Danas ćemo raditi: (P. Kulišić: Mehanika i toplina, poglavlje 12)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Danas ćemo raditi: (P. Kulišić: Mehanika i toplina, poglavlje 12)"

Transcript

1 Školska godina 2007./2008. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fizika 1 Predavanje i 13 Toplina i temperatura. Prijenos topline. Dr. sc. Ivica Puljak Danas ćemo raditi: (P. Kulišić: Mehanika i toplina, poglavlje ) Termometrija Toplinsko rastezanje čvstih tvari i tekućina Plinski zakoni Boyle-Mariotov zakon Guy-Lussacov zakon Jednadžba stanja idealnog plina Avogadrov zakon Količina topline. Specifični toplinski kapacitet Promjena agregatnog stanja. Latentna toplina Fazni dijagrami. i Kritična i trojna točka Prijenos topline Vođenje topline Konvekcija Toplinsko zračenje Prijenos topline zračenjem 2 Ivica Puljak, FESB 1

2 Čovjek tuljan u Dravi na minus 10 Slobodna Dalmacija, 2. siječnja 2002.:... Već tradicionalno, šestu godinu za redom u podne na Silvestrovo u ledenoj Dravi okupao se Osječanin Duško Rudež, poznatiji kao Čovjek tuljan. Iako je bilo teškoća pronaći odgovarajuće mjesto za ulazak u Dravu i uz 10 stupnjeva ispod nule osječki Tuljan najavio je nastavak tradicije. Svima je uglavnom poznata činjenica da se tijela zagrijavanjem šire, tj. postaju rjeđa, a hlađenjem skupljaju, tj. zgušnjavaju se. Ovom analogijom led bi, zbog niže temperature, trebao biti gušći od vode i pasti na dno, što se ipak ne događa. Zašto je to tako, tj. zašto se voda zaledi na vrhu a ne na dnu? Odgovor ćete saznati na današnjem predavanju. 3 Toplina i temperatura, toplinska ravnoteža Toplina je oblik energije (1798. Benjamin Thompson), odnosno izmjena energije između dva tijela zbog razlike u temperaturi. James P. Joule 1845 eksperimentalno odredio iznos mehaničkog rada potrebnog da se poi proizvede1 cal topline (1 kalorija je toplina potrebna da se 1 g vode ugrije od 14,5 o C do 15,5 o C, 1cal=4,1868 J). Temperatura je fizikalna veličina kojom se definira stupanj zagrijanosti tijela. Temperatura je proporcionalna srednjoj kinetičkoj energiji molekula. Toplina je oblik energije koji prelazi s tijela na okolinu (ili drugo tijelo) ili s okoline na tijelo samo zbog razlike temperatura. Kad se temperatura tijela izjednači s okolinom onda tijelo prima i predaje jednaku količinu topline te se kaže da je uspostavljena termodinamička (toplinska) ravnoteža. Nužan i dovoljan uvjet za toplinsku ravnotežu dvaju sistema je jednakost temperatura tih dvaju sistema. NULTI ZAKON TERMODINAMIKE: Ako je objekt A i objekt B u toplinskoj ravnoteži s objektom C onda su i objekti A i B međusobno u toplinskoj ravnoteži. 4 Ivica Puljak, FESB 2

3 Termometrija Kako izmjeriti temperaturu: odabrati mjerljivo svojstvo tijela (termometrijsko svojstvo) koje se mijenja s temperaturom npr. duljina, volumen, tlak, električni otpor poznavati ovisnost tog svojstva o temperaturi definirati temperaturnu ljestvicu pomoću dvije osnovne točke: ledište vode pri 1 atm= Pa (0 o C; 32 o F, 0 o R) vrelište vode pri 1 atm= Pa (100 o C; 2 o F, 80 o R) v Promjena volumena s temperaturom tc 0 t R 0 t F 32 = = Celsius Reaumu r Fahr enheit 9 t F t 5 = C + 32 t 5 Termodinamička temperatura Celsiusova i Fahrenheitova temperaturna skala su proizvoljne, ne iskazuju fundamentalno značenje temperature, odnosno činjenicu da postoji univerzalna nulta temperatura, tzv. apsolutna nula. Kelvin je dio termodinamičke temperature koja je jednaka 1/273,16-tom dijelu termodinamičke temperature trojne točke vode (t T =0,01 o C, p T =610 Pa). Termodinamička definicija temperature ne ovisi o termometrijskim svojstvima tvari koja se koristi da se definiraju dvije referentne temperature. Granična najniža moguće temperatura je 0 K= - 273,15 o C (apsolutna nula) Najniža dostignuta temperatura iznosi 0, K Apsolutna nula odgovara stanju najmanjeg mogućeg gibanja atoma, ali ipak konačnog (kvantna mehanika) V=const p p 1 =p o o T ( K ) = 273,15 + t( C ) V Za sve plinove ekstrapolacija daje istu vrijednost temperature na kojoj iščezava tlak odnosno volumen. p=const 1 2 t 2 =-273,15 p 2 =0 p = p o p = 0 t 1 =0 t = 0 izmjereni podaci 1 t = 273,15 podaci ekstrapola cije 2 t( o C) -273,15 t( o C) 0 p po t 0 t jednadžba pravca kroz dvije tocke : = p = po (1 + ) 0 p 273, ,15 o 6 Ivica Puljak, FESB 3

4 Temperature u Svemiru K 7 Toplinsko rastezanje Bimetal Dio mosta Betonski blokovi Željeznička pruga Željeznička pruga u Ausbury Parku, New Jersey, deformirana zbog toplinskog rastezanja jednog vrućeg srpanjskog dana. 8 Ivica Puljak, FESB 4

5 Toplinsko rastezanje Toplinsko rastezanje je posljedica promjene srednje udaljenosti između molekula, ta se udaljenost povećava kako temperatura raste. Linearno rastezanje: 1 l = l ( 1 + α ( T T )) = l (1 + α T ) [ α ] = K 0( 0 0 T Volumno rastezanje: ako se sve dimenzije jednako šire s temperaturom onda se volumen povećava s temperaturom V = lo (1 + α T ) lo (1 + α T ) lo (1 + α T ) = lo (1 + 3α T + 3( α T ) + ( α T ) ) V = V ( 1 + γ T ) γ = 3α o 1 [ γ ] = K Toplinsko rastezanje Koeficijenti linearnog rastezanja za nekoliko materijala Materijal α (10-6 /K) Materijal α (10-6 /K) Led (na 0 o C) 51 Platina 9 Aluminij 29 Staklo (obično) 9 Bakar 17 Staklo (Pyrex) 3 Beton 10 Dijamant 1,2 Čelik Kremen 0,5 Koeficijenti toplinskog širenja za neke tekućine pri sobnoj temperaturi Tekućina γ (10-3 /K) Alkohol (etanol) 1,1 Benzin 0,95 Tekućina γ (10-3 /K) Voda 0,2 Živa 0,18 10 Ivica Puljak, FESB 5

6 Primjer 1 Toplinsko rastezanje Jednog lijepog sunčanog dana u Splitu je u cisternu ukrcano l dizel goriva koje je trebalo odvesti u Zagreb. Kad je cisterna stigla na odredište, u Zagrebu je temperatura bila 23 o C niža nego u Splitu. Koliko je litara goriva iskrcano u Zagrebu, ako je cisternapri iskrcaju potpuno p ispražnjena? Koeficijent toplinskog širenja dizel goriva je 9, /K, a koeficijent linearnog širenja čelika od kojeg je izgrađena cisterna je /K. V 4 1 ZG = VST (1 + γ T ) T = 23K, γ = 9,5 10 K 4 1 V = VZG VST = VST γ T = ( l) 9,5 10 ( 23K ) = 808, 45 l K VZG VST = l 808,45 l = 36191, 55 l Tko je platio razliku!? Rezultat: V = 36,190 l. 11 Toplinsko rastezanje - Anomalno ponašanje vode Ovisnost gustoće vode o temperaturi Molekule vode Ovo ponašanje vodeje razlog zašto se jezero smrzava od površine prema dnu, a ne obratno. Kako se voda hladi, od npr. 10 o C prema točki ledišta, postaje gušća (teža) od vode na većoj dubini i stoga tone na dno, sve dok joj temperatura ne dostigne iznos od 4 o C. Ispod 4 o C, daljnjim hlađenjem voda postaje rjeđa (lakša) od vode na većoj dubini i stoga ostaje na površini dok se ne smrzne. Konačni rezultat je zamrznuta površina, uz tekući sloj vode na većoj dubini. Ivica Puljak, FESB 6

7 Idealni plin Model idealnog plina Međumolekularne sile su zanemarive Volumen molekula je zanemariv u usporedbi s volumenom posude u kojoj se nalazi plin Molekule možemo smatrati materijalnim točkama koje jedna na drugu ne djeluju, osim u slučaju sudara. Većina plinova (npr. helij, vodik, zrak) može se dosta dobro aproksimirati modelom idelanog plina pri običnim tlakovima i temperaturama. Plin se to više približava idealnom što mu je tlak (gustoća) manji, a temperatura veća. 13 Plinski zakoni Tri empirijska zakona: Boyle-Mariottov zakon (izotermni proces): pv = konst. ( T = konst.) Gay-Lussacov zakon (izobarni proces): V V = V0 (1 + α t) ( p = konst.) = konst. T Charlesov zakon (izohorni proces): p = p0 (1 + αt) ( V = konst.) p = konst. T α = K 3,66 10 K 273,15 14 Ivica Puljak, FESB 7

8 Avogadrov zakon Mase atoma i molekula izražavaju se u atomskim jedinicama mase, u=1,660x10-27 kg. Masa 1/ ugljika C je 1 u, tj. praktički masa jednog protona ili neutrona. Atomska masa kisika je 16 u ili 16 x 1/ ugljika C. Avogadrov zakon (1811): Imaju li plinovi i jednakog volumena i temperature t jednake tlakove tada oni imaju jednaki broj molekula. Mol je količina bilo koje tvari koji ima toliko osnovnih čestica (jedinki) koliko je atoma u g ugljika C. Pri tom jedinke mogu biti atomi, molekule, ioni i sl. 1 mol bilo kojeg plina u pri 0 o C i normalnom tlaku 1 atm= Pa zauzima volumen od 22,4 l=22,4x10-3 m 3, označavamo ga: V mo volumen 1 mol Jedan mol bilo koje tvari sadrži Avogadrov broj istovrsnih jedinki (molekula, iona, atoma,...): N A =6, mol -1 Broj molova označava se s n, broj molekula je N=N N A n Kako nalazimo koliko grama neke tvari čini količinu tvari od jednog mola: Onoliko grama neke tvari koliko iznosi njezina atomska ili molekularna masa izražena u atomskim jedinicama mase (u) odnosno u jedinicama 1/ ugljika C je količina tvari od jednog mola. M-molarna masa [M]=g/mol, m(g)=n(mol) M(g/mol), m-masa, n-broj molova 15 Jednadžba stanja idealnog plina Početno stanje (p0, V0, T0) Izobarno Izotermna zagrijavanje kompresija (p0 V, T) (p, V, T) Tri empirijska plinska zakona možemo sažeto izraziti jednom jednadžbom, koju zovemo jednadžba stanja idealnog plina pv p o V mo = n T = nrt T o R = p 5 1, Pa 0,0224 m mol = 273,15K 3 0 Vm 0 / T0 = 8,314 J/(molK) Jednadžba stanja idealnog plina, u nekoliko oblika: m pv = nrt pv = RT pv = NkB T pv = M k B = R N A = 1, ( J K ), Boltzmanov a konstanta N N A RT 16 Ivica Puljak, FESB 8

9 Količina topline, specifični toplinski kapacitet Toplina je energija koja prelazi s jednog tijela na drugo tijelo zbog njihove temperaturne razlike. Jedinica topline je džul (joule). Toplinski kapacitet nekog tijela definira se kao omjer topline Q, koju je potrebno dovesti tijelu da bi mu se povisila temperatura a za T, i temperaturne razlike T: = Q T C t Specifični toplinski kapacitet: veličina karakteristična za određeni materijal, ne ovisi o masi tijela, a definira se kao toplina potrebna da se nekoj tvari mase 1 kg promijeni temperatura za 1 K, c = C / t m Pri zagrijavanju i hlađenju primljena odnosno predana toplina jest Q = mc T gdje je c specifični toplinski kapacitet, m masa tijela, a T promjena temperature. Molarni toplinski kapacitet jednak je umnošku molarne mase i specifičnog toplinskog kapaciteta C = Mc Pri definiciji specifičnog toplinskog kapaciteta moramo naznačiti proces kojim smo tijelo preveli iz početnog u konačno stanje, pa se obično definiraju specifični toplinski kapaciteti pri stalnom tlaku c p i pri stalnom volumenu c v : 1 dq 1 dq cp = cv = m dt m dt p= konst. V = konst. 17 Specifični toplinski kapacitet Specifični toplinski kapaciteti za neke čvrste tvari i tekućine Tvar c (kj/kgk) Tvar c (kj/kgk) alkohol 2,4 led 2,1 aluminij 0,9 olovo 0,13 bakar 0,39 platina 0, cink 0,39 srebro 0,23 Specifični toplinski kapaciteti nekih plinova Tvar c (kj/kgk) staklo 0,8 voda 4,19 željezo 0,45 živa 0,14 Plin c p (kj/kg K) c V (kj/kg K) dušik (N 2 ) 104 1, ,74 helij (He) 5,23 3,15 kisik (O 2 ) 0,92 0,65 vodena para (H 2 O) 1,9 1,4 vodik (H 2 ) 14,2 10,1 zrak (N 2 + O 2 ) 1 0,71 18 Ivica Puljak, FESB 9

10 Fazni prijelazi i latentna toplina Tvar se može nalaziti u tri različita agregatna stanja: čvrstvom, tekućem i plinovitom. Toplina koja se apsorbira ili oslobađa pri prijelazu jedne faze u drugu fazu zove se latentna toplina tranformacije. Pri taljenju (očvršćivanju), tj. isparavanju (ukapljivanju) temperatura tališta ostaje nepromijenjena sve dok se sva tvar ne rastali, tj. sve dok ne ispari. Toplina taljenja, odnosno očvršćivanja, je Q = ±ml t, gdje je m masa tijela, a L t specifična (latentna) toplina taljenja. Toplina isparavanja, odnosno kondenzacije, je Q = ±ml i, gdje je L i specifična (latentna) toplina isparavanja. Fazni dijagrami pokazuju kako se mijenjaju svojstva sistema pri promjeni temperature, tlaka, odnosno volumena, posebno prijelaze sistema iz jednog agregatnog stanja u drugo. Sve tri faze su u ravnoteži, tj. tvar se može istovremeno nalaziti u istoj fazi, u tzv. trojnoj točki. Za vodu se ravnoteža svih triju faza postiže pri p t = 6,309 mbar i T t = 273,16 K. 19 Promjena agregatnog stanja Dovođenjem topline tvari ne samo da se mijenja temperatura tvari već se mijenja i agregatno stanje tj. fizikalna struktura tvari. T(K) E O A-zagrijavanje leda od 0 K do 273,15 K A B taljenje leda B A skrućivanje C voda+para D para B C zagrijavanje vode od 273,15 do 373,15K C D vrenje vode (D C kondezacija vode) D E zagrijavanje pare Tališet i vrelište vode ovise o tlaku (L t, L i ) A led led+voda voda B L i latentna toplina isparavanja Voda vrije na 100 o C pri p=1 atm pri P=5 atm voda vrije na 152 o C L t latentna toplina taljenja O Q = ± mlt L t latentna toplina transform acije topl ina koja se apsorbira ili oslobađa pri prijelazu Q (J/K) iz jednog agregatnog stanja u drugo + toplina ulazi u sistem tvar se tali - toplina odlazi iz sistema tvar se skrućuje 20 Ivica Puljak, FESB 10

11 Latentne topline transformacije Materijal Talište ( o C) L t (kj/kg) Vrelište ( o C) L i (kj/kg) alkohol aluminij bakar dušik kisik olovo platina voda željezo živa Primjer 2 Promjena agregatnog stanja Domaći rad a) Koliko topline bi absorbirao led mase m = 720 g i temperature 10 o C da se pretvori u vodu temperature 15 o C? b) Ako komad leda iste mase absorbira energiju od samo 210 kj (u obliku topline) koje je onda konačno stanje i s kolikom temperaturom? Rezultat: a) Q = 300 kj, b) 580 g vode i 140 g leda na 0 o C. 22 Ivica Puljak, FESB 11

12 Fazni dijagrami Tipičan materijal Voda 23 Fazni dijagram za vodu T c =647 za vodu: p=910 Pa, T=0,01 o C=273,16 K 24 Ivica Puljak, FESB

13 Koeficijenti toplinske vodljivosti nekih vrsta materijala na sobnoj temperaturi Materijal λ (W/mK) Materijal λ (W/mK) srebro 420 voda 0,6 bakar 385 azbestni cement 0,5 aluminij 205 drvo 0,13 željezo 60 guma 0,15 beton 1,3 papir 0,13 staklo 0,8 polistiren 0,01 žbuka 0,8 staklena vuna 0,035 cigla 0,7 poliuretanska pjena 0,03 zemlja 0,5 zrak 0,025 Računarstvo, Fizika 1, Predavanje Toplinska vodljivost Primjena u računalima Zbog izvrsne toplinske vodljivosti srebra za što bolje odvođenje topline pri hlađenju procesora koriste se termalne paste bazirane na srebru (i do 80% srebra) za što bolje prijanjanje j j procesora i hladnjaka, kako bi se izbjeglo stvaranje zračnih čepova Računarstvo, Fizika 1, Predavanje Ivica Puljak, FESB 13

14 Primjer 1 Vođenje topline Betonski zid (λ 1 = 1,3 W/(Km)), debeo 30 cm, prekriven je s unutrašnje strane izolacijskim slojem debljine 2 cm i toplinske vodljivosti λ 2 = 0,05 W/(Km). Izračunajte gustoću toplinskog toka kroz zid ako je temperatura unutrašnje površine zida 20 0 C, a vanjske površine 0 0 C. Rezultat: q = 33 W/m 2 Domaći rad: pokažite da bi gustoća toplinskog toka kroz taj zid, ali bez izolacije, iznosila 87 W/m 2. Računarstvo, Fizika 1, Predavanje Primjer 2 Konvekcija A) Kolika je gustoća toplinskog toka kroz prozorsko staklo debljine 2 mm ako je temperatura zraka u sobi 20 o C, a temperatura vanjskog zraka 10 o C. Pretpostavite da je koeficijent konvekcije s vanjske strane h 1 = 20 W/(m 2 K), a s unutrašnje strane h =6W/(m 2 2 K). Toplinska vodljivost stakla je λ =08 0,8 W/(Km). B) Kolika je gustoća toplinskog toka kroz dvostruki prozor, načinjen tako da je između stakala debljine 2 mm sloj zraka debljine 5 mm, ako je koeficijent prijenosa topline kroz taj sloj zraka h z = 4 W/(m 2 K)? Rezultat: a) q = 137 W/m 2, b) q = 64 W/m 2. Računarstvo, Fizika 1, Predavanje Ivica Puljak, FESB 14

15 Spektar elektromagnetskih valova Računarstvo, Fizika 1, Predavanje Toplinsko zračenje Termogram kuća duž jedne ulice Zračenje crnog tijela Zračenje crnog tijela na temperaturi Sunca i Zemlje Računarstvo, Fizika 1, Predavanje Ivica Puljak, FESB 15

16 Sažetak (1) Temperatura je fizikalna veličina koja karakterizira stupanj zagrijanosti nekog tijela i proporcionalna je srednjoj kinetičkoj energiji molekula tijela, a mjeri se u kelvinima (K). Definicija temperature: e kelvin je 1/273,16-ti 16 dio termodinamičke temperature e trojnog stanja vode. Toplina prelazi s toplijeg na hladnije tijelo sve dok se ne uspostavi toplinska ravnoteža. Tada oba tijela imaju istu temperaturu. Pri izradi uređaja za mjerenje temperature (termometri) iskorištavaju se slijedeća svojstva: dimenzije krutih tijela, volumen tekućina, električni otpor metala, tlak plina pri stalnom volumenu, elektromotorna sila termočlanka i ovisnost zračenja o temperaturi. U Celsiusovoj temperaturnoj skali temperatura ledišta vode označava se kao nula (0 o C), a temperatura vrelišta kao 100 o C. Razmak između te dvije fiksne točke dijeli se na 100 dijelova, od kojih svaki odgovara promjeni temperature za 1 o C. Veza između termodinamičke temperature T K i Celsiusove temperature T C jest: T K = 273,15+T C. Temperaturni interval izražen u kelvinima jednak je temperaturnom intervalu izraženom Celsiusovima stupnjevima. 31 Sažetak (2) Linearno rastezanje: dužina nekog tijela, zagrijanog od početne dužine l 0 pri temperaturi T 0 do konačne temperature T i dužine l, mijenja se prema izrazu, l = l0( 1+ α( T T0 )) = l0(1 + α T ) gdje je α koeficijent linearnog rastezanja. Volumno rastezanje čvrstih tijela i tekućina računa se pomoću relacije V = V 0 (1 + γ, T ) gdje je γ = 3α koeficijent volumnog rastezanja (toplinskog širenja). Koeficijent toplinskog širenja tekućina je za red veličine veći nego čvrstih tijela. Idealni plin: međumolekularne sile zanemarive, volumen molekula zanemariv u usporedbi s volumenom posude u kojoj se nalazi plin, molekule možemo smatrati materijalnim točkama koje jedna na drugu ne djeluju, osim u slučaju sudara. Boyle-Mariottov zakon (izotermni proces): pv = konst. ( T = konst.) Gay-Lussacov zakon (izobarni proces): V = V0(1 + αt) ( p = konst.) V / T = konst. Charlesov zakon (izohorni proces): p = p0(1 + αt) ( V = konst.) p / T = konst. 32 Ivica Puljak, FESB 16

17 Sažetak (3) Avogadrov zakon: Jednaki volumeni svih plinova pri istoj temperaturi i tlaku imaju jednak broj čestica. Mol je količina tvari sustava koji ima toliko osnovnih čestica (jedinki) koliko je atoma u g ugljika C. Pri tom jedinke mogu biti atomi, molekule, ioni i sl. Količina tvari 1 mol bilo kojeg plina u istim uvjetima ima jednak volumen, koji se zove molarni volumen plina. U normiranim uvjetima molarni volumen V m0 iznosi 22,4 l. Univerzalna plinska konstanta R definirana je izrazom: R = p 0 Vm 0 / T 0 = 8,314 J/(molK) Jednadžba stanja idealnog plina, u nekoliko oblika: pv = konst. pv = nrt T m pv = RT pv = NkT M 33 Sažetak (4) Toplina je energija koja prelazi s jednog tijela na drugo tijelo zbog njihove temperaturne razlike. Jedinica topline je džul (joule). Toplinski kapacitet nekog tijela definira se kao omjer topline Q, koju je potrebno dovesti tijelu da bi mu se povisila temperatura za T, i temperaturne razlike T: C t = Q T Specifični toplinski kapacitet: veličina karakteristična za određeni materijal, ne ovisi o masi tijela, a definira se kao toplina potrebna da se nekoj tvari mase 1 kg promijeni temperatura za 1 K, c = C / t m Pri zagrijavanju i hlađenju primljena odnosno predana toplina jest Q = mc T gdje je c specifični toplinski kapacitet, m masa tijela, a T promjena temperature. Molarni toplinski kapacitet jednak je umnošku molarne mase i specifičnog toplinskog kapaciteta C = Mc Pri definiciji specifičnog toplinskog kapaciteta moramo naznačiti proces kojim smo tijelo preveli iz početnog u konačno stanje, pa se obično definiraju specifični toplinski kapaciteti pri stalnom tlaku c p i pri stalnom volumenu c v : 1 dq cp = m dt p= konst. 1 dq cv = m dt V = konst. 34 Ivica Puljak, FESB 17

18 Sažetak (5) Tvar se može nalaziti u tri različita agregatna stanja: čvrstvom, tekućem i plinovitom. Toplina koja se apsorbira ili oslobađa pri prijelazu jedne faze u drugu fazu zove oeselatentna toplina transformacije. Pri taljenju (očvršćivanju), tj. isparavanju (ukapljivanju) temperatura tališta ostaje nepromijenjena sve dok se sva tvar ne rastali, tj. sve dok ne ispari. Toplina taljenja, odnosno očvršćivanja, je Q = ml t, gdje je m masa tijela, a L t specifična (latentna) toplina taljenja. Toplina isparavanja, odnosno kondenzacije, je Q = ml i, gdje je L i specifična (latentna) toplina isparavanja. Fazni dijagrami pokazuju kako se mijenjaju svojstva sistema pri promjeni temperature, tlaka, odnosno volumena, posebno prijelaze sistema iz jednog agregatnog stanja u drugo. Sve tri faze su u ravnoteži, tj. tvar se može istovremeno nalaziti u istoj fazi, u tzv. trojnoj točki. Za vodu se ravnoteža svih triju faza postiže pri p t = 6,309 mbar i T t = 273,16 K. 35 Sažetak (6) Prijenos topline Vođenje topline Ako u nekom sredstvu postoji temperaturna razlika, nastat će vođenje topline, i toplinska energija će prelaziti iz područja više temperature u područje niže temperature. Vođenje topline kroz homogeni materijal može se računati pomoću Fourierovog zakona: T Q= λ St x gdje je λ koeficijent toplinske vodljivosti materijala, T razlika temperatura na krajevima slojeva udaljenih za x, a S površina kroz koju prolazi toplina u vremenu t. Toplinski tok je omjer topine i vremena: Φ=Q/t Gustoća toplinskog toka je omjer toplinskog toka i površine: q = Φ/S Toplinski otpor R definira se izrazom R = T Φ Za vođenje topline vrijedi: R = x /( λs) Računarstvo, Fizika 1, Predavanje Ivica Puljak, FESB 18

19 Sažetak (7) Prijenos topline Konvekcija U tekućinama i plinovima toplina se prenosi uglavnom konvekcijom, tj. strujanjem fluida s jednog mjesta na drugo mjesto. Prijenost topline konvekcijom možemo računati pomoću Newtonova zakona hlađenja: q = hc ( Tp T f ) gdje je T p temperatura čvrste plohe uz koju struji fluid, T f temperatura fluida dalje od granične plohe, a h c koeficijent konvekcije. Toplinski otpor za konvekciju: R = 1 ( hcs) Toplinsko zračenje Toplinsko zračenje nastaje kad atomi ili molekule tijela, pobuđeni termičkim gibanjem, emitiraju elektromagnetske valove. Kada zračenje upada na površinu nekog neprozirnog tijela, dio upadnog zračenja se odbija, a dio apsorbira. α = Φ Omjer apsorbiranog i upadnog toka zove se faktor apsorpcije: a / Φ u Omjer reflektiranog i upadnog toka zove se faktor refleksije: ρ = Φ r / Φ u Računarstvo, Fizika 1, Predavanje Sažetak (8) Prijenos topline Toplinsko zračenje Idealno crno tijelo potpuno apsorbira sve upadno zračenje, tj. α ct = 1. Tijelo koje djelomično, ali podjednako reflektira sve valne dužine zove se sivo tijelo. Stefan-Boltzmannov zakon: ukupna energija koju u jedinici vremena izrači jedinica površine crnog tijela u čitav poluprostor iznad te površine jednaka je 4 M ct = σt gdje je σ = 5, Wm -2 K -4. (Wienov zakon: valna dužina λ m kod koje spektralna gustća zračenja postiže maksimum, ovisi o tempeaturi crnog tijela i pomiče se prema 3 kraćim valjnim duljinama, tj. vrijedi λ m T = 2, Km ) Prijenos topline zračenjem Pri razmatranju prijenosa topline zračenjem treba uzeti u obzir energiju koju tijelo izrači i energiju što je apsorbira, te rezultatni toplinski tok dobiti kao razliku tih dvaju tokova. Računarstvo, Fizika 1, Predavanje Ivica Puljak, FESB 19

20 Pitanja za provjeru znanja 1. Što je toplina, a što temperatura? Ukratko objasnite: a) toplinsko rastezanje čvrstih tijela, tekućina i plinova i b) jednadžbu stanja idealnog plina. (obavezno) 2. O čemu ovisi količina toplina potrebna da se zagrije neko tijelo? Definirajte i ukratko objasnite specifični toplinski kapacitet nekog tijela. Ukratko objasnite agregatna stanja tvari. (obavezno) 3. Što je temperatura? Kako možemo temperaturu tijela povezati s gibanjem molekula? Kako se mjeri temperatura? Koje temperaturne skale poznajete? 4. Kako se računa linearno i volumno rastezanje? Kako se računa koeficijent linearnog rastezanja čvrstog tijela? Što znate o temperaturnom rastezanju tekućina, posebno vode? Navedite neke primjene toplinskog rastezanja. 5. Što je idealni plin? Objasnite Boyle-Mariotteov zakon, Gay-Lussacov i Charlesov zakon za idealni plin. Iz plinskih zakona izvedite jednadžbu stanja idealnog plina. 6. Što kaže Avogadrov zakon? Što je univerzalna plinska konstanta? Iz činjenice da molarni volumen idealnog plina iznosi 22,4 l u normiranim uvjetima, izračunajte plinsku konstantu. 7. O čemu ovisi količina toplina potrebna da se zagrije neko tijelo? Definirajte i objasnite: toplinski kapacitet, specifični toplinski kapacitet i molarni toplinski kapacitet. Kako se definira specifični toplinski kapacitet pri stalnom tlaku i stalnom volumenu? 8. Nacrtajte T-Q dijagram za vodu u području 263<T<400 K i objasnite prijelaz iz jednog agregatnog stanja u drugo agregatno stanje. Što su specifične (latentne) topline transformacije? Objasnite što je trojna točka vode. 39 Pitanja za provjeru znanja 1. Na koje načine se može prenositi toplina? Ukratko objasnite svaki od načina. (obavezno) 2. Kako se toplina prenosi vođenjem? Što kaže Fourierov zakon? Što je toplinska vodljivost materijala? Što je toplinski otpor? 3. Kako se toplina prenosi konvekcijom? Definirajte koeficijent konvekcije. 4. Što znate o toplinskom zračenju? O čemu ovosi toplinsko zračenje nekog tijela? Kako se toplina prenosi zračenjem? Računarstvo, Fizika 1, Predavanje Ivica Puljak, FESB 20

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) β = gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazom:

( ) ( ) β = gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazom: Zadatak 8 (Filip, elektrotehnička škola) Štap od cinka i štap od željeza iaju pri C jednaku duljinu l Kolika je razlika duljina štapova pri C? (koeficijent linearnog rastezanja cinka β cink 9-5 K -, koeficijent

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva

Fizika 1. Auditorne vježbe 5. Dunja Polić. Dinamika: Newtonovi zakoni. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Školska godina 2006/2007 Fizika 1 Auditorne vježbe 5 Dinamika: Newtonovi zakoni 12. prosinca 2008. Dunja Polić (dunja.polic@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci (teorija i objašnjenja):

Zadaci (teorija i objašnjenja): KOLOKVIJ K, 1-4 F1_I semestar; 9.01.08. (analiza zadataka i rješenja) Napomena: razmatrani su svi zadaci iz četiri grupe, K, 1-4 na način da su obrađeni oni s istim temama; posebno je obraćena pažnja onim

Διαβάστε περισσότερα

13.1. Termodinamički procesi O K O L I N A. - termodinamički sustav: količina tvari unutar nekog zatvorenog volumena

13.1. Termodinamički procesi O K O L I N A. - termodinamički sustav: količina tvari unutar nekog zatvorenog volumena 13. TERMODINAMIKA - dio fizike koji proučava vezu izmeñu topline i drugih oblika energije (mehanički rad) - toplinski strojevi: parni stroj, hladnjak, motori s unutrašnjim izgaranjem - makroskopske veličine:

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Pojednostavljeni postupak proračuna gubitaka topline prema EN12831

Pojednostavljeni postupak proračuna gubitaka topline prema EN12831 3 PRORAČUN GUBITAKA TOPLINE ZIMA Dva postupka proračuna toplinskog opterećenja (toplinskih gubitaka) prostorija i cijele zgrade prema EN12831: pojednostavljen podroban Primjena pojednostavljenog proračuna

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema.

TERMODINAMIČKI PARAMETRI su veličine kojima opisujemo stanje sistema. TERMODINAMIKA U svakodnevnom govoru, često dolazi greškom do koriščenja termina temperatura i toplota u istom značenju. U fizici, ova dva termina imaju potpuno različito značenje. Razmatračemo kako se

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU

ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU Poglavlje 6 ZAKONI OČUVANJA U IZOLIRANOM SUSTAVU U praksi se često dogada da nekoliko tijela uzajamno djeluju jedno na drugo mnogo snažnije nego što na njih djeluju druga okolna tijela. Teorijsko razmatranje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje Katedra za strojeve i uređaje plovnih objekata

Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje Katedra za strojeve i uređaje plovnih objekata KOMPRESORI ZRAKA prof. dr. sc. Ante Šestan Ivica Ančić, mag. ing. Predložak za vježbe iz kolegija Brodski pomoćni strojevi Kompresori zraka Kompresor zraka je stroj koji nekom plinu povećava tlak. Pri

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Termofizika. Glava Temperatura

Termofizika. Glava Temperatura Glava 7 Termofizika Toplota je jedan od oblika energije sa čijim transferom sa tela na telo se svakodnevno srećemo. Tako nas na primer, leti Sunce zagreva tokom dana dok su vedre letnje noći često prilično

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja FIZIKA. Ispitna knjižica 1 FIZ IK-1 D-S001

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja FIZIKA. Ispitna knjižica 1 FIZ IK-1 D-S001 Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja FIZIKA Ispitna knjižica 1 12 Prazna stranica 99 UPUTE Pozorno slijedite sve upute. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte test dok to ne odobri dežurni

Διαβάστε περισσότερα

1. Štap od platine dugačak je 998mm pri 20C. Pri kojoj će temperaturi biti dugačak 1m?

1. Štap od platine dugačak je 998mm pri 20C. Pri kojoj će temperaturi biti dugačak 1m? MATERIJALI ZA VJEŽBU IZ PREDMATA FIZIKA ZA 2. Razred ZADACI ZA VJEŽBU- PRVA PISMENA PROVJERA 1. Štap od platine dugačak je 998mm pri 20C. Pri kojoj će temperaturi biti dugačak 1m? 2. Ako se pri stalnom

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje:

A 2 A 1 Q=? p a. Rješenje: 8. VJEŽBA - RIJEŠENI ZADACI IZ MEANIKE FLUIDA. Oreite minimalni protok Q u nestlačiom strujanju fluia ko koje će ejektor početi usisaati flui kroz ertikalnu cječicu. Zaano je A = cm, A =,5 cm, h=,9 m.

Διαβάστε περισσότερα

IC TERMOGRAFIJA PRIMJENA KOD OČUVANJA KULTURNE BAŠTINE DIO PRVI

IC TERMOGRAFIJA PRIMJENA KOD OČUVANJA KULTURNE BAŠTINE DIO PRVI IC TERMOGRAFIJA PRIMJENA KOD OČUVANJA KULTURNE BAŠTINE DIO PRVI STUDIJ: USTANOVA: POSLIJEDIPLOMSKI FILOZOFSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU Pripremili: Prof.dr.sc. Srećko Švaić, dipl.ing. Doc.dr.sc. Ivanka

Διαβάστε περισσότερα

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE Srednje škole 1. skupina

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE Srednje škole 1. skupina ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE 6..9. Srednje škole. skupina. zadatak ( bodova) Tramvaj vozi između dvije stanice udaljene 6 m tako da polazi sa prve stanice iz mirovanja i ubrzava ubrzanjem m/s dok ne

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga i energija zadatci

Rad, snaga i energija zadatci Rad, snaga i energija zadatci 1. Tijelo mase 400 g klizi niz glatku kosinu visine 50 cm i duljine 1 m. a) Koliki rad na tijelu obavi komponenta težine paralelna kosini kada tijelo s vrha kosine stigne

Διαβάστε περισσότερα

entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas

entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: S čvrsto < S tečno << S gas ,4,4, Odreñivanje promene entropije,4,4,, romena entropije pri promeni faza Molekular ularna interpretacija entropije Entropija raste ako se krećemo od čvrstog preko tečnog do gasovitog stanja: čvrsto

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

TEMELJI MEHANIKE FLUIDA

TEMELJI MEHANIKE FLUIDA ŽELJKO ANDREIĆ TEMELJI MEHANIKE FLUIDA RUDARSKO-GEOLOŠKO-NAFTNI FAKULTET ZAGREB 2014. SVEUČILIŠNI E-UDŽBENIK MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS i ii Izdavač: Sveučilište u Zagrebu Rudarsko-geološko-naftni

Διαβάστε περισσότερα

ELEK 3. ISTOSMJERNA ELEKTRIČNA STRUJA I STRUJNI KRUGOVI ELEKTROTEHNIKA. Doc. dr. sc. Vitomir Komen, dipl. ing. el. 1/77. Komen

ELEK 3. ISTOSMJERNA ELEKTRIČNA STRUJA I STRUJNI KRUGOVI ELEKTROTEHNIKA. Doc. dr. sc. Vitomir Komen, dipl. ing. el. 1/77. Komen ELEKTOTEHNIKA 3. ISTOSMJENA ELEKTIČNA STUJA I STUJNI KUGOVI Doc. dr. sc. Vitomir Komen, dipl. ing. el. /77 SADŽAJ: 3. Nastajanje električne struje 3. Električni strujni krug istosmjerne struje 3.3 Električni

Διαβάστε περισσότερα

Fizika 2. Dr. sc. Damir Lelas. Predavanje 2 Matematičko i fizikalno njihalo. Fazorski prikaz titranja i zbrajanje titranja. Uvod u mehaničke valove.

Fizika 2. Dr. sc. Damir Lelas. Predavanje 2 Matematičko i fizikalno njihalo. Fazorski prikaz titranja i zbrajanje titranja. Uvod u mehaničke valove. Školska godina 008./009. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Razlikovni studiji (90/90/930/940/950) Fizika Predavanje Matematičko i fizikalno njihalo. Fazorski prikaz titranja i zbrajanje

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

konst. [ tlak i temperatura su proporcionalne veličin e]

konst. [ tlak i temperatura su proporcionalne veličin e] Zadatak 4 (Goran, ginazija) Pri teeraturi 7 C tlak lina je. Do koje je teerature otrebno lin izovoluno (izoorno) zagrijati da u tlak bude 4? Rješenje 4 t = 7 C => T = 7 + t = 7 + 7 = K, =, = 4, T =?.inačica

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota

TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA osnovni pojmovi energija, rad, toplota TERMODINAMIKA TERMO TOPLO nauka o kretanju toplote DINAMO SILA Termodinamika-nauka odnosno naučna disciplina koja ispituje odnose između promena u sistemima

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΕΥΕΣ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 1η Ενότητα

ΣΥΣΕΥΕΣ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 1η Ενότητα ΣΥΣΕΥΕΣ ΘΕΡΜΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 1η Ενότητα Οκτώβριος 2013 1. Εναλλάκτης σχεδιάζεται ώστε να θερμαίνει 2 kg/s νερού από τους 20 ο C στους 60 ο C. Το θερμό ρευστό είναι επίσης νερό, με θερμοκρασία εισόδου 95

Διαβάστε περισσότερα

PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA

PREDMECI ZA TVORBU DECIMALNIH JEDINICA OSNOVNE S. I. JEDINICE Naziv jedinice Znak jedinice Fizikalna veličina i znak metar m duljina s, d, l kilogram kg masa m sekunda s vrijeme t amper A jakost električne struje I, i kelvin K termodinamička

Διαβάστε περισσότερα

Katalog pitanja za natjecanje instalatera grijanja i klimatizacije

Katalog pitanja za natjecanje instalatera grijanja i klimatizacije Natjecanje instalatera grijanja i klimatizacije 06. list- Katalog pitanja za natjecanje instalatera grijanja i klimatizacije RJEŠENJA Bod.. Koliko iznosi hidrostatički tlak u instalaciji koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

Ventili sa dosjedom (PN 16) VF 2 prolazni ventil, prirubnica VF 3 troputni ventil, prirubnica

Ventili sa dosjedom (PN 16) VF 2 prolazni ventil, prirubnica VF 3 troputni ventil, prirubnica Tehnički podaci Ventili sa dosjedom (PN 16) VF 2 prolazni ventil, prirubnica VF 3 troputni ventil, prirubnica Opis VF 2 VF 3 Ventili VF 2 i VF 3 pružaju kvalitetno, isplativo rješenje za većinu primjena

Διαβάστε περισσότερα

Proračun toplotne zaštite

Proračun toplotne zaštite Proračun toplotne zaštite za objekat Stambeni objekat urađen prema JUS U.J5.600 iz 1998 i JUS U.J5.510 iz 1987 godine. Sadržaj - analiza konstrukcija - analiza linijskih gubitaka - proračun toplotnih transmisionih

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

KUĆIŠTE PARNE TURBINE SA SAPNICAMA

KUĆIŠTE PARNE TURBINE SA SAPNICAMA KUĆIŠTE PARNE TURBINE SA SAPNICAMA Porivne brodske turbine redovito se sastoje od dva odvojena kućišta (visokotlačno i niskotlačno). Kućište turbine je izuzetno zahtjevni dio turbine. Ulazna para zbog

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u modernu fiziku

Uvod u modernu fiziku Uvod u modernu fiziku - kvantna fizika - atomska i molekularna fizika - nuklearna fizika - fizika elementarnih čestica i kozmologija --------------------- - fizika čvrstog stanja - astronomija i astrofizika

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE 2012/13. ZA OSNOVNU ŠKOLU

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE 2012/13. ZA OSNOVNU ŠKOLU ŽUPNIJSKO NTJECNJE IZ FIZIKE 2012/13. Z OSNOVNU ŠKOLU Uputa: U svim zadacima gdje je to potrebno koristiti g = 10 N/kg. 1. U posudu pravokutnog oblika ulijemo 55 ml vode. Dimenzije dna posude iznose 2

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

σ - univerzalna konstanta

σ - univerzalna konstanta 9. ELEKTROTERMIJA Elektrotermija je oblast elektrotehnike u kojoj se proučava konverzija električne energije u toplotu. Pri tome se proučavaju, kako fizički fenomeni ove konverzije, tako i tehnički uređaji

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

tehnički katalog

tehnički katalog tehnički katalog LIPOVICA > TEHNIČKI KATALOG tradicija za budućnost... LIPOVICA > SADRŽAJ Sadržaj Uvod Standardi Proizvodnja 4-7 Orion Orion 350/95 Orion 500/95 Orion 600/95 8-15 Solar Solar 350/80 Solar

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Β ΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ/ΤΕΧΝΟΟΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ο ΔΙΑΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Επιλέξτε την ή τις σωστές απαντήσεις.. Ο πρώτος θερμοδυναμικός νόμος: α) Αποτελεί μια έκφραση της αρχής διατήρησης της ενέργειας. β) Αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

='5$9.2 STRUJNI IZVOR

='5$9.2 STRUJNI IZVOR . STJN KGOV MŽ.. Strujni krug... zvori Skup elektrotehničkih elemenata koji su preko električnih vodiča međusobno spojeni naziva se električna mreža ili elektrotehnički sklop. električnoj mreži, kada su

Διαβάστε περισσότερα

Franka Miriam Brückler. Travanj 2009.

Franka Miriam Brückler. Travanj 2009. Osnove kvantne kemije za matematičare Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Travanj 2009. Nekoliko uvodnih zadataka Zadatak Odredite frekvenciju i valni broj elektromagnetskog zračenja valne duljine λ

Διαβάστε περισσότερα

Uležišteni ventili (PN 6) VL 2 prolazni ventil, prirubnica VL 3 troputni ventil, prirubnica

Uležišteni ventili (PN 6) VL 2 prolazni ventil, prirubnica VL 3 troputni ventil, prirubnica Tehnički podaci Uležišteni ventili (PN 6) VL 2 prolazni ventil, prirubnica VL 3 troputni ventil, prirubnica Opis VL 2 VL 3 Ventili VL 2 i VL 3 pružaju kvalitetno, isplativo rješenje za većinu primjena

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

pomoću tih sedam osnovnih veličina. Izvedene veličine imaju izvedene jedinice. Naziv jedinice Znak jedinice Fizikalna veličina i znak

pomoću tih sedam osnovnih veličina. Izvedene veličine imaju izvedene jedinice. Naziv jedinice Znak jedinice Fizikalna veličina i znak 1. Mjerne jedinice 1. lekcija Fizika je prirodna znanost koja opisuje tvari, energiju, prostor, vrijeme i interakcije na sasvim fundamentalnom nivou. Fizičari proučavaju pojave, stanja i zbivanja, te traže

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

GOSPODARENJE PLINOVIMA 1 DEFINICIJE, PODJELA I SVOJSTVA PLINOVA. Sveučilište u Zagrebu Rudarsko-geološko-naftni fakultet

GOSPODARENJE PLINOVIMA 1 DEFINICIJE, PODJELA I SVOJSTVA PLINOVA. Sveučilište u Zagrebu Rudarsko-geološko-naftni fakultet Sveučilište u Zagrebu Rudarsko-geološko-naftni fakultet GOSPODARENJE PLINOVIMA Predavanje: DEFINICIJE, PODJELA I SVOJSTVA PLINOVA Doc. dr. sc. Daria Karasalihović Sedlar Zagreb, 00. DEFINICIJE PLINOVI

Διαβάστε περισσότερα

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA

STVARANJE VEZE C-C POMO]U ORGANOBORANA STVAAJE VEZE C-C PM]U GAAA 2 6 rojne i raznovrsne reakcije * idroborovanje alkena i reakcije alkil-borana 3, Et 2 (ili TF ili diglim) Ar δ δ 2 2 3 * cis-adicija "suprotno" Markovnikov-ljevom pravilu *

Διαβάστε περισσότερα

AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE

AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE MJEŠOVITA SREDNJA TEHNIČKA ŠKOLA TRAVNIK AKTIVNI I REAKTIVNI OTPORI U KOLU NAIZMJENIČNE STRUJE Električna kola Profesor: mr. Selmir Gajip, dipl. ing. el. Travnik, februar 2014. Osnovni pojmovi- naizmjenična

Διαβάστε περισσότερα

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA 1 Merenje Svaki eksperimentalni rad u fizici praćen je merenjem neke fizičke veličine. Izmeriti neku fizičku veličinu znači uporediti je sa standardnom

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων

Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων Κινητική θεωρία ιδανικών αερίων (γέφυρα μακροσκοπικών και μικροσκοπικών ποσοτήτων) Εμπειρικές σχέσεις Boyle, Gay-Lussac, Charles, υπόθεση Avogadro «όταν δυο ή περισσότερα αέρια έχουν τα ίδια V, P και Τ

Διαβάστε περισσότερα

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1

Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja

Διαβάστε περισσότερα

OPĆA FIZIKA 1. I. DIO (pitanja 1 56) odgovori na ispitna pitanja prema predavanjima. prof. Emila Babića

OPĆA FIZIKA 1. I. DIO (pitanja 1 56) odgovori na ispitna pitanja prema predavanjima. prof. Emila Babića OPĆA FIZIKA odgovori na ispitna pitanja prema predavanjima prof. Emila Babića I. DIO (pitanja 56) OPĆA FIZIKA odgovori na ispitna pitanja (I. dio) Sažetak Ovo je prvi dio odgovora na pitanja iz kolegija

Διαβάστε περισσότερα

F2_K1_geometrijska optika test 1

F2_K1_geometrijska optika test 1 F2_K1_geometrijska optika test 1 1. Granični lom i totalna refleksija. Izračunajte granični kut upada za sistem staklozrak, ako je indeks loma stakla 1,47. Primjena totalne refleksije na prizmi; jednakokračna

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

TRANSFORMATORI. Zakoni sličnosti, zagrijavanje i hlađenje, vijek trajanja, tipska snaga, autotransformator, prenaponi, natpisna pločica

TRANSFORMATORI. Zakoni sličnosti, zagrijavanje i hlađenje, vijek trajanja, tipska snaga, autotransformator, prenaponi, natpisna pločica FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ELEKTROMEHANIČKE I ELEKTRIČNE PRETVORBE ENERGIJE TRANSFORMATORI TR.3 - Zakoni sličnosti, zagrijavanje i hlađenje, vijek trajanja, tipska snaga, autotransformator,

Διαβάστε περισσότερα

Slika 1. Električna influencija

Slika 1. Električna influencija Elektrostatika_intro Naboj, elektriziranje trenjem, dodirom i influencijom za vodiče i izolatore, Coulombov zakon, električno polje, potencijal i napon, kapacitet, spajanje kondenzatora, gibanje naboja

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 01. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE α Autor: IVANA SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

1.1.1 Harmonički oscilator (slobodni, bez prisile, bez gušenja; horizontalan)

1.1.1 Harmonički oscilator (slobodni, bez prisile, bez gušenja; horizontalan) . Jednostavno harmonijsko titranje Pri valnim fenomenima elementi vala izvode titranja. Stoga ćemo u početku razmotriti razne oblike titranja i njihova svojstva. Ako s ψ t) označimo opći pomak od ravnoteže,

Διαβάστε περισσότερα

1. ISTORIJSKI RAZVOJ ELEKTROTEHNIKE

1. ISTORIJSKI RAZVOJ ELEKTROTEHNIKE Osnove elektrotehnike Modul. ITOIJKI AZVOJ ELEKTOTEHNIKE Elektrotehnika je nauka koja proučava zakone elektriciteta i primjenjuje ih u praktične svrhe.ljudi su već odavno zapazili prve električne pojave

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

ENERGETIKA. Studij: Kemijsko inženjerstvo (V semestar) prof. dr. sc. Igor Sutlović

ENERGETIKA. Studij: Kemijsko inženjerstvo (V semestar) prof. dr. sc. Igor Sutlović Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za termodinamiku, strojarstvo i energetiku ENERGETIKA Studij: Kemijsko inženjerstvo (V semestar) prof. dr. sc. Igor Sutlović Prirodni plin nije jedino

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα