S K R I P T A SKRAĆENA PREDAVANJA (PRVI DIO)
|
|
- Ἱππολύτη Αποστολίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 S K R I P A SKRAĆENA PREDAVANJA (PRVI DIO) Predmetni nastavnik: emer. prof. dr. Ognjen Jokanović, dipl.inž.građ. Asistent na predmetu: viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.
2 UNIVERZIE «DŽEAL BIJEDIĆ» U OSARU Predmet: eorija konstrukcija Predmetni nastavnik: emer. prof. dr. Ognjen Jokanović, dipl.inž.građ. Predmetni asistent: viši asistent mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ. Nastavni plan i program: Statika konstrukcija. Proračunske šeme. Opterećenja konstrukcija. Oslonci ravanskih konstrukcija. Unutrašnje i vanjske sile. Povezanost između opterećenja, transverzalnih sila i momenata savijanja. Statička određenost sistema. Kinematička stabilnost nosača. Statički određeni sistemi. Puni nosači.prosta greda. Konzola. Grede sa prepustom. Uticajne linije za sve pune nosače. Statički i kinematički načini rješavanja uticajnih linija. Gerberove grede. Uticajne linije kod Gerberovih greda. Luk sa tri zgloba. Uticajne linije lukova sa tri zgloba. Rešetkasti nosači. Uticajne linije rešetkastih nosača. Virtuelna pomjeranja. Virtuelni rad. Energetske teoreme. Literatura: Statika konstrukcija I (. i. dio), Ing. Đorđe Solovjev, Uslov izlaska na ispit: ačno urađeni i predati programski zadaci. Potpis predmetnog nastavnika. Pored programskih zadataka, svaki student je u obavezi da uradi 4 zadatka iz izučavanih oblasti, koje će zadati asistent i koje će prezentirati ostalim kolegama u sklopu vježbi. Zadaci će biti ocjenjivani i ocjena će imati uticaj na ocjenu iz pismenog dijela ispita, tako da student može na osnovu tih zadataka da dobije od -5 (minus 5 ako ne bude uradio nijedan od datih zadataka ili ih loše prezentirao) do +5 bodova(plus 5ako svi zadaci budu urađeni i prezentirani valjano). okom godine studenti su obavezni da aktivno učestvuju u nastavi, da postavljaju pitanja, kao i da odgovaraju na postavljena pitanja. Zalaganje u nastavi će također biti ocjenjeno i imaće uticaj na ocjenu iz pismenog dijela ispita do ±5 bodova. Svi odgovori pozitivni i negativni će biti evidentirani, te će se na osnovu istih dati zasluženi broj bodova. okom godine će biti vođena evidencija o prisustvu studenata, tako da svaki student koji bude odsutan preko 30 % iz nastave neće imati pravo na potpis predmetnog nastavnika. Način polaganja ispita: Pismeni i usmeni dio ispita. Pismeni dio ispita se polaže integralno iz svih oblasti koje su izučavane tokom godine. Ispit se smatra položenim ako je student dobio 55 bodova i više. Usmeni dio ispita se polaže nakon položenog pismenog dijela. Vrijeme polaganja usmenog dijela ispita se se dogovara sa nastavnim profesorom. Ostalo: U sklopu vježbi studenti će ići sa predmetnim nastavnikom u obilazak građevinskih objekata u izgradnji i diskutovati o istim, razmatrati statičke šeme i opterećenja na konstrukcije, razgovarati o problemima građenja konstrukcija i rješenjima istih.
3 UVOD Skup tačaka međusobno povezanih u jednu cjelinu zovemo nosač. Zadatak nosača je da obezbijedi nepomjerljivost izvjesnih tačaka međusobno i u odnosu na stalne tačke u prostoru. o se najčešće postiže pravilnim komponovanjem više linijskih nosača koji svaki za sebe ima ograničenu ulogu da samo obezbijedi stabilnost u svojoj ravni, a svi zajedno obezbjeđuju prostornu stabilnost. Nosači koji obezbjeđuju samo nepomjerljivost u svojoj ravni zovemo ravnim linijskim nosačima, dok nosači koji onemogućvaju nepomjerljivost u prostoru zovemo prostornim linijskim nosačima. Elementi nosača su: ) Štapovi ) Kruti uglovi 3) Oslonci Štapovi su prave ili krive linije koje se nalaze u geometrijskim mjestima težišta poprečnih presjeka nekog nosača. Ukoliko su dimenzije poprečnih presjeka male u odnosu na dužinu štapova, tako da štap može da primi samo aksijalno opterećenje, zovemo ga prostim štapom. Ako poprečni presjek ima dimenziju da može da primi i druga opterećenja pored aksijalnih zovemo ga greda. Štapovi mogu biti spojeni zglobno ili kruto. θ θ θ θ θ Zglobna veza Kruta veza Čvor je tačka u kome se spajaju ili više štapova ili je to slobodan ilil oslonjen kraj štapa. Sa brojem čvorova raste i broj štapova i krutih uglova i zbog toga proračun i brojanje elemenata se otežava, a nama je cilj da to brojanje smanjimo i na taj način da smanjimo sebi proračun. Strukturno linijske nosače dijelimo na rešetkaste i pune nosače. Rešetkasti linjski nosač sastoji se samo od prostih štapova i oslonaca. Puni nosač je nosač sastavljen od štapova greda i prostih štapova i oslonaca sa ili bez krutih uglova. KINEAIČKA SABILNOS NOSAČA Da bi sistem štapova činio nosač potrebno je da se čvorovi ne pomjeraju bez deformacija štapova pomjeranja oslonaca i okretanja uklještenja. Za takav sistem štapova kažemo da je kinematički stabilan. U suprotnom sistem je kinematički labilan.
4 Labilan Stabilan POREBNI USLOVI ZA KINEAIČKU SABILNOS Svaka tačka m u ravni sa koordinatama,y ima stepena slobode (u,v) pomjeranja. Prema tome k tačaka ima k stepeni slobode pomjeranja. Svaki element nosača ukida jednu slobodu pomjeranja. Npr. Za tačke i i k koja svaka posebno ima po stepena slobode pomjeranja, a obje povezane jednim istim štapom imaju samo 3 stepena slobode pomjeranja. Znači štap ik je smanjio jedan stepen slobode pomjeranja. Znači da Zs štapova ukida Zs stepeni slobode pomjeranja. 4 štap 4 3 stepena slobode pomjeranja Ako imamo štapa i 3 tačke u ravni onda je: 3 6 štapa 6 4 stepena slobode pomjeranja
5 Ako između dva štapa postavimo kruti ugao u čvoru l dobivamo krutu ploču od štapova il i lk i dobivamo 3 stepena slobode pomjeranja. Znači da Zk krutih uglova ukida Zk stepeni slobode pomjeranja. Ako sada oslonimo neki štap ik na pokretni oslonac (tj. pravac oslanjanja je paralelan sa y- osom, pa je prema tome y i const., dok i, k, y k nisu međusobno nezavisne već moraju da zadovolje uslov nepomjerljivosti dužine l ik udaljenost tačaka i i k), stoga tačke i i k pri ovakvoj vezi i oslanjanju imaju stepena slobode pomjeranja. Znači da je oslonac ukinuo jedan stepen slobode pomjeranja. Prema tome Zo oslonaca ukida Zo stepeni slobode pomjeranja čvorova. ime je pokazano da svaki element nosača ukida po jedan stepen slobode pomjeranja. Svi elementi nosača ukidaju ukupno Zs + Zk + Zo stepeni slobode pomjeranja Zs + Zk + Zo k ; ako nosač zadovoljava ovu jednačinu kažemo da je prosto kinematički stabilan. Za nosače kod kojih je: Zs + Zk + Zo > k kažemo da su višestruko kinematički stabilni, A kod kojih je: n Zs + Zk + Zo - k > 0 kažemo da su labilni. Ovdje je n broj suvišnih elemenata za prostu kinematsku stabilnost. Pri definisanju nosača moramo paziti i na pravilan raspored elemenata. Primjer :
6 k Zs Zk 0 Zo 3 ΣZ 4 k UNIVERZIE «DŽEAL BIJEDIĆ» U OSARU Nepravilan raspored elemenata nosača dovodi do toga da je ovaj sistem labilan dio prestavlja krutu ploču koja je vezana štapovima 3-4- i 9-0 za drugu krutu ploču Iz kinematike je poznato da je četverougao zglobno vezanih štapova predstavlja labilnu figuru, a to je slučaj na čvorovima δ δ Primjer : k 3 Zs Zk 0 Zo 4 ΣZ 6 k Sistem je u kritičnoj konfiguraciji zbog toga što i najmanje opterećenje izaziva znatne deformacije koje nisu zanemarljive u odnosu na deformaciju štapa. UNURAŠNJA KINEAIČKA SABILNOS Za štapove i krute uglove kažemo da su unutrašnji elementi nosača, jer sprečavaju relativno pomjeranje čvorova. Za takve nosače kod kojih unutrašnji elementi sprečavaju relativno pomjeranje čvorova kažemo da su unutrašnje stabilni i da čine jednu krutu ploču. Kako jedna kruta ploča ima 3 stepena slobode pomjeranja u ravni broj unutrašnjih elemenata nosača za prostu kinematičku stabilnost treba da je: Zs + Zk k 3 PRAVILAN RASPORED ELEENAA NOSAČA Nosač je kinematički prosto stabilan. k 5 Zs 4 Zk 3 Zs + Zk 7 k - 3 Zs + Zk k 7 Zs 6 Zk 4 Zs + Zk 0 k - 3 Zs + Zk < Sistem je unutrašnje kinematički labilan.
7 PRINUDNI EHANIZA ILI KINEAIČKI LANAC Prinudni mehanizam ili kinematički lanac je sistem međusobno vezanih ploča i štapova koji imaju jedan stepen slobode pomjeranja. Kod njih su putanje kretanja svih tačaka potpuno određene kada je zadan ili usvojen jedan parametar pomjeranja. Generalisano pomjeranje Δ Δ 3 δ Δ δ () δ () pomjeranje δ za stanje Δ. ψ δ κ ψ Δ, jer je h () ψ h 4 Ηκ h k h k () δ k Δ ( δ k ) h h Dovoljno je poznavati pravce pomjeranja samo tačke jedne ploče, pa da znamo položaj pola iste (u presjeku normalana vektore pomjeranja tih dviju tačaka). Kod prinudnih mehanizama položaj polova i međupolova se predstavlja sa tzv. planom polova i međupolova (pol centar rotacije). Kod mehanizama sa ili više stepeni slobode nema plana polova, jer su putanje tačaka zavisne od i više nezavisnih parametara. Primjer 3: Prinudni mehanizam 5 ploča. O3 Zs + Zk + Zo < k ; k (Zs + Zk + Zo) O 3 ΙΙ O 4 O3 5 6 ΙΙΙ O3 7 k 8 ; Zs 8; Zk 3; Zo 4; Zs + Zk + Zo 5 Ovim su zadovoljeni uslovi potrebni za prinudni mehanizam. Ι O IV O 4 8 O5 O45 V Spoljne i unutrašnje veze definišu u potpunosti apsolutni pol O 4 i O 5 i međupoove O 45, O, O 3, O 35, a djelimično i apsolutne poove O i O 3 koji moraju biti u pravcima oslanjanja oslonaca i 7. Kako dva apsolutna pola i njihov međupol moraju biti na istom pravcu to se apsolutni pol O 3 nalazi i na pravcu O 5 O 35, a time je definisan položaj istog u presjeku O 5 O 35 i pravcaoslanjanja ploče III u osloncu 7. Kako su i pola O 3 i O i njihov međupol O 3 moraju nalaziti na istom pravcu, a također i poovi O 4 i O i njihov međupol O 4, to je položaj pola O
8 dobiven u presjeku pravaca O 3 O 3 i O 4 O 4. Analogno određivanju pola O 3 pol O dobiven je presjekom pravaca O O i pravca oslanjanja ploče I u osloncu. Dijagram pomjeranja Primjer 4: Prinudni mehanizam 4 ploče. ω O ω 4 O 4 O O 3 O 34 II III IV I O 3 ω 3 O' 3 ω - - III ω 3 O' 4 I O' ω II O' IV ω 4 4 O' O' 34 - ZGLOBOVI a) OENNI ZGLOB je zglobna veza dvaju krutih ploča. Kod ovog zgloba ploča I relativno rotira u odnosu na nepokretnu ploču II oko međupola koji se nalazi u zglobu (i obratno). Ova veza onemogućuje relativno pomjeranje krajeva ploče, ali omogućuje njihovo rotiranje. b) POPREČNI ZGLOB je veza dvaju krutih ploča I i II koja onemogućuje osovinsko razmicanje i relativno rotaciju dodirnih presjeka, a omogućuje poprečno (transverzalno) pomjeranje. eđupol O se nalazi u beskonačnosti, a zglob je zamišljen kao veza dva beskonačno mala paralelna štapa zglobno vezanaza dodirne presjeke, a takođe i generalisano linijsko pomjeranje. I II δ δ
9 c) PODUŽNI ZGLOB je veza između ploča I i II koja onemogućuje relativnu rotaciju i poprečno razmicanje dodirnih presjeka, a omogućuje podužno relativno pomjeranje istih. eđupol O nalazi se u beskonačnosti na pravcu dodirnih presjeka. Zamišljen je kao veza dva beskonačno mala paralelna štapa u pravcu poprečnih dodirnih presjeka. δ OSLONCI a) POKRENI OSLONAC je spoljna veza koja sprečava pomjeranje tačke oslanjanja, dok joj dopušta pomjeranje upravno na pravac oslanjanja, a i rotaciju oslonjenog presjeka. o određuje položaj apsolutnog pola oslonjene ploče I koji se nalazi na pravcu oslanjanja. b) NEPOKRENI OSLONAC je oslonac koji sprečava svako linearno pomjeranje oslonjene tačke, a omogućuje rotaciju iste. o definiše položaj apsolutnog pola oslonjene ploče I koji mora biti u oslonjenoj tački A.
10 c) UKLJEŠENJE kao oslonac onemogućuje svako pomjeranje oslonjene tačke, kao i rotaciju odgovarajućeg poprečnog presjeka. VANJSKE I UNURAŠNJE SILE Vanjske sile mogu biti: a) Aktivne, koje su izazvane vanjskim faktorima, bilo dodirom bilo djelovanjem na odstojanju (npr. gravitaciona sila). b) Reaktivne, koje su izazvane aktivnim silama i predstavljaju otpore od oslonaca i uklještenja. Opterećenja na konstrukciju mogu biti: - koncentrisana (dimenzije t, kg, kn, tj. dimenzije P sila) - raspodjeljena duž osovine štapa (dimenzije t/m, kg/m, kn/m, tj. dimenzije sila/dužina) U prirodi ne postoje linijska opterećenja već samo površinska (dimenzije sila/površina) i zapreminska (dimenzije sila/zapremina). Postoje još i: P - koncentrisani spregovi momenti (dimenzije tm, kgm, knm, tj. dimenzija sila dužina) a) - raspodjeljeni spregovi momenti (dimenzija sila dužina/dužina) b) α P α α h/ h/ Ako koncentrisana sila djeluje u presjeku pod nekim uglom α, ona ustvari ne djeluje u presjeku osovine nosača nego u presjeku na udaljenosti h/ctgα. Idealizujući nosač njegovom osovinom prinuđeni smo da ili to imamo u vidu ili da djeluje u presjeku, ali da dodamo i spreg.
11 Ph Ph sinα ctgα cosα α g [kn/m'] Slično tome i raspodjeljeno opterećenje pod nagibom daje pri redukciji na osovinu nosača dopunske raspodjeljene spregove intenziteta m g e cosα α g [kn/m'] e h Po dužini djelovanja opterećenja mogu biti: - stalna: sopstvena težina nosača i elementi konstrukcije koji funkcionalno moraju stalno biti prisutni, te snijeg u područjima gdje se pojavljuje, - povremena (korisno opterećenje): vjetar, ljudi, vozila, teret u skladištima, zemljotres itd. Prema načinu djelovanja dijelimo ih na: - nepokretna i - pokretna također i na: - direktna i - indirektna. Računska opterećenja određuju se na bazi stvarnih podataka o nosaču, stalnom opterećenju i funkciji nosača, kao i na osnovu važećih propisa za određene vrste konstrukcija. aj dio statičkog proračuna koji prethodi samom iznalaženju sile u poprečnim presjecima nosača zovemo ANALIZO OPEREĆENJA. Prema propisima opterećenja se mogu dijeliti i prema vrstama objekata: - opterećenje zgrada, - opterećenje drumskih mostova, - opterećenje željezničkih mostova itd. Ili prema značaju i učestalosti na: - glavna, - dopunska, - naročita, a prema uticaju na stvarno stanje napona uslijed eventualnih vibracija dijelimo ih na: - statička i - dinamička. UNURAŠNJE SILE Dejstvo vanjskih sila na nosač izaziva deformaciju istog i pojavu unutrašnjih sila u presjecima kao rezultante napona. U otpornosti materijala se govori o naponima, ali moramo naglasiti da se ne može govoriti o naponima, ako nije tačno definisana ravan (zamišljen presjek nosača) i tačka u toj ravni. Najčešće se govori o naponima u tačkama presjeka upravnog na osovinu nosača na određenom mjestu osovine, ali ne mora uvijek biti tretiranje napona u presjecima upravnim na osovinu već i presjecima pod određenim uglom različitim od 90. U statici linijskih nosača smatramo da su opterećenja i osa nosača u istoj ravni. Ako tretiramo unutrašnje sile u nekom presjeku nosača, izrazićemo ih preko napona u presjeku upravnom na osovinu, pa će i naponi biti u ravni nosača.
12 p r df z y R pdf R F F p df p r df () () Presječna sila R i moment poslije redukcije sile R na težište presjeka izraženi su preko napona formulama () i (). Sile u presjeku preko komponenata su: Smatramo da nema torzionog momenta i momenta oko ose z, z. Šematski prikazano: N F F τ F σ z σ df df z df N N N N POGLED N N N N POGLED POGLED N normalna sila komponenta rezultante unutrašnje sile R u pravcu ose (na osovini nosača). Pozitivna je kada zateže svoj dio štapa. transverzalna sila komponenta rezultante unutrašnje sile R u pravcu z ose (normalna na osovinu nosača). Pozitivna je kada ima tendenciju da obrće dio štapa oko drugog kraja u smjeru kazaljke na satu. momenat savijanja oko ose y, y. Pozitivan je kada izaziva zatezanje donje strane nosača.
