Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή σε Mathematica

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή σε Mathematica"

Transcript

1 Σελίδα 1 από 37 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή σε Mathematica 1.1 Πότε δηµιουργήθηκε το Mathematica ; Αριθµητικοί υπολογισµοί Τελεστές Εκφράσεις στo Mathematica Ποιοι είναι οι τύποι αριθµών που υποστηρίζει το Mathematica ; Προσεγγιστικοί υπολογισµοί Ποια είναι τα δεδοµένα που χειρίζεται ένα πρόγραµµα και σε ποιες κατηγορίες χωρίζονται; Συναρτήσεις Σύνθετοι αριθµητικοί υπολογισµοί Συµβολικοί υπολογισµοί Γραφικές παραστάσεις Προγραµµατισµός ιαδικασιακός προγραµµατισµός (procedural programming) Συναρτησιακός προγραµµατισµός (functional programming) Κανονοκεντρικός προγραµµατισµός (rule-based programming) Σύνοψη Απαντήσεις στις δραστηριότητες 35 Στο κεφάλαιο αυτό θα δώσουµε µια συνοπτική αναφορά στις δυνατότητες του Mathematica στους αριθµητικούς υπολογισµούς, στους συµβολικούς υπολογισµούς, στις γραφικές παραστάσεις και στα είδη προγραµµατισµού που υποστηρίζει. Στα επιµέρους κεφάλαια της «Γραµµικής Άλγεβρας» και του «Λογισµού µιας Μεταβλητής» θα µελετήσουµε επιµέρους δυνατότητες του πακέτου.

2 Σελίδα 2 από Πότε δηµιουργήθηκε το Mathematica ; Ο Stephen Wolfram είναι ο επιστήµονας ο δηµιουργός του Mathematica. O Wolfram γεννήθηκε το 1959 στο Λονδίνο, και πήρε το διδακτορικό του στην Θεωρητική Φυσική από το πανεπιστήµιο του Caltech σε ηλικία 20 χρονών. Ο Wolfram γρήγορα έγινε ένας από τους πρωταγωνιστές στον νέο ραγδαία αναπτυσσόµενο κλάδο των επιστηµονικών υπολογισµών. Το 1979 δηµιούργησε το SMP το πρώτο µοντέρνο υπολογιστικό σύστηµα άλγεβρας το οποίο κυκλοφόρησε εµπορικά το Το κύριο ερευνητικό του ενδιαφέρον αφορούσε τις αρχές που διέπουν την πολυπλοκότητα που συναντάµε στην φύση. Το 1986 και έπειτα από µια επιτυχή ακαδηµαϊκή καριέρα ο Wolfram, ίδρυσε την εταιρεία Wolfram η οποία διέθεσε εµπορικά την πρώτη έκδοση του Mathematica στις 23 Ιουνίου του 1988, η οποία σηµείωσε σηµαντική επιτυχία και καθιέρωσε την εταιρεία Wolfram ως µια από τις πρώτες εταιρείες σε παγκόσµια κατάταξη στην παραγωγή software. Το 1991, κυκλοφόρησε η 2 η έκδοση του Mathematica, ενώ ακολούθησαν οι εκδόσεις 3, 4 και 5 τις χρονιές 1996, 1999 και 2003 αντίστοιχα. Σήµερα υπάρχουν περίπου χρήστες του Mathematica παγκοσµίως, οι οποίοι ανήκουν σε κλάδους όπου τα µαθηµατικά είναι ένα απαραίτητο εργαλείο όπως µαθηµατικοί, µηχανολόγοι, οικονοµολόγοι και άλλες επιστήµες. 1.2 Αριθµητικοί υπολογισµοί Τελεστές Οι τελεστές είναι σύµβολα που δηλώνουν πράξεις µεταξύ τελεστών, δηλαδή αριθµών, αλυσίδων χαρακτήρων κ.λ.π.. Υπάρχουν 4 κατηγορίες τελεστών : αριθµητικοί, χαρακτήρων, σύγκρισης και λογικοί Τελεστές αριθµητικοί Χρησιµοποιούνται για πράξεις µεταξύ αριθµών. Τελεστής Συνάρτηση Λειτουργία Σύνταξη + Plus[] Πρόσθεση x+y Plus[x,y] Minus[] Αφαίρεση x-y Minus[x,y] * Times[] Πολλαπλασιασµός x*y Times[x,y] / ιαίρεση x/y Times[x,Power[y,-1] ^ Power[] ύναµη (Ctrl+6) x^y Power[x,y] Συνεπώς παρατηρούµε από τον παραπάνω πίνακα αλλά και τους πίνακες των λογικών τελεστών και των τελεστών σύγκρισης που θα πούµε παρακάτω ότι κάθε έκφραση στο Mathematica µπορεί να γραφεί µε την µορφή συνάρτησης. Την µορφή αυτή της συνάρτησης µπορούµε να την αναπαραστήσουµε µε την εντολή FullForm ενώ την

3 Σελίδα 3 από 37 κεφαλή της έκφρασης µπορείς να την δεις µε την συνάρτηση Head. Η εκτέλεση κάθε εντολής γίνεται πατώντας Shift+Enter, ενώ το Enter το χρησιµοποιούµε αν θέλουµε να γράψουµε παραπάνω από µια εντολές στο ίδιο κελί για να τις εκτελέσουµε όλες µαζί στη συνέχεια µε το Shift+Enter. FullForm[έκφραση] Head[έκφραση] Αναπαριστά την έκφραση µε µορφή συνάρτησης Επιστρέφει το πρώτο όνοµα της συνάρτησης που εµφανίζεται µε την FullForm ή διαφορετικά το f στην συνάρτηση f[x,y,..]. Παράδειγµα In[1]:= 3 +4 Out[1]= 7 In[2]:= 78*84 Out[2]= 6552 In[3]:= 2^24 Out[3]= Παρατήρηση. Το σύµβολο του πολλαπλασιασµού (*) µπορεί να αντικατασταθεί και µε τον κενό χαρακτήρα. ραστηριότητα Προσπάθησε να υπολογίσεις τις παρακάτω εκφράσεις : 31 µ H L Τελεστές Σύγκρισης Χρησιµοποιούνται για σύγκριση µεταξύ αριθµών ή αλυσίδων χαρακτήρων. Τελεστής Λειτουργία Σύνταξη == ή Equal[] Ισότητα x==y ή Equal[x,y]!= ή UnEqual[] Ανισότητα x!=y ή UnEqual[x,y] > ή Greater[] Μεγαλύτερο x>y ή Greater[x,y] < ή Less[] Μικρότερο x<y ή Less[x,y] >= ή GreaterEqual[] Μεγαλύτερο ή ίσο x>=y ή GreaterEqual[x,y] <= ή LessEqual[] Μικρότερο ή ίσο x<=y ή LessEqual[x,y] Παράδειγµα In[10]:= 5 ä 5 Out[10]= True

4 Σελίδα 4 από 37 In[11]:= 5 π 6 Out[11]= True Τελεστές Λογικοί Χρησιµοποιούνται για την εκτέλεση λογικών πράξεων. Τελεστής Λειτουργία! ή Not[x] Λογική άρνηση && ή And[x,y] Λογική πρόσθεση ή Or[x,y] ιάζευξη &&! ή Xor[x,y] ή/και Οι πίνακες αληθείας των τελεστών είναι : Παράδειγµα In[12]:= >= 3D Out[12]= False X Y X&&Y X Y!X X&&!Y T T T T F F T F F T F T F T F T T T F F F F T F In[13]:= H4 ä 3L && H3 > 2L Out[13]= False In[14]:= True»» True Out[14]= True In[15]:= H3 > 4L &&! H3 < 5L Out[15]= False ραστηριότητα Προσπάθησε να υπολογίσεις το αποτέλεσµα των λογικών εκφράσεων : α) (1<2) και (4<2) β) (2>5) ή (3>6) Εκφράσεις στo Mathematica Ανεξάρτητες µονάδες, όπως µεταβλητές, σταθερές, συναρτήσεις και τελεστές συνδυάζονται για να κατασκευάσουν εκφράσεις. Μια έκφραση είναι ένας τύπος υπολογισµού µιας τιµής. Οι τελεστές προσδιορίζουν την επεξεργασία που θα υποστούν οι τελεσταίοι. Παράδειγµα x τελεστ έος τελεστ ής τελεστ έος

5 Σελίδα 5 από 37 Ο υπολογισµός της τιµής µιας έκφρασης ακολουθεί την παρακάτω σειρά προτεραιότητας : Τύπος Αριθµητικός Πίνακας Σειρά προτεραιότητας σε πράξεις τελεστών. Τελεστής ^ * / + Σύγκρισης < <= > >= ==!= Λογικοί! && Σειρά προτεραιότητας για τελεστές µε την ίδια προτεραιότητα εξιά προς αριστερά Αριστερά προς τα δεξιά Αριστερά προς τα δεξιά Αριστερά προς τα δεξιά εξιά προς αριστερά Αριστερά προς τα δεξιά Αριστερά προς τα δεξιά Σε µια έκφραση προηγούνται στην εκτέλεση οι πράξεις που είναι µέσα στις παρενθέσεις. Οι εκφράσεις διακρίνονται σε πραγµατικές, ακέραιες κ.λ.π. αν το αποτέλεσµα της τιµής της έκφρασης είναι πραγµατικός αριθµός, ακέραιος αριθµός κ.λ.π. Παράδειγµα Να υπολογιστούν τα αποτελέσµατα των παρακάτω εκφράσεων : 3^2^3 2*(5+1)*3/4^2 (4>3) (3<1)&&(!(3>1)) Απάντηση 1. Η σειρά προτεραιότητας στις δυνάµεις είναι από δεξιά προς τα αριστερά και επο- µένως θα έχουµε : 3^2^3=3^(2^3)=3^8= *(5 + 1)*3/4^2 = 2*6*3/4^2 = 2*6*3/16 = = 12*3/16 = 36 /16 36 Επειδή έχουµε πράξεις µεταξύ ακεραίων το αποτέλεσµα θα είναι ένας ρητός αριθµός. 3. (4 > 3) (3 < 1)&&!(3 > 1) = True False & &(! True) = True False True False = True False & & False = True False = True False True ραστηριότητα Να υπολογίσεις το αποτέλεσµα των παρακάτω εκφράσεων : α) (2>5) και (3>6) ή (4>3)

6 Σελίδα 6 από 37 β) (5+4/2)^2^ Ποιοι είναι οι τύποι αριθµών που υποστηρίζει το Mathematica ; Το Mathematica υποστηρίζει : α) ακέραιους αριθµούς, β) ρητούς αριθµούς, γ) πραγµατικούς αριθµούς και δ) µιγαδικούς αριθµούς. Στα παρακάτω παραδείγµατα φαίνονται οι τρόποι µε τον οποίο χειρίζεται το Mathematica τους διάφορους τύπους αριθµών. Παράδειγµα Παρακάτω βλέπουµε ότι ο αριθµός ¾ θεωρείται από το Mathematica ως Rational µε δύο ορίσµατα : τον αριθµητή 3 και τον παρονοµαστή 4, ενώ σε αντίθεση µε άλλες γλώσσες προγραµµατισµού το Mathematica αναπαριστά τον αριθµό αυτό αλλά και όλους τους ρητούς αριθµούς µε την πλήρη µορφή τους. In[50]:= 3ê 4 Out[50]= 3 4 In[51]:= Out[51]//FullForm= 4D In[52]:= Out[52]= Μπορούµε να ελέγξουµε αν ένας αριθµός είναι ακέραιος ή αν µια έκφραση είναι αριθµός κάνοντας χρήση των συναρτήσεων IntegerQ και NumberQ αντίστοιχα. Παρόµοιες συναρτήσεις µπορεί κάποιος να βρει µε χρήση της βοήθειας (?*Q). In[53]:= 4D Out[53]= False In[54]:= 4D Out[54]= True In[55]:= Out[55]= False Παράδειγµα Έστω ο µιγαδικός αριθµός In[56]:= z= è 3 + I Out[56]= è 3 In[57]:= Out[57]//FullForm= 1D, 1, 2DDDD Το πραγµατικό του µέρος είναι In[58]:= Out[58]= è 3

7 Σελίδα 7 από 37 ενώ το φανταστικό του µέρος είναι In[59]:= Out[59]= 1 Ο συζυγής µιγαδικός αριθµός είναι In[60]:= Out[60]= è 3 Το µέτρο του µιγαδικού αριθµού z είναι In[61]:= Out[61]= 2 και το όρισµα του είναι In[62]:= 5 Out[62]= π 6 και συνεπώς µπορούµε εύκολα να γράψουµε την τριγωνοµετρική µορφή του αριθµού αυτού ως In[63]:= SimplifyA2 JCosA 5Pi 5Pi E + ISinA 6 6 ENE Out[63]= è 3 Η συνάρτηση Simplify[έκφραση] κάνει όλες τις δυνατές απλοποιήσεις που µπορούν να γίνουν στην «έκφραση». Μιγαδικοί αριθµοί µπορούµε να έχουµε ως το αποτέλεσµα της επίλυσης εξισώσεων : In[64]:= (καθαρίζει το περιεχόµενο της µεταβλητής z) In[65]:= 1, zd Out[65]= 88z 1<, 8z <, 8z <, 8z 1<< Παράδειγµα Ας υποθέσουµε ότι µας ζητούν να υπολογίσουµε τις ρίζες της 6 εξίσωσης z + 1= 0 και να τις αναπαραστήσουµε στο µιγαδικό επίπεδο. Οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης µπορούν να υπολογιστούν είτε από την συνάρτηση Solve[] : In[66]:= + 1 0, zdêên Out[66]= 88z <, 8z <, 8z <, 8z <, 8z <, 8z << είτε υπολογίζοντας πρώτα το µέτρο και το όρισµα του µιγαδικού αριθµού : In[67]:= 1D Out[67]= 1 In[68]:= 1D Out[68]= π και εφόσον φέρουµε τον αριθµό στην τριγωνοµετρική του µορφή : In[69]:= +I Out[69]= 1

8 Σελίδα 8 από 37 να κάνουµε χρήση του τύπου του De Moivre για τον υπολογισµό των ριζών In[70]:= Q1 = TableANA è 6 1 npi+ PiLê6D + npi+ PiLê6D ILE, 8n, 0, 5<E Out[70]= ,0.+ 1., , ,0. 1., < Μπορούµε µάλιστα να αναπαραστήσουµε τους αριθµούς αυτούς στο µιγαδικό επίπεδο In[71]:= Q2 = TableANA9 è 6 1 npi+ PiLê6D, è 6 1 n Pi+ PiLê6D=E, 8n, 0, 5<E Out[71]= , 0.5<, 80., 1.<, , 0.5<, , 0.5<, 80., 1.<, , 0.5<< In[72]:= PlotStyle AspectRatio AutomaticD Out[72]= Graphics -1 ενώ αν ενώσουµε τα παραπάνω σηµεία θα δούµε ότι σχηµατίζετε ένα κανονικό εξάγωνο

9 Σελίδα 9 από 37 In[73]:= 0, 0D, AspectRatio AutomaticD Out[73]= Graphics Προσεγγιστικοί υπολογισµοί Οι πράξεις µεταξύ ακεραίων µας οδηγεί σε ακέραιο ή ρητό αποτέλεσµα. Αν θέλουµε να υπολογίσουµε όµως το αποτέλεσµα ως πραγµατικό αριθµό θα πρέπει να κάνουµε χρήση της συνάρτησης Ν (µε δύο τρόπους). Ν[έκφραση] Ν[έκφραση,p] Επιστρέφει την αριθµητική τιµή της έκφρασης. Επιστρέφει την αριθµητική τιµή της έκφρασης µε προσέγγιση p σηµαντικών ψηφίων. d... d. d... d d... d d... d r r+ 1 p 1 p 1 p p p p Σχήµα Αναπαράσταση των σηµαντικών ψηφίων p, σε αριθµούς κινητής υποδιαστολής ( d p 0 ). Οι αριθµοί κινητής υποδιαστολής στο Mathematica µπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες : α) τους αριθµούς ακρίβειας µηχανής (machine precision numbers), και β) τους αριθµούς µε µεταβλητή ακρίβεια (arbitrary-precision numbers). Κάνοντας χρήση της δεύτερης κατηγορίας αριθµών µπορούµε να αυξήσουµε την ακρίβεια των αριθµών που αναπαριστούµε στον Η/Υ αλλά και έχουµε την δυνατότητα να εκτελέσουµε πράξεις υψηλής ακρίβειας. Παράδειγµα In[4]:= 3D Out[4]=

10 Σελίδα 10 από 37 ή In[5]:= 1ê3 êê N Out[5]= In[6]:= 100D Out[6]= Το Pi είναι η µαθηµατική σταθερά π. Μπορούµε να υπολογίσουµε την ακρίβεια που χρησιµοποιεί το Mathematica για υπολογισµούς που κάνει µέσω της συνάρτησης Precision. In[7]:= ê2ld Out[7]= In[8]:= Out[8]= 16 Ένας πραγµατικός αριθµός µπορεί να µετασχηµατισθεί στον πλησιέστερο ρητό αριθµό µέσω της συνάρτησης Rationalize. Rationalize[x] Rationalize[x,dx] Παίρνει τον πραγµατικό αριθµό x και τον µετατρέπει στον πλησιέστερο ρητό αριθµό. Παίρνει τον πραγµατικό αριθµό x και τον µετατρέπει στον πλησιέστερο ρητό αριθµό q τέτοιο ώστε x q x. Παράδειγµα Ας προσπαθήσουµε να προσεγγίσουµε το π µε έναν ρητό αριθµό, µε ακρίβεια In[9]:= 0.001D Out[9]= ραστηριότητα α) Προσπάθησε να προσεγγίσεις το 2 µε έναν ρητό αριθµό µε ακρίβεια 10. β) Να υπολογίσεις την σταθερά e µε ακρίβεια 10 σηµαντικών ψηφίων Ποια είναι τα δεδοµένα που χειρίζεται ένα πρόγραµµα και σε ποιες κατηγορίες χωρίζονται; Τα δεδοµένα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες : Σταθερές. Αυτά που έχουν σταθερή τιµή κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του προγράµ- µατος. Οι σταθερές χωρίζονται σε δύο κατηγορίες :

11 Σελίδα 11 από 37 α) στις σταθερές χωρίς όνοµα πρδ. στην έκφραση 3.14*R^2 το 3.14 αποτελεί µια σταθερά χωρίς όνοµα, και β) στις συνηθισµένες αριθµητικές σταθερές για τις οποίες το Mathematica έχει κάποιο συνηθισµένο όνοµα π.χ. για την σταθερά χρησιµοποιεί το όνοµα Pi, για την σταθερά χρησιµοποιεί το όνοµα Ε. Μεταβλητές. Αυτά που η τιµή τους µεταβάλλεται κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του προγράµµατος. Πιο συγκεκριµένα, µε τον όρο µεταβλητή εννοώ µια (ή παραπάνω) θέση η οποία δηµιουργείται στη µνήµη του H/Y, για να δεχτεί ένα συγκεκριµένο τύπο δεδοµένων, και η οποία έχει ένα χαρακτηριστικό όνοµα που πληροί τους κανόνες που θέσαµε παραπάνω Ποιες είναι οι πιο συνηθισµένες συµβολικές µαθηµατικές σταθερές ; Όνοµα σταθεράς Pi (π) In[16]:= 5D Out[16]= Παράδειγµα In[17]:= 2D Ε (εκθετική σταθερά) Degree (ακτίνιο) I (η φανταστική µονάδα) Infinity (άπειρο) ComplexInfinity (άπειρη ποσότητα χωρίς καθορισµένη διεύθυνση) Out[17]= 1 In[18]:= 5D Out[18]= In[19]:= 5D Out[19]= In[20]:= I^2 Out[20]= 1 In[21]:= 1ê Infinity Out[21]= 0 In[22]:= 1ê 0 Power::infy : Infinite expression 1 0 encountered. Out[22]= ComplexInfinity Με ποιο τρόπο τοποθετούµε τιµές σε µεταβλητές ; Ο τελεστής ανάθεσης (=, :=) χρησιµοποιείται για να τοποθετήσουµε το αποτέλεσµα µιας έκφρασης (σταθερά, µεταβλητή ή παράσταση) σε µια µεταβλητή. Η σύνταξή του έχει ως εξής : Μεταβλητή = Έκφραση Set[Μεταβλητή, Έκφραση] Κατά τη διάρκεια εκτέλεσης της παραπάνω εντολής ο Η/Υ υπολογίζει πρώτα το αποτέλεσµα της «έκφρασης» και στη συνέχεια, αυτό που θα βρει, θα το αναθέσει στη «µεταβλητή» που υπάρχει αριστερά του =. Στη συνέχεια του προγράµµατος κάθε φορά που θα βλέπει την «µεταβλητή» θα την αντικαθιστά από την τιµή

12 Σελίδα 12 από 37 «έκφραση». Ισοδύναµη της πρώτης έκφρασης είναι η δεύτερη. Μεταβλητή := Έκφραση SetDelayed[Μεταβλητή, Έκφραση] Η τοποθέτηση της «έκφρασης» στην «µεταβλητή» γίνεται µόνο την στιγµή που καλούµε την συγκεκριµένη «µεταβλητή». Ισοδύναµη της πρώτης έκφρασης είναι η δεύτερη. Το παραπάνω ίσον λοιπόν και στις δύο περιπτώσεις αναφέρεται σε ανάθεση τιµής και όχι σε ισότητα. Το περιεχόµενο της µεταβλητής που υπήρχε πριν την παραπάνω εντολή χάνεται. Παράδειγµα A = 81, 10<D; B:= 81, 10<D; A1 = 85<D B1 = 85<D 810, 10, 10, 10, 10< 82, 1, 6, 9, 1< Η πρώτη εντολή υπολογίζει έναν τυχαίο ακέραιο αριθµό µεταξύ 1 και 10 (τον 10) και τον τοποθετεί στην θέση του Α. Αντίθετα στην δεύτερη εντολή ορίζουµε ότι ο Β θα δεχτεί έναν τυχαίο ακέραιο αριθµό µεταξύ 1 και 10 όταν τον καλέσουµε. Συνεπώς στην τρίτη εντολή επειδή το Α έχει ήδη την τιµή 10, όταν προσπαθούµε να πάρουµε έναν πίνακα µε 5 αριθµούς ίσους µε Α, παίρνει και τους 5 ίσους µε 10. Αντίθετα όταν προσπαθούµε να δηµιουργήσουµε έναν πίνακα µε 5 αριθµούς της µορφής Β, κάθε φορά που καλούµε τον Β για να τον τοποθετήσουµε στον πίνακα, υπολογίζεται η έκφραση που βρίσκεται δεξιά του ίσο στην δεύτερη εντολή και τοποθετείται στον πίνακα Β1. Αυτός είναι και ο λόγος που ο πίνακας B1 διαθέτει διαφορετικές τυχαίες τιµές. Παράδειγµα z= ExpandAHx+ yl 2 E x 2 + 2xy+ y 2 w:= ExpandAHx+ yl 2 E w x 2 + 2xy+ y 2 Παρατηρούµε στο παραπάνω παράδειγµα ότι το z και w έχουν τις ίδιες τιµές. Αν όµως στη συνέχεια θέσουµε όπου x=1+a τότε θα έχουµε x= 1+ a 1+ a z H1+ al H1 + al y + y 2 w 1+ 2a+ a 2 + 2y+ 2ay+ y 2 Η διαφορά αυτή οφείλετε στο γεγονός ότι το z έχει ήδη την τιµή του αναπτύγµατος του ( x + y) δηλαδή x + 2xy + y και απλώς αντικαθιστά το x µε την ισοδύναµη έκφραση του 1+a στο ανάπτυγµα αυτό. Αντίθετα όταν καλέσουµε το w τότε

13 Σελίδα 13 από 37 τοποθετείτε στην έκφραση ( x + y) 2 το x=1+a και στη συνέχεια υπολογίζετε το ανάπτυγµα του ( x y) 2 +. Παράδειγµα A= 1; A= A+ 1 2 Η πρώτη εντολή δηµιουργεί µια θέση στην µνήµη του Η/Υ για το Α και τοποθετεί την τιµή 1. Α 1 Α 2 Η δεύτερη εντολή βρίσκει το αποτέλεσµα δεξιά του (=) που είναι 1+1 (εφόσον η τιµή του Α από την πρώτη εντολή ήταν 1) και το τοποθετεί στην ίδια θέση της µνήµης που είχε ανοίξει στην πρώτη εντολή για να στεγάσει την τιµή του Α. Παρατηρούµε, δηλαδή, ότι οτιδήποτε βρίσκεται στη µεταβλητή που βρίσκεται αριστερά του ίσον, χάνεται και στη θέση της τοποθετείται αυτό που βρίσκεται δεξιά του ίσον. Η εντολή Α=Α+1 µπορεί να αντικατασταθεί µε άλλες εντολές πιο σύντοµες, και µερικές φορές περισσότερο λειτουργικές. Οι εντολές αυτές εξηγούνται στη συνέχεια : a++ a-- ++a --a a+=da a-=da a*=c a/=c Αυξάνει την τιµή του a κατά 1, και επιστρέφει την προηγούµενη τιµή του a Μειώνει την τιµή του a κατά 1, και επιστρέφει την προηγούµενη τιµή του a Αυξάνει την τιµή του a κατά 1, και επιστρέφει την νέα τιµή του a Μειώνει την τιµή του a κατά 1, και επιστρέφει την νέα τιµή του a Αυξάνει την τιµή του a κατά da π.χ. a=a+da, και επιστρέφει την νέα τιµή του a Μειώνει την τιµή του a κατά da π.χ. a=a-da, και επιστρέφει την νέα τιµή του a Πολλαπλασιάζει την τιµή του a µε c και εφόσον τοποθετήσει το αποτέλεσµα στο a π.χ. a=a*c, επιστρέφει την νέα τιµή του a ιαιρεί την τιµή του a µε c και εφόσον τοποθετήσει το αποτέλεσµα στο a π.χ. a=a/c, επιστρέφει την νέα τιµή του a

14 Σελίδα 14 από 37 Παράδειγµα A= 1; A++ 1 A 2 A += 3 5 Μπορούµε να αναθέσουµε την ίδια τιµή σε παραπάνω από µια µεταβλητές χρησιµοποιώντας την εντολή ανάθεσης : Μεταβλητή 1 = Μεταβλητή 2 = = Έκφραση Παράδειγµα x= y= 1 1 x+ y 2 Εάν δεν πρόκειται να χρησιµοποιήσουµε µια µεταβλητή στη συνέχεια του προγράµµατος/notebook είναι καλύτερα να αποδεσµεύσουµε την µεταβλητή αυτή από τον ορισµό που τις είχαµε δώσει προκειµένου να µην επηρεάσει το υπόλοιπο πρόγραµµα/notebook. Η αποδέσµευση αυτή γίνεται µε έναν από τους παρακάτω τρόπους : x=. Αποµακρύνει όποιον ορισµό είχαµε δώσει στo x. Unset[x] Clear[x] Remove[x] Αποµακρύνει τυχόν ορισµούς αλλά και τιµές που είχαµε προσδώσει στo x. Η Clear παρ όλα αυτά δεν αποµακρύνει χαρακτηριστικά που έχουν αποδοθεί στο x ή µηνύµατα που συνοδεύουν το x ή ορισµένες ιδιότητες που του έχουν αποδοθεί. Αν επιπλέον θέλω να αφαιρέσω και τα χαρακτηριστικά αυτά µπορώ να χρησιµοποιήσω την ClearAll στην θέση της Clear. Η Remove αποµακρύνει οριστικά το σύµβολο x έτσι ώστε να µην αναγνωρίζεται πια από το Mathematica. Παράδειγµα A= 81, 2, 3<;?A Global`A

15 Σελίδα 15 από 37 A = 81, 2, 3< A=.?A Global`A Information::notfound : Symbol A not found. Στο παραπάνω παράδειγµα είναι φανερό ότι αν αποµακρύνουµε την τιµή του Α µε την εντολή A=., παρατηρούµε ότι παραµένει η ιδιότητα του A ότι είναι µια global µεταβλητή, σε αντίθεση µε την εντολή Remove[] που αποµακρύνει πλήρως το Α καθώς και τις ιδιότητες που το συνοδεύουν. Στην θέση της µεταβλητής x µπορούµε επιπλέον να χρησιµοποιήσουµε σύµβολα υποκατάστασης (* για κανέναν ή περισσότερους για έναν ή περισσότερους χαρακτήρες εκτός από κεφαλαίους χαρακτήρες) για να δηλώσω ένα µεγαλύτερο σύνολο µεταβλητών π.χ. Clear[ x* ] ώστε να αποµακρύνει τις τιµές από όλες τις µεταβλητές που ξεκινούν από το γράµµα x. Παράδειγµα A1 = 81, 2, 3< 81, 2, 3< A2 = 2 2 "D?A1 Information::notfound : Symbol A1 not found.?a2 Information::notfound : Symbol A2 not found. Παρατηρήσεις 1. Προσέχουµε πολύ κατά την τοποθέτηση των παρενθέσεων/άγκιστρων. Αν δεν είµαστε σίγουροι για το σχεδιασµό των εκφράσεων, τοποθετούµε παρενθέσεις. Ένα κριτήριο που θα µας βοηθήσει στον έλεγχο είναι ότι : Αριστερές Παρενθέσεις = εξιές Παρενθέσεις 2. Ελέγχουµε αν χρησιµοποιούµε για κάθε µεταβλητή το ίδιο όνοµα σε όλα τα µέρη του προγράµµατος. 3. Ελέγχουµε αν οι µεταβλητές που υπάρχουν δεξιά του =, έχουν ήδη πάρει τιµές από πιο µπροστά, διαφορετικά το Mathematica τις χρησιµοποιεί σαν σύµβολα. Επίσης χρησιµοποιούµε το Ν[] ή //Ν όταν θέλουµε να δηλώσουµε ότι δεν θα δουλέψουµε µε συµβολικές εκφράσεις. 4. Ελέγχουµε αν τα ορίσµατα των συναρτήσεων έχουν πάρει σωστές τιµές, π.χ. υπόριζο θετικό, όρισµα λογαρίθµου θετικό κ.ο.κ. 5. Συνηθίζουµε να χρησιµοποιούµε ονόµατα µεταβλητών που έχουν σχέση µε την ποσότητα την οποία παριστούν π.χ. velocity για ταχύτητα, area για εµβαδόν κ.ο.κ. Για να ξεχωρίζουµε τα ονόµατα των µεταβλητών µας από αυτά που χρησιµοποιεί το Mathematica συνηθίζουµε να γράφουµε το πρώτο γράµµα της

16 Σελίδα 16 από 37 µεταβλητής µε πεζούς χαρακτήρες π.χ. velocity αντί Velocity. 6. Όταν µια έκφραση είναι πολύπλοκη, τη σπάµε σε απλούστερες εκφράσεις π.χ. b + z = b b b 2 2 4ac 4ac Z1= B+Sqrt[B^2 4*A*C] Z2= B Sqrt[B^2 4*A*C] Z=Z1/Z2 7. Χρησιµοποιούµε τις ενσωµατωµένες συναρτήσεις του Mathematica όπου είναι δυνατό π.χ. B + Sqrt[ B ^ 2 4 AC]. Με τον τρόπο αυτό παίρνουµε ταχύτερα και καλύτερα αποτελέσµατα όταν έχουµε να λύσουµε αριθµητικά προβλήµατα Συναρτήσεις Πολλές φορές για τον υπολογισµό εκφράσεων χρειαζόµαστε εκτός από τους γνωστούς αριθµητικούς τελεστές και συναρτήσεις όπως το ηµίτονο, ο λογάριθµος κ.λ.π. Το Mathematica υποστηρίζει ένα σύνολο συναρτήσεων για τον υπολογισµό τέτοιων εκφράσεων. Τις πιο στοιχειώδεις συναρτήσεις τις δίνουµε παρακάτω. Αριθµητικές συναρτήσεις Όνοµα Περιγραφή Παράδειγµα Abs[x] Απόλυτη τιµή του x In[23]:= 3.1D Out[23]= 3.1 In[24]:= 4 ID Out[24]= 5 Sqrt[x] Τετραγωνική ρίζα του x In[25]:= Out[25]= 2 In[26]:= 4 ID Out[26]= 2+ Sin[x] Ηµίτονο του x σε ακτίνια In[27]:= Out[27]= 1 In[28]:= ID Out[28]= ArcSin[x] Τόξο ηµιτόνου του x In[29]:= Out[29]= π 2 Cos[x] Συνηµίτονο του x σε ακτίνια In[30]:= Out[30]= 0

17 Σελίδα 17 από 37 Όνοµα Περιγραφή Παράδειγµα ArcCos[x] Τόξο συνηµιτόνου του x In[31]:= Out[31]= π 2 Tan[x] Εφαπτοµένη του x σε ακτίνια In[32]:= Out[32]= ComplexInfinity ArcTan[x] Τόξο εφαπτοµένης του x In[33]:= Out[33]= π 2 Exp[x] e x In[34]:= Out[34]= 1 In[35]:= 2 ID Out[35]= 1+2 Log[x] Φυσικός λογάριθµος του x In[36]:= Out[36]= 2 In[37]:= Out[37]= Log[b, x] Λογάριθµος του x µε βάση το b In[38]:= 10^4D Out[38]= 4 Max[X1, X2,...] Ο µέγιστος των Χ1,Χ2, In[39]:= 5, 2, 9D Out[39]= 9 In[40]:= 3, 8, 1, 2<D Out[40]= 8 Min[X1, X2,...] Ο ελάχιστος των Χ1,Χ2, In[41]:= 5, 2, 9D IntegerPart[x] Ο πραγµατικός αριθµός x χωρίς τα δεκαδικά ψηφία Out[41]= 1 In[42]:= Out[42]= 2 In[43]:= Out[43]= 2 FractionalPart[x] Το δεκαδικό µέρος του αριθµού x In[44]:= Out[44]= 0.6

18 Σελίδα 18 από 37 Round[x] Όνοµα Περιγραφή Παράδειγµα Μετατροπή στον πλησιέστερο ακέραιο In[45]:= Out[45]= 2 In[46]:= Out[46]= 3 Floor[x] Μεγαλύτερος ακέραιος x In[47]:= Out[47]= 2 Mod[x,y] ή x IntegerPart[x/y] *y Ακέραιο υπόλοιπο της διαίρεσης x µε το y In[48]:= 3D Out[48]= 1 In[49]:= 7 3 Out[49]= 1 Παρατηρήσεις. 1. Τα ονόµατα των συναρτήσεων στο Mathematica ξεκινούν πάντα µε κεφαλαίο γράµµα. 2. Τα ορίσµατα των συναρτήσεων δίνονται µέσα σε τετράγωνες αγκύλες []. 3. Εκτός από τα ονόµατα των συναρτήσεων µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και τις παλέτες που διαθέτει το Mathematica π.χ. File->Palettes- >BasicCalculations

19 Σελίδα 19 από 37 Παράδειγµα Να µετατραπούν οι παρακάτω αλγεβρικές εκφράσεις σε µορφή αποδεκτή από το Mathematica α) x + y N β) K( 1+ E) x y γ) B + B 4AC x + y δ) 2A ε) ηµ ( 2χ ) y 1 στ) x + 2 συν ( χ 1) + 1 ln( x) ζ) x 1< y< x+ 1 η) x y Απάντηση α) (Χ+Υ)/(Χ Υ) β) Κ*(1+Ε)^Ν γ) (Χ^2+Υ^2)^(1/3) δ) ( Β+Sqrt[Β^2 4*Α*C)]/(2*A) ε) Sin[2*X]/((Cos[X 1])^2+1) στ) Abs[ X+(Y 1)/Log[X]] ζ) x-1<y<x+1 η) Abs[x]<=y ραστηριότητα Υπολογίστε προσεγγιστικά τις εκφράσεις : 2 π 2 π α) sin + cos 4 4 e β) e π π 1 i 1+ i γ) ( )( ) δ) tan π Σύνθετοι αριθµητικοί υπολογισµοί. Το Mathematica όπως θα δούµε και στα επιµέρους κεφάλαια διαθέτει ένα σύνολο συναρτήσεων που µπορεί να µας βοηθήσει στην επίλυση σύνθετων υπολογιστικών προβληµάτων. Παρακάτω δίνουµε ορισµένα χαρακτηριστικά παραδείγµατα. NSolveAx 2 5 x+ 6 0, xe 88x Ø 2.<, 8x Ø 3.<< Η συνάρτηση NSolve[f(x)==0,x] στο παραπάνω παράδειγµα δίνει µια αριθµητική προσέγγιση των λύσεων της εξίσωσης f(x)=0 ως προς x. Όταν µια εξίσωση δεν µπορεί να λυθεί αλγεβρικά, τότε µπορεί να λυθεί µε προσεγγιστικές µεθόδους µέσω της συνάρτησης FindRoot[f(x)==0,{x,a}] όπου a είναι ένας αριθµός κοντά στην ρίζα

20 Σελίδα 20 από 37 ο οποίος χρησιµοποιείται για την έναρξη της προσεγγιστικής µεθόδου που θα χρησιµοποιηθεί. == x+ Solve::tdep : The equationsappear to involve the variables to be solved for in an essentially non-algebraic way. More == x+ 8x, 1<D 8x Ø < Μπορούµε να υπολογίσουµε ορισµένα ολοκληρώµατα π.χ. NIntegrateAExpAx 2 E, 8x, 0, 1<E Μέσω της συνάρτησης NIntegrate[f(x),{x,a,b}] που υπολογίζει το ορισµένο ολοκλήρωµα της συνάρτησης f(x) στο κλειστό διάστηµα [a,b] µε προσεγγιστικές µεθόδους. Το Mathematica έχει µεγάλη εφαρµογή και στη Θεωρία Αριθµών όπως φαίνεται παρακάτω : 1D 887, 2<, 831, 1<, 871, 1<, 8127, 1<, 8151, 1<, 8337, 1<, , 1<, , 1<, , 1<, , 1<< Η συνάρτηση FactorInteger[] παραγοντοποιεί έναν ακέραιο αριθµό. Ο παραπάνω αριθµός είναι ο : Η συνάρτηση PrimeQ[] ελέγχει αν ένας αριθµός είναι πρώτος ενώ η συνάρτηση Prime[k] εµφανίζει τον k-οστο πρώτο πρώτο αριθµό. 1D True ραστηριότητα Έλεγξε αν ο 2 1 είναι πρώτος αριθµός. Αν όχι 18 παραγοντοποίησε τον. Κάνε το ίδιο για τον 2 1. ραστηριότητα Προσπάθησε να επιλύσεις την δευτεροβάθµια εξίσωση 2 x 5x+ 6= Συµβολικοί υπολογισµοί Το Mathematica µπορεί να χειριστεί µε την ίδια ευκολία που χειρίζεται τους αριθµούς και σύµβολα. Ας υποθέσουµε για παράδειγµα ότι θέλουµε να παραγοντοποιήσουµε την έκφραση x + y. Με την συνάρτηση Factor[] παίρνουµε το επιθυµητό αποτέλεσµα :

21 Σελίδα 21 από 37 + y^39d Hx+ ylhx 2 xy+ y 2 L Hx 12 x 11 y + x 10 y 2 x 9 y 3 + x 8 y 4 x 7 y 5 + x 6 y 6 x 5 y 7 + x 4 y 8 x 3 y 9 + x 2 y 10 xy 11 + y 12 L Hx 24 + x 23 y x 21 y 3 x 20 y 4 + x 18 y 6 + x 17 y 7 x 15 y 9 x 14 y 10 + x 12 y 12 x 10 y 14 x 9 y 15 + x 7 y 17 + x 6 y 18 x 4 y 20 x 3 y 21 + xy 23 + y 24 L Αν πάλι θέλουµε να κάνουµε όλες τις δυνατές απλοποιήσεις στο παραπάνω αποτέλεσµα θα εφαρµόσουµε την συνάρτηση Simplify[] στο προηγούµενο αποτέλεσµα (%) και θα έχουµε : x 39 + y 39 Αν πάλι θέλουµε το ανάπτυγµα της πιο προηγούµενης έκφρασης θα εφαρµόσουµε την συνάρτηση Expand[] στο πιο προηγούµενο αποτέλεσµα (%%) και θα έχουµε : x 39 + y 39 ραστηριότητα Προσπάθησε να απλοποιήσεις την έκφραση : ( 2 ) + ( 2 ) 3 3 x x y y x y Το Mathematica µπορεί να µας βοηθήσει στην ακριβή επίλυση εξισώσεων : 5 x+ a 0, xd ::x 1 è!!!!!!!!!!!!!! I5 25 4aM>, :x 1 è!!!!!!!!!!!!!! I aM>> 2 2 Η Solve[f(x)==0,x] επιλύει την εξίσωση f(x)=0 ως προς x. Η συνάρτηση Reduce[f(x)==0,x] µάλιστα κάνει και διερεύνηση της εξίσωσης για τις διάφορες τιµές της παραµέτρου : x+ b 0, xd b 0&&a 0»» a 0&&x b a Οι παραπάνω συναρτήσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν και για την επίλυση συστήµατος εξισώσεων όπως παρακάτω : x1 x2 + 2 x3 + x4 2, 2 x1 + x2 3 x3 5 x4 4, x1 x2 + x3 +6 x4 0, 2 x1 +3 x2+ 5 x3 7 x4 1<, 8x1, x2, x3, x4<d ::x1 51 2,x2 11 3,x3 73 6,x >>

22 Σελίδα 22 από 37 Η σύνταξη τους στην περίπτωση αυτή είναι Solve[{f1(x1,x2, )==0,f2(x1,x2,..)==0, },{x1,x2, }] και Reduce[{f1(x1,x2, )==0,f2(x1,x2,..)==0, },{x1,x2, }] αντίστοιχα. x1+ x2 x3 +x5 1, x1 x2 +2 x3 x4 + x5 == 2, 2 x1 +2 x2 3 x3 + 3 x4 + x5 0, x1+ x2 3 x4 + 2 x5 3<, 8x1, x2, x3, x4, x5<d Solve ::svars : Equations may not give solutions for all "solve " variables. More ::x1 9 7x5 x2 2 2,x x5 2,x4 1 2 x5 2 >> Στο Mathematica µπορούµε να ορίσουµε πίνακες όπως παρακάτω που να περιέχουν αριθµούς αλλά και σύµβολα µαζί : A = 8 81, 1, 1<, 8a, b, c<, 8a^2, b^2, c^2<< i y a b c j k a 2 b 2 c 2 z { Προκειµένου να έχουµε την παραπάνω µορφή του πίνακα στην απάντηση θα πρέπει να έχουµε επιλέξει από το µενού Cell->DefaultOutputFormatType->TraditionalForm. Στη συνέχεια µπορούµε να υπολογίσουµε την ορίζουσα του πίνακα Α π.χ. -ba 2 + ca 2 + b 2 a - c 2 a + bc 2 - b 2 c καθώς και να παραγοντοποιήσουµε το προηγούµενο αποτέλεσµα π.χ. -Ha - blha - clhb -cl Μπορούµε να υπολογίσουµε τον αντίστροφο του πίνακα Α π.χ. bc b+c i - j k Ha-bLHa-cL ac b 2 -ab-cb+a c ab Ha-cLHb-cL - Ha-bLHa-cL a+c Ha-bLHb-cL a+b Ha-cLHb-cL 1 Ha-bLHa-cL 1 Hb-aLHb-cL 1 Ha-cLHb-cL y z { Η συνάρτηση Inverse[A] υπολογίζει τον αντίστροφο πίνακα του Α, ενώ το σύµβολο // σηµαίνει ότι εφαρµόζουµε την συνάρτηση που υπάρχει δεξιά του // στο αποτέλεσµα που υπολογίσαµε. Αν a=2, b=2, c=3 τότε οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α είναι αντίστοιχα :

23 Σελίδα 23 από 37 a= 2; b = 2; c = 3; 811, 1, 0< i y j z k { ή και τα δύο µαζί : J 83, 8, 22< 8-1, -1, 1< 8-1, 1, 0< N Το Mathematica µπορεί να χρησιµοποιηθεί στον υπολογισµό παραγώγων 1 ης, 2 ης κ.ο.κ τάξης µέσω της συνάρτησης D[f(x),{x,τάξη}] ή µέσω της D[f(x),x] αν η τάξη είναι 1 π.χ. DAx 2 5 x+ 2 x- 6 Hx - 1L 2-5 DAx 2 5 x Hx - 1L 3 DAx 2 5 x Hx- 1L 4 6 x 1,xE 6, 8x, 2<E x 1 6, 8x, 3<E x 1 Παρόµοια µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό αόριστων ολοκληρωµάτων : x 1 IntegrateA x 2 5 x+ 6,xE 2logHx- 3L -loghx - 2L IntegrateAIx 2 + 1M x Ix 2-2 x +3M Συµβολικά µπορούµε να λύσουµε απλές διαφορικές εξισώσεις όπως παρακάτω == xd ::yhxl Ø J1-"#### 2 N x c 1 + J1+"#### 2 N x c 2 >> ή συστήµατα διαφορικών εξισώσεων : == z == xd ::zhxl Ø 1 2 -x I1 + 2 x M c x I-1+ 2 x M c 2, yhxl Ø 1 2 -x I1 + 2 x M c x I x M c 1 >>

24 Σελίδα 24 από Γραφικές παραστάσεις Το Mathematica σου δίνει την δυνατότητα να δηµιουργείς την γραφική παράσταση µιας συνάρτησης : 8x, 1, 1<D ή και παραπάνω από µια συναρτήσεων µαζί x^2d, x^2d<, 8x, 1, 1<D Περισσότερες πληροφορίες για τα ορίσµατα της παραπάνω συνάρτησης µπορείς να πάρεις γράφοντας?plot 8x, xmin, xmax<d generates a plot of f as a function of x from xmin to xmax. f2,... <, 8x, xmin, xmax<d plots several functions fi. More ή?? Plot 8x, xmin, xmax<d generates a plot of f as a function of x from xmin to xmax. f2,... <, 8x, xmin, xmax<d plots several functions fi. More

25 Σελίδα 25 από 37 = 8HoldAll, Protected< = 9AspectRatio 1,Axes Automatic, AxesLabel None, GoldenRatio AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic, Background Automatic, ColorOutput Automatic, Compiled True, DefaultColor Automatic, DefaultFont $DefaultFont, DisplayFunction $DisplayFunction, Epilog 8<, FormatType $FormatType, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines None, ImageSize Automatic, MaxBend 10., PlotDivision 30., PlotLabel None, PlotPoints 25, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, Prolog 8<, RotateLabel True, TextStyle $TextStyle, Ticks Automatic= Συνεπώς µπορούµε να αλλάξουµε το AspectRatio από 1/φ σε Automatic και να έχουµε x^2d, x^2d<, 8x, 1, 1<, AspectRatio AutomaticD Μπορούµε και να δηµιουργήσουµε ένα σύνολο σηµείων (ή να καλέσουµε ένα σύνολο σηµείων από ένα αρχείο) 8i, 1, 20<D

26 Σελίδα 26 από 37 i 1 2 y j z k { και να σχεδιάσουµε την γραφική παράσταση των σηµείων αυτών ?ListPlot y2,... <D plots a list of values. The x coordinates for each point are taken to be 1, 2,.... y1<, 8x2, y2<,... <D plots a list of values with specified x and y coordinates. More Μπορούµε να σχεδιάσουµε και γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων δύο µεταβλητών + y^2, 8x, 1, 1<, 8y, 1, 1<D

27 Σελίδα 27 από ?Plot3D 8x, xmin, xmax<, 8y, ymin, ymax<d generates a three dimensional plot of f as a function of x and y. s<, 8x, xmin, xmax<, 8y, ymin, ymax<d generates a three dimensional plot in which the height of the surface is specified by f, and the shading is specified by s. More Επίσης µπορούµε να δώσουµε κίνηση στα γραφικά µας. << Graphics`Animation` 8x, 0, 2 Pi<, Axes FalseD, 8n, 1, 6, 1<D 0.5 1

28 Σελίδα 28 από 37? Animate iterator, options...d uses the iterator to run the specified graphics command, and animates the results. More Αρκεί να κάνεις διπλό κλίκ σε κάποια από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις.

29 Σελίδα 29 από Προγραµµατισµός Το Mathematica διαθέτει µια υψηλού επιπέδου γλώσσα προγραµµατισµού η οποία µας δίνει την δυνατότητα να δηµιουργούµε τις δικές µας συναρτήσεις επεκτείνοντας µε τον τρόπο αυτό τις δυνατότητες της γλώσσας αυτής. H γλώσσα προγραµµατισµού του Mathematica εκτός από την δυνατότητα να διαχειρίζεται σύµβολα και νούµερα, διαθέτει επίσης και τρεις διαφορετικές µεθοδολογίες προγραµµατισµού : τον διαδικασιακό προγραµµατισµό (procedural programming), τον συναρτησιακό προγραµµατισµό (functional programming), και τον κανονοκεντρικό προγραµµατισµό (rule-based programming) ιαδικασιακός προγραµµατισµός (procedural programming) Η µεθοδολογία του διαδικασιακού προγραµµατισµού, µέσω γνωστών γλωσσών διαδικασιακού προγραµµατισµού, είναι αυτή που διδάσκεται συνήθως πρώτα σε σχολεία αλλά και Πανεπιστήµια. Γλώσσες διαδικασιακού προγραµµατισµού είναι η C++, η Fortran 90/95, η Pascal κ.λ.π.. Στον διαδικασιακό προγραµµατισµό πρέπει εµείς να περιγράψουµε, µε την µορφή εντολών, τα βήµατα που θα πρέπει να ακολουθήσει ο υπολογιστής για να επιλύσει ένα πρόβληµα. Ένα τυπικό παράδειγµα διαδικασιακού προγραµµατισµού είδαµε προηγουµένως αλλά και στην ενότητα 1.1. Στον διαδικασιακό προγραµµατισµό οι µεταβλητές δεν θεωρούνται πλέον συναρτήσεις αλλά θέσεις της µνήµης του Η/Υ οι οποίες µπορούν να αλλάξουν τιµή. Οι συνθήκες συνήθως πετυχαίνονται µε εντολές όπως η If, Which, Switch ενώ οι επαναλήψεις µε εντολές όπως οι While, For, Do. Στον διαδικασιακό προγραµµατισµό συνήθως διαχωρίζουµε το πρόβληµα µας σε επιµέρους ανεξάρτητα προβλήµατα (διαδικασίες, γνωστές σε διάφορες γλώσσες προγραµµατισµού και ως functions, procedures, subroutines) τα οποία αρχικά επιλύουµε και ελέγχουµε για την ορθότητα τους και στη συνέχεια τα συνθέτουµε ώστε να πάρουµε την επίλυση του αρχικού µας προβλήµατος, µια µέθοδος γνωστή ως σχεδίαση από πάνω προς τα κάτω (top-down design). Εναλλακτικές µεθόδους σχεδίασης µπορεί να βρει ο ενδιαφέρων αναγνώστης στο βιβλίο (Α. Καµέας, 2000, Εισαγωγή στη Πληροφορική : Τεχνικές Προγραµµατισµού, Τόµος Β, ΕΑΠ). Παρόλο που η χρήση του διαδικαστικού προγραµµατισµού είναι δελεαστική για τους γνώστες αυτής της τεχνικής λόγω εµπειρίας από άλλες διαδικαστικές γλώσσες προγραµµατισµού, θα θέλαµε να επισηµάνουµε ότι συνήθως οδηγεί σε πολύπλοκες µεθοδολογίες επίλυσης µε αρνητικές συνέπειες στον χρόνο εκτέλεσης των προγραµµάτων σε σχέση µε την µεθοδολογία του συναρτησιακού προγραµµατισµού. Παράδειγµα Στο παρακάτω πρόγραµµα χρησιµοποιούµε την µεθοδολογία του διαδικασιακού προγραµµατισµού για τον υπολογισµό της αναδροµικής ακολουθίας για n= : 1 2 an = an 1 +, a0 = 1 2 an 1 t= 1.0; H1ê2L Ht+2êtL, <D; t

30 Σελίδα 30 από 37 Η εντολή Do είναι εντολή επανάληψης και η σύνταξη της δίνεται παρακάτω :?Do 8imax<D evaluates expr imax times. 8i, imax<d evaluates expr with the variable i successively taking on the values 1 through imax Hin steps of 1L. 8i, imin, imax<d starts with i = imin. 8i, imin, imax, di<d uses steps di. 8i, imin, imax<, 8j, jmin, jmax<,... D evaluates expr looping over different values of j, etc. for each i. More Άλλες εντολές επανάληψης είναι οι While και For? While bodyd evaluates test, then body, repetitively, until test first fails to give True. More s= 0; i= 1; 1001, Hs= s+i; i = i+2ld; s?for test, incr, bodyd executes start, then repeatedly evaluates body and incr until test fails to give True. More 1, i 3, ++i, Εντολές συνθήκης που χρησιµοποιούµε είναι οι If, Which και Switch?If t, fd gives t if condition evaluates to True, and f if it evaluates to False. t, f, ud gives u if condition evaluates to neither True nor False. More := IfAx> 0, x 2 3, x 2 + 3E -2 1D 4? Which value1, test2, value2,... D evaluates each of the testi in turn, returning the value of the valuei corresponding to the first one that yields True. More 3, 1, 1 > 4, 2, 2 2, 3D 3?Switch form1, value1, form2, value2,... D evaluates expr, then compares it with each of the formi in turn, evaluating and returning the valuei corresponding to the first match found. More

31 Σελίδα 31 από 37 := Plus, x, Times, x^2, List, bd a 2 b 2 Για την ανάθεση τιµών σε µεταβλητές εκτός από τον τελεστή ανάθεσης (=) χρησιµοποιούµε και την συνάρτηση Input[]?Input D interactively reads in one Mathematica expression. requests input, using the specified string as a prompt. More a= Συναρτησιακός προγραµµατισµός (functional programming) Το επίκεντρο του συναρτησιακού προγραµµατισµού είναι ο υπολογισµός εκφράσεων και όχι η εκτέλεση εντολών (ανάθεση τιµών σε µεταβλητές όπως στον διαδικασιακό προγραµµατισµό). Οι εκφράσεις στην γλώσσα του συναρτησιακού προγραµµατισµού δηµιουργούνται µε την χρήση συναρτήσεων οι οποίες δέχονται ως ορίσµατα απλές τιµές ή άλλες συναρτήσεις. Στον συναρτησιακό προγραµµατισµό από την στιγµή που µια µεταβλητή δεχθεί µια τιµή, δεν µπορεί να θεωρηθεί ως µεταβλητή η οποία δέχεται αλλαγές, αλλά αντίθετα θεωρείται ως µια συνάρτηση που έχει καθορισµένη τιµή στο υπόλοιπο πρόγραµµα. Οι επαναλήψεις στον συναρτησιακό προγραµµατισµό πραγµατοποιούνται συνήθως µε αναδροµή ενώ οι συνθήκες που χρειαζόµαστε υλοποιούνται µε την εντολή if. Παρακάτω δίνουµε ένα παράδειγµα όπου φαίνεται η διαφορά του συναρτησιακού µε τον διαδικασιακό προγραµµατισµό. Παράδειγµα Να υπολογισθεί το άθροισµα των αριθµών 1,2,3,,10. α) µέσω συναρτησιακού προγραµµατισµού :

32 Σελίδα 32 από 37 8i, 1, 10<D 55 Η µέθοδος υπολογισµού που χρησιµοποιείται είναι η εφαρµογή συναρτήσεως. β) µέσω διαδικασιακού προγραµµατισµού : s= 0; = 1, i 10, ++i, s = s+ id;s 55 Η µέθοδος υπολογισµού που χρησιµοποιείται είναι η ανάθεση µεταβλητών. Κύρια χαρακτηριστικά του συναρτησιακού προγραµµατισµού είναι : α) δυνατότητα συγγραφής προγραµµάτων δοµηµένων µε σαφήνεια και λιτότητα τα οποία διαθέτουν ένα υψηλό επίπεδο αφαιρετικότητας, β) µας παρέχουν πολύ ισχυρά εργαλεία για την επίλυση προβληµάτων, γ) βοηθούν στην ελάττωση του χρόνου και του κόστους παραγωγής ενός προγράµµατος (δες παραπάνω παράδειγµα), δ) αντιµετωπίζουν µε επιτυχία το πρόβληµα του µεγέθους και της πολυπλοκότητας που έχουν τα σύγχρονα προβλήµατα. Το κύριο µειονέκτηµα του συναρτησιακού προγραµµατισµού αφορά την µεγάλη απαίτηση σε ταχύτητα επεξεργασίας από τον Η/Υ, σε σχέση µε τα προγράµµατα τα οποία έχουν γραφεί µε διαδικασιακό προγραµµατισµό. Οι αρχές του συναρτησιακού προγραµµατισµού βασίστηκαν στην ανάλυση λάµδα από τους Alonzo Church και Haskell Curry κατά τη δεκαετία και στη συνέχεια µε τη δηµιουργία γλωσσών συναρτησιακού προγραµµατισµού όπως η Lisp από τον John McCarthy (δεκαετία 1960), FP από τον John Backus (1978), ML από τον Roobin Milner (µέσα δεκαετίας 1970), Miranda από τον David Turner (τέλη δεκαετίας 1970 δεκαετία 1980), γλώσσα Haskell και Haskell 98 (1988 και 1999 αντίστοιχα) κ.λ.π Κανονοκεντρικός προγραµµατισµός (rule-based programming) Ο όρος κανόνας (rule) στον κανονοκεντρικό προγραµµατισµό αναφέρετε στον ορισµό της συνάρτησης. Ένα κανονοκεντρικό πρόγραµµα αποτελείται από ένα σύνολο ορισµών συναρτήσεων τα οποία όµως αφορούν πάντα την ίδια συνάρτηση. Κάθε ορισµός αναφέρεται σε διαφορετική µορφή που µπορούν να έχουν τα ορίσµατα της συνάρτησης. Όταν λοιπόν ζητήσουµε να εκτελεστεί η συνάρτηση το πρόγραµµα θα αποφασίσει το πώς θα ενεργήσει ανάλογα µε την µορφή που έχουν τα ορίσµατα της συγκεκριµένης συνάρτησης. Στον διαδικασιακό προγραµµατισµό, αντίθετα, θα πρέπει ο προγραµµατιστής να ορίσει µέσω εντολών συνθήκης και ενός πολύπλοκου προγράµµατος (spaghetti programming) την συµπεριφορά της συνάρτησης για διαφορετικά ορίσµατα. Η δε διόρθωση και συντήρηση τέτοιου είδους διαδικασιακών προγραµµάτων αποτελεί ένα δύσκολο εγχείρηµα διότι θα πρέπει να καταλάβεις την δύσκολη λογική που εµπεριέχει το πρόγραµµα. Στον κανονοκεντρικό προγραµµατισµό η εκτέλεση των εντολών δεν είναι ακολουθιακή όπως στον διαδικασιακό προγραµµατισµό, αλλά βασίζεται στην ενεργοποίηση συγκεκριµένων συνθηκών. Μια χαρακτηριστική γλώσσα κανονοκεντρικού προγραµµατισµού εκτός του Mathematica είναι η Prolog. Στο επόµενο παράδειγµα δείχνουµε πως θα µπορούσε να ορισθεί µαθηµατικά η πρόσθεση δύο ακεραίων αριθµών µέσω κανόνων.

33 Σελίδα 33 από 37 Παράδειγµα Έστω η συνάρτηση succ(n) (succ(n)=n+1) που δίνει τον επόµενο αριθµό του n και µε την συνάρτηση f(n,m) ορίζουµε την συνάρτηση που µας δίνει το αποτέλεσµα της πρόσθεσης των ακεραίων n,m. Η συνάρτηση f(n,m) µπορεί να ορισθεί µέσω των 2 κανόνων : f(0,m)=m f(n,m)=succ(f(n-1,m)) (1 ος κανόνας) (2 ος κανόνας) Ας δούµε ένα παράδειγµα υπολογισµού της συνάρτησης f. Έστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το άθροισµα 2+2, τότε θα έχουµε : f(2,2) = f(succ(1),2) = (από 2 ο κανόνα) = succ(f(1,2)) = succ(f(succ(0),2)) = (από 2 ο κανόνα) = succ(succ(f(0,2))) = (από 1 ο κανόνα) = succ(succ(2)) = succ(3) = 4 Το παραπάνω παράδειγµα µπορεί εύκολα να υλοποιηθεί στο περιβάλλον του Mathematica, ως εξής : Βήµα 1. Ορίζουµε την συνάρτηση που µας δίνει τον επόµενο ακέραιο του n. := n+ 1 Βήµα 2. ίνουµε τους δύο κανόνες της συνάρτησης f που υπολογίζει το άθροισµα δύο ακεραίων. m_integerd := m m_integerd := 1, mdd Βήµα 3. Υπολογίζουµε τα βήµατα που θα κάνει το Mathematica για τον υπολογισµό της τιµής f[2,2]. 2DD 1, 2DD, 882 1, 1<, 2D, 1, 2DD, 881 1, 2D,2<, 1, 3<, 1, 4< Παράδειγµα Να υπολογισθεί ο 20 ος όρος της ακολουθίας Fibonacci. F1 = 1, F2 = 1, Fn = Fn 1+ Fn 2 Στο Mathematica ορίζουµε τους παραπάνω κανόνες : = = 1; := 1D + 2D και υπολογίζουµε το αποτέλεσµα 6765 Αν θέλουµε να δούµε µε ποιον τρόπο υπολογίσθηκε ο 3 ος γράφουµε : όρος της ακολουθίας 8fibH3L, fibh3-2l +fibh3-1l, 883-1, 2<, fibh2l, 1<, 883-2, 1<, fibh1l, 1<, 1+ 1, 2<

34 Σελίδα 34 από Σύνοψη Στην ενότητα αυτή, προσπαθήσαµε να δώσουµε µια πολύ συνοπτική περιγραφή των δυνατοτήτων του Mathematica. Σε επιµέρους κεφάλαια θα δούµε τις δυνατότητες του Mathematica σε ειδικά προβλήµατα της Γραµµικής Άλγεβρας και του Λογισµού µιας µεταβλητής.

35 Σελίδα 35 από Απαντήσεις στις δραστηριότητες ραστηριότητα α) 4ê23 52D β) 24 23L +22 êh2 34LD Αν έχοντας πατηµένο το πλήκτρο Ctrl πατήσεις το πλήκτρο / θα έχεις την µορφή του κλάσµατος στο Mathematica όπου µπορείς να προσθέσεις τον αριθµητή και παρονοµαστή που θέλεις. Η µετακίνηση από τον αριθµητή στον παρονοµαστή γίνεται µε το πλήκτρο TAB ή κάνοντας κλίκ στον αριθµητή/παρονοµαστή. NAH L E Μπορείς να βοηθηθείς και µε το εργαλείο ( ) από την παλέτα BasicInput

36 Σελίδα 36 από 37 ραστηριότητα H1< 2L&& H4 < 2L False H2> 5L»»H3 > 6L False ραστηριότητα (α) (2 > 5)&&(3 > 1) (4 > 3) = False&&True True = False True True H2> 5L&& H3 > 1L»»H4> 3L = False &&True True = False True = True False True (β) (5+4/2)^2^3=(5+2)^2^3=7^2^3=7^8= H5+ 4ê2L^2^3 êê Simplify ραστηριότητα (α) 6LD (β) 10D True ραστηριότητα α) ή SinA Pi 4 E2 + CosA Pi 4 E2 1 β) NAE π π E E Η αναπαράσταση του π γίνεται µε το συνδυασµό των πλήκτρων [ESC]pi[ESC], ενώ της δύναµης µε το Ctrl+^. γ) H1 IL H1+ ILêêComplexExpand 2 Η ComplexExpand[] αναπτύσει το αποτέλεσµα της µιγαδικής πράξης. δ)

37 Σελίδα 37 από 37 NAArcTanA 1 π EE ραστηριότητα PrimeQA2 17 1E True PrimeQA2 18 1E False FactorIntegerA2 18 1E 883, 3<, 87, 1<, 819, 1<, 873, 1<< ραστηριότητα NSolveAx 2 5 x+ 6 0, xe 88x 2.<, 8x 3.<< ραστηριότητα yl^3 + yh2 x yl^3d Hx ylhx + yl 3

http://users.auth.gr/~ppi/mathematica

http://users.auth.gr/~ppi/mathematica http://users.auth.gr/~ppi/mathematica ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Γλώσσες Προγραμματισμού Fortran, C++, Java,. ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΙ ή ΣΥΜΒΟΛΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Computer Algebra Systems Mathematica,

Διαβάστε περισσότερα

Συμβολικές Γλώσσες Προγραμματισμού με το MATHEMATICA.

Συμβολικές Γλώσσες Προγραμματισμού με το MATHEMATICA. Συμβολικές Γλώσσες Προγραμματισμού με το MATHEMATICA http://users.auth.gr/~ppi/mathematica mathematica.math.auth@gmail.com ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Γλώσσες Προγραμματισμού Fortran,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004)

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) 8 ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) ιάλεξη 2 2.1 ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (ΜΕΡΟΣ Β) Στην προηγούµενη διάλεξη µάθαµε ότι µπορούµε να χρησιµοποιούµε τη ρητή ή την αυτονόητη δήλωση µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση του Mathematica

Παρουσίαση του Mathematica Παρουσίαση του Mathematica Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος Ιόνιο Πανεπιστήμιο (www.ionio.gr)( Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ. Παράδειγμα #1. Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ. Παράδειγμα #1. Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ Τύποι δεδομένων Οι παρακάτω τύποι δεδομένων υποστηρίζονται από τη γλώσσα προγραμματισμού Fortran: 1) Ακέραιοι αριθμοί (INTEGER). 2) Πραγματικοί αριθμοί απλής ακρίβειας

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Η Mathematica είναι ένα ολοκληρωμένο μαθηματικό πακέτο με πάρα πολλές δυνατότητες σε σχεδόν όλους τους τομείς των μαθηματικών (Άλγεβρα, Θεωρία συνόλων, Ανάλυση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT. -Ενσωματωμένες συναρτήσεις. -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD. -Προτεραιότητα πράξεων

Κεφάλαιο 1. Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT. -Ενσωματωμένες συναρτήσεις. -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD. -Προτεραιότητα πράξεων Κεφάλαιο 1 Αρχή ήμισυ παντός. Πλάτων, 427-347 π.χ., Φιλόσοφος Τι θα μάθουμε σήμερα: -AND, OR, NOT -Ενσωματωμένες συναρτήσεις -Μαθηματικοί τελεστές -ΤΕΛΕΣΤΕΣ DIV ΚΑΙ MOD -Προτεραιότητα πράξεων 1 Λογικές

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστές Ι. Άδειες Χρήσης. Τύποι δεδομένων. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης

Υπολογιστές Ι. Άδειες Χρήσης. Τύποι δεδομένων. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Υπολογιστές Ι Τύποι δεδομένων Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Pascal, απλοί τύποι, τελεστές και εκφράσεις

Pascal, απλοί τύποι, τελεστές και εκφράσεις Pascal, απλοί τύποι, τελεστές και εκφράσεις 15 Νοεμβρίου 2011 1 Γενικά Στην standard Pascal ορίζονται τέσσερις βασικοί τύποι μεταβλητών: integer: Παριστάνει ακέραιους αριθμούς από το -32768 μέχρι και το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ακέραιοι αριθμοί (int) Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ακέραιοι αριθμοί (int) Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 1 Τύποι δεδομένων Η γλώσσα προγραμματισμού C++ υποστηρίζει τους παρακάτω τύπους δεδομένων: 1) Ακέραιοι αριθμοί (int). 2) Πραγματικοί αριθμοί διπλής ακρίβειας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις

Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με Εφαρμογές στη Βιοϊατρική Εργαστήριο Γραμμικής Άλγεβρας Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις 2016-2017 Εισαγωγή στη Matlab Matlab

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στη MATLAB ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΚΡΙΒΗΣ ΒΟΗΘΟΙ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΣΩΚΡΑΤΗΣ, ΣΚΟΡΔΑ ΕΛΕΝΗ E-MAIL: SDIMITRIADIS@CS.UOI.GR, ESKORDA@CS.UOI.GR Τι είναι Matlab Είναι ένα περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI. Άδειες Χρήσης. Τύποι δεδομένων, μεταβλητές, πράξεις. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI. Άδειες Χρήσης. Τύποι δεδομένων, μεταβλητές, πράξεις. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI Τύποι δεδομένων, μεταβλητές, πράξεις Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Tcl. Τί είναι η Tcl;

Εισαγωγή στην Tcl. Τί είναι η Tcl; 1 Εισαγωγή στην Tcl Τί είναι η Tcl; Το αρκτικόλεξο Tcl προέρχεται από τις λέξεις «Tool Control Language». Η Tcl είναι μια γλώσσα προγραμματισμού για scripts γενικής χρήσεως, τα οποία επίσης μπορούν να

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στο Sage.

1. Εισαγωγή στο Sage. 1. Εισαγωγή στο Sage. 1.1 Το μαθηματικό λογισμικό Sage Το Sage (System for Algebra and Geometry Experimentation) είναι ένα ελεύθερο (δωρεάν) λογισμικό μαθηματικών ανοιχτού κώδικα που υποστηρίζει αριθμητικούς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Mathematica

Εισαγωγή στο Mathematica Εισαγωγή στο Mathematica Συντακτικοί κανόνες, βασικές συναρτήσεις και σύμβολα Το Mathematica είναι ένα λογισμικό το οποίο εγκαθιστά στον υπολογιστή ένα διαδραστικό μαθηματικό περιβάλλον. Το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές δυνατότητες των σύγχρονων υπολογιστικών μηχανών: Αξιόπιστη καταγραφή πολύ μεγάλου όγκου δεδομένων

Σημαντικές δυνατότητες των σύγχρονων υπολογιστικών μηχανών: Αξιόπιστη καταγραφή πολύ μεγάλου όγκου δεδομένων Σημαντικές δυνατότητες των σύγχρονων υπολογιστικών μηχανών: Γρήγορες προσθέσεις αριθμών Γρήγορες συγκρίσεις αριθμών Αξιόπιστη καταγραφή πολύ μεγάλου όγκου δεδομένων Σχετικά γρήγορη μετάδοση και πρόσληψη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ 23 ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μάθημα 2ο Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων α εξάμηνο Β. Φερεντίνος I/O 24 Βασική βιβλιοθήκη συναρτήσεων εισόδου/εξόδου #include Η συνάρτηση εξόδου printf printf("συμβολοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1ο: Βασικές Έννοιες

Κεφάλαιο 1ο: Βασικές Έννοιες Introduction.nb 1 Κεφάλαιο 1ο: Βασικές Έννοιες 1.1 Συνήθεις Πράξεις Το Mathematica υποστηρίζει όλες τις αριθµητικές πράξεις, και µάλιστα µε τον γνωστό τρόπο. Έτσι µπορούµε, να προσθέσουµε δύο αριθµούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10ο: ιαδικασιακός

Κεφάλαιο 10ο: ιαδικασιακός Diadikasiakos_Programmatismos.nb Κεφάλαιο 0ο: ιαδικασιακός Προγραµµατισµός 0. Ανάθεση τιµών σε µεταβλητές Ο τελεστής ανάθεσης (=, :=) χρησιµοποιείται για να τοποθετήσουµε το αποτέλεσµα µιας έκφρασης (τιµή

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Εντολές Αντικατάστασης, Συναρτήσεις και Σχόλια στη C++ Ζαχαρούλα Ανδρεοπούλου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

Π. Σταθοπούλου ή Οµάδα Α (Φοιτητές µε µονό αριθµό Μητρώου ) ιδασκαλία : Παρασκευή 11πµ-13µµ ΗΛ7

Π. Σταθοπούλου ή Οµάδα Α (Φοιτητές µε µονό αριθµό Μητρώου ) ιδασκαλία : Παρασκευή 11πµ-13µµ ΗΛ7 Π. Σταθοπούλου pstath@ece.upatras.gr ή pstath@upatras.gr Οµάδα Α (Φοιτητές µε µονό αριθµό Μητρώου ) ιδασκαλία : Παρασκευή 11πµ-13µµ ΗΛ7 Φροντιστήριο : ευτέρα 11πµ-12πµ ΗΛ4 Προηγούµενη ιάλεξη Προτάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ AΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ. Εισαγωγή στη Python

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ AΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ. Εισαγωγή στη Python ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ AΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Εισαγωγή στη Python Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου)

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) 1. Εισαγωγή Χαρακτηριστικά της γλώσσας Τύποι δεδοµένων Γλώσσα προγραµµατισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Εντολές επιλογής

Κεφάλαιο 4ο: Εντολές επιλογής Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 4ο: Εντολές επιλογής Μέχρι τώρα παρατηρήσαµε ότι τα προβλήµατα που αντιµετωπίσαµε είχαν σειριακή κίνηση, δηλαδή η µία εντολή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Έτσι ο προγραµµατισµός µε τη ΓΛΩΣΣΑ εστιάζεται στην ανάπτυξη του αλγορίθµου και τη µετατροπή του σε σωστό πρόγραµµα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Έτσι ο προγραµµατισµός µε τη ΓΛΩΣΣΑ εστιάζεται στην ανάπτυξη του αλγορίθµου και τη µετατροπή του σε σωστό πρόγραµµα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο 1. Επιλογή της κατάλληλης γλώσσας προγραµµατισµού Εκατοντάδες γλώσσες προγραµµατισµού χρησιµοποιούνται όπως αναφέρθηκε σήµερα για την επίλυση των προβληµάτων µε τον υπολογιστή, τη δηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R

Μαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R Κεφάλαιο 3 Μαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R Ενα µεγάλο µέρος της ανάλυσης δεδοµένων απαιτεί διάφορους µαθηµατικούς υπολογισµούς. Αυτό το κεφάλαιο εισαγάγει τον αναγνώστη στις διάφορες δυνατότητες που έχει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Έλεγχος Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Σχεσιακοί Τελεστές και Ισότητας Ένα πρόγραμμα εκτός από αριθμητικές πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός. Αλγεβρικοί και Λογικοί Υπολογισμοί στη PASCAL

Σκοπός. Αλγεβρικοί και Λογικοί Υπολογισμοί στη PASCAL Αλγεβρικοί και Λογικοί Υπολογισμοί στη PASCAL Δυνατότητα ανάπτυξης, μεταγλώττισης και εκτέλεσης προγραμμάτων στη PASCAL. Κατανόηση της σύνταξης των προτάσεων της PASCAL. Κατανόηση της εντολής εξόδου για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον επιστημονικό προγραμματισμό 2 o Μάθημα

Εισαγωγή στον επιστημονικό προγραμματισμό 2 o Μάθημα Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή στον επιστημονικό προγραμματισμό 2 o Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ email: leo@mail.ntua.gr url: http://users.ntua.gr/leo Μελάς Ιωάννης Υποψήφιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα στο οποίο βασίζεται η εξέταση είναι το αναλυτικό πρόγραμμα του Μαθήματος Κατεύθυνσης Πληροφορική Επιστήμη Η.Υ της Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικός Σκοπός Το μάθημα κατεύθυνσης της στη Γ'

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004)

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) 1 ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) ιάλεξη 1 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ FORTRAN 77 Ένα πρόγραµµα σε οποιαδήποτε γλώσσα προγραµµατισµού δεν τίποτα άλλο από µια σειρά εντολών που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Βασικές έννοιες προγραµµατισµού Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως,

Διαβάστε περισσότερα

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε 2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε Η εντολή Εκτύπωσε χρησιµοποιείται προκειµένου να εµφανίσουµε κάτι στην οθόνη του υπολογιστή. Για τον λόγο αυτό ονοµάζεται και εντολή εξόδου. Ισοδύναµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί και

Διαβάστε περισσότερα

Βασικοί τύποι δεδομένων (Pascal) ΕΠΑ.Λ Αλίμου Γ Πληροφορική Δομημένος Προγραμματισμός (Ε) Σχολ. Ετος Κων/νος Φλώρος

Βασικοί τύποι δεδομένων (Pascal) ΕΠΑ.Λ Αλίμου Γ Πληροφορική Δομημένος Προγραμματισμός (Ε) Σχολ. Ετος Κων/νος Φλώρος Βασικοί τύποι δεδομένων (Pascal) ΕΠΑ.Λ Αλίμου Γ Πληροφορική Δομημένος Προγραμματισμός (Ε) Σχολ. Ετος 2012-13 Κων/νος Φλώρος Απλοί τύποι δεδομένων Οι τύποι δεδομένων προσδιορίζουν τον τρόπο παράστασης των

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της Java

Βασικά στοιχεία της Java Βασικά στοιχεία της Java προτάσεις, εκφράσεις, µεταβλητές, σταθερές, τελεστές Ορισµοί Πρόταση (statement) είναι µία απλή εντολή σε µία γλώσσα προγραµµατισµού. Γιαπαράδειγµα: int x=12; Έκφραση (expression)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΙΑΤΟΙΧΙΣΜΟΥ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ. Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica

ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΙΑΤΟΙΧΙΣΜΟΥ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ. Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΙΑΤΟΙΧΙΣΜΟΥ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ Σηµειώσεις για το πρόγραµµα Mathematica ρ. Νίκος Θεµελής Νοέµβριος 009 Σκοπός των σηµειώσεων

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 11 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση Στα µαθητικά και φοιτητικά µας χρόνια, έχουµε γνωριστεί µε µία ποικιλία από µαθηµατικά προβλήµατα των οποίων µαθαίνουµε σταδιακά τις λύσεις Παραδείγµατος χάριν,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα με στοιχεία τους ζυγούς αριθμούς μεταξύ του 31 και 75

1. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα με στοιχεία τους ζυγούς αριθμούς μεταξύ του 31 και 75 1. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα με στοιχεία τους ζυγούς αριθμούς μεταξύ του 31 και 75 2. Έστω x = [2 5 1 6] α. Προσθέστε το 16 σε κάθε στοιχείο β. Προσθέστε το 3 σε κάθε στοιχείο που βρίσκεται σε μονή θέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66

4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66 Περιεχόμενα Ευρετήριο Πινάκων... 7 Ευρετήριο Εικόνων... 8 Εισαγωγή... 9 Κεφάλαιο 1-Περιβάλλον Εργασίας - Στοιχεία Εντολών... 13 1.1 Το Πρόγραμμα... 14 1.2.1 Εισαγωγή Εντολών... 22 1.2.2 Εισαγωγή Εντολών

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1: Εισαγωγή της δοµής formula node στο Block Diagram.

Σχήµα 5.1: Εισαγωγή της δοµής formula node στο Block Diagram. Η δοµή Formula Node 1. Η δοµή Formula Node επιτρέπει την εισαγωγή αναλυτικών σχέσεων στο Block Diagram µε πληκτρολόγηση, αποφεύγοντας έτσι την εισαγωγή των εικονίδιων συναρτήσεων απλών αλγεβρικών πράξεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιµοποιούµε διαφορετικές εντολές ανάλογα µε τον τρόπο που περιγράφεται η επιφάνεια που µελετάµε. Έτσι έχουµε τις παρακάτω περιπτώσεις:

Χρησιµοποιούµε διαφορετικές εντολές ανάλογα µε τον τρόπο που περιγράφεται η επιφάνεια που µελετάµε. Έτσι έχουµε τις παρακάτω περιπτώσεις: trisdiastatesparastaseis.nb 9.3 Τρισδιάστατες Γραφικές Παραστάσεις Υπάρχει αρκετή οµοιότητα στις εντολές και στις επιλογές για την γραφική παράσταση επιφανειών και καµπυλών στο χώρο, µε τις αντίστοιχες

Διαβάστε περισσότερα

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10;

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10; C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 4 ο Τελεστές Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Ο τελεστής εκχώρησης = Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την απόδοση τιµής (ή αλλιώς ανάθεση τιµής) σε µία µεταβλητή Π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Συναρτησιακός προγραμματισμός Υπολογισμός με συναρτήσεις

Κεφάλαιο 9 Συναρτησιακός προγραμματισμός Υπολογισμός με συναρτήσεις Κεφάλαιο 9 Συναρτησιακός προγραμματισμός Υπολογισμός με συναρτήσεις Σύνοψη Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι η εισαγωγή του αναγνώστη στη φιλοσοφία του συναρτησιακού προγραμματισμού. Ο συναρτησιακός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις στη Visual Basic 6.0

Συναρτήσεις στη Visual Basic 6.0 Προγραμματισμός & Εφαρμογές Υπολογιστών Μάθημα 4ο Συναρτήσεις στη Visual Basic 6.0 Κ. Κωστοπούλου Σειρά εκτέλεσης των πράξεων Όταν ορίζετε μια ακολουθία αριθμητικών πράξεων είναι δυνατόν να προκύψει αμφισημία.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος 1 Τι είναι τα Matlab και Simulink? Το Matlab (MATrix LABoratory) είναι ένα περιβάλλον επιστημονικού

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Λειτουργικά Συστήµατα (Εργαστήριο) Διδάσκων: I. Τσακνάκης. 7ο Εργαστήριο

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Λειτουργικά Συστήµατα (Εργαστήριο) Διδάσκων: I. Τσακνάκης. 7ο Εργαστήριο ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τµήµα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Λειτουργικά Συστήµατα (Εργαστήριο) Διδάσκων: I. Τσακνάκης 7ο Εργαστήριο Συµπίεση αρχείων Χρήση ειδικών χαρακτήρων στην γραµµή εντολών 1 Συµπίεση αρχείων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ MATLAB

Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ MATLAB Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ MATLAB (το παρόν αποτελεί τροποποιηµένη έκδοση του οµόνυµου εγχειριδίου του κ. Ν. Μαργαρη) 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 1.1.1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ» 3+5 8 % Το σύµβολο

Διαβάστε περισσότερα

Α. Ερωτήσεις Ανάπτυξης

Α. Ερωτήσεις Ανάπτυξης οµηµένος Προγραµµατισµός-Κεφάλαιο 7 Σελίδα 1 α ό 10 ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙΙ (ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Είδη, Τεχνικές και Περιβάλλοντα Προγραµµατισµού Α. Ερωτήσεις Ανάπτυξης 1. Τι ονοµάζουµε γλώσσα προγραµµατισµού;

Διαβάστε περισσότερα

3) το παράθυρο Πίνακας τιμών όπου εμφανίζονται οι τιμές που παίρνουν οι παράμετροι

3) το παράθυρο Πίνακας τιμών όπου εμφανίζονται οι τιμές που παίρνουν οι παράμετροι Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ Γ Ι Α Τ Ο M O D E L L U S 0.0 4. 0 5 Για να κατεβάσουμε το πρόγραμμα Επιλέγουμε Download στη διεύθυνση: http://modellus.co/index.php/en/download. Στη συνέχεια εκτελούμε το ModellusX_windows_0_4_05.exe

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Αριθμητική Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Δεύτερο Πρόγραμμα 1 / * Second Simple Program : add 2 numbers * / 2

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-150. Προγραµµατισµός. Εντολές Ελέγχου Ροής

ΗΥ-150. Προγραµµατισµός. Εντολές Ελέγχου Ροής ΗΥ-150 Εντολές Ελέγχου Ροής Σειριακή εκτέλεση εντολών Όλα τα προγράµµατα «γράφονται» χρησιµοποιώντας 3 είδη εντολών: Σειριακές εντολές (sequential built in C) Εντολές απόφασης (if, if/else, switch) Περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Δομημένος Προγραμματισμός. Τμήμα Επιχειρηματικού Σχεδιασμού και Πληροφοριακών Συστημάτων

Δομημένος Προγραμματισμός. Τμήμα Επιχειρηματικού Σχεδιασμού και Πληροφοριακών Συστημάτων Δομημένος Προγραμματισμός Τμήμα Επιχειρηματικού Σχεδιασμού και Πληροφοριακών Συστημάτων www.bpis.teicrete.gr Τμήμα Επιχειρηματικού Σχεδιασμού και Πληροφοριακών Συστημάτων www.bpis.teicrete.gr 2 Νέο Πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τι χρειάζεται η εντολή DO ; ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΕΝΤΟΛΗ DO. Όταν απαιτείται να εκτελεστεί πολλές φορές το ίδιο τμήμα ενός προγράμματος.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τι χρειάζεται η εντολή DO ; ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΕΝΤΟΛΗ DO. Όταν απαιτείται να εκτελεστεί πολλές φορές το ίδιο τμήμα ενός προγράμματος. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι Τι χρειάζεται η εντολή DO ; ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΕΝΤΟΛΗ DO Όταν απαιτείται να εκτελεστεί πολλές φορές το ίδιο τμήμα ενός προγράμματος. Τετριμμένο παράδειγμα: Κατασκευάστε πρόγραμμα που θα εμφανίζει

Διαβάστε περισσότερα

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann 3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 : Είδη, Τεχνικές, και Περιβάλλοντα Προγραµµατισµού

Κεφάλαιο 7 : Είδη, Τεχνικές, και Περιβάλλοντα Προγραµµατισµού ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 7 : Είδη, Τεχνικές, και Περιβάλλοντα Προγραµµατισµού ( Απαντήσεις & Λύσεις Βιβλίου) 1. Σκοποί κεφαλαίου Κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Κατηγορίες γλωσσών προγραµµατισµού

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην PHP. ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου. Περιεχόμενα. Περιεχόμενα. ΕΣ 516: Τεχνολογίες ιαδικτύου. ΕΣ 516: Τεχνολογίες ιαδικτύου

Εισαγωγή στην PHP. ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου. Περιεχόμενα. Περιεχόμενα. ΕΣ 516: Τεχνολογίες ιαδικτύου. ΕΣ 516: Τεχνολογίες ιαδικτύου ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Εισαγωγή στην PHP Περιεχόμενα Περιεχόμενα PHP και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις Παράδειγματα 1 Βιβλιογραφία Ενότητας Βιβλιογραφία [Lane 2004]: Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 5ο Aντώνης Σπυρόπουλος Πράξεις μεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους. Υπολογιστές

Εισαγωγή στους. Υπολογιστές Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή γή στον επιστημονικό προγραμματισμό 2 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ E mail: leo@mail.ntua.gr URL: http://users.ntua.gr/leo Μελάς Ιωάννης Υποψήφιος

Διαβάστε περισσότερα

0.1 Εκχειλίσεις κατά την Επίλυση Τετραγωνικής Εξίσωσης

0.1 Εκχειλίσεις κατά την Επίλυση Τετραγωνικής Εξίσωσης 0.1. ΕΚΧΕΙΛ ΙΣΕΙΣ ΚΑΤ Α ΤΗΝ ΕΠ ΙΛΥΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚ ΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ 1 0.1 Εκχειλίσεις κατά την Επίλυση Τετραγωνικής Εξίσωσης Θεώρησε, για a 0 την τετραγωνική εξίσωση ax 2 +bx+c = 0, η οποία, ως γνωστόν, έχει

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ )

Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ ) Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ. 25 48) Τι είναι αλγόριθμος; Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αλγόριθμος είναι μία πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα,

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι και αντικείμενο ενότητας. Εκφράσεις. Η έννοια του τελεστή. #2.. Εισαγωγή στη C (Μέρος Δεύτερο) Η έννοια του Τελεστή

Στόχοι και αντικείμενο ενότητας. Εκφράσεις. Η έννοια του τελεστή. #2.. Εισαγωγή στη C (Μέρος Δεύτερο) Η έννοια του Τελεστή Στόχοι και αντικείμενο ενότητας Η έννοια του Τελεστή #2.. Εισαγωγή στη C (Μέρος Δεύτερο) Εκφράσεις Προτεραιότητα Προσεταιριστικότητα Χρήση παρενθέσεων Μετατροπές Τύπων Υπονοούμενες και ρητές μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Σ η μ ε ι ώ σ ε ι ς γ ι α τ ο υ π ο λ ο γ ι σ τ ι κ ό φ ύ λ λ ο

Σ η μ ε ι ώ σ ε ι ς γ ι α τ ο υ π ο λ ο γ ι σ τ ι κ ό φ ύ λ λ ο Σ η μ ε ι ώ σ ε ι ς γ ι α τ ο υ π ο λ ο γ ι σ τ ι κ ό φ ύ λ λ ο Το λογισμικό αυτό μας διευκολύνει να κατηγοριοποιήσουμε τα δεδομένα μας, να τα ταξινομήσουμε με όποιον τρόπο θέλουμε και να κάνουμε σύνθετους

Διαβάστε περισσότερα