Παρουσίαση του Mathematica

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρουσίαση του Mathematica"

Φοίβος Παπάγος
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Παρουσίαση του Mathematica Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος Ιόνιο Πανεπιστήμιο (

2 Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός * ή διάκενο Διαίρεση / Δύναμη x^n Ρίζα Sqrt[x] Ημίτονο Sin[x] Συνημίτονο Cos[x] Εφαπτομένη Tan[x] Εκθετική Exp[x] Λογάριθμος Log[x] Υπερβολικές συν/σεις: Sinh[x], Cosh[x], Tanh[x] Απόλυτη τιμη Abs[x] Πρόσημο του x Sign[x]

Sin[x] Συνημίτονο Cos[x] Εφαπτομένη Tan[x] Εκθετική Exp[x] Λογάριθμος

3 Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: -Αντίστροφες τριγωνομετρικές: ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x] -Αντίστροφες υπερβολικές: ArcSinh[x], ArcCosh[x], ArcTanh[x] Σύμβολα αριθμών: e E π Pi Infinity i I *Τα σύμβολα πρέπει να χρησιμοποιούνται όπως είναι γραμμένα παραπάνω.

υπερβολικές: ArcSinh[x], ArcCosh[x], ArcTanh[x] Σύμβολα αριθμών: e

4 Εισαγωγή Παραδείγματα: Sin[Pi/] (out=) Cos[.4] (out=.69967) Tan[Pi/6] (out= ) Log[E^4] (out=4) Abs[-4] (out=4) 3 N Numerical: 6 σημαντικά ψηφία μετά την υποδιαστολή N[Sin[.4]] (out=.38948) N[Pi,5] (out= )

5 Βασικές εντολές Ολοκλήρωση: Integrate[f(x),{x,a,b}] f(x) συνάρτηση προς ολοκλήρωση π.χ. Sin[x] {x,a,b} x: μεταβλητή ολοκλήρωσης a,b: άκρα ολοκλήρωσης Π.χ. Integrate[Sin[x],{x,-, Pi}] (out=-sin[] ) NIntegrate[Sin[x],{x,-, Pi}] (out=-.7873) Παραγώγιση: D[f(x),x] f(x) συνάρτηση προς παραγώγιση π.χ. Exp[-x] x μεταβλητή παραγώγισης Π.χ. D[Exp[-x],x] (out=-e -x )

Integrate[Sin[x],{x,-, Pi}] (out=-sin[] ) NIntegrate[Sin[x],{x,-, Pi}] (out=-.

6 Βασικές εντολές Άθροισμα: Sum[f(n),{n,n min,n max }] f(n) συνάρτηση προς άθροισμα π.χ. -/n^ n: ακέραια μεταβλητή π Π.χ. Sum[-/n^,{n,,Infinity}] (out=- ) 6 Sum[/n^3,{n,,Infinity}] (out=zeta[3]) Σειρές: Series[f(x),{x,x,n}] n x = x f ( x) Π.χ. Series[Log[x],{x,,3}] 3 ( out=(x-) - (x-) + (x-) 3 + [x-] 4 )

$Sum[-/n^,{n,,Infinity}] (out=- ) 6 Sum[/n^3,{n,,Infinity}] (out=zeta[3])$

7 Υπολογισμοί Υπολογισμός αόριστου ολοκληρώματος: Integrate[f(x),x] f(x) συνάρτηση προς ολοκλήρωση π.χ. (x^3)*exp[-a*x] x μεταβλητή ολοκλήρωσης Π.χ. Integrate[(x^3)*Exp[-a*x],x] Πολλαπλή παραγώγιση: D[f(x),{x,k}] f(x) συνάρτηση προς παραγώγιση π.χ. Exp[-x] x μεταβλητή παραγώγισης k τάξη παραγώγισης D[(x^)*Log[x],{x,3}] (out= ) x

$Integrate[(x^3)*Exp[-a*x],x] Πολλαπλή παραγώγιση: D[f(x),{x,k}] f(x) συνάρτηση$

8 Γραφικές στο επίπεδο: -Plot & ParametricPlot Εντολή: Plot[ f(x), {x,x min,x max } ] Θα σχεδιασθεί το γράφημα της y=f(x), όταν το x παίρνει τιμές στο κλειστό διάστημα [x min, x max ]. Π.χ. Plot[Sin[x],{x,-6 Pi, 6 Pi}]

y=f(x), όταν το x παίρνει τιμές στο κλειστό διάστημα [x

9 Γραφικές στο επίπεδο: Εντολή: Plot[f(x),{x,a,b},PlotRange->{y,y }] PlotRange φράξιμο της συνάρτησης μεταξύ των y και y. Αν αντί για {y,y } χρησιμοποιηθεί το All παρουσιάζεται ολόκληρη η καμπύλη. Π.χ.. Plot[Exp[-x],{x,,}, PlotRange->All]. Plot[Exp[-x],{x,,}, PlotRange->{.,.5}]

Αν αντί για {y,y } χρησιμοποιηθεί το All παρουσιάζεται ολόκληρη η καμπύλη.

10 Γραφικές στο επίπεδο: Εντολή: ParametricPlot[{x(t), y(t)}, {t,t min,t max }] H παραπάνω εντολή θα σχεδιάσει την καμπύλη του χώρου των δύο διαστάσεων που περιγράφεται από τις παραμετρικές εξισώσεις { x = x(t), y = y(t) } με το t να παίρνει τιμές στο διάστημα [t min,t max ]. Π.χ. ParametricPlot[{Sin[t], Cos[5t]}, {t,,*pi}]

περιγράφεται από τις παραμετρικές εξισώσεις { x = x(t), y = y(t) } με το t να

11 Γραφικές στο χώρο: Εντολή: Plot3D[ f(x), {x,x min,x max }, {y,y min,y max } ] Σχεδιασμός γραφημάτων πραγματικών συναρτήσεων με δύο μεταβλητές. Η σχεδίαση της z = f(x,y) θα γίνει στο ορθογώνιο [x min,x max ] * [y min,y max ] του xy-επιπέδου. Π.χ. Plot3D[ x^ - y^, {x,-4,4}, {y,-4,4}]

Η σχεδίαση της z = f(x,y) θα γίνει στο ορθογώνιο [x min,x max ] * [y

12 Γραφικές στο χώρο: Εντολή: ParametricPlot3D[{x(t), y(t), z(t)}, {t,t min,t max }] Η παραπάνω εντολή θα σχεδιάσει καμπύλης του χώρου των τριών διαστάσεων που περιγράφεται από τις παραμετρικές εξισώσεις {x=x(t), y=y(t), z=z(t)} με το t να παίρνει τιμές στο διάστημα [t min,t max ]. Π.χ. ParametricPlot3D[{r*Cos[a],r*Sin[a],r^6},{r,,.9}, {a,-pi,pi/}]

$[t min,t max ]. Π.χ. ParametricPlot3D[{r*Cos[a],r*Sin[a],r^6},{r,,.9}, {a,-pi,pi/}].4. -.5.$

13 Γραφικές Περισσότερες από μια συναρτήσεις: Εντολή: Plot[{f(x),g(x), },{x,x min,x max }, + Επιλογές] Π.χ. Plot[{Sin[x],Cos[x],Log[x],Sqrt[x]},{x,,Pi},PlotStyle-> {{Hue[.3]},{Hue[.7]},{Hue[.9]},{Hue[]}}]

14 Γραφικές Επιλογές -PlotRange: {NN,NN} καθορίζει το ύψος του παραθύρου -Axes: BB την ύπαρξη ή όχι των αξόνων -AxesLabel: {"x","y"} επικεφαλίδες των αξόνων -PlotLabel: "text for title" τίτλος του γραφήματος -Background: Hue[NN]χρώμα του βάθους του σχήματος (φόντο) -PlotStyle: {{s},{s},...} χρώμα της γραμμής της καμπύλης -PlotPoints: ΝΝ Ανάλυση γραφίματος

for title" τίτλος του γραφήματος -Background: Hue[NN]χρώμα του βάθους του σχήματος

15 Γραφικές ParametricPlot3D[{u Sin[t],u Cos[t],t/3},{t,,5},{u,-,},PlotRange->{,4},PlotPoints->5]

16 Γραφικές ParametricPlot3D[{t,u,Sin[t u]},{t,-3,3},{u,-3,3}]

17 Γραφικές ParametricPlot3D[{(+.5 Cos[u]) Cos[v],(+.5 Cos[u]) Sin[v],.5 Sin[u]+v/5},{u,, Pi},{v,-3 Pi,3 Pi},PlotPoints->4] - - -

18 Γραφικές ParametricPlot3D[{u Cos[t],u Sin[t],u},{t,.5 Pi,.5 Pi},{u,-Pi,Pi}] - - -

19 Γραφικές ParametricPlot3D[{{Sin[v] Cos[u], Sin[v] Sin[u],Cos[v]}, {Sin[v] Cos[4 u/3]/, Sin[v] Sin[4*u/3]/,Cos[v]/}}, {u,, 3Pi/},{v,,Pi}]

20 Επίλυση Επίλυση εξισώσεων Ακριβής επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων: Εντολή: Solve[ax^+bx+c==,x] Π.χ. Solve[x^3-4x^-6x-==,x] {{x -}, {x 5 9 }, {x ( 5 + 9) }} εξισώσεων ( ) Αριθμητική επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων: Εντολή: ΝSolve[f(x)==,x] Π.χ. ΝSolve[x^3-4x^-6x-==,x] {{x -},{x -.958},{x 5.958}}

$Solve[x^3-4x^-6x-==,x] {{x -}, {x 5 9 }, {x ( 5 + 9) }} εξισώσεων ( )$

21 Επίλυση εξισώσεων Επίλυση εξισώσεων Ακριβής επίλυση διαφορικών εξισώσεων: Εντολή: DSolve[{Εξίσωση,Συνθήκες}, y[x]]. Π.χ. DSolve[y''[x]-4y'[x]+5y[x]==,y[x],x] {{y[x] e x C[] Cos[x] + e x C[] Sin[x]}} όπου C[],C[],,C[n] σταθερές. DSolve[{y''[x]-y[x]==x,y[]==,y'[]==},y[x],x] {{y[x] e x -x}}

22 Επίλυση εξισώσεων Επίλυση εξισώσεων Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων: Εντολή: NDSolve[{εξίσωση,Συνθήκες}, y[x], {x,a,b}]. Π.χ. NDSolve[{y'[x]==-y[x]^, y[]==},y[x],{x,,}] {{y[x] InterpolatingFunction[{{.,.}},<>][x]}} Solution=NDSolve[{y''''[x]+3y''[x]-y[x]==, y[]==, y'[]==,y''[]==,y'''[]==},y,{x,-5,5}]; Plot[Evaluate[y[x]/.Solution],{x,-5,5}]

23 Ρίζες μη πολυωνυμικών Επίλυση εξισώσεων Ρίζες μη πολυωνυμικών Εύρεση ρίζας: Εντολή: FindRoot[f(x)==,{x,x }] Π.χ. FindRoot[Cos[x]==x,{x,}] (out=.73985) Εύρεση ελαχίστου - μεγίστου : Εντολή: FindMinimum[f(x)==,{x,x }] FindMaximum[f(x)==,{x,x }] Π.χ. FindMinimum[-x*Exp[-x^],{x,}] (-.4888, x.777)

24 Συναρτήσεις επί των ακεραίων Επίλυση εξισώσεων Ρίζες μη πολυωνυμικών Συναρτήσεις επί των ακεραίων Table Εντολές : Τable[f(n),{n,,N}] Table[f(n),{n,n min,n max,dn}] όπου dn το βήμα. Π.χ. Table[n!,{n,,7}] (out= {,,6,4,,7,54}) Table[n^3,{n,,,3}] (out={,64,343,})

25 Συναρτήσεις επί των ακεραίων Επίλυση εξισώσεων Ρίζες μη πολυωνυμικών Συναρτήσεις επί των ακεραίων ListPlot Εντολή:ListPlot[Τable[f(n),{n,,N}]] Π.χ. ListPlot[Table[n^3,{n,,,3}]]

26 Αλγεβρικές & τριγωνομετρικές ταυτότητες Επίλυση εξισώσεων Ρίζες μη πολυωνυμικών Συναρτήσεις επί των ακεραίων Αλγεβρικές και τριγωνομετρικές ταυτότητες ΤrigExpand[Sin[x+y]] ( out=cos[y] Sin[x]+Cos[x] Sin[y] ) TrigExpand[Cos[x]] ( out=cos[x] -Sin[x] ) TrigReduce[Cos[x]^] ( out= (+Cos[x]) ) TrigReduce[Sin[x]^3] ( out= (3 Sin[x]-Sin[3 x]) ) 4 Expand[(x+y)^3] ( out=x 3 + 3x y + 3xy + y 3 )

27 Αλγεβρικές & τριγωνομετρικές ταυτότητες Επίλυση εξισώσεων Ρίζες μη πολυωνυμικών Συναρτήσεις επί των ακεραίων Αλγεβρικές και τριγωνομετρικές ταυτότητες Παραγωντοποίηση: Factor[x^6 -] ( out=(-+x)(+x)(-x+x )(+x+x ) ) Ανάλυση σε απλά κλάσματα Apart[(+x^)/(x+)^3] 3 ( + x ) ( + x) + x ( out= + )

28 Όρια Επίλυση εξισώσεων Ρίζες μη πολυωνυμικών Συναρτήσεις επί των ακεραίων Αλγεβρικές και τριγωνομετρικές ταυτότητες Όρια Υπολογισμός ορίου: Εντολή: Limit[f(x),x->x ) Π.χ. Limit[Sin[a*x]/x,x->] ( out=a ) Limit[Tan[x],x->3Pi/] ( out=- ) Sin [ + Cos x ] [ x ] Limit[,x->Pi] ( out= )

29 Τέλος παρουσίασης Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος

Σχετικά έγγραφα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Η Mathematica είναι ένα ολοκληρωμένο μαθηματικό πακέτο με πάρα πολλές δυνατότητες σε σχεδόν όλους τους τομείς των μαθηματικών (Άλγεβρα, Θεωρία συνόλων, Ανάλυση,