13 POVEZANOS IZEĐU OPEREĆENJA, RANSVERZALNIH SILA I OENAA SAVIJANJA Ako iz nekog štapa uzmemo dio i na poprečnim presjecimasa strane odredimo pozitivan pravac za unutrašnje sile. Na lijevom dijelu presjeka djeluju, N i sile, Gore d dn d a sa desne +, N +, + sa već N Dolje p ds ρ d α O n d + ds + d ds ds N+ dn ds ds ds ds zadanim pravcima i smjerovima. Sada moramo da napravimo jednačinu ravnoteže prema tangenti u sredini kose ose, s tim da se veličine drugog stepena zanemaruju. ρ poluprečnik kose ose O centar poluprečnika ρ; ako je sa donje strane onda je pozitivan, u suprotnom je negativan, pq kontinuirano optećenje koje djeluje okomito na na kosu osu elementa; ako djeluje odozgo nadolje, onda je pozitivan, u suprotnom je negativan, n kontinuirano opterećenje koje djeluje u pravcu kose ose elementa, ako djeluje s lijeva na desno, onda je pozitivno, u suprotnom je negativno, dα - ugao koji zaklapaju stranice isječenog elementa. ds s ds dα dn dα dα d dα N cos + N + ds cos sin + ds sin + n ds 0 ds ds dα dα dα ds ρ dα cos, sin dn ds ds + n ds 0, ds ρ dn + n 0 ds ρ Ako na isti način postavimo jednačinu ravnoteže prema normali na kosu osu elementa onda dobivamo sljedeću jednačinu: te moment iz jednačine ravnoteže: d p + ds d ds + N ρ 0 0
14 Ako je ρ beskonačno dug i ako u gornje jednačine umjesto ds stavimo d onda ćemo dobiti sljedeće jednačine: dn d d d n, p,, te je p d d d d d α α α d
15 Općenito o uticajnim linijama UICAJNE LINIJE Pri statičkom ispitivanju jedne konstrukcije određuju se izvjesni uticaji, koje vanjsko opterećenje ili izvjesna sredina vrši na konstrukciju. Pod tim uticajima podrazumijevamo: reakcije oslonaca, horizontalni potisak luka ili lančanog nosača, napadne momente, transverzalne i normalne sile u jednom presjeku, ugibanje pojedinih tačaka konstrukcije i dr. Sve ove veličine koje mi ispitujemo, zovemo uticaji i obilježavamo ih sa Z. U slučaju nepokretnih opterećenja uticaje u nosaču tj. u nekom određenom presjeku, možemo odrediti pomoću već poznatih metoda statičkog proračuna. Na osnovu dobiveih vrijednosti unutrašnjih sila možemo naći ekstremne veličine momenata i transverzalnih sila. Ali ako na nosča djeluje pokretno opterećenje, onda se u nosaču ekstremne vrijednosti unutrašnjih sila pojavljaju u različitim presjecima nosača u zavisnosti od kretanja sile. Da bi lakše odredili vrijednosti uticaja od pokretnog opterećenja koristimo se koncentrisanom jediničnom silom od kn koja se kreće po nosaču s lijeva na desno ili obrnuto. Udaljenost te jedinične sile od jednog oslonca (npr. od oslonca A) se označava sa, dok je ukupna dužina nosača L. Kretanje sile po nosaču izaziva uticaje u svim presjecima nosača, pa prema tome i za neki određeni presjek možemo da bez ikakvih problema odredimo vrijednosti unutrašnjih sila, odnosno da nacrtamo uticajnu liniju određenog presjeka na nosaču. Znači, uticajna linija je linija čije ordinate, izmjerene ispod opterećenja, daju veličinu traženog uticaja od jedinične sile od kn u presjeku, za koji je ta linija konstruisana. Površian koju zaklapa uticajna linija sa horizontalom zove se uticajna površina. Osobine uticajnih linija raženi uticaj od opterećenja na nosaču dobije se pomoću superpozicije. Uticajne linije crtaju se samo za jedan određeni pravac opterećenja, a mi proučavamo uticajne linije od vertikalnog opterećenja. oramo razlikovati dijagrame unutrašnjih sila nosača od uticajnih linija, jer se dijagrami unutrašnjih sila crtaju za neko određeno opterećenje, dok se uticajne linije crtaju za neki određeni presjek. Oblici uticajnih linija Oblik uticajne linije zavisi od konstrukcije nosača i od načina opterećenja, pa prema tome taj oblik može biti pravolinijski, poligonalni ili krivolinijski. Kod svih statički određenih nosača uticajne linije su prave, dok su kod statički neodređenih nosača to krive linije drugog ili višeg stepena. Za slučaj direktnog opterećenja uticajne linije su prave, a za slučaj indirektnog opterećenja uticajne linije su poligonalne oblika. Ako se sila nalazi u čvoru onda se uticajna linija od indirektnog oslanjanja ne razlikuje od uticajne linije direktnog oslanjanja. Konstruisanje uticajnih linija Za konstrukciju uticajnih linija postoje dva načina: - statički - kinematički.
16 Statički način Sila od kn se postavi na nosač u nekom proizvoljnom položaju na odstojanju od neke stacionarne tačke nosača (oslonac). Smatrajući opterećenje nepokretnim, određujemo tražene statičke veličine koje se izražavaju u vidu neke jednačine koja sadržava koji je promjenljiva veličina. Ponekad je potrebno postavljati silu od kn na nekoliko različitih tačaka nosača i za svaki položaj pisati odgovarajuću jednačinu, jer uticajna linija može imati nekoliko dijelova, koji imaju različite jednačine. Pa prema tome, uticajna linija se ne može odrediti odjednom za cijeli nosač, već se mora ispitivati dio po dio nosača. Kinematički način Ovaj način se zasniva na principu virtualnih pomjeranja (princip Lagrange-a). Prema ovom principu ako se neki materijalni sistem nalazi u ravnoteži pod uticajem sila koje na njega djeluju, onda zbir radova pri svakom virtualnom pomjeranju mora biti jednak nuli. Za primjenu ovog principa dati se sistm odbacivanjem izvjesnih veza pretvara u kinematički lanac (mehanizam) te se pomoću principa virtualnih pomjeranja dobije jednačina za traženi uticaj, a neposredno se dobije oblik uticajne linije. Integracija uticajnih linija Koncentrisane sile: Z P η P zadata koncentrisana sila na nosaču η ordinata ispod koncentrisane sile P na uticajnoj liniji Ravnomjerno kontinuirano opterećenje: Z q F q vrijednost opterećenja F uticajna površina ispod opterećenja Nejednako podjeljeno opterećenje (trouglasto ili trapezasto): Z q t F q t vrijednost opterećenja u težištu uticajne površine ispod opterećenja F uticajna površina ispod opterećenja Opterećenje spregom: Z tgα vrijednost sprega (momenta) α ugao uticajne linije na mjestu na kome napada spreg. Pošto je uticajna linija za reakciju proste grede prava linija, to znači da veličina reakcije od sprega ostaje konstantna ma gdje se nalazio spreg. Uticaj je pozitivan, ako i spreg i nacrtana uticajna linija (bilo koja uticajna linija) okreću u istom smjeru, a negativan ako su im smjerovi okretanja različiti. Granične vrijednosti uticaja U zavisnosti od sistema uticajne linije mogu biti istog i različitog predznaka. Ako su uticajne površine različitog predznaka, mjesto na uticajnoj liniji gdje se mijenja predznak zove se nulta tačka. U zavisnosti od položaja opterećenja na nosaču, integracija uticajne linije se vrši tako da se opterećenje množi sa predznakom koji ima uticajna površina.
17 GERBEROVE GREDE Greda koja ima n oslonaca od kojih je jedan nepokretan, a ostali pokretni i koji su poredani u jednom pravcu međusobno povezani štapovima zove se kontinuirana greda. Svaka kontinuirana greda je n-3 puta statički neodređena, zbog toga što ima viška reakcija u odnosu na tri uslova ravnoteže. Umetanjem n-3 broja zglobova kod kojih je 0, na kontinuirane grede, dobivaju se statički određeni nosači koji se zovu Gerberove grede, po njemačkom inženjeru Heinrich-u Gerber-u (83.-9.). Slika : Šeme umetanja zglobova Prema načinu postavljanja zglobova Gerberove grede se koriste u mostogradnji (b), (c) ili kod projektovanja rožnjača (d). Pod (e) je još jedan mogući slučaj Gerberove grede. Prilikom umetanja zglobova potrebno je poznavati sljedeća pravila: ) u jednom polju ne mogu se umetnuti više od dva zgloba, ) u krajnjem polju ne smije postojati više od jednog zgloba i to ne računajući oslonački zglob, 3) ako u jednom polju postoje dva zgloba, u susjednim poljima smije biti umetnut jedan ili nijedan, 4) ako u krajnjem polju postoji jedan zglob, onda u sljedećem polju može biti umetnut samo jedan, 5) između dva zgloba mogu biti najviše dva oslonca. Poštujući pravila umetanja zglobova dobija se niz prostih greda i greda sa propustima. Na slici može se vidjeti način rastavljanja nosača u zglobovima i na taj način dobija se šema rastavljanja nosača. Dijelovi grede koji imaju dva stvarna oslonca, odnosno oni dijelovi koji se mogu proračunati sami za sebe zovemo primarnim nosačima, a dijelovi nosača koji imaju jedan stvarni i jedan oslonac dobiven rastavljanjem nosača u zglobu ili dva oslonca dobivena rastavljanjem nosača u dva susjedna zgloba zovemo sekundarnim nosačima. Primarni dijelovi nosača idu dolje, a sekundarni gore. Prilikom rastavljanja nosača u zglobovima pojavljuju se dvije reakcije, vertikalna i horizontalna. U slučaju da na cijelom nosaču ne postoji horizontalno vanjsko optrećenje, onda će i horizontalne reakcije u zglobovima biti jednake nuli, u protivnom horizontalna reakcija će se pojaviti na mjestima gdje postoji vanjsko horizontalno opterećenje.
18 Slika : Način rastavljanja Gerberovih greda u zglobovima DEFINISANJE JESA ZGLOBOVA Kod određivanja mjesta zglobova pored već spomenutih pravila umetanja, moramo paziti i na tačnu udaljenost zgloba od oslonca. Da bi definisali tu udaljenost u razmatranje će biti uzeta jedna rožnjača nekog hangara kod koje su sve dužine među osloncima jednake, a maksimalni i ql minimalni momenti savijanja su isti i to za slučaj stalnog opterećenja-kontinuirano 6 opterećenje (snijeg, vlastita težina). Da bi postavili zglob na gredi, onda treba paziti gdje je momenat savijanja jednak nuli i jedino je tu moguće postaviti zglob, te je to mjesto najekonomičnije mjesto za položaj zgloba na nosaču. Slika 3: Upoređenje dijagrama momenata savijanja proste grede i Gerberove grede Najekonomičnija mjesta na nosaču su mjesta gdje se mijenja predznak momenta savijanja, a što se može vidjeti na slici 3. Prvo se nacrta dijagram momenata savijanja za svaki štap Gerberove grede posebno, kao za prostu gredu za pozitivnu površinu. Potom se ucrtaju svi negativni
19 momenti sa iste strane nosača, gdje su ucrtani pozitivni momenti, te se na mjestima presjecanja mogu postaviti zglobovi. omenat savijanja u gredi u nekom presjeku na udaljenosti je: ( ) ql q ql 6 jesto postavljanja zgloba je mjesto gdje je momenat savijanja jednak nuli: ( ) l l 8 Odakle dobivamo sljedeće udaljenosti za slučaj postavljanja zgobova u srednjim poljima nosača: 0,464 l 0,8536 l 0 Slika 4: jesta postavljanja zglobova za srednja polja nosača Ako imamo slučaj postavljanja zgloba u krajnja polja nosača, onda imamo sljedeće udaljenosti koje se mogu vidjeti na slici 5: Slika 5: jesta postavljanja zglobova za krajnja polja nosača Da bi proračunali maksimalni momenat savijanja radi dimenzionisanja poprečnog presjeka nosača potrebno je prvo proračunati reakcije: ql ql 9 FV + ql 6 l 6 ql ql 7 HV ql 6 l 6 Od desnog oslonca na udaljenosti ' u jednom presjeku momenat savijanja dobija se izraz:
20 ( ' ) 7 6 q ' q l ' Pošto je mjesto gdje se nalazi zglob i moment savijanja je jednak nuli, onda se dobiva: 7 ( ' ) 0 ' l 0, 875 l 8 Vrijednost maksimalnog momenta savijanja kao što se može vidjeti na slici 5 je: ma. E V q 7 q l 6 q,53 6 q l Ako na ovaj način odredimo mjesta zglobova dobiće se najekonomičniji sistem, jer će se u ovom slučaju moći koristiti najmanji mogući presjeci dobiveni proračunom. UICAJNE LINIJE KOD GERBEROVIH GREDA Određivanje uticajnih linija kod Gerberovih greda može se uraditi analitičkim kinematičkim i grafičkim načinom. Da bi mogli odrediti uticajne linije, bilo kojim načinom, moraju se poštovati sljedeća pravila: ) definisati kretanje jedinične sile po nosaču, ) nacrtati šemu rastavljanja nosača, 3) odrediti uticajne linije za dijelove nosača na kojima se nalazi presjek, bili oni primarni ili sekundarni, 4) produžiti uticajne linije kroz oslonce do zglobova gdje se lome i do kraja nosača, 5) vrijednost uticajnih linija za momente, transverzalne i normalne sile je jednaka nuli u osloncima, dok u zgloovima postoje vrijednosti, jer se u zglobovima uticajne linije lome, 6) vrijednost uticajnih linija za traženu reakciju je jednaka,0, a u ostalim osloncima je jednaka nuli, dok u zlobovima postoje vrijednosti, 7) uticajna linija se završava ukoliko je (slika 6): a. kraj grede, b. ako su dva oslonca u polju, c. ako se presjek nalazi na sekundarnom nosaču, koji je prosta greda, te zbog toga se uticajna linija ne može produžiti do zgloba ili kroz susjedni oslonac,
21 Slika 6: Uticajne linije za razne presjeke kod Gerberovih greda
22 U slučaju da je indirektno opterećenje od jedinične sile za potrebne presjeku poštuju se gore navedena pravila i dobijaju se uticajne linije koje se mogu vidjeti na slici 7. Slika 7: Uticajne linije za presjeke i za indirektno opterećenje jedinične sile
23 PRORAČUN UNURAŠNJIH SILA eorema Dosadašnji način proračuna unutrašnjih sila je baziran na teoremi. eorema Ova teorema je bazirana na proračunu unutrašnjih sila koje se nalaze između dva već proračunata presjeka na krajevima opterećenja. Ako su nam poznati momenti savijanja n- i n u presjecima na nosaču n- i n kao što je dato na slici. Slika Vrijednost momenta savijanja na udaljenosti od presjeka n- iznosi: + m n + n m je ovdje vrijednost momenta savijanja između presjeka n- i presjeka. Ako u gornju jednačinu unesemo l onda je: l + m n n + n n a ako gornju jednačinu pomnožimo sa /l dobivamo: l n + n mn + m l l l Na ovaj način se može proračunati vrijednost parabole između dva krajnja presjeka kao što se može vidjeti na Slici.
24 Slika Ako su predzanci momenata savijanja jednaki onda se sabiraju, dok se u suprotnom slučaju oduzimaju, kao što se može vidjeti na slici 3. Slika 3 Da bi se odredio maksimalni momenat savijanja, prvo se mora odrediti mjesto, gdje je vrijednost transverzalnih sila jednaka nuli, kao što se može vidjeti na slici 4. 4 Slika
25 Ako je 0, 0 0 l, dobiva se UNIVERZIE «DŽEAL BIJEDIĆ» U OSARU ma. 0 ( ) q( ) + n d n 0 0 n q ( ) ( ) U slučaju da je opterećenje između presjeka n- i n ravnomjerno kontinuirano (slika 5), onda je: 0 d Slika 5 ( ) q n Za 0 0 n q,0 l ma. n + n 0 0 q Ako u gornju jednačinu uvrstimo vrijednost 0 onda je vrijednost maksimalnog momenta savijanja: ma. n n + q
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA TEORIJA KONSTRUKCIJA 1 SKRIPTA
UNIERZIE DžEL BIJEDIĆ U OSRU GRĐEINSKI FKULE iši asistent mr. sc. Rašid adžović, dipl.inž.građ. ZBIRK RIJEŠENI ZDK ostar, 006. UNIERZIE DžEL BIJEDIĆ U OSRU GRĐEINSKI FKULE iši asistent mr. sc. Rašid adžović,
Διαβάστε περισσότεραISPIT GRUPA A - RJEŠENJA
Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,
Διαβάστε περισσότεραPROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje
Διαβάστε περισσότεραDimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.
Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραOsnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje
Osnovne vrste napreanja: ksijalno napreanje Smicanje Uvijanje Savijanje Ivijanje 1 SVIJNJE GREDE SI Greda je opterećena na desnom kraju silom paralelno jednoj od glavnih centralnih osa inercije (y osi).
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραSILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA
SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA DEFINICIJE SIA U PRESECIMA Projektovanje bilo kog konstruktivnog elemenata podrazumeva određivanje unutrašnjih sila u tom elementu da bi se obezbedilo da materijal od koga
Διαβάστε περισσότερα, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.
J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e
Διαβάστε περισσότεραGRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU Modul za konstrukcije PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 NOVI NASTAVNI PLAN
GRAĐEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU pismeni ispit Modul za konstrukcije 16.06.009. NOVI NASTAVNI PLAN p 1 8 /m p 1 8 /m 1-1 POS 3 POS S1 40/d? POS 1 d p 16 cm 0/60 d? p 8 /m POS 5 POS d p 16 cm 0/60 3.0 m
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραTEHNIČKA MEHANIKA I 9. PREDAVANJE SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA. Str knjiga Poglavlje 12 Unutrašnje sile
5.5.2016 1 TEHNIČKA MEHANIKA I 9. PREDAVANJE SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA Str 267-290 knjiga Poglavlje 12 Unutrašnje sile 5.5.2016 2 ŠTA ĆEMO NAUČITI U OVOM POGLAVLJU? Određivanje unutrašnjih sila u presecima
Διαβάστε περισσότεραDijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIzvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole
Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότερα30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca
. Za zadati nosač odrediti: a) Statičke uticaje (, i T) a=.50 m b) Dimenzionisati nosač u kritičnom preseku i proveriti normalne, smičuće i uporedne napone F=00 k F=50 k q=30 k/m a a a a Kvalitet čelika:
Διαβάστε περισσότεραSavijanje statički neodređeni nosači
Savijanje statički neodređeni nosači Statička neodređenost nosača Uslovi neprekidnosti elastične linije Prva jednačina savijanja Normalni napon u nekoj tački poprečnog preseka s M moment sprega s z M I
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A
Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραZadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače
Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραRad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
Διαβάστε περισσότερα20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm
MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike
Διαβάστε περισσότεραZnačenje indeksa. Konvencija o predznaku napona
* Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac
Διαβάστε περισσότεραII. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA
II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα5.2 GRAFOSTATIKA. Prosta greda. Greda sa prepustima
5.2 GRAFOSTATIKA Nosačem se naziva kruto telo koje prenosi opterećenje koje mu saopštavaju tela koja su sa njim u kontaktu. Nosači nogu biti: - ravni ( ako osa nosača i opterećenja leže u jednoj ravni)
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραAksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak.
* Aksijalno napregnuti elementi su elementi izloženi samo na zatezanje ili pritisak. JM Gere, BJ Goodno, Mechanics of Materials,, Cengage g Learning, Seventh Edition, 2009. *RC Hibbeler, Mechanics of Materials,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραPRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
Διαβάστε περισσότεραDimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραUZDUŽNA DINAMIKA VOZILA
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραBETONSKE KONSTRUKCIJE 2
BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja
Διαβάστε περισσότεραDIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραSistem sučeljnih sila
Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu
Διαβάστε περισσότεραGeometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραKonvencija o znacima za opterećenja grede
Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότεραl = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.
. U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =
Διαβάστε περισσότεραMasa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I
4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta
Διαβάστε περισσότερα5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I
5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα