Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate."

Λεφτέρις Μανωλάς
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014

2 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele situaţii: 1) p = q = 1 : f : D R R este funcţie reală de o variabilă reală. Exemplu: f : R R, f (x) = sin x. 2) q = 1 şi p > 1 : f : D R p R este funcţie reală de variabilă vectorială (sau de p variabile reale). f (x) = f (x 1, x 2,..., x p ) Exemplu: f : R 2 R, f (x, y) = x 2 + y 2.

3 3) p = 1 şi q > 1 : f : D R R q este funcţie vectorială de o variabilă reală. f (x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f q (x)), unde f i : D R R se numesc componentele reale ale funcţiei vectoriale f. Exemplu: f : R R 2, f (t) = (r cos t, r sin t), r > 0.

4 4) p > 1 şi q > 1 : f : D R p R q este funcţie vectorială de variabilă vectorială (sau de p variabile reale). Pentru x = (x 1, x 2,..., x p ) D R p, f (x) = (f 1 (x), f 2 (x),..., f q (x)), unde f i : D R p R sunt componentele reale ale funcţiei vectoriale f. Exemplu: f : R 2 R 3, f (x, y) = ( x 2, y 2, x + y ).

5 Fie o funcţie f : D R p R q şi x 0 R p. Definiţie Spunem că x 0 este punct de acumulare al mulţimii D dacă Definiţie V V (x 0 ), (V \ {x 0 }) D. Fie f : D R p R q şi x 0 punct de acumulare pentru D. Spunem că l R q este ita funcţiei f în punctul x 0 dacă: V V (l) U V (x 0 ) astfel încât, x U D, x x 0, să avem: f (x) V. Notăm l = x x0 f (x).

6 Observaţii 1.) x 0 este punct de acumulare x 0 al mulţimii D (pe care este definită funcţia) astfel că ne putem apropia oricât de mult de punctul x 0 prin puncte din mulţimea D. 2.) x 0 poate să nu aparţină mulţimii D. 3.) Dacă f este definită în x 0, valoarea itei în punctul x 0 nu depinde de valoarea funcţiei în x 0, adică x x0 f (x), dacă există, şi f (x 0 ) pot fi egale sau nu.

7 Teoremă de caracterizare a noţiunii de ită Fie f : D R p R q şi x 0 punct de acumulare pentru D. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i) l este ita funcţiei f în punctul x 0 ; (ii) ε > 0 δ > 0 astfel încât x D\ {x 0 }, cu x x 0 < δ, avem: f (x) l < ε; (iii) (x n ) n 1 R p, x n D, x n x 0, x n x 0, să avem: f (x n ) l.

8 Exerciţiu Să se arate că x 2 y x 2 + y 2 = 0. Soluţie. Fie funcţia f : D R 2 R, D = R 2 \ {(0, 0)}, definită prin: f (x, y) = x 2 y x 2 + y 2. Observăm că (0, 0) nu aparţine lui D, dar este punct de acumulare pentru D. Trebuie să arătăm că: ε > 0 δ > 0 a.î. (x, y) D, (x, y) (0, 0) < δ f (x, y) 0 < ε,

9 adică, dacă 0 < Folosind inegalitatea obţinem: x 2 + y 2 < δ x 2 x 2 + y 2 x 2 y x 2 + y 2 < ε. x 2 y x 2 + y 2 = x ( 2 y x 2 x 2 + y 2 + y 2) y x 2 + y 2 y = y 2 x 2 + y 2 < δ. Alegând δ = ε obţinem că f (x, y) < δ pentru orice (x, y) R 2 \ {(0, 0)} cu 0 < x 2 + y 2 < δ, adică f (x, y) = 0.

10 Corolar Dacă există două şiruri convergente (z n ) n 1, (v n ) n 1 D\ {x 0 } astfel încât z n x 0 şi v n x 0, pentru care şirurile valorilor (f (z n )) n 1, (f (v n )) n 1 au ite diferite, atunci funcţia f nu are ită în punctul x 0. Exerciţiu Arătaţi că funcţia f : R 2 \ {(x, y) ; x = y} R, f (x, y) = x + y x y, nu are ită în origine.

11 Soluţie. Observăm mai întâi că (0, 0) este punct de acumulare pentru mulţimea R 2 \ {(x, y) (; x = ) y}. ( ) 1 1 Considerăm şirurile: z n = n, 0 şi v n = n, 1 n convergente la (0, 0). Atunci, ( ) ( ) 1 1 f (z n ) = f n, 0 = 1 1, f (v n ) = f n, 1 = 0 0. n Deci, am găsit două şiruri de puncte convergente la (0, 0), pentru care şirurile valorilor funcţiei converg la ite diferite. Prin urmare, funcţia f nu are ită în origine.

12 Teoremă Fie f : D R p R q, f = (f 1, f 2,..., f q ) unde f i : D R, orice i = 1, 2,..., q. Fie x 0 punct de acumulare pentru D şi l = (l 1, l 2,..., l q ) R q. Atunci: x x 0 f (x) = l x x0 f i (x) = l i, i = 1, 2,..., q.

13 Exerciţiu Să se calculeze x 0 f (x), unde ( sin 3x f : R\ {0} R 3, f (x) = x, (1 + x) 2 5 x ) 1 x,. x Soluţie. Folosind itele fundamentale studiate în liceu, sin x x 0 x obţinem = 1, x 0 (1 + x) 1 x ( f (x) = x 0 x 0 a x 1 = e şi = ln a, a > 0, x 0 x sin 3x 2, (1 + x) 2 5 x ) 1 x, x x 0 x 0 x ( ) = 3, e 2, ln 5.

14 Exerciţiu Să se calculeze x 2 + y x 2 + y 2 Soluţie. Numitorul şi numărătorul tind la zero când (x, y) (0, 0). În acest caz vom scrie x 2 + y x x 2 + y 2 = 2 + y x x 2 + y y x 2 + y = x 2 + y ( x 2 + y 2) ( x ) = 1 x 2 + y

15 Prin urmare, x 2 + y x 2 + y 2 = 1 x 2 + y = 1 4. Exerciţiu Să se calculeze x 2 xy x y. Soluţie. În acest caz vom scrie x 2 xy x y = x 2 xy x + y x y x + y x (x y) = ( x + y ) = x y x ( x + y ) = 0.

16 deoarece x 2 + y 2 > 2 x y. Exerciţiu Să se calculeze ita Soluţie. Arătăm mai întâi că sin ( x 3 + y 3) x 2 + y 2. x 3 + y 3 x 2 = 0. Avem: + y 2 0 x 3 + y 3 x 2 + y 2 = x + y x 2 xy + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + xy ( x + y ) x 2 + y ( 2 = ( x + y ) 1 + xy ) x 2 + y 2 3 ( x + y ), 2

17 Trecând la ită, obţinem 0 x 3 + y 3 x 2 + y 2 3 ( x + y ) = 0, 2 deci x 3 + y 3 x 2 = 0. Revenind la funcţia iniţială, vom + y 2 folosi ita fundamentală t 0 sin t t = 1 şi vom scrie sin ( x 3 + y 3) ( ( sin x 3 + y 3) x 2 + y 2 = x 3 + y 3 x 3 + y 3 x 2 + y 2 sin ( x 3 + y 3) x 3 + y 3 = x 3 + y 3 x 2 + y 2 = 1 0 = 0. )

18 Definiţie Fie funcţia f : D R p R q şi x 0 D punct de acumulare pentru D. Spunem că funcţia f este continuă în punctul x 0 D dacă x x0 f (x) = f (x 0 ). Observaţie Continuitatea unei funcţii se studiază numai în punctele mulţimii de definiţie a funcţiei: x 0 D.

19 Teoremă Fie f : D R p R q şi x 0 D punct de acumulare petru D. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: (i) f este continuă în x 0 ; (ii) (x n ) n 1 D cu x n x 0, să avem: f (x n ) f (x 0 ).

20 Exerciţiu Să se studieze continuitatea funcţiei xy 2 f : R 2, dacă (x, y) (0, 0) R, f (x, y) = x 2 + y 2 0, dacă (x, y) = (0, 0) în punctul (0, 0). Soluţie. Calculăm mai întâi f (x, y). Deoarece 0 f (x, y) = xy y x 2 + y 2 xy, rezultă că 0 f (x, y) xy = 0.

21 adică f (x, y) = 0. Cum f (0, 0) = 0, rezultă că funcţia f este continuă în origine.

22 Exerciţiu Să se studieze continuitatea funcţiei xy 2 f : R 2 R, f (x, y) = x 2, dacă (x, y) (0, 0) + y 4 0, dacă (x, y) = (0, 0) în origine. ( 1 Soluţie. Considerăm şirul z n = n 2, 1 ( n 1 (0, 0). Atunci f (z n ) = f n 2, 1 ) n ), n N, convergent la = 1, de unde rezultă că 2 n f (z n) = 1 2. Dar f (0, 0) = 0 n f (z n ), ceea ce arată că funcţia dată nu este continuă în origine.

23 Teoremă Fie f : D R p R q, f = (f 1, f 2,..., f q ) şi x 0 D punct de acumulare petru D. Atunci: f continuă înx 0 D f i : D R continue în x 0, i = 1, 2,..., q.

24 Exerciţiu Să se studieze continuitatea funcţiei f : D R 2 R 2, definită prin ( 1 ) 1 x 2 y 2 x f (x, y) = 2 + y 2, x 2 + y 2, dacă (x, y) (0, 0) x + y ( ) 1 2, 0, dacă (x, y) = (0, 0) în punctul (0, 0), unde D este domeniul maxim de definiţie al funcţiei.

25 Soluţie. Domeniul maxim de definiţie al funcţiei este: D = { } (x, y) R 2 ; x 2 + y 2 1. Funcţia f este o funcţie vectorială de două variabile, f (x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)), unde f 1 : D R 2 R, f 1 (x, y) = şi 1 1 x 2 y 2 x 2 + y 2, (x, y) (0, 0) 1 2, (x, y) = (0, 0) x 2 + y 2 f 2 : D R 2, dacă (x, y) (0, 0) R, f 2 (x, y) = x + y 0, dacă (x, y) = (0, 0).

26 Funcţia f este continuă în origine dacă şi numai dacă funcţiile f 1 şi f 2 sunt continue în origine. Studiem continuitatea în origine a funcţiei f 1. f 1 1 x 1 (x, y) = 2 y 2 x 2 + y 2 (1 ) 1 x 2 y (1 2 + ) 1 x 2 y 2 = ( x 2 + y 2) ( x 2 y 2 ) x 2 + y 2 = ( x 2 + y 2) ( 1 + ) 1 x 2 y 2 1 = x 2 y =

27 Deoarece f 1 (x, y) = 1 2 = f 1 (0, 0) rezultă că funcţia f 1 este continuă în origine. Studiem continuitatea în origine a funcţiei f 2. Au loc majorările: 0 f 2 (x, y) = x 2 + y 2 x + y = x 2 + y 2 x + y x 2 + y x y x + y = ( x + y )2 x + y = x + y. Prin urmare, 0 f 2 (x, y) ( x + y ) = 0, de unde rezultă că f 2 (x, y) = 0 = f 2 (0, 0). Deci, şi f 2 este continuă în origine. Prin urmare, f este continuă în origine.

Σχετικά έγγραφα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni