אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר
|
|
- Ξανθίππη Βλαχόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S <,Σ,N,R כאשר: אלפבית זר ל- N - Σ - N אלפבית )זר ל- Σ ( של אותיות לא סופיות )משתנים(.w (N Σ) ו- A N כך ש- A w קבוצה סופית של כללי-גזירה מהצורה - R - S N המשתנה ההתחלתי שפה חסרת הקשר שפה L היא חסרת הקשר קיים דקדוק חסר הקשר כך ש-( L( L. = L() = {x Σ S x} משפט: חיתוך של שפה חסרת הקשר ושפה רגולרית הינו שפה חסרת הקשר. משפחת השפות חסרות ההקשר - משפחת השפות חסרות ההקשר סגורה תחת איחוד, שרשור וכוכבית קליני. L CF L CF לא סגורה תחת חיתוך ומכאן שגם לא תחת השלמה. 1
2 שאלה 1 הגדרה יהי > S =< Σ, N, R, דקדוק חסר הקשר. סדרת גזירות w 1 w 2 נקראת "צמודה לשמאל", אם בכל שלב בסדרה מפעילים כלל גזירה על האות הלא סופית w 1 L. w 2 הראשונה. נסמן במקרה זה טענה. w L w אזי,w Σ כאשר w w אם הוכחה באינדוקציה על אורך סדרת הגזירות. מקרה בסיס: 0 גזירות. טריוויאלי. הנחת האינדוקציה:. w L לכל מילה Σ w המתקבלת מ- w מ- בפחות מ- n צעדי גזירה מתקיים: w צעד האינדוקציה: תהי Σ w מילה המתקבלת מ- w ב- ב- n 1 גזירות. נחלק את w בצורה הבאה: w = xay כאשר A N האות הלא סופית הראשונה ב- w, ובפרט Σ x. אזי w = xuv כאשר: A z u y v נשים לב כי Σ,u, v וכן הן נגזרות מ- y,z בהתאמה תוך פחות מ- n גזירות. על פי הנחת האינדוקציה נסיק ש- z L u וגם. y L v נחבר הכל ונקבל: w = xay L xzy L xuy L xuv = w ניתן לראות שסדרת גזירות זו היא צמודה לשמאל. 2
3 פתרון בוחן אוטומטים ושפות פורמליות תשע"ו שאלה 1 יהי {b. Σ =,a} מילה Σ w תקרא )לצורך תרגיל זה בלבד( מאוזנת לחלוטין אם היא בעלת אורך זוגי, נאמר,b והאחרת a היא σ 2 ו- מסויים, וכמו-כן אחת משתי האותיות σ 1 n עבור 0 w = σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 2n 1 σ 2n אחת משתי האותיות σ 3 ו- σ 4 היא a והאחרת b,..., אחת משתי האותיות 1 2n σ ו- σ 2n היא a והאחרת b. )לדוגמה, המילים abba ו- babaabba הן מאוזנות לחלוטין, אך aabb אינה כזו.( שפה Σ L היא מאוזנת לחלוטין אם כל מילה ב- L כזו. תהי L שפה מאוזנת לחלוטין. L היא בהכרח רגולרית. L אינה בהכרח רגולרית, אך היא בהכרח ניתנת לייצוג סופי מעל אלפבית מסויים. L רגולרית אם ורק אם היא סופית. פתרון התשובה הנכונה היא ד'. נביט על השפה: 0} n L = {(ab) n2 קל לראות כי השפה היא מאוזנת לחלוטין כי כל מילה בה בהכרח היא צירוף של הרצפים."ab" השפה היא אינה רגולרית מכיוון וסדרת הפרשי אורכי המילים ב- L אינה חסומה, וכפי שראינו בתרגול 5, שפה עם הפרשי אורכי מילים לא חסומה היא בהכרח לא רגולרית. משיקולי עוצמות, קיימת שפה מאוזנת לחלוטין שאינה ניתנת לייצוג סופי. אחרת, אם אפשר לייצג כל שפה באופן סופי, אז יש מס' בן מניה של אפשרויות לייצוג ולכן גם מס' בן מניה של שפות מאוזנות לחלוטין, וזאת סתירה. )נבחין כי ישנן מספר אינסופי של מילים מאוזנות לחלוטין, ומכאן שמספר השפות המאוזנות לחלוטין שווה בדיוק למספר תתי הקבוצות של קבוצה זו ולכן לא בן-מניה(. נוכל למצוא שפה רגולרית, מאוזנת לחלוטין שאינה סופית. למשל השפה הנגזרת ע י הב ר: * (ab) r. = זוהי שפה רגולרית מאוזנת לחלוטין אך אינה סופית. 3
4 {σ} הוא האוסף המינימלי של שפות הכולל את, את השפות Σ מעל L Reg שאלה 2 נזכור כי אוסף השפות הרגולריות עבור σ, Σ וסגור תחת איחוד, כפל )שרשור( ו- -קליני. נסמן )בתרגיל זה בלבד( ב- L max את האוסף המקסימלי של שפות הכולל את, את השפות {σ} עבור σ, Σ וסגור תחת איחוד, כפל ו- -קליני. לכל אלפבית Σ, שפת כל הפלינדרומים מעל Σ שייכת ל- L. max כמו-כן, אם b} Σ = {a, אז.{a n b n n 0} L max כל שפה ב- L max ניתנת לייצוג סופי. בפרט, הקבוצה L max היא בת-מניה. ההגדרה אינה טובה כי יש בה סתירה פנימית: מכיוון ש- L max הוא מקסימלי, הוא אינו כולל שפות קטנות. בפרט, הוא לא יכול לכלול את. שאלה 3 יהי 9}, 2, {0, 1, =.Σ לכל שלם אי-שלילי,r נסמן ב- L r את השפה המורכבת מכל המילים σ 1 σ 2 σ k מעל.σ 1 +σ σ k = r המקיימות Σ )לדוגמה, L ו- L שימו לב ש- 7 7 משמעו שהמספר 7 נכתב 7 פעמים(.L 10 L 10 = L 20. L 10 L 10 = L 100.L 3 = L( ) שאלה 4 תהי L(M) L, = באשר M ה- DFA משמאל. L = {a}{a 2 b, aba, ba 2 } {a 2 b, aba, ba 2 } {a} L = {w {a, b} : ( w a + 2 w b )mod4 = 1} )תזכורת: w σ מציין את מספר המופעים של האות σ במילה w.( מסגירות L DFA תחת כפל )שרשור( נובע כי, אם 2 w 1, w.w 1 w 2 L אז,L 4
5 שאלה 5 יהיו > i,m i =< Q, Σ, δ, s, A עבור = 1,2,3,i שלושה DFA -ים הנבדלים זה מזה רק בקבוצת המצבים המקבלים. התבונן בטענות הבאות:.L(M 1 ) L(M 2 ) אז A 1 אם A 2 )i(.l(m 1 ) L(M 2 ) = אז A 1 A 2 = אם )ii(.l(m 3 ) = L(M 1 ) L(M 2 ) אז A 3 = A 1 אם A 2 )iii( טענה (i) אינה נכונה, ואילו (ii) ו-( iii ) נכונות. טענה (ii) אינה נכונה, ואילו (i) ו-( iii ) נכונות. טענה (iii) אינה נכונה, ואילו (i) ו-( ii ) נכונות. פתרון התשובה הנכונה היא א'. טענה i: הטענה אינה נכונה. למשל: Q = {q 0, q 1 }, Σ = {a}, δ(q i, a) = q i (i = 0,1), s = q 0 A 1 = {q 0 }, A 2 = {q 0, q 1 } ניתן לראות ש- {a},l(m 1 ) = L(M 2 ) = למרות ש-.A 1 A 2 טענה :ii הטענה נכונה: נניח בשלילה ש- ) 2,L(M 1 ) L(M כלומר קיימת מילה ) 2.w L(M 1 ) L(M בפרט ) 1 w L(M ולכן ε),(s, w) (q, כאשר.q A 1 מכיוון ש-,δ M1 = δ M2 נסיק כי M1 (ε,s). (w,q) מאחר ו- M 2 הינו דטרמיניסטי, הרי שזהו החישוב היחיד שלו על w. לפי הנחתנו M2.A 1 A 2 = בסתירה לכך ש-,q לכן בהכרח A 2,w L(M 2 ) w L(M 3 ) (s, w) (q, ε) q A 3 = A 1 A 2 M3 (s, w) M1 (q, ε) q A 1 or (s, w) (q, ε), q A 2 M2 w L(M 1 ) or w L(M 2 ) w L(M 1 ) L(M 2 ) טענה :iii הטענה נכונה: 5
6 שאלה 6 תהי L Reg משפחת השפות הרגולריות מעל Σ, ו- L DFA משפחת השפות המתקבלות ע"י.DFA לכל מספר טבעי n, נסמן ב- L Reg,n את משפחת השפות מהצורה,L(r) באשר r ביטוי רגולרי באורך n או פחות, וב- L DFA,n את משפחת השפות המתקבלות ע"י DFA בעל n מצבים או פחות. לכל n מתקיים,L Reg,n = L DFA,n ולכן L Reg = L Reg,n = L DFA,n = L DFA n=1 לכל n מתקיים.L Reg,n = L DFA,n כמו-כן מתקיים.L Reg = L DFA ואולם, איחודים אינסופיים של שפות רגולריות אינם בהכרח שפות רגולריות, ולכן:. L Reg n=1 L Reg,n. L DFA n=1 L DFA,n כמו-כן: אם DFA,30 L L אז DFA,120.L ({a} {b} ) L n=1 פתרון התשובה הנכונה היא ג'. תהי L ב- DFA,30 L קיים אומטומט דטרמיניסטי M L בעל לכל היותר 30 מצבים כך ש.L(M L ) = L יהי > A M =< Q, Σ, δ, s, אוטומט דטרמיניסטי המוגדר באופן הבא: Q = {s, q a, q b, q rej }, A = {s, q a, q b } δ(s, a) = δ(q a, a) = q a δ(s, b) = δ(q b, b) = q b δ(q a, b) = δ(q b, a) = δ(q rej, a) = (q rej, b) = q rej a q a s q rej q b b L(M ) = {a} {b} M L יש 4 מצבים באוטומט המכפלה M = M M ישנם לכל היותר 120 מצבים, וכנלמד בכיתה: ב- L(M) = L(M ) L(M L ) = L ({a} {b} ) מכאן ש- DFA,120 L ({a} {b} ) L תשובות א' ו-ב' אינן נכונות כי {, Σ} L, DFA,1 = ואילו r = a )עבור a Σ כלשהו( הוא ביטוי רגולרי באורך 1 כך ש- DFA,1.L(r) L 6
7 שאלה 7 תהי L(M) L, = באשר M ה- NFA משמאל..L = L((ab) ( a)((a b)b) ).L L(aaba(ab) ) לכל מספר טבעי מספיק גדול n מתקיים b. n L שאלה 8 התבונן בטענות הבאות: אם L שפה שעבורה קיים ביטוי רגולרי r המקיים,L(r) = L אז קיים ביטוי רגולרי r המקיים = ) L(r ).Σ \L יש המסמנים זאת בצורה.Σ ב- אנו מסמנים את המשלים ל- L Σ L בביטוי )הערה:.Σ L אם L 1, L 2 שפות עבורן קיימים ביטויים רגולריים r 1, r 2 המקיימים L(r i ) = L i עבור = 1, 2,i אז קיים ביטוי רגולרי r המקיים.L(r) = L 1 L 2 (i) נכונה, (ii) אינה נכונה. (ii) נכונה, (i) אינה נכונה. שתי הטענות (i) ו-( ii ) נכונות. )i( )ii( 7
8 שאלה 9 בהינתן שפה L ומילה w, L שלשה של מילים (z,x),y ב- Σ תקרא )לצורך תרגיל זה בלבד( פיצול ניתן לניפוח של w אם:.y ε )i(.xyz = w )ii(.n לכל 0 xy n z L )iii( נסמן ב-( s(w את מספר הפיצולים הניתנים לניפוח של w. )שים לב לכך שהפונקציה s מוגדרת רק עבור מילים ב- ).L אם L רגולרית אינסופית, אז s(w) כאשר w. )בצורה יותר פורמלית, לכל M קיים N כך שאם w L ו- N w > אז ).s(w) > M אם L אינה רגולרית, אז קיימות אינסוף מילים w ב- L שעבורן = 0.s(w) תהי L השפה המורכבת מכל המילים w מעל {b,a} המקיימות w a = w b )מספר מופעי a הינו כמספר מופעי.)b אזי לכל n מתקיים.s(a n b n ) = 2n פתרון התשובה הנכונה היא א'. הסבר: כיוון ש- L רגולרית קיים אוטומט סופי דטרמיניסטי D עבורו.L(D) = L שימו לב כי כל לולאה בריצת האוטומט על מילה יכולה לשמש בתור ה- y בפיצול ניתן לפירוק של המילה )מעבר אחד בלולאה או יותר(, ולולאות שונות נותנות פיצולים שונים. בהנתן M, נוודא כי יהיו לפחות M לולאות בקריאת המילה, ולפיכך לפחות M פיצולים ניתנים לפירוק שונים. נניח כי מספר המצבים באוטומט הוא.k נבחר 1) + M(k.N = תהי w L כך ש- 1) + (k, w M אזי בקריאת w האוטומט D עובר בלפחות M לולאות )כל (1 + k) מעברים מבטיחים מעבר בלולאה אחת לפחות(, לכן יהיו לפחות M פירוקים אפשריים כנדרש. סעיף ב' לא נכון כיוון שראינו שפות לא רגולריות המקיימות את למת הניפוח. אי נכונות סעיף ב' נובעת מכך. סעיף ג' לא נכון כיוון שה- y -ים המתאימים הם מהצורה,y = a k b k, 1 k n כלומר.s(a n b n ) = n מקווה שעד עכשיו הבנתם למה סעיף ד' לא נכון. 8
9 שאלה 10 נאמר כי שפה כלשהי L מקיימת את למת הניפוח עבור N טבעי מסויים אם עבור כל מילה L w עם w N קיימות שלוש מילים Σ,x, y, z המקיימות:.y ε )i(.xyz = w )ii(.n לכל 0 xy n z L )iii(. xy N )iv( יהי {b. Σ =,a} תהי L השפה המורכבת מכל המילים w בעלות התכונה שלכל תת-מילה u באורך 100 של w מתקיים 60 a. u L מקיימת את למת הניפוח עבור = 25 N. L מקיימת את למת הניפוח עבור = 100 N, אך לא עבור = 25 N. L מקיימת את למת הניפוח עבור = 200 N, אך לא עבור = 100 N. פתרון התשובה הנכונה היא ב' נראה כי השפה אינה מקיימת את למת הניפוח עם = 25 N: ואמנם תהי.w = b 25 L אזי לכל פירוק w = xyz כבהגדרה מתקיים כי y = b k באשר 25 k.1 לכן ולכן אינה ב- L. מילה באורך גדול מ- 100 המורכבת כולה מ- b -ים, xy 101 z = b k נראה כי השפה מקיימת את למת הניפוח עם = 100 N: תהי w L מילה מאורך 100. נתבונן בפירוק w = xyz כאשר y הרישא באורך 100 של w, ו- z הסיפא )בפרט x(. = ε ברור כי תנאים (i),(ii) ו-( iv ) מתקיימים. נותר להראות את תנאי.(iii) u. xy 0 a מאורך 100, ולכן 60 w מאורך 100 היא גם תת מילה של z של u בשפה, כי כל תת מילה z = z xy n z = y n z עבור 1 :n לכל תת מילה u באורך 100 של,xy n z אם u תת מילה של yz אזי זוהי תת מילה באורך 100 של w, ולכן 60 a u. אחרת, u תת מילה של y. n אם u = y אזי זוהי תת מילה של w באורך,100 ולכן 60 a. u a = y נניח כי,u y כלומר u מוכלת ברצף yy כלשהו u( מאורך,100 ולכן לא ייתכן כי היא מכילה אותיות מיותר מ- 2 y -ים(. נניח והיא מכסה את הסיפא באורך k של ה- y הראשונה, אזי היא מכסה את הרישא באורך k 100 של ה- y השניה. סה"כ נקבל כי האותיות של u אלו בדיוק האותיות של y עד כדי שינוי הסדר, ולכן 60 a. u a = y 9
10 שאלה נוספת בהינתן שתי שפות L 1 ו- L 2 נגדיר את השפה L 1 L 2 באופן הבא: L 1 L 2 = {uv: u L 1, v L 2 and u = v } לדוגמא, עבור aaa} L 1 = {a, ו- bab} L 2 = {ab, נקבל כי {aaabab} L 1 L 2 = הראה כי אם L 1 ו- L 2 רגולריות אזי L 1 L 2 ח"ה ע"י בניית דקדוק ח"ה ששפתו L 1 L 2 והסבר מדוע מתקיים.L() = L 1 L 2 הוכח או הפרך- משפחת השפות הרגולריות סגורה תחת. כלומר, אם L 1 ו- L 2 רגולריות אזי L 1 L 2 רגולרית. פתרון סעיף א יהיו L 1, L 2 שפות רגולריות. מתכונת סגירות של שפות רגולריות גם L) 2 ) R רגולרית. יהיו 1, 2 R דקדוק ח"ה רגולריים עבור L 1, (L 2 ) R בהתאמה. נשתמש בפונקציה f שהגדרנו בתרגול 7 שאלה,2 L. R נגדיר,f( ונשים לב כי אשר בהינתן דקדוק ח"ה עבור שפה L מחזירה דקדוק ח"ה עבור השפה 2 (R = 2.L( 2 ) = L( 2 R) R = ((L 2 ) R ) R = L 2 נסמן: > 1, 1 =< Σ, N 1, R 1, S וכן > 2. 2 =< Σ, N 2, R 2, S הערה בה"כ ניתן להניח כי כל הכללים בדקדוק 1 הם מהצורה aa,a או,A ϵ עבור A, A N 1 ו- Σ.a לשם כך ניזכר בשאלה 1 מתירגול 7, אשר בהינתן אוטומט לשפה מחזירה דקדוק ח"ה רגולרי עבור השפה. בבניית הדקדוד נוסף כלל מהצורה A A רק עבור מעבר אפסילון )ממצב A למצב A( באוטומט הנתון. לכן, אם נחיל את הבניה על אוטומט סופי דטרמיניסטי עבור השפה לא יווצרו כללים כנ"ל. באותו אופן נסיק עבור, 2 R ולכן נוכל להניח כי כל כללי הגזירה בדקדוק 2 הם מהצורה b או B ε עבור B, B N B B 2 ו- Σ b )כי f הופכת את כל כללי הגזירה של (. 2 R N = {(AB) A N 1 B N 2 }, S = (S 1 S 2 ) נגדיר דקדוק ח"ה > S =< Σ, N, R, באופן הבא: R = {(AB) a(a B )b A aa R 1 B B b R 2 } {(AB) ε A ε R 1 B ε R 2 } דוגמא.(L,L L 1 = ab b ו- = ba 2 ) R = a b 2 עבור 2 R = S 2 as 2 bb 2 = S 2 S 2 a Bb 1 = S 1 aa ba ε B ε B ε A ba ε (S 1 S 2 ) a(as 2 )a a(ab)b b(as 2 )a b(ab)b (AS 2 ) b(as 2 )a b(ab)b (AB) ε נקבל את הדקדוק הבא: 10
11 טענה L() = L 1 L 2 כיוון א': L() L 1 L 2 ) 2,w (S 1 S וכן מאופן הגדרת, אם w אזי ניתן לרשום w = w 1 w 2 כך שמתקיים ) Σ (N 1 Σ 1 2.w 2 (N 2 Σ Σ 1 = w בנוסף. w בכל הפעלת כלל גזירה ב- "מדמים" הפעלה של שני כללי גזירה ) במקביל ב- 1 וב-, 2 וכל כלל כזה מייצר אות לא סופית נוספת )ולכן 2 אותיות נוספות עבור כלל הגזירה ב- (. הגזירה ב- מסתיימת רק אם הגענו לדמות שני כללי גזירה מהצורה C ε ב- 1 וב-. 2 לכן ניתן להסיק כי קיימות סדרות גזירה ב- 1 ו- 2 שמייצרות את ו- w 2 בהתאמה. w 1 מכאן שעבור w L קיימת חלוקה w = w 1 w 2 כך ש-( w 1 L( 1 ו-(,w 2 L( 2 וגם 2, w 1 = w ולכן.w L 1 L 2 כיוון ב': L() L 1 L 2 תהי,w L 1 L 2 מכאן ש- w = w 1 w 2 כאשר w 1 L 1 ו-,w 2 L 2 וגם 2. w 1 = w נסמן 1.n = w נראה כי קיימת סדרת גזירות ב- כך ש- w מתקבלת, ולכן L() w. מתקבלת, נסמנה.P 1 w 1 כך ש- 1 ולכן קיימת סדרת גזירות ב-,w 1 L 1 מתקבלת, נסמנה.P 2 w 2 כך ש- 2 ולכן קיימת סדרת גזירות ב-,w 2 L 2 בעזרת סדרות אלה נגדיר את סדרת הגזירות ב- כך ש- w מתקבלת, נסמנה P. נעבור במקביל על סדרות הגזירה P, 1, P 2 ולפי כלל הגזירה בו השתמשנו בכל אחת מסדרות אלה נגדיר את צעד הגזירה הבא ב- P, ונעבור לצעד הגזירה הבא ב- P 1 וב- P. 2 נסמן ב-( AB ) את המשתנה אליו הגענו עד כה בסדרת הגזירות P אותה אנו מגדירים )בתחילה ) 2,(AB) = S) 1 S ובכל שלב בגזירה יש משתנה יחיד במילה שנגזרה עד כה(. נתבונן בצעדי הגזירה ב- P 1 וב- P 2 אליהם הגענו, ונחלק למקרים: אם צעד הגזירה ב- P 1 הוא מהצורה aa A וצעד הגזירה ב- P 2 הוא מהצורה B, B b נגזור לפי וב-,(AB) a(a B 2 ונעבר לצעד הגזירה הבא ב-.P P 1 )b אם צעד הגזירה ב- P 1 הוא מהצורה A ε וצעד הגזירה ב- P 2 הוא מהצורה B, ε נגזור לפי (AB) ε ונסיים..1.2 w 1 P 1 נותר לראות כי הסדרה P מוגדרת היטב, ואכן גוזרת את w. מאחר והדקדוקים 1, 2 מחייבים גזירה של אות לא סופית אחת בכל צעד גזירה שאינו הצעד האחרון, ומאחר ו- w, A = w B בכל אחת מסדרות הגזירה P 1, P 2 יש בדיוק n הפעלות של כלל גזירה המייצר אות לא סופית, ולבסוף הפעלה של כלל גזירה מהצורה C. ε לכן, מקרה 1 יתרחש n פעמים )והגזירה לא נתקעת בשלב זה(. לאחר ש- n כללי הגזירה הנ"ל הופעלו, כל אחת מסדרות הגזירה P 1 ו- P 2 מסתיימות בכלל מהצורה C, ε ולכן מקרה 2 יופעל, והגזירה תסתיים. בסופה נקבל כי כל אחת מהסדרות ו- P 2 "גרמה" לגזירה של המילה ו- w 2 בהתאמה בסדרה P, ולכן P אכן גוזרת את w. 11
12 דוגמא עבור w 1 = bb ו- ba.w 2 = ו- ba. P 2 = S 2 S 2 a Bba P 1 = S 1 ba bba bb סדרת הגזירות ב- כך ש- w 1 w 2 מתקבלת היא: P = (S 1 S 2 ) b(as 2 )a bb(ab)ba bbba סעיף ב b.l 1 = a, L 2 = אזי,L וזו אינה רגולרית. 1 L 2 = {a n b n n 0} הפרכה. נבחר 12
{ : Halts on every input}
אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.
Διαβάστε περισσότεραמודלים חישוביים תרגולמס 5
מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך
Διαβάστε περισσότεραLogic and Set Theory for Comp. Sci.
234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur
פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת
Διαβάστε περισσότεραלוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור
Διαβάστε περισσότεραתרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות
Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון
Διαβάστε περισσότεραניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע "י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות:
שאלה 1 בנה אוטומט המקבל את שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} המכילות לפחות פעם אחת את הרצף ומיד אחרי כל אות מופיע הרצף. ניתן לפרק את השפה לשתי שפות בסיס מעל הא"ב :{,,} שפת כל המילים המכילות לפחות פעם אחת את
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה
Διαβάστε περισσότεραלוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1
Διαβάστε περισσότεραאוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:
2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב
Διαβάστε περισσότεραחורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'
מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר
Διαβάστε περισσότεραצעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים
מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה
Διαβάστε περισσότεραאוטומטים ושפות פורמליות תרגולים
אוטומטים ושפות פורמליות תרגולים מבוסס על תרגולים של מר גולדגביכט עומר, אוניברסיטת בר אילן 2012. שיעור 1 הגדרות: א"ב: אוסף סופי ולא ריק של סימנים/אותיות/תווים. נסמן אותו באות. דוגמאות: 9},... 1,,{0, {א,..,.
Διαβάστε περισσότεραקובץ שאלות ופתרונות של שאלות ממבחנים מנושאים שונים
אוטומטים ושפות פורמליות 236353 סמסטר אביב 2016 קובץ שאלות ופתרונות של שאלות ממבחנים מנושאים שונים קובץ ונערך ע"י אורן אשכנזי ומיכל הורוביץ תכונות סגור ודקדוקים רגולריים. עבור שפות L 1, L 2 מעל א"ב Σ נגדיר
Διαβάστε περισσότεραאלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,
Διαβάστε περισσότερα( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת
הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e
Διαβάστε περισσότεραלדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור
הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין
Διαβάστε περισσότεραשדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם
תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא
Διαβάστε περισσότεραהרצאה נושאי הקורס 0.2 א"ב ומילים 0.3 שפות 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן?
הרצאה 1 0.1 נושאי הקורס 1. מהו חישוב? 2. מהו מחשב? 3. מהו אלגוריתם? 4. מה ניתן לחשב? מה לא ניתן? בקורס זה נעסוק בבעיות חישוב הנקראות בעיות הכרעה. בהינתן קלט, אנו נבצע "חישוב" ובסופו נחזיר תשובה האם הקלט
Διαβάστε περισσότεραדף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)
Διαβάστε περισσότεραיסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p
Διαβάστε περισσότεραביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5
הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) ביטויים רגולריים הרצאה 5 המצגת מבוססת על ספרם של פרופ' נסים פרנסיז ופרופ' שמואל זקס, "אוטומטים ושפות פורמליות", האוניברסיטה הפתוחה, 1987. גרסה ראשונה
Διαβάστε περισσότεραל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך
מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות
Διαβάστε περισσότεραסיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim
Διαβάστε περισσότεραשפות פורמאליות אוטומטים
הנושאים שנעבור שפות פורמאליות אוטומטים שפות פורמאליות מכונות/אוטומטים דקדוקים תורת הקומפילציה אהרון נץ מבוסס על השקפים של עומר ביהם שמבוססים על שקפי הרצאה מהקורס אוטומטים ושפות פורמאליות בטכניון, פרופ'
Διαβάστε περισσότεραx a x n D f (iii) x n a ,Cauchy
גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת
Διαβάστε περισσότεραאוטומטים, שפות פורמליות ו ח ישוּב יוּת
אוטומטים, שפות פורמליות וחישוביות (202-1-2011) סיכום מאת תומר גודינגר אוטומטים, שפות פורמליות ו ח ישוּב יוּת פרטים אדמיניסטרטיביים המרצים בקורס: ברנד, ברפמן, קנטורוביץ' ואבו-עפאש אתר הקורס: http://csbguacil/~auto141/ain
Διαβάστε περισσότεραשפות פורמאליות אוטומטים
שפות פורמאליות אוטומטים תורת הקומפילציה אהרון נץ מבוסס על השקפים של עומר ביהם שמבוססים על שקפי הרצאה מהקורס אוטומטים ושפות פורמאליות בטכניון, פרופ' שמואל זקס 1 הנושאים שנעבור שפות פורמאליות מכונות/אוטומטים
Διαβάστε περισσότεραמתמטיקה בדידה תרגול מס' 5
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון
Διαβάστε περισσότεραI. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx
דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה
Διαβάστε περισσότεραbrookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק
יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות
Διαβάστε περισσότεραgcd 24,15 = 3 3 =
מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =
Διαβάστε περισσότεραמודלים חישוביים כריעות R זוהי מחלקת השפות הכריעות. מחלקה זו סגורה תחת פעולת המשלים. רדוקציה בעיית ההכרעה רדוקציית מיפוי.
מודלים חישוביים סיכום כריעות טענה: לא כל הפונקציות חשיבות. מספר התוכניות הוא בן מניה. כל תוכנית מגדירה פונקציה מספרית אחת לכל היותר. לכן מספר האלגוריתמים הוא בן מניה בעוד שמספר הפונקציות המספריות אינו
Διαβάστε περισσότεραמינימיזציה של DFA מינימיזציה של הקנוני שאותה ראינו בסעיף הקודם. בנוסף, נוכיח את יחידות האוטומט המינימלי בכך שנראה שכל אוטומט על ידי שינוי שמות
מינימיזציה של DFA L. הוא אוטמומט מינימלי עבור L של שפה רגולרית A ראינו בסוף הסעיף הקודם שהאוטומט הקנוני קיים A DFA בכך הוכחנו שלכל שפה רגולרית קיים אוטומט מינמלי המזהה אותה. זה אומר שלכל נקרא A A לאוטומט
Διαβάστε περισσότεραמודלים חישוביים פתרון תרגיל 5
מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5 כתוב אוטומט דטרמיניסטי לשפות הבאות מעל הא"ב.Σ={,} א. *Σ. q, ב. q, ג. {ε}, q, q ד. } = 3 {w w mod, q, q,, ה. ''} {w w does not contin the sustring q 4 q 3 q q כתוב אוטומט דטרמיניסטי
Διαβάστε περισσότεραרשימת משפטים והגדרות
רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F
Διαβάστε περισσότεραאינפי - 1 תרגול בינואר 2012
אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,
Διαβάστε περισσότεραמשוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ
משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת
Διαβάστε περισσότερα= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(
א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π
Διαβάστε περισσότεραגבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות
08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך
Διαβάστε περισσότεραc ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )
הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה
Διαβάστε περισσότεραחלק 1 כלומר, פונקציה. האוטומט. ) אותיות, אלפבית, א"ב (.
תוכן עניינים תקציר מודלים חישוביים ערך יגאל הינדי 2 2 2 3 4 6 6 6 7 7 8 8 9 11 13 14 14 15 16 17 17 18 19 20 20 20 20 - האוטומט הסופי - אוטומט סופי דטרמניסטי 2 פרק - מושגים ומילות מפתח 2.1 - הגדרת אוטומט
Διαβάστε περισσότεραחישוביות הרצאה 4 לא! זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה: הגדרת! : f r
ל' ' פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות חישוביות הרצאה 4 האם כל פונקציה מלאה היא פרימיטיבית רקורסיבית? לא נראה שתי הוכחות: פונקציות רקורסיביות (המשך) זיהוי שפות ע''י מכונות טיורינג הוכחה קיומית: קיימות פונקציות
Διαβάστε περισσότεραקבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.
א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.
Διαβάστε περισσότεραהרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב פרופ' יעקב ורשבסקי
הרצאה תרגילים סמינר תורת המספרים, סמסטר אביב 2011 2010 פרופ' יעקב ורשבסקי אסף כץ 15//11 1 סמל לזנדר יהי מספר שלם קבוע, ו K שדה גלובלי המכיל את חבורת שורשי היחידה מסדר µ. תהי S קבוצת הראשוניים הארכימדיים
Διαβάστε περισσότεραתרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות
תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si
Διαβάστε περισσότερα[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m
Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות
Διαβάστε περισσότεραמתמטיקה בדידה תרגול מס' 13
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.
Διαβάστε περισσότεραהגדרה: מצבים k -בני-הפרדה
פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון
Διαβάστε περισσότεραאלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז
פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות 88-211 סמסטר א תשע ז הוראות בהגשת הפתרון יש לרשום שם מלא, מספר ת ז ומספר קבוצת תרגול. תאריך הגשת התרגיל הוא בתרגול בשבוע המתחיל בתאריך ג טבת ה תשע ז, 1.1.2017. שאלות
Διαβάστε περισσότεραמכונת טיורינג אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי לא מסומנת)
מכונת טיורינג אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי לא מסומנת) אוטומט מחסנית דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי מסומנת) סגירות:איחוד,שרשור,היפוך, חיתוך עם שפה רגולרית אוטומט סופי דטרמיניסטי
Διαβάστε περισσότεραטענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.
1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח
Διαβάστε περισσότεραלוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת
Διαβάστε περισσότεραהגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות
אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול
Διαβάστε περισσότεραמודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות
מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות סשה גולדשטיין, sashag@cs 20 ביוני 2011 תקציר הסיכום להלן מהווה תקציר של חומר הקורס ואיני נוטל עליו כל אחריות. אתם יכולים להיעזר גם בהקלטות השיעורים וכמובן בספר הלימוד.
Διαβάστε περισσότεραפתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.
פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך
Διαβάστε περισσότερα1 תוחלת מותנה. c ארזים 3 במאי G מדיד לפי Y.1 E (X1 A ) = E (Y 1 A )
הסתברות למתמטיקאים c ארזים 3 במאי 2017 1 תוחלת מותנה הגדרה 1.1 לכל משתנה מקרי X אינטגרבילית ותת סיגמא אלגברה G F קיים משתנה מקרי G) Y := E (X המקיים: E (X1 A ) = E (Y 1 A ).G מדיד לפי Y.1.E Y
Διαβάστε περισσότεραפתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.
בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית
Διαβάστε περισσότεραתורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות
תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית
Διαβάστε περισσότεραאלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11
אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6
Διαβάστε περισσότεραמכונת טיורינג אוטומט מחסנית לא דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי לא מסומנת)
מכונת טיורינג לא דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי לא מסומנת) דטרמיניסטי שפות חופשיות הקשר (שפת ראי מסומנת) סגירות:איחוד,שרשור,היפוך, חיתוך עם שפה רגולרית אוטומט סופי דטרמיניסטי שפות רגולריות סגירות:חיתוך,איחוד,שרשור,משלים,היפוך
Διαβάστε περισσότεραסדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל
סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר
Διαβάστε περισσότεραלוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר
לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ד (2014) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת
Διαβάστε περισσότεραחשבון אינפיניטסימלי 1
חשבון אינפיניטסימלי 1 יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ צליל סלע בקורס "חשבון אינפיניטסימלי 1" (80131) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו.
Διαβάστε περισσότεραמבחן במודלים חישוביים + פתרון מוצע
מבחן במודלים חישוביים + פתרון מוצע סמסטר ב' התשס"ט, מועד ב' תאריך: 1.9.2009 מרצים: ד"ר מירי פרייזלר, פרופ' בני שור מתרגלים: יהונתן ברנט, רני הוד מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני תחילת
Διαβάστε περισσότεραlogn) = nlog. log(2n
תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)
Διαβάστε περισσότεραמודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015)
מודלים חישוביים מבחן מועד א', סמסטר א' תשע''ה (2015) מרצה: פרופ' בני שור מתרגלים: אורית מוסקוביץ' וגל רותם 28.1.2015 הנחיות: 1. מומלץ לקרוא את כל ההנחיות והשאלות בתחילת המבחן, לפני כתיבת התשובות. 2. משך
Διαβάστε περισσότεραתרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012
תרגול מס' 1 3 בנובמבר 2012 1 מערכת המספרים השלמים בשיעור הקרוב אנו נעסוק בקבוצת המספרים השלמים Z עם הפעולות (+) ו ( ), ויחס סדר (>) או ( ). כל התכונות הרגילות והידועות של השלמים מתקיימות: חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות),
Διαβάστε περισσότεραתרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית:
משפט הדיברגנץ תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: div(f ) dxdy = F, n dr נוסחת גרין I: uδv dxdy = u v n dr u, v dxdy הוכחה: F = (u v v, u x y ) F = u v כאשר u פו' סקלרית:
Διαβάστε περισσότεραתרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית
אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית
Διαβάστε περισσότεραמתמטיקה בדידה תרגול מס' 12
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע
Διαβάστε περισσότεραc ארזים 15 במרץ 2017
הסתברות למתמטיקאים c ארזים 15 במרץ 2017 הקורס הוא המשך של מבוא להסתברות שם דיברנו על מרחבים לכל היותר בני מניה. למשל, סדרת הטלות מטבע בלתי תלויות היא דבר שאי אפשר לממש במרחב בן מניה נסמן את התוצאה של ההטלה
Διαβάστε περισσότεραתורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות
תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת
Διαβάστε περισσότεραבחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד
בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד סמסטר: א' מועד: א' תאריך: יום ה' 0100004 שעה: 04:00 משך הבחינה: שלוש שעות חומר עזר: אין בבחינה שני פרקים בפרק הראשון 8 שאלות אמריקאיות ולכל אחת מהן מוצעות
Διαβάστε περισσότεραחישוביות, אוטומטים ושפות מכונה סיכומי הרצאות
חישוביות, אוטומטים ושפות מכונה סיכומי הרצאות 6 ביוני 2011 מרצה: גיא קינדלר מתרגל: רועי פוקס סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes 1 תוכן
Διαβάστε περισσότεραRegular Expressions (RE)
Regular Expressions (RE) ביטויים רגולריים עד כה דנו במספר מודלים חישוביים להצגת (או ליצור) שפות רגולריות וראינו שכל המודלים האלה הם שקולים מבחינת כוח החישובי שלהם. בסעיף זה נראה עוד דרך להצגת (או ליצור)
Διαβάστε περισσότεραבעיות חשיבות: :(State transition system) STS מושגים: רדוקציה: f אינה חשיבה g אינה חשיבה; בבעיות הכרעה: f לא כריעה g לא כריעה.
1 סיכומים למבחן בקורס מודלים חישוביים סמסטר א' 2008-9 (פרופ' נחום דרשוביץ) חלק ראשון: חישוביות בעיות חשיבות: דוגמאות לפוקנציות לא חשיבות: פונקציה תיאור הערות, הבונה החרוץ בהינתן מספר n, מה הוא הפלט הגדול
Διαβάστε περισσότεραסיכום לינארית 1 28 בינואר 2010 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך.
סיכום לינארית 28 בינואר 2 מרצה: יבגני סטרחוב מתרגלת: גילי שול אין המרצה או המתרגלת קשורים לסיכום זה בשום דרך הערות יתקבלו בברכה nogarotman@gmailcom תוכן עניינים 3 מבוא והגדרות בסיסיות 6 שדות 7 המציין של
Διαβάστε περισσότεραתורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות.
תורת הקבוצות מושגי יסוד בתורת הקבוצות קבוצה אוסף של אלמנטים הנקראים אברי הקבוצה. אין חשיבות לסדר האיברים בקבוצה. אין חשיבות לחזרות. A = 1,4,7,17,20 B = 1, a, b, c 2 נאמר ש x שייך ל A ונסמן x A אם x הוא
Διαβάστε περισσότεραתרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות
תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =
Διαβάστε περισσότεραמתמטיקה בדידה תרגול מס' 2
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.
Διαβάστε περισσότεραסיכום אינפי 2 19 ביוני 2010 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין
סיכום אינפי 2 9 ביוני 200 מרצה: צביק איתמר, בעזרת סיכומים משיעוריו של נועם ברגר מתרגלים: ינאי ג', איב גודין אין המרצה או המתרגלים קשורים לסיכום זה בשום דרך. סוכם ע"י נגה רוטמן בשעות לא הגיוניות בעליל,
Διαβάστε περισσότεραאוטומטים ושפות פורמליות מבוא לתורת החישוביות
אוטומטים ושפות פורמליות מבוא לתורת החישוביות ד ר סמי זעפרני מוקדש לזכרו של משה בנסל חבר, עמית, ומורה דרך מהדורה June 27,2.3 הקדשה הספר מוקדש לזכרו היקר של משה בנסל (955-2), אשר במהלך שלושים שנות עבודתו
Διαβάστε περισσότεραi שאלות 8,9 בתרגיל 2 ( A, F) אלגברת יצירה Α היא זוג כאשר i F = { f קבוצה של פונקציות {I קבוצה לא ריקה ו A A n i n i מקומית מ ל. A נרשה גם פונקציות 0 f i היא פונקציה n i טבעי כך ש כך שלכל i קיים B נוצר
Διαβάστε περισσότεραתורת הקבוצות ניר אדר ניר אדר.
גירסה 101 2432010 גירסה 100 6122003 תורת הקבוצות מסמך זה הורד מהאתר http://wwwunderwarcoil אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב
Διαβάστε περισσότεραתרגול פעולות מומצאות 3
תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה
Διαβάστε περισσότεραתורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית,
תורת הקבוצות יובל קפלן סיכום הרצאות פרופ ארז לפיד בקורס "תורת הקבוצות" (80200) באוניברסיטה העברית, 7 2006. תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן. אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו. סודר באמצעות L
Διαβάστε περισσότεραco ארזים 3 במרץ 2016
אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם
Διαβάστε περισσότεραחשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה.
חשבון אינפיניטסימלי 1 סיכום הרצאות באוניברסיטה חיפה, חוג לסטטיסטיקה. מרצה: למברג דן תוכן העניינים 3 מספרים ממשיים 1 3.................................. סימונים 1. 1 3..................................
Διαβάστε περισσότεραמודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות (חישוביות) 67521
מודלים חישוביים, חישוביות וסיבוכיות (חישוביות) 67521 22 ביוני 2012 מרצה: גיא קינדלר מתרגל: שאול אלמגור "...one TM to rule them all..." באדיבות בן מאירי איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly
Διαβάστε περισσότεραאלגברה לינארית 1 יובל קפלן
אלגברה לינארית 1 יובל קפלן מחברת סיכום הרצאות ד"ר אלי בגנו בקורס "אלגברה לינארית 1" (80134) באוניברסיטה העברית, 7 2006 תוכן מחברת זו הוקלד ונערך על-ידי יובל קפלן אין המרצה אחראי לכל טעות שנפלה בו סודר
Διαβάστε περισσότεραחשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות
חשבון אינפיניטסמלי מתקדם 1 סיכומי הרצאות 13 בינואר 211 מרצה: אילון לינדנשטראוס מתרגל: רון רוזנטל סוכם ע י: אור שריר פניות לתיקונים והערות: tnidtnid@gmail.com אתר הסיכומים שלי: http://bit.ly/huji_notes
Διαβάστε περισσότεραמתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1
1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n
Διαβάστε περισσότεραאלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2
אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק
Διαβάστε περισσότεραתורת הקבוצות בפברואר 2012 תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012
תורת הקבוצות 80200 אור דגמי, ÓÖ Ñ ºÓÖ 11 בפברואר 2012 אתר אינטרנט: ØØÔ»» Ñ ºÓÖ תקציר סיכום הרצאות של פרופסור רון לבנה בשנת לימודים 2012 1 תוכן עניינים תוכן עניינים תוכן עניינים מבוא.............................................
Διαβάστε περισσότεραשאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R
תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A
Διαβάστε περισσότεραמבוא ללוגיקה מתמטית 80423
מבוא ללוגיקה מתמטית 80423 24 במרץ 2012 איני לוקחת אחריות על מה שכתוב כאן, so tread lightly אין המרצה או המתרגל קשורים לסיכום זה בשום דרך. הערות יתקבלו בברכה.noga.rotman@gmail.com אהבתם? יש עוד! www.cs.huji.ac.il/
Διαβάστε περισσότεραאלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 11.1 K α : F איזומורפיזם של שדות. א. טענה 1 :.α(0 F ) = 0 K עלינו להוכיח כי לכל,b K מתקיים.b + α(0 F ) = α(0 F ) + b = b עבור b K (כיוון ש α חח"ע ועל), קיים ויחיד x F כך ש.α(x)
Διαβάστε περισσότερα