Mjerenja u tehnici II dio
|
|
- Βαρβάρα Παπανικολάου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Mjerenja u tehnici II dio prof.dr.sc. Frano Barbir Katedra za termodinamiku, termotehniku i toplinske strojeve soba 708 Tel Frano.Barbir@fesb.hr Konzultacije: Ponedjeljak ili po dogovoru Asistent: Ivan Tolj, dipl.ing., znanstveni novak Mjerenja u tehnici II dio Sadržaj Mjerenje temperature Mjerenje tlaka Mjerenje brzine strujanja fluida Mjerenje protoka Mjerenje vlažnosti Mjerenje toplinske energije i ostala toplinska mjerenja
2 Dijelovi općenitog mjernog sustava Neki pojmovi iz mjerenja Raspon Točnost Preciznost Bias Osjetljivost Utjecaj mjerenja na mjerenu veličinu (primjer mjerenje brzine i temperature u kanalu malog popre č nog presjeka)
3 Nije problem u onome što ne znamo, nego je problem u onome što (mislimo da) znamo a to nije tako! Mark Twain Primjeri griješaka u mjerenju
4 Mjerenja u tehnici II dio Sadržaj Mjerenje temperature Mjerenje tlaka Mjerenje brzine strujanja fluida Mjerenje protoka Mjerenje vlažnosti Mjerenje toplinske energije i ostala toplinska mjerenja Temperatura je jedna od najvažnijih i najčešće mjerenih veličina u tehnici Temperatura zraka je nešto s čime se srećemo svaki dan -Dnevne promjene -Sezonske promjene Temperatura ljudskog tijela Temperatura tekućine za hladjenje motora u automobilu
5 Definicije temperature Laička definicija: Temperatura je mjera topline ili hladnoće neke tvari ili nekog tijela Nulti zakon termodinamike: Ako su dva tijela u termalnoj ravnoteži s trećim tijelom onda su u termalnoj ravnoteži izmedju sebe. Ako su dva tijela ili sustava u termalnoj ravnoteži onda imaju istu temperaturu. Temperatura je veličina koju ima istu vrijednost u dva sustava koja su u termalnom kontaktu i pusti ih se dođu u termalnu ravnotežu. Što je to termalna ravnoteža? Nema prelaza topline s jednog tijela na drugo. Termalna ravnoteža T A > T B T A = T B A B A B A B Utjecaj mjerenja na mjerenu veličinu
6 Temperatura je veličina koju ima istu vrijednost u dva sustava koja su u termalnom kontaktu i pusti ih se dođju u termalnu ravnotežu. Na osnovu ove definicije razumijemo razliku temperatura Ali mozemo li reći ovo tijelo ima temperaturu dva puta veću? (usporedba s dužinom ili masom ili vremenom) Indirektno mjerenje temperature Za mjerenje temperature koristimo njen efekt na: Volumen (plinova) Rastezanje (tekućina ili metala) Tlak Električni otpor Termo-električni efekt Energiju zračenja Promjenu kemijske faze
7 Povijest mjerenja temperature Galen (A.D ) klinička termometrija, razvrstava ljude po udjelu topline, hladnoće, vlaznosti i suhoće(??) Uvodi pojam standardne ili neutralne temperature koja bi se postigla mješanjem jednakih količina vrijuće vode i leda. (Koja bi se temperatura time postigla? Zašto?) Na svaku stranu postavlja četiri stupnja topline i četiri stupnja hladnoće. Hasler iz Berna (1578), prema Galenu također koristi četiri stupnja topline za ljude koji žive na ekvatoru i četiri stupnja topline za ljude koji žive u polarnim krajevima. Santorio iz Padove (1612) - Prvi opis termometra; navodno ga je izumio Galileo (1592) (koristio je rastezanje zraka termobarometar (zašto?) Jean Rey (1632) prvi termometar s tekućinom (vodom) u otvorenoj staklenoj cijevi Ferdinand II (veliki vojvoda od Toskane) (1641) prvi zatvoreni termometar s alkoholom u staklenoj cijevi i s podjelom na 50 stupnjeva Povijest mjerenja temperature (nastavak) Robert Hooke (1664) bojani alkohol u zatvorenoj cijevi s temperaturom leda kao početnoj vrijednosti na skali; uvodi skalu od -7 do +13 stupnjeva (svaki stupanj otprilike 2.4 C); početak meteoroloških mjerenja Fahrenheit ( ) uvodi živu u staklenoj cijevi; postavlja skalu sa dvije fiksne točke: 96 stupnjeva za temperaturu ljudskog tijela i 32 stupnja za temperaturu zamrzavanja vode Amontons razvija plinski termometar s konstantnim volumenom plina; ustanovljava da se temperatura u Parizu ljeti prema temperaturi zimi odnosi kao 6:5; zaključuje da bi najniža moguća temperatura odgovarala tlaku zraka P=0. Anders Celsius ( ) uvodi skalu koja dijeli razmak izmedju vrenja i ledišta vode na 100 jednakih dijelova (vrenje = 0 i ledište =100) Carolus Linnaeus 1745 obrće skalu ledište = 0 i vrenje = 100 (skala centigrada) Tek 1948 usvaja se Celsiusev stupanj C i Celsiuseva skala
8 3 osnovna aspekta temperaturne skale 1) Definicija veličine jednog stupnja 2) Fiksne referentne točke poznatih temperatura 3) Način interpolacije između tih fiksnih točaka interpolirana tocka fiksna točka (vrelište vode pri 1 atm) 0 fiksna točka (ledište vode pri 1 atm) Standard ITS-90 1 K = 1/ temperature trojne točke vode C = K K = kritična tocka V = točka vrenja L = točka ledišta T = trojna točka (0.01 C) Tlak (MPa) Led L T Trojna točka vode Tekućina V Plin Temperatura (K) K
9 Temperaturne fiksne točke prema standardu ITS-90 Temperatura Definirajuća točka K C Trojna točka vodika Tekućina-plin ravnoteža vodika (25/76 atm) Tekućina-plin ravnoteža vodika (1 atm) Trojna točka neona Trojna točka kisika Trojna točka argona Trojna točka vode Krutina-tekućina ravnoteža galijuma (1 atm) Krutina-tekućina ravnoteža kositra (1 atm) Krutina-tekućina ravnoteža cinka (1 atm) Krutina-tekućina ravnoteža srebra (1 atm) Krutina-tekućina ravnoteža zlata (1 atm) Krutina-tekućina ravnoteža bakra (1 atm) ~17 ~ ~ ~ Interpolacija izmedju K i K se vrši otpornim termometrom na bazi platine Iznad K temperatura se definira zračenjem crnog tijela (instrument nije specificiran) C K F R Tabela: Celsius/Kelvin/Fahrenheit/Rankine Jednadžbe za preračunavanje F = 9/5 C + 32 C = 5/9 (F 32) F = R C = K R = 1.8 K
10 Termometri na bazi rastezanja tekućina u staklu Poželjne karakteristike tekućina: 1. Veza između temperature i rastezanja bi trebala biti linearna 2. Tekućina bi trebala imati što veći koeficijent rastezanja (alkohol je bolji od žive) 3. Tekućina bi trebala omogućiti mjerenje širokog raspona temperature (živa je ograničena temperaturom taljenja, 38.9; alkoholi su ograničeni temperaturom vrenja) 4. Tekućina bi tebala biti jasno vidljiva u uskoj kapilari (živa je vidljiva; alkoholu treba dodati boju) 5. Tekućina ne bi smjela prijanjati uz stijenke (živa je bolja od alkohola) Toplinsko istezanje žive (prostorno): V(t)/V 0 = ( x 10-4 t x 10-9 t 2 ) V/V β T β = prostorni koeficijent β m 3 /(m 3 K) ( K) β 3α α = dužinski koeficijent Zadatak: izračunaj koliki treba biti promjer kapilare ako želimo da se živa podigne 1 mm za svaki C promjene temperature. Volumen žive u spremniku je 0.1 cm 3
11 Termometri na bazi rastezanja tekućina u staklu djelomično totalno potpuno razina uronjenja razina uronjenja Pitanje: Koji je način najtocniji? razina uronjenja Odgovor: Onaj na koji je instrument baždaren! Kalibriranje i korekcija Termometri na bazi rastezanja tekućina u staklu Korekcija T = T O + β N (T b T c ) T = ispravna temperatura T O = očitana temperatura T b = temperatura pri kojoj je termometar baždaren za djelomično uronjene (T b = T O za kompletno uronjene termometre) T c = prosječna temperatura visine stupca iznad linije uronjenja N = visina stupca fluida iznad linije uronjenja (izrazeno u stupnjevima) β = toplinski koefficijent rastezanja (zapravo razlika izmedju toplinskog rastezanja žive i stakla) Za živin termometar β = Tri primjera: -Totalno uronjen termometar pri baždarenju djelomično uronjen pri mjerenju -djelomično uronjen termometar pri baždarenju uronjen isto ali pri drugoj temperaturi stupca -Djelomično uronjen termometar pri baždarenju uronjen do druge visine pri mjerenju
12 Termometri na bazi rastezanja tekućina u staklu Tocnost +/ C Osjetljivost: 0.1 C/atm S vremenom mu točnost opada. Zašto? Pouzdanost: +/- 0.2 do +/- 2 C Brzina: ovisi o veličini (promjeru) spremnika i vremenskoj konstanti termometra Vremenska konstanta živinog termometra s spremnikom promjera 5 mm Medij u mirovanju 0,5 m/s Voda 10s 2.4s 2.2s Ulje 40s 4.8s 2.2s Zrak 190s 71s 2.2s Vremenska konstanta termometra je omjer izmedju toplinskog kapaciteta i toplinske vodljivosti termometra. Vrijeme potrebno da termometar reagira na promjenu temperature. Recimo: T m = (T s T to ) exp ( τ/τ o ) T s T m = griješka mjerenja T s = temperatura sustava T to = početna temperatura termometra τ = vrijeme od početka mjerenja τ o = vremenska konstanta termometra T to Za svaki interval od τ o sekunda griješka se smanjuje za ~63%
13 Termometri na bazi rastezanja tekućina u staklu Moguće griješke pri mjerenju Vrijeme mjerenja Promjena tlaka Promjena volumena spremnika Neujednačenost promjera kapilare Tekućina prijanja uz stijenke Odvajanje tekućine u kapilari Grijeska u čitanju Griješka pri uranjanju Termometri sa stlačenim plinom ili tekućinom Konstantan volumen Radni plin vodik ili helij Stupac žive Koristi se samo u laboratorijima Umjesto živom pritisak se može mjeriti manometrom PV = GRT Mogu biti ispunjeni: Potpuno tekućinom Potpuno plinom Kombinacija tekućina-para Moguće griješke u razlici temperatura cijevi (ne kod pare)
14 Bimetalni termometar Bazira se na razlici linearnog termalnog koeficijenta istezanja dvaju metala Invar: α = 1.7 x 10-8 m/m K Drugi metali: α = 2 x 10-5 do 2 x 10-4 Pouzdanost: +/- 1 C m/m K R c = d (α A α B ) (T 2 T 1 ) R c = radijus d = debljina bimetala T = temperatura α = termalni koeficijent istezanja Otporni termometri RTD (resistance temperature detectors) Otpor: R = ρ L/A R = el. otpor (Ohm) ρ = spec. otpor materijala (ohm cm) L = dužina (cm) A = popriječni presjek (cm 2 ) Otpor kao funkcija temperature: R = R 0 [1 + a (T T 0 ) + b (T T 0 ) 2 + ] Linearna relacija: R = R 0 [1 + a (T T 0 )] Koeficijent a pri 20 C Tvar Aluminij Ugljik Bakar Zlato Željezo Olovo Nikal Ni-krom Platina Wolfram a [ C -1 ] Figure 8.5
15 RTD (resistance temperature detectors) Mjerenje s RTD Wheatstonov most Callender-Griffits most s tri žice E i R 1 /R 2 = R 3 /R RTD Ako se uzme u obzir otpor u žicama: R 1 /R 2 = (R 3 + r 1 )/ (R RTD + r 3 ) R 1 R2 R 1 = R 2 R RTD = R 3 + r 1 r 3 V R 3 r 1 r 2 r 3 RTD R RTD
16 Mjerenje s RTD E i E i R 1 R2 R 1 R2 V V R 3 r 1 r 2 r 3 RTD r 4 R 3 r 3 r 4 r 1 RTD r 2 R RTD R RTD R RTD = (R 3,1 + R 3,2 )/2 Primjer: E i Zadano: R 2 = R 3 = 25 Ω R RTD = 25 Ω pri 0 C R 2 R3 RTD materijal: Pt Izmjereno: V R 1 = Ω R 1 r 1 r 2 r 3 RTD R RTD Zadatak: odredi mjerenu temperaturu R RTD = R 1 R 3 / R 2 = Ω R RTD = R RTD,0 [1 + a (T T 0 )] = 25 [ (t 0)] t = 126 C
17 Praktične primjedbe u vezi mjerenja s RTD Spor odziv (zašto?) Izuzetak vrlo mali RTD s Pt promjera 0.1 mm za mjerenje temperature u struji nekorozivnih plinova Tanki filmovi 1-2 µm za mjerenje temperatura i do 600 C Točnost: +/- 0.5 do +/- 2 C T = R RTD (t) I 2 / h Moguće griješke Neispravno uronjenje Vremenska konstanta Utjecaj radijacije Grijanje uslijed vlastitog otpora Mehanički šok i vibracije Termarno rastezanje Kontaminacija Strujni gubici kroz izolaciju Otpor u žicama Termoelektrični efekt Stabilnost referentnog rezistora h = disipacijski koeficijent Medij h (mw K -1 ) griješka* (mk) Zrak (u mirovanju) Voda (u mirovanju) Protok vode * Za 100 Ω element i 1 ma struja Termistori Termalno osjetljivi rezistori Otpor im eksponencijalno opada s temperaturom Slika 8.8 R = R 0 exp [ β (1/T 1/T 0 )] Koeficijent β = (ovisno o materijalu, konstrukciji, pa i temperaturi) Pri baždarenju se mora ustanoviti ovisnost koeficijenta β o temperaturi. Imaju znatno veći otpor nego RTD nema problema s otporom žica
18 E i Primjer: R 1 E 1 Zadano: R 0 = Ω E i = V T 0 = 25 o C R 1 = k Ω R T Zadatak: odrediti β u rasponu temperatura od 100 do 150 o C Izmjereno: termistor T [ o C] E 1 [V] E i Primjer: R 1 E 1 Zadano: R 0 = Ω E i = V T 0 = 25 o C R 1 = k Ω R T Zadatak: odrediti β u rasponu temperatura od 100 do 150 o C Izmjereno: termistor Rješenje: Odredi R T : R T = R 1 (E i /E 1 1) Odredi β: ln (R T /R 0 ) = β (1/T 1/T 0 ) T [ o C] E 1 [V]
19 E i Primjer: R 1 E 1 Zadano: R 0 = Ω E i = V T 0 = 25 o C R 1 = k Ω R T Zadatak: odrediti β u rasponu temperatura od 100 do 150 o C termistor Rješenje: Odredi R T : R T = R 1 (E i /E 1 1) Odredi β: ln (R T /R 0 ) = β (1/T 1/T 0 ) Izmjereno: Rezultati T [ o C] E 1 [V] T [ o C] E 1 [V] R T [Ω] β [K] 100 1, ,4 3546, , ,9 3629, , ,9 3650,2
20 Termoelektrično mjerenje temperature Termopar Materijal A spoj Materijal B MIMS = Mineral Insulated Metal Sheaths Termoelektrično mjerenje temperature spoj Termopar Materijal A Materijal A Materijal B Materijal B Materijal B Materijal A T 1 T 2 Materijal B ems Materijal B
21 Termoelektrični efekti Materijal A T 1 T 2 Materijal B ems Materijal B Seebeck efekt razlika temperatura između dva termopara rezultira u elektromotornoj sili naponu. Ovaj napon se može izmjerit i kad nema struje u strujnom krugu (otvoreni krug). Za svaki par materijala postoji određena, fiksna i ponovljiva veza između napona i temperature: α AB E = T ok α AB = Seebeck coefficient Mjerenja temperature se baziraju na Seebeckovom termoelektričnom efektu. Termoelektrični efekti Materijal A toplina Materijal B struja, I E ex Peltier efekt Prolaz elektricne struje kroz spoj dva različita materijala rezultira u toplini koja se mora dovesti ili odvesti ovisno o smjeru struje. Količina topline je: Q π = π AB I π AB = Peltierov koeficijent
22 Peltier efekt Termoelektrični efekti toplina Q 2 toplina Q 1 T 1 T 2 struja, I E ex Thomsonov effekt u vodiču kroz kojega protiče električna struja, a koji je izložen temperaturnom gradijentu stvara se dodatna toplina (osim one uslijed električnog otpora, I 2 R): Q σ = σi(t 1 T 2 ) σ = Thomsonov koeficijent
23 Osnovni zakoni termo-parova Zakon homogenih materijala termoelektrična struja se ne može pojaviti u strujnom krugu koji se sastoji od samo jednog homogenog materijala primjenom samo topline bez obzira na varijacije poprečnog presjeka. Drugim riječima za termoelektrični efekt potrebna su dva materijala. Zakon suksesivnih materijala Algebarska suma termoelektričnih napona u strujnom krugu koji se sastoji od bilo kojeg broja različitih materijala je jednaka nuli ako je cijeli strujni krug na istoj temperaturi. Materijal A T T 2 Materijal B ems Materijal B Spoj 3 Spoj 4 T 3 T 4 Dok god je T 3 = T 4 napon ovog strujnog kruga odgovara razlici temperatura T 1 i T 2 Osnovni zakoni termo-parova Zakon homogenih materijala termoelektrična struja se ne može pojaviti u strujnom krugu koji se sastoji od samo jednog homogenog materijala primjenom samo topline bez obzira na varijacije poprečnog presjeka. Drugim riječima za termoelektrični efekt potrebna su dva materijala. Zakon suksesivnih materijala Algebarska suma termoelektričnih napona u strujnom krugu koji se sastoji od bilo kojeg broja različitih materijala je jednaka nuli ako je cijeli strujni krug na istoj temperaturi. Zakon suksesivnih temperatura Ako dva različita homogena materijala stvore napon E 1 kad su im spojevi pri temperaturama T 1 i T 2 i stvore napon E 2 kad su im spojevi pri temperaturama T 2 i T 3 onda je rezultirajući napon kad su im spojevi pri temperaturama T 1 i T 3 jednak E 1 + E 2 Ovaj zakon dozvoljava korištenje termopara kalibriranog na jednoj temperaturi na nekoj drugoj temperaturi (naravno uz odgovarajucu korekciju).
24 Osnove mjerenja s termo-parovima Tablica oznaka termoparova Tip B E J K N R S T Materijal platina 30% rodij / platina 6% rodij kromel / konstantan željezo / konstantan kromel / alumel Nikal-krom / nikal-silicij platina 13% rodij / platina platina 10% rodij / platina bakar / konstantan Seebeckov koeficijent Konstantan: 55% bakar i 45% nikal Kromel: (90% nikal i 10% krom) Alumel: 95% Ni, 2% Al, 2% Mn, 1% Si Nikal-krom: 84.4% Ni, 14.2% Cr, 1.4% Si (Nicrosil) Nikal-silicij: 95.5% Ni, 4.4% Si, 0.15% Mg )Nisil)
25 Ovisnost termoelektrične elektromotorne sile o temperaturi za različite termoparove Slika 8.17 u odnosu na Pt referentna temperatura 0 C Primjena pojedinih termoparova Tip Materijal Primjena E kromel (+) / konstantan ( ) velika osjetljivost (<1000 C) J željezo / konstantan neoksidirajuća sredina (<760 C) K kromel / alumel visoke temperature (<1372 C) S platina 10% rodij / platina dugotrajna stabilnost visoke temperature (<1768 C) T bakar / konstantan reducirajuća sredina ili vakum (<400 C)
26 Napon se može i izračunati pomoću jednadžbe: n E = c T i i= 0 i Koeficijenti c i su u tablici.
27 Primjer 1 Zadano: T 2 = 0 E = mv Zadatak: T 1 =? Rješenje: iz Tablice T 1 = 180 C Primjer 2 E=8.132 mv T 2 = 30 C Zadano: T 2 = 30 C E = mv Zadatak: T 1 =? Rješenje: E E 30-T1 = E 0-T1 iz Tablice = mv iz Tablice T1 = 180 C
28 Primjer 3 J-tip termopar, mjeri temperaturu od 100 C (referentna temperatura je 0 C). Dužina žice termopara je 3 m. Otpor žice je 18.5 Ω/m. Rezolucija potenciometra kojim se vrši mjerenje je mv. Izračunaj preostalu struju u krugu u ravnotežnom stanju. R = 18.5 x 3 = 55.5 Ω I = E / R = mv / 55.5 Ω = 9 x 10-8 A Iz tablice za T=100 C E = 5,269 mv = 5,269 / 100 = mv/ C Griješka uslijed ove struje je: = mv / mv/ C = 0.1 C Termoskupina serijsko spajanje termoparova Mjerenje prosječne temperature, ili pojačanje napona (signala)
29 Paralelno spajanje termoparova Mjerenje prosječne temperature Griješke pri mjerenju s termoparovima 1. Termalne pogrijeske 1. Grijeske uronjenja 2. Vremenska konstanta 3. Utjecaj radijacije 2. Nehomogenost materijala 1. Ostecenja 2. Oksidacija i kemijski utjecaj 3. Visoke temperature 3. Pogresna referentna temperatura 4. Interferencija 5. Otpor u zicama 6. Grijeske linearizacije
30 Mjerenje temperature detekcijom toplinskog zracenja pirometrija -Nema potrebe za direktnim kontaktom (samo vizuelni kontakt je dovoljan) Sva tijela s temperaturom vecom od apsolutne 0 zrace energiju Spektar zračenja vidljivi dio spektra Ljubicasto Plavo Zeleno Zuto Crveno gama zrake Rentgensko zracenje ultraljubičasto infracrveno toplinska radijacija mikrovalno Valna dužina, λ, µm
31 Toplinska radijacija koju emitira neko tijelo je proporcionalna temperaturi tijela na cetvrtu potenciju. U idealnom slucaju: E b = σt 4 E b = radijacija crnog tijela σ = Stefan-Boltzman konstanta 5,6705 x 10-8 W m -2 K -4 α + ρ + τ = 1 α = absorptivnost ρ = reflektivnost τ = transmitivnost ε = α ε = emisivitet Radijativna izmjena topline izmedju dva idealna (crna) tijela: q = σ (T 4 A T 4 B) U slucaju kad neidalno tijelo A emitira energiju prema idealnom tijelu B q = ε A F AB σ (T 4 A T 4 B) q = radijativni tijek topline s A na B, W/m 2 ε A = emisivnost tijela A F AB = faktor konfiguracije (ovisno o poziciji tijela A i B) T A i T B = apsolutne temperature tijela A i B
32 E bλ = 2πh P c 2 λ 5 [exp(h P c/k B λt) 1] E bλ = energija emitirana pri valnoj duzini λ λ= valna duzina c = brzina svjetlosti h P = Planckova konstanta = x J s k B = Boltzmannova konstanta = x J/K E bλ = C 1 λ 5 [exp(c 2 /λt) 1] C 1 = MW µm 4 / m 2 C 2 = µmk Planckova distribucija emisivne snage crnog tijela u funkciji valne duzine zracenja
33 Wienov zakon: λ max T = µmk Detekcija toplinske radijacije 1) Termalni detektor (vidi sliku) koji mjeri temperaturu (u tocci 3) 2) Fotonaponski detektor
34 Napon koji rezultira u termoskupini je indikacija temperature tijela koje emitira radijaciju Koristi se za mjerenje suncevog zracenja Mjerenje totalne radijacije
35 Opticki pirometar
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραElektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I
Elektrodinamika ELEKTRODINAMIKA Jakost električnog struje I definiramo kao količinu naboja Q koja u vremenu t prođe kroz presjek vodiča: Q I = t Gustoća struje J je omjer jakosti struje I i površine presjeka
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραTERMISTORI (1) Termistor = temperaturno osjetljivi poluvodič ( na bazi keramike ) Standardna vrijednost otpora na 25 ºC: Temperaturni opseg: simbol
TERMISTORI (1) Termistor = temperaturno osjetljivi poluvodič ( na bazi keramike ) simbol Standardna vrijednost otpora na 25 ºC: 2252 Ω Temperaturni opseg: - 40 ºC + 150 ºC 1 TERMISTORI (2) NTC Negative
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραFAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραAlarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ
Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραVOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA
VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότερα- Mjerenje i regulacija temperature je najčešći oblik u regulaciji nekoga procesa
4. TEMPERATURNI SENZORI - Mjerenje i regulacija temperature je najčešći oblik u regulaciji nekoga procesa - Za kvalitetno mjerenje temperature potrebno je definirati temperaturnu skalu - Najčešće temperaturne
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραDimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPrimjena IC termografije u graditeljstvu i restauraciji umjetnina
Primjena IC termografije u graditeljstvu i restauraciji umjetnina Dr.sc. Lovre Krstulović-Opara, red. prof. Edo Modun, dipl. oecc. Katedra za konstrukcije Fakultet elektrotehnike strojarstva i brodogradnje
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova
Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραT O P L I N A. Termičko širenje čvrstih tijela i tekućina
Termičko širenje čvrstih tijela i tekućina 1. Tijelo A ima temperaturu 0 C. Tijelo B ima dva puta višu temperaturu. Kolika je temperatura tijela B iskazana u C? 2. Brownovo gibanje dokazuje: a) kaotično
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραMJERENJE TEMPERATURE
Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Zavod za osnove elektrotehnike i električka mjerenja MJERENJE TEMPERATURE MUTP Prof.dr.sc. Roman Malarić Dr.sc. Alan Šala Dr.sc. Petar Mostarac
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραA 2 A 1 Q=? p a. Rješenje:
8. VJEŽBA - RIJEŠENI ZADACI IZ MEANIKE FLUIDA. Oreite minimalni protok Q u nestlačiom strujanju fluia ko koje će ejektor početi usisaati flui kroz ertikalnu cječicu. Zaano je A = cm, A =,5 cm, h=,9 m.
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραPITANJA IZ TERMIČKIH POJAVA I MOLEKULARNO-KINETIČKE TEORIJE
PITANJA IZ TERMIČKIH POJAVA I MOLEKULARNO-KINETIČKE TEORIJE 1. Što je temperatura i kako je mjerimo? 2. Na koji način se mjeri temperatura i kakva je Celzijeva termometrijska ljestvica? 3. Napišite i objasnite
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραPeriodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραDanas ćemo raditi: (P. Kulišić: Mehanika i toplina, poglavlje 12)
Školska godina 2007./2008. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fizika 1 Predavanje i 13 Toplina i temperatura. Prijenos topline. Dr. sc. Ivica Puljak (Ivica.Puljak@fesb.hr)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραTERMALNOG ZRAČENJA. Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine. Ž. Barbarić, MS1-TS 1
OSNOVNI ZAKONI TERMALNOG ZRAČENJA Plankov zakon Stefan Bolcmanov i Vinov zakon Zračenje realnih tela Razmena snage između dve površine Ž. Barbarić, MS1-TS 1 Plankon zakon zračenja Svako telo čija je temperatura
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραOpća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραFakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραUpotreba tablica s termodinamičkim podacima
Upotreba tablica s termodinamičkim podacima Nije moguće znati apsolutnu vrijednost specifične unutarnje energije u procesnog materijala, ali je moguće odrediti promjenu ove veličine, koja odgovara promjenama
Διαβάστε περισσότεραElektrodinamika
Elektrodinamika.. Gibanje električnog naboja u električnom polju.2. Električna struja.3. Električni otpor.4. Magnetska sila.5. Magnetsko polje električne struje.6. Magnetski tok.7. Elektromagnetska indukcija
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) β = gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazom:
Zadatak 8 (Filip, elektrotehnička škola) Štap od cinka i štap od željeza iaju pri C jednaku duljinu l Kolika je razlika duljina štapova pri C? (koeficijent linearnog rastezanja cinka β cink 9-5 K -, koeficijent
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραVježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom
Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje
Διαβάστε περισσότεραProf. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1
(Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 REGENERATIVNI ZAGRIJAČI NAPOJNE VODE Regenerativni zagrijači napojne vode imaju zadatak da pomoću pare iz oduzimanja turbine vrše predgrijavanje napojne vode
Διαβάστε περισσότεραMonday, May 30, Temperatura i toplina
Temperatura i toplina Temperatura i termička ravnoteža - koncept temperature ukorijenjen je u kvalitativnim predodžbama o toplom i hladnom - tijelo koje je po osjetu toplo obično ima višu temperaturu nego
Διαβάστε περισσότερα