11:4 Heb 12:24. Ἀβιὰ א ב י ה Matt 1:7 Lk 1:5 Tabelle der lexikalischen Semitismen Einträge in [ ] bedeuten: semitische Verwendung des Wortes nur in aufgelisteten Stellen Table of Lexical Semitisms Entries in [ ] mean: Semitic usage of word only in

Διαβάστε περισσότερα

vai yo mer yhvh el-mo sheh bo el-par 'oh ve dib bar ta e lav koh-a mar yhvh e lo hei ha 'iv rim shal lach et-am mi ve ya 'av du ni.

vai yo mer yhvh el-mo sheh bo el-par 'oh ve dib bar ta e lav koh-a mar yhvh e lo hei ha 'iv rim shal lach et-am mi ve ya 'av du ni. EXODUS 9 1 Then Yahowah said unto Moses: 'Go in unto Pharaoh, and tell him: Thus saith Yahowah, the Elohei of the Hebrews: Let My people go, that they may serve Me. 1 ויאמר יהוה אל משה בא אל פרעה ודברת

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος

ΣΥΝΟΨΗ 3 ου Μαθήματος Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

«ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α» ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΔΩΝ και ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ

«ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α» ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΔΩΝ και ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ «ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α» ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΔΩΝ και ΕΚΤΙΜΩΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ Α/Α ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΙΔΟΣ ΕΚΤΥΠΩΤΗ ποσότητα BLACK ποσότητα YELLOW ποσότητα MAGENTA ποσότητα CYAN ποσότητ α color BROTHER 1 Brother dcb -7010L Fax 1 2 Brother

Διαβάστε περισσότερα

קטלוג יולי

קטלוג יולי קטלוג יולי 2014 www.k-a.co.il ליצירת קשר מוקד שירות לקוחות 4959* מנהל מכירות ערן זינגר 052-8371943 erans@k-a.co.il מנהל תחום תאורה קלוד טיבי 052-2926281 claudet@k-a.co.il מנהלת שירות לקוחות אתי נשיא 052-3273159

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Hydraulic network simulator model

Hydraulic network simulator model Hyrauc ntwor smuator mo!" #$!% & #!' ( ) * /@ ' ", ; -!% $!( - 67 &..!, /!#. 1 ; 3 : 4*

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa

a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 2 1 2 3 4 5 0.24 0.24 4.17 4.17 6 a m a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 7 max min m a r 8 9 1 ] ] S [S] S [S] 2 ] ] S [S] S [S] 3 ] ] S

Διαβάστε περισσότερα

wayyäbö élöhîm el- ábîmeºlek BaHálôm halläºylâ wayyöº mer lô hinnükä mët `al-hä iššâ ášer-läqaºhtä wühiw Bü`ùºlat Bäº`al

wayyäbö élöhîm el- ábîmeºlek BaHálôm halläºylâ wayyöº mer lô hinnükä mët `al-hä iššâ ášer-läqaºhtä wühiw Bü`ùºlat Bäº`al GENESIS 20 And Abraham journeyed from thence toward the land of the South, and dwelt between Kadesh and Shur; and he sojourned in Gerar. ויסע משם אברהם ארצה הנגב וישב בין קדש ובין שור ויגר בגרר vai yis

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Solution to Review Problems for Midterm III

Solution to Review Problems for Midterm III Solution to Review Problems for Mierm III Mierm III: Friday, November 19 in class Topics:.8-.11, 4.1,4. 1. Find the derivative of the following functions and simplify your answers. (a) x(ln(4x)) +ln(5

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Νεοελληνική Γλώσσα Β Λυκείου Τίτλος: «Ερευνητική Εργασία: Ναζισμός και νεοναζιστικά κινήματα στη σύγχρονη Ευρώπη»

Νεοελληνική Γλώσσα Β Λυκείου Τίτλος: «Ερευνητική Εργασία: Ναζισμός και νεοναζιστικά κινήματα στη σύγχρονη Ευρώπη» Π.3.2.1 Εκπαιδευτικά σενάρια και μαθησιακές δραστηριότητες, σύμφωνα με συγκεκριμένες προδιαγραφές, που αντιστοιχούν σε 30 διδακτικές ώρες ανά τάξη Νεοελληνική Γλώσσα Β Λυκείου Τίτλος: «Ερευνητική Εργασία:

Διαβάστε περισσότερα

BDC = α AM BD AMD. . BAM = 90 α M C

BDC = α AM BD AMD. . BAM = 90 α M C דוגמאותלשאלותבגאומטרייה כוללהצעותשונותלדרכיפתרון שאלות 1,2,3 מתאימיםלשלישהראשוןשלכיתהח', יתר השאלותמתאימות לשלישהשלישישלכיתהח' E במשולש. נקודהעלהצלע במשולש, נקודהעלהצלע E נמקומדועמשולש דומהלמשולשE E 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΔΟΝΤΙΑΤΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΟΔΟΝΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΓΚΡΑΤΗΤΙΚΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΠΡΟΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΩΝ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 And Elohim blessed Noah and his sons, and said unto them: 'Be fruitful and multiply, and replenish the earth.

1 And Elohim blessed Noah and his sons, and said unto them: 'Be fruitful and multiply, and replenish the earth. GENESIS 9 1 And Elohim blessed Noah and his sons, and said unto them: 'Be fruitful and multiply, and replenish the earth. 1 ויברך אלהים את נח ואת בניו ויאמר להם פרו ורבו ומלאו את הארץ vay va rech e lo

Διαβάστε περισσότερα

hk}njea hq hy\mu^jee hhqwq]z hhec hha]aeag}o^z hqouo^jeu }GJEU d hqeyun\ ha FtBB h\ AWJyM\N\ i]c NQ EZYJEA p`]qmq^s

hk}njea hq hy\mu^jee hhqwq]z hhec hha]aeag}o^z hqouo^jeu }GJEU d hqeyun\ ha FtBB h\ AWJyM\N\ i]c NQ EZYJEA p`]qmq^s Υπουργείο Παιδείας Δια Βίου Μάθησης και Θρησκευμάτων h}oew[iu hocyian hyja hcje hmay\n\n Ec hyw\neqma^z] Φυσικά Ε Δημοτικού ΕΡΕΥΝΩ ΚΑΙ ΑΝΑΚΑΛΥΠΤΩ hk}njea hq hy\mu^jee hhqwq]z hhec hha]aeag}o^z Εποπτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ. www.valcom.gr ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ. βιοµηχανικός ηλεκτρολογικός εξοπλισµός

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ. www.valcom.gr ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ. βιοµηχανικός ηλεκτρολογικός εξοπλισµός ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ Μείνετε ενηµερωµένοι για όσα κάνουµε. Συναναστραφείτε µαζί µας στο facebook. βιοµηχανικός ηλεκτρολογικός εξοπλισµός ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ 2015 www.valcom.gr ΌΡΟΙ ΠΩΛΗΣΗΣ Οι τιμές τιμοκαταλόγου

Διαβάστε περισσότερα

Calculating the propagation delay of coaxial cable

Calculating the propagation delay of coaxial cable Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric

Διαβάστε περισσότερα

1 And it came to pass at the end of two full years, that Pharaoh dreamed: and, behold, he stood by the river.

1 And it came to pass at the end of two full years, that Pharaoh dreamed: and, behold, he stood by the river. GENESIS 41 1 And it came to pass at the end of two full years, that Pharaoh dreamed: and, behold, he stood by the river. 1 ויהי מקץ שנתים ימים ופרעה חלם והנה עמד על היאר vay hi mik ketz she na ta yim ya

Διαβάστε περισσότερα

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Κεφάλαιο 2 Ασκήσεις Άσκηση 1 Κώδικας C: f = g + h + B[4]; f = g A[B[4]]; f, g, h, στους $s0, $s1, $s2, και διευθύνσεις βάσης των πινάκων Α και Β στους $s6 και $s7 Ποιος είναι ο αντίστοιχος κώδικας MIPS;

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Εργαστηριακό Κέντρο Φυσικών Επιστηµών Αγίων Αναργύρων Υπεύθυνος: Ευάγγελος Κουντούρης, Φυσικός Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής Γ Λυκείου: Μελέτη απλής αρµονικής ταλάντωσης µε το σύστηµα συγχρονικής λήψης

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Spare Parts. Cartridges. Chipbreakers Wrenches / Spanners Springs / Washers / Plugs / Nuts / Punches

Spare Parts. Cartridges. Chipbreakers Wrenches / Spanners Springs / Washers / Plugs / Nuts / Punches 1~20 Screws ins Shims artridges lamps lamp Sets hipbreakers Wrenches / Spanners Springs / Washers / lugs / Nuts / unches 2~6 7 8~11 12 13 14~15 16 17~18 19 1 Screws escription imension (mm) ngle ( ) H

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ] συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)

Διαβάστε περισσότερα