4η Διάλεξη Οπτικές ίνες

Transcript

1 4η Διάλεξη Οπτικές ίνες Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 1 Η διάλεξη αυτή αναφέρεται στο κεφ. 3 του βιβλίου του Green και πιο συγκεκριμένα στις ενότητες και 3.8, 3.9. Page 1

2 Περιεχόμενα διάλεξης Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Κυματική Εξίσωση Ακριβής Λύση Οπτικών Ινών Ταξινόμηση Τρόπων Αριθμός Τρόπων Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 2 Στη διάλεξη θα αναφερθώ γενικά στις οπτικές ίνες, στην ανάκλαση και διάθλαση των φωτεινών ακτίνων με βάση τη γεωμετρική οπτική και τη διάδοση των φωτεινών κυμάτων με βάση τις εξισώσεις Maxwell. Θα παρουσιάσω εμβόλιμα κάποιες βασικές έννοιες κυματικής. Page 2

3 Παράρτημα Κυματική εξίσωση Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 3 Η ακριβής μελέτη των οπτικών ινών απαιτεί χρήση των εξισώσεων Maxwell. Υπενθυμίζουμε εδώ κάποιες βασικές γνώσεις ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Για περισσότερες λεπτομέρειες, ο αναγνώστης θα πρέπει να αναφερθεί στο κεφ. 10 του βιβλίου του Β. Μακιού, Εισαγωγή στον Ηλεκτρομαγνητισμό. Page 3

4 Κυματική εξίσωση ΗΠ Για ομογενές, ισότροπο, γραμμικό διηλεκτρικό μέσο χωρίς απώλειες: όπου 2 2 E E με = 0 2 t = E ε= μ= Ηλεκτρικό πεδίο Διηλεκτρική σταθερά Μαγνητική διαπερατότητα Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 4 Ο συνδυασμός των εξισώσεων Maxwell οδηγεί στην κυματική εξίσωση για το ηλεκτρικό πεδίο που φαίνεται στο άνω μέρος της διαφάνειας. Μια ανάλογη εξίσωση ισχύει για το μαγνητικό πεδίο. Ορολογία: Ομογενές: ε = σταθερό Ισότροπο: ε = βαθμωτό μέγεθος Γραμμικό: ε ε(ε) Τέλειο διηλεκτρικό χωρίς απώλειες: σ=0 Page 4

5 Οδεύον κύμα E z = E0 g( t± ) υ όπου όρισα την ταχύτητα διάδοσης (φάσης) του κύματος υ 1 υ = με Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 5 Η προηγούμενη εξίσωση έχει λύσεις της μορφής που φαίνεται στο άνω μέρος της διαφάνειας. Οι λύσεις αναπαριστούν οδεύοντα κύματα που κινούνται κατά μήκος του άξονα z με ταχύτητα υ. Το αρνητικό πρόσημο αντιστοιχεί σε κύματα που κινούνται προς τη θετική κατεύθυνση z ενώ το θετικό πρόσημο αντιστοιχεί σε κύματα που κινούνται προς την αρνητική κατεύθυνση z. Page 5

6 Αρμονικό κύμα E = E0 exp( iωt± iβ z) Αναλυτικό σήμα όπου όρισα τη σταθερά διάδοσης β = ω υ E = E0 exp( ± iβ z) Μιγαδική περιβάλλουσα (φάσορας) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 6 Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση όπου η διαταραχή στο σημείο z=0 είναι περιοδική αρμονική συνάρτηση g(t)=exp(iωt). Αυτή η διαταραχή δημιουργεί οδεύον κύμα της μορφής exp(iωt-iβz), όπου η σταθερά β ονομάζεται σταθερά διάδοσης. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε μιγαδικές περιβάλλουσες (φάσορες) για να απλοποιήσουμε το μαθηματικό φορμαλισμό. Page 6

7 Άλλοι ορισμοί Μήκος κύματος (χωρική περίοδος κύματος κατά τον άξονα ζ) βλ 2π = 2π β = λ Δείκτης διάθλασης εr μr c n = = υ μ ε Σχετική διηλεκτρική σταθερά r Σχετική μαγνητική διαπερατότητα r Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 7 Η χωρική περίοδος του κύματος κατά τον άξονα z λέγεται μήκος κύματος. Εδώ δείχνουμε τους ορισμούς του μήκους κύματος και του δείκτη διάθλασης. Page 7

8 Διανυσματική εξίσωση Helmholtz Ι Η κυματική εξίσωση για το ηλεκτρικό πεδίο για τη μιγαδική περιβάλλουσα είναι 2 2 E+ k E = 0 όπου όρισα τον κυματάριθμο k = ω με Ομοίως για τη μιγαδική περιβάλλουσα του μαγνητικού πεδίου 2 2 H+ k H = 0 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 8 Η κυματική εξίσωση για το ηλεκτρικό πεδίο για τη μιγαδική περιβάλλουσα γράφεται όπως ανωτέρω. Η εξίσωση αυτή ονομάζεται διανυσματική εξίσωση Helmholtz. Μια παρόμοια εξίσωση ισχύει για το διάνυσμα του μαγνητικού πεδίου. Page 8

9 Διανυσματική εξίσωση Helmholtz ΙΙ E n k0 E 0 + = H n k0 H 0 + = όπου όρισα τον κυματάριθμο στο κενό k = ω με Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 9 Page 9

10 Ακριβής ανάλυση οπτικής ίνας Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 10 Η λύση ακολουθεί την παρουσίαση των κεφ. 1-3 του βιβλίου του Buck. Page 10

11 Υποθέσεις Ιδανικήοπτικήίνα Ομογενής Ισότροπη Γραμμική Χωρίς απώλειες Με ντύμα απείρων διαστάσεων Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 11 Page 11

12 Ακριβής ορισμός τρόπου Τρόπος = Λύση της κυματικής εξίσωσης η οποία είναι αρμονική συνάρτηση ως προς το χρόνο (η χωρική του κατανομή δεν μεταβάλλεται κατά την μετάδοση) και ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ πυρήνα και ντύματος Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 12 Page 12

13 Λύση εξίσωσης Helmholtz Ι Υποθέτουμε λύση της μορφής Σε κυλινδρικές συντεταγμένες Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 13 Υποθέτουμε λύσεις της εξίσωσης Helmholtz ως ανωτέρω. Με αντικατάσταση στη εξίσωση Helmholtz και ανάπτυξη της Λαπλασιανής σε εγκάρσιους και διαμήκεις τελεστές, παίρνουμε τις δύο κάτω εξισώσεις που ισχύουν για τα πεδία στον πυρήνα και το ντύμα. Οι εξισώσεις αυτές ισχύουν και για τις τρεις συνιστώσες των δύο πεδίων. Θα τις λύσουμε για τις διαμήκεις συνιστώσες Εz, Ηz. Page 13

14 Λύση εξίσωσης Helmholtz ΙΙ Θέτω Εκφράζω την εγκάρσια Λαπλασιανή σε κυλινδρικές συντεταγμένες Γενική λύση (υπέρθεση τρόπων & χωρισμός μεταβλητών) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 14 Για συντομία ορίζω δύο καινούριες σταθερές και ξαναγράφω τις εξισώσεις στο κάτωμέροςτης προηγούμενης διαφάνειας υπό γενικευμένη μορφή. Επίσης εκφράζω την εγκάρσια Λαπλασιανή σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Η γενική λύση της τελευταίας εξίσωσης αποτελείται από το άθροισμα των μερικών λύσεων (τρόπων). Κάθε τρόπος εκφράζεται ως γινόμενο τριών παραγόντων, κάθε ένας εκ των οποίων εξαρτάται από μία εκ των ανεξάρτητων μεταβλητών. Page 14

