Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών"

Transcript

1 Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 9 L p Σύγκλιση Σύγκλιση στον L 2 () Σύγκλιση στον L p (), 1 p < Ολοκληρωτική αναπαράσταση της συζυγούς απεικόνισης Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 9 L p Σύγκλιση 9.1 Σύγκλιση στον L 2 () Σε αυτό το Κεφάλαιο µελετάµε την L p -σύγκλιση των σειρών Fourier. Για κάθε 1 < p < το ερώτηµα είναι αν για κάθε f L p () ισχύει (9.1..1) s ( f ) f p καθώς το. Η περίπτωση p = 2 είναι η απλούστερη. Υπενθυµίζουµε ότι ο L 2 () είναι χώρος Hilber. Η 2 επάγεται από το εσωτερικό γινόµενο (9.1..2) f, g = 1 f (x)g(x) dx. 2π Λήµµα Η ακολουθία {e ik x } k= είναι ορθοκανονική ϐάση στον L2 (). Απόδειξη. Εχουµε δεί ότι (9.1..3) e ik x, e isx = δ k,s για κάθε k, s Z, και από το Θεώρηµα έχουµε ότι αν f L 2 () και c k ( f ) = για κάθε k Z, τότε f. Ισοδύναµα, αν f, e ik x = για κάθε k Z τότε f =. Το συµπέρασµα έπεται από το Θεώρηµα Αµεσο πόρισµα της γενικής ϑεωρίας των χώρων Hilber είναι τώρα το εξής. Θεώρηµα Εστω f L 2 (). Τότε, (9.1..4) s ( f ) f 2 καθώς το και (9.1..5) f 2 2 = 1 2π f (x) 2 dx = c k ( f ) 2. k= 9.2 Σύγκλιση στον L p (), 1 p < Σκοπός µας είναι να εξετάσουµε αν s ( f ) f p για κάθε f L p (), στην γενική περίπτωση 1 p <. Οπως είδαµε στην προηγούµενη παράγραφο, η απάντηση είναι καταφατική στην περίπτωση p = 2. Η πρόταση που ακολουθεί δείχνει ότι το πρόβληµα διατυπώνεται ισοδύναµα µέσω της ακολουθίας τελεστών f s ( f ): Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Πρόταση Εστω 1 p <. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (α) Για κάθε f L p () ισχύει s ( f ) f p. (ϐ) Υπάρχει σταθερά A p > ώστε για κάθε f L p () και για κάθε, s ( f ) p A p f p. Απόδειξη. (α) = (ϐ) Για κάθε N ϑεωρούµε τον τελεστή : L p () L p () µε ( f ) = s ( f ). Ο είναι γραµµικός και, για κάθε f L p () ισχύει δηλαδή ο είναι ϕραγµένος. ( f ) p = s ( f ) p = f 2D p 2D 1 f p = L f p, Εστω f L p (). Από την υπόθεση s ( f ) f p έπεται ότι η { ( f )} = {s ( f )} είναι ϕραγµένη στον L p (). ηλαδή, υπάρχει c f > ώστε sup ( f ) p c f <. Τώρα, εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα Baach-Seihaus: υπάρχει A p > ώστε sup A p. Τότε, για κάθε f L p () και για κάθε, s ( f ) p = ( f ) p f p A p f p. (ϐ) = (α) Εστω f L p () και έστω ε >. Επιλέγουµε τριγωνοµετρικό πολυώνυµο g τέτοιο ώστε f g p ε. Από την υπόθεση, για κάθε έχουµε s ( f ) s (g) p = s ( f g) p A p f g p A p ε. Αν N είναι ο ϐαθµός του g τότε για κάθε N έχουµε s (g) = g. Συνεπώς, για κάθε N έχουµε s ( f ) f p s ( f ) s (g) p + s (g) g p + g f p A p ε + + ε = (A p + 1)ε. Αφού το ε > ήταν τυχόν, συµπεραίνουµε ότι lim s ( f ) f p =. Μια συνέπεια της Πρότασης είναι ότι στην περίπτωση p = 1 το πρόβληµά µας έχει αρνητική απάντηση. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει σταθερά A 1 > µε την ιδιότητα: αν f 1 1 τότε για κάθε ισχύει s ( f ) 1 A 1. Θεωρούµε τον πυρήνα του Fejér K N. Γνωρίζουµε ότι 2K N 1 = 1 για κάθε N N, άρα Παρατηρούµε ότι s (2K N ) 1 A 1. s (2K N ) = 2K N 2D = σ N (2D ). Ο πυρήνας του Dirichle D είναι συνεχής συνάρτηση, άρα σ N (2D ) 2D οµοιόµορφα καθώς το N. Επεται ότι 2D 1 = lim σ N (2D ) 1 = lim s (2K N ) 1 A 1. N N Οµως, έχουµε δεί ότι η ακολουθία L = 2D 1 4 π 2 l, το οποίο είναι άτοπο. Το επιχείρηµα αυτό δείχνει ότι: Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 Πρόταση Υπάρχει f L 1 () τέτοια ώστε s ( f ) f 1 καθώς το. Για τη µελέτη του προβλήµατος στην περίπτωση 1 < p < (και p 2) ϑα δούµε µια δεύτερη αναγωγή, αφού πρώτα εισάγουµε δύο νέες έννοιες. Ορισµός (συζυγής συνάρτηση). Εστω f L 1 () και έστω c k e ik x η σειρά Fourier της f. Θεωρούµε την τριγωνοµετρική σειρά (9.2..6) ( i)(sig k)c k e ik x = k= k= sig k c k e ik x, i όπου sig x = 1 αν x >, sig x = 1 αν x < και sig =. Αν υπάρχει ολοκληρώσιµη συνάρτηση η οποία έχει σειρά Fourier την (9.2..6), την συµβολίζουµε µε f και λέµε ότι η f είναι η συζυγής συνάρτηση της f. Για παράδειγµα, αν f L 2 () τότε υπάρχει µοναδική g L 2 () µε c k (g) = ( i)(sig k)c k ( f ). Πράγµατι, k= ( i)(sig k)c k ( f ) 2 = f 2 2 c ( f ) 2 <, άρα η ύπαρξη της g εξασφαλίζεται από το ϑεώρηµα Riesz-Fisher, η g είναι η συζυγής συνάρτηση f της f, και (9.2..7) f 2 f 2. Λέµε ότι για κάποιον 1 < p < έχουµε συζυγία στον L p () αν υπάρχει σταθερά A p > ώστε για κάθε f L p () υπάρχει η συζυγής συνάρτηση f (όπως ορίστηκε παραπάνω), η f ανήκει στον L p (), και f p A p f p. Ορισµός (προβολή). Εστω f L 1 () και έστω c k e ik x η σειρά Fourier της f. Θεωρούµε την τριγωνοµετρική σειρά (9.2..8) c k e ik x. k= Αν υπάρχει ολοκληρώσιµη συνάρτηση η οποία έχει σειρά Fourier την (9.2..8), την συµβολίζουµε µε P f και λέµε ότι η P f είναι η προβολή της f. Λέµε ότι για κάποιον 1 < p < έχουµε προβολές στον L p () αν υπάρχει σταθερά A p > ώστε για κάθε f L p () υπάρχει η προβολή P f (όπως ορίστηκε παραπάνω), η P f ανήκει στον L p (), και Πρόταση Εστω 1 p <. Τότε, P f p A p f p. (α) έχουµε συζυγία στον L p () αν και µόνο αν (ϐ) έχουµε προβολές στον L p (). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Απόδειξη. (α) = (ϐ) Εστω f L p () µε σειρά Fourier την k και f p A p f p. Θεωρούµε την g = c ( f ) + f + i f. 2 2 Παρατηρήστε ότι c ( f ) f 1 f p. Προφανώς, g L p () και c k ( f )e ik x. Από την υπόθεση, η f L p () g p c ( f ) 2 + f p + f p 2 f p 2 + (A p + 1) f p 2 Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις c k ( f ) = ( i)(sig k)c k ( f ) ϐλέπουµε ότι = A p + 2 f p. 2 c k (g) = c k ( f ) αν k και c k (g) = αν k <. Αρα, g = P f και P f p A p f p (µε A p = (A p + 2)/2). (ϐ) = (α) Εστω f L p () µε σειρά Fourier την c k ( f )e ik x. Από την υπόθεση, η P f L p () και k P f p A p f p. Θεωρούµε την συνάρτηση g = 2 i ( P f c ( f ) f ). 2 2 Οπως πριν, δείχνουµε ότι g L p () και g p A p f p. Απλές πράξεις δείχνουν ότι c k (g) = ( i)(sig k)c k ( f ) άρα g = f. Το επόµενο ϑεώρηµα δείχνει τον ϐασικό λόγο για τον οποίο µελετάµε την συζυγή συνάρτηση. Θεώρηµα Εστω 1 p <. Τότε, έχουµε συζυγία στον L p () αν και µόνο αν για κάθε f L p () ισχύει s ( f ) f p. Απόδειξη. Συνδυάζοντας τις Προτάσεις και ϐλέπουµε ότι αρκεί να αποδείξουµε την ισοδυναµία των παρακάτω δύο προτάσεων: (α) Υπάρχει A p > ώστε s ( f ) p A p f p για κάθε f L p () και κάθε N. (ϐ) Υπάρχει B p > ώστε για κάθε f L p () η προβολή P f ανήκει στον L p () και P f p B p f p. (α) = (ϐ) Εστω f L p () µε σειρά Fourier την k c k ( f )e ik x. Παρατηρούµε ότι για κάθε k Z. c k (e ix f (x)) = 1 2π e ix f (x)e ik x dx = 1 2π f (x)e i(k+)x dx = c k+ ( f ) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 Αρα, Αν ορίσουµε P f (x) = 2 e ix s (e ix f, x) = e ix k= k= 2 = c j ( f )e i j x. j= c k ( f )e ik x, έπεται ότι c k (e ix f )e ik x = k= c k+ ( f )e i(k+)x P f p = e ix s (e ix f, x) p = s (e ix f, x) p A p e ix f p = A p f p. Θα δείξουµε ότι η ακολουθία {P f } είναι ϐασική στον L p (): ϑεωρούµε τυχόν ε > και ένα τριγωνοµετρικό πολυώνυµο g ϐαθµού N ε τέτοιο ώστε f g p ε. Τότε, Εστω, m > N ε /2. Τότε, P g(x) = P m g(x) = N ε P f P g p = P ( f g) p A p f g p A p ε. k= c k (g)e ik x, άρα P f P m f p P f P g p + P g P m g p + P m g P m f p A p ε + + A p ε = 2A p ε. Ετσι, η {P f } είναι ϐασική, άρα υπάρχει h L p () τέτοια ώστε Ειδικότερα, P f h 1, άρα P f h p. c k (h) = lim c k (P f ) για κάθε k Z. Αυτό δείχνει ότι c k (h) = c k ( f ) αν k και c k (h) = αν k <. Αρα, h = P f. Τέλος, αφού P f h p έχουµε h p = lim P f p A p f p. (ϐ) = (α) Παρατηρούµε ότι άρα e i(2+1)x P(e i(2+1)x f ) = e i(2+1)x c 2+1+k ( f )e ik x = k= s=2+1 e ix s (e ix f ) = P f = P f e i(2+1)x P(e i(2+1)x f ). c s e isx, Πολλαπλασιάζοντας αυτήν την ισότητα µε e ix και αντικαθιστώντας την f µε την e ix f, παίρνουµε Επεται ότι s ( f ) = e ix P(e ix f ) e i(+1)x P(e i(+1)x f ). s ( f ) p P(e ix f ) p + P(e i(+1)x f ) p B p e ix f p + B p e i(+1)x f p = 2B p f p για κάθε. Πόρισµα Στον L 1 () δεν έχουµε συζυγία. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 9.3 Ολοκληρωτική αναπαράσταση της συζυγούς απεικόνισης Για τη µελέτη της συζυγούς απεικόνισης χρειάζεται να εισάγουµε τον συζυγή πυρήνα Dirichle και τον συζυγή πυρήνα Fejér. Ορισµός (συζυγής πυρήνας Dirichle). Για κάθε ορίζουµε (9.3..9) 2 D () = ( i)(sig k)e ik = ( i) k= Για να υπολογίσουµε αυτό το άθροισµα, παρατηρούµε πρώτα ότι k=1 (e ik e ik ). k=1 e ik i 1 ei = e 1 e i = ei e i/2 (e i/2 e i/2 ) e i/2 (e i/2 e i/2 ) i(+1)/2 ημ(/2) = e ημ(/2). Αντικαθιστώντας το µε, και συνδυάζοντας τις δύο παραστάσεις, ϐλέπουµε ότι (9.3..1) D () = ημ(/2) 2 ημ(/2) ( i)(ei(+1)/2 e i(+1)/2 ) = 2 ημ(/2) = 1 2 εφ(/2) ημ(( + 1)/2) 2 ημ(/2) συν(( + 1/2)). 2 ημ(/2) = συν(/2) συν(( + 1/2)) 2 ημ(/2) 2 ημ(/2) Από τα παραπάνω ϐλέπουµε ότι η D () είναι περιττή συνάρτηση, και ( ) D () = 1 2 Επίσης, από την και την ημ(/2) /π, < < π, έχουµε k= D () = 2 ημ(/2) ( ) D () π ( i)(sig k)e ik 2 2 =. ημ(( + 1)/2) 2 ημ(/2) για κάθε < < π. Ορισµός (συζυγής πυρήνας Fejér). Για κάθε ορίζουµε ( ) K () = ( D () + + D ()) = συν(/2) 2 ημ(/2) 1 συν((k + 1/2)) ημ(/2) Υπολογίζουµε το άθροισµα του δεξιού µέλους της ( ) ως εξής: Re k= e i(k+1/2) = Re e i/2 e ik k= ( ) i(+1)/2 ημ(( + 1)/2) = Re e ημ(/2) k= Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 = = 2 συν(( + 1)/2) ημ(( + 1)/2) 2 ημ(/2) ημ(( + 1)). 2 ημ(/2) Συνεπώς, ( ) K () = συν(/2) 2 ημ(/2) 1 ημ(( + 1)) + 1 [2 ημ(/2)] 2. Παρατηρήστε ότι η K () είναι περιττή συνάρτηση, και Επίσης, ( ) K () k= K () συν(/2) 2 ημ(/2) Παρατήρηση Μπορούµε να δείξουµε ότι D () ημ(( + 1)) [2 ημ(/2)] 2 lim K 1 = + k = 2. µε το εξής επιχείρηµα: ξαναγράφουµε τον συζυγή πυρήνα Fejér στη µορφή K () = συν(/2) ( ) ημ(( + 1)) 1 2 ημ(/2) ( + 1) ημ k= π 2 4( + 1)2, < < π. και χρησιµοποιώντας την παίρνουµε Αρα, ημ(( + 1)) ( + 1) ημ ημ(( + 1)) 1 ( + 1) ημ 1 2 π 2( + 1), < < π/2 για κάθε π + 1 < < π 2. K π/2 π/(+1) συν(/2) 2 ημ(/2) d = 1 2 l(ημ(/2)) π/2 π/(+1) = 1 2 [ l( 2/2) l(ημ(π/2( + 1))) ] καθώς το. Σκοπός µας είναι εκφράσουµε σαν ολοκλήρωµα την τριγωνοµετρική σειρά ( i)(sig k)c k ( f )e ik k όπου f L 1 (). Υποθέτουµε πρώτα ότι η f είναι ένα τριγωνοµετρικό πολυώνυµο ϐαθµού το πολύ ίσου µε N: N f () = c k e ik. k= N Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 1

11 Για κάθε 1 ορίζουµε ( ) s ( f, ) = ( i)(sig k)c k e ik. k= Απλός υπολογισµός (παρόµοιος µε αυτόν που κάναµε για το s ( f, )) δείχνει ότι ( ) s ( f, x) = (2 D f )(x) = 1 f (x ) D () d. π Αφού η D () είναι περιττή, µπορούµε να ξαναγράψουµε την ( ) στη µορφή ( ) s ( f, x) = 1 f (x + ) D () d π ή στη µορφή ( ) s ( f, x) = 1 π ( ) f (x ) f (x + ) D () d. 2 Επιπλέον, επειδή η προς ολοκλήρωση συνάρτηση στο δεξιό µέλος της ( ) είναι άρτια, µπορούµε επίσης να γράψουµε (9.3..2) s ( f, x) = 1 π π ( ) ( ) 1 συν(( + 1/2)) f (x + ) f (x ) 2 εφ(/2) 2 ημ(/2) Αφού η f είναι τριγωνοµετρικό πολυώνυµο, για κάθε N έχουµε f (x) = s ( f, x). Ειδικότερα, s ( f, x) f (x) για κάθε x, καθώς το. Από την άλλη πλευρά, παρατηρώντας ότι παίρνουµε Επεται ότι η συνάρτηση f (x + ) f (x ) = e ik(x+) e ik(x ) = ( 2i)e ik x ημ(k), N k= N c k (e ik(x+) e ik(x ) ) = ( 2i) f (x + ) f (x ) ημ(/2) N c k e ik x ημ(k). είναι ϕραγµένη, άρα ολοκληρώσιµη, σαν συνάρτηση του στο [, π]. Από το λήµµα Riema-Lebesgue, π k=1 ( ) f (x + ) f (x ) συν(( + 1/2)) d ημ(/2) καθώς το, αφού το ολοκλήρωµα αυτό εκφράζεται µέσω των -οστών συντελεστών ηµιτόνων και συνηµιτόνων ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. Παίρνοντας λοιπόν το όριο καθώς το στην (9.3..2), ϐλέπουµε ότι η f εκφράζεται από το (απόλυτα συγκλίνον) ολοκλήρωµα ( ) f (x) = 1 π π f (x + ) f (x ) 2 εφ(/2) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 11 d. d.

12 Το ερώτηµα που προκύπτει είναι αν το ολοκλήρωµα στο δεξιό µέλος της ( ) συγκλίνει στην περίπτωση που η f ανήκει σε κάποιον L p (), p 1. Η επόµενη πρόταση δείχνει ότι αν κάτι τέτοιο είναι σωστό τότε δεν ϑα οφείλεται στο γεγονός ότι η f (x +) f (x ) είναι µικρή για µικρά, αλλά στην αλληλοεξουδετέρωση των ϑετικών και αρνητικών τιµών της. Θεώρηµα (Lusi). Υπάρχει συνεχής 1-περιοδική συνάρτηση f τέτοια ώστε ( ) για κάθε x R. 1 f (x + ) f (x ) d = + Απόδειξη. Αρχικά, κατασκευάζουµε συνεχή 1-περιοδική συνάρτηση g µε τις εξής ιδιότητες: (i) g(x) 1. (ii) Υπάρχει A > ώστε g(x + ) g(x ) A. (iii) Ισχύει 1 g(x + ) g(x ) d l. Μπορούµε να ξεκινήσουµε µε µια συνεχή συνάρτηση g : [, 1] R η οποία παίρνει τις τιµές g() =, g(1) =, g(1/4) = 1 και είναι γραµµική στα διαστήµατα [, 1/4] και [1/4, 1]. Κατόπιν την επεκτείνουµε σε µια 1-περιοδική συνάρτηση, την οποία συνεχίζουµε να συµβολίζουµε µε g. Είναι ϕανερό ότι g(x) 1, και δεν είναι δύσκολο να ελέγξουµε ότι υπάρχει σταθερά A > ώστε g(x + ) g(x) A για κάθε x. Παρατηρήστε ότι, για κάθε x [, 1], ( ) 1 g(x + ) g(x ) d c >. Πράγµατι, η συνάρτηση 1 x g(x + ) g(x ) d είναι γνήσια ϑετική, συνεχής και 1-περιοδική, άρα παίρνει ϑετική ελάχιστη τιµή c. Επίσης, από την (i) έχουµε ( ) Για κάθε έχουµε 1 g(x + ) g(x ) d 2. ( ) I := 1 g(x + ) g(x ) d Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 12

13 = = 1 1 g(x + y) g(x y) y g(x + ) g(x ) dy ( ) d. Αφού c 1 l c 2l για κάθε [, 1], από τις ( ) και ( ) συµπεραίνουµε ότι c 1 cl I 2c 2 l, δηλαδή ισχύει η (iii). Από την (ii) ϐλέπουµε επίσης ότι ( ) g(x + ) g(x ) d 2A 1 = 2A. Συνδυάζοντας την (iii) µε την ( ) καταλήγουµε στην ( ) 1 g(x + ) g(x ) d C l. Προχωράµε τώρα στον ορισµό της f. Η ιδέα είναι να ορίσουµε f (x) = ε g(k x), όπου οι ε > ϑα επιλεγούν έτσι ώστε =1 =1 ε < και η γνησίως αύξουσα ακολουθία ϕυσικών (k ) ϑα επιλεγεί µε κατάλληλο τρόπο ώστε να πετύχουµε συγκεκριµένη σχέση ανάµεσα στους ε και I k. Γράφουµε ( ) J := 1 1/k 1 ε 1/k f (x + ) f (x ) d g(k x + k ) g(k x k ) j=1,j ε j 1 1/k 1 ε I k C ε j lk j 2 j=1 d g(k j x + k j ) g(k j x k j ) d j=+1 1 ε I k C ε j lk j 2lk j=1 ε j 1/k j=+1 ε j. d Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 13

14 Μένει να επιλέξουµε τα ε και k έτσι ώστε η τελευταία ποσότητα να τείνει στο + καθώς το. Επιλέγουµε ε = 1! και k = 2 (!)2 και ελέγχουµε ότι J +. Ορισµός (περικεκοµµένος µετασχηµατισµός Hilber). Εστω f L 1 (). Για κάθε < ε < π ορίζουµε ( ) H ε f (x) = 1 π π ε f (x + ) f (x ) 2 εφ(/2) d = 1 π ε< π f (x + ) 2 εφ(/2) d. Πρόταση (p = 2). Εστω f L 2 (). Τότε, lim H ε + ε f f 2 =. Απόδειξη. είχνουµε πρώτα ότι (9.3..3) H ε f 2 c f 2, όπου c > είναι µια σταθερά ανεξάρτητη από την f και το ε. Για το σκοπό αυτό γράφουµε ( ) H ε f (x) = 1 π + 1 π ε< π ε< π ( 1 f (x ) 2 εφ(/2) 1 ) d f (x ) d =: A(x) + B(x). Παρατηρήστε ότι όπου και A(x) = ( f 2ϕ 1 )(x) και B(x) = ( f 2ϕ 2 )(x), ( 1 ϕ 1 () = χ [ π, ε) (ε,π] () 2 εφ(/2) 1 ) ϕ 2 () = χ [ π, ε) (ε,π] () 1. Θα δείξουµε ότι sup k c k (ϕ 1 ) M και sup k c k (ϕ 2 ) M για κάποια σταθερά M >. Τότε, και άρα A 2 = f 2ϕ 1 2 = 2 B 2 = f 2ϕ 2 2 = 2 k= k= 1/2 c k ( f ) 2 c k (ϕ 1 ) 2 2M f 2 1/2 c k ( f ) 2 c k (ϕ 2 ) 2 2M f 2, H ε f 2 A 2 + B 2 4M f 2. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 14

15 Για να ϕράξουµε τους c k (ϕ 1 ) παρατηρούµε ότι η συνάρτηση 1 2 εφ(/2) 1 είναι ϕραγµένη, άρα c k (ϕ 1 ) ϕ π π 1 2 εφ(/2) 1 d = M 1 <. Για να ϕράξουµε τους c k (ϕ 2 ) υποθέτουµε, χωρίς περιορισµό της γενικότητας, ότι k > και υπολογίζουµε: c k (ϕ 2 ) = 1 2π ε π = ( 2i) 2π ik d e π ε ημ k + 1 π ik d e 2π ε d = ( i) π πk εk ημ d. Τώρα, χρησιµοποιούµε το γεγονός ότι υπάρχει σταθερά M 2 > ώστε, για κάθε a < b στο (, ), b a ημ d M 2. Συνδυάζοντας τα παραπάνω παίρνουµε την (9.3..3): υπάρχει c > ώστε για κάθε f L 2 () και για κάθε ε (, π), ( ) H ε f 2 c f 2. είχνουµε τώρα ότι το συµπέρασµα της πρότασης ισχύει για τριγωνοµετρικά πολυώνυµα. Πράγµατι, από την ( ) έχουµε ότι ( ) p(x) = 1 π για κάθε τριγωνοµετρικό πολυώνυµο p, άρα π p(x + ) p(x ) 2 εφ(/2) lim H εp(x) = p(x). ε Εχουµε επίσης δεί ότι οι H ε p και p είναι ϕραγµένες στο (ανεξάρτητα από το ε), άρα ( ) lim ε + H εp p 2 =. Τώρα, για κάθε f L 2 () και για κάθε δ > επιλέγουµε τριγωνοµετρικό πολυώνυµο p ώστε f p 2 < δ, και γράφουµε H ε f f 2 H ε f H ε p 2 + H ε p p 2 + p f 2 = H ε ( f p) 2 + H ε p p 2 + (p f ) 2 d c f p 2 + H ε p p 2 + p f 2 (c + 1)δ + H ε p p 2, χρησιµοποιώντας και την (9.2..7). Από την ( ) συµπεραίνουµε ότι ( ) lim sup ε + και αφού το δ > ήταν τυχόν, παίρνουµε το Ϲητούµενο. H ε f f 2 (c + 1)δ, Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 15

16 Η µελέτη της συµπεριφοράς της H ε f στην περίπτωση που η f είναι απλώς ολοκληρώσιµη είναι πολύ πιο λεπτό ϑέµα. Αρχικά, ϑα συνδέσουµε την H ε f (x) µε τους µέσους σ ( f, x), οι οποίοι ορίζονται ως εξής: ( ) σ ( f, x) = k= ( 1 k ) ( i)(sig k)c k ( f )e ik x, + 1 τότε εύκολα ελέγχουµε ότι ( ) σ ( f, x) = (2 K f )(x) = 1 π f (x ) K () d. Αφού η K () είναι περιττή συνάρτηση, µπορούµε να ξαναγράψουµε την ( ) στη µορφή ( ) σ ( f, x) = 1 f (x + ) K () d π ή στη µορφή ( ) σ ( f, x) = 1 π ( ) f (x ) f (x + ) 2 K () d. Επιπλέον, επειδή η προς ολοκλήρωση συνάρτηση στο δεξιό µέλος της ( ) είναι άρτια, µπορούµε επίσης να γράψουµε (9.3..4) σ ( f, x) = 1 π π ( f (x + ) f (x ) ) ( συν(/2) 2 ημ(/2) ) ημ(( + 1)) [2 ημ(/2)] 2 d. Θεώρηµα (Lebesgue). Εστω f L 1 (). Τότε, σ ( f, x) H f (x) σχεδόν παντού. Επιπλέον, αν η f (x) υπάρχει, τότε σ ( f, x) = σ ( f, x). Απόδειξη. Από τον ορισµό της H f και την (9.3..4) έχουµε σ ( f, x) H f (x) = 1 π 1 π ( f (x + ) f (x )) K () d π = A (x) + B (x). Χρησιµοποιώντας την K () /2 ϐλέπουµε ότι A (x) c 1 σε κάθε x Leb( f ), δηλαδή σχεδόν παντού στο. ( ) 1 ( f (x + ) f (x )) K () 2 εφ(/2) f (x + ) f (x ) d d Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 16

17 Χρησιµοποιώντας την K () 1 2 εφ(/2) π 2 4(+1) 2 στο [, π] ϐλέπουµε ότι B (x) c 2 π f (x + ) f (x ) d 2. Γράφουµε c 2 π f (x + ) f (x ) 1/4 d 2 c 2 π f (x + ) f (x ) d c 3 f 1. Μένει να εκτιµήσουµε το Θεωρούµε την συνάρτηση c 2 1/4 F x () = f (x + ) f (x ) d 2. f (x + s) f (x s) ds. Η F x είναι απολύτως συνεχής, και µπορούµε να γράψουµε c 2 1/4 f (x + ) f (x ) d 2 = c 2 1/4 F x() d 2 = c 2 F x () 1/ c 2 1/4 F x () d 3. F Για κάθε x Leb( f ) έχουµε lim x () + =, άρα c 2 F x () 2 1/4 καθώς το. Από την άλλη πλευρά, c 2 F x ( 1/4 ) F x () 3/4 1/4 + c 2 2c 2 1/4 F x () d 3 2c 2 { Fx () = 2c 2 max { d 2 max Fx () } : [, 1/4 ] } : [, 1/4 ] καθώς το. Ετσι, έχουµε c 2 1/4 f (x + ) f (x ) d 2 για κάθε x Leb( f ) καθώς το. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 17

18 είξαµε ότι lim A (x) = lim B (x) = για κάθε x Leb( f ), άρα σ ( f, x) H f (x) σχεδόν παντού στο. Τέλος, ας υποθέσουµε ότι η f υπάρχει. Τότε, απλός υπολογισµός δείχνει ότι σ ( f, x) = ( f 2 K )(x) = ( f 2K )(x) = σ ( f, x). Αυτό προκύπτει για παράδειγµα από την ισότητα και την ( ). c k ( f 2K ) = c k ( f )c k (2K ) = ( 1 k ) ( i)(sig k)c k ( f ) + 1 Πόρισµα Εστω f L 1 (). Τότε, το όριο lim H ε + ε f (x) υπάρχει σχεδόν παντού στο αν και µόνο αν το lim σ ( f, x) υπάρχει σχεδόν παντού στο. Επιπλέον, τα δύο αυτά όρια συµπίπτουν, αν υπάρχουν. Απόδειξη. Αν το όριο lim H ε + ε f (x) υπάρχει σχεδόν παντού στο, τότε το lim H f (x) υπάρχει σχεδόν παντού στο και το Ϲητούµενο έπεται άµεσα από το Θεώρηµα Υποθέτουµε λοιπόν ότι το lim σ ( f, x) υπάρχει σχεδόν παντού στο. Τότε, το όριο lim H f (x) υπάρχει σχεδόν παντού στο. Θεωρούµε τυχόν ε (, 1) και τον µοναδικό ϕυσικό για τον οποίο 1 +1 ε < 1. Τότε, άρα H ε f (x) H f (x) = 1 π H ε f (x) H f (x) 1 π ε 1/(+1) c f (x + ) f (x ) 2 εφ(/2) f (x + ) f (x ) 2 εφ(/2) d d f (x + ) f (x ) d για κάθε x Leb( f ) καθώς το. Αυτό αποδεικνύει ότι οι H ε f (x) και H f (x) έχουν την ίδια συµπεριφορά καθώς το ε + και το αντίστοιχα. Επεται ότι το όριο lim H ε + ε f (x) υπάρχει και είναι ίσο µε το lim σ ( f, x) σχεδόν παντού στο. Πόρισµα Εστω f L 2 (). Τότε, lim H ε + ε f (x) = f (x) σχεδόν παντού στο. Απόδειξη. Αφού f L 2 (), γνωρίζουµε ότι f L 2 (). Συνεπώς, σ ( f, x) = σ ( f, x) f (x) σχεδόν παντού στο καθώς το. Από το Πόρισµα παίρνουµε σχεδόν παντού στο. lim H ε + ε f (x) = lim σ ( f, x) = f (x) Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 18

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p

Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Σύγκλιση σειρών Fourier σε χώρους L p Μιχάλης Σαράντης και Κωνσταντίνος Τσίνας Βασικά αποτελέσµατα από την ανάλυση Fourier Ορισµός.. Ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet ορίζεται ως (.) D n (y) Πρόταση.. Για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier - Ασκήσεις Αόστολος Γιαννόουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκαιδευτικό υλικό, όως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνθήκες αριθµησιµότητας Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Σειρές Fourier. Κεφάλαιο Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. f(x) dλ(x) u(x) dλ(x) + i. (tf(x) + sg(x)) dλ(x) = t. f(x) dλ(x) = Re ix 0

Σειρές Fourier. Κεφάλαιο Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων. f(x) dλ(x) u(x) dλ(x) + i. (tf(x) + sg(x)) dλ(x) = t. f(x) dλ(x) = Re ix 0 Κεφάλαιο 5 Σειρές Fourier 5. Σειρές Fourier ολοκληρώσιµων συναρτήσεων Σε αυτό το κεφάλαιο ϑεωρούµε συναρτήσεις µε µιγαδικές τιµές. Αν f : [a, b] C είναι οποιαδήποτε συνάρτηση, τότε η f γράφεται στη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx. Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωμα Lebesgue (11 1) 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω f, g : T C ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Δείξτε ότι, για κάθε n N, (s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). Υπόδειξη. Θυμηθείτε

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2]. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young

Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Young Η ϐέλτιστη σταθερά στην ανισότητα Hausdorff-Youg Ασπασία Κωτσογιάννη Περίληψη Ο µετασχηµατισµός Fourier Εστω f L. Ορίζουµε. fξ = π fxe ix ξ dx, ξ. Το ολοκλήρωµα Lebesgue στη σχέση. συγκλίνει για κάθε ξ

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2010 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγµατικό µέρος φανταστικό µέρος u( x, y) x y = και v( x, y) = ( x + y xy), όπου = x+

Διαβάστε περισσότερα

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1

... ονοµάζεται ακολουθία µερικών αθροισµάτων. Το όριό της, καθώς το n τείνει στο άπειρο, n n n 1 ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στην ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τα βασικότερα στοιχεία που είναι απαραίτητα για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους Έτσι, δίνονται συστηµατικά οι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov Το ϑεώρηµα του Alexandrov Γιώργος Γιανναράκης και αυιδούλα ηµοπούλου Περίληψη Το 1939, ο Alexandr Alexandrov απέδειξε το ακόλουθο ϑεώρηµα : Εστω C R d ανοιχτό και κυρτό, f : C R µια κυρτή συνάρτηση. Τότε,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας.

KΕΦΑΛΑΙΟ 2. H εξίσωση θερµότητας. Εισαγωγή KΕΦΑΛΑΙΟ H εξίσωση θερµότητας Εστω Ω είναι ανοικτό σύνολο του µε γνωστή θερµοκρασία στο σύνορό του Ω κάθε χρονική στιγµή και γνωστή αρχική θερµοκρασία σε κάθε σηµείο του Ω Τότε οι φυσικοί νόµοι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Ελλειπτικές Καµπύλες υπέρ του σώµατος C

Ελλειπτικές Καµπύλες υπέρ του σώµατος C Ελλειπτικές Καµπύλες υπέρ του σώµατος C Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 11 Νοεµβρίου 2014, 1/18 ιακριτές υποοµάδες του C Ορισµός Εστω ω 1, ω 2 δύο µιγαδικοί αριθµοί µε Im(ω

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( )

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( ) Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις (205 6) Πρόχειρες Σηµειώσεις Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών 205-6 Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 2 Σύγκλιση ακολουθιών και συνέχεια συναρτήσεων 9 3 Τοπολογία µετρικών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L p (T) Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L p (T) Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ο µετασχηµατισµός Hilbert στον L () Απόστοος Γιαννόπουος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Συντελεστές και σειρές Fourier

Συντελεστές και σειρές Fourier Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Ασκήσεις Μαθηµατικών Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων

Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων Σύνολα µοναδικότητας τριγωνοµετρικών σειρών και ϑεωρία συνόλων Βλάσης Μαστραντώνης Περίληψη Το πρόβληµα της µοναδικότητας του αναπτύγµατος µιας συνάρτησης σε τριγωνοµετρική σειρά έχει µεγάλη ιστορία, η

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα