ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Τομέας Φυσικής Στερεάς Κατάστασης Συμπύκνωση κατά Bose Einstein Θεωρία και πρώτη παρατήρηση Τσίντζης Αθανάσιος Επιβλέπων καθηγητής: Φράγκης Νικόλαος

2 Εισαγωγή Η παρούσα εργασία αποτελεί μία σχετικά σύντομη θεωρητική εισαγωγή στο αντικείμενο της συμπύκνωσης κατά Bose Einstein, τόσο ως προς την κατανόηση των φυσικών διεργασιών που λαμβάνουν χώρα στα μποζονικά αέρια χαμηλής πυκνότητας και θερμοκρασίας, όσο και ως προς την κατανόηση των πειραματικών τεχνικών που χρησιμοποιήθηκαν για την επίτευξη του συμπυκνώματος. Η αρχική πρόβλεψη είχε γίνει από το 195 (S. N. Bose, A. Einstein) και η πειραματική επιβεβαίωση ήρθε 70 χρόνια μετά ( Cornell, Wieman κ.α.), χάρη στη χρήση της ψύξης ατομικών δειγμάτων με laser, η οποία αναπτύχθηκε τη δεκαετία του 1980 και με την οποία οι ερευνητές πέτυχαν απίστευτες χαμηλές θερμοκρασίες, ωστόσο όχι αρκετά χαμηλές για τη δημιουργία συμπυκνώματος. Κομβικό σημείο για την επίτευξη του πρώτου συμπυκνώματος αποτέλεσε η χρησιμοποίηση της ψύξης με εξάτμιση (evaporative cooling), τεχνική η οποία σήμερα είναι αναπόσπαστο μέρος κάθε πειράματος με σκοπό τη δημιουργία και μελέτη συμπυκνωμάτων. Στο πρώτο κεφάλαιο χρησιμοποιούμε στατιστικές μεθόδους μελετώντας το ιδανικό αέριο μποζονίων σε χαμηλές θερμοκρασίες, μελέτη που οδήγησε και στην αρχική πρόβλεψη. Στη συνέχεια θεωρήθηκε απαραίτητη μία σύντομη περιγραφή στις ατομικές ιδιότητες κυρίως των αλκαλικών ατόμων, καθώς το ατομικό δείγμα στο οποίο παρατηρήθηκε πρώτη φορά το συμπύκνωμα αποτελούνταν από άτομα ρουβιδίου-87. Τις ιδιότητες που περιγράφονται στο κεφάλαιο εκμεταλλεύονται η ψύξη με laser (κεφάλαιο 3), οι διαφόρων ειδών παγίδες (κεφάλαια 4,5) και η ψύξη με εξάτμιση (κεφάλαιο 6). Στο έβδομο κεφάλαιο έχουμε μία λεπτομερή περιγραφή της πειραματικής διάταξης του πρώτου πειράματος που πέτυχε να δημιουργήσει συμπύκνωμα καθώς και της ακριβούς διαδικασίας μετάβασης του ατομικού δείγματος από τη θερμοκρασία δωματίου στην εξαιρετικά χαμηλή θερμοκρασία των 170 nk. Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Φράγκη Νικόλαο, αρχικά για την επιλογή του θέματος της εργασίας, αλλά και για τις κατευθύνσεις και διορθώσεις κατά τη διάρκεια εκπόνησης της, χωρίς τη συμβολή του οποίου η ολοκλήρωση της δε θα ήταν δυνατή. i

3 ii

4 Περιεχόμενα Εισαγωγή Περιεχόμενα 1 Το ιδανικό αέριο μποζονίων 1 1.α Ποσοστό του συμπυκνώματος 1.β Η πυκνότητα του χώρου φάσεων. 3 1.γ Το ιδανικό αέριο μποζονίων σε δυναμικό τρισδιάστατου ανισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή. 5 1.δ Αριθμητική πυκνότητα και κατανομή ταχυτήτων. 6 1.ε Θερμοδυναμικές μεταβλητές και ασυνέχειά τους στο σημείο της κρίσιμης θερμοκρασίας ε.1 Κάτω από την κρίσιμη θερμοκρασία ε. Πάνω από την κρίσιμη θερμοκρασία ε.3 Ασυνέχεια στην κρίσιμη θερμοκρασία. 1 1.στ Διορθώσεις λόγω του πεπερασμένου αριθμού σωματιδίων. 13 Ατομικές ιδιότητες 14.α Ατομική δομή 14.β Το φαινόμενο Zeeman Ψύξη με laser 18 3.α Μεταφορά ορμής μεταξύ φωτονίων και ατόμων 18 3.β Ψύξη Doppler και οπτικές λαβίδες γ Το όριο της ψύξης Doppler 3.δ Ψύξη κάτω από το όριο Doppler δ.1 Ενεργειακές μετατοπίσεις (light shifts). 4 3.δ. Γραμμική Γραμμική πόλωση 5 iii

5 3.δ.3 Πόλωση σ+ σ Μαγνητικές παγίδες 33 4.α Η τετραπολική παγίδα (quadrupole trap) 34 4.β Η παγίδα ΤΟΡ Η μαγνητοοπτική παγίδα (ΜΟΤ) α Εισαγωγή β Ψύξη και παγίδευση ατόμων σε μία ΜΟΤ γ Η dark-spot. 4 6 Ψύξη με εξάτμιση (evaporative cooling) H πρώτη παρατήρηση BEC 49 7.α Ευνοϊκά στοιχεία των αλκαλικών ατόμων β Η πειραματική διάταξη γ Η διαδικασία ψύξης από τη θερμοκρασία δωματίου μέχρι τη θερμοκρασία BEC δ Ανάλυση των αποτελεσμάτων 5 7.ε Συμπύκνωση κατά Bose Enstein ατόμων Νατρίου, Λιθίου και το Βραβείο Νόμπελ στ Συμπύκνωση κατά Bose Einstein φωτονίων. 56 Βιβλιογραφία 59 iv

6 1. Το ιδανικό αέριο μποζονίων Για μη αλληλεπιδρώντα μποζόνια σε θερμοδυναμική ισορροπία, οι μέσοι αριθμοί κατάληψης των ενεργειακών καταστάσεων δίνονται από τη σχέση: f 0 1 ( εν ) = ν exp[( ε µ ) / kt] 1 B (1.1) όπου ε ν η ενέργεια της ενεργειακής κατάστασης ν, μ το χημικό δυναμικό, k B η σταθερα Boltzmann και Τ η απόλυτη θερμοκρασία. Ο συνολικός αριθμός των σωματιδίων θα είναι: N = f 0 ( εν ) (1.) ν Οι μέσοι αριθμοί κατάληψης πρέπει να είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι με το μηδέν. Από αυτό συνεπάγεται ότι πρέπει πάντα να είναι ε ν >μ. Αν επιλέξουμε για την θεμελιώδη κατάσταση ε 1 =0, συνεπάγεται ότι μ<0 και επομένως το χημικό δυναμικό θα είναι πάντα αρνητικό. Επειδή τα διαστήματα μεταξύ των ενεργειακών σταθμών είναι μικρά και ο αριθμος των καταστάσεων μεγάλος, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το άθροισμα της εξίσωσης (1.) με ένα ολοκλήρωμα πάνω σε όλες τις τιμές της ενέργειας στο διάστημα απο μηδέν έως άπειρο. Αν η πυκνότητα των ενεργειακών καταστάσεων είναι g(ε), τότε στο στοιχειώδες ενεργειακό διάστημα dε θα έχουμε g(ε) dε καταστάσεις. Για πυκνότητα καταστάσεων g( ε) V π ( m) h 3/ = 1/ ε 3 (1.3) όπου V ο όγκος που διατίθεται στο αέριο, m η μάζα των μποζονίων και h η σταθερά του Planck, η εξίσωση (1.) γίνεται: N π( m) ε dε (1.4) exp[( ) / ] 1 3/ 1/ = 3 V h 0 ε µ kt B Αν μειώσουμε τη θερμοκρασία κρατώντας σταθερή την πυκνότητα n=n/v, το δεύτερο μέλος της (1.4) θα πρέπει να είναι σταθερό όπως και το πρώτο, οπότε θα πρέπει να έχουμε αύξηση του μ. Η ανώτερη τιμή που μπορεί να πάρει το χημικό δυναμικό είναι μηδέν, οπότε μπορεί να οριστεί μια ελάχιστη θερμοκρασία Τ C, τέτοια ώστε, για T=T C να είναι μ=0. Η εξίσωση (1.4) ορίζει αυτή τη θερμοκρασία από τη σχέση: 1

7 N π( m) = 3/ 1/ 3 V h 0 kt B C ε dε (1.5) exp[ ε / ] 1 Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος θέτουμε ως μεταβλητή ολοκλήρωσης την x=ε/k B T C οπότε έχουμε 3/ 1/ B C x 0 x π mk T N = V dx h (1.6) π e 1 Το ολοκλήρωμα της σχέσης (6) υπολογίζεται με βάση το γενικό τύπο: α 1 x dx = Γ( αζα ) ( ) 0 x (1.7) e 1 για α=3/. Εδώ Γ(α) είναι η συνάρτηση γάμμα για την οποία ισχύει Γ (3/) = ( 1/) π a και ζ( α) = n είναι η συνάρτηση ζήτα του Riemann, για την οποία n= 1 ζ (3 / ).61. Αντικαθιστώντας τις τιμές, έχουμε για την T C : kt B C n 3.31 m /3 (1.8) 1.α Ποσοστό του συμπυκνώματος Υπάρχει όμως κάτι που δεν πάει καλά με το επιχείρημα που λέει ότι υπάρχει μια θερμοκρασία Τ C κάτω από την οποία το αέριο μποζονίων δεν μπορεί να ψυχθεί υπό σταθερή πυκνότητα. Η εξίσωση (1.4) ισχύει μόνο για T T, για C T < T θα πρέπει να C τροποποιηθεί. Το πρόβλημα προέρχεται από την αντικατάσταση του αθροίσματος (1.) με το ολοκλήρωμα (1.4). Όταν η θερμοκρασία πέσει αρκετά, τα σωματίδια αρχίζουν να συνωστίζονται στη θεμελιώδη κατάσταση (ε 1 =0), στην οποία, λόγω του παράγοντα ε 1/ στο ολοκλήρωμα της (1.4), έχει δοθεί μηδενικό βάρος. Σε υψηλότερες θερμοκρασίες το πρόβλημα δεν υπάρχει γιατί για τους μέσους αριθμούς κατάληψης ισχύει γενικά f 0 (ε ν )<<1. Σε χαμηλότερες όμως θερμοκρασίες δεν μπορούμε να παραλείπουμε την κατάσταση αυτή, γιατί περιέχει σημαντικό αριθμό σωματιδίων. Επομένως, αντικαθιστώντας το άθροισμα (1.) με ολοκλήρωμα, πρέπει σαφώς να κρατάμε τον πρώτο όρο και να αντικαθιστούμε τους υπόλοιπους όρους με ένα ολοκλήρωμα. Αντί της (1.4) θα πρέπει να γράψουμε Ν=Ν 1 +Ν ε>0, όπου N = f ( ε ) = [exp( µ / kt) 1] (1.9) B είναι ο αριθμός των σωματιδίων με ενέργεια ε=0 και ορμή p=0, και

8 3/ 1/ π( m) ε Nε > 0 = V d 3 h ε (1.10) 0 exp[( ε µ ) / kt] 1 είναι ο αριθμός των σωματιδίων με ενέργεια και ορμή μη μηδενικές. Πάνω από τη θερμοκρασία Τ C ο αριθμός των σωματιδίων στη θεμελιώδη κατάσταση είναι αμελητέος, οπότε ο όρος N 1 μπορεί να παραλειφθεί και το χημικό δυναμικό δίνεται από την αρχική εξίσωση (1.4). Κάτω από τη θερμοκρασία Τ C το χημικό δυναμικό παραμένει πολύ κοντά στο μηδέν, οπότε ο αριθμός σωματιδίων με μη μηδενική ενέργεια δίνεται από την εξίσωση (1.10) για μ=0. Υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα και με χρήση της (1.8), θα έχουμε: ( ) 3/ 0 / C B C Nε > = N T T (1.11) Η έκφραση αυτή δίνει το ποσοστό των σωματιδίων N ε>0 /Ν σε καταστάσεις με ενέργεια ε>0. Τα υπόλοιπα σωματίδια, ποσοστό δηλαδή ( ) 3/ βρίσκονται στη θεμελιώδη ενεργειακή κατάσταση. N / 1 / 1 N = T TC (1.1) Από τις σχέσεις (1.11) - (1.1) φαίνεται πως για Τ>Τ C ο αριθμός σωματιδίων στη θεμελιώδη κατάσταση είναι αμελητέος. Καθώς το Τ πέφτει κάτω από Τ C, ο αριθμός αυτών των σωματιδίων αυξάνει ταχέως. Τα σωματίδια αυτά έχουν ενέργεια και ορμή ίσες με μηδέν και επειδή έχουν ορμή μηδέν, ούτε στην πίεση συνεισφέρουν, ούτε εσωτερική τριβή έχουν, καθώς πίεση και τριβή συνδέονται με μεταβιβάσεις ορμής. Η διαδικασία συγκέντρωσης σωματιδίων στη μηδενικής ενέργειας θεμελιώδη κατάσταση είναι γνωστή ως συμπύκνωση κατά Bose-Einstein. Αέριο μποζονίων σε θερμοκρασίες χαμηλότερες από Τ C λέμε ότι είναι εκφυλισμένο. Η θερμοκρασία Τ C είναι γνωστή σαν θερμοκρασία εκφυλισμού ή θερμοκρασία συμπύκνωσης. 1.β Η πυκνότητα του χώρου φάσεων Ένας ισοδύναμος τρόπος για να συνδέσουμε την Τ C με την αριθμητική πυκνότητα n=n/v των σωματιδίων, είναι να συγκρίνουμε το θερμικό μήκος κύματος De Broglie λ Τ με τη μέση ενδοατομική απόσταση, που είναι της τάξης του n 1/3. Το θερμικό μήκος κύματος De Broglie ορίζεται από τη σχέση: π λt = mkbt 1/ (1.13) 3

9 Στη σχέση αυτή φτάνουμε χρησιμοποιώντας τον ορισμό του μήκους κύματος De Broglie λ Τ =h/p, όπου p η ορμή του σωματιδίου, σε συνδυασμό με τις σχέσεις E K =p /m και E K =πk B T. Η τελευταία σχέση δίνει τη μέση κινητική ενέργεια των σωματιδίων σε ένα κβαντικό ιδανικό αέριο. Σε υψηλές θερμοκρασίες το λ Τ είναι μικρό και το αέριο συμπεριφέρεται κλασικά. Η συμπύκνωση κατά Bose-Einstein συμβαίνει όταν η θερμοκρασία είναι τόσο μικρή ώστε το λ Τ να είναι συγκρίσιμο με το n 1/3. Για τα αλκαλικά άτομα (π.χ. Li, Rb) οι πυκνότητες που έχουν επιτευχθεί κυμαίνονται από cm -3 σε παλαιότερα πειράματα έως cm -3 σε πιο πρόσφατα, πυκνότητες που υπονοούν θερμοκρασίες συμπύκνωσης από 100 nk έως μερικά μk. Είναι χρήσιμο εδώ να εισάγουμε την πυκνότητα χώρου φάσεων ρ ps, ένα αδιάστατο μέγεθος που ορίζεται ως ο αριθμός των σωματιδίων που περιέχονται σε όγκο ίσο με το λ Τ 3 : ρ ps 3 π = nλt = n mk B T 3/ (1.14) Στις τρείς διαστάσεις αντιστοιχεί όγκος 3 ( π ) σε κάθε κβαντική κατάσταση στο χώρο των φάσεων. Η περιοχή στο χώρο των ορμών στην οποία το μέτρο της ορμής είναι μικρότερο απο p έχει όγκο τον όγκο σφαίρας με ακτίνα p, (4πp 3 /3), και λόγω της σχέσης ε=p /m, ο συνολικός αριθμός καταστάσεων με ενέργεια μικρότερη απο ε είναι: 4 π ( mε) ( mε) G( ε ) = V = V ( π ) 3π 3/ 1/ 3/ (1.15) όπου V είναι ο όγκος του συστήματος. Αν το αέριο είναι κλασικό η πυκνότητα του χώρου φάσεων (1.14) είναι ένα μέτρο της μέσης κατάληψης των ενεργειακών καταστάσεων. Η πλειοψηφία των κατειλημμένων καταστάσεων έχουν ενέργειες της τάξης του k B T ή και μικρότερες, οπότε, ο αριθμός των καταστάσεων που είναι κατειλημμένες σημαντικά στη μονάδα του όγκου είναι ίδιας τάξης μεγέθους με το συνολικό αριθμό καταστάσεων με ενέργειες μικρότερες από k B T στη μονάδα του όγκου, που είναι περίπου 3/ ( mkbt / ) σύμφωνα με τη σχέση (1.15). Η πυκνότητα του χώρου φάσεων είναι επομένως ο λόγος της αριθμητικής πυκνότητας των σωματιδίων προς τον αριθμό των σημαντικά κατειλημμένων καταστάσεων στη μονάδα του όγκου. Σύμφωνα με τη σχέση (1.8) η BEC συμβαίνει όταν ρps = ζ(3 / ).61. Το κριτήριο ότι η ρ ps πρέπει να είναι περίπου μονάδα υποδεικνύει ότι για τη συμπύκνωση απαιτούνται χαμηλές θερμοκρασίες και υψηλές πυκνότητες. 4

10 1.γ Το ιδανικό αέριο μποζονίων σε δυναμικό τρισδιάστατου ανισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή Σε όλα τα πειράματα στα οποία έχει επιτευχθεί BEC, τα αέρια ήταν παγιδευμένα σε μαγνητικές παγίδες στις οποίες θα αναφερθούμε στη συνέχεια. Οι παγίδες αυτές περιορίζουν τα άτομα των αερίων με δυναμικό τρισδιάστατου ανισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή. Οι υπολογισμοί που έγιναν παραπάνω θεωρούσαν το αέριο ελεύθερο. Είναι επομένως σκόπιμο να δούμε πως επηρεάζονται τα μεγέθη που υπολογίστηκαν (θερμοκρασία συμπύκνωσης, πυκνότητα καταστάσεων, κ.α.), λόγω του περιορισμού στο συγκεκριμένο δυναμικό. Ας θεωρήσουμε λοιπόν ένα σωματίδιο στο δυναμικό: 1 V r m x y z ( ) = ( ωx + ωy + ωz ) (1.16) όπου ω i είναι οι συχνότητες ταλάντωσης προς τις τρείς διευθύνσεις x,y,z. Οι ενεργειακές στάθμες είναι επομένως: ε( n, n, n ) = ( n + 1/ ) ω + ( n + 1/ ) ω + ( n + 1/ ) ω (1.17) x y z x x y y z z όπου τα n i παίρνουν όλες τις ακέραιες τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με μηδέν. Θα υπολογίσουμε τώρα τον αριθμό των καταστάσεων G trap (ε) με ενέργεια μικρότερη από μία συγκεκριμένη τιμή ε. Για ενέργειες μεγάλες συγκριτικά με το ω i, μπορούμε να θεωρήσουμε τα n i ως συνεχείς μεταβλητές και να παραβλέψουμε την ενέργεια μηδενικού σημείου. Εισάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων που ορίζεται από τις τρείς μεταβλητές εi = ωn i i, σύμφωνα με τις οποίες η επιφάνεια σταθερής ενέργειας ε δίνεται από τo επίπεδο ε=ε x +ε y +ε z. Το G trap (ε) θα είναι τότε ανάλογο του όγκου του πρώτου ογδοημορίου που φράσσεται από το επίπεδο: 3 1 ε ε εx ε εx εy ε 3 0 x 0 y 0 z 3 ωωω x y z 6 ωωω x y z G( ε) = dε dε dε = (1.18) Μία απειροστή μεταβολή του ορίου της ενέργειας dε θα έχει σαν αποτέλεσμα την απειροστή μεταβολή του αριθμού των καταστάσεων dg(ε), οπότε για την πυκνότητα καταστάσεων έχουμε: g( ε) = dg / dε = ε = C3ε ωωω 3 x y z (1.19) 5

11 Χρησιμοποιώντας την (1.19) ως πυκνότητα καταστάσεων, επαναλαμβάνουμε τους υπολογισμούς της προηγούμενης παραγράφου. Όταν ο αριθμός των σωματιδίων είναι αρκετά μεγάλος, μπορούμε να παραβλέψουμε την ενέργεια μηδενικού σημείου της (1.17) και να εξισώσουμε την ελάχιστη ενέργεια με το ελάχιστο του δυναμικού, που είναι μηδέν. Σε επόμενη παράγραφο θα κάνουμε διορθώσεις στη θερμοκρασία συμπύκνωσης για μη μηδενική ελάχιστη ενέργεια. Οι πράξεις είναι παρόμοιες και απλά παραθέτουμε τα αποτελέσματα: Θερμοκρασία συμπύκνωσης kt B C 1/3 N = [ C Γ(3) ζ (3)] 3 1/3 (1.0) Ποσοστό συμπυκνώματος N N ( T T ) 3 με Γ(3)= και ζ (3) 1.0. / 1 / 1 = C (1.1) 1.δ Αριθμητική πυκνότητα και κατανομή ταχυτήτων Κβαντομηχανικά, η αριθμητική πυκνότητα μη αλληλεπιδρώντων μποζονίων δίνεται από τη σχέση nr ( ) = fν ϕν( r) ν (1.) όπου f v είναι ο αριθμός κατάληψης της κατάστασης ν, της οποίας η κυματοσυνάρτηση είναι η ϕν ( r ). Αυτή η περιγραφή περιπλέκει αρκετά τα πράγματα, καθώς απαιτεί τη γνώση των κυματοσυναρτήσεων ϕν ( r ). Μπορούμε όμως να έχουμε μια απλούστερη περιγραφή, με την προϋπόθεση ότι το μήκος κύματος De Broglie των σωματιδίων είναι μικρό συγκριτικά με τις αποστάσεις στις οποίες το δυναμικό της παγίδας μεταβάλλεται σημαντικά. Κλασικά, η κατάσταση ενός σωματιδίου είναι πλήρως καθορισμένη όταν είναι γνωστές η θέση και η ορμή του. Έτσι, οι στατιστικές ιδιότητες ενός αερίου μπορούν να εκφραστούν με μια συνάρτηση κατανομής που εξαρτάται από τη θέση και την ορμή. Σύμφωνα με την Αρχή της Αβεβαιότητας του Heisenberg η θέση και η ορμή ενός σωματιδίου δεν μπορούν να προσδιοριστούν με απεριόριστη ακρίβεια στην κβαντομηχανική, και μια τέτοια περιγραφή δεν είναι δυνατή. Στην περίπτωση όμως που οι ποσότητες οι οποίες μας ενδιαφέρουν δεν απαιτούν πληροφορίες για μήκη Δl και ορμές Δp που παραβιάζουν τη σχέση l p /, μπορούμε να περιγράψουμε το σύστημα πιο απλά, με μια ημι-κλασική συνάρτηση κατανομής ( f ) p r, η οποία δίνει το μέσο αριθμό κατάληψης μιας κβαντικής κατάστασης. Ημικλασικά, ο αριθμός των κβαντικών καταστάσεων στο στοιχειώδη όγκο του χώρου 6

12 φάσεων dpdr είναι 3 3 dpdr / ( π ), επομένως η ποσότητα ( ) f / ( ) p r dpdr π είναι ο μέσος αριθμός σωματιδίων στον όγκο dpdr. Η συνάρτηση κατανομής σε ισορροπία είναι f 0 1 p ( r) = (1.3) exp ( ε p( r) µ ) / kt B 1 Εδώ οι ενέργειες των σωματιδίων είναι οι ενέργειες κλασικών ελεύθερων σωματιδίων στο σημείο r, p ε p ( r) = + V( r) m (1.4) Η περιγραφή αυτή είναι κατάλληλη για τα σωματίδια στις διεγερμένες καταστάσεις, αλλά ακατάλληλη για τα σωματίδια του συμπυκνώματος, στο οποίο υπάρχουν χωρικές μεταβολές σε μήκη συγκρίσιμα με το χαρακτηριστικό μήκος στο οποίο το δυναμικό της παγίδας μεταβάλλεται σημαντικά. Επίσης, υπολογίζοντας ιδιότητες του συστήματος με ολοκλήρωση πάνω στις καταστάσεις ορμής, δεν λαμβάνεται κατάλληλα υπόψιν η συμπυκνωμένη κατάσταση, ενώ έχουμε ικανοποιητικά αποτελέσματα για τις ιδιότητες των διεγερμένων ατόμων. Αυτό που μας ενδιαφέρει κυρίως εδώ, είναι η ελεύθερη εκτόνωση του αερίου αφού σταματήσει να λειτουργεί η μαγνητική παγίδα. Για απλότητα, θα συγκρίνουμε τη συμπεριφορά του καθαρού συμπυκνώματος με τη συμπεριφορά ενός κλασικού αερίου σε υψηλές θερμοκρασίες ( T > T ). Η παρακάτω διαδικασία όμως μπορεί να C γενικευτεί και για T T. C Η κατανομή (1.3) είναι κατάλληλη για μποζόνια, στο κλασικό όριο όμως γίνεται ( ) 0 µ ε p r f p ( r) = exp exp kt B kt B (1.5) Αυτή είναι η αρχική κατανομή, όσο η μαγνητική παγίδα λειτουργεί ακόμα. Το αέριο αφήνεται να εκτονωθεί ελεύθερα και για κάθε σωματίδιο ισχύουν οι εξής εξισώσεις κίνησης dr / dt = p / m και dp / dt = 0 (1.6) Κατά την εκτόνωση, όταν δεν υπάρχουν συγκρούσεις μεταξύ των σωματιδίων, η μορφή της συνάρτησης κατανομής παραμένει ίδια. Αν θεωρήσουμε ότι η παγίδα κλείνει για t=0, η κατανομή μετά από χρόνο t δίνεται από τη σχέση f r t f r pt m k T p m V r pt m k T ( µ ) { } 0 p(, ) = p ( / ) = exp / B exp [ / + ( / )] / B (1.7) 7

13 και η πυκνότητα nrt (,) ως προς την ορμή θα δίνεται από την ολοκλήρωση της συνάρτησης κατανομής dp nrt (,) = f(,) 3 p rt ( π ) (1.8) Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται ολοκληρώνοντας ως προς κάθε μία συνιστώσα της ορμής και το αποτέλεσμα είναι 1 1/ mωi r i nrt (, ) = exp ( µ / kt B ) (1 ) exp 3 + ωi t (1 λt i kt B + ωi t ) (1.9) Από την παραπάνω σχέση για t=0 φαίνεται ότι η αρχική κατανομή είναι ανισοτροπική και εξαρτάται από τις συχνότητες ταλάντωσης. Σε χρονική στιγμή αρκετά μεταγενέστερη όμως της t=1/ω i η κατανομή γίνεται ισοτροπική, καθώς ω i t >>1, και το εύρος της κατανομής είναι (k B T/m) 1/ t. Η παραπάνω ανάλυση έγινε για να συγκριθεί η ισοτροπική κατανομή των μη συμπυκνωμένων σωματιδίων με την ανισοτροπική εκτόνωση του συμπυκνώματος. Στη θεμελιώδη κατάσταση του συστήματος, όλα τα άτομα είναι συμπυκνωμένα στη χαμηλότερη ενεργειακή στάθμη και η κατανομή πυκνότητας θα πρέπει να αντικατοπτρίζει την κυματοσυνάρτηση της βασικής κατάστασης. Εφόσον θεωρούμε όλα τα σωματίδια στη θεμελιώδη στάθμη, έχουμε από την (1.) nr ( ) = N ϕ ( r) 0 (1.30) Για έναν ανισοτροπικό αρμονικό ταλαντωτή η κυματοσυνάρτηση της βασικής κατάστασης είναι 1 1 x y z ϕ ( r ) = exp /4 1/ π ( axayaz) ax ay az (1.31) όπου τα εύρη της κυματοσυνάρτησης στις τρείς διευθύνσεις (i=x,y,z) είναι a i = / mω (1.3) i Η κατανομή των σωματιδίων κατά την εκτόνωση του συμπυκνώματος, δεν εξαρτάται μόνο από την αρχική κατανομή πυκνότητας αλλά και από την αρχική κατανομή ταχυτήτων. Η κυματοσυνάρτηση (1.31) δίνεται στο χώρο των oρμών από το μετασχηματισμό Fourier και είναι ϕ 1 1 px y pz 0( p) = exp 3/4 1/ + + π ( cxcycz) cx cy cz p (1.33) 8

14 με c = / a = m ω i i i Η πυκνότητα στο χώρο των ορμών δίνεται από τη σχέση p np ( ) = N ϕ ( p) = exp + + N px y pz 0 3/ π ( cxcycz) cx cy cz (1.34) Η κατανομή (1.34) έχει τη μορφή της κατανομής Maxwell-Boltzmann, με διαφορετικές θερμοκρασίες T = ω /k στις τρείς κατευθύνσεις. i i B Οι παραπάνω κατανομές αναφέρονται στη χρονική στιγμή t=0 και θα πρέπει να βρούμε πως εξελίσσονται μετά την απενεργοποίηση της παγίδας. Για χρόνο t η κυματοσυνάρτηση δίνεται απλά πολλαπλασιάζοντας τη σχέση (1.33) με το αποτέλεσμα της δράσης του τελεστή της χρονικής εξέλιξης exp( ip t / m ). Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό Fourier για να βρούμε την κυματοσυνάρτηση στο χώρο των θέσεων και το αποτέλεσμα είναι ϕ 1 r = + 1/ 1/ i ( rt, ) (1 ) exp 3/4 ai iωit π i ai (1 + iωit ) (1.35) Η ανισοτροπικότητα της πυκνότητας (που είναι ανάλογη με ϕ ( rt, ) ) αυξάνεται έντονα με το χρόνο. Για t=0 το εύρος του συμπυκνώματος κατά την κατεύθυνση i είναι α i, ενώ για μεγάλους χρόνους είναι α i ω i t. Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε πως το μη συμπυκνωμένο μέρος είναι πολύ εκτεταμένο σε σχέση με το συμπύκνωμα, το οποίο εμφανίζεται κάτω από την κρίσιμη θερμοκρασία σαν μία στενή κορυφή που επικάθεται της ευρείας κατανομής του μη συμπυκνωμένου μέρους και της οποίας το εύρος αυξάνεται σε χαμηλότερες θερμοκρασίες. Αυτή η μορφή (στενή κορυφή του συμπυκνώματος και ευρεία κατανομή του μη συμπυκνώματος) ισχύει και για την κατανομή ταχυτήτων και για την πυκνότητα. Η ανισοτροπικότητα της κατανομής της πυκνότητας του συμπυκνώματος μετά την εκτόνωση ήταν ισχυρή απόδειξη για την επίτευξη BEC στα πρώτα πειράματα. Οι παραπάνω υπολογισμοί έγιναν θεωρώντας το αέριο ιδανικό, τα ποιοτικά συμπεράσματα όμως ισχύουν και στην περίπτωση που λάβουμε υπόψιν τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ατόμων. Οι αλληλεπιδράσεις μπορούν να αλλάξουν το σχήμα του συμπυκνώματος. Οι απωστικές δυνάμεις αυξάνουν το μέγεθος του συμπυκνώματος στην ισορροπία κατά έναν αριθμητικό παράγοντα -10 που εξαρτάται από τον αριθμό των σωματιδίων και το δυναμικό αλληλεπίδρασης, ενώ οι ελκτικές δυνάμεις μπορούν να προκαλέσουν την κατάρρευση του 0 9

15 συμπυκνώματος. Πάνω από τη κρίσιμη θερμοκρασία το αέριο είναι πολύ αραιό, οπότε οι αλληλεπιδράσεις θεωρούνται αμελητέες. Θεωρώντας το αέριο μη ιδανικό, η εκτόνωση οφείλεται περισσότερο στην πίεση λόγω των αλληλεπιδράσεων παρά στην κατανομή ταχυτήτων τη στιγμή t=0. Η πίεση λόγω των αλληλεπιδράσεων είναι συνάρτηση της τοπικής αριθμητικής πυκνότητας των σωματιδίων, οπότε η κλίση της είναι μεγαλύτερη προς κατευθύνσεις όπου το αέριο έχει διογκωθεί λιγότερο. Επομένως η επιτάχυνση και η τελική ταχύτητα των σωματιδίων είναι μεγαλύτερες σε κατευθύνσεις που το αρχικό συμπύκνωμα ήταν πιο πυκνό. 1.ε Θερμοδυναμικές μεταβλητές και η ασυνέχειά τους στο σημείο κρίσιμης θερμοκρασίας Είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο ότι τα πρώτα πειραματικά αποτελέσματα που έδειχναν χωρική ανισοτροπικότητα της εκτόνωσης του συμπυκνώματος ήταν αποδείξεις για την επίτευξη BEC, καθώς η ανισοτροπικότητα αυτή προβλεπόταν από τη θεωρία. Η θεωρία προβλέπει επίσης ασυνέχεια των θερμοδυναμικών μεταβλητών στο σημείο της κρίσιμης θερμοκρασίας, όπως συμβαίνει στις μετατροπές φάσης. Το ότι τέτοιες ασυνέχειες παρατηρήθηκαν πειραματικά, ήταν ακόμα μια απόδειξη για την επίτευξη BEC. 1.ε.1 Κάτω από την κρίσιμη θερμοκρασία Η ενέργεια του συμπυκνώματος λαμβάνεται ίση με μηδέν, οπότε μόνο το μη συμπυκνωμένο μέρος θα συνεισφέρει στη συνολική ενέργεια. Έτσι, όταν αντικαθιστούμε τα αθροίσματα με ολοκληρώματα, δε χρειάζεται να λαμβάνουμε υπόψιν σαφώς τον πρώτο όρο των αθροισμάτων με ε=0 που αναφέρεται στο συμπύκνωμα, όπως κάναμε υπολογίζοντας τον συνολικό αριθμό των σωματιδίων. Κάτω από την Τ C το χημικό δυναμικό είναι μηδέν και η ενέργεια είναι ε E= C d = CΓ kt (1.36) 4 3 εε 0 3 (4) ζ (4)( B ) exp( ε / kt B ) 1 όπου έχει γίνει χρήση και της (1.7). Η ειδική θερμότητα C = E/ T είναι C = 4 E/ T (1.37) Μπορούμε να υπολογίσουμε την εντροπία από τη σχέση C = T S / T και έτσι S = C/3= ( 4/3) E (1.38) T 10

16 Παρατηρούμε ότι για T<T C η ενέργεια, η εντροπία και η ειδική θερμότητα δεν εξαρτώνται από το συνολικό αριθμό των σωματιδίων. Αυτό συμβαίνει επειδή μόνο τα σωματίδια εκτός συμπυκνώματος συμμετέχουν στους υπολογισμούς, οπότε αυτές οι ποσότητες είναι ανεξάρτητες από τον αριθμό των σωματιδίων του συμπυκνώματος. Χρησιμοποιώντας τη σχέση (1.0) και την ιδιότητα τη συνάρτησης γάμμα Γ(z+1)=zΓ(z), μπορούμε να εκφράσουμε τις παραπάνω ποσότητες συναρτήσει του συνολικού αριθμού των σωματιδίων και της T C. Έχουμε: 4 ζ (4) T E = 3NkB (1.39) ζ (3) T 3 C ζ (4) T C = 1NkB ζ (3) TC 3 (1.40) ζ (4) T S = 4NkB ζ (3) TC 3 (1.41) 1.ε. Πάνω από την κρίσιμη θερμοκρασία Η γενικές εκφράσεις για το συνολικό αριθμό των σωματιδίων και για την ολική ενέργεια δίνονται από τις σχέσεις: 1 3 εε 0 N = C d (1.4) exp[( ε µ ) / kt] εε 0 E = C d (1.43) exp[( ε µ ) / kt] 1 Σε υψηλές θερμοκρασίες οι μέσοι αριθμοί κατάληψης είναι κατά πολύ μικρότεροι της μονάδας. Μπορούμε επομένως να χρησιμοποιήσουμε στις παραπάνω δύο x 1 x x εξισώσεις το ανάπτυγμα ( e 1) e + e, έτσι: B B ( ) N C µ ε µ ε 3 dεε exp exp 0 + kt B kt B (1.44) 3 ( ) E C µ ε µ ε 3 dεε exp exp 0 + kt B kt B (1.45) Τα παραπάνω ολοκληρώματα μπορούν να υπολογιστούν με το γενικό τύπο 11

17 n! a n ax x e dx = ( n = 0,1,,..., a > 0) 0 n+ 1 (1.46) Στη συνέχεια μπορούμε να απαλείψουμε το χημικό δυναμικό λύνοντας τη σχέση (1.44) ως προς exp( µ / kt) και αντικαθιστώντας στην (1.45) για να πάρουμε: B E ζ (3) TC 1 4 3Nk T T B 3 (1.47) όπου χρησιμοποιήσαμε και τη σχέση (1.0). Η ειδική θερμότητα είναι 3 ζ (3) TC C 3NkB 1+ 3 T (1.48) Τα προσεγγιστικά αποτελέσματα αυτής της παραγράφου ισχύουν με ικανοποιητική ακρίβεια ακόμα και σε θερμοκρασίες λίγο μεγαλύτερες από την κρίσιμη. 1.ε.3 Ασυνέχεια στην κρίσιμη θερμοκρασία Έχοντας υπολογίσει την ειδική θερμότητα για θερμοκρασίες πάνω και κάτω από την κρίσιμη, μπορούμε να βρούμε την ασυνέχεια στο σημείο T=T C χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις (1.40) και (1.48) για T=T C. Σχήμα 1.1 : Η ασυνέχεια της ειδικής θερμότητας στο σημείο της κρίσιμης θερμοκρασίας C= CT ( ) CT ( ).45(3 Nk ) (1.49) C+ C B Στο σχήμα 1.1 φαίνεται η εξάρτηση της ειδικής θερμότητας (σε μονάδες 3Nk B ) από το λόγο T/T C, καθώς και η ασυνέχεια για T=T C. 1

18 1.στ Διορθώσεις λόγω του πεπερασμένου αριθμού σωματιδίων Όπως είδαμε, η θερμοκρασία συμπύκνωσης για Ν μποζόνια σε μία τρισδιάστατη αρμονική παγίδα δίνεται από τη σχέση (1.0). Για να φτάσουμε σε αυτό το αποτέλεσμα, θεωρήσαμε ενέργειες πολύ μεγαλύτερες από ωi και παραβλέψαμε την ενέργεια μηδενικού σημείου. Επανερχόμαστε τώρα να διορθώσουμε αυτό το αποτέλεσμα. Η ελάχιστη ενέργεια αυξάνεται κατά την ποσότητα 3 ωm εmin = ( ωx + ωy + ωz) = (1.50) όπου ω m =(ω x +ω y +ω z )/3. Έτσι, η μεταβολή του χημικού δυναμικού στη θερμοκρασία συμπύκνωσης θα είναι µ = ε min (1.51) Θα πρέπει τώρα να συνδέσουμε τη μεταβολή του χημικού δυναμικού με τη μεταβολή στην κρίσιμη θερμοκρασία. Λαμβάνοντας το διαφορικό του συνολικού αριθμού των σωματιδίων και θεωρώντας ότι Ν=Ν(T,μ), έχουμε N N dn = dt + dµ = 0 T µ µ T (1.5) όπου η τελευταία ισότητα ισχύει για σταθερό αριθμό σωματιδίων. Λύνοντας έχουμε T N N = µ µ N T 1 T µ (1.53) Οι ποσότητες ( N / µ ) T και ( N / T ) µ μπορούν να υπολογιστούν από τη σχέση (1.4) με παραγώγιση και στη συνέχεια ολοκλήρωση κατά παράγοντες. Τα αποτελέσματα για T=T C είναι N ζ () N = µ ζ(3) kt B C T και N 3N = T T µ C (1.54) Συνδυάζοντας τις (1.50), (1.51), (1.53), (1.54), παίρνουμε για τη μεταβολή της κρίσιμης θερμοκρασίας ζ () µ ζ() ωm TC = = 3 ζ(3) k ζ(3) k B B (1.55) 13

19 . Ατομικές ιδιότητες Αρκετές ατομικές ιδιότητες παίζουν κεντρικό ρόλο στα πειράματα σχετικά με ψυχρά αέρια μποζονίων. Σε αυτές τις ιδιότητες θα αναφερθούμε σε αυτό το κεφάλαιο, δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στα άτομα των αλκαλίων..α Ατομική δομή Το συνολικό σπιν ενός μποζονίου πρέπει να είναι ένας ακέραιος αριθμός, επομένως ένα μποζόνιο που αποτελείται από φερμιόνια πρέπει να περιέχει άρτιο αριθμό φερμιονίων. Τα ουδέτερα άτομα περιέχουν ίσο αριθμό ηλεκτρονίων και πρωτονίων, οπότε το αν ένα άτομο θα είναι μποζόνιο ή φεμιόνιο εξαρτάται αποκλειστικά από τον αριθμό των νετρονίων Ν. Αν το Ν είναι άρτιο το άτομο θα είναι μποζόνιο, ενώ αν είναι περιττό το άτομο θα είναι φερμιόνιο. Εφόσον τα αλκάλια έχουν περιττό ατομικό αριθμό Z, τα αλκαλικά άτομα που είναι μποζόνια θα έχουν περιττό μαζικό αριθμό Α. Ομοίως, για άτομα με άρτιο Ζ τα ισότοπα τους μποζόνια θα έχουν άρτιο Α. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται τα Ν, Ζ και το πυρηνικό σπιν Ι για κάποια αλκάλια και για το υδρογόνο. Επίσης δίνεται η πυρηνική μαγνητική ροπή μ, η οποία ορίζεται ως η μέση τιμή της z συνιστώσας του τελεστή της μαγνητικής ροπής στην κατάσταση όπου η z συνιστώσα του πυρηνικού σπιν m έχει τη μέγιστη τιμή της, µ = Im, = Iµ Im, = I. Μέχρι σήμερα τα I I z I περισσότερα πειράματα που έχουν επιτύχει BEC, έχουν γίνει με καταστάσεις ολικού ηλεκτρονικού σπιν 1/. Από αυτά, η πλειοψηφία ήταν με άτομα πυρηνικού σπιν Ι=3/ ( 87 Rb, 3 Na και 7 Li), ενώ έχουν χρησιμοποιηθεί και άτομα με I=1/ (Η) και Ι=5/ ( 85 Rb). Η ηλεκτρονική δομή των αλκαλίων είναι απλή. Όλα τα ηλεκτρόνια εκτός από ένα σχηματίζουν κλειστούς φλοιούς και αυτό που απομένει είναι σε s τροχιακό σε ανώτερο φλοιό. Το ηλεκτρονικό σπιν συζεύγνυται με το πυρηνικό σπιν και έτσι έχουμε την υπέρλεπτη υφή. Επειδή τα ηλεκτρόνια δεν έχουν τροχιακή στροφορμή (L=0) μόνο το σπιν του ηλεκτρονίου θα παίξει ρόλο στην υπέρλεπτη υφή και για το ολικό σπιν θα έχουμε δύο πιθανότητες F = I ± 1/. Όταν δεν υπάρχει εξωτερικό μαγνητικό πεδίο οι ενεργειακές στάθμες των ηλεκτρονίων διαχωρίζονται λόγω της υπέρλεπτης αλληλεπίδρασης. Η σύζευξη παριστάνεται στη χαμιλτονιανή με ένα όρο αλληλεπίδρασης Η hf H hf = AI J (.1) όπου το Α είναι μία σταθερά, ενώ I και J είναι οι τελεστής του πυρηνικού σπιν και του ολικού ηλεκτρονικού σπιν αντίστοιχα σε μονάδες. Ο τελεστής της ολικής στροφορμής θα είναι: 14

20 Σχήμα.1: Ατομικός αριθμός Ζ, αριθμός νετρονίων Ν, πυρηνικό σπιν Ι, η πυρηνική μαγνητική ροπή μ σε μονάδες πυρηνικής μαγνετόνης µ = e /m και η υπέρλεπτη N υφή v hf =ΔΕ hf /h για το υδρογό, τα αλκάλια και κάποια ισότοπά τους. p F = I + J (.) Παίρνοντας το τετράγωνο αυτής της έκφρασης μπορούμε να εκφράσουμε τον όρο I J συναρτήσει των ιδιοτιμών F, I, J: 1 I J = F F + I I + J J + ( 1) ( 1) ( 1) (.3) Τα αλκάλια και το υδρογόνο έχουν J=S=1/ στη βασική τους κατάσταση, οπότε η διαφορά μεταξύ των επιπέδων της υπέρλεπτης υφής F=I+1/ και F=I-1/ θα είναι hf hf ( 1/) E = hv = I + A (.4) Για παράδειγμα θεωρούμε ένα αλκάλιο με Ι=3/. Στη βασική του κατάσταση (J=S=1/). Ο κβαντικός αριθμός F παίρνει τις τιμές 1, και επομένως I J = 5 / 4, 3/4 αντίστοιχα. Οι ενεργειακές μετατοπίσεις της βασικής κατάστασης είναι Ε 1 =-5Α/4 (τριπλά εκφυλισμένη) και Ε =3Α/4 (πενταπλά εκφυλισμένη). Η ενεργειακή διαφορά εξαιτίας της υπέρλεπτης υφής είναι E = E E = A hf 1 (.5) Χρησιμοποιώντας θεωρία διαταραχών μπορούμε να καταλήξουμε στο εξής ακριβές αποτέλεσμα για την παραπάνω έκφραση ( I + ) µ 1/ 0 16π Ehf = µµ B ψ (0) 4π 3 I (.6) Η ποσότητα µ B = e /me(η μαγνητόνη του Bohr) είναι το μέτρο της μαγνητικής ροπής του ηλεκτρονίου, ενώ μ 0 είναι η μαγνητική διαπερατότητα. Η ποσότητα ψ(0) είναι η κυματοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου σθένους στον πυρήνα. Από την 15

21 παραπάνω εξίσωση φαίνεται ότι για τα άτομα με θετική μαγνητική πυρηνική ροπή, η κατάσταση με τη μικρότερη ενέργεια είναι η F=I-1/..β Το φαινόμενο Zeeman Για να λάβουμε υπόψιν την επίδραση ενός εξωτερικού μαγνητικού πεδίου στις ενεργειακές στάθμες ενός ατόμου, πρέπει να προσθέσουμε στη χαμιλτονιανή της υπέρλεπτης υφής τις ενέργειες Zeeman που προέρχονται από τις αλληλεπιδράσεις των μαγνητικών ροπών του ηλεκτρονίου και του πυρήνα με το μαγνητικό πεδίο. Αν θεωρήσουμε το μαγνητικό πεδίο κατά τη διεύθυνση z, έχουμε για την ολική χαμιλτονιανή (στην προσέγγιση μαγνητικού διπόλου) H spin = AI J + CJ z + DI z (.7) Η σταθερά C δίνεται από τη σχέση C = gµ B B (.8) ενώ για τη σταθερά D µ D= B I (.9) όπου έχουμε λάβει υπόψιν ότι L=0 και S=1/. Για το 87 Rb μ=.751μ Ν, οπότε 3 D 1.834µ N B. Επειδή D/ C me / mp 10, το D μπορεί να παραλειφθεί σε πολλές εφαρμογές. Επίσης προσεγγιστικά ο παράγοντας g για το ηλεκτρόνιο μπορεί να τεθεί ίσος με. Εξαιτίας της σημαντικότητάς του στις εφαρμογές, θεωρούμε για παράδειγμα πυρηνικό σπιν ίσο με 3/. Για να βρούμε τα νέα ενεργειακά επίπεδα του ατόμου χρειάζεται να διαγωνιοποιήσουμε τη χαμιλτονιανή H spin σε μία βάση που αποτελείται από τις οκτώ καταστάσεις m, m με m I =3/, 1/, -1/, -3/ και m J =1/, -1/. Οι ενεργειακές μετατοπίσεις που προκύπτουν από τη διαγωνιοποίηση φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Το αδιάσταστο μαγνητικό πεδίο b ορίζεται από τη σχέση I J C b = = A ( I + ) 1 µ BB E hf (.10) Στην περίπτωση που δεν έχουμε ισχυρά μαγνητικά πεδία οι ενεργειακές διαφορές 16

22 Σχήμα.: Tα ενεργειακά υποεπίπεδα Zeeman ενός αλκαλικού ατόμου με Ι=3/ και Α>0 σε ένα μαγνητικό πεδίο. Η ενέργεια μετριέται σε μονάδες Α=ΔΕ hf / η αδιάστατη σταθερά b δίνεται από τη σχέση (.10). των υποεπιπέδων Zeeman είναι μικρές σε σχέση με τις ενεργειακές διαφορές της υπέρλεπτης υφής. Οι ενέργειες μπορούν να γραφούν με τη μορφή EFm (, ) = EF ( ) + mgµ B F F F B (.11) όπου g F είναι ο παράγοντας Lande της συγκεκριμένης κατάστασης και Ε(F) η ενέργεια για Β=0. Για F=I+1/ o παράγοντας Lande είναι θετικός οπότε η κατάσταση με m F =F θα έχει τη μεγαλύτερη ενέργεια. Αντίθετα για F=I-1/ o παράγοντας Lande είναι αρνητικός και η κατάσταση με m F =-F θα έχει τη μεγαλύτερη ενέργεια. Η ποσότητα µ = m g µ m F F B F (.1) μπορεί να θεωρηθεί ως η μαγνητική ροπή της συγκεκριμένης κατάστασης. 17

23 3. Ψύξη με laser Για την επίτευξη BEC είδαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο ότι απαιτείται αφενός ψύξη ενός δείγματος αερίου, αφετέρου αύξηση της αριθμητικής πυκνότητας των σωματιδίων, με σκοπό την αύξηση της πυκνότητας του χώρου φάσεων. Σε αυτό το κεφάλαιο θα περιγραφούν οι κυριότερες πειραματικές διατάξεις που χρησιμοποιούνται, καθώς και ο τρόπος λειτουργίας τους. 3.α Μεταφορά ορμής μεταξύ φωτονίων και ατόμων Θεωρούμε ένα ιδεατό άτομο με δύο μόνο ενεργειακά επίπεδα, το οποίο ακτινοβολείται με φωτόνια ενέργειας ίσης με την ενέργεια συντονισμού για τη διέγερση από το κατώτερο ενεργειακό επίπεδο στο ανώτερο. Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ορμής, όταν ένα φωτόνιο ορμής p= k απορροφάται, η ορμή του μεταφέρεται στο άτομο διατηρώντας το μέτρο και τη διεύθυνση της. Εδώ k=π/λ είναι ο κυματάριθμος και λ το μήκος κύματος της ακτινοβολίας. Αυτή η μικρή μεταφορά ορμής λόγω της απορρόφησης ενός φωτονίου αλλάζει την ταχύτητα ενός ατόμου κατά μία ταχύτητα ανάκρουσης μέτρου vrec = k / m (m η μάζα του ατόμου) η οποία είναι της τάξης του 1 cm/s. Συγκριτικά αναφέρουμε την ταχύτητα ατόμων σε θερμοκρασία δωματίου που είναι της τάξης των 100 m/s. Την απορρόφηση ακολουθεί η αυθόρμητη εκπομπή σε χρόνο τ=1/γ, όπου τ ο φυσικός χρόνος ζωής της διεγερμένης κατάστασης και γ το φυσικό εύρος της διεγερμένης κατάστασης (ή ρυθμός αποδιέγερσης). Κατά την αποδιέγερση έχουμε ακόμα μία ανάκρουση του ατόμου. Η αυθόρμητη εκπομπή έχει ίδια πιθανότητα προς όλες τις διευθύνσεις και έτσι η ανάκρουση των ατόμων κατά την αποδιέγερση είναι προς τυχαία διεύθυνση. Οπότε, μετά από ένα μεγάλο αριθμό διεγέρσεων αποδιεγέρσεων οι ανακρούσεις κατά την εκπομπή ακυρώνονται και το συνολικό αποτέλεσμα οφείλεται σχεδόν αποκλειστικά στις ανακρούσεις κατά την απορρόφηση, οι οποίες είναι πάντα στην ίδια διεύθυνση. Τα παραπάνω φαίνονται στο σχήμα 3.1. Στην εικόνα 3.1a το φωτόνιο πλησιάζει το άτομο το οποίο είναι ακίνητο και στη βασική του κατάσταση. Λόγω της απορρόφησης το άτομο διεγείρεται και κερδίζει κάποια ταχύτητα (3.1.b). Στη συνέχεια το άτομο αποδιεγείρεται εκπέμποντας ένα φωτόνιο σε τυχαία διεύθυνση. Τα κυματιστά βέλη παριστάνουν την πορεία του φωτονίου και τα ευθεία το διάνυσμα της ορμής. Μετά από n διεγέρσεις αποδιεγέρσεις το άτομο αποκτά ορμή mv = n k κατά τη διεύθυνση διάδοσης των προσπίπτοντων φωτονίων. Επομένως η δύναμη που ασκείται σε κάθε άτομο F = dp / dt έχει φορά κατά τη διεύθυνση τις ακτίνας laser. H τιμή της δύναμης αυξάνεται όσο αυξάνεται η ένταση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, μέχρι που αρχίζει να παίζει σημαντικό ρόλο η επιβαλλόμενη εκπομπή. Μεγαλύτερες εντάσεις προκαλούν ταχύτερη απορρόφηση αλλά και 18

24 Σχήμα 3.1: H απορρόφηση ενός φωτονίου και οι πιθανές αποδιεγέρσεις εξίσου ταχύτερη επιβαλλόμενη εκπομπή. Τα φωτόνια που εκπέμπονται από επιβαλλόμενη εκπομπή κινούνται στη ίδια διεύθυνση με τα φωτόνια απορρόφησης και έτσι ακυρώνουν την ανάκρουση κατά την απορρόφηση, μη συνεισφέροντας σε συνισταμένη δύναμη κατά τη διεύθυνση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Οι τρείς διαδικασίες (απορρόφησης, αυθόρμητης εκπομπής και επιβαλλόμενης εκπομπής) φαίνονται στο σχήμα 3., όπου φαίνεται ότι τα φωτόνια που εκπέμπονται κατά την επιβαλλόμενη εκπομπή έχουν ίδια κατεύθυνση με τα φωτόνια απορρόφησης. Σχήμα 3.: Οι διαδικασίες της απορρόφησης, αυθόρμητης εκπομπής και επιβαλλόμενης εκπομπής Εξαιτίας της επιβαλλόμενης εκπομπής η μέγιστη επιτάχυνση/επιβράδυνση είναι amax = kf γ / M, όπου f είναι το κλάσμα του χρόνου κατά τον οποίο το άτομο βρίσκεται σε διεγερμένη κατάσταση. Στο όριο των υψηλών εντάσεων το άτομο περνά το μισό χρόνο στη βασική κατάσταση και το μισό στη διεγερμένη, οπότε f max =1/. 3.β Ψύξη Doppler και οπτικές λαβίδες (optical molasses) Αν ένα άτομο δύο ενεργειακών καταστάσεων ταχύτητας v κινείται αντίθετα ( kv < 0) προς τη φορά κίνησης των φωτονίων χαμηλής έντασης laser συχνότητας ω L ρυθμισμένης έτσι ώστε να είναι ελάχιστα κάτω από τη συχνότητα συντονισμού για 19

25 τη διέγερση ω 0, τότε το άτομο αντιλαμβάνεται λόγω του φαινομένου Doppler τη συχνότητα ω = ω L kv (3.1) η οποία είναι μεγαλύτερη και επομένως πιο κοντά στη συχνότητα συντονισμού. Για να δει το άτομο τη συχνότητα αυτή ως συχνότητα συντονισμού, θα πρέπει ω =. Έτσι θα έχουμε απορρόφηση φωτονίων και το άτομο θα 0 ωl kv επιβραδύνεται. Αντίθετα, αν ένα άτομο κινείται προς την ίδια φορά με τα φωτόνια του laser ( kv > 0) η συχνότητα που βλέπει το κινούμενο άτομο απέχει περισσότερο από τη συχνότητα συντονισμού και η πιθανότητα απορρόφησης μειώνεται. Βλέπουμε ότι η επίδραση του laser στο άτομο δεν είναι συμμετρική καθώς εξαρτάται από τη διεύθυνση της ταχύτητάς του. Χρησιμοποιώντας τώρα τρία ζεύγη αντίθετης διεύθυνσης διάδοσης laser (ένα ζεύγος για κάθε κατεύθυνση) τα οποία τέμνονται ορθογώνια (Σχήμα 3.3), η παραπάνω ανάλυση μπορεί να γενικευθεί σε τρείς διαστάσεις. Τα άτομα που κινούνται σε ένα τέτοιο χώρο δέχονται μία δύναμη Σχήμα 3.3: Οπτικές λαβίδες σε τρείς διαστάσεις επιβράδυνσης πολύ μεγαλύτερη από τη δύναμη επιτάχυνσης. Οι δύο δυνάμεις εξισώνονται όταν το άτομο είναι ακίνητο. Διατάξεις τέτοιου τύπου ονομάζονται οπτικές λαβίδες (Optical Molasses, OM). Πρέπει να παρατηρήσουμε εδώ ότι δεν υπάρχει δύναμη η οποία να επαναφέρει τα άτομα αν ξεφύγουν από την περιοχή που τέμνονται οι έξι ακτίνες, οπότε οι ΟΜ δεν μπορούν να παγιδεύσουν άτομα, παρά το ότι μπορούν να τα κρατήσουν εγκλωβισμένα για κάποιο χρονικό διάστημα, μέχρι να διαφύγουν. Στο σύστημα αναφοράς του κινούμενου ατόμου, η δύναμη που του ασκείται από μία ακτίνα laser εξαρτάται ευθέως από το ρυθμό σκέδασης των φωτονίων Γ SC F = k Γ (3.) Ο ρυθμός σκέδασης δίνεται από τη σχέση SC 0

26 γ S / Γ SC = (3.3) 1 + S + [( δ + ω ) / γ] όπου S=I/I S η παράμετρος κορεσμού, Ι η ένταση της ακτινοβολίας, Ι S =πhcγ/3λ 3 η ένταση κορεσμού (c η ταχύτητα του φωτός), ω D = kv η μετατόπιση Doppler και δ=ω L -ω 0 η διαφορά της συχνότητας του laser με τη συχνότητα συντονισμού του ατόμου. Ας θεωρήσουμε τώρα δύο ακτίνες laser που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις και με ένταση αρκετά χαμηλή έτσι ώστε η συνολική επίδραση τους να είναι το άθροισμα της επίδρασης της καθεμίας και τα φαινόμενα που προκαλούνται από την ταυτόχρονη δράση τους να μπορούν να παραλειφθούν. Η συνολική δύναμη που ασκείται στο άτομο λόγω της πίεσης ακτινοβολίας θα είναι τότε F = F + F (3.4) όπου OM + k S F = ± γ ± 1 + S + [( δ ω ) / γ] Η εξάρτηση των δυνάμεων F +, F καθώς και του αθροίσματός τους D D F OM (3.5) από την ταχύτητα φαίνονται στο σχήμα 3.4 όπου έχουν επιλεγεί οι παράμετροι S= και δ=-γ. Όπως φαίνεται, το αποτέλεσμα της δύναμης είναι απόσβεση της ταχύτητας για δ<0. Υπάρχει επίσης μία σχετικά μικρή περιοχή ταχυτήτων στην οποία η εξάρτηση της δύναμης από την ταχύτητα είναι γραμμική. Υποθέτοντας μικρές ταχύτητες για τα άτομα ( ωd = kv << γ) μπορούμε να παραλείψουμε όρους του ω D δεύτερης και ανώτερης τάξης, φτάνοντας στο προσεγγιστικό αποτέλεσμα 8 k δ Sv OM = βv F ( ) γ 1+ S + δ / γ (3.6) όπου η παράμετρος απόσβεσης β περιλαμβάνει τις σταθερές και τις παραμέτρους της σχέσης (3.6). Επομένως, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.4, η δύναμη F OM είναι ανάλογη της ταχύτητας για μικρές ταχύτητες. Αναλόγως με το πρόσημο της παραμέτρου δ, η δύναμη μπορεί να είναι ελκτική ή απωστική. Η ψύξη του δείγματος των ατόμων είναι δυνατή μόνο για δ<0. Για δ>0 έχουμε θέρμανση και η ενέργεια των ατόμων αυξάνεται. 1

27 Σχήμα 3.4: Εξάρτηση της δύναμης F OM από την ταχύτητα των ατόμων (S=, δ=-γ). Με διακεκομμένες γραμμές σημειώνονται οι δυνάμεις F +, F, ενώ με τη συνεχή γραμμή η F OM. Είναι προφανής η γραμμική εξάρτηση σε μικρές ταχύτητες γύρω από το σημείο v=0. 3.γ Το όριο της ψύξης Doppler Στην προηγούμενη παράγραφο δόθηκε ιδιαίτερη έμφαση στο ότι λόγω ισοτροπικότητας της αυθόρμητης εκπομπής, οι ορμές ανάκρουσης των ατόμων που αντιστοιχούν σε αυτή έχουν μηδενικό αποτέλεσμα μετά από μεγάλο αριθμό επαναλήψεων απορρόφησης/αυθόρμητης εκπομπής. Δίνεται ίσως η εντύπωση ότι τα αρχικά κινούμενα άτομα φτάνουν σε μηδενική ταχύτητα σε μικρό χρονικό διάστημα. Οι μεταβολές όμως των ορμών των ατόμων εξαιτίας της εκπομπής φωτονίων εισάγουν ένα κατώτατο όριο το οποίο είναι μη μηδενικό. Ο μηχανισμός μπορεί να περιγραφεί σαν ένας τυχαίος βηματισμός στο χώρο των ορμών, με βήμα k. Έτσι η μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής <p > είναι διάφορη του μηδενός και αλλάζει με κάθε απορρόφηση ή εκπομπή. Η κατώτερη θερμοκρασία είναι ένα αποτέλεσμα της ισορροπίας ανάμεσα στην ψύξη που περιγράψαμε παραπάνω και της θέρμανσης λόγω της τυχαιότητας των διαδικασιών της απορρόφησης και της εκπομπής. Για να υπολογίσουμε τη θερμοκρασία ισορροπίας θα πρέπει να βρούμε τους ρυθμούς των διαδικασιών που θερμαίνουν (τυχαίος βηματισμός στο χώρο των ορμών) και αυτών που ψύχουν. Ο ρυθμός με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια λόγω ψύξης ισούται με το γινόμενο της δύναμης (3.6) με την ταχύτητα των ατόμων de dt ψ ύξη = F v = βv OM (3.7) Ο ρυθμός ψύξης είναι ανάλογος του τετραγώνου της ταχύτητας και επομένως ανάλογος της κινητικής ενέργειας. Αντίθετα, ο ρυθμός θέρμανσης εξαρτάται

28 αποκλειστικά από το συνολικό ρυθμό σκέδασης φωτονίων. Για μία ακτίνα ο ρυθμός αυτός δίνεται από την (3.3). Επειδή όμως στη θερμοκρασία ισορροπίας τα άτομα κινούνται αρκετά αργά ( ωd = kv << γ) η μετατόπιση Doppler μπορεί να παραλειφθεί και έτσι ο ρυθμός μεταβολής του <p > δίνεται από τη σχέση: d p SC 0 dt < >= Γ k (3.8) με Γ SC0 =Γ SC (ω D =0). Μετά από κάθε γεγονός απορρόφησης/εκπομπής, η κινητική ενέργεια του ατόμου αυξάνεται κατά < p > Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι E = (3.9) m de 1 d 1 p k (3.10) dt m dt m = < >= ΓSC 0 θ έρµανση Για την κατάσταση ισορροπίας εξισώνουμε τους ρυθμούς (3.7) και (3.10) και έχουμε v γ + S + δ γ = Γ = (3.11) β m 8mδ (1 4 / ) k SC 0 Χρησιμοποιώντας το θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας E K =mv /=3k B T/ έχουμε για τη θερμοκρασία (χρησιμοποιώντας και τη σχέση 3.11) T mv γ (1+ S + 4 δ / γ ) = = (3.1) 3k 8k δ B B Το ελάχιστο αυτής της έκφρασης σχετικά με την παράμετρο δ δίνεται για δ=-γ/ T γ ( + S) = (3.13) 4k B και στο όριο χαμηλής έντασης ακτινοβολίας (S=0) γίνεται T D γ (3.14) k B Η παραπάνω θερμοκρασία είναι το όριο της ψύξης Doppler. Σημειώνουμε ότι η T D εξαρτάται μόνο από το φυσικό εύρος της διεγερμένης κατάστασης. Τυπικές τιμές για την T D είναι της τάξης των 100 μκ, τιμή που αντιστοιχεί σε ταχύτητες 10 cm/s. Είναι προφανές ότι για την ψύξη με laser ζητούνται διεγερμένες καταστάσεις με μικρό εύρος για να έχουμε κατά δυνατόν χαμηλότερη θερμοκρασία. 3

29 3.δ Ψύξη κάτω από το όριο Doppler Όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο, η κατώτερη θερμοκρασία που θεωρητικά μπορεί να επιτευχθεί σε περιβάλλον ΟΜ δίνεται από τη σχέση (3.14). Αρκετά πειραματικά αποτελέσματα έδειξαν όμως ότι η πραγματική θερμοκρασία των δειγμάτων ήταν αρκετά χαμηλότερη, αποτελέσματα που απαιτούσαν μια άλλη θεωρητική προσέγγιση για να εξηγηθούν. Η διαφορά στο κατώτερο όριο θερμοκρασίας οφείλεται στο ότι στην προηγούμενη ανάλυση θεωρήσαμε το άτομο ως ένα σύστημα δύο ενεργειακών σταθμών, χωρίς να λαμβάνουμε υπόψιν την πολυπλοκότητα των ενεργειακών επιπέδων των πραγματικών ατόμων λόγω της λεπτής και της υπέρλεπτης υφής. Επίσης δεν λάβαμε υπόψιν τις μεταβολές στις εσωτερικές ιδιότητες των ατόμων που προέρχονται από την πόλωση των ακτίνων laser. Επειδή η πόλωση παίζει τον σημαντικότερο ρόλο στην παρακάτω ανάλυση, οι μηχανισμοί ψύξης κάτω από το όριο Doppler ονομάζονται polarization gradient cooling και περιλαμβάνουν διάφορες δυνατές διατάξεις (Sisyphus cooling, διάταξη + σ σ, κ.α.). Στη συνέχεια θα περιγράψουμε τους μηχανισμούς που οδηγούν στην ψύξη χρησιμοποιώντας αυτές τις διατάξεις. 3.δ.1 Ενεργειακές μετατοπίσεις (light shifts) Η αλληλεπίδραση μεταξύ των ατόμων και του σχεδόν συντονισμένου φωτός, δεν προκαλεί μόνο μεταβάσεις ανάμεσα στα ενεργειακά επίπεδα, αλλά επίσης μετατοπίζει της ενέργειές τους. Οι μετατοπίσεις αυτές προκαλούνται από το φαινόμενο Stark και παίζουν πολύ σημαντικό ρόλο στους μηχανισμούς ψύξης κάτω από το όριο Doppler, καθώς οι μεταβολές της πόλωσης έχουν μεγάλη επίδραση πάνω τους. Στο όριο χαμηλής έντασης ακτινοβολίας με δύο ακτίνες laser κάθε μία από τις οποίες έχει ένταση SI s, οι μετατοπίσεις της ενέργειας στα μαγνητικά υποεπίπεδα της βασικής κατάστασης δίνονται από τη σχέση: δ SCge Eg = 1 + ( δ / γ) (3.15) όπου C ge είναι οι συντελεστές Clebsch-Gordan της σύζευξης μεταξύ της βασικής και διεγερμένης κατάστασης οι οποίοι για κάθε περίπτωση βρίσκονται από πίνακες. Οι συντελεστές C ge εξαρτώνται από τους μαγνητικούς κβαντικούς αριθμούς και από την πόλωση του φωτός και επομένως είναι διαφορετικοί για τα διάφορα μαγνητικά υποεπίπεδα. Σημειώνουμε ότι η ενεργειακή μετατόπιση της βασικής κατάστασης όπως δίνεται από την (3.15) είναι αρνητική για συχνότητα laser κάτω από τη συχνότητα συντονισμού (δ<0), και θετική για συχνότητα laser πάνω από τη συχνότητα συντονισμού (δ>0). 4

30 3.δ. Γραμμική Γραμμική πόλωση Θεωρούμε το πεδίο δύο αντίθετα διαδιδόμενων ακτίνων laser ίδιου πλάτους, γραμμικής πόλωσης, με διανύσματα πόλωσής κάθετα (π.χ. ˆx και ŷ ). Το συνολικό πεδίο είναι το άθροισμα των δύο ακτίνων: E = E0xˆcos( ω ˆ Lt kz) + E0y cos( ωlt + kz) (3.16) E = E0 ( xˆ+ yˆ) cos( ω )cos( ) ( ˆ ˆ Lt kz + x y) sin( ωlt)sin ( kz) Στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων (z=0) η παραπάνω έκφραση γίνεται E = E0 ( xˆ+ yˆ) cos( ωlt) (3.17) που αντιστοιχεί σε γραμμικά πολωμένο φως σε διεύθυνση που σχηματίζει γωνία π/4 με τον άξονα ˆx με πλάτος E 0. Ομοίως για z=λ/4, όπου kz=π/, το πεδίο είναι επίσης γραμμικά πολωμένο, αλλά σχηματίζει γωνία π/4 με τον άξονα ˆx. Ανάμεσα σε αυτά τα δύο σημεία και στο σημείο z=λ/8 (kz=π/4) το συνολικό πεδίο είναι E = E0 [ xˆsin( ω t+ π / 4) + yˆcos( ω t+ π / 4) ] (3.18) L Εφόσον οι συνιστώσες ˆx και ŷ έχουν ημιτονοειδή και συνημιτονοειδή εξάρτηση αντίστοιχα, έχουν διαφορά φάσης π/, επομένως το πεδίο (3.18) παριστάνει κυκλικά πολωμένο φως που περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z κατά την αρνητική φορά. Ομοίως στο σημείο z=3λ/8 (kz=3π/4) η πόλωση είναι κυκλική αλλά περιστρέφεται κατά τη θετική φορά γύρω από τον άξονα z. Έτσι βλέπουμε πως με μια τέτοια διάταξη η πόλωση μεταβάλλεται περιοδικά από γραμμικά πολωμένο σε κυκλικά πολωμένο, στη συνέχεια και πάλι σε γραμμικά πολωμένο και μετά σε κυκλικά πολωμένο κατά την αντίθετη φορά σε ένα διάστημα μισού μήκους κύματος. Δηλαδή έχει πολύ ισχυρές μεταβολές πόλωσης όπως φαίνεται και στο σχήμα 3.5 L Σχήμα 3.5: Πόλωση στη διάταξη lin lin 5

31 Για να μελετήσουμε το μηχανισμό ψύξης θεωρούμε τη μετάβαση από J g =1/ της βασικής κατάστασης στην J e =3/ της διεγερμένης. Οι συντελεστές Clebsch Gordan της συγκεκριμένης μετάβασης για τα υποεπίπεδα Zeeman φαίνονται στο παρακάτω σχήμα Σχήμα 3.6: Οι συντελεστές Clebsch-Gordan για τη μετάβαση J g =1/ J e =3/ Στις περιοχές όπου το πεδίο είναι σ + τα άτομα οδηγούνται στο υποεπίπεδο Μ g =1/ της βασικής κατάστασης. Αυτό οφείλεται στους κανόνες επιλογής που ισχύουν στη διέγερση και στην αποδιέγερση των ατόμων, αναλόγως της πόλωσης. Όταν ένα άτομο απορροφά ένα σ + φωτόνιο μεταβαίνει μεν στο επίπεδο J e =3/ αλλά υποχρεούται να μεταβεί σε υποεπίπεδο Zeeman με μαγνητικό αριθμό μεγαλύτερο κατά μία μονάδα σε σχέση με το μαγνητικό αριθμό που είχε στη βασική κατάσταση. Για παράδειγμα, ξεκινώντας από το υποεπίπεδο Μ g =-1/ της βασικής κατάστασης το άτομο μπορεί να μεταβεί μόνο στο υποεπίπεδο Μ e =+1/ της διεγερμένης κατάστασης, για να ισχύει ο κανόνας επιλογής ΔΜ=1. Κατά την αποδιέγερση ισχύει Μ = 0, ± 1, οπότε το άτομο μπορεί να μεταβεί σε οποιαδήποτε από τα δύο υποεπίπεδα της βασικής κατάστασης. Επειδή όμως υπάρχει ανισοτροπικότητα κατά τη διέγερση, το συνολικό αποτέλεσμα ενός κύκλου διέγερσης αποδιέγερσης έχει Μ 0 και έτσι μετά από αρκετές διεγέρσεις αποδιεγέρσεις όλα τα άτομα βρίσκονται στο υποεπίπεδο Μ g =1/ της βασικής κατάστασης. Ακριβώς η αντίστροφη διαδικασία λαμβάνει χώρα με την απορρόφηση σ- φωτονίων. Σε αυτή την περίπτωση ο κανόνας επιλογής κατά την απορρόφηση είναι ΔΜ=-1 και έτσι το συνολικό αποτέλεσμα του κύκλου διέγερσης αποδιέγερσης είναι Μ 0, γεγονός που οδηγεί τα άτομα στο υποεπίπεδο Μ g =- 1/ της βασικής κατάστασης. Οπότε τα άτομα θα πρέπει να αλλάξουν τον πληθυσμό της βασικής κατάστασης από Μ g =1/ σε Μ g =-1/ σε απόσταση ίση με το μισό του μήκους κύματος. Η διαδικασία αυτή κατά την οποία πληθυσμοί ατόμων πολώνονται σε συγκεκριμένες υποκαταστάσεις Zeeman, ονομάζεται optical pumping. Για πληρότητα αναφέρουμε ότι ο κανόνας επιλογής για γραμμικά πολωμένο φως είναι ΔΜ=0. Σύμφωνα με τη σχέση (3.15) οι συντελεστές Clebsch-Gordan είναι ο καθοριστικός παράγοντας για το μέγεθος της μετατόπισης της ενέργειας στη βασική κατάσταση. Στις περιοχές σ-, όπου επιτρέπονται οι μεταβάσεις Μ g =1/ Μ e =-1/ και Μ g =- 6

32 1/ Μ e =-3/, βλέπουμε ότι σύμφωνα με το σχήμα (3.6) και τη σχέση (3.15), η μετατόπιση της ενέργειας της βασικής κατάστασης είναι ( 1 ) /( 1/ 3) = 3 φορές μεγαλύτερη για άτομα στο υποεπίπεδο Μ g =-1/. Ακριβώς η αντίθετη κατάσταση ισχύει στις περιοχές σ+ όπου το υποεπίπεδο Μ g =1/ έχει τρείς φορές μεγαλύτερη ενέργεια από το Μ g =-1/. Βλέπουμε δηλαδή ότι οι μετατοπίσεις της ενέργειας έχουν μία περιοδική χωρική εξάρτηση. Λαμβάνοντας υπόψιν και το ότι οι πληθυσμοί με Μ g =1/ είναι μεγαλύτεροι σε περιοχές σ+ και οι πληθυσμοί Μ g =-1/ είναι μεγαλύτεροι σε περιοχές σ-, συμπεραίνουμε ότι ο μεγαλύτερος πληθυσμός των ατόμων βρίσκεται συνεχώς στην κατάσταση με τη μεγαλύτερη μετατόπιση ενέργειας (σχημα 3.7). Προφανώς όλες οι μετατοπίσεις ενέργειας είναι αρνητικές για δ<0. Σχήμα 3.7 : Οι μετατοπίσεις ενέργειας και οι πληθυσμοί της βασικής κατάστασης για τη διάταξη lin lin. Το ενεργειακό επίπεδο με τη μεγαλύτερη μετατόπιση έχει και το μεγαλύτερο πληθυσμό. Θα δούμε τώρα το μηχανισμό από τον οποίο αναδύεται η δύναμη απόσβεσης που αντιτίθεται στην κίνηση. Θεωρούμε ένα άτομο με ταχύτητα v σε μία θέση με σ+ φως όπως φαίνεται στα αριστερά του σχήματος 3.8. Σχήμα 3.8: Μηχανισμός ψύξης Sisyphus Το φως μεταφέρει με optical pumping τέτοια άτομα στην περισσότερο μετατοπισμένη στάθμη Μ g =1/. Καθώς το άτομο κινείται προς τα δεξιά πρέπει να αυξήσει τη δυναμική του ενέργεια καθώς πρέπει να ανέβει ένα λόφο δυναμικού 7

33 που προκαλείται από το ότι η πόλωση του φωτός αλλάζει προς σ- και η κατάσταση Μ g =1/ έχει συνεχώς μικρότερη μετατόπιση ενέργειας. Μετά από απόσταση λ/4 τα άτομα φτάνουν σε σημείο με φως σ- και μεταφέρονται στην κατάσταση Μ g =-1/, η οποία έχει τώρα τη μεγαλύτερη μετατόπιση ενέργειας. Έτσι τα άτομα βρίσκονται και πάλι στον πυθμένα του δυναμικού και θα πρέπει και πάλι να ανεβούν τον καινούριο λόφο. Ανεβαίνοντας τους λόφους δυναμικού, η κινητική ενέργεια μετατρέπεται σε δυναμική ενέργεια η οποία ακτινοβολείται γιατί κατά το optical pumping η αυθόρμητη εκπομπή γίνεται σε υψηλότερη συχνότητα από την απορρόφηση. Έτσι τα άτομα διαρκώς ανεβαίνουν λόφους δυναμικού και χάνουν ενέργεια σε αυτή τη διαδικασία, η οποία θυμίζει τον αρχαιοελληνικό μύθο του Σισύφου και έτσι της δόθηκε η ονομασία Sisyphus cooling. Η παραπάνω διαδικασία είναι αποτελεσματική σε ένα περιορισμένο εύρος ταχυτήτων. Η απόσβεση είναι μέγιστη όταν συμβαίνει ένα optical pumping σε χρόνο που τα άτομα έχουν κινηθεί κατά λ/4. Τα πιο αργά άτομα θα υποστούν optical pumping πριν φτάσουν στην κορυφή του λόφου δυναμικού ενώ τα πιο γρήγορα ενώ την έχουν περάσει, με αποτέλεσμα η ενέργεια που απομακρύνεται από τον κύκλο διέγερσης αποδιέγερσης να είναι μικρότερη. Η δύναμη απόσβεσης F=-βv μπορεί να υπολογιστεί από την εξάρτηση της απώλειας ενέργειας από την απόσταση που διανύει το άτομο. Αν θεωρήσουμε το χρόνο που απαιτείται για το optical pumping ως τ p =1/Γ SC, η ιδανική ταχύτητα για τη διαδικασία είναι της τάξης v c = Γ SC /k. Εδώ με δύο τόνους σημαίνεται ο συνολικός ρυθμός σκέδασης φωτονίων και για τις δύο ακτίνες που είναι προφανώς διπλάσιος από αυτόν της σχέσης (3.3). Για v=v c η ενέργεια που απομακρύνεται σε χρόνο τ p είναι της τάξης της μετατόπισης ενέργειας ΔΕ, επομένως η ενέργεια που χάνεται στη μονάδα του χρόνου είναι dw dt E = EΓ SC (3.19) τ p Αυτή η ποσότητα όμως συνδέεται και με το ρυθμό ψύξης Fv, οπότε Γ β = = (3.0) Γ E SC k E v SC Η τελευταία ισότητα της (3.0) ισχύει για v=v c. Για να εκτιμήσουμε την παράμετρο β λαμβάνουμε το όριο για δ >>γ των ΔΕ και Γ SC από τις σχέσεις (3.3) και (3.15) αντίστοιχα. Επειδή κάνουμε εκτίμηση τάξης μεγέθους λαμβάνουμε και C ge =1 και έχουμε β = δk / γ (3.1) 8

34 Η απόσβεση είναι μεγαλύτερη από τη μέγιστη απόσβεση με την ψύξη Doppler, αλλά αφορά πολύ μικρότερο εύρος ταχυτήτων συγκριτικά με το v c =γ/k της ψύξης Doppler, καθώς για τις συνήθεις τιμές της παραμέτρου δ ( δ >>γ/) ισχύει Γ SC <<γ. Μία καλή εποπτεία του εύρους ταχυτήτων καθώς και του παράγοντα απόσβεσης για τους δύο μηχανισμούς ψύξης, δίνεται από το σχήμα 3.9 Σχήμα 3.9: H δύναμη ως συνάρτηση της ταχύτητας σε πόλωση lin lin (S=0.5, δ=1.5γ). Η συνεχής γραμμή είναι το αποτέλεσμα των διαδικασιών της ψύξης Doppler και της ψύξης κάτω της θερμοκρασίας Doppler, ενώ η διακεκομένη μόνο της ψύξης Doppler. Φαίνεται σε μεγέθυνση η περιοχή κοντά στην ταχύτητα v=0. 3.δ.3 Πόλωση σ+ σ- Μία ακόμα σημαντική περίπτωση πόλωσης είναι αυτή που προκύπτει από την αντίθετη διάδοση δύο αντίθετα κυκλικά πολωμένων ακτίνων laser. Το συνολικό πεδίο είναι E = E0 cosω [ ˆcos ˆ Lt x kz + y sin kz] (3.) Εφόσον δεν υπάρχει χρονική διαφορά φάσης ανάμεσα στις δύο διευθύνσεις πόλωσης ˆx και ŷ σε καμία θέση, η σχέση (3.) περιγράφει ένα γραμμικά πολωμένο πεδίο του οποίου το διάνυσμα πόλωσης είναι σταθερό με το χρόνο αλλά περιστρέφεται ομοιόμορφα στο χώρο κατά μήκος του άξονα z. To διάνυσμα πόλωσης διαγράφει μία πλήρη περιστροφή σε διάστημα ίσο με ένα μήκος κύματος. + Σχήμα 3.10: Μεταβολή του διανύσματος πόλωσης στη διάταξη σ σ 9

35 Σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση, εδώ δεν υπάρχει χωρική μεταβολή στις ενεργειακές μετατοπίσεις τις βασικής κατάστασης καθώς δεν έχουμε μεταβάσεις σε περιοχές διαφορετικής κυκλικής πόλωσης. Οπότε ο μηχανισμός που λειτουργεί εδώ δεν μπορεί να είναι αυτός της ψύξης Sisyphus. Θεωρούμε μία μετάβαση J g =1 J e = για την οποία οι συντελεστές Glebsch Gordan φαίνονται στο σχήμα 3.11 και θεωρούμε ένα αρχικά ακίνητο άτομο σε σημείο όπου η πόλωση Σχήμα 3.11: Συντελεστές Glebsch Gordan για J g =1 J e = είναι κατά τη διεύθυνση y. Αν πάρουμε τον άξονα της κβάντωσης κατά τη διεύθυνση y και σημειώσουμε τα τρία υποεπίπεδα Zeeman της βασικής κατάστασης ως g -1 >, g 0 >, g 1 > θα έχουμε μία συγκέντρωση των ατόμων στην κατάσταση g 0 >, καθώς ο ρυθμός του optical pumping για τη μετάβαση g -1 > g 0 > είναι ( 1/ ) ( 1/ ) = 1/4 και είναι επομένως μεγαλύτερος από το ρυθμό g 0 > g -1 > που είναι ( /3) ( 1/ 6) = 1/9. Στην κατάσταση ισορροπίας οι πληθυσμοί των καταστάσεων g -1 >, g 0 >, g 1 > είναι 9/17, 4/17 και 4/17 αντίστοιχα. Σημειώνουμε επίσης ότι εφόσον οι μεταβάσεις που ξεκινάν από την κατάσταση g 0 είναι 4/3 φορές πιό έντονες από αυτές που ξεκινάν από τις g ±1, συμπεραίνουμε ότι η μετατόπιση ενέργειας της g 0 θα είναι 4/3 φορές μεγαλύτερη από τις μετατοπίσεις g ±1. Σχήμα 3.1: Οι μετατοπίσεις ενέργειας της βασικής κατάστασης για τη μετάβαση J g =1 J e = Το βασικό συμπέρασμα που πρέπει να κρατήσουμε από την παραπάνω ανάλυση είναι ότι οι πληθυσμοί των καταστάσεων g ±1 είναι ίσοι όταν το άτομο δεν κινείται. Έστω τώρα ότι ένα άτομο κινείται προς τα θετικά z με ταχύτητα v. Μεταφερόμαστε στο σύστημα αναφοράς του κινούμενου ατόμου. Σε αυτό το σύστημα το άτομο 30

36 βλέπει το διάνυσμα πόλωσης να περιφέρεται γύρω από τον άξονα z και στο επίπεδο xoy. Αν θεωρήσουμε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς το οποίο να ακολουθεί την κίνηση του διανύσματος πόλωσης, εξαιτίας της μετάβασης στο μη αδρανειακό σύστημα, στη χαμιλτονιανή που περιγράφει την εξέλιξή του θα εμφανιστεί ένας όρος V rot =kvj z, ο οποίος δημιουργεί μη ισομερή κατανομή των πληθυσμών των καταστάσεων g ±1, και συγκεκριμένα 40 kv Π+ 1 Π 1 = 17 ( E / ) 0 (3.3) όπου με Π ±1 σημαίνονται οι πληθυσμοί των καταστάσεων g ±1. Έτσι για κίνηση προς τα θετικά z (v>0) έχουμε Π -1 >Π +1. Όπως φαίνεται από τους συντελεστές Glebsch Gordan του σχήματος 3.11, ένα άτομο στην κατάσταση g -1 έχει 6 φορές μεγαλύτερη πιθανότητα να απορροφήσει ένα σ- φωτόνιο από ένα σ+. Στην περίπτωση που η ακτίνα σ- διαδίδεται από τα δεξιά προς τα αριστερά και το άτομο κινείται προς τα δεξιά, το άτομο θα απορροφά πολύ περισσότερα σ- φωτόνια, καθώς σύμφωνα με την (3.3) για κίνηση προς τα δεξιά τα άτομα στην κατάσταση g -1 θα είναι περισσότερα. Ακριβώς το αντίθετο συμβαίνει για τα άτομα που κινούνται προς τα δεξιά, καθώς οι πληθυσμοί των καταστάσεων g ±1 αντιστρέφονται και τα άτομα θα σκεδάζουν περισσότερα σ+ φωτόνια τα οποία έρχονται από αριστερά. Έτσι έχουμε μια δύναμη που αντιτίθεται στην ταχύτητα και στις δύο κατευθύνσεις. Πρέπει να τονίσουμε εδώ το ότι, ενώ υπάρχει μία ομοιότητα με την ψύξη Doppler ως προς την ανισοτροπική σκέδαση από τις δύο ακτίνες ανάλογα με την ταχύτητα, ο μηχανισμός που προκαλεί εδώ την ψύξη είναι τελείως διαφορετικός καθώς εξαρτάται στη διαφορά πληθυσμών ανάμεσα στις καταστάσεις g ±1. Από τη σχέση (3.3) φαίνεται ότι η αδιάστατη παράμετρος που χαρακτηρίζει την ψύξη είναι εδώ η kv/ E0 / η οποία για χαμηλής έντασης laser ( E0 / << γ ) είναι πολύ μεγαλύτερη από την αντίστοιχη παράμετρο της ψύξης Doppler kv/γ. Επομένως ο νέος μηχανισμός ψύξης έχει εφαρμογή σε ταχύτητες πολύ μικρότερες από αυτές της ψύξης Doppler. Θα υπολογίσουμε τώρα την τάξη μεγέθους της δύναμης απόσβεσης. Η διαφορά μεταξύ των σκεδαζόμενων σ+ και σ- φωτονίων στη μονάδα του χρόνου είναι σύμφωνα με τη σχέση (3.3) και παραβλέποντας αριθμητικούς παράγοντες: ΓSC Π+ 1 Π 1 ΓSC kv ( E / ) ( ) 0 (3.4) Επειδή κάθε φωτόνιο μεταφέρει στο άτομο μια μέση ορμή μέτρου k, συνεπάγεται ότι η μέση μεταφορά ορμής στη μονάδα του χρόνου (η δύναμη δηλαδή) είναι Γ ( E / ) SC F k v 0 (3.5) 31

37 και έχει τη μορφή F = bv καθώς ο συντελεστής μπροστά από την ταχύτητα v είναι αρνητικός. Συγκρίνοντας τη σχέση (3.0) με τη σχέση (3.5) βλέπουμε ότι ο συντελεστής απόσβεσης είναι πολύ μικρότερος στη δεύτερη περίπτωση για Γ SC << E0 /. Αυτή η διαφορά εξισορροπείται από το ότι η διάχυση των ατόμων είναι πολύ μεγαλύτερη στην πρώτη περίπτωση και έτσι η θερμοκρασία των ατόμων είναι τελικά μικρότερη με το δεύτερο μηχανισμό. Η κατώτερη θερμοκρασία που μπορεί να επιτευχθεί ιδανικά με τους παραπάνω μηχανισμούς είναι η θερμοκρασία ανάκρουσης (recoil limit): T recoil k B k = (3.6) m που είναι ένα λογικό όριο θερμοκρασίας γιατί αντιστοιχεί στην τελευταία απορρόφηση (και επομένως εκπομπή) στην οποία υπόκειται ένα άτομο και η οποία το αφήνει με μία ορμή ανάκρουσης k που αντιστοιχεί σε κινητική ενέργεια k /m. 3

38 4. Μαγνητικές παγίδες Οι μαγνητικές παγίδες για ουδέτερα άτομα βασίζονται στο φαινόμενο Zeeman που περιγράψαμε στο δεύτερο κεφάλαιο. Η ενέργεια μίας ατομικής κατάστασης εξαρτάται από το μαγνητικό πεδίο και επομένως ένα άτομο σε μη ομογενές μαγνητικό πεδίο κινείται σε δυναμικό που μεταβάλλεται χωρικά. Για απλότητα θεωρούμε ότι η ενέργεια μίας κατάστασης έχει γραμμική εξάρτηση από το μαγνητικό πεδίο. Όπως είδαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο η γραμμική εξάρτηση είναι μια καλή προσέγγιση όταν οι μετατοπίσεις λόγω του φαινομένου Zeeman είναι είτε πολύ μικρές είτε πολύ μεγάλες συγκριτικά με τις μετατοπίσεις λόγω της υπέρλεπτης υφής. Η ενέργεια ενός ατόμου σε μία συγκεκριμένη κατάσταση i μπορεί να γραφεί ως Ei = Ci µ ib (4.1) όπου μ i είναι η μαγνητική ροπή της κατάστασης και C i είναι μία σταθερά. Η μαγνητική συνεισφορά στην ενέργεια είναι η δυναμική ενέργεια -μ i B. Αν η μαγνητική ροπή είναι θετική, η ενέργεια του ατόμου μειώνεται με την αύξηση του μαγνητικού πεδίου και έτσι τα άτομα σε αυτές τις καταστάσεις έλκονται από τις θέσεις της παγίδας με μεγάλης έντασης μαγνητικό πεδίο. Αντίθετα όταν τα άτομα βρίσκονται σε κατάσταση αρνητικής μαγνητικής ροπής έλκονται στις περιοχές της παγίδας με μικρής έντασης μαγνητικό πεδίο. Το ενεργειακό βάθος των μαγνητικών παγίδων καθορίζεται από την ενέργεια Zeeman μ i B. Οι ατομικές μαγνητικές ροπές είναι της τάξης της μαγνητόνης του Bohr µ B = e /me, η οποία σε μονάδες θερμοκρασίας είναι περίπου 0.67 Κ/Τ. Εφόσον τα μαγνητικά πεδία που χρησιμοποιούνται συνήθως είναι πολύ μικρότερα από 1 Tesla, το βάθος των μαγνητικών παγίδων είναι αρκετά μικρότερο από 1 Kelvin οπότε τα άτομα θα πρέπει να έχουν ήδη ψυχθεί για να παγιδευτούν. Σύμφωνα με την παραπάνω ανάλυση η κατασκευή μιας μαγνητικής παγίδας έγκειται στη χρησιμοποίηση μαγνητικών πεδίων που θα έχουν είτε ένα τοπικό ελάχιστο είτε ένα τοπικό μέγιστο. Η δεύτερη περίπτωση αποκλείεται εξαιτίας ενός θεωρήματος σύμφωνα με το οποίο ένα τοπικό μέγιστο στην ένταση του μαγνητικού πεδίου Β δεν είναι δυνατό σε περιοχές που δεν υπάρχουν ηλεκτρικά ρεύματα. Οπότε η περίπτωση που μας ενδιαφέρει είναι αυτή του τοπικού ελαχίστου, οπότε οι ατομικές καταστάσεις που μπορούν να παγιδευτούν είναι αυτές με αρνητικές μαγνητικές ροπές. Οι διάφορες μαγνητικές παγίδες μπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες, αυτές στις οποίες το ελάχιστο του μαγνητικού πεδίου είναι μηδέν και αυτές στις οποίες το ελάχιστο του μαγνητικού πεδίου είναι διάφορο του μηδενός. Στη συνέχεια θα περιγράψουμε την τετραπολική μαγνητική παγίδα (quadrupole trap) η οποία ανήκει στην πρώτη κατηγορία και την TOP (time orbiting potential) 33

39 παγίδα η οποία ξεπερνά κάποιες από τις επιπλοκές που δημιουργούνται στην τετραπολική παγίδα εξαιτίας του μηδενικού ελάχιστου μαγνητικού πεδίου. 4.α Η τετραπολική παγίδα (quadrupole trap) Ένα πολύ απλό μαγνητικό πεδίο το οποίο μπορεί να μηδενίζεται σε κάποιο σημείο είναι αυτό της τετραπολικής παγίδας. Το μαγνητικό πεδίο αυξάνεται σε ένταση γραμμικά προς όλες τις διευθύνσεις. Ένα τέτοιο μαγνητικό πεδίο μπορούμε να έχουμε με ένα ζεύγος κυκλικών ρευματοφόρων αγωγών που διαρρέονται από αντίθετων διευθύνσεων ρεύματα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Σχήμα 4.1: Η τετραπολική παγίδα. Ας θεωρήσουμε την περίπτωση με αξονική συμμετρία κατά τη διεύθυνση z. Αν συμβολίσουμε την κλίση του μαγνητικού πεδίου κατά τους άξονες x, y με Β, τότε κατά τον άξονα z θα πρέπει να είναι -Β για να ισχύει B = 0. Το μαγνητικό πεδίο στην περιοχή του ελαχίστου του οποίου τη θέση μπορούμε να την ορίσουμε στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων, είναι: B= B'( xy,, z) (4.) Η ένταση του πεδίου τότε είναι B=B (x +y +4z ) 1/ και μεταβάλλεται γραμμικά με την απόσταση από το ελάχιστο αλλά με μία κλίση που εξαρτάται από τη διεύθυνση. Η τετραπολική παγίδα έχει ένα πολύ σοβαρό μειονέκτημα. Στην παραπάνω ανάλυση για το δραστικό δυναμικό που παράγεται από το μαγνητικό πεδίο υποθέσαμε ότι τα άτομα παραμένουν στην ίδια κβαντική κατάσταση. Αυτή είναι μια καλή προσέγγιση με την προϋπόθεση ότι το μαγνητικό πεδίο που αντιλαμβάνεται ένα άτομο αλλάζει αργά με το χρόνο έτσι ώστε το άτομο να παραμένει στην ίδια κβαντική κατάσταση σε σχέση με τη στιγμιαία διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου. Λέγεται τότε ότι το άτομο ακολουθεί τις μεταβολές του μαγνητικού πεδίου 34

40 αδιαβατικά. Ένα κινούμενο άτομο όμως αντιλαμβάνεται ένα χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο το οποίο μπορεί να προκαλέσει μεταβάσεις από μία κβαντική κατάσταση σε μια άλλη και συγκεκριμένα, άτομα σε καταστάσεις που έλκονται από το ελάχιστο του πεδίου μπορεί να βρεθούν σε καταστάσεις που έλκονται από τις περιοχές μεγάλης έντασης και επομένως να βρεθούν εκτός παγίδας. Η επίδραση του χρονικά μεταβαλλόμενου πεδίου που αντιλαμβάνεται το άτομο είναι σημαντική όταν η συχνότητα του πεδίου γίνεται συγκρίσιμη ή μεγαλύτερη από τη διαφορά συχνότητας ανάμεσα στα υποεπίπεδα Zeeman. Επειδή η διαφορά αυτή είναι της τάξης του μ Β Β, γίνεται μηδέν στο σημείο της παγίδας όπου Β=0. Δηλαδή είναι σαν η τετραπολική παγίδα να έχει μία τρύπα στο κέντρο και αυτό περιορίζει αρκετά το χρόνο παγίδευσης των ατόμων. Το μειονέκτημα αυτό είναι καθοριστικό κυρίως στη διαδικασία της ψύξης με εξάτμιση (evaporative cooling) που θα δούμε σε επόμενο κεφάλαιο, καθώς η διαδικασία αυτή απομονώνει τα μικρότερης ενέργειας άτομα μέσα στη μαγνητική παγίδα, τα οποία έχουν τροχιές πολύ κοντά στο σημείο με Β=0. Συγκεκριμένα, ένα άτομο ταχύτητας v που περνάει σε απόσταση r από το κέντρο της παγίδας μπορεί να μεταπηδήσει σε ακατάλληλη ενεργειακή κατάσταση (non-adiabatic spin-flip) αν η συχνότητα Larmor που είναι ως τάξη μεγέθους περίπου µ r( Br / r)/ (Β r είναι η ακτινική συνιστώσα του πεδίου σε σφαιρικές συντεταγμένες) είναι μικρότερη από το ρυθμό μεταβολής της διεύθυνσης του μαγνητικού πεδίου v/r. Ο χρόνος παραμονής ενός ατόμου στην παγίδα είναι τότε τ ( m ) l, όπου m η μάζα των ατόμων και l η ακτίνα του 0 / σφαιρικού νέφους ατόμων στην παγίδα. Το μειονέκτημα αυτό της τετραπολικής παγίδας μπορεί να ξεπεραστεί με αρκετούς διαφορετικούς τρόπους. Θα περιγράψουμε παρακάτω μία προσθήκη στην τετραπολική παγίδα που χρησιμοποιήθηκε στο πρώτο πείραμα που πέτυχε BEC. 4.β Η παγίδα ΤΟP Στην παγίδα αυτή προστίθεται στο τετραπολικό πεδίο ένα περιστρεφόμενο, χωρικά ομογενές μαγνητικό πεδίο. Για να γίνουμε πιο συγκεκριμένοι θεωρούμε ακριβώς τη διάταξη του πρώτου πειράματος που έγινε με παγίδα TOP, στην οποία το προστιθέμενο πεδίο είχε συνιστώσες Β 0 cosωt στη διεύθυνση x και Β 0 sinωt στη διεύθυνση y. To ολικό πεδίο δίνεται επομένως από τη σχέση B= ( Bx ' + B0cos ωtby, ' + B0sin ωt, Bz ' ) (4.3) Επομένως το αποτέλεσμα του περιοδικού πεδίου είναι να μετακινεί το σημείο μηδενικού μαγνητικού πεδίου. Η συχνότητα το πρόσθετου πεδίου πρέπει να είναι χαμηλή συγκριτικά με τις συχνότητες των μεταβάσεων μεταξύ των μαγνητικών 35

41 υποεπιπέδων. Αυτή η συνθήκη διασφαλίζει ότι τα άτομα θα παραμείνουν στην ίδια κβαντική κατάσταση σε σχέση με το στιγμιαίο μαγνητικό πεδίο και έτσι δε θα υποστούν μεταβάσεις που θα έχουν σαν αποτέλεσμα να φύγουν από την παγίδα. Κάτω από αυτές τις συνθήκες το αποτέλεσμα του προστιθέμενου πεδίου μπορεί να θεωρηθεί σαν ένας ταλαντούμενος όρος στην ενέργεια του ατόμου. Αν η συχνότητα του προστιθέμενου πεδίου επιλεγεί ώστε να είναι πολύ μεγαλύτερη από τη συχνότητα των τροχιών των ατόμων μέσα στην παγίδα, το άτομο κινείται σε ένα δραστικό δυναμικό το οποίο δίνεται από τη μέση τιμή της στιγμιαίας τιμής του μαγνητικού πεδίου κατά τη διάρκεια μιας περιόδου του πεδίου. Στα πειράματα, οι συχνότητες των ατομικών τροχιών είναι της τάξης των 100 Hz, οι συχνότητες των μεταβάσεων μεταξύ μαγνητικών υποεπιπέδων είναι της τάξης των 10 6 Ηz, και η συχνότητα του προστιθέμενου πεδίου είναι της τάξης του 1 khz. Για να βρούμε το δραστικό δυναμικό υπολογίζουμε πρώτα τη στιγμιαία ένταση του μαγνητικού πεδίου που δίνεται από τη σχέση ( ω ) ( ω ) Bt ( ) = Bx ' + B0cos t + B' y+ B0sin t + 4 B' z (4.4) Αν θεωρήσουμε μικρές αποστάσεις από το κέντρο της παγίδας (r<< B 0 /B ), το πεδίο δίνεται από τη σχέση 0 ( ω ω ) Bt ( ) B + B' xcos t+ ysin t 1/ B ' B 0 ( ω ω ) x y 4z xcos t ysin t (4.5) Η μέση τιμή του πεδίου κατά τη διάρκεια μιας περιόδου ορίζεται ως ω < B >= t π π/ ω 0 dtb() t (4.6) Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε B ' < B> t B0 + x + y + z 4B 0 ( 8 ) (4.7) Το πιο σημαντικό στο παραπάνω αποτέλεσμα είναι ότι το πεδίο δε γίνεται ποτέ μηδέν και επομένως δεν υπάρχει πλέον τρύπα στην παγίδα. Η μαγνητική συνεισφορά στην ενέργεια ενός ατόμου στο μαγνητικό υποεπίπεδο i δίνεται επομένως από το ανάπτυγμα Taylor 36

42 όπου B ' Ei B t Ei B i B x y z 4B ( < > ) ( 0) µ ( 0) ( ) µ ( B ) = E / B i 0 i B 0 0 (4.8) (4.9) είναι η προβολή της μαγνητικής ροπής στη διεύθυνση του πεδίου. Βλέπουμε ότι το προστιθέμενο πεδίο μετατρέπει τη γραμμική εξάρτηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου από την απόσταση από το κέντρο (της τετραπολικής παγίδας) σε τετραγωνική, που αντιστοιχεί στο δυναμικό ενός ανισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή, με συχνότητες ταλάντωσης στις τρείς διευθύνσεις B ' ωx = ω y = µ i (4.10) mb 0 και ω = 8ω z x (4.11) Στα παρακάτω σχήματα φαίνονται οι θέσεις του ελάχιστου του δυναμικού και του ατομικού νέφους στις περιπτώσεις της τετραπολικής και της TOP παγίδας. Σχήμα 4.: Σχετικές θέσεις του ελάχιστου του δυναμικού και του ατομικού νέφους για την τετραπολική (a) και την TOP παγίδα (b). Στην πρώτη περίπτωση το ελάχιστο του δυναμικού βρίσκεται ακριβώς στο κέντρο του ατομικού νέφους και έτσι μεγάλος αριθμός ατόμων μπορεί να χαθεί. Αντίθετα στη δεύτερη περίπτωση το ελάχιστο του δυναμικού περιφέρεται γύρω από το ατομικό νέφος κατά τη φορά του καμπύλου τόξου και έτσι λιγότερα άτομα έρχονται σε θέσεις δυναμικού που μπορεί να προκαλέσουν αδιαβατικές μεταβολές της μαγνητικής κβαντικής κατάστασης. Ο χρόνος ζωής των ατόμων στις δύο παγίδες ως συνάρτηση του μεγέθους του νέφους των ατόμων φαίνεται στο σχήμα (4.3). Οι χρόνοι ζωής των μικρών νεφών ηλεκτρονίων δεν εξαρτώνται από το μέγεθος του νέφους και είναι είκοσι φορές μεγαλύτεροι από τον αντίστοιχο χρόνο παραμονής των μικρών νεφών στην τετραπολική παγίδα. Ο χρόνος ζωής της TOP παγίδας είναι ελαφρώς μικρότερος από αυτόν της τετραπολικής για τα μεγάλα νέφη. Αυτό πιθανόν να οφείλεται στο ότι η παγίδα TOP έχει πολύ μικρό βάθος ώστε 37

43 οι συγκρούσεις με τα θερμά άτομα υποβάθρου να μπορούν να εκδιώξουν άτομα από την παγίδα. Φαίνεται δηλαδή το πόσο σημαντικές είναι οι συνθήκες κενού σε τέτοιου είδους πειράματα. Σχήμα 4.3: O χρόνος παραμονής των ατόμων συναρτήσει του μεγέθους του ατομικού νέφους για την τετραπολική (τριγωνάκια) και την TOP (κυκλάκια) παγίδα Μία δύναμη που παίζει πολύ σημαντικό ρόλο είναι η βαρύτητα, η οποία αντιστοιχεί σε δυναμικό που εξαρτάται γραμμικά από την απόσταση. Αν το δυναμικό της παγίδας TOP ήταν μόνο αυτό ενός αρμονικού ταλαντωτή, η μόνη επίδραση της βαρύτητας θα ήταν απλά μία μετάθεση του ελάχιστου του δυναμικού. Το δυναμικό όμως της παγίδας TOP είναι αρμονικό μόνο μέχρι αποστάσεις της τάξης του Β 0 / B από την αρχή, πέρα από τις οποίες το πρόσθετο πεδίο δεν παίζει και πολύ σημαντικό ρόλο. Aν η βαρυτική δύναμη είναι τόσο ισχυρή ώστε να μετατοπίσει το ελάχιστο του δυναμικού σε απόσταση μεγαλύτερη του Β 0 / B, το ολικό δυναμικό δεν έχει πλέον τη μορφή (4.8) αν κάνουμε ανάπτυγμα Taylor γύρω από το νέο ελάχιστο. Η βαρύτητα μεταβάλλει το δυναμικό σημαντικά αν η βαρυτική δύναμη mg, όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, γίνει μεγαλύτερη από τη δύναμη λόγω της μαγνητικής παγίδας σε απόσταση Β 0 / B από την αρχή. Από την εξίσωση (4.8) φαίνεται ότι η δύναμη επαναφοράς του ταλαντωτή είναι της τάξης του μ i B /B 0, επομένως η δύναμη σε απόσταση Β 0 / B από την αρχή είναι της τάξης μ i B. Συμπεραίνουμε πως η βαρύτητα παίζει σημαντικό ρόλο όταν µ B i ' mg (4.1) 38

44 5. H μαγνητο-οπτική παγίδα (MOT) 5.α Εισαγωγή Η πλέον διαδεδομένη παγίδα για ουδέτερα άτομα χρησιμοποιεί ένα συνδυασμό οπτικών και μαγνητικών πεδίων που συνθέτουν τη μαγνητο-οπτική παγίδα (ΜΟΤ), η οποία κατασκευάστηκε πρώτη φορά το Η λειτουργία της ΜΟΤ βασίζεται σε μη ομογενή μαγνητικά πεδία καθώς και στους κανόνες επιλογής κατά τις μεταβάσεις μεταξύ ατομικών καταστάσεων για να εκμεταλλευτεί το optical pumping και την πίεση ακτινοβολίας όπως στις οπτικές λαβίδες. Η αλληλεπίδραση των ατόμων με την ακτινοβολία είναι υπεύθυνη για την ψύξη κάτι που διευκολύνει την τοποθέτηση των ατόμων μέσα στην παγίδα. Η ΜΟΤ είναι μία πολύ ισχυρή παγίδα τα μαγνητικά πεδία της οποίας είναι μέτριας έντασης και μπορούν να παραχθούν εύκολα. Η κατασκευή τη παγίδας είναι εύκολη καθώς αυτή αποτελείται από ένα γυάλινο κλωβό σε θερμοκρασία δωματίου, στον οποίον τα άτομα μπορούν να παγιδευτούν κατευθείαν μετά την παραγωγή τους π.χ. από κάποιο φούρνο. Τα laser που χρησιμοποιούνται για την παγίδευση αλκαλίων είναι χαμηλού κόστους (εκτός από την περίπτωση του Na), έτσι η ΜΟΤ έχει γίνει από τους πιο οικονομικούς τρόπους παραγωγής ατομικών δειγμάτων με θερμοκρασία κάτω του 1 mk. Η διάταξη ΜΟΤ σε μία διάσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Σχήμα 5.1: Η ΜΟΤ σε μία διάσταση. Δύο αντίθετα διαδιδόμενες ακτίνες laser με διαφορετική κυκλική πόλωση, το μαγνητικό πεδίο είναι της τετραπολικής παγίδας. Η παγίδευση σε μία ΜΟΤ βασίζεται στο optical pumping αργά κινούμενων ατόμων σε ένα μη ομογενές, γραμμικό μαγνητικό πεδίο Β=Β(z)=Az, όπως αυτό της τετραπολικής παγίδας που είδαμε σto προηγούμενο κεφάλαιο. Για απλότητα θεωρούμε τη μετάβαση ολικού σπιν J g =0 J e =1, όπου οι δείκτες g και e σημαίνουν τη βασική και τη διεγερμένη κατάσταση αντίστοιχα. Η διεγερμένη κατάσταση έχει τρία υποεπίπεδα Zeeman σε ένα μαγνητικό πεδίο, οι ενέργειες των οποίων είναι συντονισμένες σύμφωνα με το πεδίο και συνεπώς σύμφωνα με τη θέση. Οι δύο αντίθετα διαδομένες ακτίνες laser αντίθετης κυκλικής πόλωσης, είναι συντονισμένες σε συχνότητες κάτω από αυτή της μετάβασης κατά δ (βλέπε σχήμα). 39

45 Σχήμα 5.: MOT σε μία διάσταση. Η διακεκομμένη οριζόντια γραμμή παριστάνει τη συχνότητα του laser που βλέπει ένα άτομο ακίνητο στο κέντρο της παγίδας. Εξαιτίας της μετατόπισης Zeeman τα άτομα στο σημείο z=z που βρίσκονται στη βασική κατάσταση είναι πιο πιθανόν να διεγερθούν στη Μ=-1 και επομένως να απορροφούν περισσότερο από το laser σ- από δεξιά. Εξαιτίας της μετατόπισης Zeeman, η διεγερμένη κατάσταση Μ e =+1 έχει μεγαλύτερη ενέργεια για Β>0 ενώ η Μ e =-1 έχει μικρότερη. Στη θέση z του παραπάνω σχήματος το μαγνητικό πεδίο φέρνει επομένως τη μετάβαση ΔΜ=-1 πιο κοντά στη συχνότητα συντονισμού ενώ απομακρύνει τη μετάβαση ΔΜ=1. Αν η πόλωση του laser από δεξιά επιλεχθεί να είναι σ- και αντίστοιχα αυτή από αριστερά σ+, περισσότερο φως θα σκεδάζεται από τη σ- ακτίνα από ότι θα σκεδάζεται από τη σ+. Έτσι τα άτομα οδηγούνται προς το κέντρο της παγίδας όπου το μαγνητικό πεδίο είναι μηδέν. Αριστερά από το κέντρο της παγίδας η κατάσταση αντιστρέφεται καθώς τώρα το υποεπίπεδο Zeeman με Μ e =+1 έχει μικρότερη ενέργεια, επομένως ευνοείται η μετάβαση ΔΜ=+1 και περισσότερα φωτόνια θα σκεδάζονται από την ακτίνα σ+. Η κατάσταση είναι ανάλογη με αυτή στις οπτικές λαβίδες που έχουμε δει σε προηγούμενο κεφάλαιο, αλλά η ΜΟΤ επιδρά στο χώρο των θέσεων ενώ οι οπτικές λαβίδες δρούσαν στο χώρο των ταχυτήτων. Επειδή και εδώ τα laser είναι ρυθμισμένα κάτω από τη συχνότητα μετάβασης αλλά και εξαιτίας της πόλωσης των ακτίνων, λειτουργούν και εδώ οι μηχανισμοί ψύξης Doppler αλλά και αυτοί για ψύξη κάτω από το όριο Doppler. Έτσι σε μία ΜΟΤ έχουμε και ψύξη και παγίδευση των σωματιδίων. Μέχρι στιγμής έχουμε περιοριστεί στην περιγραφή σε μία διάσταση αλλά η διάταξη μπορεί να γενικευτεί σε τρείς διαστάσεις χρησιμοποιώντας έξι ακτίνες laser αντί για δύο. Επίσης, παρά το ότι πολύ λίγα άτομα έχουν μεταβάσεις τόσο απλές 40

46 όσο η J g =0 J e =1, η παραπάνω διαδικασία μπορεί να γενικευτεί για οποιαδήποτε μετάβαση J g J e =J g +1. Σχήμα 5.3: ΜΟΤ σε τρείς διαστάσεις 5.β Ψύξη και παγίδευση των ατόμων σε μία ΜΟΤ Για την περιγραφή της κίνησης των ατόμων σε μία ΜΟΤ θεωρούμε μία σχέση αντίστοιχη με αυτή που ισχύει για τις οπτικές λαβίδες. Η ολική δύναμη που ασκείται στα άτομα δίνεται από τη σχέση F = F+ + F, όπου kγ S F± = ± 1+ S + ( δ / γ) ± (5.1) όπου οι ποσότητες δ ± για κάθε ακτίνα laser δίνεται από τη σχέση δ = ± δ k v ± µ ' Β / (5.) όπου μ =(g e M e -g g M g )μ Β είναι η δραστική μαγνητική ροπή για τη συγκεκριμένη μετάβαση, g e, g g, είναι οι παράγοντες Lande, μ Β είναι η μαγνητόνη του Bohr. Σημειώνουμε πως η μετατόπιση Doppler ω D = k v και η μετατόπιση Zeeman ω Z = µ ' Β / έχουν αντίθετα πρόσημα για τις δύο ακτίνες. Όταν οι μετατοπίσεις Zeeman και Doppler είναι μικρές σε σχέση με τη διαφορά μεταξύ της συχνότητας μετάβασης και της συχνότητας του laser δ, μπορούμε να αναπτύξουμε τον παρονομαστή της παραπάτω σχέσης και να καταλήξουμε στο αποτέλεσμα F = βv κr (5.3) 41

47 όπου ο παράγοντας απόσβεσης β δίνεται από τη σχέση (3.6) για τις οπτικές λαβίδες και η σταθερά επαναφοράς κ δίνεται από τη σχέση µ ' A κ = β k (5.4) Η δύναμη της παραπάνω σχέσης αντιστοιχεί σε αρμονική ταλάντωση με ρυθμό απόσβεσης Γ ΜΟΤ =β/μ και συχνότητα ταλάντωσης ωmot = κ / Μ. Για μαγνητικά πεδία της τάξης του Α=10 G/cm η συχνότητα ταλάντωσης είναι της τάξης των khz και είναι αρκετά μικρότερη του ρυθμού απόσβεσης που είναι της τάξης των εκατοντάδων khz. Οπότε έχουμε πολύ ισχυρή απόσβεση με τον χαρακτηριστικό χρόνο επαναφοράς στο κέντρο της παγίδας Γ ΜΟΤ /ω ΜΟΤ να είναι ως τάξη μεγέθους μερικά ms. Στην πραγματικότητα οι ΜΟΤ είναι πιο περίπλοκες από την παραπάνω απλή περιγραφή. Η κατάσταση περιπλέκεται καθώς η βασική κατάσταση ενός αλκαλίου έχει περισσότερα από ένα υποεπίπεδα υπέρλεπτης υφής. Για παράδειγμα το Na έχει F=1 και F= υποεπίπεδα υπέρλεπτης υφής στη βασική κατάσταση 3S 1/. H διεγερμένη κατάσταση 3P 3/ έχει τέσσερα υποεπίπεδα λεπτής υφής με κβαντικούς αριθμούς F =0, 1,, 3. Αν η συχνότητα του laser είναι συντονισμένη με τη μετάβαση F = F' = 3 κάποια άτομα θα διεγερθούν στην F = καθώς τα δύο υποεπίπεδα είναι πολύ κοντά. Από την F = τα άτομα μπορούν να αποδιεγερθούν είτε στην F=1 είτε στην F=. Για τα άτομα όμως που θα αποδιεγερθούν στην F=1 δεν υπάρχει συχνότητα για να προκαλέσει τη μετάβαση F=1 F = και έτσι μετά από κάποιους κύκλους διεγέρσεων αποδιεγέρσεων το μεγαλύτερο μέρος του πληθυσμού θα είναι στην κατάσταση F=1. Έχουμε δηλαδή εδώ ένα ανεπιθύμητο optical pumping, γιατί αν η έλλειψη ατόμων στην F= κατάσταση δεν αντιμετωπιστεί η ΜΟΤ θα σταματήσει να λειτουργεί. Η κατάσταση F= αναφέρεται ως η φωτεινή κατάσταση καθώς πάνω της στηρίζεται η λειτουργία της ΜΟΤ. Για να επαναφέρουμε τα άτομα στην κατάσταση F= χρησιμοποιούμε πρόσθετα laser συντονισμένα για τη μετάβαση F = 1 F' =. Η διαδικασία ονομάζεται repumping. 5.γ Η dark-spot Tο ζητούμενο της παγίδευσης των σωματιδίων είναι να αυξήσουμε την αριθμητική τους πυκνότητα, έτσι ώστε να μπορέσει να ξεκινήσει η διαδικασία της ψύξης με εξάτμιση (evaporative cooling) που θα οδηγήσει σε περαιτέρω ψύξη και που θα περιγραφεί σε επόμενο κεφάλαιο. Η κλασική εκδοχή της ΜΟΤ που περιγράψαμε παραπάνω θέτει κάποια όρια στη μέγιστη πυκνότητα σωματιδίων που μπορούμε να έχουμε. 4

48 Ένας παράγοντας που περιορίζει τη μέγιστη δυνατή πυκνότητα είναι οι συγκρούσεις μεταξύ διεγερμένων και μη διεγερμένων ατόμων κατά τις οποίες η ενέργεια διέγερσης μπορεί να μετατραπεί σε κινητική ενέργεια με αποτέλεσμα να εκδιώκονται άτομα από την παγίδα. Για πυκνότητες που πλησιάζουν την n=10 11 άτομα/cm 3, o χρόνος παραμονής στην παγίδα περιορίζεται σε λιγότερο από 1 s. Ένας δεύτερος παράγοντας είναι οι απωστικές δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ των παγιδευμένων ατόμων εξαιτίας της επαναπορρόφησης της σκεδαζόμενης ακτινοβολίας, διαδικασία που αναφέρεται ως παγίδευση ακτινοβολίας. Σε μια μέγιστη πυκνότητα η πίεση ακτινοβολίας από μέσα προς τα έξω εξισορροπεί τις δυνάμεις παγίδευσης των laser. Περαιτέρω αύξηση του αριθμού των ατόμων στο ατομικό νέφος οδηγεί στην αύξηση του μεγέθους του αλλά όχι σε μεγαλύτερες πυκνότητες. Οι δύο διαδικασίες που περιγράφονται παραπάνω εξαρτώνται προφανώς από το ποσοστό των ατόμων που βρίσκονται στη φωτεινή κατάσταση και εκμηδενίζονται για άτομα που βρίσκονται στη σκοτεινή κατάσταση καθώς δεν μπορούν να απορροφήσουν φωτόνια από τα laser που είναι υπεύθυνα για την παγίδευση. Η διαδικασία του repumping δηλαδή, ενώ είναι απαραίτητη για την παγίδευση οδηγεί τελικά σε ένα ανώτατο όριο των πυκνοτήτων εξαιτίας των παραπάνω διαδικασιών. Μία λύση είναι να διαχωρίσουμε χωρικά τις περιοχές όπου λαμβάνει χώρα το repumping, έτσι ώστε τα άτομα που βρίσκονται στο κέντρο της παγίδας να παραμένουν σε σκοτεινή κατάσταση. Αυτό επιτυγχάνεται με την dark Spontaneous Optical Trap ή dark SPOT. Σε αυτή το laser που χρησιμοποιείται για το repumping περνάει μέσα από μία γυάλινη πλάκα με μία μαύρη κουκκίδα η οποία προβάλλεται ακριβώς στο κέντρο της παγίδας δημιουργώντας μία σκοτεινή κηλίδα διαμέτρου περίπου 1 cm. Χρησιμοποιώντας ένα όμοιο laser που δημιουργεί μία κηλίδα 3 cm, το repumping συμβαίνει σε ολόκληρη την περιοχή παγίδευσης εκτός από τα σκοτεινά σημεία στα οποία διασταυρώνονται οι δύο ακτίνες. Στην παγίδα dark-spot παρατηρούνται μεγαλύτεροι χρόνοι παγίδευσης καθώς και μεγαλύτερες πυκνότητες για μεγαλύτερο αριθμό σωματιδίων συγκριτικά με τη συμβατική MOT. 43

49 6. Ψύξη με εξάτμιση (evaporative cooling) Οι θερμοκρασίες που επιτυγχάνονται χρησιμοποιώντας laser είναι πολύ χαμηλές, αλλά όχι αρκετά χαμηλές για να έχουμε BEC στις πυκνότητες που έχουμε στα πειράματα. Σε όλα τα πειράματα όπου έχει παρατηρηθεί BEC, η ψύξη με εξάτμιση ήταν το τελικό στάδιο. Η βασική αρχή της διαδικασίας είναι το ότι, αν από ένα σύστημα ατόμων απομακρύνονται αυτά με τη μεγαλύτερη ενέργεια, τα εναπομείναντα άτομα ψύχονται. Έστω ότι έχουμε άτομα διαφόρων ενεργειών σε μία παγίδα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Σχήμα 6.1: Η διαδικασία της απομάκρυνσης ατόμων σύμφωνα με την ενέργεια κατωφλίου ε ev Αν κάποιος δημιουργήσει μία οπή ψηλά στα τοιχώματα της παγίδας, θα μπορέσουν να διαφύγουν μόνο τα άτομα με ενέργεια τουλάχιστον την ενέργεια της παγίδας στο σημείο της οπής. Στην πράξη αυτό μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας ραδιοσυχνότητες (radio frequency-rf) που είναι πολύ κοντά στις διαφορές συχνοτήτων μεταξύ των υποεπιπέδων Zeeman ενός ατόμου μέσα σε μία μαγνητική παγίδα. Τα πιο ενεργητικά άτομα θα βρίσκονται σε περιοχές πιο ισχυρού μαγνητικού πεδίου, επομένως ο διαχωρισμός μεταξύ των υποεπιπέδων Zeeman σε αυτά τα άτομα θα είναι αρκετά μεγαλύτερος από αυτόν στα άτομα κοντά στο κέντρο της παγίδας. Εφαρμόζοντας συχνότητες κατάλληλες για τα πιο ενεργητικά άτομα μπορούμε να προκαλέσουμε σε αυτά μεταβάσεις ανάμεσα στα υποεπίπεδα Zeeman, θέτοντας τα έτσι σε μη παγιδεύσιμη κατάσταση. Όσο όλο και περισσότερα άτομα εκδιώκονται από την παγίδα και η ψύξη προχωράει, η ραδιοσυχνότητα μειώνεται για να επιτρέψει την απώλεια ατόμων με ολοένα και μικρότερη ενέργεια. Έστω ότι συμβολίζουμε με ε τη μέση ενέργεια ενός ατόμου στην παγίδα, συμπεριλαμβάνοντας έτσι τον κινητικό όρο και το δυναμικό όρο λόγω παγίδευσης. Αν η μέση ενέργεια ενός ατόμου που απομακρύνεται είναι (1+β)ε, με β>0, η μεταβολή στη μέση ενέργεια των σωματιδίων μπορεί να βρεθεί με τη συνθήκη ότι η ολική ενέργεια των σωματιδίων είναι σταθερή. Αν η μεταβολή του αριθμού των σωματιδίων είναι dn, η ενέργεια που αφαιρείται από τα σωματίδια που 44

50 απομακρύνονται είναι (1+β)εdN. Σημειώνουμε ότι για απώλεια σωματιδίων dn<0. Η ολική ενέργεια των σωματιδίων που παραμένουν στην παγίδα θα είναι Ε+(1+β)εdN και ο αριθμός τους Ν+dN. H μέση ενέργεια ανά άτομο μετά από την εξάτμιση θα είναι ε + dε = E + (1 + βε ) dn N + dn (6.1) από όπου καταλήγουμε στη σχέση: d ln ε = β dln N (6.) Θεωρώντας το Ν ανεξάρτητο από το β, έχουμε ε N = ε (0) N(0) (6.3) Βλέπουμε δηλαδή σε αυτή την απλή θεώρηση ότι η μέση ενέργεια ανά σωματίδιο μειώνεται σύμφωνα με τον ολικό αριθμό των σωματιδίων στην παγίδα, Ν, υψωμένο στη δύναμη β. Θεωρώντας το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή στις τρείς διαστάσεις και σύμφωνα με το θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας, η μέση ενέργεια ανά σωματίδιο δίνεται από τη σχέση 45 β ε 3 3 = + kt (6.4) όπου φαίνεται ο διαχωρισμός μεταξύ των κινητικών και των δυναμικών βαθμών ελευθερίας. Επειδή η ενέργεια είναι ανάλογη της θερμοκρασίας, η τελευταία θα εξαρτάται από τον ολικό αριθμό των σωματιδίων όπως και η ενέργεια dlnt dln N = β (6.5) Αυτό το αποτέλεσμα δείχνει ότι όσο μεγαλύτερη είναι η ενέργεια των σωματιδίων που εξατμίζονται, τόσο πιο γρήγορη πτώση της θερμοκρασίας έχουμε για δεδομένο αριθμό σωματιδίων. Ο ρυθμός της εξάτμισης όμως εξαρτάται από το ενεργειακό κατώφλι που έχουμε θέσει και από το ρυθμό των ελαστικών κρούσεων μεταξύ των ατόμων στην παγίδα, καθώς από αυτό το ρυθμό εξαρτάται το πόσο γρήγορα θα γίνει η αναθέρμανση του δείγματος που θα θέσει εκ νέου κάποια από τα άτομα σε αρκετά υψηλές ενέργειες ώστε να μπορεί να πραγματοποιηθεί η εξάτμιση. Οπότε, όσο υψηλότερο το ενεργειακό κατώφλι, τόσο μικρότερος θα είναι ο ρυθμός

51 εξάτμισης. Η ενέργεια κατωφλίου δε θα πρέπει να είναι αυθαίρετα υψηλή, καθώς υπάρχουν και άλλες διαδικασίες που εκδιώκουν άτομα από την παγίδα, χωρίς αυτές οι απώλειες να οδηγούν σε πτώση της θερμοκρασίας. Αυτές οι διαδικασίες περιορίζουν το διαθέσιμο χρόνο για την εξάτμιση και επομένως το κατώφλι ενέργειας θα πρέπει να είναι μεν αρκετά υψηλό ώστε να δίνει χρόνο στο δείγμα να αναθερμανθεί, αλλά και αρκετά χαμηλό ώστε η διαδικασία εξάτμισης να προχωρά ταχύτερα από το ρυθμό απωλειών εξαιτίας άλλων παραγόντων. Οι παράγοντες αυτοί μπορεί να είναι συγκρούσεις μεταξύ των ατόμων του δείγματος και του θερμού υποβάθρου ή και μη ελαστικές κρούσεις μεταξύ των ατόμων του δείγματος οι οποίες μπορεί να οδηγήσουν τα άτομα σε διαφορετικές καταστάσεις υπέρλεπτης υφής. Ειδικά για τα αλκαλικά άτομα ένας σημαντικός μηχανισμός απωλειών είναι ο σχηματισμός διατομικών μορίων. Για να εκτιμήσουμε την ψύξη που μπορούμε να έχουμε από την εξάτμιση θα χρησιμοποιήσουμε ένα απλό μοντέλο. Υποθέτουμε ότι ο ρυθμός με τον οποίο τα άτομα απομακρύνονται από την παγίδα εξαιτίας της εξάτμισης δίνεται από τη σχέση dn dt ev N = τ ev (6.6) και ο ρυθμός απώλειας σωματιδίων εξαιτίας άλλων διαδικασιών, από τη σχέση dn dt loss N = τ loss (6.6) όπου τ ev και τ loss είναι ο μέσος χρόνος απώλειας ενός σωματιδίου και με τους δύο μηχανισμούς. Αν υποθέσουμε επιπλέον ότι η μέση ενέργεια των σωματιδίων που χάνονται από διαδικασίες εκτός της εξάτμισης είναι ίση με τη μέση ενέργεια των σωματιδίων του δείγματος και δε λάβουμε υπόψιν τη θέρμανση από μη ελαστικές συγκρούσεις, μόνο τα άτομα που απομακρύνονται με εξάτμιση μεταβάλλουν τη μέση ενέργεια των ατόμων που παραμένουν στην παγίδα. Το κλάσμα των σωματιδίων που χάνονται εξαιτίας της εξάτμισης είναι dn dn dn τ loss / + = dt ev dt ev dt loss τloss + τev (6.7) και η μεταβολή στη θερμοκρασία θα δίνεται πολλαπλασιάζοντας τη σχέση (6.5) που ισχύει όταν δεν υπάρχουν απώλειες με τον παραπάνω παράγοντα 46

52 dlnt dln N = τ loss β β' τ + τ loss ev (6.8) Υποθέτουμε ότι όλα τα άτομα με ενέργεια μεγαλύτερη από τη ενέργεια κατωφλίου ε ev απομακρύνονται λόγω εξάτμισης. Ο ρυθμός εξάτμισης θα είναι επομένως ίσος με το ρυθμό σκέδασης (λόγω συγκρούσεων) σε καταστάσεις με ενέργεια μεγαλύτερη από την ε ev. Υποθέτουμε επίσης ότι ε ev <<kt και επομένως στην κατάσταση ισορροπίας το ποσοστό των σωματιδίων με ενέργειες μεγαλύτερες από την ενέργεια κατωφλίου θα είναι εξαιρετικά μικρό. Ο ρυθμός σκέδασης σε ενέργειες μεγαλύτερης της ε ev δίνεται από τη σχέση dn dt coll ε ev = Nn(0) σv exp[ εev / kt ] kt (6.9) όπου n(0) είναι η αριθμητική πυκνότητα των σωματιδίων στο κέντρο της παγίδας όπου το δυναμικό είναι μηδέν, σ είναι η ολική ενεργός διατομή για ελαστικές κρούσεις και v είναι η μέση θερμική ταχύτητα που δίνεται από τη σχέση v 1/ 8kT = π m (6.10) Ο χρόνος μεταξύ ελαστικών κρούσεων ορίζεται από τη σχέση 1/ τ = n(0) σv el rel (6.11) όπου v rel είναι η μέση σχετική ταχύτητα των σωματιδίων σε ένα αέριο και ισούται με v. Στα πειράματα ο χρόνος μεταξύ των ελαστικών σκεδάσεων είναι συνήθως κάποιες τάξεις μεγέθους μικρότερος από το χρόνο απωλειών. Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις και εξισώνοντας το ρυθμό εξάτμισης με το ρυθμό συγκρούσεων καταλήγουμε στη σχέση 1 1 ε ev = exp [ ε ev / kt ] τev τ el kt (6.1) Επειδή ο μέσος αριθμός κατάληψης των ενεργειακών καταστάσεων είναι πολύ μικρότερος από τη μονάδα σε ενέργειες μεγάλες συγκριτικά με τη θερμική ενέργεια κτ, η πλειονότητα των σωματιδίων που εξατμίζονται έχουν ενέργεια κοντά στην ε ev και έτσι είναι μία καλή προσέγγιση να αντικαταστήσουμε τη μέση ενέργεια που απομακρύνεται μέσω εξάτμισης ανά σωματίδιο (1+β)ε με την ενέργεια ε ev. Mπορούμε επομένως να ξαναγράψουμε τη σχέση (6.8) ως εξής 47

53 d lnt εev τel kt = exp ( ε ev / kt ) dln N ε τloss εev (6.13) Αυτή η συνάρτηση αρχικά αυξάνεται όσο η ενέργεια κατωφλίου αυξάνεται και στη συνέχεια έχουμε πτώση όταν ο ρυθμός εξάτμισης γίνεται συγκρίσιμος με το ρυθμό απωλειών. Η ιδανική επιλογή για την ενέργεια κατωφλίου βρίσκεται μεγιστοποιώντας την παραπάνω έκφραση και δίνεται από τη σχέση 1 ( ) ε kt ln τ / τ ev loss el (6.14) Αυτή η συνθήκη αντιστοιχεί στην απαίτηση να είναι συγκρίσιμοι ο χρόνος εξάτμισης και ο χρόνος απωλειών. Σε μια παγίδα με δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή ο όγκος του νέφους των ατόμων 3/ εξαρτάται από τη θερμοκρασία ως V T. Η μέση ορμή λόγω θερμικής κίνησης είναι ανάλογη του Τ 1/ και επομένως ο όγκος στο χώρο των ορμών είναι ανάλογος με το Τ 3/. Ο όγκος στο χώρο των φάσεων θα είναι τότε Τ 3/+3/ και η πυκνότητα του χώρου φάσεων θα είναι ανάλογη του Ν/Τ 3/+3/. Από την εξίσωση (6.8) τελικά οδηγούμαστε στο αποτέλεσμα d ln ρ ps = 3 β ' 1 dln N (6.15) Στα πειράματα είναι επιθυμητό να έχουμε μείωση του χρόνου ελαστικής κρούσης όσο προχωρά η διαδικασία της εξάτμισης για να έχουμε γρήγορη αναθέρμανση του δείγματος. Σε αντίθετη περίπτωση ο ρυθμός των ελαστικών κρούσεων μειώνεται και οι απώλειες γίνονται σημαντικές. Ο ρυθμός σκέδασης εξαρτάται από την ατομική πυκνότητα επί τη θερμική ταχύτητα που είναι ανάλογη του Τ 1/, εφόσον θεωρούμε την ενεργό διατομή σταθερή και έτσι βρίσκουμε ότι d lnτ el dln N = β ' 1 (6.16) Η απαίτηση να είναι η παραπάνω ποσότητα θετική περιορίζει πολύ περισσότερο τις δυνατές τιμές του β από ότι η απαίτηση για αύξηση της πυκνότητας του χώρου φάσεων. 48

54 7. Η πρώτη παρατήρηση BEC H πρώτη παρατήρηση BEC έγινε από τους Anderson, Ensher, Matthews, Wieman και Cornell τον Ιούλιο του 1995 σε ατμούς ρουβιδίου-87. Το συμπύκνωμα εμφανίστηκε σε θερμοκρασία 170 nanokelvin με την αριθμητική πυκνότητα των 1 ατόμων να είναι.5 10 άτομα/cm 3, και διατηρήθηκε για πάνω από 15 δευτερόλεπτα. Παρατηρήθηκαν τρία χαρακτηριστικά στοιχεία του συμπυκνώματος. i) Mια στενή κορυφή μηδενικής ταχύτητας εμφανίστηκε στη θερμική κατανομή ταχυτήτων, ii) Ο αριθμός των ατόμων σε αυτή τη στενή κορυφή αυξανόταν κατακόρυφα όσο μειωνόταν η θερμοκρασία και iii) Κατά την εκτόνωση του δείγματος είχαμε μία ανισοτροπική κατανομή ταχυτήτων στο συμπύκνωμα όπως αναμένεται για τη θεμελιώδη ενεργειακή στάθμη ενός ανισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή, σε αντίθεση με την ισοτροπική κατανομή ταχυτήτων για το μη συμπυκνωμένο μέρος του δείγματος. 7.α Ευνοϊκά στοιχεία των αλκαλικών ατόμων Τα αλκάλια συγκεντρώνουν κάποια θετικά χαρακτηριστικά που ευνόησαν τη διαδικασία στο συγκεκριμένο πείραμα. Καταρχήν έχουν πολύ μεγάλες ενεργές διατομές ελαστικών κρούσεων, κάτι που βοηθά στη διαδικασία της εξάτμισης όπως έχουμε πει στο κεφάλαιο 6. Επίσης, είναι σχετικά εύκολο να εξάγουμε ακριβείς πληροφορίες για την πυκνότητα και την ενέργεια του ατομικού νέφους συναρτήσει του χώρου και του χρόνου, καθώς οι ενέργειες διέγερσης είναι εύκολα προσβάσιμες. Έτσι με τη σκέδαση φωτονίων κατάλληλης συχνότητας μπορούμε ουσιαστικά να φωτογραφήσουμε το συμπύκνωμα. Ένα άλλο θετικό χαρακτηριστικό είναι ότι οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ατόμων είναι πολύ ασθενείς. Το μήκος σκέδασης α είναι της τάξης των 10-6 cm, ενώ η μέση ενδοατομική απόσταση στις επιθυμητές πυκνότητες είναι της τάξης των 10-4 cm. Οι ασθενείς αλληλεπιδράσεις ευνοούν τη διαδικασία της εξάτμισης καθώς μειώνεται η πιθανότητα ανελαστικών κρούσεων που μπορούν να εκδιώξουν άτομα από την παγίδα. Τέλος οι αλληλεπιδράσεις μπορούν να ελεγθούν με την επιλογή της κατάστασης σπιν των ατόμων, ή του κατάλληλου ισοτόπου και εξωτερικών πεδίων. 7.β Η πειραματική διάταξη Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η διάταξη που χρησιμοποιήθηκε στο πείραμα. Οι ακτίνες laser και οι μαγνητικές σπείρες είναι τοποθετημένες εξωτερικά ενός γυάλινου κλωβού σε συνθήκες κενού (10-11 Τοrr), έτσι ώστε να υπάρχει εύκολη πρόσβαση για τις ρυθμίσεις. Τα άτομα ρουβιδίου συλλέγονται σε μία ΜΟΤ όπου 49

55 Σχήμα 7.1: H περαματική διάταξη. Έξι ακτίνες laser διασταυρώνονται σχηματίζοντας μαζί με τις σπείρες με ζωγραφισμένα βέλη μια ΜΟΤ. Ο κλωβός είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις.5x.5x1 cm και οι ακτίνες έχουν διάμετρο 1.5 cm. Οι παραπάνω σπείρες σχηματίζουν και την τετραπολική παγίδα και τα πρόσθετά πεδία για την ΤΟΡ παγίδα σχηματίζονται από τις μικρότερες σπείρες ανάμεσα. Ο γυάλινος κλωβός είναι κρεμασμένος από ένα ατσάλινο θάλαμο που περιέχει αντλία κενού και την πηγή ρουβιδίου, ο οποίος δε φαίνεται στο σχήμα. Επίσης στο σχήμα δε φαίνονται οι σπείρες για τα rf μαγνητικά πεδία που χρησιμοποιούνται στην εξάτμιση, όπως και τα laser για το optical pumping και για τη φωτογράφιση ψύχονται και συμπιέζονται και στη συνέχεια μεταφέρονται σε μία μαγνητική παγίδα όπου ψύχονται κι άλλο με εξάτμιση. Η συχνότητα του περιστρεφόμενου πεδίου στην TOP παγίδα είναι στα 7.5 khz. 7.γH διαδικασία ψύξης από τη θερμοκρασία δωματίου μέχρι τη θερμοκρασία BEC Για 300 s τα άτομα συγκεντρώνονται στη ΜΟΤ στην οποία παγιδεύονται από τη θερμοκρασία δωματίου. Η παγίδα που χρησιμοποιήθηκε είναι η dark-spot που έχουμε περιγράψει. Η χρησιμοποίηση της dark-spot έκανε δυνατή τη συγκέντρωση 10 7 ατόμων σε συνθήκες αυστηρού κενού καθώς μείωσε κατά πολύ τις απώλειες. Στη συνέχεια το ατομικό νέφος ψύχεται και συμπιέζεται με αύξηση των μαγνητικών πεδίων και ρύθμιση των laser μέχρι τη θερμοκρασία των 0 μκ. Εφαρμόζεται ένα ασθενές μαγνητικό πεδίο και ένας παλμός κυκλικά πολωμένου φωτός θέτει με optical pumping όλα τα άτομα στην κατάσταση F=, m F =. Tα laser της ΜΟΤ σβήνουν και ενεργοποιούνται τα πεδία για την ΤΟΡ παγίδα σε ένα ms. To μαγνητικό πεδίο της τετραπολικής παγίδας αυξάνεται μέχρι τη μέγιστη τιμή του, με αποτέλεσμα τον πενταπλασιασμό του ρυθμού των ελαστικών κρούσεων. 6 Σε εκείνη τη φάση υπήρχαν 4 10 άτομα σε θερμοκρασία περίπου 90 μk στην παγίδα. Η παγίδα έχει αξονική συχνότητα ταλάντωσης 10 Ηz και μία κυλινδρικά συμμετρική ακτινική συχνότητα μικρότερη κατά ένα παράγοντα 1/ 8. Η μέση αριθμητική πυκνότητα του ατομικού νέφους είναι x10 10 άτομα/cm 3. O ρυθμός των ελαστικών κρούσεων είναι περίπου 3/s και είναι 00 φορές μεγαλύτερος από το ρυθμό απωλειών από την παγίδα που είναι μία ανά 70 s. 50

56 Στη συνέχεια το δείγμα ψύχθηκε με εξάτμιση για 70 s, κατά τη διάρκεια των οποίων και η rf συχνότητα και το μέτρο του περιστρεφόμενου πεδίου της TOP μειώνονταν σταδιακά. Η κατώτερη rf συχνότητα ν ev καθορίζει το πόσα άτομα θα απομακρυνθούν τελικά από την παγίδα. Αν ν ev =3.6 ΜΗz η rf συχνότητα επηρεάζει μέχρι και τα άτομα που βρίσκονται στο κέντρο της παγίδας και δε θα απομείνει κανένα άτομο στο δείγμα. Όταν φτάσουμε στην κατώτερη rf συχνότητα αφήνουμε το δείγμα να ισορροπήσει για s γιατί η κορυφή του συμπυκνώματος δεν εμφανίζεται αμέσως αφού περάσουμε τη θερμοκρασία μετάβασης, αλλά χρειάζεται αυτά τα s για να σχηματιστεί. Στη συνέχεια αφήνουμε το δείγμα να επεκταθεί και μετράμε την κατανομή ταχυτήτων. Για τεχνικούς λόγους αυτή η επέκταση έγινε σε δύο βήματα. Οι σταθερές επαναφοράς της παγίδας αρχικά μειώθηκαν αδιαβατικά κατά ένα παράγοντα 1/75 και μετά ξαφνικά μειώθηκαν κοντά στο μηδέν οπότε το ατομικό νέφος εξαπλώθηκε βαλιστικά. Ένα μικρό μαγνητικό πεδίο παραμένει για να αντισταθμίσει τη βαρυτική έλξη, επιτρέποντας έτσι μεγαλύτερους χρόνους εξάπλωσης. Μετά από επέκταση του νέφους διάρκειας 60 ms η χωρική κατανομή φωτογραφήθηκε από ένα παλμό laser 0 μs συντονισμένο με τη μετάβαση 5S 1/, F= 5P 3/, F=3. Το αποτέλεσμα της απορρόφησης φαίνεται στην παρακάτω απεικόνιση Σχήμα 7.: H αριστερή χρωματική κλίμακα δείχνει την αντιστοιχία χρώματος ταχύτητας με το κόκκινο να αντιστοιχεί σε μεγαλύτερες ταχύτητες, έως το λευκό που αντιστοιχεί σε μηδενική. (Α) Λίγο πριν τη δημιουργία του συμπυκνώματος (Β) Μόλις έχει δημιουργηθεί (C) στο τέλος της ψύξης με εξάτμιση όπου έχει μείνει σχεδόν καθαρό συμπύκνωμα. Ο χώρος που απεικονίζεται είναι 00 μm x 70 μm 51

57 7.δ Ανάλυση των αποτελεσμάτων H κυκλική κατανομή του μη συμπυκνωμένου μέρους που απεικονίζεται κυρίως με κίτρινο και πράσινο (Σχήμα 7.) είναι ενδεικτική της ισοτροπικής κατανομής ταχυτήτων όπως αναμένεται σε θερμική ισορροπία. Το συμπυκνωμένο μέρος (μπλε και λευκό) είναι ελλειπτικό και η κατανομή ταχυτήτων δεν είναι ισοτροπική. Είναι η εικόνα μίας μακροσκοπικά κατειλημμένης κβαντικής κατάστασης, της θεμελιώδους ενεργειακής στάθμης του αρμονικού ταλαντωτή. Για όλα τα αρμονικά δυναμικά, συμπεριλαμβανομένης και της ΤΟΡ παγίδας, η κατανομή ταχυτήτων είναι ίδια με την χωρική κατανομή των σωματιδίων αν θεωρήσουμε το αέριο ιδανικό, κάτι το οποίο είναι μια λογική υπόθεση για την περίπτωσή μας εκτός από το συμπυκνωμένο μέρος. Έτσι από μία και μόνο απεικόνιση μπορούμε να έχουμε και την κατανομή ταχυτήτων και τη χωρική κατανομή, από τις οποίες μπορούμε να εξάγουμε τη θερμοκρασία και την πυκνότητα στο κέντρο του ατομικού νέφους. Η διαδικασία της απεικόνισης καταστρέφει το δείγμα, το οποίο όμως μπορεί να ξαναδημιουργηθεί επαναλαμβάνοντας τα παραπάνω βήματα, τα οποία επαναλήφθηκαν πολλές φορές σε πανομοιότυπες συνθήκες μειώνοντας κάθε φορά μόνο την κατώτερη τιμή v ev, που αντιστοιχεί σε μείωση της κατώτερης θρμοκρασίας και αύξηση της μέγιστης πυκνότητας του χώρου φάσεων. Η ασυνέχεια των θερμοδυναμικών μεταβλητών και των παραγώγων τους είναι πάντα μία ισχυρή ένδειξη ότι έχουμε μετατροπή φάσης. Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε μια πολύ απότομη αύξηση της πυκνότητας στο κέντρο του νέφους στην τιμή v ev =4.3 MHz. Σχήμα 7.3: H μέγιστη πυκνότητα στο κέντρο του δείγματος σαν συνάρτηση της τελικής τιμής v ev. Όσο προχωράει η εξάτμιση σε μικρότερες τιμές v ev το νέφος συρρικνώνεται και ψύχεται προκαλώντας μικρές αυξήσεις στη μέγιστη πυκνότητα, μέχρι την τιμή 4.3 ΜΗz. H ασυνέχεια σε αυτή την τιμή καταδεικνύει την πρώτη εμφάνιση υψηλής πυκνότητας συμπυκνώματος, καθώς έχουμε μετατροπή φάσης. Στην τιμή 4.1 ΜΗz σχεδόν όλα τα άτομα βρίσκονται σε συμπυκνωμένη κατάσταση. Σε χαμηλότερες τιμές η πυκνότητας πέφτει καθώς απομακρύνεται πλέον και μέρος του συμπυκνώματος. Στην τιμή 4.7 ΜΗz έχουμε θερμοκρασία 1.6 μκ, ενώ για 4.5 ΜΗz έχουμε 180 nk. H θερμοκρασία είναι μια πολύπλοκη αλλά μονότονη συνάρτηση του v ev. 5

58 Αυτή η αύξηση είναι αναμενόμενη στη μετατροπή σε συμπύκνωμα. Όσο προχωρά η ψύξη κάτω από τη θερμοκρασία μετάβασης τα άτομα συσσωρεύονται στη θεμελιώδη ενεργειακή στάθμη του τρισδιάστατου ανισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή. Για ένα ιδανικό αέριο η συσσώρευση αυτή είναι τόσο κοντά σε ένα μοναδικό σημείο στο χώρο των θέσεων και των ταχυτήτων όσο επιτρέπει η αρχή της απροσδιοριστίας. Επομένως κάτω από τη θερμοκρασία μετάβασης περιμένουμε ένα νέφος με δύο μέρη με ένα πολύ πυκνό συμπυκνωμένο μέρος να περιβάλλεται από ένα θερμικό μη συμπυκνωμένο μέρος. Η δομή αυτή φαίνεται καθαρά στο παρακάτω σχήμα στο οποίο φαίνονται οριζόντιες τομές που περνάν από το κέντρο του δείγματος. Σχήμα 7.4: Οριζόντιες τομές στην κατανομή ταχυτήτων για συνεχώς μικρότερες τιμές της τελικής τιμής v ev που δείχνουν τη δημιουργία του συμπυκνώματος Για τιμές της v ev πάνω από τα 4.3 ΜΗz η κατανομή ταχυτήτων είναι μία ομαλή Γκαουσιανή κατανομή. Στα 4.3 ΜΗz αρχίζει να εμφανίζεται μια στενή κορυφή στο κέντρο. Σε συχνότητες κάτω από τα 4.3 ΜΗz τα δύο διαφορετικά μέρη του νέφους είναι προφανή με τη στενή κορυφή στο κέντρο να επικάθεται της ομαλής απλωμένης κατανομής. Όσο η ψύξη προχωράει το μη συμπυκνωμένο μέρος συρρικνώνεται διαρκώς μέχρι της τιμής των 4.1 ΜΗz μένουν σχεδόν 000 άτομα καθαρού συμπυκνώματος. Το συμπύκνωμα εμφανίζεται αρχικά σε rf συχνότητα μεταξύ των 4.5 και 4.3 ΜΗz. Στα 4.5 ΜΗz έχουμε x10 4 άτομα με αριθμητική πυκνότητα.6x10 1 cm -3 και θερμοκρασία 170 nk. Oι τιμές αυτές αντιστοιχούν σε πυκνότητα χώρου φάσεων ρ ph =0.3 που είναι αρκετά χαμηλότερη της αναμενόμενης ρ ph =.61. Η πυκνότητα χώρου φάσεων είναι ανάλογη της έκτης δύναμης της διάστασης του νέφους και επομένως ανακρίβειες στην εκτίμηση του μεγέθους του νέφους μπορούν να εξηγήσουν αυτή την απόκλιση. Κάτω από τη θερμοκρασία μετάβασης μπορούμε να εκτιμήσουμε την πυκνότητα του χώρου φάσεων διαιρώντας τον αριθμό των ατόμων με το χώρο που καταλαμβάνουν στο χώρο των θέσεων και των ταχυτήτων. Το 53

59 αποτέλεσμα είναι αρκετές εκατοντάδες που είναι σαφώς μεγαλύτερο από το.6 και είναι συμβατό με το μεγάλο αριθμό κατάληψης της θεμελιώδους στάθμης. Οι θερμοκρασίες και οι πυκνότητες που αναφέρονται παραπάνω έχουν θεωρηθεί με την παγίδα ενεργοποιημένη. Μετά την απενεργοποίηση της παγίδας και την εκτόνωση του δείγματος τα άτομα είναι ακόμα σε θερμική ισορροπία αλλά οι θερμοκρασίες και οι πυκνότητες μειώνονται από 170 nk στα 0 nk και από.6x10 1 cm -3 στο cm -3. Ένα πολύ ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των εικόνων του σχήματος 7. είναι η διαφορά των λόγων της αξονικής προς την ακτινική εξάπλωση του νέφους για το συμπυκνωμένο και το μη συμπυκνωμένο μέρος. Στα δείγματα χωρίς συμπύκνωμα η κατανομή ταχυτήτων είναι ισοτροπική όπως φαίνεται από το κυκλικό σχήμα των πράσινων και κίτρινων περιοχών που περιβάλουν το συμπύκνωμα. Το συμπυκνωμένο μέρος όμως έχει σαφώς μεγαλύτερη διασπορά ταχυτήτων κατά την αξονική διεύθυνση παρά στην ακτινική. Η διαφορά αυτή είναι εύκολο να εξηγηθεί και αποτελεί ισχυρή απόδειξη ότι το κεντρικό μέρος είναι BEC. Tα μη συμπυκνωμένα άτομα επιδεικνύουν μια θερμική κατανομή καταλαμβάνοντας διάφορες ενεργειακές καταστάσεις και έχοντας διάφορες κυματοσυναρτήσεις. Σε θερμική ισορροπία, η κατανομή ταχυτήτων ενός αερίου είναι πάντα ισοτροπική ανεξάρτητα από το δυναμικό που κρατά το αέριο δέσμιο. Τα συμπυκνωμένα άτομα όμως περιγράφονται όλα από την ίδια κυματοσυνάρτηση η οποία θα είναι ανισοτροπική όπως και το δυναμικό της παγίδας. Το εύρος ταχυτήτων της κυματοσυνάρτησης της θεμελιώδους στάθμης για ένα ιδανικό αέριο μποζονίων θα είναι 1.7 φορές μεγαλύτερο κατά την αξονική διεύθυνση απ ότι στην ακτινική. Οι παρατηρήσεις μας συμφωνούν ποιοτικά με τη θεωρητική αυτή πρόβλεψη. Η ανισοτροπικότητα αποκλείει την πιθανότητα η στενή κορυφή που εμφανίζεται να είναι το αποτέλεσμα μιας συσσώρευσης στις χαμηλές ενεργειακές στάθμες και μας επιβεβαιώνει ότι πρόκειται για συσσώρευση στη μία θεμελιώδη στάθμη. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι παρά την ποιοτική συμφωνία, η θεώρηση του αερίου ως ιδανικό είναι ακατάλληλη. Το εύρος κατά την αξονική διεύθυνση είναι δύο φορές μεγαλύτερο από αυτό που προβλέπεται από τους υπολογισμούς και ο λόγος μεταξύ του εύρους ταχυτήτων κατά την αξονική προς την ακτινική διεύθυνση είναι 50% μεγαλύτερη. Το συμπύκνωμα περιγράφεται καλύτερα στη mean-field θεώρηση όπου του αποδίδεται μία ενέργεια αλληλεπίδρασης 4 π na / m που είναι συγκρίσιμη με τις αποστάσεις μεταξύ των ενεργειακών αποστάσεων στην παγίδα και επομένως μία πλήρης περιγραφή δε θα έπρεπε να την παραλείπει. Παρά το ότι η αέρια κατάσταση του ρουβιδίου είναι μία μετασταθής κατάσταση σε αυτές τις θερμοκρασίες, το συμπύκνωμα επιζεί για περίπου 15 s μέσα στην παγίδα, χρόνος που είναι αρκετός για να γίνουν αρκετά πειράματα. 54

60 7.ε Συμπύκνωση κατά Bose Enstein ατόμων Νατρίου, Λιθίου και το Βραβείο Νόμπελ Το επιτυχημένο πείραμα των Cornell και Wieman ακολούθησαν άλλα δύο πειράματα εντός του ίδιου έτους. Τον Ιούλιο του 1995 επετεύχθη η συμπύκνωση κατά Bose Enstein ατόμων λιθίου, με το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό ότι οι δυνάμεις μεταξύ αυτών των ατόμων είναι ελκτικές και θεωρητικά δεν προβλεπόταν η δημιουργία συμπυκνώματος. Το Νοέμβριο του 1995 μία ομάδα με επικεφαλής τον W. Ketterle πέτυχε τη συμπύκνωση ατόμων Νατρίου. Τελικά οι Cornell και Wiemann μοιράστηκαν το βραβείο Nόμπελ του 001 με τον Ketterle, καθώς το συμπύκνωμα που πέτυχε η δική του ομάδα περιείχε περισσότερα άτομα κατά δύο τάξεις μεγέθους (5 x 10 5 άτομα) και σε πυκνότητα που ξεπερνούσε τα άτομα/cm 3 (επίσης κατά δύο τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη), γεγονός που αποτέλεσε μεγάλο βήμα καθώς άνοιξε το δρόμο για καλύτερη διερεύνηση των φυσικών ιδιοτήτων του συμπυκνώματος. Ο Ketterle ακολούθησε τον ίδιο πειραματικό δρόμο, συνειδητοποίησε όμως ότι θα μπορούσε να μειώσει αρκετά τις απώλειες της παγίδας TOP κλείνοντας την τρύπα της τετραπολικής παγίδας με μία ακτίνα laser αντι με ένα επιπρόσθετο μαγνητικό πεδίο. Η ακτίνα τοποθετημένη κάθετα στο επίπεδο xz και επικεντρωμένη ακριβώς στην περιοχή της τρύπας, δημιούργησε ένα απωθητικό δυναμικό στο κέντρο της παγίδας εξαιτίας των διπολικών δυνάμεων, αποτρέποντας έτσι τα άτομα να διαφεύγουν από αυτή με μεταπτώσεις σπιν. Η συχνότητα του laser που χρησιμοποιήθηκε απείχε πολύ από τη συχνότητα απορρόφησης και έτσι δεν υπήρχε θέρμανση λόγω σκέδασης φωτονίων. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το αισθητό πεδίο από τα άτομα στη φάση της ψύξης με εξάτμιση. Σχήμα 7.5: Δυναμικό εξαιτίας της τετραπολικής παγίδας, του απωθητικού laser και των ραδιοσυχνοτήτων που χρησιμοποιήθηκαν για την ψύξη με εξάτμιση. H τομή του τρισδιάστατου δυναμικού είναι κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης της ακτίνας laser. Ο άξονας συμμετρίας του τετραπολικού πεδίου είναι κατά τον άξονα z. 55

61 H τεχνική φωτογράφισης του δείγματος ήταν όμοια με αυτή που χρησιμοποιήθηκε στο πείραμα των Cornell και Wieman. Στην εικόνα που ακολουθεί φαίνεται η αποτύπωση της κατανομής ταχυτήτων του συμπυκνωμένου και του μη συμπυκνωμένου μέρους. Σχήμα 7.6: Δισδιάστατες εικόνες αποτύπωσης μετά από εξάπλωση του νέφους διάρκειας 6 ms, οι οποίες αποτελούν απόδειξη για την επίτευξη BEC. Η διάσταση των φωτογραφιών είναι 870 μm. 7.στ Συμπύκνωση κατά Bose Einstein φωτονίων Από το 1995 μέχρι σήμερα έχουν επιτευχθεί συμπυκνώματα διαφόρων στοιχείων. Το εντυπωσιακότερο επίτευγμα όμως, ήταν η δημιουργία συμπυκνώματος από φωτόνια το 010. Η πραγματοποίηση του πειράματος έγκειται στη χρησιμοποίηση κοίλων καθρεπτών τοποθετημένων σε απόσταση μm, ανάμεσα στους οποίους υπάρχει χρωστική, ώστε να απορροφά και να επανεκπέμπει το φως. Η διαδικασία διαρκεί 1 ns, χρόνος αρκετός για να επέλθει θερμική ισορροπία με τη χρωστική. Αν φωτίσουμε με αρκετά έντονο φως τη χρωστική, τα φωτόνια θα συσσωρευτούν και θα συμπυκνωθούν σε θερμοκρασία δωματίου. Στα παρακάτω σχήματα φαίνεται μια απλοποιημένη εκδοχή της πειραματικής διάταξης, καθώς και το εντυπωσιακό υπερφωτόνιο. Σχήμα 7.7: Εικόνες της χωρικής κατανομής ακτινοβολίας πριν και μετά το σχηματισμό του συμπυκνώματος. Στη δεύτερη περίπτωση φαίνεται η μακροσκοπικά κατειλημμένη κβαντική κατάσταση 56

62 57 Σχήμα 7.8: Η πειραματική διάταξη, όπου φαίνεται η ακτίνα laser που αυξάνει την πυκνότητα των φωτονίων, καθώς και ο τρόπος ανίχνευσης και φωτογράφισης.