Integrala nedefinită (primitive)

Transcript

1 nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2

2 nedefinita februarie 20

3 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei f pe J, dacă. F este derivabilă pe J 2. F (x) = f (x), x J Mulţimea tuturor primitivelor se mai numeşte integrală nedefinită şi se notează f (x)dx = F(x) + c, c R.

4 Tabelul primitivelor nedefinita x n dx = x n+ J R n + 2 x a dx = x a+, J (0, + ), a R \ { } a + 3 a x dx = ax ln a, J R, a R + \ {0, } 4 dx = ln x J (, 0) sau J (0, + ) x 5 x 2 a 2 dx = 2a ln x a x + a, x J R \ { a, a}, a 0

5 nedefinita 6 x 2 + a 2 dx = a arctan x a, x J R, a 0 7 sin x dx = cos x, x J R 8 cos x dx = sin x, x J R 9 cos 2 dx = tan x, x x J R \ {(2k + )π 2 }, k Z 0 sin 2 dx = coth x, x x J R \ {kπ}, k Z

6 nedefinita tan x dx = ln cos x coth x dx = ln sin x x J R \ {(2k + ) π 2 }, k Z x J R \ {kπ}, k Z x 2 + a 2 dx = ln(x + x 2 + a 2 ), a 0, x J R x 2 a 2 dx = ln x + x 2 a 2, a > 0, x J (, a) sau J (a, ) a 2 x dx = arcsin x, a > 0, x J ( a, a) 2 a

7 nedefinita Arătaţi că orice două primitive ale funcţiei f pe un interval J diferă printr-o constantă. 2 Arătaţi că o funcţie care admite primitive pe un interval are proprietatea lui Darboux. 3 Arătaţi că următoarele { funcţii nu au primitivă pe R 0, dacă x. f (x) = 2x, dacă x > 2. f (x) = [x], x R unde prin [ ] s-a notat partea întreagă a numărului { x. x, dacă x Q 3. f (x) = x 3, dacă x / Q

8 nedefinita Arătaţi că orice două primitive ale funcţiei f pe un interval J diferă printr-o constantă. 2 Arătaţi că o funcţie care admite primitive pe un interval are proprietatea lui Darboux. 3 Arătaţi că următoarele { funcţii nu au primitivă pe R 0, dacă x. f (x) = 2x, dacă x > 2. f (x) = [x], x R unde prin [ ] s-a notat partea întreagă a numărului { x. x, dacă x Q 3. f (x) = x 3, dacă x / Q

9 nedefinita Arătaţi că orice două primitive ale funcţiei f pe un interval J diferă printr-o constantă. 2 Arătaţi că o funcţie care admite primitive pe un interval are proprietatea lui Darboux. 3 Arătaţi că următoarele { funcţii nu au primitivă pe R 0, dacă x. f (x) = 2x, dacă x > 2. f (x) = [x], x R unde prin [ ] s-a notat partea întreagă a numărului { x. x, dacă x Q 3. f (x) = x 3, dacă x / Q

10 nedefinita Arătaţi că următoarele funcţii au primitivă { sin x, dacă x R \ {0}. f (x) = x pe R, dacă x = 0 { x sin, dacă x R \ {0} 2 2. f (x) = x pe R 0, dacă x = 0 3 f (x) = cos x pe intervalele [0, π] şi [0, 2π].

11 nedefinita Arătaţi că următoarele funcţii au primitivă { sin x, dacă x R \ {0}. f (x) = x pe R, dacă x = 0 { x sin, dacă x R \ {0} 2 2. f (x) = x pe R 0, dacă x = 0 3 f (x) = cos x pe intervalele [0, π] şi [0, 2π].

12 nedefinita Arătaţi că următoarele funcţii au primitivă { sin x, dacă x R \ {0}. f (x) = x pe R, dacă x = 0 { x sin, dacă x R \ {0} 2 2. f (x) = x pe R 0, dacă x = 0 3 f (x) = cos x pe intervalele [0, π] şi [0, 2π].

13 nedefinita Formula de integrare prin părţi Teorema (Integrarea prin parti) Dacă f, g : J R sunt derivabile cu derivate continue, atunci funcţiile fg, f g, fg admit primitive si are loc relaţia f (x)g (x)dx = fg f (x)g(x)dx. ()

14 Exerciţii nedefinita Determinaţi primitivele următoarelor funcţii. ln x 2. arctan x 3. arcsin x 4. x sin x 5. x cos 3x 6. x e x 7. e ax cos bx

15 nedefinita Teorema Fie I, J R două intervale şi. f : J R o funcţie continuă. 2. ϕ : I J este o funcţie bijectivă, derivabilă cu derivata continuă şi nenulă pe I. 3. G este o primitivă a funcţiei (f ϕ)ϕ atunci G ϕ este o primitivă a lui f.

16 Exerciţii nedefinita. xe (x 2 +) 2. x7 x 2 3. e x x 2 4. e x e x 5. ex a be x 6. a x +a 2x 7. 2 x e x e 2x 9. cos x x 0. sin(lg x) x. sin 2x 2. x cos 2 (x 2 ) 3. tan x 4. coth x 5. sin x cos x 6. x 5 5 x 2

17 nedefinita le funcţiilor raţionale Definiţia O funcţie f : J R se numeşte raţională dacă este de forma f (x) = P(x), Q(x) 0, x J Q(x) unde P, Q sunt două polinoame cu coeficienţi reali. Se cunoaşte că orice funcţie raţională poate fi descompusă într-o sumă finită de fracţii simple. Reamintim aceste forme simple şi primitivele lor.

18 nedefinita Observaţie Dacă f : J R este o funcţie raţională, atunci prin împărţirea lui P la Q, se obţine unde grad R < grad Q. f (x) = P(x) R(x) = L(x) + Q(x) Q(x)

19 Fracţii simple nedefinita a 0 x n + a x n a n x + a n are primitiva imediată, dată de punctul din tabel. 2, n N pe intervalul J (a, ) sau J (, a) (x a) n are primitiva dată de punctul 4 din tabel, daca n =, iar dacă n > dată de punctul.

20 Fracţii simple nedefinita a 0 x n + a x n a n x + a n are primitiva imediată, dată de punctul din tabel. 2, n N pe intervalul J (a, ) sau J (, a) (x a) n are primitiva dată de punctul 4 din tabel, daca n =, iar dacă n > dată de punctul.

21 Fracţii simple nedefinita bx + c (x 2 + px + q) n, n N, p 2 4q < 0; semnalăm două cazuri particulare importante: 2 Dacă bx + c este derivata numitorului şi n =, atunci primitiva este ln(x 2 + px + q), iar dacă n > primitiva este (x 2 + px + q) n+. n + 3 Dacă b = 0, c = şi n =, primitiva funcţiei x 2 + px + q este 2 arctan 2x + p 4q p 2 4q p 2

22 Fracţii simple nedefinita bx + c (x 2 + px + q) n, n N, p 2 4q < 0; semnalăm două cazuri particulare importante: 2 Dacă bx + c este derivata numitorului şi n =, atunci primitiva este ln(x 2 + px + q), iar dacă n > primitiva este (x 2 + px + q) n+. n + 3 Dacă b = 0, c = şi n =, primitiva funcţiei x 2 + px + q este 2 arctan 2x + p 4q p 2 4q p 2

23 Fracţii simple nedefinita bx + c (x 2 + px + q) n, n N, p 2 4q < 0; semnalăm două cazuri particulare importante: 2 Dacă bx + c este derivata numitorului şi n =, atunci primitiva este ln(x 2 + px + q), iar dacă n > primitiva este (x 2 + px + q) n+. n + 3 Dacă b = 0, c = şi n =, primitiva funcţiei x 2 + px + q este 2 arctan 2x + p 4q p 2 4q p 2

24 nedefinita Descompunerea funcţiilor raţionale în fracţii simple Teorema Fie f : J R o funcţie raţională de forma f (x) = P(x), Q(x) 0, x J şi P, Q două polinoame prime Q(x) între ele. Presupunem că Q se descompune în factori primi Q(x) = (x a ) α... (x a m ) αm (x 2 +p x+q ) β... (x 2 +p n x+q n ) βn. Atunci f se descompune unic f (x) = L(x) + m i= ( A,i (x a i ) α i + A 2,i (x a i ) α i A ) i,i + x a i

25 nedefinita Teorema ( n B,j x + C,j j= (x 2 + p j x + q j ) β j + B 2,j x + C 2,j (x 2 + p j x + q j ) β j B j,jx + C j,j (x 2 + p j x + q j ) ) unde L este un polinom cu coeficienţi reali, a i, p j, q j, A j,i, B i,j, C i,j R şi p 2 j 4q j < 0.

26 Exerciţii nedefinita dx (x + a)(x b) dx (x 2 + ) dx (x 2 4x + 3)(x 2 + 4x + 5) x 2 5x + 9 x 2 dx 3. 5x + 6 dx x(x + ) dx x 3 + 5x x 3 5x 2 + 4x dx dx x 4 + x 2 +

27 nedefinita Funcţii raţionale de forma R(cos x, sin x)dx R este o funcţie raţională. Substituţia generală este Cazuri particulare tan x = t, sin x = 2t 2 t2, cos x = + t2 + t 2 Dacă R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x) se face substituţia t = cos x 2 Dacă R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x) se face substituţia t = sin x 3 Dacă R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x) se face substituţia t = tan x, cos 2 x = + t 2, sin2 x = t2 + t 2

28 nedefinita Funcţii raţionale de forma R(cos x, sin x)dx R este o funcţie raţională. Substituţia generală este Cazuri particulare tan x = t, sin x = 2t 2 t2, cos x = + t2 + t 2 Dacă R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x) se face substituţia t = cos x 2 Dacă R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x) se face substituţia t = sin x 3 Dacă R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x) se face substituţia t = tan x, cos 2 x = + t 2, sin2 x = t2 + t 2

29 nedefinita Funcţii raţionale de forma R(cos x, sin x)dx R este o funcţie raţională. Substituţia generală este Cazuri particulare tan x = t, sin x = 2t 2 t2, cos x = + t2 + t 2 Dacă R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x) se face substituţia t = cos x 2 Dacă R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x) se face substituţia t = sin x 3 Dacă R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x) se face substituţia t = tan x, cos 2 x = + t 2, sin2 x = t2 + t 2

30 Exerciţii nedefinita dx 2. sin x dx 5. sin x + cos x cos x dx 7. cos x + dx sin 4 x cos 2 x dx 3. cos x cos x dx 8 4 sin x + 7 cos x dx sin 5 x cos 4 dx 8. x sin 2 x cos 3 xdx

31 nedefinita Calculaţi dx. 2x 4 2x dx 2. x + 3 x x 3. x x + dx

32 Substituţiile lui Euler nedefinita Substituţiile lui Euler pentru integrale de forma R(x, ax 2 + bx + c)dx, unde R este o funcţie iraţională.. Dacă a > 0 ax 2 + bx + c = x a + t 2. Dacă c > 0 ax 2 + bx + c = c + tx 3. Dacă ax 2 + bx + c = 0 are rădăcinile x, x 2 atunci facem substituţia ax 2 + bx + c = t(x x ) sau t(x x 2 )

33 Exerciţii nedefinita Calculaţi xdx. (x ) + x x 2 dx 2 x x 2 + 5x 6 x 2 dx 3. 2x x 2

34 nedefinita Integrale binome (Cebâsev) Integrale binome (Cebâsev) x m (a + bx n ) p dx, m, n, p Q. Dacă p Z se face schimbarea x = t r unde r este cel mai mic multiplu comun al numitorilor lui m şi n. 2. Dacă m + Z se face schimbarea a + bx n = t s unde s n este numitorul lui p. 3.Dacă m + + p Z se face schimbarea ax n + b = t s unde n s este numitorul lui p.

35 nedefinita Calculaţi x. dx x 2. x 3 ( + x 2 ) 3 2 dx dx x 4 dx 4. x 4 + x 2 dx 5. x 3 + x 5

36 nedefinita Determinaţi semnul integralelor. 0 0 π e x 2 dx sin x 2. π x dx 2 Determinaţi cea mai mare dintre integralele. + x 2 dx şi xdx x 2 sin 2 xdx şi 0 0 x sin 2 xdx

37 nedefinita Arătaţi că are loc Arătaţi că are loc 2 3 dx x x 2 2 π 4 0 ln( + tan x)dx = π 8 ln 2

38 nedefinita Calculaţi I m = 2 a 0 π 2 0 sin m xdx (a 2 x 2 ) n dx

39 nedefinita Calculaţi I m = 2 a 0 π 2 0 sin m xdx (a 2 x 2 ) n dx

40 nedefinita Calculaţi aria delimitată de curbele y = 2 x 2 şi y 3 = x 2. 2 Calculaţi aria elipsei. 3 Calculaţi lungimea astroidei, curba de ecuaţie x y 2 3 = a 2 3, a > 0 4 Calculaţi lungimea cicloidei, curba de ecuaţii { x = a(t sin t) y = a( cos t), t [0, π]

41 nedefinita Calculaţi aria delimitată de curbele y = 2 x 2 şi y 3 = x 2. 2 Calculaţi aria elipsei. 3 Calculaţi lungimea astroidei, curba de ecuaţie x y 2 3 = a 2 3, a > 0 4 Calculaţi lungimea cicloidei, curba de ecuaţii { x = a(t sin t) y = a( cos t), t [0, π]

42 nedefinita Calculaţi aria delimitată de curbele y = 2 x 2 şi y 3 = x 2. 2 Calculaţi aria elipsei. 3 Calculaţi lungimea astroidei, curba de ecuaţie x y 2 3 = a 2 3, a > 0 4 Calculaţi lungimea cicloidei, curba de ecuaţii { x = a(t sin t) y = a( cos t), t [0, π]

43 nedefinita Calculaţi aria delimitată de curbele y = 2 x 2 şi y 3 = x 2. 2 Calculaţi aria elipsei. 3 Calculaţi lungimea astroidei, curba de ecuaţie x y 2 3 = a 2 3, a > 0 4 Calculaţi lungimea cicloidei, curba de ecuaţii { x = a(t sin t) y = a( cos t), t [0, π]