Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
|
|
- Σαπφώ Αντωνοπούλου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 7ο εξάμηνο ΣHMΜY Εισαγωγή Διδάσκοντες: Άρης Παγουρτζής, Δώρα Σούλιου Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Σακαβάλας Επιμέλεια διαφανειών: Άρης Παγουρτζής
2 Αλγόριθοι και Πολυπλοκότητα Αυτά τα ξέρω! (sorting, Dijkstra, bfs/dfs, δέντρα, Prim, Kruskal ) Τα ξέρω;; (P=?NP, καλύτερος αλγόριθμος πολλαπλασιασμού, επίλυση TSP, έλεγχος πρώτων, streaming algorithms ;;) Επιστημονική περιοχή διαρκώς αναπτυσσόμενη, με τεράστιο εύρος και βάθος. Πολλά αναπάντητα ερωτήματα! 2
3 Κεντρικό ερώτημα Τι μπορούμε να κάνουμε με υπολογιστή, πώς, και πόσο καλά; 3
4 Κεντρικό ερώτημα Υπολογισιμότητα Τι μπορούμε να κάνουμε με υπολογιστή, πώς, και πόσο καλά; 4
5 Κεντρικό ερώτημα Υπολογισιμότητα Τι μπορούμε να κάνουμε με υπολογιστή, πώς, και πόσο καλά; Αλγόριθμοι 5
6 Κεντρικό ερώτημα Υπολογισιμότητα Τι μπορούμε να κάνουμε με υπολογιστή, πώς, και πόσο καλά; Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι 6
7 Αλγόριθμος Αυστηρά καθορισμένη σειρά βημάτων που επενεργεί σε δεδομένα εισόδου και παράγει δεδομένα εξόδου, σε πεπερασμένο χρόνο. Λύνει πρόβλημα Π αν για κάθε στιγμιότυπο παράγει την σωστή έξοδο. Μπορεί να εκτελεστεί «με μολύβι και χαρτί» (μηχανιστικά αποτελεσματικός). Ανάλυση αλγορίθμου: ορθότητα (απόδειξη ή αντ/δειγμα), πολυπλοκότητα. Αμπού Αμπντουλάχ Μοχάμεντ ιμπν Μουσά αλ- Χουαρίζμι أبو عبد هللا دمحم بن موسى الخوارزمي ( μχ) 7
8 (Υπολογιστική) πολυπλοκότητα Αλγορίθμου: το κόστος του αλγορίθμου σε χρόνο, χώρο (μνήμη), επεξεργαστές (παραλληλία), επικοινωνία (bandwidth), ενέργεια (sensors, robots),... Προβλήματος: το κόστος επίλυσης του προβλήματος σε χρόνο, χώρο, κ.λπ. αν ο αλγόριθμος Α λύνει το πρόβλημα Π, τότε η πολυπλοκότητα του Π είναι το πολύ όση η πολυπλοκότητα του Α (άνω φράγμα). για κάτω φράγμα πολυπλοκότητας προβλήματος χρειαζόμαστε απόδειξη. 8
9 Είδη πολυπλοκότητας Χειρότερης περίπτωσης (worst case): με αυτήν ασχολούμαστε συνήθως. Μέσης περίπτωσης (average case): με βάση κατανομή πιθανότητας στιγμιοτύπων (instances) του προβλήματος. Συνήθως δύσκολο να οριστεί σωστά. Καλύτερης περίπτωσης (best case): χρήσιμη εναντίον αντιπάλου. Αποσβετική (amortized): εκφράζει την μέση αποδοτικότητα σε μια σειρά επαναλήψεων του αλγορίθμου. 9
10 Θεωρητικές θεμελιώσεις Υπολογιστικό πρόβλημα: ορίζεται βάσει μιας επιθυμητής σχέσης εισόδου-εξόδου τυπικά: διμελής σχέση μεταξύ λέξεων (συμβολοσειρών) από ένα αλφάβητο η είσοδος λέγεται και στιγμιότυπο (instance), η έξοδος απάντηση ή λύση Αλγόριθμος για πρόβλημα: αυστηρά καθορισμένη διαδικασία που «υλοποιεί» την αντιστοίχιση: για κάθε έγκυρο στιγμιότυπο υπολογίζει τη σωστή απάντηση (ή μία από τις σωστές) μοντέλα: μηχανή Turing, RAM, WHILE-programs, 10
11 Υπολογιστικά προβλήματα Παραδείγματα Έλεγχος πρώτων αριθμών «ΝΑΙ» 129 «ΟΧΙ» Συντομότερα μονοπάτια (({a,b},3), ({a,c},2), ({b,d},1), ({c,d},5), a 2 c b e 1 1 d ({c,e},1), ({d,e},1), a, d) (a,c,e,d) ή (a,b,d) 11
12 Υπολογιστικά προβλήματα Άλλα παραδείγματα Πρόβλημα τερματισμού Πρόβλημα Collatz Κύκλος Euler Kύκλος Hamilton Αριθμοί Fibonacci 12
13 Πρόβλημα Τερματισμού Πρόβλημα Τερματισμού (Halting Problem): Δίνεται πρόγραμμα και είσοδος. Σταματάει το πρόγραμμα για αυτή την είσοδο (ή "τρέχει" επ' άπειρον); Ισοδύναμη παραλλαγή: Δίνεται πρόγραμμα χωρίς είσοδο. Σταματάει; Δεν υπάρχει αλγόριθμος που να απαντάει σωστά σε κάθε στιγμιότυπο του Halting Problem: μη επιλύσιμο πρόβλημα! 13
14 Πρόβλημα Collatz Έστω το πρόγραμμα while n!=1 do if (n is even) then n = n /2 else n =3n +1 Πρόβλημα Collatz: Δίνεται φυσικός αριθμός n. Σταματάει το παραπάνω πρόγραμμα για είσοδο n; Παράδειγμα: 7 -> 22 -> 11 -> 34 -> 17 -> 52 - > 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1 Δεν ξέρουμε αν είναι επιλύσιμο! 14
15 Κύκλος Euler Δίνεται γράφος. Υπάρχει διαδρομή που περνάει από κάθε ακμή μια ακριβώς φορά; Seven Bridges of Königsberg Source: 15
16 Επίλυση Κύκλου Euler Το πρόβλημα ΚΥΚΛΟΣ EULER είναι ευεπίλυτο. Η απάντηση είναι ΝΑΙ ανν κάθε κόμβος έχει άρτιο # γειτόνων Για κάθε γράφο με n κόμβους αρκούν n 2 έλεγχοι: χρόνος πολυωνυμικός ως προς το μέγεθος της εισόδου. Τέτοια προβλήματα που η επίλυσή τους χρειάζεται χρόνο O(n), O(n 2 ), O(n 3 ) ανήκουν στην κλάση P (Polynomial time). f a c g d e 16
17 Κύκλος Hamilton Δίνεται γράφος. Υπάρχει διαδρομή που περνάει από κάθε κορυφή μια ακριβώς φορά; Source: emat6690/essay1/gt.html 17
18 Κύκλος Hamilton Δίνεται γράφος. Υπάρχει διαδρομή που περνάει από κάθε κορυφή μια ακριβώς φορά; Source: emat6690/essay1/gt.html 18
19 Επίλυση Κύκλου Hamilton Το πρόβλημα ΚΥΚΛΟΣ HAMILTON είναι «δύσκολο» (δυσεπίλυτο). Δεν γνωρίζουμε γρήγορο αλγόριθμο. Καλύτερος γνωστός αλγόριθμος: περίπου εξαντλητική αναζήτηση (n! μεταθέσεις). Αν μας προτείνουν λύση την επαληθεύουμε πολύ γρήγορα. Προβλήματα που η επαλήθευση μιας λύσης (αν υπάρχει και μας δοθεί) γίνεται σε χρόνο O(n), O(n 2 ), O(n 3 ),, ανήκουν στην κλάση NP (Non-deterministic Polynomial time). 19
20 P =? NP Μπορεί να λυθεί το πρόβλημα του Hamilton τόσο γρήγορα όσο και το πρόβλημα του Euler; Αυτό είναι ουσιαστικά το P =? NP πρόβλημα, που αποτελεί το πιο σημαντικό ανοικτό πρόβλημα της Θεωρητικής Πληροφορικής σήμερα. Στο προσφέρονται 1εκ. δολάρια για τη λύση του! 20
21 Αριθμοί Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... F 0 = 0, F 1 = 1 F n = F n-1 + F n-2, n >=2 Πρόβλημα Fibonacci: Δίνεται n, να υπολογιστεί το F n Προσοχή: δεν ανήκει στo P ούτε στο NP! (γιατί;) 21
22 Το πρόβλημα του 2 29 Ποιο ψηφίο λείπει από τον αριθμό 2 29 ; (γνωρίζοντας ότι αποτελείται από 9 διαφορετικά ψηφία) 22
23 Το πρόβλημα του 2 29 Μπορείτε να βρείτε έναν αλγόριθμο; Είναι «καλός»; Πόσες πράξεις θα κάνει; Γίνεται καλύτερα; 23
24 Το πρόβλημα του 2 29 Γίνεται χωρίς να υπολογίσουμε τον αριθμό; [ερώτηση από βιβλίο προετοιμασίας για συνεντεύξεις για quant jobs ] 24
25 Κατηγορίες υπολογ. προβλημάτων Προβλήματα απόφασης: σε κάθε στιγμιότυπο αντιστοιχεί μία απάντηση ΝΑΙ ή ΟΧΙ. Έλεγχος πρώτων, Προσβασιμότητα (Reachability), Κύκλος Hamilton Η απλούστερη μορφή, όμως αρκετά ισχυρή. Σημαντικές κλάσεις: P, NP, PSPACE 25
26 Κατηγορίες υπολογ. προβλημάτων Προβλήματα αναζήτησης (ή εύρεσης): σε κάθε στιγμιότυπο αντιστοιχεί ένα σύνολο έγκυρων λύσεων και ζητείται μία (οποιαδήποτε) από αυτές. Τέλειο Ταίριασμα (Perfect Matching), Satisfiability, Κύκλος Hamilton (εύρεση). Ειδική περίπτωση: function problems (για κάθε στιγμιότυπο μοναδική λύση) : Ταξινόμηση, Ύψωση σε Δύναμη, Παραγοντοποίηση. Σημαντικές κλάσεις: FP, FNP, TFNP, FPSPACE 26
27 Κατηγορίες υπολογ. προβλημάτων Προβλήματα βελτιστοποίησης: ορίζονται με βάση μία αντικειμενική συνάρτηση. Σε κάθε στιγμιότυπο αντιστοιχεί ένα μη κενό σύνολο αποδεκτών λύσεων (feasible solutions) και ζητείται μία που να βελτιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση. Συντομότερα μονοπάτια, Μέγιστο Ταίριασμα (Maximum Matching), Travelling Salesman Problem (TSP). Σημαντικές κλάσεις: PO, NPO, APX 27
28 Τυπική περιγραφή προβλημάτων Προβλήματα απόφασης: λογική συνάρτηση (Boolean function) ισοδύναμα, τυπική γλώσσα (σύνολο λέξεων από αλφάβητο) Προβλήματα αναζήτησης / εύρεσης: διμελής σχέση που ορίζει τις έγκυρες λύσεις. Προβλήματα βελτιστοποίησης: διμελής σχέση που ορίζει τις αποδεκτές λύσεις και αντικειμενική συνάρτηση. 28
29 Απλοποιήσεις προβλημάτων Πρόβλημα αναζήτησης πρόβλημα απόφασης: για το δοσμένο στιγμιότυπο, υπάρχει λύση; Πρόβλημα βελτιστοποίησης πρόβλημα απόφασης: στιγμιότυπο επαυξάνεται με τιμή k, ζητείται αν υπάρχει λύση με αντικειμενική τιμή το πολύ k (για πρόβλημα ελαχιστοποίησης) ή τουλάχιστον k (για πρόβλημα μεγιστοποίησης). Σημαντικό: συνήθως η απλοποίηση διατηρεί τη δυσκολία του προβλήματος. 29
30 Πολυπλοκότητα υπολογιστικών προβλημάτων Συνάρτηση κόστους επίλυσης σε χρόνο, χώρο (μνήμη), επεξεργαστές, επικοινωνία, ενέργεια,... Αλγόριθμοι: παρέχουν άνω φράγματα ταξινόμηση (με bubblesort): O(n 2 ) Αποδείξεις δυσκολίας: παρέχουν κάτω φράγματα ταξινόμηση με συγκρίσεις: Ω(n logn) NP-πληρότητα: ισχυρή ένδειξη απουσίας αποδοτικού αλγορίθμου 30
31 Αποδοτική επίλυση προβλήματος Έχει ταυτιστεί με πολυωνυμικό χρόνο (κλάση P) Σημασία πολυωνυμικού χρόνου (πρακτικά και «χοντρικά»): αν μπορούμε να γράψουμε την είσοδο μπορούμε να πάρουμε και την απάντηση!! Παράδοξο: αλγόριθμος O(n 100 ) θεωρείται αποδοτικός ενώ O(2 n/1000 ) όχι! οι περιπτώσεις αυτές είναι σπάνιες 31
32 Σημασία πολυωνυμικού χρόνου logn n n 2 2 n ( ) 10 Ο ρυθμός αύξησης των εκθετικών συναρτήσεων είναι απαγορευτικός για μεγάλα στιγμιότυπα! 32
33 Αποδείξεις NP-πληρότητας: αναγωγές Κάθε πρόβλημα στο NP μετατρέπεται (σε πολυωνυμικό χρόνο) στο πρόβλημα Satisfiability: NP-πλήρες To Satisfiability μετατρέπεται σε πολλά άλλα, π.χ. Κυκλος Hamilton Κυκλος Hamilton μετατρέπεται σε TSP Οι αναγωγές συντίθεται σε πολυωνυμικό χρόνο Αποτέλεσμα: όλα τα NP-πλήρη προβλήματα εξίσου δύσκολο να λυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο, ή είναι όλα στο P ή κανένα! 33
34 Σημασία NP-πληρότητας Αν δεν βρίσκουμε αποδοτικό αλγόριθο για πρόβλημα Π, αλλά δείξουμε ότι είναι NP-πλήρες τότε έχουμε δείξει ότι κανείς άλλος στον κόσμο δεν μπορεί! 34
35 Κλάσεις πολυπλοκότητας P ΝP-πλήρη ΝP-δύσκολα ΜΗ-ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ Πολυωνυμικός Εκθετικός κυρίως αντικείμενο του μαθήματος Χρόνος 35
36 Ευεπίλυτα και δυσεπίλυτα προβλήματα Κλάση P: EULER TOUR, REACHABILITY, SHORTEST PATHS, MINIMUM SPANNING TREE, MAX FLOW, PERFECT MATCHING, LINEAR PROGRAMMING, NP-πλήρη: SATISFIABILITY, VERTEX COVER, CLIQUE, INDEPENDENT SET, HAMILTON CYCLE, TRAVELING SALESMAN PROBLEM, 3-COLORABILITY, INTEGER PROGRAMMING, 36
37 Ενδιάμεση πολυπλοκότητα; ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ: λογάριθμος σε αριθμητική modulo Είναι στο NP, αλλά μάλλον όχι NP-πλήρη. Κομβική σημασία για σύγχρονη κρυπτογραφία: το κρυπτοσύστημα RSA, η ανταλλαγή κλειδιού Diffie- Hellman και πάρα πολλά πρωτόκολλα βασίζονται στη δυσκολία της Παραγοντοποίησης ή/και του Διακριτού Λογάριθμου. 37
38 Σημασία Α&Π Πολλές επαναστατικές ιδέες και εφαρμογές του καιρού μας στηρίζονται σε αλγόριθμους και πολυπλοκότητα: στο πόσο εύκολα (γρήγορα) μπορούμε να υπολογίσουμε κάποια πράγματα και στο πόσο δύσκολο είναι να υπολογίσουμε κάποια άλλα Εφαρμογές: κρυπτογραφία, εκλογές, θεωρία παιγνίων, βιολογία, big data, 38
39 Συμπεράσματα Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τι μπορούμε να κάνουμε με υπολογιστή, πώς, και πόσο καλά Αυτό θα μελετήσουμε στο μάθημα Η εξοικείωση με τις μεθοδολογίες σχεδιασμού αλγορίθμων, και ανάλυσης υπολογιστικής πολυπλοκότητας είναι απαραίτητη για να κατανοούμε τη σύγχρονη τεχνολογία και για να συμμετέχουμε στην ανάπτυξή της Τα μαθηματικά είναι πάντα επίκαιρα! 39
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 3η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
http://www.corelab.ntua.gr/courses/ Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνο ΣΕΜΦΕ Ενότητα 0: Εισαγωγή Διδάσκοντες: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής Υπεύθυνη εργαστηρίου / ασκήσεων: Δώρα Σούλιου
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 1η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνο ΣHMΜY
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνο ΣHMΜY 2η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνο ΣΕΜΦΕ
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνο ΣΕΜΦΕ 2η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δημήτρης Φωτάκης (λίγες προσθήκες: Άρης Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνοσεμφε 1η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού Διδάσκοντες Θεωρία: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής Εργαστήριο: Δώρα Σούλιου Βοηθός διδασκαλίας: Θανάσης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
Διαβάστε περισσότεραΚλάσεις Πολυπλοκότητας
Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι: κατευθυνόμενοι και μη
Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη (V,E ) (V,E ) Γράφος (ή γράφημα): ζεύγος (V,E), V ένα μη κενό σύνολο, Ε διμελής σχέση πάνω στο V Μη κατευθυνόμενος γράφος: σχέση Ε συμμετρική V: κορυφές (vertices), κόμβοι
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθµου Α: Ποσότητα υπολογιστικών πόρων που απαιτεί Α ως αύξουσα συνάρτηση µεγέθους στιγµιότυπου εισόδου. Χρόνος, µνήµη, επεξεργαστές, επικοινωνία,
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Θέματα Απόδοσης Αλγορίθμων 1 Η Ανάγκη για Δομές Δεδομένων Οι δομές δεδομένων οργανώνουν τα δεδομένα πιο αποδοτικά προγράμματα Πιο ισχυροί υπολογιστές πιο σύνθετες εφαρμογές Οι πιο σύνθετες εφαρμογές απαιτούν
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Εισαγωγή Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Διοικητικά του μαθήματος Διδάσκοντες Στάθης Ζάχος Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας (2017-18) Βοηθοί διδασκαλίας Παναγιώτης Γροντάς
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Εισαγωγικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Σχετικά με το Μάθημα Ώρες γραφείου: Δευτέρα Παρασκευή
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγόριθμους. Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας
Εισαγωγή στους Αλγόριθμους Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr 1 Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στου Αλγόριθμους Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων Ασυμπτωτική Ανάλυση Θεωρία Γράφων Κλάσεις Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικό Πρόβληµα
Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισµού Theory of Computation
1 ο µέρος Θεωρία Υπολογισµού Theory of Computation 1 Υπολογισιµότητα - Computability o Υπολογισιµότητα (Computability) n Τι µπορεί να υπολογιστεί και τι όχι; o Υπολογιστική πολυπλοκότητα (Computational
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος
Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΚλάση NP, NP-Complete Προβλήματα
Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα Βαγγέλης ούρος douros@aueb.gr 1 11/6/2012 Αλγόριθμοι, Εαρινό Εξάμηνο 2012, Φροντιστήριο #14 Προβλήματα Απόφασης & Βελτιστοποίησης 2 Πρόβλημα Απόφασης: Κάθε πρόβλημα που
Διαβάστε περισσότεραγια NP-Δύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΚατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π
Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών Μετασχηματισμοί Υπολογιστικών Προβλημάτων Αναγωγές και Πληρότητα Προσαρμογή από
Διαβάστε περισσότεραNP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir, Adlemann, 1977) Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κρυπτοσύστημα
Διαβάστε περισσότεραΠολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης
Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα
Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Κεφάλαιο 12 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 12.1 Προβλήματα Βελτιστοποίησης Σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης σε κάθε στιγμιότυπο του προβλήματος αντιστοιχούν κάποιες εφικτές (feasible) -δηλαδή επιτρεπτές- λύσεις,
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού
Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών και Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικού Mετσόβιου Πολυτεχνείου
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνοσεμφε 2η ενότητα: Αλγοριθμικές τεχνικές, αριθμητικοί υπολογισμοί Διδάσκοντες Θεωρία: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής Εργαστήριο: Δώρα Σούλιου Βοηθός διδασκαλίας:
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf6/ Άνοιξη 06 - I. ΜΗΛΗΣ P NP και NP-complete προβλήματα (Κλάσεις Πολυπλοκότητας) ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 06 - Ι. ΜΗΛΗΣ 5 NP-COMPLETENESS I Γιατί για πολλά προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού 12.1 Συναρτήσεις και ο υπολογισμός τους 12.2 Μηχανές Turing 12.3 Καθολικές γλώσσες προγραμματισμού 12.4 Μια μη υπολογίσιμη συνάρτηση 12.5 Πολυπλοκότητα προβλημάτων 12.6
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 9 P vs NP 1 / 13 Δυσκολία επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων Κάποια προβλήματα είναι εύκολα να λυθούν με
Διαβάστε περισσότερα11.1 Συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11: Θεωρία υπολογισµών
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Θεωρία υπολογισµών. Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους. Μηχανές Turig.3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού.4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση.5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων.6 Κρυπτογραφία δηµόσιου κλειδιού.
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι. Μάρθα Σιδέρη. ιαδικαστικά: ύο πρόοδοι 31 Μαρτίου, 18 Μαΐου 7-9μμ 20% η μία, ύο Προγραμματιστικές 1 προσθετικό βαθμό η μία.
Αλγόριθμοι Μάρθα Σιδέρη epl333 lect 011 1 ιαδικαστικά: ύο πρόοδοι 31 Μαρτίου, 18 Μαΐου 7-9μμ 0% η μία, ύο Προγραμματιστικές 1 προσθετικό βαθμό η μία. Οι πρόοδοι είναι προαιρετικές και το ποσοστό μετράει
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Time, Space Complexity
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 19 December 2008 1 1 Κλάση NP 2 Μη-Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing: Eίναι δυνατόν σε μια συνολική κατάσταση να υπάρχουν πολλές δυνατές επόμενες
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να
Διαβάστε περισσότεραChapter 9: NP-Complete Problems
Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας
Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 1 / 16 «Ζέσταµα» Να γράψετε τις συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
7ο εξάμηνο Σ.Η.Μ.Μ.Υ. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 4η εβδομάδα: Εύρεση k-οστού Μικρότερου Στοιχείου, Master Theorem, Τεχνική Greedy: Knapsack, Minimum Spanning Tree, Shortest Paths
Διαβάστε περισσότεραCSC 314: Switching Theory
CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91
Ε.Μ.Πoλυτεχνείο ΣΗΜΜΥ, ΣΕΜΦΕ Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Διδάσκων: Ε.Ζαχος Ονοματεπώνυμο:... Αριθμός Μητρώου:... Σχολή:... εξάμηνο:... ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 005 Σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Χρονική Πολυπλοκότητα (7) Κλάση P (7.2) Κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4) Χωρική
Διαβάστε περισσότεραΜη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές
Διαβάστε περισσότεραΑνάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων
Ανάπτυξη Εφαρμογών σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων 2.1 Τι είναι αλγόριθμος Ο όρος προέρχεται από μετάφραση του βιβλίο του Αμπού Αμπντουλάχ Μοχάμεντ Ιμπν Μούζα Αλ Χουαρίζμι
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Συνεκτικότητα. 25 -Γράφοι
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων/ γραφήματα Πέμπτη, 17/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 17-May-18 1 1 17-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Καλογερόπουλος Παναγιώτης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΠροηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ) Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα (ΕΜΠ - ΑΛΜΑ) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι.
Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ) Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα (ΕΜΠ - ΑΛΜΑ) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Άρης Παγουρτζής Άνοιξη 2018 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Αφορούν κυρίως σε προβλήματα βελτιστοποίησης:
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ Ιστότοπος Βιβλίου http://www.iep.edu.gr/ και «Νέα Βιβλία ΙΕΠ ΓΕΛ και ΕΠΑΛ» 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
Ενότητα 4 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας
Διαβάστε περισσότεραΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων. Λουκάς Γεωργιάδης
ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων Λουκάς Γεωργιάδης loukas@cs.uoi.gr www.cs.uoi.gr/~loukas Βασικές έννοιες και εφαρμογές Αλγόριθμος: Μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος Δομή
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Time, Space Complexity
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 1.0 Εισαγωγή στις Βασικές Έννοιες του Μαθήματος Απαιτήσεις Μαθήματος και Εργαστηρίου Περιήγηση στις Βασικές Έννοιες του Μαθήματος Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17
Διαβάστε περισσότεραΜη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 3 (ανακοινώθηκε στις 14 Μαΐου 2018, προθεσμία παράδοσης: 8 Ιουνίου 2018, 12 τα μεσάνυχτα).
Κ08 Δομές Δεδομένων και Τεχνικές Προγραμματισμού Διδάσκων: Μανόλης Κουμπαράκης Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018. Άσκηση 3 (ανακοινώθηκε στις 14 Μαΐου 2018, προθεσμία παράδοσης: 8 Ιουνίου 2018, 12 τα μεσάνυχτα).
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Υπογράφημα Συμπληρωματικά γραφήματα Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία PROJECT Συνοπτική Παρουσίαση του Κβαντικού Αλγόριθμου Παραγοντοποίησης
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 12-May-17 1 1 Θεωρία γράφων / γραφήματα 12-May-17 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Υπογράφημα Συμπληρωματικά
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Δυναμικός Προγραμματισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διωνυμικοί Συντελεστές Διωνυμικοί
Διαβάστε περισσότεραΜη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση
Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αριθμήσιμα
Διαβάστε περισσότεραviii 20 Δένδρα van Emde Boas 543
Περιεχόμενα Πρόλογος xi I Θεμελιώδεις έννοιες Εισαγωγή 3 1 Ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες 5 1.1 Αλγόριθμοι 5 1.2 Οι αλγόριθμοι σαν τεχνολογία 12 2 Προκαταρκτικές έννοιες και παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραconp and Function Problems
conp and Function Problems 1 Ένα πρόβλημα απόφασης λέμε ότι επιλύεται σε μηντετερμινιστικό πολυωνυμικό χρόνο αν υπάρχει ένας μηντετερμινιστικός αλγόριθμος που, εκμεταλλευόμενος μια τυχαία επιλογή, μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Τρίγωνο του Pascal Δυναμικός Προγραμματισμός Διωνυμικοί συντελεστές Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 17/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 17-May-18 1 1 Θεωρία γράφων/ γραφήματα 17-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Πρόλογος 13. Πώς χρησιμοποείται αυτό το βιβλίο 17
Πρόλογος Πρόλογος 13 Πώς χρησιμοποείται αυτό το βιβλίο 17 1 Η λογική σκέψη 19 1.1 Τυπική λογική 20 1.1.1 Διερευνητικά προβλήματα 21 1.1.2 Σύνδεσμοι και προτάσεις 21 1.1.3 Οι πίνακες αλήθειας 23 1.1.4 Λογικές
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Σχέσεις Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διμελής Σχέση Διατεταγμένο ζεύγος (α, β):
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10.0 Μετασχηματισμοί Υπολογιστικών Προβλημάτων Αναγωγές NP-πληρότητα Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage:
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 1 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Ας ξεκινήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΚουτσιούμπας Αχιλλέας U. Adamy, C. Ambuehl, R. Anand, T. Erlebach
Κουτσιούμπας Αχιλλέας ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΛΗΣΕΩΝ ΣΕ ΑΚΤΥΛΙΟ U. Adamy, C. Ambuehl, R. Anand, T. Erlebach ΜΠΛΑ 1 Δομή παρουσίασης Γενικά Ορισμός προβλήματος Σχετιζόμενη δουλειά Εισαγωγικά Αλγόριθμος Παράδειγμα εκτέλεσης
Διαβάστε περισσότεραΟρισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:
Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C
Διαβάστε περισσότεραΑλγοριθμικές Τεχνικές
Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Αλγοριθμικές Τεχνικές 1 Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και
Διαβάστε περισσότεραΜη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και P-Πληρότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική Μηχ. Turing (ΝTM)
Διαβάστε περισσότεραΑλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων
Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και Βασίλευε (Divide and
Διαβάστε περισσότερα