ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει µια επανάληψη βασικών γνώσεων του Λυκείου και το δεύτερο Ασκ 5 0 αναφέρεται στα Κεφάλαια και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα» Η τελική ηµεροµηνία αποστολής της Εργασίας είναι η 6 Νοεµβρίου 00 Άσκηση (6 µονάδες) Να απλοποιήσετε τα κλάσµατα: y y a + ab b ( a b ) ( y ) (i) (ii) και (iii) y + y+ a b ( a + b )( y+ y ) Εξηγείστε υπό ποίες συνθήκες είναι δυνατή η απλοποίηση αυτή Λύση: (i) Έχουµε: y y + y y y ( + y) y( + y) ( + y)( y) Ένας άλλος τρόπος να παραγοντοποιηθεί το τριώνυµο y y το οποίο είναι δευτέρου βαθµού ως προς είναι να βρούµε πρώτα τις ρίζες: y+ 5y y y± y + y y± 5y ή y 5y y και στη συνέχεια να το γράψουµε στη µορφή: y y y ( + y) ( y)( + y) Παρόµοια y + y+ y + y+ y+ y( y+ ) + ( y+ ) ( + y)( y+ ) Εποµένως (ii) yy y + y+ ( + y) ( y) y ( + y) ( + y) + y ( a+ ( a ( a ( a+ a + ab b a + abab b a( a+ b( a+ a b ( a ( a+ ( a ( a+ a b a b ( a b ) ( y ) ( a ( a+ ( y)( + y+ y ) (iii) ( a + b )( + y+ y ) ( a+ ( a ab+ b )( y+ y )

2 ( ) ( )( )( ( a ab+ b )( y+ y ) a b a+ b y + y+ y ) Άσκηση (9 µον) Να ευρεθούν όλα τα που ικανοποιούν τις εξισώσεις: (i) ( είξτε πρώτα ότι µία λύση είναι το - ) (ii) (Εξετάστε χωριστά τις περιπτώσεις < - και - ) (iii) + 6 Λύση: (i) Με βάση το σχήµα Horner παίρνουµε το πηλίκο της διαίρεσης ( 8 6):( + + ) που είναι το Λύνουµε τη δευτεροβάθµια εξίσωση 0 και παίρνουµε τις ρίζες και (ii) (α τρόπος) Έστω < Τότε + < 0 και εποµένως + Στην περίπτωση αυτή έχουµε µε ρίζες υποθέσαµε ότι 6 ± ή 5 < Εποµένως Ο αριθµός δεν µπορεί να είναι ρίζα γιατί Έστω Τότε + 0 και εποµένως + + Στην περίπτωση αυτή έχουµε µε ρίζες ± ή 5 Ο αριθµός δεν µπορεί να είναι ρίζα γιατί υποθέσαµε ότι Εποµένως Τελικά οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθµοί και

3 (β τρόπος) Θέτουµε t + και παίρνουµε τη δευτεροβάθµια εξίσωση t t 6 0 µε ρίζες t και t Επειδή + 0 η απορρίπτεται Άρα + ( + ή + ) ( ή ) + 0 και και t (iii) Κατ αρχάς οι υπόρριζες ποσότητες θα πρέπει να είναι µη αρνητικές Έτσι Τώρα υψώνουµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης + 6 στο τετράγωνο: ( ) ( ) ( ) ( + )( 6) και ξανά στο τετράγωνο ( ) που είναι µεγαλύτερος του 6 (σύµφωνα µε τον περιορισµό που βάλαµε) Επαλήθευση: Άσκηση (0 µον) Να βρεθούν όλα τα για τα οποία συναληθεύουν (δηλαδή ισχύουν ταυτοχρόνως) οι ανισότητες: + a ( ( Στην περίπτωση (α) εξετάστε χωριστά τις περιπτώσεις < και ) Λύση: Έστω < Τότε < 0 και εποµένως + Η ανίσωση ( ) + γίνεται ( ) 0 0 Επειδή υποθέσαµε ότι < παίρνουµε 0 < Έστω Τότε 0 και εποµένως Η ανίσωση + γίνεται Το τριώνυµο 5+ έχει ρίζες τους αριθµούς 5+ ± ± ή

4 Εποµένως Επειδή υποθέσαµε ότι παίρνουµε Συνδυάζοντας τις λύσεις την πρώτη ανίσωση 0 < και παίρνουµε τις λύσεις 0 για Εναλλακτικά θα µπορούσαµε να τη λύσουµε ως εξής: Θέτουµε t Εποµένως t t 0 Οι ρίζες του τριωνύµου t t είναι οι αριθµοί και Εποµένως t Επειδή 0 παίρνουµε 0 0 Από τη δεύτερη ανίσωση παίρνουµε ( )( ) 0 ( ή ) Συνδυάζοντας τις λύσεις αυτές µε εκείνες της πρώτης ανίσωσης παίρνουµε: 0 ή Άσκηση ( 0 µον) Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων 5+ (i) f( ) (ii) g ( ) + + ( Παρατηρείστε ότι µια συνάρτηση δεν ορίζεται όταν παίρνει άπειρες τιµές και όταν οι υπόριζες παραστάσεις που περιέχει είναι αρνητικές) Μπορείτε να απλοποιήσετε τους τύπους των ως άνω f ( ) g( ); 5+ Λύση: (i) Για να ορίζεται το κλάσµα θα πρέπει ο παρονοµαστής + + να µην είναι µηδέν Οι ρίζες του παρονοµαστή είναι οι αριθµοί και Άρα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το σύνολο R { } ( ) ( ) ( + ) Ο τύπος της f απλοποιείται ως εξής: 5+ + ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) + ( )( ) ( )( ) ( )( ) (ii) Για να ορίζεται το θα πρέπει 0 Στην περίπτωση αυτή η υπόρριζη ποσότητα + γίνεται µεγαλύτερη ή ίση του µηδενός ως τέλειο τετράγωνο: ( ) ( ) + + Άρα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g είναι το σύνολο [ 0 + ) Ο τύπος της απλοποιείται ως εξής: ( ) g ( ) +

5 Άσκηση 5 (5 µον) Να λυθούν µε γραµµοπράξεις τα συστήµατα: (i) (ii) (iii) + + (Υπόδειξη: Πολλαπλασιάζοντας πρώτα µε τον κατάλληλο αριθµό προσθέστε ή αφαιρέστε τις σειρές ανά δύο ώστε να απαλείφονται οι άγνωστοι κλιµακωτά και να καταλήγετε σε µια εξίσωση µε έναν άγνωστο αν γίνεται αυτό ιαβάστε καλά τις παραγρ και τα Παραδείγµατα και 9 του βιβλίου) Λύση: (i) Παίρνουµε τον επαυξηµένο πίνακα Προσπαθούµε µε γραµµοπράξεις να τον φέρουµε σε άνω τριγωνική µορφή Γ Γ + Γ Γ Γ Γ Γ Γ + Γ Γ Γ + Γ Γ ΓΓ Οι δύο πρώτες γραµµές δίνουν Οι λύσεις του συστήµατος είναι οι άπειρες τετράδες ( ) όπου R (ii) Παίρνουµε τον επαυξηµένο πίνακα Γ Γ 5 5

6 Γ Γ + Γ Γ Γ + Γ 0 5 Γ Γ Γ Η τελευταία γραµµή του πίνακα 0 5 δίνει την εξίσωση η οποία είναι αδύνατη Άρα το σύστηµα δεν έχει λύσεις Γ ΓΓ (iii) Παίρνουµε τον επαυξηµένο πίνακα Γ Γ +Γ Γ Γ +Γ Γ Γ +Γ 0 0 Γ Γ Γ Γ + Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Ο τελευταίος πίνακας µας δίνει 0 Άσκηση 6 (0 µον) Να επιλυθεί για τις διάφορες τιµές του a το σύστηµα: ( a+ ) a + (a+ ) + ( a) + ( a+ ) Εξετάστε για ποια a το σύστηµα έχει µία µόνο λύση καµία λύση ή άπειρες λύσεις 6

7 a + Λύση: Παίρνουµε τον επαυξηµένο πίνακα a a+ ( a) a+ Έχουµε: a+ a+ 8 a Γ Γ a a+ ( a) a+ a+ 6 a a+ a a Γ ΓΓ Γ Γ Γ Γ ΓΓ Γ Γ aγ a a 6 a a+ 6 0 aa a a a Γ Γ a 0 ( a)( a ) a a + 0 a 0 a a Γ Γ + ( a)( a+ ) Γ 0 0 a a( a)( a ) a ( a)( a ) a a Γ Γ 0 a 0 0 ( a)( a+ ) ( a)(7a+ ) Αν a ± τότε η τελευταία εξίσωση θα µας δώσει (7a + ) (7a + ) και µε αντικατάσταση στη δεύτερη + a ( a + ) ( a + ) a(7a+ ) 7 + a απ όπου 7 Με αντικατάσταση στην πρώτη εξίσωση ( a+ ) ( a+ ) (7 ) (7 ) ( 7) παίρνουµε a + a a + a + + ( a+ ) ( a+ ) ( a+ ) Εναλλακτικά θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε ορίζουσες: Η ορίζουσα του συστήµατος είναι: a + D a a + a a a a+ ( ) ( a+ ( a) a+ a+ a a+ a ( )( ) ( ) ( ) a+ ) D D D Αν λοιπόν a ± παίρνουµε µοναδική λύση: ( ) όπου D D D D a a + a a ( )( 7) ( a) a+ a+ 7

8 a + D a + 0a ( a )(a + 7) και a+ a+ a + D a a a+ a ( )(7 ) a+ ( a) ( a )(a+ 7) (a+ 7) Εποµένως ( a+ ) ( a ) ( a+ ) ( a)(7a+ ) (7a+ ) ( a+ ) ( a ) ( a+ ) a+ ( a )(a+ 7) a+ 7 ( a+ ) ( a ) ( a+ ) Αν a τότε παίρνουµε 0 Η τελευταία γραµµή µας δίνει την εξίσωση + + Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση ( ) όπου παίρνουµε Οι λύσεις του συστήµατος είναι όλες οι τριάδες της µορφής R Αν a τότε παίρνουµε 0 Η τελευταία γραµµή µας δίνει την εξίσωση που είναι αδύνατη και εποµένως το σύστηµα δεν έχει στην περίπτωση αυτή λύσεις και 0 Άσκηση 7 (0 µον) (i) ίνεται ο πίνακας: A 0 0 n n είξτε ότι A + A A I για κάθε n 0 χρησιµοποιώντας την µέθοδο της Επαγωγής: είξτε πρώτα ότι ο τύπος ισχύει για n 0 Κατόπιν δεχθείτε ότι ισχύει για n k και δείξτε ότι ισχύει για n k+ 00 (ii) Υπολογίστε τον πίνακα A (Υπόδειξη: A ( A A ) + ( A A ) + + ( A I) + I) Λύση: (i) A Εποµένως A I

9 Ακόµη A A A( A I) A I n n Υποθέτουµε ότι A A A I n+ n+ n+ n n n Τότε A A A( A A ) A( A I) A I Εποµένως A A A I για κάθε n 00 προσθεταίοι (ii) A ( A A ) + ( A A ) + + ( A I) + I 00 ( A I) + I A I A I Άσκηση 8 (0 µον) ίνονται οι πίνακες: A B C [ ] και D Να εξεταστεί αν ορίζονται και να υπολογιστούν (στην περίπτωση που ορίζονται) οι πίνακες: (i) AB (ii) B A (iii) CD και (iv) DC ( ιαβάστε καλά την παράγρ σελ του βιβλίου) Λύση: (i) Ο πίνακας B όπως και ο Β είναι Ο πίνακας Α είναι Άρα δεν ορίζεται το γινόµενο AB και εποµένως και το άθροισµα AB + B (ii) Ο πίνακας B είναι και ο πίνακας Α είναι Εποµένως ο πίνακας B A είναι Έχουµε B και άρα BA (iii) Ο πίνακας C είναι και ο πίνακας D είναι Άρα ο πίνακας CD είναι δηλαδή αριθµός Έχουµε CD [ ] [] (iv) Ο πίνακας D είναι και ο πίνακας είναι C Άρα ο πίνακας DC είναι Έχουµε DC [ ] 9

10 Άσκηση 9 (0 µον) είξτε ότι D ( ) 6 n n n+ όπου Dn είναι η ορίζουσα του n n πίνακα µε n χρησιµοποιώντας την µέθοδο της Επαγωγής (Υπόδειξη: είξτε ότι ο τύπος D ( n+ ) 6 n επαληθεύεται για n και ότι n ικανοποιεί την σχέση Dn Dn 6D n Κατόπιν δεχθείτε ότι ισχύει αυτή η σχέση και δείξτε ότι Dn+ Dn 6Dn ) Λύση: Παρατηρούµε ότι αν n τότε αναπτύσσοντας ως προς την η γραµµή παίρνουµε: Dn ( n ) ( n) ( n ) ( n) ( n ) ( n) ( n ) ( n) Αν αναπτύξουµε τη δεύτερη ορίζουσα ως προς την η στήλη θα πάρουµε Εποµένως D n D 6D n n Αποδεικνύουµε τη σχέση Dn ( n+ ) 6 n ( n ) ( n) ( n ) ( n) επαγωγικά: 0

11 Για n περίπτωση αυτή Για n παίρνουµε παίρνουµε 9 D 08 ( + ) 6 και η σχέση ισχύει στην 9 0 D 9 86 ( + ) 6 και η σχέση ισχύει στην 0 περίπτωση αυτή Υποθέτουµε ότι n και ( ) 6 n Dn n και D 6 n n n n n n n Τότε D D 6D n 6 6( n) 6 n 6 ( n) 6 ( n+ ) 6 n n n Άσκηση 0 (0 µον) Να λύσετε το σύστηµα AX b όπου A X και b 0 αφού βρείτε πρώτα τον αντίστροφο του πίνακα Α χρησιµοποιώντας την θεωρία της παραγρ σελ του βιβλίου Θεωρείτε αυτή τη διαδικασία επίλυσης περισσότερο ή λιγότερο επίπονη από πλευράς αριθµού πράξεων σε σύγκριση µε την επίλυση µέσω γραµµοπράξεων όπως στην Άσκηση 5; Λύση: Έχουµε: A ( ) n M M M M M M M M M Εποµένως adja A και Τώρα AX b X A b 0 δηλαδή και