Δυναμική Μηχανών I. Προσέγγιση Galerkin

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I 8 2 Προσέγγιση Galerkin Χειμερινό Εξάμηνο 214 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, ΕΜΠ Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D.

2 215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

3 Περιεχόμενα Γενική Ιδέα Προσεγγιστικών Λύσεων ΜΔΕ Προσέγγιση Galerkin Παράδειγμα

4 Γενική Ιδέα Προσεγγιστικών Λύσεων ΜΔΕ

5 Επανάληψη: Αναλυτική Επίλυση ΜΔΕ Σε 1D προβλήματα, η απόκριση q x, t είναι επαλληλία των ιδιομορφών n Χ(x) μέσω των συντελεστών συνεισφοράς η n (t): q x, t = n=1 n Χ(x) η n (t) H απόκριση υπολογίζεται λύνοντας μια σειρά από ΣΔΕ 2 ης τάξης, κάθε μια από τις οποίες παρέχει την απόκριση η n (t) Επιπλέον, συνήθως, η απόκριση q x, t κυριαρχείται από λίγες ιδιομορφές που αντιστοιχούν στις πιο αργές ιδιοσυχνότητες q x, t N r n=1 n Χ(x) η n (t)

6 Ανάγκη Για Αριθμητικές Λύσεις Δυστυχώς, οι ιδιομορφές n Χ(r) μπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά μόνο για πολύ απλά μοντέλα (1D, 2D) Χρειαζόμαστε αριθμητικές λύσεις! Η βασική ιδέα των προσεγγιστικών μεθόδων (Galerkin) θα περιγραφεί σε 1D μοντέλα Η μέθοδος Galerkin θα επεκταθεί στην μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (finete element method) Πιο γενική και χρήσιμη μέθοδος, εφαρμόζεται σε συστήματα 1D, 2D, 3D πολύπλοκης γεωμετρίας και ιδιοτήτων υλικών

7 Λύση ΜΔΕ σε απλές γεωμετρίες Προσέγγιση Galerkin

8 Μέθοδος Galerkin σε 1D Προβλήματα Βασική ιδέα: η απόκριση q x, t της ΜΔΕ προσεγγίζονται χρησιμοποιώντας συναρτήσεις προσέγγισης n Χ(x) ως: q x, t Ν n=1 n Χ(x) η n (t) Ισοδύναμα, σε μητρωϊκή μορφή: q x, t X(x) T η(t) X x = 1 Χ(x) N Χ(x), η t = η 1 (t) η N (t) Διάνυσμα συναρτήσεων προσέγγισης Διάνυσμα απόκρισης ιδιομορφών Το διάνυσμα η t είναι οι Β.Ε. ενός νέου μοντέλου διακριτών Β.Ε. που προσεγγίζει το σύστημα συνεχούς μέσου

9 Μέθοδος Galerkin σε 1D Προβλήματα Συναρτήσεις Προσέγγισης n Χ(x): Πρέπει να ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες του προβλήματος Πρέπει να είναι πλήρεις και ανεξάρτητες μεταξύ τους Πολυωνυμικές Συναρτήσεις (τρίγωνο Pascal) Συναρτήσεις egendre Αρμονικές Συναρτήσεις Ιδεατά, προσεγγίζουν τις ιδιομορφές n Χ(x)

10 Μέθοδος Galerkin: Κινητική Ενέργεια Η κινητική ενέργεια Τ του συστήματος υπολογίζεται ως προς τους Β.Ε. η t Σε 1D μοντέλα (2 ης ή 4 ης τάξης) Τ = dt(x)dx = 1 = 1 2 ηt (t) 2 μ(x) y x, t 2 dx = 1 2 μ(x) X x X(x) T dx Το αντίστοιχο μητρώο αδράνειας είναι: Μ = μ(x) ( X(x) T μ(x) X x X(x) T dx Το στοιχείο M i,j του μητρώου αδράνειας Μ είναι: M i,j = μ(x) i Χ(x) η (t)) T X(x) T η(t) = 1 2 ηt (t) Μ j Χ(x)dx η(t) η(t)dx =

11 Μέθοδος Galerkin: Δυναμική Ενέργεια Σε 1D προβλήματα 2 ης τάξης, για τον υπολογισμό της δυναμικής ενέργειας χρειάζεται η παράγωγος q x, t, η οποία εκφράζεται ως: q x, t Ν n=1 n Χ(x) η n (t) q x, t Ν n=1 q x, t b(x) T η(t) d dx ( n Χ(x)) η n (t) Οπότε τα στοιχεία του b x είναι οι παράγωγοι των στοιχείων του X x b x = d dx ( 1 Χ x ) d dx ( N Χ x )

12 Μέθοδος Galerkin: Δυναμική Ενέργεια Η δυναμική ενέργεια U του συστήματος μπορεί να υπολογιστεί ως μια τετραγωνική μορφή του η t Σε 1D μοντέλα 2 ης τάξης U = dv(x)dx = 1 = 1 2 ηt (t) 2 κ(x)y x, t 2 dx = 1 2 Το αντίστοιχο μητρώο ελαστικότητας Κ είναι: κ(x) ( b(x) T η(t)) T b(x) T η(t)dx = κ(x) b x b(x) T dx η(t) = 1 2 ηt (t) Κ η(t) Κ = κ(x) b x b(x) T dx Το στοιχείο Κ i,j του μητρώου ελαστικότητας Κ είναι: Κ i,j = κ(x) i Χ x j Χ x dx

13 Μέθοδος Galerkin: Δυναμική Ενέργεια Αντίστοιχα, σε 1D προβλήματα 4 ης τάξης, για τον υπολογισμό της δυναμικής ενέργειας χρειάζεται η παράγωγος q x, t, η οποία εκφράζεται ως: q x, t b(x) T η(t) d 2 dx b x = 2 ( 1 Χ x ) d 2 dx 2 ( N Χ x ) Το αντίστοιχο μητρώο ελαστικότητας είναι πάλι Κ = κ(x) b x b(x) T dx Τώρα όμως το διάνυσμα b x περιέχει τις δεύτερες παραγώγους των n Χ x

14 Μέθοδος Galerkin: Δυνατό Έργο Οι γενικευμένες δυνάμεις ξ που αντιστοιχούν στους Β.Ε. η(t) υπολογίζονται από το δυνατό έργο λόγω των εξωτερικών διεγέρσεων f x, t, το οποίο υπολογίζεται ως Οπότε δw = δq(x, t) f x, t dx = δw = δη(t) T ξ = δη(t) T X x f x, t dx X x f x, t dx = δη(t) T ξ X x f x, t dx

15 Μέθοδος Galerkin: Αρχικές Συνθήκες Οι αρχικές συνθήκες η() δεν μπορούν να προκύψουν απλά από την y x, X(x) T η() Δεν είναι δυνατών να βρεθούν Ν στοιχεία η() που να ικανοποιούν την σχέση αυτή για κάθε x Τα η() υπολογίζονται με βάση αρχικές συνθήκες σε Ν σημεία: Παρόμοια, τα X(x 1 ) T X(x Ν ) T η = q x 1, q x Ν, η() υπολογίζονται από τα ίδια σημεία: X(x 1 ) T X(x Ν ) T η() = q x 1, q x Ν,

16 Μέθοδος Galerkin Συμπερασματικά, η δυναμική του συστήματος 2 ης τάξης μ 2 q t 2 x q κ x = f x, t Προσεγγίζεται μέσω της μεθόδου Galerkin ως q x, t Ν n=1 n Χ x η n t = X(x) T η(t) Όπου η απόκριση των Ν Β.Ε. η t υπολογίζεται από ένα σύστημα Ν ΣΔΕ: Μ η t + Κ η t = ξ Τα μητρώα Μ, Κ, οι γενικευμένες δυνάμεις ξ και οι αρχικές συνθήκες η, η υπολογίστηκαν στα προηγούμενα slides

17 Μέθοδος Galerkin: Ειδική Περίπτωση Η q x, t εκφράζεται μέσω των μετατοπίσεων n q t = q x n, t σε Ν επιλεγμένα σημεία x n μέσω συναρτήσεων προσέγγισης που ονομάζονται συναρτήσεις μορφής n Ν x q x, t Ν n=1 n x = n Ν x q x n, t 1 Ν x Ν Ν x Ν n=1 n Ν x n q t = n(x) T q(t), q t = n q(t) N q(t) Ιδιότητες συναρτήσεων μορφής: n Ν x 1 n Ν x m =, n m 1, n = m

18 Προσέγγιση Galerkin Συμπερασματικά, η δυναμική απόκριση q x, t ενός 1D ελαστικού συστήματος συνεχούς μέσου προσεγγίζεται ως q x, t n(x) T q(t) όπου q t είναι η απόκριση της κατασκευής σε Ν επιλεγμένα σημεία, η οποία υπολογίζεται από την απόκριση ενός συστήματος Ν ΣΔΕ: Μ q t + Κ q t = ξ Η μέθοδος εφαρμόζεται πρακτικά μόνο σε 1D προβλήματα. Σε πολύπλοκες 3D κατασκευές είναι δύσκολο να βρεθούν κατάλληλες συναρτήσεις μορφής n(x) για όλη την κατασκευή επόμενο βήμα: μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων

19 Παράδειγμα Θέμα Νοεμβρίου 213

20

21 Λύση: Προσέγγιση Galerkin Η εγάρσια μετατόπιση w(x, t) κάθε σημείου στην δοκό εκφράζεται ως συνάρτηση της μετατόπισης w t = w, t στην άκρη της δοκού w x, t = Ν x w, t = Ν x w t μέσω της συνάρτησης μορφής Ν x = 1 cos( π 2 x) Οι χρονικές και χωρικές παράγωγοι υπολογίζονται ως: w x, t = Ν x w t w x, t = N x w t = π 2 sin( π 2 x) w t w x, t = N x w t = ( π 2 )2 cos( π 2 x) w t

22 Λύση: Κινητική Ενέργεια Τ = Τ Μ + Τ δοκος = 1 2 M w 2 + = 1 2 M w ρα(ν x 1 2 ρα w(x, t)2 dx = w t ) 2 dx = = 1 2 M + ρα Ν x 2 dx w 2 = 1 M +.227ρΑ 2 Επομένως το μητρώο αδράνειας του συστήματος ως προς τον Β.Ε. w t είναι: m = M +.227ρΑ w 2

23 Σχόλιο Λύση: Κινητική Ενέργεια Ενώ η συνολική μάζα της δοκού είναι ρα, η αδράνεια της δοκού ως προς την εγκάρσια κίνηση w t είναι μόλις.227ρα. Ο λόγος είναι ότι η εγκάρσια ταχύτητα της δοκού κοντά στην πάκτωση είναι πάντα μικρότερη από την ταχύτητα w t κοντά στο ελεύθερο άκρο.

24 Λύση: Δυναμική Ενέργεια Το ελατήριο σταθεράς k στην θέση x = /2 ονομάζεται k 1 Τα τρία ελατήρια στην θέση x = (δύο ελατήρια σταθεράς k στην σειρά, το ισοδύναμο των οποίων είναι παράλληλα με ένα ελατήριο σταθεράς k) αντικαθιστώνται από το ισοδύναμο k 23 = k +.5k = 1.5k Δυναμική ενέργεια: U = U k1 + U k23 + U δοκος = 1 2 k 1(w( 2, t)) k 23(w(, t)) EI(w (x, t)) 2 dx

25 Λύση: Δυναμική Ενέργεια U = 1 2 k(n( 2 )w t ) k 2 (w t ) EI(N (x)w t ) 2 dx = = 1 2 k(.293w t ) kw t EI N (x) 2 dx w t 2 = = 1 EIπ4.858k + 1.5k w t 2 = 1 EI 1.586k w t 2 Επομένως το μητρώο ελαστικότητας του συστήματος ως προς τον Β.Ε. w t είναι: k = 1.586k EI 3

26 Σχόλια Λύση: Δυναμική Ενέργεια Το ελατήριο k 1 συνεισφέρει πολύ λιγότερο στην δυναμική ενέργεια συγκριτικά με τα k 23 λόγω του πολύ μικρότερου εύρους κίνησης του (μόλις το N =.293) συγκρητικά με την w 2 t Από την μηχανική του παραμορφώσιμου στερεού, η παραμόρφωση στο ελεύθερο άκρο ενός πακτωμένου δοκού (, E, I) στο οποίο ασκείται δύναμη F (στο ελεύθερο άκρο) είναι δ = 3 3EI F. Αυτό αντιστοιχεί σε ένα καμπτικό ελατήριο σταθεράς k = 3ΕΙ 3. Παρατηρούμε ότι αυτό είναι πολύ κοντά στην σταθερά ελατηρίου που υπολογίστηκε παραπάνω (3.4 EI 3)

27 Λύση: Δυναμικές Εξισώσεις Επειδή δεν υπάρχουν εξωτερικές διεγέρσεις ή δυνάμεις απόσβεσης, το γενικευμένο έργο είναι μηδέν ξ = Μέσω της μεθόδου agrange, η δυναμική εξίσωση του συστήματος ως προς τον Β.Ε. w (t) είναι: t w + U t = ξ m w (t) + k w (t) = H δυναμική εξίσωση του συστήματος είναι μια ΣΔΕ 2 ης ταξης H φυσική κυκλική συχνότητα του συστήματος είναι: ω = k m = 1.586k EI 3 M +.227ρΑ

28 Επέκταση: Εξωτερική Διέγερση Έστω ότι στην δοκό ασκείται εξωτερική διέγερση f 1 (t) στην θέση x =.75, και f 2 (t) στην θέση x =. Να υπολογιστεί η επακόλουθη γενικευμένη δύναμη ως προς τον Β.Ε. w Λύση Η εγκάρσια κίνηση στα σημεία όπου ασκούνται οι δυνάμεις f 1 (t) και f 2 (t) είναι: w x f1, t = Ν.75 w t =.62 w t w x f2, t = Ν w t = w t Το αντίστοιχο γενικευμένο έργο είναι: δw =.62 δw t f 1 t + δw t f 2 t = = δw t (.62 f 1 t + f 2 t )

29 Επέκταση: Εξωτερική Διέγερση Οι αντίστοιχες γενικευμένες δυνάμεις είναι: ξ =.62 f 1 t +f 2 t Και οι δυναμικές εξισώσεις του συστήματος ως προς τον Β.Ε. w (t) είναι: m w (t) + k w (t) =.62 f 1 t +f 2 t