15 Λύση εξίσωσης Helmholtz ΙΙΙ Για ένα στοιχειώδη τρόπο Επιμέρους διαφορικές εξισώσεις (Γωνιακή) (Ακτινική) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 15 Κάθε τρόπος πρέπει να ικανοποιεί ανεξάρτητα, κάθε ένας εκ των οποίων εξαρτάται από μία εκ των ανεξάρτητων μεταβλητών. Για ένα τρόπο, η διαφορική εξίσωση της προηγούμενης σελίδας γράφεται ως ανωτέρω. Το αριστερό μέλος της εξίσωσης εξαρτάται μόνο από την ακτίνα r ενώ το δεξί μέλος μόνο από το αζιμούθιο φ. Δεδομένου ότι τα r,φ είναι ανεξάρτητες μεταβλητές, τα δύο μέλη πρέπει να είναι ίσα με μια σταθερά q 2. Αντικαθιστώντας, χωρίζουμε την αρχική εξίσωση σε δυο δευτεροβάθμιες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις οι οποίες περιγράφουν τη γωνιακή και την ακτινική εξάρτηση αντίστοιχα. Page 15

16 Λύση γωνιακής ΔΕ Λύση όπου q α Ακέραιος (γωνιακός αριθμός) Αυθαίρετη σταθερά φάσης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 16 Η γωνιακή διαφορική εξίσωση είναι η εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή κι έχει λύσεις αρμονικές συναρτήσεις. Παρατηρούμε ότι οι λύσεις περιέχουν στο όρισμά τους τη σταθερά q και μια σταθερή αυθαίρετη γωνία α. Λόγω περιοδικότητας θα πρέπει το q να είναι ακέραιος αριθμός. Page 16

17 Λύση ακτινικής ΔΕ Εξίσωση Bessel Γενική λύση όπου J q N I q K q q Κανονική συνάρτηση Bessel πρώτου είδους βαθμού q Κανονική συνάρτηση Bessel δεύτερου είδους βαθμού q Τροποποιημένη συνάρτηση Bessel πρώτου είδους βαθμού q Τροποποιημένη συνάρτηση Bessel δεύτερου είδους βαθμού q Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 17 Η ακτινική διαφορική εξίσωση είναι η εξίσωση Bessel κι έχει λύσεις κανονικές και τροποποιημένες συναρτήσεις Βessel πρώτου και δεύτερου είδους βαθμού q. Παρατηρούμε ότι οι λύσεις περιέχουν στο όρισμά τους τη σταθερά βt. Οι αυθαίρετες σταθερές Α, Α, Β, Β έχουν σχέσημετοπλάτοςτηςδιαταραχήςπουδιαδίδεται. Απαιτούμε η λύση μέσα στον πυρήνα να παρουσιάζει διακυμάνσεις αλλά όχι ανώμαλα σημεία κι η λύση στο ντύμα να φθίνει με την ακτινική απόσταση από τον άξονα συμμετρίας. Page 17

18 Εξισώσεις Bessel Ι Κανονικές συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους Κανονικές συναρτήσεις Bessel δεύτερου είδους Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 18 Εδώ βλέπουμε τη γραφική παράσταση των κανονικών συναρτήσεων Βessel πρώτου και δεύτερου είδους βαθμού q. Παρατηρούμε ότι οι πρώτες περιγράφουν ικανοποιητικά διακυμάνσεις στον πυρήνα. Παρατηρούμε ότι οι δεύτερες αντιβαίνουν στην απαίτηση στον πυρήνα να μην παρουσιάζεται απειρισμός. Επομένως διαλέγουμε βt πραγματικό για την περιοχή του πυρήνα και θέτουμε Α =0. Page 18

19 Εξισώσεις Bessel ΙΙ Τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους Τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel δεύτερου είδους Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 19 Εδώ βλέπουμε τη γραφική παράσταση των τροποποιημένων συναρτήσεων Βessel πρώτου και δεύτερου είδους βαθμού q. Παρατηρούμε ότι οι πρώτες αντιβαίνουν στη απαίτηση η λύση στο ντύμα να φθίνει με την ακτινική απόσταση από τον άξονα συμμετρίας ενώ οι δεύτερες την ικανοποιούν. Επομένως διαλέγουμε βt φανταστικό για την περιοχή του ντύματος και θέτουμε C =0. Page 19

20 Τελική λύση Ε z, H z Όπου όρισα τις κανονικοποιημένες παραμέτρους Εγκάρσια σταθερά διάδοσης Εγκάρσιος συντελεστής εξασθένησης Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 20 ΕδώβλέπουμετιςτελικέςλύσειςγιαταEz, Hz. Page 20

21 Υπολογισμός λοιπών συνιστωσών Από τις εξισώσεις Maxwell Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 21 Οι υπόλοιπες συνιστώσες του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου σχετίζονται μεταez, Hz μέσω των εξισώσεων Maxwell. Οι τύποι που περιγράφουν την εξάρτηση φαίνονται σε αυτήν τη διαφάνεια. Με απλές παραγωγίσεις υπολογίζω τα Er, Eφ, Hr, Hφ. Page 21

22 Γενική λύση (πυρήνας) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 22 Εδώ φαίνονται οι τελικές λύσεις για όλες τις συνιστώσες του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου μέσα στον πυρήνα. Οι τόνοι εκφράζουν παραγώγιση ως προς την ακτινική συνιστώσα. Page 22

23 Γενική λύση (ντύμα) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 23 Εδώ φαίνονται οι τελικές λύσεις για όλες τις συνιστώσες του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου μέσα στο ντύμα. Page 23

24 Οριακές συνθήκες Ι Συνέχεια εφαπτομενικών συνιστωσών ΗΠ, ΜΠ: E ( a) = E ( a) z H ( a) = H ( a) z z 1 2 z 1 2 E ( a) = E ( a) φ φ 1 2 H ( a) = H ( a) φ φ 1 2 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 24 Ο υπολογισμός των u, v, β γίνεται από την ικανοποίηση των οριακών συνθηκών στη διαχωριστική επιφάνεια πυρήνα, ντύματος. Πιο συγκεκριμένα, εξισώνουμε τις εφαπτομενικές συνιστώσεςτουηλεκτρικούκαιτουμαγνητικούπεδίουστοr=α. Page 24

25 Οριακές συνθήκες ΙΙ Σύστημα τεσσάρων εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους: Μη μηδενική λύση για det[m]=0: Χαρακτηριστική εξίσωση Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 25 Προκύπτει έτσι ένα γραμμικό σύστημα τεσσάρων εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους. Γιαναέχει μη τετριμμένη (μη μηδενική) λύση θα πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών να μηδενίζεται. Αυτό οδηγεί στη χαρακτηριστική εξίσωση (εξίσωση ιδιοτιμών) που αναγράφεται στο κάτω μέρος της διαφάνειας. Page 25

26 Παράμετρος V Ορίζω την αδιάστατη παράμετρο: V = u + w Από τον ορισμό των u,w: 2 2 V = ( n n ) k a = NAk a Εξαρτάται από τις γεωμετρικές παραμέτρους και τη συχνότητα Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 26 Ορίζω μια καινούρια παράμετρο V η οποία εξαρτάται από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της ίνας και τη μήκος κύματος (που κρύβεται μέσα στον κυματάριθμο) του κύματος που πρόκειται να διαδοθεί. Page 26

27 Λύση χαρακτηριστικής εξίσωσης Υπερβατική εξίσωση οπότε αριθμητική λύση Για δεδομένα V, q υπάρχουν m ρίζες Από κάθε ρίζα υπολογίζω β,w,u Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 27 Η χαρακτηριστική εξίσωση λύνεται αριθμητικά δεδομένων των V, q έχει δε m ρίζες. Page 27

28 Ταξινόμηση τρόπων Ονομασία Υβριδικοί τρόποι (q>0) TE (q=0, Ε z =0) TM (q=0, Η z =0) Συμβολισμός HEqm, EHqm TE 0 m TM 0 m Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 28 Οι διαφορετικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης αντιστοιχούν σε διαφορετικούς τρόπους με διαφορετικές ταχύτητες διάδοσης. Οι τρόποι ταξινομούνται με βάση τις τιμές των q και m. Page 28

29 Σταθερά διάδοσης β/k 0 Για V<2.405 η ίνα γίνεται μονότροπη! Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 29 Εδώ βλέπουμε τη μεταβολή της κανονικοποιημένης σταθεράς διάδοσης β/k0 ως συνάρτηση της παραμέτρου V. Παρατηρούμε ότι για επαρκώς μικρές διαστάσεις του πυρήνα σε σχέση με το μήκος κύματος (V<2.405) μόνο ένας τρόπος μπορεί να διαδοθεί. Αυτός είναι ο τρόπος ΗΕ11, ο οποίος λέγεται και θεμελιώδης τρόπος. Πρέπει να τονιστεί ότι μια ίνα που είναι μονότροπη για ένα συγκεκριμένο μήκος κύματος μπορεί να είναι πολύτροπη για ένα μικρότερο μήκος κύματος. Page 29

30 Προσεγγιστικός υπολογισμός ιδιοτιμών Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 30 Η χαρακτηριστική εξίσωση απλοποιείται σημαντικά για μικρά Δ, όπου το n1 είναι περίπου ίσο με το n2. Page 30

31 Απλοποιημένη χαρακτηριστική εξίσωση Μικρά Δ [4, pp ] u Jl 1( u) Kl 1( w) = w J ( u) K ( w) l l όπου 1 l = q+ 1 q 1 TE, TM 0m 0m EH HE qm qm Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 31 Θέτοντας n1= n2 στη χαρακτηριστική εξίσωση της διαφάνειας σελ. 41, η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται ως ανωτέρω. Page 31

32 Γραφική λύση (V=2) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 32 Γραφική λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης της προηγούμενης διαφάνειας για V=2 για τους τρόπους ΤE0m, TM0m, HE1m. Το αριστερό μέλος των χαρακτηριστικών εξισώσεων για αυτές τις περιπτώσεις είναι το ίδιο. To δεξί μέρος διαφέρει. Το αντίστροφο του αριστερού μέλους των χαρακτηριστικών εξισώσεων J1(u)/J0(u) μοιάζει με τη συνάρτηση tan(u). Το αντίστροφο του δεξιού μέλους των χαρακτηριστικών εξισώσεων Κ1(w)/K0(w) είναι μια φθίνουσα συνάρτηση στο κάτω ημιεπίπεδο για την περίπτωση ΤEom, TM0m και στο πάνω ημιεπίπεδο για την περίπτωση HE1m. Οι τομές των καμπυλών του αριστερού και του του δεξιού μέλους δίνουν τους διαδοχικούς τρόπους. Στη συγκεκριμένη περίπτωση υπάρχει μόνο μια λύση που αντιστοιχεί στον τρόπο HE11. Page 32

33 Γραφική λύση (V=8) Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 33 Γραφική λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης της προηγούμενης διαφάνειας για V=8 για τους τρόπους ΤE0m, TM0m. HE1m. Στη συγκεκριμένη περίπτωση υπάρχουν πέντε λύσεις που αντιστοιχούν σε πέντε διαφορετικούς τρόπους. Page 33

34 Ταξινόμηση τρόπων Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 34 Υπάρχει ένα εναλλακτικό σύστημα ταξινόμησης των τρόπων δια την περίπτωση τωνμικρώνδ. Οι τρόποι τώρα συμβολίζονται με LPlm, όπου τα αρχικά LP σημαίνουν γραμμικώς πολωμένοι τρόποι (linearly polarized) καιοιδείκτεςlm αντιστοιχούν στην παράμετρο l της απλοποιημένης χαρακτηριστικής εξίσωσης της σελ. 47 και στο m των τρόπων ΤΕ, ΤΜ και ΕΗ αντίστοιχα. Ο πίνακας αυτός δείχνει τους πρώτους τρόπους LP και την τιμή της παραμέτρου V για την αποκοπή. Τρόποι ΤΕ, ΤΜ και ΕΗ που αντιστοιχούν στα ίδια lm έχουν την ίδια σταθερά διάδοσης (όχι όμως και ταυτόσημα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία). Μπορούν δε να συνδυαστούν γραμμικά και να δώσουν τρόπους γραμμικά πολωμένους τρόπους σε μια εγκάρσια καρτεσιανή συντεταγμένη χ,ψ. Εξ ου δε κι η ονομασία LP. Page 34

35 Σταθερές διάδοσης Κανονικοποιημένη σταθερά μετάδοσης 2 b = 1 u 2 V D. Gloge, App. Opt. 10, 2252,1971. [2, p.42] Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 35 Εδώ βλέπουμε τη μεταβολή της κανονικοποιημένης σταθεράς διάδοσης b ως συνάρτηση της παραμέτρου V για τους τρόπους LP. Παρατηρούμε ότι η καμπύλη 01 αντιστοιχεί στην καμπύλη ΗΕ11 της διαφάνειας της σελ. 45, η καμπύλη11 αντιστοιχεί στις τρεις καμπύλες ΗΕ21, ΤΕ01, ΤΜ01 της διαφάνειας της σελ. 45, οι οποίες για μικρά Δ ταυτίζονται, κοκ. Υπό αυτήν την έννοια, μπορούμε να κατανοήσουμε και την αντιστοιχία μεταξύ των τρόπων, όπως αυτή αναγράφεται στον πίνακα της προηγούμενης διαφάνειας. Page 35

36 Ισοδυναμικές γραμμές I LP 11 LP 12 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 36 Οι τρόποι ΗΕ21, ΤΕ01, ΤΜ01 μπορούν να συνδυαστούν γραμμικά και να δώσουν τέσσερις γραμμικά πολωμένους τρόπους προσανατολισμένους παράλληλα με τις καρτεσιανές συντεταγμένες χ,ψ. Όλοι οι ανωτέρω τρόποι είναι ισοδύναμοι κι αντιστοιχούν σε διαφορετικές μορφές του τρόπου LP11. Στο αριστερό σχήμα φαίνονται οι ισοδυναμικές γραμμές σε μια εγκάρσια τομή της οπτικής ίνας. Ομοίως, οι τρόποι ΗΕ21, ΤΕ02, ΤΜ02 μπορούν να συνδυαστούν γραμμικά και να δώσουν τέσσερις γραμμικά πολωμένους τρόπους που όλοι είναι ισοδύναμοι κι αντιστοιχούν στον τρόπο LP12. Page 36

37 Ισοδυναμικές γραμμές II LP 21 LP 22 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 37 Όπως προηγουμένως για τους τρόπους LP21, LP22. Page 37

38 Δυναμικές γραμμές LP 01 TE 02 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 38 Δυναμικές γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου (συνεχείς καμπύλες) και του μαγνητικού πεδίου (διακεκομμένες καμπύλες) στον πυρήνα ίνας βηματικού δείκτη διάθλασης, για δυο διαφορετικούς τρόπους. Page 38

39 Ένταση LP 01 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 39 Κατανομή της έντασης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος (ανάλογη του Ε ^2) σε μια εγκάρσια διατομή της οπτικής ίνας για τον θεμελιώδη τρόπο LP01. Η ένταση έχει μέγιστο στο κέντρο του πυρήνα και φθίνει ακτινικά ως συνάρτηση του J0^2, και δεν παρουσιάζει διακυμάνσεις στη γωνιακή κατεύθυνση. Page 39

40 Ένταση LP 11 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 40 Στη γενική περίπτωση ενός τρόπου LPlm υπάρχουν 2l μέγιστα έντασης κατά τη γωνιακή διεύθυνση και m μέγιστα έντασης κατά την ακτινική διεύθυνση. Page 40

41 Ένταση LP 21 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 41 Page 41

42 Ένταση LP 02 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 42 Page 42

43 Ένταση LP 31 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 43 Page 43

44 Ένταση LP 12 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 44 Page 44

45 Ένταση LP 11 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 45 Page 45

46 Φωτογραφίες έντασης τρόπων LP 21 LP 31 LP 12 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 46 Φωτογραφίες της φωτεινής έντασης στην εγκάρσια τομή μιας ίνας για την περίπτωση διαφόρων τρόπων. Αναγνωρίζουμε τους LP12, LP21, LP31 που φαίνονται στις προηγούμενες διαφάνειες. Page 46

47 Αριθμός τρόπων Εξαρτάται από το V N mod es V 2 2 D. Gloge, App. Opt. 10, 2252,1971. [4, p.283] Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 47 Ο αριθμός τρόπων εξαρτάται προσεγγιστικά από το τετράγωνο του V. Page 47

48 Αριθμητικό παράδειγμα Ι Δεδομένα Λύση (ίνα με ντύμα) n 1 = 1.46 Δ = 1% λ 0 = 0.85 μm NA = n 1 2Δ = V = 37.9 N mod es V modes Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 48 Page 48

49 Αριθμητικό παράδειγμα ΙΙ Λύση (ίνα χωρίς ντύμα) n 2 =1 NA = 1 V = N mod es V2 2 13,800 modes Συμπέρασμα: Υπάρχουν πολύ περισσότεροι τρόποι σε ίνα χωρίς ντύμα Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 49 Page 49

50 Θεμελιώδης τρόπος LP 01 iβ z E 0 ( / ) for a ( r, z ) A J ur a e r x = J i z 0( u )/ K 0( w ) K 0( wr / a ) e β for r a Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 50 Συνοψίζοντας, η έκφραση του ηλεκτρικού πεδίου για το θεμελιώδη τρόπο δίνεται παραπάνω. Page 50

51 Προσέγγιση LP 01 όπου w το εύρος της δέσμης. Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 51 Για απλότητα η συνάρτηση Bessel στην προηγούμενη έκφραση του ηλεκτρικού πεδίου μπορεί να αντικατασταθεί με μια Gaussian. Με κατάλληλη προσαρμογή της παραμέτρου w μπορούμε να έχουμε πολύ καλή προσέγγιση. Page 51

52 Κλάσμα ισχύος στον πυρήνα Βάσει της προσέγγισης Gauss: Για V=2, Pcore/Ptotal=75% V=1, Pcore/Ptotal=20% Συμπέρασμα : Βέλτιστη τιμή 2<V<2.4 Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 52 Μόνο ένα μικρό μέρος της φωτεινής ισχύος των κυματοδηγούμενων τρόπων βρίσκεται στον πυρήνα! Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη έκφραση του ηλεκτρικού πεδίου μπορεί να δει κανείς ότι για V=1, μόνο 25% της του θεμελιώδους τρόπου βρίσκεται στον πυρήνα. Αν κι αυτό δεν εμποδίζει τη διάδοση, οι παραμικρές ατέλειες (π.χ. μικροκάμψεις της ίνας) κάνουν το φως να διαφεύγει με αποτέλεσμα αυξημένες απώλειες. Ταυτόχρονα, ίνες με λεπτό πυρήνα έχουν μεγαλύτερο πρόβλημα κι απώλειες στις συγκολήσεις και συνδέσεις. Για αυτό το λόγο χρησιμοποιούμε μεγάλα V, μικρότερα όμως από τη συχνότητα αποκοπής, έτσι ώστε η ίνα να παραμένει μονότροπη. Page 52

53 Βιβλιογραφία Ι Άλλα βοηθήματα [1] John M. Senior, "Optical Fiber Communications : Principles and Practice," Prentice Hall, 2nd edition, 1993, ISBN: [2] Paul Diament, Wave Transmission and Fiber Optics, Macmillan, [3] Bahaa E.A. Saleh, M. C. Teich, "Fundamentals of Photonics," Wiley, [4] Dietrich Marcuse, "Theory of dielectric optical waveguides," Academic Press, [5] Simon Ramo, John R. Whinnery, Theodore Van Duzer, "Fields and Waves in Communication Electronics," Wiley, 1993, ISBN: Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 53 Page 53

54 Βιβλιογραφία ΙΙ Wim Van Etten and Jan Van Der Plaats, Fundamentals of optical fiber communications, Prentice Hall, 2nd edition, 1991, ISBN: J. Buck, Fundamental of optical fibers, Wiley, 1995, ISBN: Ν. Ουζούνογλου, Τηλεπικοινωνίες Οπτικών Ινών, Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα Γ. Έλληνας, Διάλεξη 4, σελ. 54 Page 54