( ) ( ) β = gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazom:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( ) ( ) β = gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazom:"

Transcript

1 Zadatak 8 (Filip, elektrotehnička škola) Štap od cinka i štap od željeza iaju pri C jednaku duljinu l Kolika je razlika duljina štapova pri C? (koeficijent linearnog rastezanja cinka β cink 9-5 K -, koeficijent linearnog rastezanja željeza β željezo -5 K - ) Rješenje 8 t C, l željeza l cinka l, t C C C K, β cink 9-5 K -, β željezo -5 K -, l? Kad štapu nekog čvrstog tijela, koji prea dogovoru pri C ia duljinu l, povisio teperaturu za t (od C do t), on će se produžiti za: l β l t, gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazo: l β l t Jedinica za koeficijent linearnog rastezanja je K - Iz izraza za β slijedi da će nakon zagrijavanja duljina štapa biti jednaka: l ( + β t ) Duljina štapa od cinka na teperaturi t je: Duljina štapa od željeza na teperaturi t je: ( β ) l cink l + cink t ( β željezo ) l željezo l + t Uoči da je koeficijent linearnog rastezanja cinka veći od koeficijenta linearnog rastezanja željeza Razlika duljina štapova na teperaturi t iznosi: cink željezo ( β cink ) ( β željezo ) ( ) ( ) β cink β željezo β cink β željezo ( cink željezo ) ( cink željezo ) l l β t β t l l t β β K ( K K ) l l l l l + t l + t l l + t t l l + t t ježba 8 Štap od cinka i štap od željeza iaju pri C jednaku duljinu l Kolika je razlika duljina štapova pri 4 C? Rezuat: 68 Zadatak 8 (Filip, elektrotehnička škola) Eiffelov toranj visok je 3 pri C Pri kojoj će teperaturi biti c duži, odnosno viši? (koeficijent linearnog rastezanja željeza β -5 K - ) Rješenje 8 l 3, t C, l c, β -5 K -, t? Kad štapu nekog čvrstog tijela, koji prea dogovoru pri C ia duljinu l, povisio teperaturu za t (od C do t), on će se produžiti za: l β l t, gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazo:

2 l β l t Jedinica za koeficijent linearnog rastezanja je K - Iz izraza za β slijedi da će nakon zagrijavanja duljina štapa biti jednaka: l ( + β t ) inačica Na teperaturi t visina Eiffelova tornja je l l + pa zato vrijedi: l + l etoda l l l ( β t) l l l l β t l l ( t) koparacije t + β l l + l l + l β t l l β t l l β t / t β l β l 778 C 8 C 5 K 3 inačica Budući da proatrao sao visinu Eiffelova tornja koja je linearna, projena teperature t priliko koje će se visina tornja povećati, iznosi: l t β l Teperatura t pri kojoj će toranj biti duži, odnosno viši ia vrijednost: l t t t t t + C + C C β l 5 K 3 ježba 8 Toranj je visok 6 pri C Pri kojoj će teperaturi biti c duži, odnosno viši? (koeficijent linearnog rastezanja željeza β -5 K - ) Rezuat: 8 C Zadatak 83 (Marko, ginazija) Kotač lokootive ia pri C polujer r 8 c Koliko okretaja anje na putu dugoe k učini taj kotač ljeti pri teperaturi C nego zii pri C? (koeficijent linearnog rastezanja željeza β -5 K - ) Rješenje 83 t C, r 8 c 8, s k, t C C C K projena teperature, t C C C K projena teperature, β -5 K -, n? Kad štapu nekog čvrstog tijela, koji prea dogovoru pri C ia duljinu l, povisio teperaturu za t (od C do t), on će se produžiti za: l β l t, gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazo: l β l t Jedinica za koeficijent linearnog rastezanja je K - Iz izraza za β slijedi da će nakon zagrijavanja duljina štapa biti jednaka:

3 ( β ) l + t Budući da proatrao sao opseg kotača lokootive koji je linearan, pri teperaturi t on je Opseg kotača ljeti, pri teperaturi t, je Opseg kotača zii, pri teperaturi t, je O r π ( β ) π ( β ) O O + t O r + t ( β ) π ( β ) O O + t O r + t Uoči da je opseg kotača zii anji zbog stezanja, a ljeti veći zbog rastezanja aterijala Zato će na putu s broj okretaja zii biti veći, a ljeti anji Broj okretaja kotača lokootive na putu s iznosi: s s ljeti n n O r π + β t 3 ( ) s s zii n n O r π + β t ( ) Razlika u broju okretaja zii i ljeti je: s s s n n n n n r ( ) ( ) r t t π + β t r π + β t π + β + β 9 okretaja 8 π K ( ) K + K K ježba 83 Kotač lokootive ia pri C polujer r 8 c Koliko okretaja anje na putu dugoe k učini taj kotač ljeti pri teperaturi 3 C nego zii pri 3 C? (koeficijent linearnog rastezanja željeza β -5 K - ) Rezuat: 865 okretaja 9 okretaja Zadatak 84 (Petra, ginazija) Na površinu leda pri C stavio jedeni uteg ase g ugrijan do C Kolika će se asa leda rastaliti pod utego ako se on ohladi do C? (specifični toplinski kapacitet jedi c 38 3 J/(kg K), specifična toplina taljenja leda λ 33 5 J/kg) Rješenje 84 t l C, g kg, t C, c 38 3 J/(kg K), λ 33 5 J/kg, l? Toplina koju neko tijelo zagrijavanje prii odnosno hlađenje izgubi jednaka je Q c t Q c ( t ), gdje je asa tijela, c specifični toplinski kapacitet, a t projena teperature tijela Toplinu Q satrao pozitivno veličino ako je dovodio sustavu (zagrijavao ga), a negativno ako je odvodio od sustava (hladio ga) Toplinu koju orao predati čvrsto tijelu ase da bi se ono rastalilo ožeo izračunati iz izraza Q λ, gdje je λ specifična toplina taljenja Količina topline Q jed koju jedeni uteg ase hlađenje izgubi jednaka je količini topline Q led koju led ase l prii da bi se rastalio na C:

4 Q jed toplina Q jed negativna, jed hladio Q led Q jed c t Q jed c ( t ) Q jed c ( t ) ( ) c t t c ( t ) l λ c ( t ) l λ / λ l λ 3 J kg 38 ( ) K kg K 3 kg 3 g 5 J 33 kg ježba 84 Na površinu leda pri C stavio jedeni uteg ase 4 g ugrijan do C Kolika će se asa leda rastaliti pod utego ako se on ohladi do C? (specifični toplinski kapacitet jedi c 38 3 J/(kg K), specifična toplina taljenja leda λ 33 5 J/kg) Rezuat: 46 g Zadatak 85 (Marko, ginazija) Koliki je rad potreban da bi se trenje dvaju koada leda jedan o drugi rastalio gra leda pri C? (specifična toplina taljenja leda λ 33 5 J/kg) Rješenje 85 g kg, t C, λ 33 5 J/kg, W? Toplinu koju orao predati čvrsto tijelu ase da bi se ono rastalilo ožeo izračunati iz izraza Q λ, gdje je λ specifična toplina taljenja Kad tijelo obavlja rad ijenja u se energija Projena energije tijela jednaka je utrošeno radu Utrošeni rad W potreban da bi se trenje dvaju koada leda jedan o drugi rastalio led ase jednak je toplini taljenja Q leda: 5 J W Q W λ kg J kg ježba 85 Koliki je rad potreban da bi se trenje dvaju koada leda jedan o drugi rastalila graa leda pri C? (specifična toplina taljenja leda λ 33 5 J/kg) Rezuat: 66 J Zadatak 86 (Leo, ginazija) Kolika će toplina biti potrebna da litra alkohola od C proključa i prijeđe u paru? (gustoća alkohola 79 kg/ 3, teperatura vrelišta alkohola t 78 C, specifični toplinski kapacitet alkohola c 5 3 J/(kg K), specifična toplina isparavanja alkohola r J/kg) Rješenje 86 l d 3-3 3, t C, 79 kg/ 3, t 78 C, c 5 3 J/(kg K), r J/kg, Q? Gustoću neke tvari ožeo naći iz ojera ase tijela i njegova obuja: Toplina koju neko tijelo zagrijavanje prii odnosno hlađenje izgubi jednaka je Q c t Q c ( t ), gdje je asa tijela, c specifični toplinski kapacitet, a t projena teperature tijela 4

5 Toplinu Q satrao pozitivno veličino ako je dovodio sustavu (zagrijavao ga), a negativno ako je odvodio od sustava (hladio ga) Tekućina prelazi u paru pri svakoj teperaturi Teperatura iznad koje pri određeno tlaku tekućina više ne ože postojati u tekuće agregatno stanju naziva se vrelište Teperatura vrelišta ostaje neproijenjena sve dok sva tekućina vrenje ne prijeđe u paru Toplinu koja je potrebna da tekućina ase prijeđe u paru iste teperature ožeo izračunati iz izraza Q r, gdje je r specifična toplina isparavanja Proces isparavanja alkohola sastoji se od dva koraka Navedio ih redo: zagrijavanje do 78 C (vrelište) i isparavanje Tako će se i izraz za utrošenu toplinu Q sastojati od dva dijela pa vrijedi: ( ) [ ] Q ( c t + r) Q c t + r Q c t + r ( ( ) ) ( ) Q c t t r K kg K kg J 8366 J ježba 86 Kolika će toplina biti potrebna da litre alkohola od C proključaju i prijeđu u paru? (gustoća alkohola 79 kg/ 3, teperatura vrelišta alkohola t 78 C, specifični toplinski kapacitet alkohola c 5 3 J/(kg K), specifična toplina isparavanja alkohola r J/kg) Rezuat: 6653 J Zadatak 87 (Leo, ginazija) U jednu litru vode teperature 8 C bačen je koad željeza ase graa ugrijan na 5 C Koliko je vode prešlo u paru ako je konačna teperatura C? (specifični toplinski kapacitet željeza c 46 3 J/(kg K), specifični toplinski kapacitet vode c 49 3 J/(kg K), specifična toplina isparavanja vode r 6 5 J/kg) Rješenje 87 l > v kg, t 8 C, g kg, t 5 C, t C, c 46 3 J/(kg K), c 49 3 J/(kg K), r 6 5 J/kg, p? Toplina koju neko tijelo zagrijavanje prii odnosno hlađenje izgubi jednaka je Q c t Q c ( t ), gdje je asa tijela, c specifični toplinski kapacitet, a t projena teperature tijela Toplinu Q satrao pozitivno veličino ako je dovodio sustavu (zagrijavao ga), a negativno ako je odvodio od sustava (hladio ga) Tekućina prelazi u paru pri svakoj teperaturi Teperatura iznad koje pri određeno tlaku tekućina više ne ože postojati u tekuće agregatno stanju naziva se vrelište Teperatura vrelišta ostaje neproijenjena sve dok sva tekućina vrenje ne prijeđe u paru Toplinu koja je potrebna da tekućina ase prijeđe u paru iste teperature ožeo izračunati iz izraza Q r, gdje je r specifična toplina isparavanja Količina topline Q koju koad željeza ase hlađenje izgubi iznosi: Q c t toplina Q negativna, željezo hladio Q c t Q c t Q Q c ( t ) Količina topline Q koju voda ase v zagrijavanje prii iznosi: Q v c t Q v c ( t ) ( ) c ( t ) 5

6 Toplina isparavanja Q vodene pare ase p jednaka je razlici toplina Q i Q Količina vode p koja je prešla u paru iznosi: Q p r etoda Q / Q r Q p koparacij Q p Q Q Q e r r ( ) v ( ) c t c t p r 3 J 3 J kg 46 ( 5 ) K kg 49 ( 8) K kg K kg K 6 kg 6 g 5 J 6 kg ježba 87 U jednu litru vode teperature 8 C bačen je koad željeza ase dag ugrijan na 5 C Koliko je vode prešlo u paru ako je konačna teperatura C? (specifični toplinski kapacitet željeza c 46 3 J/(kg K), specifični toplinski kapacitet vode c 49 3 J/(kg K), specifična toplina isparavanja vode r 6 5 J/kg) Rezuat: 6 g Zadatak 88 (Mila, ginazija) Koliku toplinu treba utrošiti da se dobije 5 litara destilirane vode ako u destilacijski uređaj ulazi voda teperature 4 C? (vrelište vode t C, specifični toplinski kapacitet vode c 49 3 J/(kg K), specifična toplina isparavanja vode r 6 5 J/kg) Rješenje 88 5 l > 5 kg, t 4 C, t C, c 49 3 J/(kg K), r 6 5 J/kg, Q? Destilacije je proces u koje zagrijavao tekućinu ili otopinu Tekućina isparava i sakuplja se na hladnije za to predviđeno dijelu posude Tekućinu koju sakupio na taj način nazivao destilato Na ovaj način ožeo jednostavno odvojiti tekućinu od otopljene tvari pod uvjeto da otopljena tvar nije hlapljiva i da pri sao procesu destilacije saa ne isparava Toplina koju neko tijelo zagrijavanje prii odnosno hlađenje izgubi jednaka je Q c t Q c ( t ), gdje je asa tijela, c specifični toplinski kapacitet, a t projena teperature tijela Toplinu Q satrao pozitivno veličino ako je dovodio sustavu (zagrijavao ga), a negativno ako je odvodio od sustava (hladio ga) Tekućina prelazi u paru pri svakoj teperaturi Teperatura iznad koje pri određeno tlaku tekućina više ne ože postojati u tekuće agregatno stanju naziva se vrelište Teperatura vrelišta ostaje neproijenjena sve dok sva tekućina vrenje ne prijeđe u paru Toplinu koja je potrebna da tekućina ase prijeđe u paru iste teperature ožeo izračunati iz izraza Q r, gdje je r specifična toplina isparavanja Proces isparavanja vode sastoji se od dva koraka Navedio ih redo: zagrijavanje do C (vrelište) i isparavanje Tako će se i izraz za utrošenu toplinu Q sastojati od dva dijela pa vrijedi: ( ) ( ) Q c t + r Q c t + r Q c t + r J J kg ( 4) K J 3 J kg K kg 6

7 ježba 88 Koliku toplinu treba utrošiti da se dobije litara destilirane vode ako u destilacijski uređaj ulazi voda teperature 4 C? (vrelište vode t C, specifični toplinski kapacitet vode c 49 3 J/(kg K), specifična toplina isparavanja vode r 6 5 J/kg) Rezuat: 634 J Zadatak 89 (Mila, ginazija) Koliko brzino ora letjeti olovno tane da se pri udaru o zapreku rastali? Početna je teperatura taneta bila 7 C Pretpostavio da sva energija taneta pri sudaru prijeđe u toplinu (talište olova t 37 C, specifični toplinski kapacitet olova c 3 3 J/(kg K), specifična toplina taljenja olova λ 5 5 J/kg) Rješenje 89 t 7 C, t 37 C, c 3 3 J/(kg K), λ 5 5 J/kg, v? Tijelo ase i brzine v ia kinetičku energiju E v k Toplina koju neko tijelo zagrijavanje prii odnosno hlađenje izgubi jednaka je Q c t Q c ( t ), gdje je asa tijela, c specifični toplinski kapacitet, a t projena teperature tijela Toplinu Q satrao pozitivno veličino ako je dovodio sustavu (zagrijavao ga), a negativno ako je odvodio od sustava (hladio ga) Toplinu koju orao predati čvrsto tijelu ase da bi se ono rastalilo ožeo izračunati iz izraza Q λ, gdje je λ specifična toplina taljenja Proces taljenja olovnog taneta sastoji se od dva koraka Navedio ih redo: zagrijavanje do 37 C (talište) i taljenje Tako će se i izraz za toplinu Q sastojati od dva dijela: ( ) λ Q c t + λ Q c t + Budući da je sva kinetička energija taneta pri sudaru prešla u toplinu, vrijedi: E k Q v c ( t ) + λ v c ( t ) + λ / ( ) ( ) / ( ) v c t + λ v c t + λ v c t + λ 3 J 5 J 3 ( 37 7) K kg K kg s ježba 89 Koliko brzino ora letjeti olovno tane da se pri udaru o zapreku rastali? Početna je teperatura taneta bila 7 C Pretpostavio da sva energija taneta pri sudaru prijeđe u toplinu (talište olova t 37 C, specifični toplinski kapacitet olova c 3 3 J/(kg K), specifična toplina taljenja olova λ 5 5 J/kg) Rezuat: 3937 /s Zadatak 9 (Željko, ginazija) U 4 3 zraka ia g vodene pare Kolika je apsolutna vlažnost zraka? Rješenje 9 4 3, v g, Φ? Apsolutna vlažnost Φ jednaka je ojeru ase v vodene pare i obuja vlažnog zraka u koje se ta para nalazi 7

8 Apsolutnu vlažnost najčešće izražavao u graia po kubično etru, g/ 3 Apsolutna vlažnost iznosi: g g Φ v ježba 9 U 8 3 zraka ia g vodene pare Kolika je apsolutna vlažnost zraka? Rezuat: 5 g/ 3 Φ Zadatak 9 (Natalija, ginazija) Miješanje jednakih količina leda i vode dobili so vodu teperature C Kolika je bila teperatura vode ako je teperatura leda bila C? (specifična toplina taljenja leda λ 33 5 J/kg, specifični toplinski kapacitet vode c 49 3 J/(kg K)) Rješenje 9 l v, t sjesa t C, t led t C, λ 33 5 J/kg, c 49 3 J/(kg K), t voda t? Toplina koju neko tijelo zagrijavanje prii odnosno hlađenje izgubi jednaka je Q c t Q c ( t ), gdje je asa tijela, c specifični toplinski kapacitet, a t projena teperature tijela Toplinu Q satrao pozitivno veličino ako je dovodio sustavu (zagrijavao ga), a negativno ako je odvodio od sustava (hladio ga) Toplinu koju orao predati čvrsto tijelu ase da bi se ono rastalilo ožeo izračunati iz izraza Q λ, gdje je λ specifična toplina taljenja Količina topline Q voda koju voda ase hlađenje izgubi jednaka je količini topline Q led koju led ase prii da bi se rastalio na C: 5 J 33 λ kg Q / 7876 voda Q led c t λ t C c c 3 J 49 kg K Teperatura vode prije iješanja iznosila je: t t + t C + C C ježba 9 Miješanje leda ase i vode ase dobili so vodu teperature C Kolika je bila teperatura vode ako je teperatura leda bila C? (specifična toplina taljenja leda λ 33 5 J/kg, specifični toplinski kapacitet vode c 49 3 J/(kg K)) Rezuat: 3938 C Zadatak 9 (Josip, ginazija) Kolika se toplina oslobodi kad g srebra očvrsne pri teperaturi taljenja i zati se ohladi do 6 C? (teperatura tališta srebra t 96 C, specifični toplinski kapacitet srebra c 5 3 J/(kg K), specifična toplina taljenja srebra λ 5 J/kg) Rješenje 9 g kg, t 6 C, t 96 C, c 5 3 J/(kg K), λ 33 5 J/kg, Q? v 8

9 Toplina koju neko tijelo zagrijavanje prii odnosno hlađenje izgubi jednaka je Q c t Q c ( t ), gdje je asa tijela, c specifični toplinski kapacitet, a t projena teperature tijela Toplinu Q satrao pozitivno veličino ako je dovodio sustavu (zagrijavao ga), a negativno ako je odvodio od sustava (hladio ga) Toplinu koju orao predati čvrsto tijelu ase da bi se ono rastalilo ožeo izračunati iz izraza Q λ, gdje je λ specifična toplina taljenja Proces hlađenja srebra sastoji se od dva koraka Navedio ih redo: očvršćivanje i hlađenje do 6 C Tako će se i izraz za toplinu Q sastojati od dva dijela: ( ) ( ) ( ) Q λ + c t Q λ + c t Q λ + c t 5 3 J J kg + 5 ( 96 6) K 3 5 J kg kg K ježba 9 Kolika se toplina oslobodi kad dag srebra očvrsne pri teperaturi taljenja i zati se ohladi do 6 C? (teperatura tališta srebra t 96 C, specifični toplinski kapacitet srebra c 5 3 J/(kg K), specifična toplina taljenja srebra λ 5 J/kg) Rezuat: 75 J Zadatak 93 (Katarina, srednja škola) Nađi broj olekula vodika u posudi obuja c 3 ako je tlak plina na stijenke posude 7 4 Pa, a srednja brzina olekula 4 /s (asa olekule vodika kg) Rješenje 93 c 3-6 3, p 7 4 Pa, v 4 /s, kg, N? Pooću kinetičke teorije plinova ožeo tlak plina izraziti pooću ipulsa olekula na stijenke posude N p v, 3 gdje je N broj olekula plina, obuja plina, asa olekule, a v srednja vrijednost kvadrata olekulske brzine Broj olekula vodika u posudi iznosi: N N p v p v / 3 3 p N v / 3 3 v p 3 7 Pa 8 N 498 olekula v kg 4 s ježba 93 Nađi broj olekula vodika u posudi obuja c 3 ako je tlak plina na stijenke posude 35 4 Pa, a srednja brzina olekula 4 /s Rezuat: olekula Zadatak 94 (Katarina, srednja škola) U c 3 plina ia 45 olekula Srednja kinetička energija olekula pri njihovu nesređeno gibanju je 4 - J Odredi tlak koji plin pritišće na stijenke posude 9

10 Rješenje 94 c 3-6 3, N 45, E 4 J, p? k Pooću kinetičke teorije plinova ožeo tlak plina izraziti pooću ipulsa olekula na stijenke posude N p E, 3 k gdje je N broj olekula plina, obuja plina, a E k srednja kinetička energija jedne olekule Tlak koji plin pritišće na stijenke posude iznosi: N 45 p E 4 J Pa 3 k ježba 94 U c 3 plina ia 9 olekula Srednja kinetička energija olekula pri njihovu nesređeno gibanju je 4 - J Odredi tlak koji plin pritišće na stijenke posude Rezuat: 4 Pa Zadatak 95 (Mario, srednja škola) Tijelo ia pri C obuja i gustoću a) Kolika je njegova asa? b) Tijelo ugrijeo do t Koliki su njegov obuja i gustoća? c) Tijelo ugrijeo do teperature t Koliki su njegov obuja i gustoća? Kubični koeficijent rastezanja je α Pokaži da za dobivene rezuate vrijedi relacija / / Kakvo fizikalno svojstvo objašnjava ta relacija? Rješenje 95 t C,,,?, t,?,?, t,?,?, α Gustoću neke tvari ožeo naći iz ojera ase tijela i njegova obuja: Kad čvrsto tijelu povisio teperaturu njegove se dienzije povećaju Ako su sve dienzije čvrstog tijela podjednako izražene, riječ je o kubično rastezanju Neka tijelo pri C ia obuja Povisio li tijelu teperaturu za t (od C do t), njegov će se obuja povećati za α t, gdje je α koeficijent kubičnog rastezanja Pri teperaturi t tijelo će iati obuja ( α ) t + t a) Pri C tijelo obuja i gustoće ia asu b) Kada tijelo ugrijeo do teperature t, asa ostaje ista (asa tijela s projeno teperature ostaje neproijenjena) Zato vrijedi: etoda ( ) koparacije + α t ( + α t ) ( + α t ) / ( α t + ) + α t

11 c) Kada tijelo ugrijeo do teperature t, asa ostaje ista (asa tijela s projeno teperature ostaje neproijenjena) Zato vrijedi: etoda ( ) koparacije + α t ( + α t ) ( + α t ) / ( α t + ) + α t Dokazujeo da vrijedi relacija Uočio da su obujovi tijela obrnuto razjerni (proporcionalni) s njihovi gustoćaa ježba 95 Tijelo ia pri C asu i gustoću Koliki je njegov obuja Rezuat: Zadatak 96 (Sara, ginazija) Gustoća je žive pri C 36 g/c 3 Odredi gustoću žive pri 6 C (koeficijent kubičnog rastezanja žive α 8-3 K - ) Rješenje 96 t C, 36 g/c 3 36 kg/ 3, t 6 C, α 8-3 K -,? Gustoću neke tvari ožeo naći iz ojera ase tijela i njegova obuja: Kad čvrsto tijelu povisio teperaturu njegove se dienzije povećaju Ako su sve dienzije čvrstog tijela podjednako izražene, riječ je o kubično rastezanju Neka tijelo pri C ia obuja Povisio li tijelu teperaturu za t (od C do t), njegov će se obuja povećati za α t, gdje je α koeficijent kubičnog rastezanja Pri teperaturi t tijelo će iati obuja ( α ) t + t Taj izraz vrijedi i za kubično rastezanje tekućina, kao i za šuplja čvrsta tijela Kada živu ugrijeo do teperature t, asa ostaje ista (asa žive s projeno teperature ostaje neproijenjena) Zato vrijedi: etoda ( ) koparacije α t +

12 ( ) ( ) + α t + α t / ( + α t) + α t kg 36 3 kg g K 6 K c ježba 96 Gustoća je žive pri C 36 g/c 3 Odredi gustoću žive pri 4 C (koeficijent kubičnog rastezanja žive α 8-3 K - ) g Rezuat: 99 3 c Zadatak 97 (Tonka, ginazija) Gustoća je zlata pri C 93 g/c 3 Nađi gustoću zlata pri 9 C (koeficijent linearnog rastezanja zlata β 4-5 K - ) Rješenje 97 t C, 93 g/c 3 93 kg/ 3, t 9 C, β 4-5 K -,? Gustoću neke tvari ožeo naći iz ojera ase tijela i njegova obuja: Kad čvrsto tijelu povisio teperaturu, njegove se dienzije povećaju Ia li tijelo takav oblik da duljina preašuje ostale dienzije (žice, štapovi, cijevi), govorio o linearno rastezanju čvrstog tijela Kad štapu nekoga čvrstog tijela, koji prea dogovoru pri C ia duljinu l, povisio teperaturu za t (od C do t), on će se produžiti za l β l t, gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazo l β l t Ako su sve dienzije čvrstog tijela podjednako izražene, riječ je o kubično rastezanju Neka tijelo pri C ia obuja Povisio li tijelu teperaturu za t (od C do t), njegov će se obuja povećati za gdje je α koeficijent kubičnog rastezanja Izeđu tih koeficijenata rastezanja postoji odnos α t, α 3 β Pri teperaturi t tijelo će iati obuja t ( + α t) ili t ( + 3 β t) Taj izraz vrijedi i za kubično rastezanje tekućina, kao i za šuplja čvrsta tijela Ako je na teperaturi t obuja tijela, a na teperaturi t obuja, tada vrijedi ( α ( )) + t inačica Budući da asa tijela s projeno teperature ostaje neproijenjena, za obujove i zlata na teperaturaa t i t vrijedi:

13 ( α ) ( α ), + t t + podijelio jednadžbe, ( + α t ) ( + α t ) ( + α t ) ( + α t ) + α t + α t / ( ) ( ) t + α t t + α t + α + α + α t + 3 β t [ 3 ] α β t α β t 5 kg K K kg g K 9 K c inačica Budući da asa tijela s projeno teperature ostaje neproijenjena, za obujove i zlata na teperaturaa t i t vrijedi:, ( + α ( t ) ) ( + α ( t ) ) / ( + α ( t ) ) ( ( t t )) ( t t ) + α + α [ α 3 β ] + α ( t ) kg 93 3 kg g β ( t ) 3 4 K ( 9 ) + K c ježba 97 Gustoća je zlata pri C 93 g/c 3 Nađi gustoću zlata pri C (koeficijent linearnog rastezanja zlata β 4-5 K - ) g Rezuat: c Zadatak 98 (Tonka, ginazija) Petrolej se na skladištu nalazi u cilindričnoj bačvi polujera 4 i visine 6 Pri C površina petroleja nalazi se c ispod gornjeg ruba bačve Koliko se petroleja izlije iz bačve kad teperatura naraste na 35 C? Rastezanje bačve zaneario (koeficijent kubičnog rastezanja petroleja α -3 K - ) Rješenje 98 r 4, h 6, t C, h c, t 35 C, α -3 K -,? Gustoću neke tvari ožeo naći iz ojera ase tijela i njegova obuja: 3

14 Kad čvrsto tijelu povisio teperaturu njegove se dienzije povećaju Ako su sve dienzije čvrstog tijela podjednako izražene, riječ je o kubično rastezanju Neka tijelo pri C ia obuja Povisio li tijelu teperaturu za t (od C do t), njegov će se obuja povećati za α t, gdje je α koeficijent kubičnog rastezanja Pri teperaturi t tijelo će iati obuja ( α ) t + t Ako je na teperaturi t obuja tijela, a na teperaturi t obuja, tada vrijedi ( α ( )) + t h h h - h r r Cilindrična bačva polujera baze r i visine h ia obuja: r π h Budući da se površina petroleja na teperaturi t nalazi za h ispod gornjeg ruba bačve, njegov obuja iznosi r π ( h h) Na teperaturi t obuja petroleja dan je izrazo: ( α ( )) π ( ) ( α ( )) + t r h h + t Količina petroleja koja se izlije iz bačve jednaka je razlici obuja petroleja i obuja bačve : ( ) ( ( )) ( ) ( α ( )) r π h h + α t r π h r π h h + t h 3 3 ( 4 ) π ( 6 ) ( + K ( 35 + ) K ) 6 83 ježba 98 Petrolej se na skladištu nalazi u cilindričnoj bačvi polujera 4 c i visine 6 d Pri C površina petroleja nalazi se ispod gornjeg ruba bačve Koliko se petroleja izlije iz bačve kad teperatura naraste na 35 C? Rastezanje bačve zaneario (koeficijent kubičnog rastezanja petroleja α -3 K - ) Rezuat: 83 3 Zadatak 99 (Tin, ginazija) Na slici grafički je prikaz ovisnosti produljenja žice o teperaturi Odredi koeficijent linearnog rastezanja ako je početna duljina žice Rješenje 99 l, β? Kad čvrsto tijelu povisio teperaturu, njegove se dienzije povećaju Ia li tijelo takav oblik da duljina preašuje ostale dienzije (žice, štapovi, cijevi), govorio o linearno rastezanju čvrstog tijela Kad štapu nekoga čvrstog tijela, koji prea dogovoru pri C ia duljinu l, povisio teperaturu za t (od C do t), on će se produžiti za l β l t, 4

15 gdje je β koeficijent linearnog rastezanja koji se definira izrazo l l β ili β l t l t Jedinica za koeficijent linearnog rastezanja je K - Iz izraza za β slijedi da će nakon zagrijavanja duljina štapa biti jednaka: l ( + β t ) l / 5 4 l 3 Sa slike vidi se: t t / C l 3 l 3 l t 3 C C t C t K Budući da se koeficijent linearnog rastezanja β definira izrazo l β, l t vrijedi: 3 l 5 β K K l t K ježba 99 Na slici (gore) grafički je prikaz ovisnosti produljenja žice o teperaturi Odredi koeficijent linearnog rastezanja ako je početna duljina žice Rezuat: 5-6 K - Zadatak (Tin, ginazija) Ako se kinetička energija tijela ase pretvori u toplinu, porast teperature tijela ovisi o asi tijela proporcionalno: A B C Ne ovisi o asi D E Rješenje Tijelo ase i brzine v ia kinetičku energiju E v k Toplina koju neko tijelo zagrijavanje prii odnosno hlađenje izgubi jednaka je 5

16 Q c t, gdje je asa tijela, c specifični toplinski kapacitet, a t projena teperature tijela Ako se kinetička energija tijela ase pretvori u toplinu, slijedi: v Q E k c t v c t v / t c c Porast teperature ne ovisi o asi Odgovor je pod C ježba Ako se gravitacijska potencijalna energija tijela ase pretvori u toplinu, porast teperature tijela ovisi o asi tijela proporcionalno: A B C Ne ovisi o asi D E Rezuat: C 6

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Zadatci za vježbanje Termodinamika

Zadatci za vježbanje Termodinamika Zadatci za vježbanje Termodinamika 1. Električnim bojlerom treba zagrijati 22 litre vode 15 ⁰C do 93 ⁰C. Koliku snagu mora imati grijač da bi se to postiglo za 2 sata zagrijavanja? Specifični toplinski

Διαβάστε περισσότερα

Unutarnji je volumen čaše V 1. Budući da je do polovice napunjena vodom masa te vode iznosi: 2 Ukupna masa čaše i vode u njoj je 1 kg

Unutarnji je volumen čaše V 1. Budući da je do polovice napunjena vodom masa te vode iznosi: 2 Ukupna masa čaše i vode u njoj je 1 kg Zadatak 6 (Josi, ginazija) Staklena čaša nalazi se u sudoeru naunjena vodo. Čaša je do olovice naunjena vodo. Unutarnji voluen čaše je 5 c, a njezina asa kada je razna iznosi 9 g. Ako oduzeo sao alo vode

Διαβάστε περισσότερα

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA

VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA VOLUMEN ILI OBUJAM TIJELA Veličina prostora kojeg tijelo zauzima Izvedena fizikalna veličina Oznaka: V Osnovna mjerna jedinica: kubni metar m 3 Obujam kocke s bridom duljine 1 m jest V = a a a = a 3, V

Διαβάστε περισσότερα

ρ = ρ V V = ρ m 3 Vježba 101 Koliki obujam ima komad pluta mase 2 kg? (gustoća pluta ρ = 250 kg/m 3 ) Rezultat: m 3.

ρ = ρ V V = ρ m 3 Vježba 101 Koliki obujam ima komad pluta mase 2 kg? (gustoća pluta ρ = 250 kg/m 3 ) Rezultat: m 3. Zadaak 0 (Ana Marija, ginazija) Koliki obuja ia koad plua ae kg? (guoća plua ρ 50 kg/ ) Rješenje 0 kg, ρ 50 kg/,? Guoću ρ neke vari definirao ojero ae i obuja ijela. kg ρ / 0.004. ρ ρ kg 50 jeba 0 Koliki

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

konst. [ tlak i temperatura su proporcionalne veličin e]

konst. [ tlak i temperatura su proporcionalne veličin e] Zadatak 4 (Goran, ginazija) Pri teeraturi 7 C tlak lina je. Do koje je teerature otrebno lin izovoluno (izoorno) zagrijati da u tlak bude 4? Rješenje 4 t = 7 C => T = 7 + t = 7 + 7 = K, =, = 4, T =?.inačica

Διαβάστε περισσότερα

Zadatci za vježbanje - termičko širenje / plinski zakoni / tlak idealnog plina

Zadatci za vježbanje - termičko širenje / plinski zakoni / tlak idealnog plina Zadatci za vježbanje - termičko širenje / plinski zakoni / tlak idealnog plina Pun spremnik benzina sadrži 60 litara. Ako je napunjen pri temperaturi 5 C i ostavljen na suncu tako da se temperatura povisi

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

λ λ ν =. Zadatak 021 (Zoki, elektrotehnička škola) Dva zvučna vala imaju intenzitete 10 i 600 mw/cm 2. Za koliko se decibela razlikuju ta dva zvuka?

λ λ ν =. Zadatak 021 (Zoki, elektrotehnička škola) Dva zvučna vala imaju intenzitete 10 i 600 mw/cm 2. Za koliko se decibela razlikuju ta dva zvuka? Zadatak (Zoki, elektrotehnička škola) Da zučna ala iaju intenzitete i 5 W/c. Za koliko e decibela razlikuju ta da zuka? Rješenje I = W/c = W/, I = 5 W/c = 5 W/, I = - W/, L L =? Tražio razliku intenziteta

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Termodinamički zakoni

Termodinamički zakoni Termodinamički zakoni Stanje sistema Opisano je preko varijabli stanja tlak volumen temperatura unutrašnja energija Makroskopsko stanje izoliranog sistema može se specificirati jedino ako je sistem u unutrašnjoj

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N. Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu

Διαβάστε περισσότερα

podijelimo p V p V jednadžbe p V = k 1 N N T T N N N N T 300 K 1 T Vježba 101

podijelimo p V p V jednadžbe p V = k 1 N N T T N N N N T 300 K 1 T Vježba 101 Zadatak (Dijana, ginazija) U rostoriji koja nije heretički zatvorena teeratura zraka oveća se od C do 7 C. Za koiko se ostotaka sanji broj oekua zraka u rostoriji? Rješenje t C > 7 + t 7, t 7 C > 7 + t

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

ALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.

ALFA List - 1. Festival matematike Split 2013. Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013. ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Danas ćemo raditi: (P. Kulišić: Mehanika i toplina, poglavlje 12)

Danas ćemo raditi: (P. Kulišić: Mehanika i toplina, poglavlje 12) Školska godina 2007./2008. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fizika 1 Predavanje i 13 Toplina i temperatura. Prijenos topline. Dr. sc. Ivica Puljak (Ivica.Puljak@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

GUSTINE NEKIH SUPSTANCIJA. Naziv supstance

GUSTINE NEKIH SUPSTANCIJA. Naziv supstance GUSTINA TIJELA Naziv supstance GUSTINE NEKIH SUPSTANCIJA Naziv supstance Iridiju 22 400 Ebonit 1 200 Platina 21 500 Voda 1 000 Zlato 19 00 Led 900 Živa 1 600 Mašinsko ulje 900 Olovo 11 00 Nafta 800 Srebro

Διαβάστε περισσότερα

Dinamika krutog tijela. 14. dio

Dinamika krutog tijela. 14. dio Dnaka kutog tjela 14. do 1 Pojov: 1. Vekto sle F (tanslacja). Moent sle (otacja) 3. Moent toost asa 4. Rad kutog tjela A 5. Knetka enegja E k 6. Moent kolna gbanja 7. u oenta kolne gbanja oenta sle M (

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED OSNOVNIH VELIČINA ZA DEFINISANJE SASTAVA RASTVORA

PREGLED OSNOVNIH VELIČINA ZA DEFINISANJE SASTAVA RASTVORA I RAČUNSKE EŽBE PREGLED OSNONIH ELIČINA ZA DEFINISANJE SASTAA RASTORA Za izražavanje kvantitativnog sastava rastvora u heiji koriste se različite fizičke veličine i odnosi. Koriste se i različite jedinice.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga i energija zadatci

Rad, snaga i energija zadatci Rad, snaga i energija zadatci 1. Tijelo mase 400 g klizi niz glatku kosinu visine 50 cm i duljine 1 m. a) Koliki rad na tijelu obavi komponenta težine paralelna kosini kada tijelo s vrha kosine stigne

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerstvo I Termodinamika 3. dio

Inženjerstvo I Termodinamika 3. dio Inženjerstvo I Termodinamika 3. dio 1.2.3 Unutarnja energija Molekularno kinetička teorija nam tumači, da se molekule nekog tijela, ili tvari, nalaze u gibanju i pri tome se međusobno sudaraju. Zavisno

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

t t , 2 v v v 3 m

t t , 2 v v v 3 m Zadatak 4 (Maturantia, ginazija) Zeljin atelit giba e brzino = 9 3 /. Oobi u atelitu prođe reenki interal od jedan at. Koliki je taj reenki interal na Zelji? Kolika je razlika u reenu? ( = 3 8 /) Rješenje

Διαβάστε περισσότερα

2 E m v = = s = a t, v = a t

2 E m v = = s = a t, v = a t Zadata 6 (Matea, ginazija) Sila N djeloala je na tijelo 4 eunde i dala u energiju 6.4 J. Kolia je aa tijela? Rješenje 6 = N, t = 4, E = 6.4 J, =? Tijelo obalja rad W ao djeluje neo ilo na putu na drugo

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.

Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici. Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) n. Ukupni kapacitet od n usporedno (paralelno) spojenih kondenzatora možemo naći iz izraza

( ) ( ) n. Ukupni kapacitet od n usporedno (paralelno) spojenih kondenzatora možemo naći iz izraza Zadatak 08 (Maija ginazija) Dva uspoedno spojena kondenzatoa i seijski su spojeni s kondenzatoo kapaciteta. Koliki je ukupni kapacitet? Nactajte sheu. Rješenje 08 =? Ukupni kapacitet od n seijski spojenih

Διαβάστε περισσότερα

Zadatci s dosadašnjih državnih matura poredani po nastavnom programu (više-manje svi, izdanje zima 2016.) drugi razred (do magnetizma)

Zadatci s dosadašnjih državnih matura poredani po nastavnom programu (više-manje svi, izdanje zima 2016.) drugi razred (do magnetizma) Zadatci s dosadašnjih državnih matura poredani po nastavnom programu (više-manje svi, izdanje zima 2016.) Sve primjedbe na facebook stranicu Fizikagfp drugi razred (do magnetizma) TEKUĆINE (priprema za

Διαβάστε περισσότερα

m m ( ) m m v v m m m

m m ( ) m m v v m m m Zadatak (Ria, ginazija) Autoobil raketni pogono započne e iz tanja iroanja ubrzaati zbog potika rakete Potiak traje 5, a ubrzanje iznoi 5 / Nakon gašenja raketnog pogona autoobil e natai gibati kontantno

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga i energija. Dinamika. 12. dio

Rad, snaga i energija. Dinamika. 12. dio Rad, snaga i energija Dinaika 1. dio Veliine u ehanici 1. Skalari. Vektori 3. Tenzori II. reda 4. Tenzori IV. reda 1. Skalari: 3 0 1 podatak + jerna jedinica (tenzori nultog reda). Vektori: 3 1 3 podatka

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula

Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula Podsjetnik za državnu maturu iz fizike značenje formula ukratko je objašnjeno značenje svih slova u formulama koje se dobiju uz ispit [u uglatim zagradama su SI mjerne jedinice] Kinetika v = brzina ( =

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

v v 1 m y T s s Vježba 041 Kroz neko sredstvo šire se valovi koji imaju frekvenciju 1320 Hz i amplitudu 0.3 mm. Duljina

v v 1 m y T s s Vježba 041 Kroz neko sredstvo šire se valovi koji imaju frekvenciju 1320 Hz i amplitudu 0.3 mm. Duljina Zadatak 4 (Mirjana, rednja škoa) Kroz neko redto šire e aoi koji iaju frekenciju 66 Hz i apitudu.3. Dujina aa je 5 c. Odredi: a) brzinu širenja aa i b) akianu brzinu jedne četice. Rješenje 4 66 Hz, y.3

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Rotacija krutog tijela

Rotacija krutog tijela Rotacija krutog tijela 6. Rotacija krutog tijela Djelovanje sile na tijelo promjena oblika tijela (deformacija) promjena stanja gibanja tijela Kruto tijelo pod djelovanjem vanjskih sila ne mijenja svoj

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

27 C, a na kraju vožnje 87 C. Uz pretpostavku da se volumen guma nije tijekom vožnje promijenio, nađite

27 C, a na kraju vožnje 87 C. Uz pretpostavku da se volumen guma nije tijekom vožnje promijenio, nađite Zaatak (Barny, ginazija) U vonji e zrak u autoobilki guaa grije. Na očetku vonje teeratura zraka u guaa je 7 C, a na kraju vonje 7 C. Uz retotavku a e voluen gua nije tijeko vonje roijenio, nađite ojer

Διαβάστε περισσότερα

Masa i gustina. zadaci

Masa i gustina. zadaci Masa i gustina zadaci 1.)Vaga je u ravnote i dok je na jednom njenom tasu telo, a na drugom su tegovi od: 10 g, 2 g, 500 mg i 200 mg.kolika je masa ovog tela? 2.)Na jednom tasu vage se nal azi telo i teg

Διαβάστε περισσότερα

PITANJA IZ MEHANIKE FLUIDA

PITANJA IZ MEHANIKE FLUIDA PITANJA IZ MEHANIKE FLUIDA 1. Što su fluidi i koja su njihova najvaţnija obiljeţja? 2. Kako se definira tlak? Kojim ga jedinicama iskazujemo? Je li tlak skalarna ili vektorska veličina? 3. Kakva je veza

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE 2012/13. ZA OSNOVNU ŠKOLU

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE 2012/13. ZA OSNOVNU ŠKOLU ŽUPNIJSKO NTJECNJE IZ FIZIKE 2012/13. Z OSNOVNU ŠKOLU Uputa: U svim zadacima gdje je to potrebno koristiti g = 10 N/kg. 1. U posudu pravokutnog oblika ulijemo 55 ml vode. Dimenzije dna posude iznose 2

Διαβάστε περισσότερα

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010. ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE '02 UČENIKA OSNOVNIH ŠKOLA PISMENI ZADACI

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE '02 UČENIKA OSNOVNIH ŠKOLA PISMENI ZADACI ŽUPNIJSKO NTJECNJE IZ FIZIKE '0 UČENIK OSNOVNIH ŠKOL PISMENI ZDCI 1. Na vrpci školskog vibratora (frekvencije 50 Hz) predočeno je gibanje nekog tijela. a) Kako se gibalo to tijelo? b) Nacrtaj ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016.

12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016. 12 SKUPIN ZDK IZ FIZIKE I 6 linja 2016 Zadatak 121 U osudi - sremniku očetnog volumena nalazi se n molova dvoatomnog lina na temeraturi rema slici) Plin izobarno ugrijemo na temeraturu, adijabatski ga

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα