ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΠΑΡΑΚΕΙΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. ΑΠΟ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΣΤΑθΜΕΣ ΟΡΟΦΩΝ: ΜΙΑ ΑΡΙθΜΗΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

Transcript

1 ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΠΑΡΑΚΕΙΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΑΠΟ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΣΤΑθΜΕΣ ΟΡΟΦΩΝ: ΜΙΑ ΑΡΙθΜΗΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Α. ΛΙΩΛΙΟΣ, Αν. Καθηγητής - Λ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΗΣ, Επ ι στ. Συνεργ. -Εργ. Εφηρμ. Στατικής Δ.Π.θ./Πολ. Σχολή Ξάνθης Δ. ΚΕΝΑΜΕΑΣ, Καθηγητής Σχολής Τεχν. Εφαρ μ. Τ.Ε.Ι.θε σ /ν Lκης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Παρουσιάζεται μια αριθμητική μελέτη του προβλήματος της σε ισμικής αλληλεπlδρασης παρακειμένων κατασκευών απο σκυ - ρόδεμα με άνισες στάθμες ορόφων. Το πρόβλημα διατυπώνεται μητρωικά και επιλύεται σαν ανισοτικό με χρήση των μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων, πεπερασμένων διαφορών και του μη γραμμικού προγραμματισμού. Για τα δομικά στοιχεlα της κρίσιμης περ ι οχής αλληλεπlδρασης θεωρείται ελαστοπλαστικός νόμος έντασης-παραμόρrοωσης και λαμβάνονται υπόψη η ρηγμά - τωση και η ενδεχό μενη θραύση. Τέλος, σένα αριθμητικό παράδειγμα γίνεται μια ποσοτική αποτlμηση των επιπτώσεων του σφυροκοπήματος στην σεισμική απόκριση των φορέων. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η αλληλεπlδραση μεταξύ παρακειμένων κατασκευών κατά την διάρκεια ενός σεισμού αποτελεl,ως γνωστόν /10-1δ/,μιά από τις κύριες αιτίες ζημιών στα ωτικά κέντρα, όπου για τους γνωστούς κοινωνικοοικονομικούς λόγο'uς ισχύει το συνεχές σύστημα δόμησης. Σχετικά δε με την σεισμική μηχανική, η αλληλεπlδραση είναι ένα εξαιρετικά πολύπλοκο πρόβλημα, το οποlο ακόμη αντιμετωπlζεται δύσκολα. Σε προηγούμενες ερευνητικές εργασίες /1,2/ είχε μελετη- 158

2 θεί αριθμητικά το πρόβλημα για την περίπτ ωσ η πολυορόφων κατασκευών με ορόφους σε ίσες στάθ μ ες, τόσο για σύμμετρα όσο και για ασύμμετρα κτίρια. Παρουσιάσθηκαν επίσης και παραμετρικές μελέτες για μονοβάθμιους ταλαντωτές σε σειρά,με αξιόλογα συμπεράσματα /3,4/. Στην παρούσα εργασία γίνεται μια αριθμητική μελέτη του προβλήματος για πολυόροφες κατασκευές με ορόφους σε άνισες στάθμες. Πρόκειται για την γνωστή περίπτωση που το σεισμικό σφυροκόπημα μεταξύ γειτονικών κτιρίων σε επαφή έχει σαν αποτέλεσμα τον εμβολισ μ ό, στην διεπιφάνεια επαφής, μερικών υποστυλωμάτων της μιάς κατασκευής από τις πλάκες της άλλης /12,13/. Ανάλογη περίπτωση εμβολισμού υποστυλώματος, αλλά στο ισόγειο οικοδομής απο όχημα, παρουσιάσθηκε στην εργασία /5/. Προφανώς οι περιπτώσεις αυτές θέτουν άμεσα το θέμα της κρουστικής επιβολής φορτίων στην ανάλυση των κατασκευών. Εδ ώ το πρόβλημα διατυπώνεται μητρωικά και επιλύε - ται σαν ανισοτικό, μη-κυρτό και μη-γραμμικό χρον ικό πρό - βλημα. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούνται αφενός η μ έθοδος των πεπερασμένων στοιχείων και αφετέρου η μέθοδος άμεσης χρονικής ολοκλήρωσης των πεπερασμένων διαφορών, σε κάθε δε χρονικό βήμα επιλύεται ένα πρόβλημα γραμμική ς συμπληρωμα - τικότητας. Τέλος, η προτεινόμενη μ έθοδος εφαρμόζεται σένα πρακτικό παράδειγμα και συνάγονται μερικά συμπεράσματα χρ ήσιμα γ ι α την πράξη. 2. Η ΑΡΙθΜΗΤΙΚΗ ΔΙΑΤΎΠΩΣΗ ΚΑΙ ΕΠ Ι ΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ θεωρούμε ένα σύστη μα από δυο παρακείμενους φορείς (Α) και (Β), το οποίο πρώτα διακριτοποιείται με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Η προσομοίωση των δομικών στοιχείων της κρίσιμης διεπιφάνειας αλληλεπίδρασης των δυο φορέων γίνεται με την χρησι μ οποίηση μη-κυρτών και μη-μονότονων νόμων έντασης-παρα μ όρι?<ι>σης. Ετσ ι λαμβάνονται υπόψη τα φαινόμενα τη ς μονόπλ ευρης επαφής, η οποία επιτρέπει την μεταβίβαση μό νο θλιπτ ι κών τάσεων στην διεπιφάνεια, της ελαστοπλαστικής συμπεριφοράς, της ρηγμάτωσης και της ενδεχόμενης θραύσης. θεωρού με, λοιπόν, ότι κάθε ένα ζευγάρι (iα,iβ)αντίστοιχων κόμβων στην διεπιφάνεια αντιστοιχεί σε ένα μονό- 159

3 πλευρο σύνδεσμο που μεταβιβάζει μόνο θλιπτικές δυνάμεις. Ο σύνδεσμος εlναι προσηλωμένος στον ένα φορέα, έστω τον (Α). και το πέρας-του απέχει απο τον (Β) κατά το χάσμα gi(t) τη χρονική στιγμή t. Για να αποδοθεl η ιξωδο-ελαστοπλαστική συμπεριφορά. ο σύνδεσμος αποτελεlται από ένα ελατήριο και ένα αποσβεστήρα.παράλληλα συνδεδεμένους, με αντlστοιχες συναρτήσεις έντασης-παραμόρφωσης pi(di) και ci(di). Με di συμβολlζεται η παραμόρφωση-βράχυνση και με di η ταχύτητάτης. Ετσι η συνολική θλιπτική δύναμη του συνδέσμου είναι r. ~ p.(d.) + c.(d.) και θεωρεlται θετική μόνο όταν εlναι θλιπτική. Οι συνθήκες εξάλλου μονόπλευρης επαφής νια τους κόμβους i A και ib γράφονται σαν συνθήκες γραμμικής συμπληρωματικότητας (2) (1) όπου νi εtναι η σχετική μετακtνηση-προσέννιση του ib με το ελεύθερο άκρο του συνδέσμου. Σχετικά, τώρα. με τις συναρτήσεις έντασης-παραμόρφωσης του ελατ ηρί ου και του αποσβεστήρα. η pi(di) είναι γενικά μη-γραμμική. μη-κυρτή και μη-μονότονη ώστε να αποδtδεται η ελαστοπλαστική κ.λπ. συμπεριφορά στην διεπιφάνεια. Αφετέρου. η c.(d.) αφορά στην ενέργεια που διαχέ ετα ι κατά την 1 1 κρούση και συνήθως έχει την γραμμική μορφή ci(di) = cidi. Ο συντελεστής ci μπορεί να προσδιορισθεl /3/ απο τι ς σχέσεις ~ ~ Zξ(kimiAmiB) / (mia+mib) ' ξ = -lnq/(π 2 +(lnq) 2 )~ (3) ( 4 ) Εδώ ki εtναι ο δεtκτrις αν τlστασης του ελατηρlου θεω (JΟυ1.ένου ως γραμμικού και προσδιο plζεται σcν η δύ ναμη πο υ προκαλεί μοναδιαtα αμοιβαtα απομάκρυν ση των κό μβων la και i 8. Με το q συμβολίζεται ο συντελεστής απόδοσης κατα την κρούση των μαζών mia ' mib των κόμβων ia' ib, και ξ είναι το ποσοστό απόσβεσης. Παρατηρούμε ότι η τελεlως ελαστική κρούση με q= 1 αντιστοιχεί σε ξ=ο, ενώ η τελεlως πλαστική με q=o σε ξ=1. Στην πράξη ισ χύουν προφανώς ενδιάμεσες τιμ ές, π.χ. νια q=0.73 είναι ξ=ο

4 Ολοκληρώνοντας την διακριτοποtηση του προβλήματος ως προς τον χώρο, οι συνθήκες δυναμικής ισορρ οπtας νια όλο το σύστημα των δυο φορέων γράφονται: ~Α~Α + ga(~a ) + ~Α ( ~Α) -~ia g! (5a) + ~Β~Β gb(~b) + ~Β(~Β) -Μ χ -B-gB! (5b) όπου κατα τα γνωστά εtναι: Μ μητρώο μάζας, g(~) μητρωική συνάρτηση απόσβεσης, ~(~) μητρωική συνάρτηση αντιστασης, u(t) διάνυσμα μετακινήσεων σχετικά με το έδαφος, και χ (t) - -g διάνυσμα εδαφικής σεισμικής μετακtνησης. Για γράμμικά ελαστικούς φορεtς θα εtναι g(~)=~~. ~(~)=~~. ενώ νια μικροαυξητική (incremental) θεώρηση του προβλήματος τα C και Κ θα εtναι τα εφαπτομενικά (tangent) μητρώα απόσβεσης και αντίστασης, αντίστοιχα. ο συζευκτικός όρος r.τέλος, ειναι το διάνυσμα των δυνάμεων μονόπλευρης επαφής. Με την προσθήκη και των αρχικών συνθηκών κατά τα γνωστά /1/, το πρόβλημα συνίσταται στον υπολογισμό των ~L(t),g(t) και r(t) που ικανοποιούν τις (1)-(5) νια δοσμένη σεισμική διέγερση ~gl(t), όπου L=A,B. Λόγω των ανισοτικών συνθηκών το πρόβλημα αυτό εlναι γενικά μη-γραμμικό και μη-κυρτό. Η μαθηματική-του διερεύνηση γίνεται με ~ θεωρία ημιμεταβολών και μη-κυρτής συναρτησιακής ανάλυσης /6/. Εδώ όμως ενδιαφερόμαστε νια την αριθμητική επlλυση του προβλήματος, η οποία νtνεται βήμα προς βή μα με την άμεση μέθοδο χρονικής ολοκλήρωσης των κεντρικών πεπερασμένων διαφορών /7,15/. Σε κάθε χρονικό βήμα Δt υποτtθεται οτι οι μονόπλευροι σύνδεσμοι παραμένουν είτε ενε ργοί είτε ανενεργοί. Αυτό υπολογίζεται επιλύοντας ένα πρόβλημα γραμμικής συμπληρωματικότητας /2, 6,8/. 3. ΑΡΙθΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Το σύστημα των δυο πλαισtων χωρlς αντισεισμικό αρμό του σχ. 1α υποβάλλεται στη σεισμική εδαφική διέγερση xg (t) = -2t x 0 e sin(4πt), η οποία αντιστοιχεί σε απολύτως μέγιστη ε- δαφική επιτάχυνση xg= 0.127g νια xv=lomm. Τα πλαtσια εί - ναι απο ωπλισμένο σκυρόδεμα με υλικά Β225, StIII, ποσοστό 161

5 @ 3.75f/m ~ο/ιο 3r/m -ιο/60 st/,,,, -ιοι-ι t/111 -ιf/1'17 4Οι4ο t' t/' *i.~~ -ι Μ [tm} Σχ. 1. Αριθμητικό παράδειγμ α α) Σύστημα φορέων, β)σεισμικό εδαφικό μετακινησιογράφημα, γ)διάγραμμα έντασηςπαραμόρ φωσης μονοπλεύρου συνδέσμου (ia,ib) δ)διάγραμμα ροπών -κα μπυλοτήτων υποστυλώματ ος ab. 162

6 απόσβεσης 5% χαι E=2.1*10 6 t/m 2 Για να αξιολογηθεί χαλύτερα η σεισμιχή αλλ ηλεπίδραση. θεωρούμε οτι τα ζυγώματα εί - ναι άχαμπτα χαι τα υπόλοιπα δομιχά στοιχεία ως γραμμιχώς ελαστιχά εχτός από τον μονόπλε υρο σύνδεσμο χαι το χρlσιμο υποστύλωμα ab. Για τα δυο τελευταία δομιχά στοιχεία προχύπτει οτι έχουν νόμους έντασης-παραμόρφωσης εχεlνους των σχ.1γ,δ σύμφωνα με τα προεχτεθέντα αφενός χαι τα περl διαγράμματος ροπών-χαμπυλοτήτων /9,10/ αφετέρου. +Ί3'1 Σχ. 2. Απολύτως μ έγ ιστες ροπές χάμψεως στύλου ab: α)χωρlς αλληλεπlδραση, β)με αλληλεπίδραση Απο τα αποτελέσματα ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν προφανώς εχείνα που αφορούν τοπιχά το υποστύλωμα ε μβολι - σμού ab του πλαισίου (Α) όταν αυτό θεωρείται, όπως συνήθω~ σαν γραμμιχά ελαστιχό. Στο σχ.2 φαίνονται οι απολύτως μέγιστες ροπές όταν αγνοείται χαι όταν λαμβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση. Η διαφορά μεταξύ των δυο περιπτώσεων είναι χαραχτηριστιχή. Λόγω της αλληλεπίδρασης, λοιπόν, στον πόδα a του υ ποστυλώματος δημιουργείται πλαστιχή άρθρωση. Από τα υπόλοιπα αποτελέσματα που αφορούν την συνολιχή απόχριση των φο ρέ ων ιδιαίτερη σημασία έχουν οι συντελεστές επ ιρροής πο υ ει σήχθησαν στην /1/. Αυτοί ορίζονται ως εξής Q~ - Q1:1.ι 1 λi u χ 100, (6) Qi όπου Qi είναι η απολύτως μέγιστη τιμή που λαμβάνει ένα μεγεθος Q στη θέση i χατα την διάρχεια της απόχρισης. Οι ανω 163

7 δείκτες c και u χαρακτηρίζουν την περίπτωση συζευγμένων και ασύζευκτων (δηλ. χωρίς αλληλεπίδραση) φορέων, αντίστο~ χα. Στον πίνακα 1 που ακολουθεί φαίνονται οι συντελεστές επιρροής νια τις τέμνουσες ορόφων των πλαισίων. ΠΙΝ. 1: Συντελεστές επιρροής αλληλεπίδρασης ΟΡΟΦΟΣ (Α) % % - - (Β) % % % % Παρατηρούμε οτι οι δυο κατώτεροι όροφοι του πλαισίου (Β) δεν επηρεάζονται σημαντικά (μικρή ελάφρυνση). Αντίθετα, οι δυο ανώτεροι όροφοι υφίστανται επιβάρυνση 40-55%. Αυτό οφείλεται μάλλον στο γεγονός ότι λόγω της αλληλεπίδρασης οι δυο ανώτεροι όροφοι εμφανίζουν και πρόσθετες (δευτερο - γενείς) ταλ~ντώσεις με μεγάλες συχνότητες. 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Η αριθμητική μέθοδος που παρουσιάσθηκε παρέχει μια δυνατότητα ποσοτικού προσδιορισμού της επιρροής της αλληλε - πίδρασης στην σεισμική απόκριση πολυορόφων κατασκευών μ ε άνισες στάθμες ορόφων. Οπως ήδη τονίσθηκε και στις προγε - νέστερες εργ,/1,2h ο προσδιορισμός αυτός μπορεί να χρησι - μοποιηθεί στην πράξη κατα πολλούς τρόπους, π.χ. πιο ρεαλιστικός σχεδιασμός γειτονικών κτιρίων, πιο σωστός έλεγχος (προσεισμικός ή μετασεισμικός) υφισταμένων κατασκευών, υ11>λονισμός επαρκών αντισεισμικών αρμών νια την μείωση των ε πιπτώσεων του σεισμικού σφυροκοπήματος κ.λπ. Η σημασία, όμως, του επαρκούς αντισεισμικού αρμού γl - νεται ακόμη μεγαλύτερη στην περίπτωση κατασκευών με άνισες στάθμες ορόφων. Η απουσία του αρμού στην περίπτωση αυτή, όπως αποδείχθηκε και στο αριθμητικό παράδειγμα, κατά κανόνα προκαλεί σοβαρές πρόσθετες τοπικές επιβαρύνσεις στα δομικά στοιχεία της διεπιφάνειας αλληλεπίδρασης με αποτέλεσμα την υπερκατάπόνηση ή/και την αστοχία-τους ακόμη. Μια αριθμητική εκτίμηση των επιβαρύνσεων αυτών επιτυγχάνεται με τη μέθοδο που παρουσιάσθηκε και εφαρμόσθηκε εδώ. 164

8 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. ΛΙΩΛΙΟΣ, Α., "Μια αριθμητική συγκριτική μελέτη της σημασlας του αντ ισ εισμικού αρμού και της επιρροής των δυνά μ εων ελαστοπλαστικής μονόπλευρης επαφής στη σεισμική απόκριση γειτονικών φορέων με Lδιες στάθμες ορόφων" Συν. ΣΠΜΕ Σεισμοί και Κατασκευές, ,Αθήνα, ΛΙΩΛΙΟΣ, Α., "Μια αριθμητική επlλυση του προβλήματος της μονόπλευρης επαφής με τριβή κατα την σεισμική αλ - ληλεπlδραση παρακειμένων ασύμμετρων κατασκευών από σκυρόδεμα", 80 Ελλ. Συν. Σκυρ., Τόμ.ΙΙ, ,Ξάνθη, ANAGNOSTOPOULOS, S.A.,"Pounding of Buildings in Series during Earthq u ak~s", Earthq. Engn.Struct. Dyn., νοl.16, , ΠΕΝΕΛΗΣ,Γ.; ΑθΑΝΑΣΙΑΔΟΥ,Χ.,"Αλληλεπίδραση ελαστικών και ανελαστικών συστημάτων σε σεισμό", 7ο Ελλ. Συν. Σκυρ., Τόμ. Ι, , Πάτρα, ΣΥΡΜΑΚΕΖΗΣ, Κ.Α.,"Πρόσκρουση οχήματος σε κτίριο απο ο πλισμένο σκυρόδεμα", 60 Ελλ. Συν. Σκυρ., Τόμ. Ι, , Γιάννενα, PANAGIOTOPOULOS, Ρ.D., ''Inequality Problems in Mechani~s and Applications", Birkhauser, Basel, ΒΑΤΗΕ, Κ.-1.;.WILSON, E. L.,"Numerical Methods in Finite Element Analysis", Prentice-Hall, New Jersey, LIOLIOS, Α.Α.,"Α Linear Complementarity Approach for the Signorini Problem with Friction", ΖΑΜΜ, νοl. 66, Τ , ΤΑΣΙΟΣ, Α.Π.,"Μαθήματα Ωπλισμένου Π., Αθήνα, Σκυροδέματος", Ε.Μ. 10. ΚΑΛΕΥΡΑΣ, Β.,"Μαθήματα Ωπλισμένου Σκυροδέματος", Ι, Κεφ. Α-Δ, Ξάνθη, Τόμ. 11. ΚΑΛΕΥΡΑΣ, Β.,"Μεθοδολογlα κα ι κριτήρια προσεισμικού ε λέγχου κατασκευών", Συν. ΣΠΜΕ ΣεισμοL και Κατασκευές, , Αθήνα, ΚΑΡΥΔΗΣ, Π.,"Εκθεση στοιχείων νια τους σεισμούς του ελλαδικού χώρου", Συν. ΣΠΜΕ Σεισμοί και Κατασκευές, , Αθήνα, ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΔΗΣ, Κ.,"Αντισε ι σμ ι κές Κατασκευές Ι",'Εκδοση: Computer Technics, Βιβλ. Π. Ζήτη, Θεσσαλονίκη, ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ, Α.,Εισήγηση στο σεμινάριο του τοπικού τμήτος Σ. Π. Μ. Ε. Αχαtας νια τις "Πρόσθετες Διατάξεις του Αντισεισμικού Κανονισμού", Δελτίο ΣΠΜΕ, Τεύχος 173, 21-37, ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΔΗΣ, Κ.,"Δυναμική των Κατασκευών", Τόμοι Ι,ΙΙ θ ε σσαλον ί κ η, ΜΠΑ ΪΡΑΚΤΑΡΗΣ, Δ.,"Η ανάλυση των φορέων ν ι α σε ι σ μ ική φόρτ ιση ", Συν. Σεισ μ οί και Κατασκ., ,Αθήνα