Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό."

Transcript

1 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε ϕραγµένη ακολουθία συγκλίνει ϐ Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ϕραγµένη γ Αν a είναι µια ακολουθία ακεραίων αριθµών, τότε η a συγκλίνει αν και µόνο αν είναι τελικά σταθερή δ Υπάρχει γνησίως ϕθίνουσα ακολουθία ϕυσικών αριθµών ε Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό στ Κάθε πραγµατικός αριθµός είναι όριο κάποιας ακολουθίας άρρητων αριθµών Ϲ Αν a είναι µια ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών, τότε a 0 αν και µόνο αν a + η Εστω a αύξουσα ακολουθία Αν η a δεν είναι άνω ϕραγµένη, τότε a + ϑ Αν η a συγκλίνει τότε και η a συγκλίνει ι Αν a > 0 και η a δεν είναι άνω ϕραγµένη, τότε a + ια Αν η a συγκλίνει και a + a για κάθε N, τότε η a είναι σταθερή Υπόδειξη α Λάθος Η ακολουθία a είναι ϕραγµένη αλλά δεν συγκλίνει ϐ Σωστό Υποθέτουµε ότι a a R Παίρνουµε ε > 0 Μπορούµε να ϐρούµε 0 N ώστε a a < για κάθε 0 ηλαδή, αν 0, τότε a a a + a < + a Θέτουµε M max{ a,, a 0, + a } και ελέγχουµε ότι a M για κάθε N διακρίνετε περιπτώσεισ: 0 και > 0 Άρα, η a είναι ϕραγµένη γ Σωστό Υποθέτουµε ότι η a συγκλίνει στον πραγµατικό αριθµό a Επιλέγουµε ε και ϐρίσκουµε 0 N ώστε : για κάθε 0 ισχύει a a < Τότε, αν 0 έχουµε a a 0 a a + a a 0 a a + a a 0 < + Οµως, οι a και a 0 είναι ακέραιοι, άρα a a 0 ηλαδή, η a είναι τελικά σταθερή : για κάθε 0 έχουµε a a 0 Η αντίστροφη κατεύθυνση είναι απλή : γενικότερα, αν για µια ακολουθία a στο R όχι αναγκαστικά στο Z υπάρχουν 0 N και a R ώστε για κάθε 0 να ισχύει a a, τότε a a εξηγήστε, µε ϐάση τον ορισµό του ορίου δ Λάθος Ας υποθέσουµε ότι a είναι µια γνησίως ϕθίνουσα ακολουθία ϕυσικών αριθµών Το σύνολο A {a : N} είναι µη κενό υποσύνολο του N Από την αρχή της καλής διάταξης, έχει ελάχιστο στοιχείο

2 ηλαδή, υπάρχει m N ώστε : για κάθε N ισχύει a m a Αυτό είναι άτοπο, αφού a m+ A και a m+ < a m ε Λάθος Η ακολουθία a είναι ακολουθία άρρητων αριθµών, όµως a 0 και ο 0 είναι ϱητός στ Σωστό ιακρίνετε περιπτώσεις Αν ο x είναι άρρητος, µπορείτε να ϑεωρήσετε τη σταθερή ακολουθία a x Αν ο x είναι ϱητός, µπορείτε να ϑεωρήσετε την ακολουθία a x + Ϲ Σωστό Υποθέτουµε πρώτα ότι a 0 Εστω M > 0 Αφού a 0, εφαρµόζοντας τον ορισµό µε ε M > 0, µπορούµε να ϐρούµε 0 0 ε 0 M N ώστε : για κάθε 0 ισχύει 0 < a < M ηλαδή, υπάρχει 0 0 M N ώστε : για κάθε 0 ισχύει a > M Επεται ότι a + Για την αντίστροφη κατεύθυνση εργαζόµαστε µε ανάλογο τρόπο η Σωστό Εστω M > 0 Αφού η a δεν είναι άνω ϕραγµένη, υπάρχει 0 N ώστε a 0 > M Αφού η a είναι αύξουσα, για κάθε 0 ισχύει a a 0 > M Αφού ο M > 0 ήταν τυχών, συµπεραίνουµε ότι a + ϑ Λάθος Η a δεν συγκλίνει, όµως η a συγκλίνει ι Λάθος Θεωρήστε την ακολουθία a µε a k k και a k για κάθε k N Τότε, a > 0 και η a δεν είναι άνω ϕραγµένη, όµως a + αν αυτό ίσχυε, ϑα έπρεπε όλοι τελικά οι όροι της a να είναι µεγαλύτεροι από, το οποίο δεν ισχύει αφού όλοι οι περιττοί όροι της είναι ίσοι µε ια Σωστό Αν a a τότε οι ακολουθίες a k και a k συγκλίνουν στον a εξηγήστε γιατί Από την υπόθεση ότι a + a για κάθε N, ϐλέπουµε ότι οι a k και a k είναι σταθερές ακολουθίεσ: υπάρχουν x, y R ώστε x a a 3 a 5 και y a a 4 a 6 Από τις a k x και a k y έπεται ότι x y a Άρα, η a είναι σταθερή Εστω a ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών Αν a a > 0 αποδείξτε ότι a Τι µπορείτε να πείτε αν a 0; Υπόδειξη Επιλέγουµε ε a/ > 0 Αφού lim a a, υπάρχει 0 ε N µε την ιδιότητα : για κάθε 0 ισχύει a a < a/ Ισοδύναµα, για κάθε 0 ισχύει a/ < a < 3a/ Τότε, a/ < a < 3a/ Οµως, lim lim a a/ lim 3a/, από το α Τότε, το κριτήριο παρεµβολής µας εξασφαλίζει ότι Αν a 0 δεν µπορούµε να συµπεράνουµε το ίδιο : ϑεωρήστε τα παραδείγµατα a, b 3, γ Τι παρατηρείτε για τις lim a, lim b, lim c ; 3 Εστω a ακολουθία πραγµατικών αριθµών µε lim a Θεωρούµε τα σύνολα A { N : a < 00} A { N : a > 003} A 3 { N : a < 98} A 4 { N : < a < 000} A 5 { N : a } Για κάθε j,, 5 εξετάστε αν α το A j είναι πεπερασµένο, ϐ το N \ A j είναι πεπερασµένο Υπόδειξη α Παίρνοντας ε 000 > 0 ϐρίσκουµε N ώστε : για κάθε ισχύει 999 < a < 00 Άρα, κάθε ανήκει στο A Το N \ A είναι πεπερασµένο και το A άπειρο, και µάλιστα, τελικό τµήµα του N

3 γ Παίρνοντας ε 00 > 0 ϐρίσκουµε 3 N ώστε : για κάθε 3 ισχύει 98 < a < 0 Άρα, κάθε 3 ανήκει στο N \ A 3 Το A 3 είναι πεπερασµένο και το N \ A 3 άπειρο, και µάλιστα, τελικό τµήµα του N δ Παίρνοντας ε > 0 ϐρίσκουµε 4 N ώστε : για κάθε 4 ισχύει < a < < 000 Άρα, κάθε 4 ανήκει στο A 4 Το N \ A 4 είναι πεπερασµένο και το A 4 άπειρο, και µάλιστα, τελικό τµήµα του N ε Το A 5 µπορεί να είναι πεπερασµένο ή άπειρο, εξαρτάται από την a ακολουθίες a, a +, a + Ολες ικανοποιούν την Πάρτε σαν παραδείγµατα τις lim a Στην πρώτη περίπτωση έχουµε A 5 N και N \ A 5 Στην δεύτερη, A 5 και N \ A 5 N Στην τρίτη, τόσο το A 5 όσο και το N \ A 5 είναι άπειρα σύνολα το σύνολο των περιττών και το σύνολο των άρτιων ϕυσικών, αντίστοιχα 4 Αποδείξτε µε τον ορισµό ότι a + Υπόδειξη Παρατηρήστε ότι a < Για τυχόν ε > 0 ϐρείτε 0 ε N ώστε 0 < ε Τότε, για κάθε 0 ισχύει a < 0 < ε 5 Εστω a ακολουθία πραγµατικών αριθµών Αν lim a a > 0, δείξτε ότι a > 0 τελικά Υπόδειξη Επιλέγουµε ε a/ > 0 Αφού lim a a, υπάρχει 0 ε N µε την ιδιότητα : για κάθε 0 ισχύει a a < a/ Ισοδύναµα, για κάθε 0 ισχύει a/ < a < 3a/ Άρα, a > a/ > 0 τελικά από τον 0 -οστό όρο και πέρα x 6 Για ποιές τιµές του x R συγκλίνει η ακολουθία +x ; Υπόδειξη Παρατηρήστε ότι x + x x + x + x + x Επίσης, αν x 0 τότε x +x ± εξηγήστε γιατί, άρα x + x < Από το α, αν x 0 τότε η ακολουθία ηλαδή, η ακολουθία x +x 0 Τέλος, αν x 0 έχουµε x +x x +x συγκλίνει, όποιο κι αν είναι το x 7 Για καθεµιά από τις παρακάτω ακολουθίες εξετάστε αν συγκλίνει, και αν ναι, ϐρείτε το όριό της: α 3!, β 3 +, γ, δ + ε 0, κ!, ν τ 3!, ξ si3 ζ 6 6, η si, 3 +, ρ + θ si, σ

4 Υπόδειξη α α 3 α+! : µε το κριτήριο του λόγου Παρατηρήστε ότι α <, άρα α 0 ϐ β 3+ / 3+/ 3 γ γ + δ δ + : Παρατηρήστε ότι + + e, διότι η + είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη από τον e Παίρνοντας -οστές ϱίζες ϐλέπουµε ότι + δ e Από το κριτήριο ισοσυγκλινουσών ακολουθιών, δ αφού + και e ε ε 0 : µε το κριτήριο της ϱίζας Παρατηρήστε ότι ε 0 0 < Άρα, ε 0 Ϲ ζ 6 6 : µε το κριτήριο του λόγου Παρατηρήστε ότι ζ+ ζ < Άρα, ζ 0 η η si Χρησιµοποιώντας την si t t για t > 0, ϐλέπουµε ότι 0 < 3 η 3 0 Άρα, η 0 ϑ θ si : η si είναι ϕραγµένη απολύτως από και η µηδενική Άρα, θ 0 κ κ! : παρατηρήστε ότι κ + κ + / + e < Άρα, κ 0 ν ν + : παρατηρήστε ότι ν + + ϱ ρ + : Παρατηρήστε ότι + + e, διότι η x + είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη από τον e Παίρνοντας τετραγωνικές ϱίζες ϐλέπουµε ότι x ρ e Από το κριτήριο ισοσυγκλινουσών ακολουθιών, ρ e ς σ τ τ 3! : παρατηρήστε ότι Άρα, τ + τ + τ 3 + 3/ + ξ ξ si3 : η si 3 είναι ϕραγµένη απολύτως από και η 3 e > µηδενική Άρα, ξ 0 4

5 8 α Εστω a, a,, a k > 0 είξτε ότι b : a + a + + a k max{a, a,, a k } ϐ Υπολογίστε το όριο της ακολουθίας x Υπόδειξη α Ορίζουµε a max{a, a,, a k } Τότε, για κάθε N έχουµε a a + + a k ka Άρα, a b : a + a + + a k ka a k Αφού lim k, από το κριτήριο παρεµβολής έχουµε b a Για παράδειγµα, ϐ Το πλήθος των προσθετέων στον ορισµό του -οστού όρου δεν είναι σταθερό ουλέψτε όµως όπως στο α: παρατηρήστε ότι < < αν Άρα, < x < για κάθε Αφού, εφαρµόζεται το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών, και x 9 Εστω α R Εξετάστε αν συγκλίνει η ακολουθία x [α] και, αν ναι, ϐρείτε το όριο της Υπόδειξη Από τον ορισµό του ακεραίου µέρους έχουµε [α] α < [α] +, άρα x α < x + Επεται ότι α < x α, άρα x α 0 Εστω α > 0 είξτε ότι η ακολουθία b +α +α Υπόδειξη Η b έχει ϑετικούς όρους Παρατηρούµε ότι άρα η b είναι ϕθίνουσα Επίσης, b + b Από το κριτήριο του λόγου, b 0 είναι ϕθίνουσα και προσδιορίστε το όριο της b α b + α + α + + α + + α + α < + + α + α + α + α + + α + + α + α < Εστω a, b ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Υποθέτουµε ότι lim a a > 0 και b + α είξτε ότι υπάρχουν δ > 0 και 0 N ώστε : για κάθε 0 ισχύει a > δ ϐ είξτε ότι a b + 5

6 Υπόδειξη α Εφαρµόζουµε τον ορισµό του ορίου µε ε a/ > 0 Υπάρχει 0 N ώστε : για κάθε 0 ισχύει a a < a a > a a a Θέτοντας δ a/ παίρνουµε το Ϲητούµενο ϐ Εστω M > 0 Αφού b +, υπάρχει N ώστε b > M/δ για κάθε Θέτουµε max{ 0, } Τότε, για κάθε έχουµε a b > δm/δ M Με ϐάση τον ορισµό, a b + είξτε ότι η ακολουθία y πρώτα αν η y είναι µονότονη Υπόδειξη Παρατηρούµε ότι y + y + + άρα η y είναι γνησίως αύξουσα Επίσης, συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό Υπόδειξη: Εξετάστε > 0, y <, αφού το άθροισµα που ορίζει τον y έχει προσθετέους το πολύ ίσους µε + Άρα, η y είναι άνω ϕραγµένη Από το ϑεώρηµα σύγκλισης µονότονων ακολουθιών, η y συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό 3 Θέτουµε a 6 και, για κάθε,,, a a Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση την ακολουθία a Υπόδειξη είξτε µε επαγωγή ότι η a είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη από τον 3 Άρα, a x για κάποιον x που ικανοποιεί την x 6 + x Οι ϱίζες της εξίσωσης είναι και 3 Αφού η a έχει ϑετικούς όρους, a 3 4 Ορίζουµε µια ακολουθία a µε a και Εξετάστε αν συγκλίνει a + a + a +, N Υπόδειξη Παρατηρήστε πρώτα ότι, αν η a συγκλίνει τότε το όριο της ϑα ικανοποιεί την x x+ x+ εξηγήστε γιατί Άρα x + 5 ή x 5 είξτε διαδοχικά τα εξήσ: Η a ορίζεται καλά Αρκεί να δείξετε ότι a για κάθε N είξτε µε επαγωγή ότι a > 0 για κάθε N Η a είναι αύξουσα µε επαγωγή Παρατηρήστε ότι αν a m a m+ τότε a m+ a m+ 3 Η a είναι άνω ϕραγµένη µε επαγωγή Παρατηρήστε ότι a m+ a m 0 a m+ + a m + a m+ a m + a m + a m + a m + για κάθε m Θα µπορούσατε επίσης να δείξετε ότι a m + 5 για κάθε m αφού, από τα παραπάνω, αυτό είναι το «υποψήφιο όριο» της αύξουσας ακολουθίας a 6

7 Αφού η a είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη, συγκλίνει στον Εστω a µια ακολουθία είξτε ότι a a αν και µόνο αν οι υπακολουθίες a k και a k συγκλίνουν στο a Υπόδειξη Υποθέτουµε ότι οι υπακολουθίες a k και a k συγκλίνουν στον a Εστω ε > 0 Υπάρχει N µε την ιδιότητα : για κάθε k ισχύει a k a < ε Επίσης, υπάρχει N µε την ιδιότητα : για κάθε k ισχύει a k a < ε Αν ϑέσουµε 0 max{, } τότε για κάθε 0 ισχύει a a < ε [Πράγµατι, παρατηρήστε ότι αν ο είναι άρτιος τότε k για κάποιον k ενώ αν ο είναι περιττός τότε k για κάποιον k ] Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, έπεται ότι a a Το αντίστροφο είναι απλό : έχουµε δει ότι αν µια ακολουθία a συγκλίνει στον a R τότε κάθε υπακολουθία a k της a συγκλίνει στον a 6 Εστω a µια ακολουθία Υποθέτουµε ότι οι υπακολουθίες a k, a k και a 3k συγκλίνουν είξτε ότι : α lim a k lim a k lim a 3k k k k ϐ Η a συγκλίνει Υπόδειξη Ας υποθέσουµε ότι a k x, a k y και a 3k z Παρατηρήστε ότι : i Η a 6k είναι ταυτόχρονα υπακολουθία της a k και υπακολουθία της a 3k Άρα, η a 6k συγκλίνει και x lim a k lim a 6k lim a 3k z k k k ii Η a 6k 3 είναι ταυτόχρονα υπακολουθία της a k και υπακολουθία της a 3k Άρα, η a 6k 3 συγκλίνει και y lim a k lim a 6k 3 lim a 3k z k k k Επεται ότι x y z Αφού οι a k και a k έχουν το ίδιο όριο, η Άσκηση 5 δείχνει ότι η a συγκλίνει Β Οµάδα 7 Για καθεµιά από τις παρακάτω ακολουθίες εξετάστε αν συγκλίνει, και αν ναι, ϐρείτε το όριό της: α 5 + 6, β + 3, γ δ + +, ε cos + λ +, µ!, θ!! Υπόδειξη α α /6 +/6 / ϐ β + 3 : παρατηρήστε ότι β + Αφού, από το κριτήριο ισοσυγκλινουσών ακολουθιών ϐλέπουµε ότι β / γ γ : µε το κριτήριο της ϱίζας Παρατηρήστε ότι γ 0 < Άρα, γ 0 7

8 δ δ : γράφουµε δ ε ε cos : η cos είναι ϕραγµένη απολύτως από και η λ λ + : δεν συγκλίνει, αφού λ και λ µ µ! : παρατηρήστε ότι µ Άρα, µ + ϑ θ!! : παρατηρήστε ότι άρα θ 0 θ + + θ + + <, 8 Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις παρακάτω ακολουθίες: Υπόδειξη α Παρατηρήστε ότι a + a b γ! + +! + +! δ + / /3 / Αφού lim lim + +, συµπεραίνουµε ότι a ϐ Παρατηρούµε πρώτα ότι µηδενική Άρα, ε Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα + x + x + + x x+ x για x, παίρνουµε Συνεπώς, Από την άλλη πλευρά, b b

9 ηλαδή, Από το κριτήριο παρεµβολής έπεται ότι b γ Παρατηρήστε ότι b + 0 < γ! + +! + +! +! Από το κριτήριο του λόγου προκύπτει εύκολα ότι +! 0 Άρα, γ 0 δ Παρατηρήστε ότι Άρα, δ + δ + / /3 /3 > 3 + /3 4 9 Εστω A µη κενό και άνω ϕραγµένο υποσύνολο του R Αν a sup A, δείξτε ότι υπάρχει ακολουθία a στοιχείων του A µε lim a a Αν, επιπλέον, το sup A δεν είναι στοιχείο του A, δείξτε ότι η παραπάνω ακολουθία µπορεί να επιλεγεί ώστε να είναι γνησίως αύξουσα Υπόδειξη Από τον ϐασικό χαρακτηρισµό του supremum, για κάθε ε > 0 υπάρχει x xε A ώστε a ε < x a Εφαρµόζοντας διαδοχικά το παραπάνω για ε,, 3,, µπορείτε να ϐρείτε ακολουθία a στοιχείων του A µε a < a a Από το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών, a a Ας υποθέσουµε, επιπλέον, ότι ο a sup A δεν είναι στοιχείο του A Υπάρχει a A που ικανοποιεί την a < a a Οµως, a a διότι a / A, άρα a < a < a Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ϐρεί a,, a m A που ικανοποιούν τα εξήσ: a < a < < a m < a Για κάθε k,, m ισχύει a k < a k < a Τότε, ο s m max{a m+, a m} είναι µικρότερος από τον a Μπορούµε λοιπόν να ϐρούµε a m+ A που ικανοποιεί την s m < a m+ < a εξηγήστε γιατί Άρα, a m < a m+ και a m+ < a m+ < a Επαγωγικά, ορίζεται γνησίως αύξουσα ακολουθία a στοιχείων του A που ικανοποιούν την a < a < a Από το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών, a a 0 Εστω a ακολουθία µε a a Ορίζουµε µια δεύτερη ακολουθία b ϑέτοντας είξτε ότι b a b a + + a Υπόδειξη Κάνουµε πρώτα την επιπλέον υπόθεση ότι a 0 και δείχνουµε ότι b 0 Θεωρούµε ε > 0 και ϐρίσκουµε ε N µε την ιδιότητα : για κάθε ισχύει a < ε/ Τότε, για κάθε > έχουµε b a + + a + ε < a + + a + ε Ο αριθµός A : a + + a εξαρτάται από το ε αφού ο εξαρτάται από το ε όχι όµως από το Από την Αρχιµήδεια ιδιότητα, υπάρχει A ε N µε την ιδιότητα : για κάθε έχουµε a + + a A < ε 9

10 Αν λοιπόν πάρουµε 0 max{, } τότε, για κάθε 0 ισχύει η b A + ε < ε Με ϐάση τον ορισµό, b 0 Για τη γενική περίπτωση, ϑεωρήστε την ακολουθία a : a a Τότε, a 0 Άρα, Επεται ότι b a b a a + + a a a a + + a a a + + a 0 Εστω a ακολουθία ϑετικών όρων µε a a > 0 είξτε ότι Υπόδειξη Αφού a a, η Άσκηση 0 δείχνει ότι b : a + + a και γ : a a a a b a + + a Αρα, b a Για την γ, παρατηρήστε ότι b γ δ : a+ +a από την ανισότητα αρµονικούγεωµετρικού-αριθµητικού µέσου, και εφαρµόστε το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών σε συνδυασµό µε την Άσκηση 0 Εστω a ακολουθία µε lim a + a a είξτε ότι a a a Υπόδειξη Παρατηρήστε ότι a a a + + a a + a όπου b : a + a a Τώρα, χρησιµοποιήστε την Άσκηση 0 3 Εστω a αύξουσα ακολουθία µε την ιδιότητα b + + b + a b : a + + a a είξτε ότι a a Υπόδειξη Αρκεί να δείξουµε ότι η a είναι άνω ϕραγµένη Τότε, η a συγκλίνει και, από την Άσκηση 0, lim a lim b a Κάνουµε πρώτα την επιπλέον υπόθεση ότι a 0 Τότε, a a 0 για κάθε N Αφού η b συγκλίνει, είναι ϕραγµένη : ειδικότερα, υπάρχει M R ώστε : για κάθε k N ισχύει a + +a k kb k km Παίρνοντας k και χρησιµοποιώντας την υπόθεση ότι η a είναι αύξουσα, γράφουµε a a a a + + a b M ηλαδή, η a είναι άνω ϕραγµένη από τον M Πού χρησιµοποιήθηκε η υπόθεση ότι οι όροι της a είναι µη αρνητικοί ; 0

11 Για τη γενική περίπτωση, ϑεωρήστε την αύξουσα ακολουθία a a a και την b : a + +a Από την υπόθεση έχουµε b a a και, όπως ορίστηκε η a, έχουµε a 0 Άρα, η a είναι άνω ϕραγµένη Επεται ότι η a είναι άνω ϕραγµένη εξηγήστε γιατί a 4 είξτε ότι : αν a > 0 και lim + a a, τότε lim a a Υπόδειξη Γράφουµε όπου b a και b a a a a b b b, a a a a,, 3, ακολουθία των γεωµετρικών µέσων της b συγκλίνει στον a ηλαδή, lim 5 Προσδιορίστε τα όρια των ακολουθιών : α Από την υπόθεση έχουµε b a και, από την Άσκηση, η a a [ ] /!! β [ ]/ + γ [ ] / Υπόδειξη Για την α Άρα, α 4 από την Άσκηση 4 [ ] /!! ϑέτουµε x!! και παρατηρούµε ότι x x + 4 Για την β [ ]/ παρατηρούµε ότι [ ++ + ] / ϑέτουµε y ++ + και y + y Άρα, β 4 e από την Άσκηση 4 [ Για την γ ] / ϑέτουµε z Άρα, γ e από την Άσκηση z + z 6 Υπολογίστε τα όρια των παρακάτω ακολουθιών : a e e 3 + και παρατηρούµε ότι +, b +, c και d, e + 3

12 Υπόδειξη Χρησιµοποιήστε το γεγονός ότι x + e Για παράδειγµα, α a + x e ϐ b x +x e γ c x e, άρα c e δ d + e e ε e e γιατί ;, άρα e 3 e a 7 Εστω a, b δύο ακολουθίες πραγµατικών αριθµών µε b 0 για κάθε N και lim b α Αν, επιπλέον, η b είναι ϕραγµένη, δείξτε ότι lim a b 0 ϐ ώστε παράδειγµα ακολουθιών για τις οποίες lim αλλά δεν ισχύει lim a b 0 a Υπόδειξη α Γράφουµε a b b b Από την υπόθεση, η b είναι ϕραγµένη και η µηδενική Συνεπώς, lim a b 0 ϐ Θεωρήστε τις a + και b 8 Χρησιµοποιώντας την ανισότητα a b , a b δείξτε ότι η ακολουθία a δεν είναι ϐασική ακολουθία Συµπεράνατε ότι a + Υπόδειξη Παρατηρήστε ότι : για κάθε N, είναι Ας υποθέσουµε ότι η ακολουθία a είναι ϐασική ακολουθία Τότε, παίρνοντας ε 4 > 0, µπορούµε να ϐρούµε 0 N µε την ιδιότητα : για κάθε m, 0 ισχύει a m a < 4 Πάρτε 0 και m > 0 Τότε, a a < 4 Αυτό δεν µπορεί να ισχύει, διότι a a Εξηγήστε τώρα τα εξήσ: α Αφού η a δεν είναι ϐασική ακολουθία, η a δεν συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό ϐ Αφού η a είναι αύξουσα και δεν συγκλίνει, η a δεν είναι άνω ϕραγµένη γ Αφού η a είναι αύξουσα και δεν είναι άνω ϕραγµένη, αναγκαστικά a + 9 Εστω 0 < µ < και ακολουθία a για την οποία ισχύει είξτε ότι η a είναι ϐασική ακολουθία a + a µ a a,

13 Υπόδειξη Εστω a a και b a Από την a + a µ a a έπεται εξηγήστε γιατί ότι : για κάθε ισχύει a + a µ a a b a µ Αν λοιπόν m, N και m >, τότε a m a a m a m + + a + a b a µ + + µ m Θεωρήστε ε > 0 και ϐρείτε 0 N που ικανοποιεί την Τότε, αν m > 0, a m a ηλαδή, η a είναι ϐασική ακολουθία b a µ µm µ b a µ µ b a µ µ µ b a µ µ µ0 < ε Τέτοιος 0 υπάρχει γιατί µ 0 όταν b a µ µ b a µ µ µ < ε µ0 30 Ορίζουµε a a, a b και a + a+a, Εξετάστε αν η a είναι ϐασική ακολουθία Υπόδειξη Παρατηρήστε ότι : για κάθε ισχύει δηλαδή a + a a + a a a a, a + a a a Από την Άσκηση 9, η a είναι ϐασική ακολουθία Γ Οµάδα 3 είξτε ότι κάθε πραγµατικός αριθµός είναι όριο γνησίως αύξουσας ακολουθίας ϱητών αριθµών, καθώς επίσης και όριο γνησίως αύξουσας ακολουθίας άρρητων αριθµών Υπόδειξη Εστω x R Υπάρχει q Q που ικανοποιεί την x < q < x από την πυκνότητα του Q στο R Ας υποθέσουµε ότι έχουµε ϐρεί ϱητούς αριθµούς q,, q m που ικανοποιούν τα εξήσ: q < q < < q m < x Για κάθε k,, m ισχύει x k < q k < x Τότε, ο s m max{x m+, q m} είναι µικρότερος από τον x Λόγω της πυκνότητας των ϱητών στους πραγ- µατικούς αριθµούς, µπορούµε να ϐρούµε q m+ Q στο ανοικτό διάστηµα s m, x Τότε, q m < q m+ και x m+ < q m+ < x Επαγωγικά, ορίζεται γνησίως αύξουσα ακολουθία q ϱητών αριθµών που ικανοποιούν την x < q < x Από το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών, q x 3 είξτε ότι αν a είναι µια ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών µε a a > 0, τότε if{a : N} > 0 3

14 Υπόδειξη Η ϐασική ιδέα είναι ότι, αφού a > 0 και a a, ϑα υπάρχει 0 µε την ιδιότητα : για κάθε 0 ισχύει a > a/ ηλαδή, τελικά όλοι οι όροι της a ξεπερνούν τον ϑετικό αριθµό a/ Πράγµατι, αν εφαρµόσετε τον ορισµό του ορίου για την a µε ε a/ > 0, µπορείτε να ϐρείτε 0 R ώστε : για κάθε 0, a a < ε a/ a/ < a < 3a/ Τότε, ο ϑετικός αριθµός m : mi{a,, a 0, a/} είναι κάτω ϕράγµα του συνόλου A {a : N} εξηγήστε γιατί Συνεπώς, ifa m > 0 33 είξτε ότι αν a είναι µια ακολουθία ϑετικών πραγµατικών αριθµών µε a 0, τότε το σύνολο A {a : N} έχει µέγιστο στοιχείο Υπόδειξη Η ϐασική ιδέα είναι ότι, αφού a > 0 και a 0, ϑα υπάρχει 0 µε την ιδιότητα : για κάθε 0 ισχύει a < a ηλαδή, υπάρχει στοιχείο του A µεγαλύτερο από «όλα» εκτός από πεπερασµένα το πλήθος τα στοιχεία του A Πράγµατι, αν εφαρµόσετε τον ορισµό του ορίου για την a µε ε a > 0, µπορείτε να ϐρείτε 0 R ώστε : για κάθε 0, a a 0 < ε a Τότε, ο µεγαλύτερος από τους a,, a 0 είναι το µέγιστο στοιχείο του A: ανήκει στο A και είναι µεγαλύτερος ή ίσος από κάθε a εξηγήστε γιατί 34 Ορίζουµε µια ακολουθία α µε α 0 και α + 3α + α +,,, 3, είξτε ότι : α Η α είναι αύξουσα ϐ α Υπόδειξη α Παρατηρούµε πρώτα ότι α > 0 για κάθε N Επίσης, άρα η α είναι αύξουσα α + α 3α + α + α α α + α 0, α + α + ϐ Η α είναι άνω ϕραγµένη από τον είξτε το επαγωγικά : αν α τότε 3α + α + α + α + + α +, οπότε α + 3α + α + Αφού η α είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη, συγκλίνει σε κάποιον x > 0 ο οποίος ικανοποιεί την x 3x + x+, δηλαδή x x + 0 Άρα, x 35 Θεωρούµε την ακολουθία α που ορίζεται από τις α 3 και α + α+3 5,,, είξτε ότι η α συγκλίνει και υπολογίστε το όριο της Υπόδειξη Παρατηρούµε ότι α 9 5 < 3 α είξτε µε επαγωγή ότι η α είναι ϕθίνουσα Αφού απλό η α είναι και κάτω ϕραγµένη από τον 3/5, συγκλίνει στη λύση της εξίσωσης x x+3 5 ηλαδή, α 36 Εστω a > 0 Θεωρούµε τυχόν x > 0 και για κάθε N ορίζουµε x + x + a x είξτε ότι η x, τουλάχιστον από τον δεύτερο όρο της και πέρα, είναι ϕθίνουσα και κάτω ϕραγµένη από τον a Βρείτε το lim x Υπόδειξη είξτε διαδοχικά τα εξήσ: Η x ορίζεται καλά Αρκεί να δείξετε ότι x 0 για κάθε N είξτε µε επαγωγή ότι x > 0 για κάθε 4

15 Για κάθε ισχύει x a µε επαγωγή Παρατηρήστε ότι x + x + a a x a x x για κάθε N 3 Για κάθε ισχύει x x + µε επαγωγή Παρατηρήστε ότι για κάθε N x x + x a x 0 Αφού η x είναι ϕθίνουσα και κάτω ϕραγµένη, συγκλίνει Το όριο x είναι ϑετικό από τα προηγούµενα έχουµε x a και πρέπει να ικανοποιεί την x x + a x, δηλαδή x a Άρα, x a 37 Εστω 0 < a < b Ορίζουµε αναδροµικά δύο ακολουθίες ϑέτοντας a + a b και b + a + b α είξτε ότι η a είναι αύξουσα και η b ϕθίνουσα ϐ είξτε ότι οι a, b συγκλίνουν και έχουν το ίδιο όριο Υπόδειξη είξτε διαδοχικά τα εξήσ: a > 0 και b > 0 για κάθε N a b για κάθε N Από τον αναδροµικό ορισµό ανεξάρτητα µάλιστα από το ποιοί είναι οι a και b έχετε a + a b a + b b + 3 Η a είναι αύξουσα Παρατηρήστε ότι a + a b a a για κάθε N 4 Η b είναι ϕθίνουσα Παρατηρήστε ότι b + a+b b b για κάθε N Από τα παραπάνω, η a είναι αύξουσα και άνω ϕραγµένη από τον b, ενώ η b είναι ϕθίνουσα και κάτω ϕραγµένη από τον a εξηγήστε γιατί Άρα, υπάρχουν a, b R ώστε a a και b b Από την b + a+b έπεται ότι b a+b, δηλαδή a b 38 Επιλέγουµε x a, x b και ϑέτουµε x + x 3 + x + 3 είξτε ότι η x συγκλίνει και ϐρείτε το όριό της [Υπόδειξη : Θεωρήστε την y x + x και ϐρείτε αναδροµικό τύπο για την y ] Υπόδειξη Παρατηρήστε ότι x + x + x + x 3 Άρα, η ακολουθία y x + x ικανοποιεί την αναδροµική σχέση y + y 3 Επεται εξηγήστε γιατί ότι y 3 y 3 b a 5

16 Παρατηρήστε ότι Άρα, x x + x x + + x x a + y + + y x a b a 3 a b a a + 3 3b + a b a Εστω a ακολουθία πραγµατικών αριθµών µε την ιδιότητα : για κάθε k N το σύνολο A k { N : a k} είναι πεπερασµένο είξτε ότι lim a 0 Υπόδειξη Εστω ε > 0 Υπάρχει k N ώστε /k < ε Το σύνολο A k { N : a k} είναι πεπερασµένο, άρα έχει µέγιστο στοιχείο Θέτουµε 0 maxa k + Τότε, για κάθε 0 έχουµε / A k, άρα a > k ειδικότερα, a k 0 Επεται ότι, για κάθε 0 ισχύει a < k < ε Άρα, lim a 0 40 Θεωρούµε γνωστό ότι lim + e είξτε ότι, για κάθε ϱητό αριθµό q, ισχύει : lim + q e q Υπόδειξη Αρχικά παρατηρούµε ότι, για κάθε x > 0, η ακολουθία t x + x είναι αύξουσα Ενας τρόπος για να το δούµε είναι εφαρµόζοντας την ανισότητα αριθµητικού γεωµετρικού µέσου για τους αριθµούς s s s + x και s + Εχουµε + s + + s + s + s s s +, + δηλαδή + x + + x + + Αφού + x x, συµπεραίνουµε ότι + x x + x Θεωρούµε ϑετικό ϱητό q k m, όπου k, m N Θέλουµε να δείξουµε ότι + k e k/m m Ισοδύναµα, ότι b + k m e k m 6

17 Παρατηρήστε ότι η b είναι αύξουσα : Ϲητάµε b + t m+ k t m k b, το οποίο ισχύει για κάθε, αφού η t k είναι αύξουσα και m + > m Επιπλέον, b k + k mk [ + m ] k e k, mk m διότι + m m e Τώρα, για τυχόν ε > 0, ϐρίσκουµε 0 ώστε : για κάθε 0, e k ε < b k < e k + ε Τότε, για κάθε > k 0 έχουµε e k ε < b k0 b b k < e k + ε Συνεπώς, b e k Για την περίπτωση q < 0 δουλεύουµε µε παρόµοιο τρόπο 4 Λήµµα του Stoltz Εστω a ακολουθία πραγµατικών αριθµών και έστω b γνησίως αύξουσα ακολουθία πραγµατικών αριθµών µε lim b + είξτε ότι αν a + a lim λ, b + b όπου λ R ή λ +, τότε a lim λ b a Υπόδειξη Υποθέτουµε ότι lim + a b + b λ όπου λ R η περίπτωση λ + εξετάζεται ανάλογα Εστω ε > 0 Χρησιµοποιώντας και το γεγονός ότι b +, ϐλέπουµε ότι υπάρχει ε N ώστε : για κάθε ισχύει b > 0 και λ ε < a + a < λ + ε b + b Αφού η b είναι γνησίως αύξουσα, έχουµε b + b > 0 Άρα, για κάθε ισχύει λ ε b + b < a + a < λ + ε b + b Επεται εξηγήστε γιατί ότι : για κάθε > ισχύει λ ε ιαιρώντας µε b παίρνουµε λ ε b b < a a < b b + a b < a < λ + ε b λ + ε b b b b + a b Παρατηρήστε ότι και lim lim [ λ ε [ λ + ε b b b b + a ] λ ε b + a ] λ + ε b 7

18 γιατί b + όταν Άρα εξηγήστε γιατί υπάρχει N, που εξαρτάται από το και από το ε, ώστε : για κάθε ισχύει λ ε < λ ε b b Συνεπώς, αν 0 : max{, }, έχουµε Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, συµπεραίνουµε ότι + a < λ + ε b λ ε < a b < λ + ε a lim λ b b b + a b < λ + ε 4 Ορίζουµε ακολουθία a µε 0 < a < και a + a a,,, είξτε ότι lim a Υπόδειξη Επαγωγικά δείχνουµε ότι 0 < a < για κάθε N για το επαγωγικό ϐήµα πρατηρήστε ότι αν 0 < a < τότε έχουµε και 0 < a <, οπότε πολλαπλασιάζοντας ϐλέπουµε ότι 0 < a a <, δηλαδή 0 < a + < Από την αναδροµική σχέση έχουµε a + a a < 0, άρα a > a + για κάθε N Συνεπώς, η a είναι γνησίως ϕθίνουσα Αφού είναι και κάτω ϕραγµένη από το 0, η a συγκλίνει σε κάποιον x 0 Πάλι από την αναδροµική σχέση, ο x ικανοποιεί την x x x x x, δηλαδή x 0 Άρα, a 0 Με ϐάση τα παραπάνω, η ακολουθία b a ορίζεται καλά, είναι γνησίως αύξουσα, και a + εξηγήστε γιατί Γράφουµε a b και εφαρµόζουµε το Λήµµα του Stolz: έχουµε + b + b a + a a a, a a άρα a b από την Άσκηση 4 8

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά.

n a n = 2. Θεωρούµε τα σύνολα a n = n2 n n 2 + n 1. n a n = a > 0, δείξτε ότι a n > 0 τελικά. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

= f(x) για κάθε x R.

= f(x) για κάθε x R. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 4: Συνέχεια και όρια συναρτήσεων Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α)

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε

Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2]. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riem Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. Πανεπιστηµιο Αιγαιου Τµηµα Μαθηµατικων 8 200 Καρλοβασι Σαµος Καρλόβασι 09/02/2012 Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος. 1. Απαντήστε µε α(αλήθεια)

Διαβάστε περισσότερα

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Ακουλουθίες ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Μονοτονία Ακολουθίας Φραγµένη Ακολουθία Υπακολουθίες Σύγκλιση - Απόκλιση Ακολουθιών N = {1, 2,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι L p - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών - Περιεχόμενα Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες. Υπακολουθίες. Θεώρημα Bolzno Weierstrss.αʹ Απόδειξη με χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Διαγωνισμάτος 1 Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές

Λύσεις Διαγωνισμάτος 1 Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegea.gr Λύσεις Διαγωνισμάτος Ενότητα: Ακολουθίες-Σειρές Άσκηση. Έστω ακολουθία (a ), για την οποία ισχύει ότι Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. ( n(n+1) e 1 (

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. ( n(n+1) e 1 ( . Αποδείξτε ότι: Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 08-9. Λύσεις τέταρτου φυλλαδίου ασκήσεων. +) 7 +) +), 5 +7 5 5, +log ) 7 log 4, +, ++ + + ) +4+4 + +4, + si +, +) +), + [ ], + + 0, + +, ) +,,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010

Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010 Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3//00 Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το σύνολο B = {x Q : x < 5}. είξτε ότι sup B = 5. Απάντηση : Για να δείξουµε ότι sup B = 5 αρκεί να δειχθεί ότι α) Το 5 είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις

Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις Απειροστικός Λογισμός Ι Ασκήσεις Μ. Παπαδημητράκης . Για καθεμία από τις ανισότητες ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ + >, +, + > +3 3+, ( )( 3) ( ) 0 γράψτε ως διάστημα ή ως ένωση διαστημάτων το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 3 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n.

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ 1β. 2n + 1 n(n + 1) xn. n=1. 2n + 1 ln(1 x)(1 + x) + x. a n = 2n + 1 n(n + 1) = 1 n + 1. a n+1 x n+1 a n x n. ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΤΜΗΜΑ β 4 Ιανουαρίου 005 Τα ϑέµατα,, και 4 είναι υποχρεωτικά. Από τα ϑέµατα 5 και 6 ϑα επίλέξετε ϑέµα. ηλαδή ϑα γράψετε ΜΟΝΟ 5 ϑέµατα. ΘΕΜΑ o.5 + 0.5 = ϐ.) α) Να αποδειχθεί ότι η δυναµοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί. Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {,, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3,,, 0,,, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς ανάλογα αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3

Πραγµατική Ανάλυση ( ) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Πραγµατική Ανάλυση (2015-16) Ασκήσεις - Κεφάλαιο 3 Οµάδα Α 1. Εστω (X, ρ) µετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( )

Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις ( ) Πραγµατική Ανάλυση Ασκήσεις (205 6) Πρόχειρες Σηµειώσεις Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών 205-6 Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 2 Σύγκλιση ακολουθιών και συνέχεια συναρτήσεων 9 3 Τοπολογία µετρικών χώρων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Το Αξίωµα τής Πληρότητας 5 Ασκήσεις 9

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα

Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Κεφάλαιο 6 Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα 6. Οικογένειες καλών πυρήνων και προσεγγίσεων της µονάδας Σε αυτήν την παράγραφο ϑα ασχοληθούµε µε µέσες τιµές µιας ολοκληρώσιµης συνάρτησης f οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ Όταν lim f ( ) =l, εννοούµε ότι οι τιµές f () βρίσκονται όσο θέλουµε κοντά στο l, για τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο. f () y f() y f() y 9 f ( ) =l f () l f() l

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx. f(x)dx = 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemann Α Οµάδα

f(x) dx. f(x)dx = 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemann Α Οµάδα Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemnn Α Οµάδα. Εστω f : [, ] R. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας).

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : htt://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt204/nt204.html htts://sites.google.com/site/maths4eu/home/4

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l.

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Οµάδα Α. λ(a) (µε A B συµβολίζουµε τη συµµετρική διαφορά (A \ B) (B \ A) των A και B).

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Οµάδα Α. λ(a) (µε A B συµβολίζουµε τη συµµετρική διαφορά (A \ B) (B \ A) των A και B). Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Οµάδα Α 1. α) Εστω A ϕραγµένο υποσύνολο του R d. είξτε ότι λ A) < +. ϐ) Εστω ότι το A R d έχει τουλάχιστον ένα εσωτερικό σηµείο. είξτε ότι λ A) > 0. Υπόδειξη. α) Αφού το A

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 -6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 + x + 1 (x + 3)(x 1) 2 dx, 2x (x + 1) dx. b x 1 + x dx x x 2 1, 6u 5 u 3 + u 2 du = 6u 3 u + 1 du. = u du.

2x 2 + x + 1 (x + 3)(x 1) 2 dx, 2x (x + 1) dx. b x 1 + x dx x x 2 1, 6u 5 u 3 + u 2 du = 6u 3 u + 1 du. = u du. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 8: Τεχνικές ολοκλήρωσης Α Οµάδα. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα : + + d, + + ( + 3)( ) d, 3 + 3 + 3 + + + d. Υπόδειξη. (α) Γράφουµε + + d

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ι και Εφαρµογές

Ανάλυση Ι και Εφαρµογές Ανάλυση Ι και Εφαρµογές Σηµειώσεις από τις παραδόσεις Α. Γιαννόπουλος Τµήµα Φυσικής Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 206 Περιεχόµενα Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Φυσικοί, ακέραιοι και ϱητοί αριθµοί.......................

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Χώροι L p. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι L p Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 15 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. Εστω n 3 ακέραιος.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 6 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Βρείτε όλους τους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x Σελίδα από 4 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Του Αντώνη Κυριακόπουλου Εισαγωγή Στην εργασία αυτή παραθέτω χρήσιµες επισηµάνσεις στις βασικές έννοιες των πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ Έστω ένας πραγµατικός αριθµός. ίνουµε τον εξής ορισµό: Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο µέρος του και το συµβολίζουµε [ ], τον πιο µεγάλο ακέραιο που δεν υπερβαίνει τον. Έτσι [ 3,98]

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Iανουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα