Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Transcript

1 Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014

2 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia (1) poate fi rezolvată în raport cu y, adică există o funcţie y : A R R astfel încât (x, y (x)) D, x A, şi F (x, y (x)) = 0, x A? Definiţie Funcţia y = y (x) definită de ecuaţia (1) se numeşte funcţie definită implicit sau funcţie implicită.

3 Problemă În cazul în care ecuaţia (1) defineşte funcţia implicită y = y (x), să stabilim proprietăţi ale acestei funcţii fără a efectua explicitarea, proprietăţi deduse din studiul direct al funcţiei F. Dacă funcţia implicită este o funcţie derivabilă, cum găsim derivata funcţiei y fără să o explicităm?

4 Exemplu Fie ecuaţia x 3 + y 3 = 6xy. Să presupunem că ecuaţia determină y = y(x) funcţie implicită derivabilă. Derivăm în raport cu x ambii membri ai ecuaţiei şi obţinem de unde 3x 2 + 3y 2 (x) y (x) = 6y (x) + 6xy (x), y (x) = 2y (x) x 2 y 2 (x) 2x. Deci, pentru a găsi derivata lui y nu am avut nevoie să rezolvăm ecuaţia, adică să-l găsim pe y în funcţie de x, ci, derivând ambii membri ai ecuaţiei în funcţie de x, din ecuaţia rezultată l-am determinat pe y.

5 Presupunem acum că ecuaţia (1) defineşte implicit o funcţie y = y(x), adică F (x, y (x)) = 0, x A şi această funcţie y este derivabilă pe A. Presupunem că F este diferenţiabilă. Atunci: adică Dacă y 0, atunci x x + y y = 0, x + y y = 0. y = x. y

6 Teorema funcţiilor implicite Fie D R 2 o mulţime deschisă, funcţia F : D R şi punctul (a, b) D. Dacă sunt îndeplinite condiţiile: (i) F (a, b) = 0, (ii) F C 1 (D), (iii) (a, b) 0, y atunci există o vecinătate U a punctului a în R, o vecinătate V a punctului b în R şi o unică funcţie y : U V astfel încât: I. F (x, y (x)) = 0, x U, II. y este diferenţiabilă pe U, III. y (a) = b.

7 Deci, în ipotezele teoremei, ecuaţia (1) defineşte funcţia y ca funcţie de x, local, în jurul punctului a şi această funcţie y este derivabilă. În plus, derivata funcţiei implicite y se calculează după formula: (x, y (x)) y (x) = x, x U 1, (2) y (x, y (x)) { unde U 1 = x U; } (x, y (x)) 0. y

8 Exerciţiu Arătaţi că ecuaţia x 5 + y 5 + xy = 3 defineşte într-o vecinătate a punctului (1, 1) R 2 o funcţie implicită y = y (x) derivabilă. Să se calculeze y (1). Soluţie. Considerăm funcţia F : R 2 R definită prin F (x, y) = x 5 + y 5 + xy 3. Observăm că funcţia F este continuă pe R 2 şi F (1, 1) = 0. Obţinem x (x, y) = 5x 4 + y, y (x, y) = 5y 4 + x, pentru orice (x, y) R 2, deci funcţiile x, y sunt continue

9 pe R 2. Prin urmare, F C 1 ( R 2). În plus, y (1, 1) = 6 0. Conform Teoremei funcţiilor implicite, există U şi V vecinătăţi ale punctului 1 şi o unică funcţie y : U V derivabilă pe U astfel încât y (1) = 1 şi F (x, y (x)) = 0, x U. Să calculăm în continuare y (1). Folosind formula (2) obţinem (x, y (x)) y (x) = x 5x 4 + y (x) = y (x, y (x)) 5y 4 (x) + x, x U 1, deci y (1) = 1.

10 Exerciţiu Arătaţi că ecuaţia y sin x + x 3 + y 3 = 1 defineşte într-o vecinătate a punctului (0, 1) R 2 o funcţie implicită y = y (x) derivabilă. Să se calculeze y (0). Soluţie. Considerăm funcţia F : R 2 R definită prin Avem F (x, y) = y sin x + x 3 + y 3 1. x (x, y) = y cos x + 3x 2, y (x, y) = sin x + 3y 2, pentru orice (x, y) R 2, deci F C 1 ( R 2).

11 În punctul (a, b) = (0, 1) avem F (0, 1) = 0 şi y (0, 1) = 3 0. Conform Teoremei funcţiilor implicite, există U vecinătate a lui 0, V vecinătate a lui 1 şi o unică funcţie y : U V derivabilă pe U astfel încât y (0) = 1 şi F (x, y (x)) = 0, pentru orice x U. În plus, (x, y (x)) y (x) = x = y (x, y (x)) y (x) cos x + 3x 2 sin x + 3y 2 (x), x U 1, rezultă că y (0) = 1 3.

12 Observaţie În ipoteze similare celor din teorema anterioară, o ecuaţie în care apar mai mult de două variabile, F (x 1, x 2,..., x n, y) = 0, poate defini o funcţie implicită de mai multe variabile y = y (x 1, x 2,..., x n ).

13 Presupunem acum că z = z (x, y) este o funcţie dată implicit de ecuaţia F (x, y, z) = 0, unde F : D R 2 R R. Înseamnă că F (x, y, z (x, y)) = 0, pentru orice (x, y) din domeniul de definiţie al funcţiei z. Dacă F şi z sunt diferenţiabile, atunci derivăm ecuaţia F (x, y, z (x, y)) = 0 în raport cu x şi obţinem Cum x x = 1 şi y x x x x + y y x + x = 0. = 0, rezultă că x + x = 0.

14 Dacă (x, y) 0, atunci x (x, y, z) (x, y) = x. (3) (x, y, z) Similar, derivând ecuaţia F (x, y, z (x, y)) = 0 în raport cu y obţinem (x, y, z) y (x, y) =. (4) y (x, y, z)

15 Exerciţiu Arătaţi că ecuaţia x 2 + 2y 2 + 3z 2 + xy z 9 = 0 determină în mod unic într-o vecinătate a punctului (1, 2, 1) o funcţie implicită z = z (x, y) şi să se găsească x, y în punctul (1, 2). Soluţie. Considerăm funcţia F : R 2 R R, F (x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + xy z 9. Calculăm derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei F. Avem: x = 2x + y, y = 4y + x, = 6z 1.

16 Prin urmare, funcţiile F, x, y, sunt continue pe R2, deci F C 1 ( R 2). În punctul (1, 2, 1) avem F (1, 2, 1) = 0 şi (1, 2, 1) = 5 0. Atunci există U R 2 vecinătate pentru (1, 2), V R vecinătate pentru 1 şi o unică funcţie z : U V, z = z (x, y), diferenţiabilă pe U, astfel încât z (1, 2) = 1 şi F (x, y, z (x, y)) = 0, (x, y) U. Aplicând formula (3) obţinem x (x, y, z) (x, y) = x 2x + y = (x, y, z) 6z (x, y) 1,

17 deci (1, 2) = 0. x Aplicând formula (4) obţinem deci y (x, y, z) y 4y + x (x, y) = = (x, y, z) 6z (x, y) 1, y (1, 2) = 7 5.

18 Exerciţiu Să se arate că funcţia z = z (x, y) definită implicit de ecuaţia Φ (x az, y bz) = 0, a, b R fixaţi, Φ C 1 (D), D R 2, verifică relaţia a (x, y) + b (x, y) = 1. x y Soluţie. Notăm F (x, y, z) = Φ (x az, y bz) şi u = x az, v = y bz. Astfel avem Φ (u (x, y), v (x, y)) = 0. Calculăm derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei z = z (x, y), definită implicit de ecuaţia F (x, y, z) = 0, cu ajutorul formulelor (3) şi (4).

19 Determinăm mai întâi derivatele parţiale ale funcţiei F folosind regula de derivare a unei funcţii compuse. Avem: x y (x, y, z) = Φ u u x + Φ v v x = Φ u, (x, y, z) = Φ u u y + Φ v v y = Φ v, (x, y, z) = Φ u u + Φ v v = a Φ u b Φ v.

20 Atunci, şi (x, y) = x (x, y) = y Φ u a Φ u + b Φ v Φ v a Φ u + b Φ. v Se obţine uşor că a (x, y) + b (x, y) = 1. x y

21 Exerciţiu Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei z = z (x, y) definită implicit de ecuaţia x 2 + y 2 + z 2 = e z. Soluţie. Derivând ecuaţia în raport cu x obţinem de unde rezultă că 2x + 2z (x, y) (x, y) = ez(x,y) (x, y), x x 2x (x, y) = x e z(x,y) 2z (x, y).

22 Derivând ecuaţia dată în raport cu y obţinem de unde rezultă că 2y + 2z (x, y) (x, y) = ez(x,y) (x, y), y y 2y (x, y) = y e z(x,y) 2z (x, y).

23 Atunci, 2 z (x, y) = x 2 x ( ) ( (x, y) = x 2x e z(x,y) 2z (x, y) 2 ( e z(x,y) 2z (x, y) ) ( ) 2x ez(x,y) (x, y) 2 (x, y) x x = ( e z(x,y) 2z (x, y) ) 2 = 2 ( e z(x,y) 2z (x, y) ) 2 4x 2 ( e z(x,y) 2 ) ( e z(x,y) 2z (x, y) ). 3 Similar se găsesc şi celelalte derivate parţiale de ordinul al doilea. ) x

24 Putem întâlni funcţii definite implicit de un sistem de ecuaţii de tipul F 1 (x 1, x 2,..., x n, y 1, y 2,..., y m ) = 0 F 2 (x 1, x 2,..., x n, y 1, y 2,..., y m ) = 0 (5). F m (x 1, x 2,..., x n, y 1, y 2,..., y m ) = 0, unde F i : D R n R m R, i = 1,..., m. Vom considera x 1, x 2,..., x n variabile independente, iar y 1, y 2,..., y n depind de x 1, x 2,..., x n. În această situaţie spunem că funcţiile y i = y i (x 1, x 2,..., x n ), i = 1,..., m, sunt funcţii implicite definite de sistemul (5).

25 Determinantul D (F 1, F 2,..., F m ) D (y 1, y 2,..., y m ) = 1 y 1 1 y m y 1 m y 2 1 y m m y m se numeşte determinantul funcţional sau iacobianul funcţiilor F 1, F 2,..., F m în raport cu variabilele y 1, y 2,..., y m.

26 Observaţie Existenţa unei soluţii locale a sistemului (5) este asigurată de îndeplinirea următoarelor condiţii: (i) F 1, F 2,..., F m C 1 (D) ; (ii) într-un punct (a, b) D să avem F i (a, b) = 0, i = 1,..., m; (iii) D (F 1, F 2,..., F m ) D (y 1, y 2,..., y m ) (a, b) 0. În plus, funcţiile y i = y i (x 1, x 2,..., x n ) sunt diferenţiabile pe domeniul lor de definiţie (o vecinătate a punctului a).

27 Exerciţiu Arătaţi că sistemul { x + y + z = 1 x 2 + y 2 + z 2 = 3 defineşte într-o vecinătate a punctului (1, 1, 1) funcţiile implicite y = y (x) şi z = z (x). Calculaţi y şi z în punctul 1. Soluţie. Considerăm funcţiile F 1, F 2 : R R 2 R, F 1 (x, y, z) = x + y + z 1, F 2 (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 3. Evident, F 1, F 2 C 1 ( R 3), fiind funcţii polinomiale.

28 În punctul (a, b) = (1, 1, 1) avem F 1 (1, 1, 1) = 0 şi F 2 (1, 1, 1) = 0. Calculăm determinantul funcţional: D (F 1, F 2 ) 1 y (x, y, z) = (x, y, z) 1 (x, y, z) D (y, z) 2 y (x, y, z) 2 (x, y, z) = 1 1 2y 2z = 2 (z y). Prin urmare, valoarea determinantului funcţional în punctul (1, 1, 1) este D (F 1, F 2 ) D (y, z) (1, 1, 1) = 4 0.

29 Atunci, există U vecinătate pentru 1, V vecinătate pentru (1, 1) şi perechea de funcţii (y, z) : U V, y = y (x), z = z (x), cu y (1) = 1, z (1) = 1. Funcţiile y şi z sunt derivabile şi verifică sistemul { x + y (x) + z (x) 1 = 0 x 2 + y 2 (x) + z 2 (x) 3 = 0. Pentru a calcula y şi z derivăm ambele ecuaţii ale acestui sistem.

30 Obţinem { 1 + y (x) + z (x) = 0 2x + 2y (x) y (x) + 2z (x) z (x) = 0 sau { y (x) + z (x) = 1 2y (x) y (x) + 2z (x) z (x) = 2x.

31 Rezolvând sistemul, obţinem: 1 1 y 2x 2z (x) (x) = 1 1 2y (x) 2z (x) 1 1 z 2y (x) 2x (x) = 1 1 2y (x) 2z (x) Deci, = x z (x) z (x) y (x), = y (x) x z (x) y (x). y (1) = 1 z (1) z (1) y (1) = 1 şi z (1) = y (1) 1 z (1) y (1) = 0.