ATELIER TEMATIC nr. 26_P2 MATERIALE MAGNETICE AVANSATE PENTRU REDUCEREA CONSUMULUI DE ENERGIE SI REALIZAREA DE SENZORI
|
|
|
- Μαργαρίτες Παππάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2 ATELIER TEMATIC nr. 26_P2 MATERIALE MAGNETICE AVANSATE PENTRU REDUCEREA CONSUMULUI DE ENERGIE SI REALIZAREA DE SENZORI Experţi pe termen scurt: 1. Conf. dr. Corneliu-Bazil CIZMAȘ 2. Conf. Dr. Marius VOLMER Locul de desfăşurare: Universitatea Transilvania din Brașov Facultatea de Inginerie Electrică și Știința Calculatoarelor Departamentul de Inginerie Electrică și Fizică Aplicată Laborator de Sisteme Electrice Avansate Bd. Eroilor nr Brasov Încadrarea temei atelierului în domeniile prioritare ale proiectului: PRODUSE, PROCESE ŞI MATERIALE INOVATIVE Domeniul de interes vizat de atelierul tematic (max. 400 cuvinte): Soluții importante și de actualitate pentru reducerea consumului de energie utilizând materiale magnetice sunt folosirea magneților permanenți ca surse de câmp magnetic în sistemele electrice și a materialelor cu efect magnetocaloric în sisteme de refrigerare magnetică la temperatura camerei. Eficiența energetică a acestor sisteme este strâns legată de alegerea corespunzătoare a materialelor magnetice implicate conform cerințelor de performanță vizate şi a soluțiilor tehnologice de implementare la preţuri de cost acceptabile. În primele două prelegeri sunt prezentate cunoștințe fundamentale privind proprietățile magnetice ale materialelor pentru magneți permanenți și a celor cu proprietăți magnetocalorice, tehnicile de caracterizare, caracteristicile principalelor clase de astfel de materiale și aplicațiile acestora. Straturile subțiri și sistemele de tip multistrat magnetice au impulsionat ramura micro și nanotehnologiilor conducând la apariția unui nou domeniu - spintronica - prolific atât din punct de vedere al cercetării fundamentale și al fenomenelor descoperite precum efectul de magnetorezistență anizotropă (AMR), efectul de magnetorezistență gigantă (GMR), efectul de tunelare dependentă de spin (TMR tunneling magnetoresistance), etc. dar mai ales prin
3 aplicațiile dezvoltate precum memorii magnetice nevolatile (MRAM), senzori magnetici de mare sensibilitate, capete magnetice pentru unitățile de stocare de mare capacitate, biosenzori, etc. Posibilitatea manipulării electronilor după spin a dus la descoperirea unor noi efecte precum Spin Hall Effect, Spin Sebeck Effect și dezvoltarea unei noi ramuri numită Spin Caloritronics cu implicații în realizarea de generatoare termoelectrice cu randamente superioare celor clasice. În cadrul prelegerii 3 sunt descrise procedee moderne de obținere a acestor micro- nanostructuri magnetice și modul de integrare pe cip-ul de Si alături de alte componente, respectiv tehnicile de caracterizare structurală, magnetică și electrică. În prelegerea nr. 4 sunt prezentate cele mai importante aplicații în domeniul senzoristicii utilizând acest tip de structuri. În cadrul lucrările practice cursanții sunt familiarizați cu tehnicile moderne de caracterizare fizică a materialelor magnetice pentru magneți permanenți, a celor cu proprietăți magnetocalorice, respectiv a unor micro structuri și a performanțelor unor senzori realizați cu acestea. Cunoştinţele pe care le poate dobândi participantul la atelier şi aplicabilitatea acestora (enumerare, fără explicaţii): cunostinte fundamentale privind proprietatile materialelor magnetice si domeniile de aplicabilitate; cunostinte generale privind caracteristicile materialelor magnetice dure si magnetocalorice; cunostinte generale in domeniul micro si nanotehnologiilor; cunostinte generale in domeniul spintronicii si aplicarea acestora in domeniul senzorilor de camp magnetic, in domeniul biodetectiei. Deprinderile pe care le poate dobândi participantul la atelier ca urmare a activităţilor practice prevăzute: deprinderi de manevrare a unei instalatii criogenice, deprinderi de manipulare a unor probe de mici dimensiuni, deprinderi de lucru cu instalatii moderne de caracterizare magnetica si electrica, deprinderi de masurare a unor semnale electrice de nivel scazut, deprinderi de prelucrare avansata a datelor experimentale.
4 Atelierul tematic contribuie la formarea sau consolidarea următoarelor competenţe: - identificarea adecvată a conceptelor teoretice şi a metodelor experimentale de bază din domeniul materialelor magnetice si senzoristicii; - utilizarea cunoştinţelor de bază din domeniul materialelor magnetice pentru intelegerea şi interpretarea proprietatilor acestora; - aplicarea cunostintelor de bază din domeniul materialelor magnetice, pentru proiectarea și exploatarea sistemelor de refrigerare magnetica si a celor cu senzori magnetic. Aparatura specializată care se foloseşte în cadrul atelierului: Nr. crt Denumire echipament (aparat, stand sau instalaţie) Sistem criogenic pentru măsurarea proprietăților fizice ale materialelor 7Tesla Mini Cryogen Free Measurement System (7T mcfms) Boxă cu manuși cu purificator de gaz, PureLab HE 2 Moară planetară de măcinare cu bile de mare energie, Pulverisette 7 premium line Cuptor de tratament termic cu tub orizontal RS80/500/13 Firma producătoare Cryogenic Ltd, Marea Britanie Innovative Technologie, SUA Fritsch GmbH, Germania Nobertherm GmbH, Germania An fabricaţie Nanovoltmetru 2182A Keithley Sursă de current programabilă 6221 Sursă programabilă tensiune/curent 2635A Gaussmetru digital DSP 475 Sursă de putere BOP MG Keithley 2008 Keithley 2011 Lake Shore 2010 Kepco inc Caracteristici principale Câmp magnetic: 0-7T Domeniul de temperatură: 2K-700K pentru proprietăți magnetice ; 2K-320K pentru proprietăți electrice, termice și optice Acces: 2 mănuși din butyl, 2 anticamere, atmosferă de lucru : argon, regenerare automată, controlor logic programabil 2 stații de lucru; boluri de măcinare de 45mm; viteza de rotație disc principal rpm; raport de transmisie = 1 : 2; accelerație centrifugă : 95g, Temperatura maximă: 1300 C; vid ~10-3 mbar; gaz protector (Ar, N2); Controlor Logic Programabil (PLC) C290 (9 programe a câte 40 pași) 2 canale, sensib. 1 nv, rezist. intrare 10 GΩ, 7 ½ digits DC/AC, 2 pa ma, Ω impedanță de ieșire, 1mHz to 100kHz 0 ± 200 Vdc rezol. 5µV to 5 mv, 0±1.5 AC/DC,rezol.: 20 fa/1 na la 50 μa /1.5A; 35 mg 350 kg, rezoluție 0,02 mg, controler PID pentru surse de putere ridicată +,-100V/10A, 4 cadrane, forme de undă arbitrare au predefinte
5 a) b) c) d) e) Fig.1. Aparatura folosita in cadrul determinarilor experimentale: a) Sistem criogenic 7Tesla Mini Cryogen Free Measurement System (7T mcfms), b) Boxă cu manuși cu purificator de gaz, PureLab HE 2 c) Moară planetară de măcinare cu bile de mare energie, Pulverisette 7 premium line d) Cuptor de tratament termic cu tub orizontal RS80/500/13 e) Sistem computerizat de caracterizare galvanomagnetica a straturilor subitiri sala CP 28 Sursa de putere programabila BOP MG, Nanovoltmetru Keithely 2182A, Sursa de curent programabila Keithely 6221.
6 Participanţii la atelier: Doctoranzi din grupul ţintă al proiectului: 1. Drd. Ighisan Cosmin Marian, Universitatea Politehnica Timișoara 2. Drd. Kiss Mihaela Luminița, Universitatea Politehnica Timișoara 3. Drd. Perescu Alexandru, Universitatea Politehnica Timișoara 4. Drd. Dudas-Sorescu Simona Luminița, Universitatea Politehnica Timișoara 5. Drd. Catana Laura Nicoleta, Universitatea Transilvania din Brașov 6. Drd. Seculin Radu, Universitatea Transilvania din Brașov Participanti din afara proiectului: 1. Sef Lucr. Dr. Ing. Marius Daniel Călin, Universitatea Transilvania din Brașov 2. C.S. III Dr. Adrian BEZERGHEANU, Universitatea Transilvania din Brașov Fig.2. Participanţi la atelierul tematic 26_P2.
7 TEMELE DE LUCRU ASOCIATE ATELIERULUI 1. Determinarea proprietăților magnetice intrinseci ale unui material magnetic dur din masurători ale dependenței magnetizării de campul magnetic si de temperatură. 2. Determinarea proprietăților magnetice ale unui material cu efect magnetocaloric. 3. Studiul proprietatilor magnetice si electrice pentru o microstructura magnetica. 4. Caracteristici de camp si unghiulare ale unui micronsenzor bazat pe efectul Hall Planar. CONCLUZII Atelierul tematic AT26_P2 s-a desfasurat in bune conditii si conform programului stabilit. Prelegerile, aplicatiile practice si activitatile conexe prevazute in progamul atelierului si-au atins scopul propus suscitand interesul cursantilor care au apreciat pozitiv tematica atelierlui, prelegerile si activitatile practice desfasurate in cadrul acestui atelier, considerandu-le utile si binevenite. VALOAREA ADĂUGATĂ PRIN TEMATICA ATELIERULUI: Cunoștințele dobândite din domeniul materialelor magnetice avansate și a senzoristicii, respectiv a tehnicilor moderne de prelucrare a datelor vor putea ajuta cursanții, în mod diferențiat în funcție de domeniul de cercetare, să-și extindă tematica cercetarii în cadrul programului de doctorat sau în perspectivă în cadrul unor domenii conexe sau interdisciplinare. APRECIERI ALE PARTICIPANTILOR (dacă e cazul): În cadrul atelierului tematic AT26 am apreciat ca foarte bune atat calitatea, structurarea si maniera de abordare a materialului de curs cât și dotarea suport a atelierului respectiv prestația colectivului de experți. Apreciem familiarizarea cu tehnicile moderne de caracterizare fizică a materialelor magnetice implicate în teza de doctorat prin determinarea unor mărimi ca magnetizarea de saturație, magnetizarea remanentă, valoarea câmpului coercitiv, trasarea curbelor de magnetizare. Lucrările de laborator au avut rolul de investigare, caracterizare și prelucrare de date experimentale utilizând echipamentele performante (magnetometrul cu probă vibrantă VSM- 7Tesla Mini Cryogen Free Measurement System) si softuri adecvate (ORIGIN 8). Cu aceasta ocazie am avut ocazia să ne însușim principiului de funcționare, a modului de operare a magnetometrului, modul de preparare a unei probe pentru măsurarea cu VSM, modului de prelucrare și interpretare a datelor obținute din măsurători magnetice și să ne însușiim tehnicile de operare cu softul ORIGIN Prin participarea la acest atelier am facut cunostință cu un nou domeniu al științei, pe care il apreciem ca fiind deosebit de util pentru umanitate si natură. Cu această ocazie, am înteles importanța și necesitatea materialelor magnetice avansate. De asemenea, am înteles oportunitatea imbunatatirii managementului energiei și senzoristicii prin dezvoltarea de noi materiale magnetice. Mai mult, datorită lărgirii orizontului științific am putut să stabilesc conexiuni nebănuite cu propria activitate științifică. Tehnicile de caracterizare fizică a materialelor magnetice prezentate au contribuit la formarea unor noi competențe, specifice domeniului. Considerăm ca atelierul tematic a avut un rol benefic asupra activitătii noastre de cercetare și apreciem că prestația profesorilor experți a fost una de exceptie. Metodologia de prezentare a consideratiilor teoretice, dar și buna organizare a activităților practice au scos în evidență profesionalismul experților responsabili cu Atelierul Tematic nr.26_p2. Apreciem de asemenea utilitatea acestui atelier tematic pentru realizarea proiectului de cercetare doctorală/tezei de doctorat, dobândirea de cunoștințe și abilitați în domeniul tezei de doctorat si conexe pentru dezvoltarea noastră profesională generală.
8 In concluzie, considerăm că atelierul a fost extrem de benefic pentru acumularea de cunoștințe noi, precum si pentru realizarea de contacte noi din mediul academic al Universității Transilvania din Brașov, parteneră a programului. Puncte de vedere privind conceptul de atelier tematic : Atelierul tematic, organizat şi structurat în cadrul proiectului ID , reprezintă o modalitate deosebit de utilă pentru aprofundarea cunoştinţelor dobândite de doctoranzi şi lărgirea orizontului lor ştiinţific prin dobândirea de cunoștințe noi în domenii științifice conexe. La sugestia cursanților, recomandăm nu numai continuarea desfăşurării AT în programele doctorale viitoare, dar și încurajarea participării la acest gen de activități a doctoranzilor aflați în primii ani ai programului de doctorat. Date de contact: ETS AT1: Conf. dr. Corneliu-Bazil CIZMAȘ, Tf: , cizmascb@unitbv.ro ETS AT2: Conf. dr. Marius VOLMER, Tf: , volmerm@unitbv.ro Drd. Ighisan Cosmin Marian, Tf: , ighisancosmin86@yahoo.com Drd. Kiss Mihaela Luminița, Tf : , kisslumi@gmail.com Drd. Perescu Alexandru, Tf : , perescu_alexandra@yahoo.com Drd. Dudas-Sorescu Simona Luminița, Tf, , simonasorescu@yahoo.com Drd. Catana Laura Nicoleta, Tf : , damian.nicoleta@yahoo.com Drd. Seculin Radu, Tf : , raduseculin@yahoo.com Conf. dr. ing. Ivanovici Laurentiu Mihail, Responsabil AT P2, Tf : , mihai.ivanovici@unitbv.ro S.L. Dr. Ing. Calin Daniel, Participant extern, Tf : , marius.calin@unitbv.ro CS III. dr. Bezergheanu Adrian, Invitat,Tf : , bezergheanu@unitbv.ro Programul atelierului Interval orar Conţinutul activităţii ZIUA Înregistrarea participanţilor, prezentarea tematicii atelierului, înmânarea documentaţiei de lucru Prelegerea tema 1: Fundamente teoretice si aspecte experimentale privind aplicatiile materialelor feromagnetice in tehnologiile avansate Vizitarea laboratorului în care se desfăşoară activităţile AT Lucrarea experimentală 1: Determinarea proprietăților magnetice ale unui material magnetic dur ETS AT Volmer M. Interval orar Conţinutul activităţii ZIUA Prelegerea tema 2: Aplicatii ale efectului magnetocaloric si ale materialelor magnetice in refrigerarea magnetica Prezentarea facilităţilor de cercetare ale institutului ICDT al Universității Transilvania din Brașov Lucrarea experimentală 2: Determinarea proprietăților magnetice ale unui material cu efect magnetocaloric ETS AT
9 Interval orar Conţinutul activităţii ZIUA Prelegere tema 3: Micro si nanostructuri magnetice: tehnici de microfabricatie si caracterizare Prezentarea facilităţilor de cercetare (localizare Institut L4, L7): softuri de simulare micromagnetica (freeware), metode experimentale specifice. Lucrarea experimentală 3: Studiul proprietatilor magnetice si electrice pentru o microstructura magnetic. ETS AT Interval orar Conţinutul activităţii ZIUA Prelegere tema 4: Microstructuri magnetice: aplicatii in senzoristica, stocarea datelor si management avansat al energiei. Lucrarea experimentală 4: Caracteristici de camp si unghiulare ale unui micronsenzor bazat pe efectul Hall Planar. Elaborarea raportului colectiv al doctoranzilor, discuţii finale ETS AT
FIŞA ATELIERULUI TEMATIC Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca
Axa prioritară: 1 Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere Domeniul major de intervenţie: 1.5 Programe doctorale şi postdoctorale
FIŞA ATELIERULUI TEMATIC Universitatea TEHNICĂ DIN CLUJ-NAPOCA
Axa prioritară: 1 Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere Domeniul major de intervenţie: 1.5 Programe doctorale şi postdoctorale
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla
2CP Electropompe centrifugale cu turbina dubla DOMENIUL DE UTILIZARE Capacitate de până la 450 l/min (27 m³/h) Inaltimea de pompare până la 112 m LIMITELE DE UTILIZARE Inaltimea de aspiratie manometrică
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
I X A B e ic rm te e m te is S
Sisteme termice BAXI Modele: De ce? Deoarece reprezinta o solutie completa care usureaza realizarea instalatiei si ofera garantia utilizarii unor echipamente de top. Adaptabilitate la nevoile clientilor
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία
- Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
CIRCUITE LOGICE CU TB
CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
DEZVOLTARI RECENTE ÎN DOMENIUL MATERIALELOR MAGNETICE DIRECŢII DE PERSPECTIVĂ
DEZVOLTARI RECENTE ÎN DOMENIUL MATERIALELOR MAGNETICE DIRECŢII DE PERSPECTIVĂ Dezvoltarea materialelor magnetice - posibilitatea de a dezvolta un spectru larg de microstructuri, de la microstructuri amorfe,
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Metode de caracterizare structurala in stiinta nanomaterialelor: aplicatii practice
Metode de caracterizare structurala in stiinta nanomaterialelor: aplicatii practice Utilizare de metode complementare de investigare structurala Proba investigata: SrTiO 3 sub forma de pulbere nanostructurata
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
![Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].](/thumbs/72/67648751.jpg "Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].")
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
FENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar
Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric
LUCRAREA NR. 1 STUDIUL SURSELOR DE CURENT
LUCAEA N STUDUL SUSELO DE CUENT Scopul lucrării În această lucrare se studiază prin simulare o serie de surse de curent utilizate în cadrul circuitelor integrate analogice: sursa de curent standard, sursa
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMIŞOARA. Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii EXAMEN LICENŢĂ SPECIALIZAREA ELECTRONICĂ APLICATĂ
UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMIŞOARA Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii EXAMEN LICENŢĂ SPECIALIZAREA ELECTRONICĂ APLICATĂ 2015-2016 UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMIŞOARA Facultatea de Electronică
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Capitolul 30. Transmisii prin lant
Capitolul 30 Transmisii prin lant T.30.1. Sa se precizeze domeniile de utilizare a transmisiilor prin lant. T.30.2. Sa se precizeze avantajele si dezavantajele transmisiilor prin lant. T.30.3. Realizati
Corectură. Motoare cu curent alternativ cu protecție contra exploziei EDR * _0616*
Tehnică de acționare \ Automatizări pentru acționări \ Integrare de sisteme \ Servicii *22509356_0616* Corectură Motoare cu curent alternativ cu protecție contra exploziei EDR..71 315 Ediția 06/2016 22509356/RO
Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii în tehnică
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii în tehnică Sisteme de încălzire a locuinţelor Scopul tuturor acestor sisteme, este de a compensa pierderile de căldură prin pereţii locuinţelor şi prin sistemul
Pioneering for You Prezentare WILO SE
Pioneering for You Prezentare WILO SE Gabriel CONSTANTIN, Director Vanzari Aplicatii Industriale, WILO Romania srl Eficienta industriala Procese industriale si logistica 1. Introducere 2. Wilo SE date
Raport stiintific. privind implementarea proiectului
Raport stiintific privind implementarea proiectului Noi materiale hibride metal-organice şi polimerice în strat subţire pentru dezvoltarea de senzori in perioada ianuarie decembrie 2012 Etapa a doua este
Capitolul 4 Amplificatoare elementare
Capitolul 4 mplificatoare elementare 4.. Etaje de amplificare cu un tranzistor 4... Etajul emitor comun V CC C B B C C L L o ( // ) V gm C i rπ // B // o L // C // L B ro i B E C E 4... Etajul colector
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Circuite cu tranzistoare. 1. Inversorul CMOS
Circuite cu tranzistoare 1. Inversorul CMOS MOSFET-urile cu canal indus N si P sunt folosite la familia CMOS de circuite integrate numerice datorită următoarelor avantaje: asigură o creştere a densităţii
CALCULUL COEFICIENTULUI DE DIFUZIE PRIN METODA GRADIENŢILOR DE CÂMP MAGNETIC
CALCULUL COEFICIENTULUI DE DIFUZIE PRIN METODA RADIENŢILOR DE CÂMP MANETIC M. Todică, V. Simon, I. Burda, S.D. Anghel,. Cerbanic Facultatea de Fizică, Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj Napoca ABSTRACT Metoda
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Laborator 5 INTERFEROMETRE
Laborator 5 INTERFEROMETRE Scopul lucrarii În lucrarea de fańă sunt prezentate unele aspecte legate de interferometrie. Se prezinta functionarea unui modulator optic ce lucreaza pe baza interferentei dintre
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele
TRANSFORMATOARE MONOFAZATE DE SIGURANŢĂ ŞI ÎN CARCASĂ
TRANSFORMATOARE MONOFAZATE DE SIGURANŢĂ ŞI ÎN CARCASĂ Transformatoare de siguranţă Este un transformator destinat să alimenteze un circuit la maximum 50V (asigură siguranţă de funcţionare la tensiune foarte
Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic
Studiu privind soluţii de climatizare eficiente energetic Varianta iniţială O schemă constructivă posibilă, a unei centrale de tratare a aerului, este prezentată în figura alăturată. Baterie încălzire/răcire
2.2.1 Măsurători asupra semnalelor digitale
Lucrarea 2 Măsurători asupra semnalelor digitale 2.1 Obiective Lucrarea are ca obiectiv fixarea cunoştinţelor dobândite în lucrarea anterioară: Familiarizarea cu aparatele de laborator (generatorul de
Lucrarea 3 : Studiul efectului Hall la semiconductori
Lucrarea 3 : Studiul efectului Hall la semiconductori 1 Consideraţii teoretice În această lucrare vom studia efectul Hall intr-o plăcuţă semiconductoare de formă paralelipipedică, precum cea din Figura
Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui
- Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex
REDRESOARE MONOFAZATE CU FILTRU CAPACITIV
REDRESOARE MONOFAZATE CU FILTRU CAPACITIV I. OBIECTIVE a) Stabilirea dependenţei dintre tipul redresorului (monoalternanţă, bialternanţă) şi forma tensiunii redresate. b) Determinarea efectelor modificării
Capitolul 14. Asamblari prin pene
Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala
Vane zonale ON/OFF AMZ 112, AMZ 113
Fişă tehnică Vane zonale ON/OFF AMZ 112, AMZ 113 Descriere Caracteristici: Indicatorul poziţiei actuale a vanei; Indicator cu LED al sensului de rotaţie; Modul manual de rotire a vanei activat de un cuplaj
14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
STUDIUL EFECTULUI HALL ÎN SEMICONDUCTORI
UIVERSITATEA "POLITEICA" DI BUCURESTI DEPARTAMETUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA ŞI FIZICA CORPULUI SOLID B-03 B STUDIUL EFECTULUI ALL Î SEMICODUCTORI STUDIUL EFECTULUI ALL Î SEMICODUCTORI Efectul
APLICAȚII CARACTERISTICI
APLICAȚII Calculatorul este un calculator cu două canale pentru măsurarea energiei termice din sistemele de încălzire și climatizare. Include funcțiile a două calculatoare. Se pot face 2 măsurători de
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Propagarea Interferentei. Frecvente joase d << l/(2p) λ. d > l/(2p) λ d
1. Introducere Sunt discutate subiectele urmatoare: (i) mecanismele de cuplare si problemele asociate cuplajelor : cuplaje datorita conductiei (e.g. datorate surselor de putere), cuplaje capacitive si
- reprezinta termenul câmpului cristalin - este termenul interacţiunii spin-otrbita
CALCULAREA FACTORULUI LANDÉ (g) PENTRU Fe Diana Almaşi * Universitatea din Oradea, Facultatea de Ştiinţe ABSTRACT Lucrarea de faţă îşi propune să calculeze valoarea factorului g pentru Fe,determinarea
PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium
PVC &aluminium D oor Panels + accessories 1 index panels dimensions accessories page page page page 4-11 12-46 48-50 51 2 Η εταιρία Dorland με έδρα τη Ρουμανία, από το 2002 ειδικεύεται στην έρευνα - εξέλιξη
REACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE)
EAŢII DE ADIŢIE NULEFILĂ (AN-EAŢII) (ALDEIDE ŞI ETNE) ompușii organici care conțin grupa carbonil se numesc compuși carbonilici și se clasifică în: Aldehide etone ALDEIDE: Formula generală: 3 Metanal(formaldehida
Filme de TiO 2 nanostructurate prin anodizarea Ti in electrolit pe baza de fluorura pentru aplicatii la celule solare
Filme de io 2 nanostructurate prin anodizarea i in electrolit pe baza de fluorura pentru aplicatii la celule solare. Manea,.Obreja, M. Purica,V. Schiopu, F.omanescu M- Bucharest Lucrare finantata din Programul:
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
V5433A vană rotativă de amestec cu 3 căi
V5433A vană rotativă de amestec cu 3 căi UTILIZARE Vana rotativă cu 3 căi V5433A a fost special concepută pentru controlul precis al temperaturii agentului termic în instalațiile de încălzire și de climatizare.
Examen. Site Sambata, S14, ora (? secretariat) barem minim 7 prezente lista bonus-uri acumulate
Curs 12 2015/2016 Examen Sambata, S14, ora 10-11 (? secretariat) Site http://rf-opto.etti.tuiasi.ro barem minim 7 prezente lista bonus-uri acumulate min. 1pr. +1pr. Bonus T3 0.5p + X Curs 8-11 Caracteristica
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR
1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea
11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.
SIGURANŢE CILINDRICE
SIGURANŢE CILINDRICE SIGURANŢE CILINDRICE CH Curent nominal Caracteristici de declanşare 1-100A gg, am Aplicaţie: Siguranţele cilindrice reprezintă cea mai sigură protecţie a circuitelor electrice de control
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
REZULTATE Program Nucleu INGENIOS. 1. Tehnologie LIGA si transfer al acesteia in laborator. 2. Prototip magnet sextupolar FAIR
REZULTATE Program Nucleu INGENIOS 1. Tehnologie LIGA si transfer al acesteia in laborator 2. Prototip magnet sextupolar FAIR 1 3. Prototip sursa de alimentare magnet sextupolar FAIR 4. Proiect si prototip
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
z a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei