Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή σε Mathematica

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή σε Mathematica"

Transcript

1 Σελίδα 1 από 37 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή σε Mathematica 1.1 Πότε δηµιουργήθηκε το Mathematica ; Αριθµητικοί υπολογισµοί Τελεστές Εκφράσεις στo Mathematica Ποιοι είναι οι τύποι αριθµών που υποστηρίζει το Mathematica ; Προσεγγιστικοί υπολογισµοί Ποια είναι τα δεδοµένα που χειρίζεται ένα πρόγραµµα και σε ποιες κατηγορίες χωρίζονται; Συναρτήσεις Σύνθετοι αριθµητικοί υπολογισµοί Συµβολικοί υπολογισµοί Γραφικές παραστάσεις Προγραµµατισµός ιαδικασιακός προγραµµατισµός (procedural programming) Συναρτησιακός προγραµµατισµός (functional programming) Κανονοκεντρικός προγραµµατισµός (rule-based programming) Σύνοψη Απαντήσεις στις δραστηριότητες 35 Στο κεφάλαιο αυτό θα δώσουµε µια συνοπτική αναφορά στις δυνατότητες του Mathematica στους αριθµητικούς υπολογισµούς, στους συµβολικούς υπολογισµούς, στις γραφικές παραστάσεις και στα είδη προγραµµατισµού που υποστηρίζει. Στα επιµέρους κεφάλαια της «Γραµµικής Άλγεβρας» και του «Λογισµού µιας Μεταβλητής» θα µελετήσουµε επιµέρους δυνατότητες του πακέτου.

2 Σελίδα 2 από Πότε δηµιουργήθηκε το Mathematica ; Ο Stephen Wolfram είναι ο επιστήµονας ο δηµιουργός του Mathematica. O Wolfram γεννήθηκε το 1959 στο Λονδίνο, και πήρε το διδακτορικό του στην Θεωρητική Φυσική από το πανεπιστήµιο του Caltech σε ηλικία 20 χρονών. Ο Wolfram γρήγορα έγινε ένας από τους πρωταγωνιστές στον νέο ραγδαία αναπτυσσόµενο κλάδο των επιστηµονικών υπολογισµών. Το 1979 δηµιούργησε το SMP το πρώτο µοντέρνο υπολογιστικό σύστηµα άλγεβρας το οποίο κυκλοφόρησε εµπορικά το Το κύριο ερευνητικό του ενδιαφέρον αφορούσε τις αρχές που διέπουν την πολυπλοκότητα που συναντάµε στην φύση. Το 1986 και έπειτα από µια επιτυχή ακαδηµαϊκή καριέρα ο Wolfram, ίδρυσε την εταιρεία Wolfram η οποία διέθεσε εµπορικά την πρώτη έκδοση του Mathematica στις 23 Ιουνίου του 1988, η οποία σηµείωσε σηµαντική επιτυχία και καθιέρωσε την εταιρεία Wolfram ως µια από τις πρώτες εταιρείες σε παγκόσµια κατάταξη στην παραγωγή software. Το 1991, κυκλοφόρησε η 2 η έκδοση του Mathematica, ενώ ακολούθησαν οι εκδόσεις 3, 4 και 5 τις χρονιές 1996, 1999 και 2003 αντίστοιχα. Σήµερα υπάρχουν περίπου χρήστες του Mathematica παγκοσµίως, οι οποίοι ανήκουν σε κλάδους όπου τα µαθηµατικά είναι ένα απαραίτητο εργαλείο όπως µαθηµατικοί, µηχανολόγοι, οικονοµολόγοι και άλλες επιστήµες. 1.2 Αριθµητικοί υπολογισµοί Τελεστές Οι τελεστές είναι σύµβολα που δηλώνουν πράξεις µεταξύ τελεστών, δηλαδή αριθµών, αλυσίδων χαρακτήρων κ.λ.π.. Υπάρχουν 4 κατηγορίες τελεστών : αριθµητικοί, χαρακτήρων, σύγκρισης και λογικοί Τελεστές αριθµητικοί Χρησιµοποιούνται για πράξεις µεταξύ αριθµών. Τελεστής Συνάρτηση Λειτουργία Σύνταξη + Plus[] Πρόσθεση x+y Plus[x,y] Minus[] Αφαίρεση x-y Minus[x,y] * Times[] Πολλαπλασιασµός x*y Times[x,y] / ιαίρεση x/y Times[x,Power[y,-1] ^ Power[] ύναµη (Ctrl+6) x^y Power[x,y] Συνεπώς παρατηρούµε από τον παραπάνω πίνακα αλλά και τους πίνακες των λογικών τελεστών και των τελεστών σύγκρισης που θα πούµε παρακάτω ότι κάθε έκφραση στο Mathematica µπορεί να γραφεί µε την µορφή συνάρτησης. Την µορφή αυτή της συνάρτησης µπορούµε να την αναπαραστήσουµε µε την εντολή FullForm ενώ την

3 Σελίδα 3 από 37 κεφαλή της έκφρασης µπορείς να την δεις µε την συνάρτηση Head. Η εκτέλεση κάθε εντολής γίνεται πατώντας Shift+Enter, ενώ το Enter το χρησιµοποιούµε αν θέλουµε να γράψουµε παραπάνω από µια εντολές στο ίδιο κελί για να τις εκτελέσουµε όλες µαζί στη συνέχεια µε το Shift+Enter. FullForm[έκφραση] Head[έκφραση] Αναπαριστά την έκφραση µε µορφή συνάρτησης Επιστρέφει το πρώτο όνοµα της συνάρτησης που εµφανίζεται µε την FullForm ή διαφορετικά το f στην συνάρτηση f[x,y,..]. Παράδειγµα In[1]:= 3 +4 Out[1]= 7 In[2]:= 78*84 Out[2]= 6552 In[3]:= 2^24 Out[3]= Παρατήρηση. Το σύµβολο του πολλαπλασιασµού (*) µπορεί να αντικατασταθεί και µε τον κενό χαρακτήρα. ραστηριότητα Προσπάθησε να υπολογίσεις τις παρακάτω εκφράσεις : 31 µ H L Τελεστές Σύγκρισης Χρησιµοποιούνται για σύγκριση µεταξύ αριθµών ή αλυσίδων χαρακτήρων. Τελεστής Λειτουργία Σύνταξη == ή Equal[] Ισότητα x==y ή Equal[x,y]!= ή UnEqual[] Ανισότητα x!=y ή UnEqual[x,y] > ή Greater[] Μεγαλύτερο x>y ή Greater[x,y] < ή Less[] Μικρότερο x<y ή Less[x,y] >= ή GreaterEqual[] Μεγαλύτερο ή ίσο x>=y ή GreaterEqual[x,y] <= ή LessEqual[] Μικρότερο ή ίσο x<=y ή LessEqual[x,y] Παράδειγµα In[10]:= 5 ä 5 Out[10]= True

4 Σελίδα 4 από 37 In[11]:= 5 π 6 Out[11]= True Τελεστές Λογικοί Χρησιµοποιούνται για την εκτέλεση λογικών πράξεων. Τελεστής Λειτουργία! ή Not[x] Λογική άρνηση && ή And[x,y] Λογική πρόσθεση ή Or[x,y] ιάζευξη &&! ή Xor[x,y] ή/και Οι πίνακες αληθείας των τελεστών είναι : Παράδειγµα In[12]:= >= 3D Out[12]= False X Y X&&Y X Y!X X&&!Y T T T T F F T F F T F T F T F T T T F F F F T F In[13]:= H4 ä 3L && H3 > 2L Out[13]= False In[14]:= True»» True Out[14]= True In[15]:= H3 > 4L &&! H3 < 5L Out[15]= False ραστηριότητα Προσπάθησε να υπολογίσεις το αποτέλεσµα των λογικών εκφράσεων : α) (1<2) και (4<2) β) (2>5) ή (3>6) Εκφράσεις στo Mathematica Ανεξάρτητες µονάδες, όπως µεταβλητές, σταθερές, συναρτήσεις και τελεστές συνδυάζονται για να κατασκευάσουν εκφράσεις. Μια έκφραση είναι ένας τύπος υπολογισµού µιας τιµής. Οι τελεστές προσδιορίζουν την επεξεργασία που θα υποστούν οι τελεσταίοι. Παράδειγµα x τελεστ έος τελεστ ής τελεστ έος

5 Σελίδα 5 από 37 Ο υπολογισµός της τιµής µιας έκφρασης ακολουθεί την παρακάτω σειρά προτεραιότητας : Τύπος Αριθµητικός Πίνακας Σειρά προτεραιότητας σε πράξεις τελεστών. Τελεστής ^ * / + Σύγκρισης < <= > >= ==!= Λογικοί! && Σειρά προτεραιότητας για τελεστές µε την ίδια προτεραιότητα εξιά προς αριστερά Αριστερά προς τα δεξιά Αριστερά προς τα δεξιά Αριστερά προς τα δεξιά εξιά προς αριστερά Αριστερά προς τα δεξιά Αριστερά προς τα δεξιά Σε µια έκφραση προηγούνται στην εκτέλεση οι πράξεις που είναι µέσα στις παρενθέσεις. Οι εκφράσεις διακρίνονται σε πραγµατικές, ακέραιες κ.λ.π. αν το αποτέλεσµα της τιµής της έκφρασης είναι πραγµατικός αριθµός, ακέραιος αριθµός κ.λ.π. Παράδειγµα Να υπολογιστούν τα αποτελέσµατα των παρακάτω εκφράσεων : 3^2^3 2*(5+1)*3/4^2 (4>3) (3<1)&&(!(3>1)) Απάντηση 1. Η σειρά προτεραιότητας στις δυνάµεις είναι από δεξιά προς τα αριστερά και επο- µένως θα έχουµε : 3^2^3=3^(2^3)=3^8= *(5 + 1)*3/4^2 = 2*6*3/4^2 = 2*6*3/16 = = 12*3/16 = 36 /16 36 Επειδή έχουµε πράξεις µεταξύ ακεραίων το αποτέλεσµα θα είναι ένας ρητός αριθµός. 3. (4 > 3) (3 < 1)&&!(3 > 1) = True False & &(! True) = True False True False = True False & & False = True False = True False True ραστηριότητα Να υπολογίσεις το αποτέλεσµα των παρακάτω εκφράσεων : α) (2>5) και (3>6) ή (4>3)

6 Σελίδα 6 από 37 β) (5+4/2)^2^ Ποιοι είναι οι τύποι αριθµών που υποστηρίζει το Mathematica ; Το Mathematica υποστηρίζει : α) ακέραιους αριθµούς, β) ρητούς αριθµούς, γ) πραγµατικούς αριθµούς και δ) µιγαδικούς αριθµούς. Στα παρακάτω παραδείγµατα φαίνονται οι τρόποι µε τον οποίο χειρίζεται το Mathematica τους διάφορους τύπους αριθµών. Παράδειγµα Παρακάτω βλέπουµε ότι ο αριθµός ¾ θεωρείται από το Mathematica ως Rational µε δύο ορίσµατα : τον αριθµητή 3 και τον παρονοµαστή 4, ενώ σε αντίθεση µε άλλες γλώσσες προγραµµατισµού το Mathematica αναπαριστά τον αριθµό αυτό αλλά και όλους τους ρητούς αριθµούς µε την πλήρη µορφή τους. In[50]:= 3ê 4 Out[50]= 3 4 In[51]:= Out[51]//FullForm= 4D In[52]:= Out[52]= Μπορούµε να ελέγξουµε αν ένας αριθµός είναι ακέραιος ή αν µια έκφραση είναι αριθµός κάνοντας χρήση των συναρτήσεων IntegerQ και NumberQ αντίστοιχα. Παρόµοιες συναρτήσεις µπορεί κάποιος να βρει µε χρήση της βοήθειας (?*Q). In[53]:= 4D Out[53]= False In[54]:= 4D Out[54]= True In[55]:= Out[55]= False Παράδειγµα Έστω ο µιγαδικός αριθµός In[56]:= z= è 3 + I Out[56]= è 3 In[57]:= Out[57]//FullForm= 1D, 1, 2DDDD Το πραγµατικό του µέρος είναι In[58]:= Out[58]= è 3

7 Σελίδα 7 από 37 ενώ το φανταστικό του µέρος είναι In[59]:= Out[59]= 1 Ο συζυγής µιγαδικός αριθµός είναι In[60]:= Out[60]= è 3 Το µέτρο του µιγαδικού αριθµού z είναι In[61]:= Out[61]= 2 και το όρισµα του είναι In[62]:= 5 Out[62]= π 6 και συνεπώς µπορούµε εύκολα να γράψουµε την τριγωνοµετρική µορφή του αριθµού αυτού ως In[63]:= SimplifyA2 JCosA 5Pi 5Pi E + ISinA 6 6 ENE Out[63]= è 3 Η συνάρτηση Simplify[έκφραση] κάνει όλες τις δυνατές απλοποιήσεις που µπορούν να γίνουν στην «έκφραση». Μιγαδικοί αριθµοί µπορούµε να έχουµε ως το αποτέλεσµα της επίλυσης εξισώσεων : In[64]:= (καθαρίζει το περιεχόµενο της µεταβλητής z) In[65]:= 1, zd Out[65]= 88z 1<, 8z <, 8z <, 8z 1<< Παράδειγµα Ας υποθέσουµε ότι µας ζητούν να υπολογίσουµε τις ρίζες της 6 εξίσωσης z + 1= 0 και να τις αναπαραστήσουµε στο µιγαδικό επίπεδο. Οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης µπορούν να υπολογιστούν είτε από την συνάρτηση Solve[] : In[66]:= + 1 0, zdêên Out[66]= 88z <, 8z <, 8z <, 8z <, 8z <, 8z << είτε υπολογίζοντας πρώτα το µέτρο και το όρισµα του µιγαδικού αριθµού : In[67]:= 1D Out[67]= 1 In[68]:= 1D Out[68]= π και εφόσον φέρουµε τον αριθµό στην τριγωνοµετρική του µορφή : In[69]:= +I Out[69]= 1

8 Σελίδα 8 από 37 να κάνουµε χρήση του τύπου του De Moivre για τον υπολογισµό των ριζών In[70]:= Q1 = TableANA è 6 1 npi+ PiLê6D + npi+ PiLê6D ILE, 8n, 0, 5<E Out[70]= ,0.+ 1., , ,0. 1., < Μπορούµε µάλιστα να αναπαραστήσουµε τους αριθµούς αυτούς στο µιγαδικό επίπεδο In[71]:= Q2 = TableANA9 è 6 1 npi+ PiLê6D, è 6 1 n Pi+ PiLê6D=E, 8n, 0, 5<E Out[71]= , 0.5<, 80., 1.<, , 0.5<, , 0.5<, 80., 1.<, , 0.5<< In[72]:= PlotStyle AspectRatio AutomaticD Out[72]= Graphics -1 ενώ αν ενώσουµε τα παραπάνω σηµεία θα δούµε ότι σχηµατίζετε ένα κανονικό εξάγωνο

9 Σελίδα 9 από 37 In[73]:= 0, 0D, AspectRatio AutomaticD Out[73]= Graphics Προσεγγιστικοί υπολογισµοί Οι πράξεις µεταξύ ακεραίων µας οδηγεί σε ακέραιο ή ρητό αποτέλεσµα. Αν θέλουµε να υπολογίσουµε όµως το αποτέλεσµα ως πραγµατικό αριθµό θα πρέπει να κάνουµε χρήση της συνάρτησης Ν (µε δύο τρόπους). Ν[έκφραση] Ν[έκφραση,p] Επιστρέφει την αριθµητική τιµή της έκφρασης. Επιστρέφει την αριθµητική τιµή της έκφρασης µε προσέγγιση p σηµαντικών ψηφίων. d... d. d... d d... d d... d r r+ 1 p 1 p 1 p p p p Σχήµα Αναπαράσταση των σηµαντικών ψηφίων p, σε αριθµούς κινητής υποδιαστολής ( d p 0 ). Οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής στο Mathematica µπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες : α) τους αριθµούς ακρίβειας µηχανής (machine precision numbers), και β) τους αριθµούς µε µεταβλητή ακρίβεια (arbitrary-precision numbers). Κάνοντας χρήση της δεύτερης κατηγορίας αριθµών µπορούµε να αυξήσουµε την ακρίβεια των αριθµών που αναπαριστούµε στον Η/Υ αλλά και έχουµε την δυνατότητα να εκτελέσουµε πράξεις υψηλής ακρίβειας. Παράδειγµα In[4]:= 3D Out[4]=

10 Σελίδα 10 από 37 ή In[5]:= 1ê3 êê N Out[5]= In[6]:= 100D Out[6]= Το Pi είναι η µαθηµατική σταθερά π. Μπορούµε να υπολογίσουµε την ακρίβεια που χρησιµοποιεί το Mathematica για υπολογισµούς που κάνει µέσω της συνάρτησης Precision. In[7]:= ê2ld Out[7]= In[8]:= Out[8]= 16 Ένας πραγµατικός αριθµός µπορεί να µετασχηµατισθεί στον πλησιέστερο ρητό αριθµό µέσω της συνάρτησης Rationalize. Rationalize[x] Rationalize[x,dx] Παίρνει τον πραγµατικό αριθµό x και τον µετατρέπει στον πλησιέστερο ρητό αριθµό. Παίρνει τον πραγµατικό αριθµό x και τον µετατρέπει στον πλησιέστερο ρητό αριθµό q τέτοιο ώστε x q x. Παράδειγµα Ας προσπαθήσουµε να προσεγγίσουµε το π µε έναν ρητό αριθµό, µε ακρίβεια In[9]:= 0.001D Out[9]= ραστηριότητα α) Προσπάθησε να προσεγγίσεις το 2 µε έναν ρητό αριθµό µε ακρίβεια 10. β) Να υπολογίσεις την σταθερά e µε ακρίβεια 10 σηµαντικών ψηφίων Ποια είναι τα δεδοµένα που χειρίζεται ένα πρόγραµµα και σε ποιες κατηγορίες χωρίζονται; Τα δεδοµένα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες : Σταθερές. Αυτά που έχουν σταθερή τιµή κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του προγράµ- µατος. Οι σταθερές χωρίζονται σε δύο κατηγορίες :

11 Σελίδα 11 από 37 α) στις σταθερές χωρίς όνοµα πρδ. στην έκφραση 3.14*R^2 το 3.14 αποτελεί µια σταθερά χωρίς όνοµα, και β) στις συνηθισµένες αριθµητικές σταθερές για τις οποίες το Mathematica έχει κάποιο συνηθισµένο όνοµα π.χ. για την σταθερά χρησιµοποιεί το όνοµα Pi, για την σταθερά χρησιµοποιεί το όνοµα Ε. Μεταβλητές. Αυτά που η τιµή τους µεταβάλλεται κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του προγράµµατος. Πιο συγκεκριµένα, µε τον όρο µεταβλητή εννοώ µια (ή παραπάνω) θέση η οποία δηµιουργείται στη µνήµη του H/Y, για να δεχτεί ένα συγκεκριµένο τύπο δεδοµένων, και η οποία έχει ένα χαρακτηριστικό όνοµα που πληροί τους κανόνες που θέσαµε παραπάνω Ποιες είναι οι πιο συνηθισµένες συµβολικές µαθηµατικές σταθερές ; Όνοµα σταθεράς Pi (π) In[16]:= 5D Out[16]= Παράδειγµα In[17]:= 2D Ε (εκθετική σταθερά) Degree (ακτίνιο) I (η φανταστική µονάδα) Infinity (άπειρο) ComplexInfinity (άπειρη ποσότητα χωρίς καθορισµένη διεύθυνση) Out[17]= 1 In[18]:= 5D Out[18]= In[19]:= 5D Out[19]= In[20]:= I^2 Out[20]= 1 In[21]:= 1ê Infinity Out[21]= 0 In[22]:= 1ê 0 Power::infy : Infinite expression 1 0 encountered. Out[22]= ComplexInfinity Με ποιο τρόπο τοποθετούµε τιµές σε µεταβλητές ; Ο τελεστής ανάθεσης (=, :=) χρησιµοποιείται για να τοποθετήσουµε το αποτέλεσµα µιας έκφρασης (σταθερά, µεταβλητή ή παράσταση) σε µια µεταβλητή. Η σύνταξή του έχει ως εξής : Μεταβλητή = Έκφραση Set[Μεταβλητή, Έκφραση] Κατά τη διάρκεια εκτέλεσης της παραπάνω εντολής ο Η/Υ υπολογίζει πρώτα το αποτέλεσµα της «έκφρασης» και στη συνέχεια, αυτό που θα βρει, θα το αναθέσει στη «µεταβλητή» που υπάρχει αριστερά του =. Στη συνέχεια του προγράµµατος κάθε φορά που θα βλέπει την «µεταβλητή» θα την αντικαθιστά από την τιµή

12 Σελίδα 12 από 37 «έκφραση». Ισοδύναµη της πρώτης έκφρασης είναι η δεύτερη. Μεταβλητή := Έκφραση SetDelayed[Μεταβλητή, Έκφραση] Η τοποθέτηση της «έκφρασης» στην «µεταβλητή» γίνεται µόνο την στιγµή που καλούµε την συγκεκριµένη «µεταβλητή». Ισοδύναµη της πρώτης έκφρασης είναι η δεύτερη. Το παραπάνω ίσον λοιπόν και στις δύο περιπτώσεις αναφέρεται σε ανάθεση τιµής και όχι σε ισότητα. Το περιεχόµενο της µεταβλητής που υπήρχε πριν την παραπάνω εντολή χάνεται. Παράδειγµα A = 81, 10<D; B:= 81, 10<D; A1 = 85<D B1 = 85<D 810, 10, 10, 10, 10< 82, 1, 6, 9, 1< Η πρώτη εντολή υπολογίζει έναν τυχαίο ακέραιο αριθµό µεταξύ 1 και 10 (τον 10) και τον τοποθετεί στην θέση του Α. Αντίθετα στην δεύτερη εντολή ορίζουµε ότι ο Β θα δεχτεί έναν τυχαίο ακέραιο αριθµό µεταξύ 1 και 10 όταν τον καλέσουµε. Συνεπώς στην τρίτη εντολή επειδή το Α έχει ήδη την τιµή 10, όταν προσπαθούµε να πάρουµε έναν πίνακα µε 5 αριθµούς ίσους µε Α, παίρνει και τους 5 ίσους µε 10. Αντίθετα όταν προσπαθούµε να δηµιουργήσουµε έναν πίνακα µε 5 αριθµούς της µορφής Β, κάθε φορά που καλούµε τον Β για να τον τοποθετήσουµε στον πίνακα, υπολογίζεται η έκφραση που βρίσκεται δεξιά του ίσο στην δεύτερη εντολή και τοποθετείται στον πίνακα Β1. Αυτός είναι και ο λόγος που ο πίνακας B1 διαθέτει διαφορετικές τυχαίες τιµές. Παράδειγµα z= ExpandAHx+ yl 2 E x 2 + 2xy+ y 2 w:= ExpandAHx+ yl 2 E w x 2 + 2xy+ y 2 Παρατηρούµε στο παραπάνω παράδειγµα ότι το z και w έχουν τις ίδιες τιµές. Αν όµως στη συνέχεια θέσουµε όπου x=1+a τότε θα έχουµε x= 1+ a 1+ a z H1+ al H1 + al y + y 2 w 1+ 2a+ a 2 + 2y+ 2ay+ y 2 Η διαφορά αυτή οφείλετε στο γεγονός ότι το z έχει ήδη την τιµή του αναπτύγµατος του ( x + y) δηλαδή x + 2xy + y και απλώς αντικαθιστά το x µε την ισοδύναµη έκφραση του 1+a στο ανάπτυγµα αυτό. Αντίθετα όταν καλέσουµε το w τότε

13 Σελίδα 13 από 37 τοποθετείτε στην έκφραση ( x + y) 2 το x=1+a και στη συνέχεια υπολογίζετε το ανάπτυγµα του ( x y) 2 +. Παράδειγµα A= 1; A= A+ 1 2 Η πρώτη εντολή δηµιουργεί µια θέση στην µνήµη του Η/Υ για το Α και τοποθετεί την τιµή 1. Α 1 Α 2 Η δεύτερη εντολή βρίσκει το αποτέλεσµα δεξιά του (=) που είναι 1+1 (εφόσον η τιµή του Α από την πρώτη εντολή ήταν 1) και το τοποθετεί στην ίδια θέση της µνήµης που είχε ανοίξει στην πρώτη εντολή για να στεγάσει την τιµή του Α. Παρατηρούµε, δηλαδή, ότι οτιδήποτε βρίσκεται στη µεταβλητή που βρίσκεται αριστερά του ίσον, χάνεται και στη θέση της τοποθετείται αυτό που βρίσκεται δεξιά του ίσον. Η εντολή Α=Α+1 µπορεί να αντικατασταθεί µε άλλες εντολές πιο σύντοµες, και µερικές φορές περισσότερο λειτουργικές. Οι εντολές αυτές εξηγούνται στη συνέχεια : a++ a-- ++a --a a+=da a-=da a*=c a/=c Αυξάνει την τιµή του a κατά 1, και επιστρέφει την προηγούµενη τιµή του a Μειώνει την τιµή του a κατά 1, και επιστρέφει την προηγούµενη τιµή του a Αυξάνει την τιµή του a κατά 1, και επιστρέφει την νέα τιµή του a Μειώνει την τιµή του a κατά 1, και επιστρέφει την νέα τιµή του a Αυξάνει την τιµή του a κατά da π.χ. a=a+da, και επιστρέφει την νέα τιµή του a Μειώνει την τιµή του a κατά da π.χ. a=a-da, και επιστρέφει την νέα τιµή του a Πολλαπλασιάζει την τιµή του a µε c και εφόσον τοποθετήσει το αποτέλεσµα στο a π.χ. a=a*c, επιστρέφει την νέα τιµή του a ιαιρεί την τιµή του a µε c και εφόσον τοποθετήσει το αποτέλεσµα στο a π.χ. a=a/c, επιστρέφει την νέα τιµή του a

14 Σελίδα 14 από 37 Παράδειγµα A= 1; A++ 1 A 2 A += 3 5 Μπορούµε να αναθέσουµε την ίδια τιµή σε παραπάνω από µια µεταβλητές χρησιµοποιώντας την εντολή ανάθεσης : Μεταβλητή 1 = Μεταβλητή 2 = = Έκφραση Παράδειγµα x= y= 1 1 x+ y 2 Εάν δεν πρόκειται να χρησιµοποιήσουµε µια µεταβλητή στη συνέχεια του προγράµµατος/notebook είναι καλύτερα να αποδεσµεύσουµε την µεταβλητή αυτή από τον ορισµό που τις είχαµε δώσει προκειµένου να µην επηρεάσει το υπόλοιπο πρόγραµµα/notebook. Η αποδέσµευση αυτή γίνεται µε έναν από τους παρακάτω τρόπους : x=. Αποµακρύνει όποιον ορισµό είχαµε δώσει στo x. Unset[x] Clear[x] Remove[x] Αποµακρύνει τυχόν ορισµούς αλλά και τιµές που είχαµε προσδώσει στo x. Η Clear παρ όλα αυτά δεν αποµακρύνει χαρακτηριστικά που έχουν αποδοθεί στο x ή µηνύµατα που συνοδεύουν το x ή ορισµένες ιδιότητες που του έχουν αποδοθεί. Αν επιπλέον θέλω να αφαιρέσω και τα χαρακτηριστικά αυτά µπορώ να χρησιµοποιήσω την ClearAll στην θέση της Clear. Η Remove αποµακρύνει οριστικά το σύµβολο x έτσι ώστε να µην αναγνωρίζεται πια από το Mathematica. Παράδειγµα A= 81, 2, 3<;?A Global`A

15 Σελίδα 15 από 37 A = 81, 2, 3< A=.?A Global`A Information::notfound : Symbol A not found. Στο παραπάνω παράδειγµα είναι φανερό ότι αν αποµακρύνουµε την τιµή του Α µε την εντολή A=., παρατηρούµε ότι παραµένει η ιδιότητα του A ότι είναι µια global µεταβλητή, σε αντίθεση µε την εντολή Remove[] που αποµακρύνει πλήρως το Α καθώς και τις ιδιότητες που το συνοδεύουν. Στην θέση της µεταβλητής x µπορούµε επιπλέον να χρησιµοποιήσουµε σύµβολα υποκατάστασης (* για κανέναν ή περισσότερους για έναν ή περισσότερους χαρακτήρες εκτός από κεφαλαίους χαρακτήρες) για να δηλώσω ένα µεγαλύτερο σύνολο µεταβλητών π.χ. Clear[ x* ] ώστε να αποµακρύνει τις τιµές από όλες τις µεταβλητές που ξεκινούν από το γράµµα x. Παράδειγµα A1 = 81, 2, 3< 81, 2, 3< A2 = 2 2 "D?A1 Information::notfound : Symbol A1 not found.?a2 Information::notfound : Symbol A2 not found. Παρατηρήσεις 1. Προσέχουµε πολύ κατά την τοποθέτηση των παρενθέσεων/άγκιστρων. Αν δεν είµαστε σίγουροι για το σχεδιασµό των εκφράσεων, τοποθετούµε παρενθέσεις. Ένα κριτήριο που θα µας βοηθήσει στον έλεγχο είναι ότι : Αριστερές Παρενθέσεις = εξιές Παρενθέσεις 2. Ελέγχουµε αν χρησιµοποιούµε για κάθε µεταβλητή το ίδιο όνοµα σε όλα τα µέρη του προγράµµατος. 3. Ελέγχουµε αν οι µεταβλητές που υπάρχουν δεξιά του =, έχουν ήδη πάρει τιµές από πιο µπροστά, διαφορετικά το Mathematica τις χρησιµοποιεί σαν σύµβολα. Επίσης χρησιµοποιούµε το Ν[] ή //Ν όταν θέλουµε να δηλώσουµε ότι δεν θα δουλέψουµε µε συµβολικές εκφράσεις. 4. Ελέγχουµε αν τα ορίσµατα των συναρτήσεων έχουν πάρει σωστές τιµές, π.χ. υπόριζο θετικό, όρισµα λογαρίθµου θετικό κ.ο.κ. 5. Συνηθίζουµε να χρησιµοποιούµε ονόµατα µεταβλητών που έχουν σχέση µε την ποσότητα την οποία παριστούν π.χ. velocity για ταχύτητα, area για εµβαδόν κ.ο.κ. Για να ξεχωρίζουµε τα ονόµατα των µεταβλητών µας από αυτά που χρησιµοποιεί το Mathematica συνηθίζουµε να γράφουµε το πρώτο γράµµα της

16 Σελίδα 16 από 37 µεταβλητής µε πεζούς χαρακτήρες π.χ. velocity αντί Velocity. 6. Όταν µια έκφραση είναι πολύπλοκη, τη σπάµε σε απλούστερες εκφράσεις π.χ. b + z = b b b 2 2 4ac 4ac Z1= B+Sqrt[B^2 4*A*C] Z2= B Sqrt[B^2 4*A*C] Z=Z1/Z2 7. Χρησιµοποιούµε τις ενσωµατωµένες συναρτήσεις του Mathematica όπου είναι δυνατό π.χ. B + Sqrt[ B ^ 2 4 AC]. Με τον τρόπο αυτό παίρνουµε ταχύτερα και καλύτερα αποτελέσµατα όταν έχουµε να λύσουµε αριθµητικά προβλήµατα Συναρτήσεις Πολλές φορές για τον υπολογισµό εκφράσεων χρειαζόµαστε εκτός από τους γνωστούς αριθµητικούς τελεστές και συναρτήσεις όπως το ηµίτονο, ο λογάριθµος κ.λ.π. Το Mathematica υποστηρίζει ένα σύνολο συναρτήσεων για τον υπολογισµό τέτοιων εκφράσεων. Τις πιο στοιχειώδεις συναρτήσεις τις δίνουµε παρακάτω. Αριθµητικές συναρτήσεις Όνοµα Περιγραφή Παράδειγµα Abs[x] Απόλυτη τιµή του x In[23]:= 3.1D Out[23]= 3.1 In[24]:= 4 ID Out[24]= 5 Sqrt[x] Τετραγωνική ρίζα του x In[25]:= Out[25]= 2 In[26]:= 4 ID Out[26]= 2+ Sin[x] Ηµίτονο του x σε ακτίνια In[27]:= Out[27]= 1 In[28]:= ID Out[28]= ArcSin[x] Τόξο ηµιτόνου του x In[29]:= Out[29]= π 2 Cos[x] Συνηµίτονο του x σε ακτίνια In[30]:= Out[30]= 0

17 Σελίδα 17 από 37 Όνοµα Περιγραφή Παράδειγµα ArcCos[x] Τόξο συνηµιτόνου του x In[31]:= Out[31]= π 2 Tan[x] Εφαπτοµένη του x σε ακτίνια In[32]:= Out[32]= ComplexInfinity ArcTan[x] Τόξο εφαπτοµένης του x In[33]:= Out[33]= π 2 Exp[x] e x In[34]:= Out[34]= 1 In[35]:= 2 ID Out[35]= 1+2 Log[x] Φυσικός λογάριθµος του x In[36]:= Out[36]= 2 In[37]:= Out[37]= Log[b, x] Λογάριθµος του x µε βάση το b In[38]:= 10^4D Out[38]= 4 Max[X1, X2,...] Ο µέγιστος των Χ1,Χ2, In[39]:= 5, 2, 9D Out[39]= 9 In[40]:= 3, 8, 1, 2<D Out[40]= 8 Min[X1, X2,...] Ο ελάχιστος των Χ1,Χ2, In[41]:= 5, 2, 9D IntegerPart[x] Ο πραγµατικός αριθµός x χωρίς τα δεκαδικά ψηφία Out[41]= 1 In[42]:= Out[42]= 2 In[43]:= Out[43]= 2 FractionalPart[x] Το δεκαδικό µέρος του αριθµού x In[44]:= Out[44]= 0.6

18 Σελίδα 18 από 37 Round[x] Όνοµα Περιγραφή Παράδειγµα Μετατροπή στον πλησιέστερο ακέραιο In[45]:= Out[45]= 2 In[46]:= Out[46]= 3 Floor[x] Μεγαλύτερος ακέραιος x In[47]:= Out[47]= 2 Mod[x,y] ή x IntegerPart[x/y] *y Ακέραιο υπόλοιπο της διαίρεσης x µε το y In[48]:= 3D Out[48]= 1 In[49]:= 7 3 Out[49]= 1 Παρατηρήσεις. 1. Τα ονόµατα των συναρτήσεων στο Mathematica ξεκινούν πάντα µε κεφαλαίο γράµµα. 2. Τα ορίσµατα των συναρτήσεων δίνονται µέσα σε τετράγωνες αγκύλες []. 3. Εκτός από τα ονόµατα των συναρτήσεων µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και τις παλέτες που διαθέτει το Mathematica π.χ. File->Palettes- >BasicCalculations

19 Σελίδα 19 από 37 Παράδειγµα Να µετατραπούν οι παρακάτω αλγεβρικές εκφράσεις σε µορφή αποδεκτή από το Mathematica α) x + y N β) K( 1+ E) x y γ) B + B 4AC x + y δ) 2A ε) ηµ ( 2χ ) y 1 στ) x + 2 συν ( χ 1) + 1 ln( x) ζ) x 1< y< x+ 1 η) x y Απάντηση α) (Χ+Υ)/(Χ Υ) β) Κ*(1+Ε)^Ν γ) (Χ^2+Υ^2)^(1/3) δ) ( Β+Sqrt[Β^2 4*Α*C)]/(2*A) ε) Sin[2*X]/((Cos[X 1])^2+1) στ) Abs[ X+(Y 1)/Log[X]] ζ) x-1<y<x+1 η) Abs[x]<=y ραστηριότητα Υπολογίστε προσεγγιστικά τις εκφράσεις : 2 π 2 π α) sin + cos 4 4 e β) e π π 1 i 1+ i γ) ( )( ) δ) tan π Σύνθετοι αριθµητικοί υπολογισµοί. Το Mathematica όπως θα δούµε και στα επιµέρους κεφάλαια διαθέτει ένα σύνολο συναρτήσεων που µπορεί να µας βοηθήσει στην επίλυση σύνθετων υπολογιστικών προβληµάτων. Παρακάτω δίνουµε ορισµένα χαρακτηριστικά παραδείγµατα. NSolveAx 2 5 x+ 6 0, xe 88x Ø 2.<, 8x Ø 3.<< Η συνάρτηση NSolve[f(x)==0,x] στο παραπάνω παράδειγµα δίνει µια αριθµητική προσέγγιση των λύσεων της εξίσωσης f(x)=0 ως προς x. Όταν µια εξίσωση δεν µπορεί να λυθεί αλγεβρικά, τότε µπορεί να λυθεί µε προσεγγιστικές µεθόδους µέσω της συνάρτησης FindRoot[f(x)==0,{x,a}] όπου a είναι ένας αριθµός κοντά στην ρίζα

20 Σελίδα 20 από 37 ο οποίος χρησιµοποιείται για την έναρξη της προσεγγιστικής µεθόδου που θα χρησιµοποιηθεί. == x+ Solve::tdep : The equationsappear to involve the variables to be solved for in an essentially non-algebraic way. More == x+ 8x, 1<D 8x Ø < Μπορούµε να υπολογίσουµε ορισµένα ολοκληρώµατα π.χ. NIntegrateAExpAx 2 E, 8x, 0, 1<E Μέσω της συνάρτησης NIntegrate[f(x),{x,a,b}] που υπολογίζει το ορισµένο ολοκλήρωµα της συνάρτησης f(x) στο κλειστό διάστηµα [a,b] µε προσεγγιστικές µεθόδους. Το Mathematica έχει µεγάλη εφαρµογή και στη Θεωρία Αριθµών όπως φαίνεται παρακάτω : 1D 887, 2<, 831, 1<, 871, 1<, 8127, 1<, 8151, 1<, 8337, 1<, , 1<, , 1<, , 1<, , 1<< Η συνάρτηση FactorInteger[] παραγοντοποιεί έναν ακέραιο αριθµό. Ο παραπάνω αριθµός είναι ο : Η συνάρτηση PrimeQ[] ελέγχει αν ένας αριθµός είναι πρώτος ενώ η συνάρτηση Prime[k] εµφανίζει τον k-οστο πρώτο πρώτο αριθµό. 1D True ραστηριότητα Έλεγξε αν ο 2 1 είναι πρώτος αριθµός. Αν όχι 18 παραγοντοποίησε τον. Κάνε το ίδιο για τον 2 1. ραστηριότητα Προσπάθησε να επιλύσεις την δευτεροβάθµια εξίσωση 2 x 5x+ 6= Συµβολικοί υπολογισµοί Το Mathematica µπορεί να χειριστεί µε την ίδια ευκολία που χειρίζεται τους αριθµούς και σύµβολα. Ας υποθέσουµε για παράδειγµα ότι θέλουµε να παραγοντοποιήσουµε την έκφραση x + y. Με την συνάρτηση Factor[] παίρνουµε το επιθυµητό αποτέλεσµα :

21 Σελίδα 21 από 37 + y^39d Hx+ ylhx 2 xy+ y 2 L Hx 12 x 11 y + x 10 y 2 x 9 y 3 + x 8 y 4 x 7 y 5 + x 6 y 6 x 5 y 7 + x 4 y 8 x 3 y 9 + x 2 y 10 xy 11 + y 12 L Hx 24 + x 23 y x 21 y 3 x 20 y 4 + x 18 y 6 + x 17 y 7 x 15 y 9 x 14 y 10 + x 12 y 12 x 10 y 14 x 9 y 15 + x 7 y 17 + x 6 y 18 x 4 y 20 x 3 y 21 + xy 23 + y 24 L Αν πάλι θέλουµε να κάνουµε όλες τις δυνατές απλοποιήσεις στο παραπάνω αποτέλεσµα θα εφαρµόσουµε την συνάρτηση Simplify[] στο προηγούµενο αποτέλεσµα (%) και θα έχουµε : x 39 + y 39 Αν πάλι θέλουµε το ανάπτυγµα της πιο προηγούµενης έκφρασης θα εφαρµόσουµε την συνάρτηση Expand[] στο πιο προηγούµενο αποτέλεσµα (%%) και θα έχουµε : x 39 + y 39 ραστηριότητα Προσπάθησε να απλοποιήσεις την έκφραση : ( 2 ) + ( 2 ) 3 3 x x y y x y Το Mathematica µπορεί να µας βοηθήσει στην ακριβή επίλυση εξισώσεων : 5 x+ a 0, xd ::x 1 è!!!!!!!!!!!!!! I5 25 4aM>, :x 1 è!!!!!!!!!!!!!! I aM>> 2 2 Η Solve[f(x)==0,x] επιλύει την εξίσωση f(x)=0 ως προς x. Η συνάρτηση Reduce[f(x)==0,x] µάλιστα κάνει και διερεύνηση της εξίσωσης για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου : x+ b 0, xd b 0&&a 0»» a 0&&x b a Οι παραπάνω συναρτήσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν και για την επίλυση συστήµατος εξισώσεων όπως παρακάτω : x1 x2 + 2 x3 + x4 2, 2 x1 + x2 3 x3 5 x4 4, x1 x2 + x3 +6 x4 0, 2 x1 +3 x2+ 5 x3 7 x4 1<, 8x1, x2, x3, x4<d ::x1 51 2,x2 11 3,x3 73 6,x >>

22 Σελίδα 22 από 37 Η σύνταξη τους στην περίπτωση αυτή είναι Solve[{f1(x1,x2, )==0,f2(x1,x2,..)==0, },{x1,x2, }] και Reduce[{f1(x1,x2, )==0,f2(x1,x2,..)==0, },{x1,x2, }] αντίστοιχα. x1+ x2 x3 +x5 1, x1 x2 +2 x3 x4 + x5 == 2, 2 x1 +2 x2 3 x3 + 3 x4 + x5 0, x1+ x2 3 x4 + 2 x5 3<, 8x1, x2, x3, x4, x5<d Solve ::svars : Equations may not give solutions for all "solve " variables. More ::x1 9 7x5 x2 2 2,x x5 2,x4 1 2 x5 2 >> Στο Mathematica µπορούµε να ορίσουµε πίνακες όπως παρακάτω που να περιέχουν αριθµούς αλλά και σύµβολα µαζί : A = 8 81, 1, 1<, 8a, b, c<, 8a^2, b^2, c^2<< i y a b c j k a 2 b 2 c 2 z { Προκειµένου να έχουµε την παραπάνω µορφή του πίνακα στην απάντηση θα πρέπει να έχουµε επιλέξει από το µενού Cell->DefaultOutputFormatType->TraditionalForm. Στη συνέχεια µπορούµε να υπολογίσουµε την ορίζουσα του πίνακα Α π.χ. -ba 2 + ca 2 + b 2 a - c 2 a + bc 2 - b 2 c καθώς και να παραγοντοποιήσουµε το προηγούµενο αποτέλεσµα π.χ. -Ha - blha - clhb -cl Μπορούµε να υπολογίσουµε τον αντίστροφο του πίνακα Α π.χ. bc b+c i - j k Ha-bLHa-cL ac b 2 -ab-cb+a c ab Ha-cLHb-cL - Ha-bLHa-cL a+c Ha-bLHb-cL a+b Ha-cLHb-cL 1 Ha-bLHa-cL 1 Hb-aLHb-cL 1 Ha-cLHb-cL y z { Η συνάρτηση Inverse[A] υπολογίζει τον αντίστροφο πίνακα του Α, ενώ το σύµβολο // σηµαίνει ότι εφαρµόζουµε την συνάρτηση που υπάρχει δεξιά του // στο αποτέλεσµα που υπολογίσαµε. Αν a=2, b=2, c=3 τότε οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α είναι αντίστοιχα :

23 Σελίδα 23 από 37 a= 2; b = 2; c = 3; 811, 1, 0< i y j z k { ή και τα δύο µαζί : J 83, 8, 22< 8-1, -1, 1< 8-1, 1, 0< N Το Mathematica µπορεί να χρησιµοποιηθεί στον υπολογισµό παραγώγων 1 ης, 2 ης κ.ο.κ τάξης µέσω της συνάρτησης D[f(x),{x,τάξη}] ή µέσω της D[f(x),x] αν η τάξη είναι 1 π.χ. DAx 2 5 x+ 2 x- 6 Hx - 1L 2-5 DAx 2 5 x Hx - 1L 3 DAx 2 5 x Hx- 1L 4 6 x 1,xE 6, 8x, 2<E x 1 6, 8x, 3<E x 1 Παρόµοια µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό αόριστων ολοκληρωµάτων : x 1 IntegrateA x 2 5 x+ 6,xE 2logHx- 3L -loghx - 2L IntegrateAIx 2 + 1M x Ix 2-2 x +3M Συµβολικά µπορούµε να λύσουµε απλές διαφορικές εξισώσεις όπως παρακάτω == xd ::yhxl Ø J1-"#### 2 N x c 1 + J1+"#### 2 N x c 2 >> ή συστήµατα διαφορικών εξισώσεων : == z == xd ::zhxl Ø 1 2 -x I1 + 2 x M c x I-1+ 2 x M c 2, yhxl Ø 1 2 -x I1 + 2 x M c x I x M c 1 >>

24 Σελίδα 24 από Γραφικές παραστάσεις Το Mathematica σου δίνει την δυνατότητα να δηµιουργείς την γραφική παράσταση µιας συνάρτησης : 8x, 1, 1<D ή και παραπάνω από µια συναρτήσεων µαζί x^2d, x^2d<, 8x, 1, 1<D Περισσότερες πληροφορίες για τα ορίσµατα της παραπάνω συνάρτησης µπορείς να πάρεις γράφοντας?plot 8x, xmin, xmax<d generates a plot of f as a function of x from xmin to xmax. f2,... <, 8x, xmin, xmax<d plots several functions fi. More ή?? Plot 8x, xmin, xmax<d generates a plot of f as a function of x from xmin to xmax. f2,... <, 8x, xmin, xmax<d plots several functions fi. More

25 Σελίδα 25 από 37 = 8HoldAll, Protected< = 9AspectRatio 1,Axes Automatic, AxesLabel None, GoldenRatio AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic, Background Automatic, ColorOutput Automatic, Compiled True, DefaultColor Automatic, DefaultFont $DefaultFont, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog 8<, FormatType $FormatType, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines None, ImageSize Automatic, MaxBend 10., PlotDivision 30., PlotLabel None, PlotPoints 25, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, Prolog 8<, RotateLabel True, TextStyle $TextStyle, Ticks Automatic= Συνεπώς µπορούµε να αλλάξουµε το AspectRatio από 1/φ σε Automatic και να έχουµε x^2d, x^2d<, 8x, 1, 1<, AspectRatio AutomaticD Μπορούµε και να δηµιουργήσουµε ένα σύνολο σηµείων (ή να καλέσουµε ένα σύνολο σηµείων από ένα αρχείο) 8i, 1, 20<D

26 Σελίδα 26 από 37 i 1 2 y j z k { και να σχεδιάσουµε την γραφική παράσταση των σηµείων αυτών ?ListPlot y2,... <D plots a list of values. The x coordinates for each point are taken to be 1, 2,.... y1<, 8x2, y2<,... <D plots a list of values with specified x and y coordinates. More Μπορούµε να σχεδιάσουµε και γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων δύο µεταβλητών + y^2, 8x, 1, 1<, 8y, 1, 1<D

27 Σελίδα 27 από ?Plot3D 8x, xmin, xmax<, 8y, ymin, ymax<d generates a three dimensional plot of f as a function of x and y. s<, 8x, xmin, xmax<, 8y, ymin, ymax<d generates a three dimensional plot in which the height of the surface is specified by f, and the shading is specified by s. More Επίσης µπορούµε να δώσουµε κίνηση στα γραφικά µας. << Graphics`Animation` 8x, 0, 2 Pi<, Axes FalseD, 8n, 1, 6, 1<D 0.5 1

28 Σελίδα 28 από 37? Animate iterator, options...d uses the iterator to run the specified graphics command, and animates the results. More Αρκεί να κάνεις διπλό κλίκ σε κάποια από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις.

29 Σελίδα 29 από Προγραµµατισµός Το Mathematica διαθέτει µια υψηλού επιπέδου γλώσσα προγραµµατισµού η οποία µας δίνει την δυνατότητα να δηµιουργούµε τις δικές µας συναρτήσεις επεκτείνοντας µε τον τρόπο αυτό τις δυνατότητες της γλώσσας αυτής. H γλώσσα προγραµµατισµού του Mathematica εκτός από την δυνατότητα να διαχειρίζεται σύµβολα και νούµερα, διαθέτει επίσης και τρεις διαφορετικές µεθοδολογίες προγραµµατισµού : τον διαδικασιακό προγραµµατισµό (procedural programming), τον συναρτησιακό προγραµµατισµό (functional programming), και τον κανονοκεντρικό προγραµµατισµό (rule-based programming) ιαδικασιακός προγραµµατισµός (procedural programming) Η µεθοδολογία του διαδικασιακού προγραµµατισµού, µέσω γνωστών γλωσσών διαδικασιακού προγραµµατισµού, είναι αυτή που διδάσκεται συνήθως πρώτα σε σχολεία αλλά και Πανεπιστήµια. Γλώσσες διαδικασιακού προγραµµατισµού είναι η C++, η Fortran 90/95, η Pascal κ.λ.π.. Στον διαδικασιακό προγραµµατισµό πρέπει εµείς να περιγράψουµε, µε την µορφή εντολών, τα βήµατα που θα πρέπει να ακολουθήσει ο υπολογιστής για να επιλύσει ένα πρόβληµα. Ένα τυπικό παράδειγµα διαδικασιακού προγραµµατισµού είδαµε προηγουµένως αλλά και στην ενότητα 1.1. Στον διαδικασιακό προγραµµατισµό οι µεταβλητές δεν θεωρούνται πλέον συναρτήσεις αλλά θέσεις της µνήµης του Η/Υ οι οποίες µπορούν να αλλάξουν τιµή. Οι συνθήκες συνήθως πετυχαίνονται µε εντολές όπως η If, Which, Switch ενώ οι επαναλήψεις µε εντολές όπως οι While, For, Do. Στον διαδικασιακό προγραµµατισµό συνήθως διαχωρίζουµε το πρόβληµα µας σε επιµέρους ανεξάρτητα προβλήµατα (διαδικασίες, γνωστές σε διάφορες γλώσσες προγραµµατισµού και ως functions, procedures, subroutines) τα οποία αρχικά επιλύουµε και ελέγχουµε για την ορθότητα τους και στη συνέχεια τα συνθέτουµε ώστε να πάρουµε την επίλυση του αρχικού µας προβλήµατος, µια µέθοδος γνωστή ως σχεδίαση από πάνω προς τα κάτω (top-down design). Εναλλακτικές µεθόδους σχεδίασης µπορεί να βρει ο ενδιαφέρων αναγνώστης στο βιβλίο (Α. Καµέας, 2000, Εισαγωγή στη Πληροφορική : Τεχνικές Προγραµµατισµού, Τόµος Β, ΕΑΠ). Παρόλο που η χρήση του διαδικαστικού προγραµµατισµού είναι δελεαστική για τους γνώστες αυτής της τεχνικής λόγω εµπειρίας από άλλες διαδικαστικές γλώσσες προγραµµατισµού, θα θέλαµε να επισηµάνουµε ότι συνήθως οδηγεί σε πολύπλοκες µεθοδολογίες επίλυσης µε αρνητικές συνέπειες στον χρόνο εκτέλεσης των προγραµµάτων σε σχέση µε την µεθοδολογία του συναρτησιακού προγραµµατισµού. Παράδειγµα Στο παρακάτω πρόγραµµα χρησιµοποιούµε την µεθοδολογία του διαδικασιακού προγραµµατισµού για τον υπολογισµό της αναδροµικής ακολουθίας για n= : 1 2 an = an 1 +, a0 = 1 2 an 1 t= 1.0; H1ê2L Ht+2êtL, <D; t

30 Σελίδα 30 από 37 Η εντολή Do είναι εντολή επανάληψης και η σύνταξη της δίνεται παρακάτω :?Do 8imax<D evaluates expr imax times. 8i, imax<d evaluates expr with the variable i successively taking on the values 1 through imax Hin steps of 1L. 8i, imin, imax<d starts with i = imin. 8i, imin, imax, di<d uses steps di. 8i, imin, imax<, 8j, jmin, jmax<,... D evaluates expr looping over different values of j, etc. for each i. More Άλλες εντολές επανάληψης είναι οι While και For? While bodyd evaluates test, then body, repetitively, until test first fails to give True. More s= 0; i= 1; 1001, Hs= s+i; i = i+2ld; s?for test, incr, bodyd executes start, then repeatedly evaluates body and incr until test fails to give True. More 1, i 3, ++i, Εντολές συνθήκης που χρησιµοποιούµε είναι οι If, Which και Switch?If t, fd gives t if condition evaluates to True, and f if it evaluates to False. t, f, ud gives u if condition evaluates to neither True nor False. More := IfAx> 0, x 2 3, x 2 + 3E -2 1D 4? Which value1, test2, value2,... D evaluates each of the testi in turn, returning the value of the valuei corresponding to the first one that yields True. More 3, 1, 1 > 4, 2, 2 2, 3D 3?Switch form1, value1, form2, value2,... D evaluates expr, then compares it with each of the formi in turn, evaluating and returning the valuei corresponding to the first match found. More

31 Σελίδα 31 από 37 := Plus, x, Times, x^2, List, bd a 2 b 2 Για την ανάθεση τιµών σε µεταβλητές εκτός από τον τελεστή ανάθεσης (=) χρησιµοποιούµε και την συνάρτηση Input[]?Input D interactively reads in one Mathematica expression. requests input, using the specified string as a prompt. More a= Συναρτησιακός προγραµµατισµός (functional programming) Το επίκεντρο του συναρτησιακού προγραµµατισµού είναι ο υπολογισµός εκφράσεων και όχι η εκτέλεση εντολών (ανάθεση τιµών σε µεταβλητές όπως στον διαδικασιακό προγραµµατισµό). Οι εκφράσεις στην γλώσσα του συναρτησιακού προγραµµατισµού δηµιουργούνται µε την χρήση συναρτήσεων οι οποίες δέχονται ως ορίσµατα απλές τιµές ή άλλες συναρτήσεις. Στον συναρτησιακό προγραµµατισµό από την στιγµή που µια µεταβλητή δεχθεί µια τιµή, δεν µπορεί να θεωρηθεί ως µεταβλητή η οποία δέχεται αλλαγές, αλλά αντίθετα θεωρείται ως µια συνάρτηση που έχει καθορισµένη τιµή στο υπόλοιπο πρόγραµµα. Οι επαναλήψεις στον συναρτησιακό προγραµµατισµό πραγµατοποιούνται συνήθως µε αναδροµή ενώ οι συνθήκες που χρειαζόµαστε υλοποιούνται µε την εντολή if. Παρακάτω δίνουµε ένα παράδειγµα όπου φαίνεται η διαφορά του συναρτησιακού µε τον διαδικασιακό προγραµµατισµό. Παράδειγµα Να υπολογισθεί το άθροισµα των αριθµών 1,2,3,,10. α) µέσω συναρτησιακού προγραµµατισµού :

32 Σελίδα 32 από 37 8i, 1, 10<D 55 Η µέθοδος υπολογισµού που χρησιµοποιείται είναι η εφαρµογή συναρτήσεως. β) µέσω διαδικασιακού προγραµµατισµού : s= 0; = 1, i 10, ++i, s = s+ id;s 55 Η µέθοδος υπολογισµού που χρησιµοποιείται είναι η ανάθεση µεταβλητών. Κύρια χαρακτηριστικά του συναρτησιακού προγραµµατισµού είναι : α) δυνατότητα συγγραφής προγραµµάτων δοµηµένων µε σαφήνεια και λιτότητα τα οποία διαθέτουν ένα υψηλό επίπεδο αφαιρετικότητας, β) µας παρέχουν πολύ ισχυρά εργαλεία για την επίλυση προβληµάτων, γ) βοηθούν στην ελάττωση του χρόνου και του κόστους παραγωγής ενός προγράµµατος (δες παραπάνω παράδειγµα), δ) αντιµετωπίζουν µε επιτυχία το πρόβληµα του µεγέθους και της πολυπλοκότητας που έχουν τα σύγχρονα προβλήµατα. Το κύριο µειονέκτηµα του συναρτησιακού προγραµµατισµού αφορά την µεγάλη απαίτηση σε ταχύτητα επεξεργασίας από τον Η/Υ, σε σχέση µε τα προγράµµατα τα οποία έχουν γραφεί µε διαδικασιακό προγραµµατισµό. Οι αρχές του συναρτησιακού προγραµµατισµού βασίστηκαν στην ανάλυση λάµδα από τους Alonzo Church και Haskell Curry κατά τη δεκαετία και στη συνέχεια µε τη δηµιουργία γλωσσών συναρτησιακού προγραµµατισµού όπως η Lisp από τον John McCarthy (δεκαετία 1960), FP από τον John Backus (1978), ML από τον Roobin Milner (µέσα δεκαετίας 1970), Miranda από τον David Turner (τέλη δεκαετίας 1970 δεκαετία 1980), γλώσσα Haskell και Haskell 98 (1988 και 1999 αντίστοιχα) κ.λ.π Κανονοκεντρικός προγραµµατισµός (rule-based programming) Ο όρος κανόνας (rule) στον κανονοκεντρικό προγραµµατισµό αναφέρετε στον ορισµό της συνάρτησης. Ένα κανονοκεντρικό πρόγραµµα αποτελείται από ένα σύνολο ορισµών συναρτήσεων τα οποία όµως αφορούν πάντα την ίδια συνάρτηση. Κάθε ορισµός αναφέρεται σε διαφορετική µορφή που µπορούν να έχουν τα ορίσµατα της συνάρτησης. Όταν λοιπόν ζητήσουµε να εκτελεστεί η συνάρτηση το πρόγραµµα θα αποφασίσει το πώς θα ενεργήσει ανάλογα µε την µορφή που έχουν τα ορίσµατα της συγκεκριµένης συνάρτησης. Στον διαδικασιακό προγραµµατισµό, αντίθετα, θα πρέπει ο προγραµµατιστής να ορίσει µέσω εντολών συνθήκης και ενός πολύπλοκου προγράµµατος (spaghetti programming) την συµπεριφορά της συνάρτησης για διαφορετικά ορίσµατα. Η δε διόρθωση και συντήρηση τέτοιου είδους διαδικασιακών προγραµµάτων αποτελεί ένα δύσκολο εγχείρηµα διότι θα πρέπει να καταλάβεις την δύσκολη λογική που εµπεριέχει το πρόγραµµα. Στον κανονοκεντρικό προγραµµατισµό η εκτέλεση των εντολών δεν είναι ακολουθιακή όπως στον διαδικασιακό προγραµµατισµό, αλλά βασίζεται στην ενεργοποίηση συγκεκριµένων συνθηκών. Μια χαρακτηριστική γλώσσα κανονοκεντρικού προγραµµατισµού εκτός του Mathematica είναι η Prolog. Στο επόµενο παράδειγµα δείχνουµε πως θα µπορούσε να ορισθεί µαθηµατικά η πρόσθεση δύο ακεραίων αριθµών µέσω κανόνων.

33 Σελίδα 33 από 37 Παράδειγµα Έστω η συνάρτηση succ(n) (succ(n)=n+1) που δίνει τον επόµενο αριθµό του n και µε την συνάρτηση f(n,m) ορίζουµε την συνάρτηση που µας δίνει το αποτέλεσµα της πρόσθεσης των ακεραίων n,m. Η συνάρτηση f(n,m) µπορεί να ορισθεί µέσω των 2 κανόνων : f(0,m)=m f(n,m)=succ(f(n-1,m)) (1 ος κανόνας) (2 ος κανόνας) Ας δούµε ένα παράδειγµα υπολογισµού της συνάρτησης f. Έστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το άθροισµα 2+2, τότε θα έχουµε : f(2,2) = f(succ(1),2) = (από 2 ο κανόνα) = succ(f(1,2)) = succ(f(succ(0),2)) = (από 2 ο κανόνα) = succ(succ(f(0,2))) = (από 1 ο κανόνα) = succ(succ(2)) = succ(3) = 4 Το παραπάνω παράδειγµα µπορεί εύκολα να υλοποιηθεί στο περιβάλλον του Mathematica, ως εξής : Βήµα 1. Ορίζουµε την συνάρτηση που µας δίνει τον επόµενο ακέραιο του n. := n+ 1 Βήµα 2. ίνουµε τους δύο κανόνες της συνάρτησης f που υπολογίζει το άθροισµα δύο ακεραίων. m_integerd := m m_integerd := 1, mdd Βήµα 3. Υπολογίζουµε τα βήµατα που θα κάνει το Mathematica για τον υπολογισµό της τιµής f[2,2]. 2DD 1, 2DD, 882 1, 1<, 2D, 1, 2DD, 881 1, 2D,2<, 1, 3<, 1, 4< Παράδειγµα Να υπολογισθεί ο 20 ος όρος της ακολουθίας Fibonacci. F1 = 1, F2 = 1, Fn = Fn 1+ Fn 2 Στο Mathematica ορίζουµε τους παραπάνω κανόνες : = = 1; := 1D + 2D και υπολογίζουµε το αποτέλεσµα 6765 Αν θέλουµε να δούµε µε ποιον τρόπο υπολογίσθηκε ο 3 ος γράφουµε : όρος της ακολουθίας 8fibH3L, fibh3-2l +fibh3-1l, 883-1, 2<, fibh2l, 1<, 883-2, 1<, fibh1l, 1<, 1+ 1, 2<

34 Σελίδα 34 από Σύνοψη Στην ενότητα αυτή, προσπαθήσαµε να δώσουµε µια πολύ συνοπτική περιγραφή των δυνατοτήτων του Mathematica. Σε επιµέρους κεφάλαια θα δούµε τις δυνατότητες του Mathematica σε ειδικά προβλήµατα της Γραµµικής Άλγεβρας και του Λογισµού µιας µεταβλητής.

35 Σελίδα 35 από Απαντήσεις στις δραστηριότητες ραστηριότητα α) 4ê23 52D β) 24 23L +22 êh2 34LD Αν έχοντας πατηµένο το πλήκτρο Ctrl πατήσεις το πλήκτρο / θα έχεις την µορφή του κλάσµατος στο Mathematica όπου µπορείς να προσθέσεις τον αριθµητή και παρονοµαστή που θέλεις. Η µετακίνηση από τον αριθµητή στον παρονοµαστή γίνεται µε το πλήκτρο TAB ή κάνοντας κλίκ στον αριθµητή/παρονοµαστή. NAH L E Μπορείς να βοηθηθείς και µε το εργαλείο ( ) από την παλέτα BasicInput

36 Σελίδα 36 από 37 ραστηριότητα H1< 2L&& H4 < 2L False H2> 5L»»H3 > 6L False ραστηριότητα (α) (2 > 5)&&(3 > 1) (4 > 3) = False&&True True = False True True H2> 5L&& H3 > 1L»»H4> 3L = False &&True True = False True = True False True (β) (5+4/2)^2^3=(5+2)^2^3=7^2^3=7^8= H5+ 4ê2L^2^3 êê Simplify ραστηριότητα (α) 6LD (β) 10D True ραστηριότητα α) ή SinA Pi 4 E2 + CosA Pi 4 E2 1 β) NAE π π E E Η αναπαράσταση του π γίνεται µε το συνδυασµό των πλήκτρων [ESC]pi[ESC], ενώ της δύναµης µε το Ctrl+^. γ) H1 IL H1+ ILêêComplexExpand 2 Η ComplexExpand[] αναπτύσει το αποτέλεσµα της µιγαδικής πράξης. δ)

37 Σελίδα 37 από 37 NAArcTanA 1 π EE ραστηριότητα PrimeQA2 17 1E True PrimeQA2 18 1E False FactorIntegerA2 18 1E 883, 3<, 87, 1<, 819, 1<, 873, 1<< ραστηριότητα NSolveAx 2 5 x+ 6 0, xe 88x 2.<, 8x 3.<< ραστηριότητα yl^3 + yh2 x yl^3d Hx ylhx + yl 3

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10ο: ιαδικασιακός

Κεφάλαιο 10ο: ιαδικασιακός Diadikasiakos_Programmatismos.nb Κεφάλαιο 0ο: ιαδικασιακός Προγραµµατισµός 0. Ανάθεση τιµών σε µεταβλητές Ο τελεστής ανάθεσης (=, :=) χρησιµοποιείται για να τοποθετήσουµε το αποτέλεσµα µιας έκφρασης (τιµή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Βασικά στοιχεία ενός προγράµµατος της γλώσσας Fortran

Κεφάλαιο 3ο: Βασικά στοιχεία ενός προγράµµατος της γλώσσας Fortran Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 3ο: Βασικά στοιχεία ενός προγράµµατος της γλώσσας Fortran 3.1 Μορφή Προγράµµατος Τα προγράµµατα Fortran γράφονται σε αρχείο

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ42 - ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2009-2010 2 oς Τόµος ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 i. υναµική τεχνική επικύρωσης:

Διαβάστε περισσότερα

Pascal Βασικοί τύποι δεδοµένων

Pascal Βασικοί τύποι δεδοµένων Pasal Βασικοί τύποι δεδοµένων «ΜΗ ΕΝ ΠΟΛΛΟΙΣ ΟΛΙΓΑ ΛΕΓΕ, ΑΛΛ ΕΝ ΟΛΙΓΟΙΣ ΠΟΛΛΑ» Σηµαίνει: "Μη λες πολλά χωρίς ουσία, αλλά λίγα που να αξίζουν πολλά" (Πυθαγόρας) Κουλλάς Χρίστος www.oullas.om oullas 2 Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 Μάθημα: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη, 6 Ιουνίου 2006 07:30 10:30

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

Είδη εντολών. Απλές εντολές. Εντολές ελέγχου. Εκτελούν κάποια ενέργεια. Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές

Είδη εντολών. Απλές εντολές. Εντολές ελέγχου. Εκτελούν κάποια ενέργεια. Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές Μορφές Εντολών Είδη εντολών Απλές εντολές Εκτελούν κάποια ενέργεια Εντολές ελέγχου Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές Εντολές και παραστάσεις Μιαεντολήείναιμιαπαράστασηπου ακολουθείται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Εκφράσεις και Λίγες Εντολές Οι εκφράσεις της C Τελεστές Απλές και σύνθετες εντολές Εντολές ελέγχου (επιλογής) Εισαγωγή σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340 ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010 Ι ΑΣΚΩΝ: ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΣΑΒΒΙ ΗΣ ΒΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΑΣΗ 2η από 5 Ανάθεση: Πέµπτη 15 Απριλίου 2010, 11:00 (πρωί)

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση-

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση- Μάθηµα 3 Προχωρηµένες ιδιότητες πεδίων Μάσκες εισαγωγής Οι ιδιότητες Μορφή και Μάσκα εισαγωγής περιγράφονται µαζί γιατί έχουν κοινά χαρακτηριστικά που αφορούν την εµφάνιση. Με την ιδιότητα Μορφή καθορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ιαχείριση Πληροφοριών στο ιαδίκτυο

ιαχείριση Πληροφοριών στο ιαδίκτυο ιαχείριση Πληροφοριών στο ιαδίκτυο Εργαστήριο (Φυλλάδιο 8) ΤΕΙ Καβάλας - Σχολή ιοίκησης & Οικονοµίας Τµήµα ιαχείρισης Πληροφοριών ιδάσκων: Μαρδύρης Βασίλειος, ιπλ. Ηλ. Μηχανικός & Μηχ. Υπολογιστών, MSc

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Με το σχεδιασµό επιφάνειας (Custom επιφάνεια) µπορούµε να σχεδιάσουµε επιφάνειες και αντικείµενα που δεν υπάρχουν στους καταλόγους του 1992. Τι µπορούµε να κάνουµε µε το σχεδιασµό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΠΕΜΠΤΟ Triggers, Stored procedures Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Triggers-Ενηµέρωση δεδοµένων άλλων πινάκων... 1 Ασφάλεια...

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Κεφάλαιο 6ο Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Μέρος Πρώτο (6.1, 6.2 και 6.3) Α. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους 1. Η γλώσσα µηχανής είναι µία γλώσσα υψηλού επιπέδου.

Διαβάστε περισσότερα

ιαφάνειες παρουσίασης #1

ιαφάνειες παρουσίασης #1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/programming/ ιδάσκοντες: Στάθης Ζάχος (zachos@cs.ntua.gr) Νίκος Παπασπύρου (nickie@softlab.ntua.gr) ιαφάνειες παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών

Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών Σκοπός Να αναπτύξουν ένα πρόγραμμα όπου θα επαναλάβουν τα βήματα ανάπτυξης μιας παραθυρικής εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ

EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ηµιουργία ενός m-αρχείου Εισαγωγή των δεδοµένων στο αρχείο Αποθήκευση του αρχείου Καταχώρηση των δεδοµένων του αρχείου από το λογισµικό Matlab, γράφοντας απλά το όνοµα

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

TI - 40 Collège II. Επιστημονική αριθμομηχανή. Γενικές πληροφορίες 40CII/OM/1L2/A. 1999-2002 Texas Instruments Incorporated

TI - 40 Collège II. Επιστημονική αριθμομηχανή. Γενικές πληροφορίες 40CII/OM/1L2/A. 1999-2002 Texas Instruments Incorporated 40CII/OM/1L2/A TI - 40 Collège II Επιστημονική αριθμομηχανή 1999-2002 Texas Instruments Incorporated Γενικές πληροφορίες Παραδείγματα: Τα παραδείγματα πληκτρολόγησης τα οποία αφορούν τις πολλαπλές λειτουργίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ. Διδάσκουσα Δρ Β.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ. Διδάσκουσα Δρ Β. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Διδάσκουσα Δρ Β. Καβακλή Χειμερινό Εξάμηνο 2001 1 Σύνολο χαρακτήρων της Pascal Για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

SMART Notebook 11.1 Math Tools

SMART Notebook 11.1 Math Tools SMART Ntebk 11.1 Math Tls Λειτουργικά συστήματα Windws Οδηγός χρήστη Δήλωση προϊόντος Αν δηλώσετε το προϊόν SMART, θα σας ειδοποιήσουμε για νέα χαρακτηριστικά και αναβαθμίσεις λογισμικού. Κάντε τη δήλωση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΑΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΩΤΟΥ ΑΘΟΥ 1. ηµειώστε το γράµµα αν η πρόταση είναι σωστή και το γράµµα αν είναι λάθος. 1. Ο αλγόριθµος πρέπει να τερµατίζεται µετά από εκτέλεση πεπερασµένου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013 ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο 1. Συμπληρώστε τα κενά με τη λέξη που λείπει. α. Ένα πρόβλημα το χωρίζουμε σε άλλα απλούστερα, όταν είναι ή όταν έχει τρόπο επίλυσης. β. Η επίλυση ενός προβλήματος προϋποθέτει την του. γ.

Διαβάστε περισσότερα

Visual Basic Βασικές Έννοιες

Visual Basic Βασικές Έννοιες Visual Basi Βασικές Έννοιες «Είδα στον ύπνο µου ότι η ζωή είναι χαρά. Ξύπνησα και είδα ότι είναι χρέος. Αγωνίστηκα και είδα ότι τo χρέος είναι χαρά.» Ραµπριτανάθ Ταγκόρ Κουλλάς Χρίστος www.oullas.om oullas

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου.

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου. 2.1 Αν χ και y μεταβλητές με τιμές 5 και 10 αντίστοιχα να εξηγηθούν οι ακόλουθες εντολές εξόδου. 1) Η τιμή του χ είναι,χ Ητιμή του χ είναι 5 Ηεντολή εμφανίζει ότι υπάρχει στα διπλά εισαγωγικά ως έχει.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340 ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2008 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΣΑΒΒΙΔΗΣ ΒΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΑΣΗ 2η από 5 Παράδοση: Πέμπτη 10 Απριλίου 2008, 24:00 (μεσάνυχτα)

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΤΟ MATHLAB Αν θέλουμε να εισάγουμε έναν πίνακα στο mathlab και να προβληθεί στην οθόνη βάζουμε τις τιμές του σε άγκιστρα χωρίζοντάς τις με κόμματα ή κενό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ...30

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ...30 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 1.1 Τι είναι Πληροφορική;...11 1.1.1 Τι είναι η Πληροφορική;...12 1.1.2 Τι είναι ο Υπολογιστής;...14 1.1.3 Τι είναι το Υλικό και το

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 12 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Μονάδες 12 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Óõíåéñìüò ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Óõíåéñìüò ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1 5 και δίπλα τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.6: Είσοδος / Έξοδος εδοµένων, Μορφοποίηση εδοµένων Εξόδου. ( ιάλεξη 7) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

Κεφάλαιο 2.6: Είσοδος / Έξοδος εδοµένων, Μορφοποίηση εδοµένων Εξόδου. ( ιάλεξη 7) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 2.6: Είσοδος / Έξοδος εδοµένων, Μορφοποίηση εδοµένων Εξόδου ( ιάλεξη 7) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ 1 Είσοδος/ Έξοδος Σε σχεδόν όλα τα προγράµµατα πρέπει να πάρουµε κάποια δεδοµένα και να δώσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Λιακόπουλος Ιωάννης1 και Λυπηρίδης Χαράλαμπος2 1liakopoulosjohn@gmail.com, 2xarislip@hotmail.com Επιβλέπων Καθηγητής: Λάζαρος Τζήμκας tzimkaslazaros@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Λογισµικό µε γλώσσα προγραµµατισµού. Logo. Εισαγωγή στη Γεωµετρία της Χελώνας ΧΕΛΩΝΟΚΟΣΜΟΣ

Λογισµικό µε γλώσσα προγραµµατισµού. Logo. Εισαγωγή στη Γεωµετρία της Χελώνας ΧΕΛΩΝΟΚΟΣΜΟΣ Λογισµικό µε γλώσσα προγραµµατισµού Logo Εισαγωγή στη Γεωµετρία της Χελώνας ΧΕΛΩΝΟΚΟΣΜΟΣ «Μαθαίνουµε καλύτερα κάνοντας... αλλά µαθαίνουµεακόµακαλύτερααν συνδυάσουµετηδράσηµετηνοµιλία και το στοχασµόπάνωσ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Καθ. Εφαρμογών: Σ. Βασιλειάδου Εργαστήριο Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου για Ηλεκτρολόγους Μηχανικούς Εργαστηριακές Ασκήσεις Χειμερινό

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 4: Υπολογιστικά Φύλλα και Επεξεργασία Δεδομένων. Ομάδα Β: Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων

Εργασία 4: Υπολογιστικά Φύλλα και Επεξεργασία Δεδομένων. Ομάδα Β: Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων Εργασία 4: Υπολογιστικά Φύλλα και Επεξεργασία Δεδομένων Ομάδα Β: Επεξεργασία πειραματικών δεδομένων Τι είναι τα υπολογιστικά φύλλα Λογιστικό φύλλο (spreadsheet): ο λογιστικός πίνακας, (παλαιότερα «λογιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD Σε ορισµένες περιπτώσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιµη η δηµιουργία ιστοσελίδων ενηµερωτικού περιεχοµένου οι οποίες στη συνέχεια µπορούν να δηµοσιευθούν σε κάποιο τόπο

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα #1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ι. Λυχναρόπουλος

Παράδειγμα #1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα #1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ι. Λυχναρόπουλος 1. Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος flop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Απάντηση: Ο όρος flop σημαίνει floating point operation

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 3, 7, 8 & 9 22/11/07

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 3, 7, 8 & 9 22/11/07 Ακαδ έτος 2007-2008 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Φερεντίνος 22/11/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με ΑΜ σε 3, 7, 8 & 9 22/11/07 Παράδειγμα με if/else if και user input: import javautil*; public class Grades public

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές

Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ηλίας Σακελλαρίου Δομή Γλώσσες Προγραμματισμού Εισαγωγικά Γλώσσα Μηχανής Γλώσσες υψηλού επιπέδου Μεταγλωττιστές

Διαβάστε περισσότερα

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις

Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις Μία σύντομη εισαγωγή στην Τριγωνομετρία με Ενδεικτικές Ασκήσεις. Ονομασίες Ορισμοί Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα R. Αρχή μέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα)

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3.5. Τύποι και Συναρτήσεις. Ειδικοί Στόχοι

Ενότητα 3.5. Τύποι και Συναρτήσεις. Ειδικοί Στόχοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : Υπολογιστικά Φύλλα Ενότητα 3.5 Ειδικοί Στόχοι Οι επιµορφούµενοι πρέπει: Να µπορούν να συντάσσουν απλούς αριθµητικούς τύπους. Να χρησιµοποιούν τις βασικές αριθµητικές συναρτήσεις. Να χρησιµοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Ο κώδικας Nemeth για τα Μαθηματικά Λυκείου (σύμβολα και σύνταξη)

Ο κώδικας Nemeth για τα Μαθηματικά Λυκείου (σύμβολα και σύνταξη) Ο κώδικας Nemeth για τα Μαθηματικά Λυκείου (σύμβολα και σύνταξη) Δείτε αυτό http://access.uoa.gr/nemeth/nemethlyceummath.htm και αυτό http://www.gh-mathspeak.com/examples/nemethbook/ Βασικοί χαρακτήρες

Διαβάστε περισσότερα

Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού και Μεταφραστών: Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013

Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού και Μεταφραστών: Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013 Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού και Μεταφραστών: Εργαστηριακή Άσκηση 2012-2013 27 Μαρτίου 2013 Περίληψη Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωσή σας με τις θεμελιώδεις θεωρητικές και πρακτικές πτυχές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεµατική Ενότητα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 2006 2007 Γραπτή Εργασία #2 Ηµεροµηνία Παράδοσης 28-0 - 2007 ΠΛΗ 2: Ψηφιακά Συστήµατα ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση : [5 µονάδες] Έχετε στη

Διαβάστε περισσότερα

παράθυρα ιδακτικό υλικό µαθητή Πλήκτρα για να το παράθυρο Λωρίδα τίτλου Πλαίσιο παραθύρου

παράθυρα ιδακτικό υλικό µαθητή Πλήκτρα για να το παράθυρο Λωρίδα τίτλου Πλαίσιο παραθύρου ιδακτικό υλικό µαθητή παράθυρα Κατά τη διάρκεια της µελέτης µας γράφουµε και διαβάζουµε, απλώνοντας πάνω στο γραφείο τετράδια και βιβλία. Ξεκινώντας ανοίγουµε αυτά που µας ενδιαφέρουν πρώτα και συνεχίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΟΠΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΕ ΠAΡΑΘΥΡΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ με τη Γλώσσα Προγραμματισμού VISUAL BASIC (1 ο ΕΠΙΠΕΔΟ)

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΟΠΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΕ ΠAΡΑΘΥΡΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ με τη Γλώσσα Προγραμματισμού VISUAL BASIC (1 ο ΕΠΙΠΕΔΟ) Γενικός Σκοπός Το αναλυτικό πρόγραμμα έχει ως γενικό σκοπό να δώσει στους μαθητές τις απαιτούμενες γνωστικές, κριτικές και αναλυτικές δεξιότητες ώστε να είναι ικανοί να χρησιμοποιούν τους υπολογιστές για

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα