μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x

Transcript

1 Σπιν μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα ) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα, δηλαδή e, με. Το ηλεκτρόνιο αναγκάζεται να κινηθεί σε μια πολύ μικρή περιοχή του χώρου, αμελητέων διαστάσεων, έτσι ώστε ο μοναδικός βαθμός ελευθερίας του είναι το σπιν του. Τη χρονική στιγμή t, η κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου είναι η ιδιοκατάσταση z;, δηλαδή η ιδιοκατάσταση του τελεστή S z με ιδιοτιμή. i) Υπολογίστε την κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου μια τυχαία χρονική στιγμή t. ii) Ποια είναι η πιθανότητα, μια τυχαία χρονική στιγμή t, μια μέτρηση της z συνιστώσας του σπιν του ηλεκτρονίου να δώσει αποτέλεσμα ; iii) Ποια είναι η πιθανότητα, μια τυχαία χρονική στιγμή t, μια μέτρηση της συνιστώσας του σπιν του ηλεκτρονίου να δώσει αποτέλεσμα ; Τι παρατηρείτε; iv) Ποια είναι η πιθανότητα, μια τυχαία χρονική στιγμή t, μια μέτρηση της συνιστώσας του σπιν του ηλεκτρονίου να δώσει αποτέλεσμα ; Λύση i) Εφόσον ο μοναδικός βαθμός ελευθερίας του ηλεκτρονίου είναι το σπιν του, η μαγνητική (διπολική) ροπή του ηλεκτρονίου-μαγνητικού διπόλου είναι S, όπου είναι ο γυρομαγνητικός λόγος του σπιν του ηλεκτρονίου. Η μαγνητική δυναμική ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι U S S e S e S e e S S z z Εφόσον το ηλεκτρόνιο είναι πρακτικά ακίνητο, H U, επομένως H S () Στη βάση z;, z; των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Ŝ και S z, ο τελεστής S αναπαρίσταται από τον πίνακα S. Επομένως, στη βάση αυτή, η Χαμιλτονιανή () αναπαρίσταται από τον πίνακα H S

2 H () Παρατηρήστε ότι ο πίνακας () είναι ερμιτιανός, όπως πρέπει, αφού αναπαριστά τον ερμιτιανό τελεστή της Χαμιλτονιανής. Ωστόσο, όπως βλέπουμε, δεν είναι διαγώνιος πίνακας. Στη βάση που δουλεύουμε, η κατάσταση χρονική στιγμή t αναπαρίσταται από τον σπίνορα t at bt (3) t του σπιν του ηλεκτρονίου τη Τη χρονική στιγμή t, η κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου είναι η ιδιοκατάσταση z;, που, στη βάση z;, z;, αναπαρίσταται από τον σπίνορα. Με τη βοήθεια της (3), η αρχική συνθήκη για τον σπίνορα Επομένως a b a (4) b (5) t γράφεται Η χρονική εξέλιξη του σπίνορα (3) καθορίζεται από την εξίσωση του Schrodinger i H t η οποία με τη βοήθεια των () και (3) γράφεται i a t a t a b a b i i t b t b t b a b a Η τελευταία εξίσωση μάς λέει ότι a b i b (6) i a (7) Οι (6) και (7) είναι, όπως βλέπουμε, συζευγμένες. Αυτό είναι απόρροια του γεγονότος ότι η Χαμιλτονιανή () ΔΕΝ είναι διαγώνιος πίνακας. Μπορούμε, ωστόσο, να αποσυζεύξουμε εύκολα το σύστημα των (6) και (7) αν παραγωγίσουμε άλλη μια φορά. Αν παραγωγίσουμε την (6) μία ακόμα φορά, θα πάρουμε

3 i a b Αντικαθιστούμε το b από την (7), και παίρνουμε i a a a a a (8) Ομοίως, αν παραγωγίσουμε την (7) μία ακόμα φορά και αντικαταστήσουμε το a από την (6), θα πάρουμε i b b b b b (9) Οι (8) και (9) είναι η εξίσωση κίνησης αρμονικού ταλαντωτή κυκλικής συχνότητας. Θυμίζουμε ότι, ενώ ο γυρομαγνητικός λόγος του σπιν του qe ηλεκτρονίου είναι αρνητικός, αφού ge.,. me Οι λύσεις των (8) και (9) είναι i i at Aep t Aep t () i i bt ep t ep t () Θέλουμε τώρα να προσδιορίσουμε τις σταθερές A, A,,. Με τη βοήθεια των () και (), οι αρχικές τιμές (4) και (5) γράφονται A () A (3) Χρειαζόμαστε δύο ακόμα εξισώσεις, τις οποίες θα πάρουμε εφαρμόζοντας πάλι τις αρχικές συνθήκες (4) και (5) στο αρχικό σύστημα των διαφορικών εξισώσεων (6) και (7). Από τη () παίρνουμε i ep i a A t Aep i t (4) Με τη βοήθεια της (4), η (6) γράφεται

4 i ep i ep i A t A t i b i i Aep t Aep t b Για t παίρνουμε A A b Με τη βοήθεια της (5) παίρνουμε A (5) A Με την ίδια λογική, από την () παίρνουμε i ep i b t ep i t (6) Με τη βοήθεια της (6), η (7) γράφεται i ep i ep i t t i a i i ep t ep t a Για t παίρνουμε a Με τη βοήθεια της (4) παίρνουμε (7) Από τις (), (3), (5), και (7) μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τις τέσσερεις σταθερές. Από τις () και (5) υπολογίζουμε τις σταθερές A και A, ενώ από τις (3) και (7) υπολογίζουμε τις σταθερές και. Αν προσθέσουμε τις () και (5) κατά μέλη, θα πάρουμε A A (8) Αν αφαιρέσουμε τη (5) από τη (), θα πάρουμε A A (9) Κάνοντας τα ίδια για τις (3) και (7) παίρνουμε () () Με τη βοήθεια των (8) και (9), η () γράφεται

5 ep i ep i ep i a t t t t ep i t cos cos t t t () cos a t Με τη βοήθεια των () και (), η () γράφεται ep i ep i ep i b t t t t ep i t sin sin i t i t bt isin t (3) Με τη βοήθεια των () και (3), ο σπίνορας (3) γράφεται cos t t (4) isin t Ο σπίνορας (4) περιγράφει για την ακρίβεια αναπαριστά στη βάση z;, z; την κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου μια τυχαία χρονική στιγμή t. Από την (4), παίρνουμε cos t t isin t (5) Επειδή, στη βάση z;, z;, ο σπίνορας z;, ο σπίνορας αναπαριστά την κατάσταση t ), από την (5) παίρνουμε αναπαριστά το διάνυσμα βάσης αναπαριστά το διάνυσμα βάσης z;, και ο σπίνορας t t του σπιν του ηλεκτρονίου (τη χρονική στιγμή t cos t z; isin t z; (6) Η (5) είναι η αναπαράσταση της (6) στη βάση z;, z;, δηλαδή στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Ŝ και S z.

6 Παρατηρούμε ότι ο σπίνορας (4) είναι κανονικοποιημένος κάθε χρονική στιγμή t. Πράγματι, είναι cos t t t cos t isin t isin t cos t i sin t cos t sin t t t Αυτό συμβαίνει επειδή ο αρχικός σπίνορας είναι κανονικοποιημένος και η Χαμιλτονιανή είναι ερμιτιανός πίνακας, οπότε ο πίνακας της χρονικής εξέλιξης, iht δηλαδή ο πίνακας ep, είναι μοναδιακός, άρα διατηρεί το μέτρο των διανυσμάτων (σπινόρων). ii) Στη βάση z;, z; των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Ŝ και S z, η ιδιοκατάσταση του τελεστή S z με ιδιοτιμή αναπαρίσταται από τον σπίνορα, δηλαδή η ιδιοκατάσταση z;,, που είναι το ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S z με ιδιοτιμή. Έτσι, το πλάτος της πιθανότητας, μια τυχαία χρονική στιγμή t, μια μέτρηση της z συνιστώσας του σπιν του ηλεκτρονίου να δώσει αποτέλεσμα cos t isin t z; t isin t Η αντίστοιχη πιθανότητα είναι επομένως z; t sin t (7) είναι Παρατηρήστε ότι η πιθανότητα (7) εξαρτάται από τον χρόνο. iii) Στη βάση z;, z; των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών ιδιοκατάσταση του τελεστή S με ιδιοτιμή Ŝ και S z, η, δηλαδή η ιδιοκατάσταση ;,

7 αναπαρίσταται από τον σπίνορα ιδιοτιμή., που είναι το ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S με Έτσι, το πλάτος της πιθανότητας, μια τυχαία χρονική στιγμή t, μια μέτρηση της συνιστώσας του σπιν του ηλεκτρονίου να δώσει αποτέλεσμα είναι cos t ; t cos t i sin t isin t i ep t Η αντίστοιχη πιθανότητα είναι επομένως t ; (8) Η πιθανότητα (8) είναι σταθερή (δεν εξαρτάται από τον χρόνο), και είναι 5%. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να μετρήσουμε την άλλη δυνατή τιμή της συνιστώσας του σπιν, δηλαδή, είναι και αυτή 5% κάθε χρονική στιγμή. iv) Στη βάση z;, z; των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών ιδιοκατάσταση του τελεστή S με ιδιοτιμή αναπαρίσταται από τον σπίνορα i Ŝ και S z, η, δηλαδή η ιδιοκατάσταση ;,, που είναι το ιδιοδιάνυσμα του πίνακα S με ιδιοτιμή. Έτσι, το πλάτος, μια τυχαία χρονική στιγμή t, μια μέτρηση της συνιστώσας του σπιν του ηλεκτρονίου να δώσει αποτέλεσμα είναι cos t ; t i cos t sin t isin t Η αντίστοιχη πιθανότητα είναι επομένως

8 ; t cos t sin t cos t sin t cos t sin t sin t cos t sin t sin t ; t sin t (9) ) i) Υπολογίστε τη μέση τιμή του σπιν, S, του ηλεκτρονίου της προηγούμενης άσκησης και μελετήστε την κίνηση του διανύσματος S μέσα στο μαγνητικό πεδίο e. Τι παρατηρείτε; ii) Υπολογίστε τη μέση ενέργεια του σπιν του ηλεκτρονίου της προηγούμενης άσκησης. Τι παρατηρείτε; Λύση i) Όπως είδαμε στην προηγούμενη άσκηση (σχέση (4)), ο σπίνορας που αναπαριστά, στη βάση z;, z;, την κατάσταση του σπιν του ηλεκτρονίου είναι ο t cos t isin t () Η αρχική κατάσταση του σπιν είναι η ιδιοκατάσταση z;, που αναπαρίσταται από τον σπίνορα. Στη βάση z;, z;, οι τελεστές του σπιν S,, S S z αναπαρίστανται από τους πίνακες S, S Επομένως, θα έχουμε i, και i S z.

9 cos t S t S t cos t i sin t isin t isin t cos t i sin t cos t S () cos t i S t S t cos t i sin t i isin t sin t cos t i sin t icos t sin cos t t sin t cos t sin t cos t sin t S sin t (3) cos t S t S t cos t i sin t z z isin t cos t cos t i sin t isin t cos t sin t cos t

10 S z Άρα cos t (4) S S e S e S e sin te cos te Επομένως z z z S sin t e cos t ez (5) Το διάνυσμα S διαγράφει κύκλους, στο επίπεδο z, με ακτίνα συχνότητα, ξεκινώντας από το σημείο,, αριστερόστροφα, δηλαδή S : e z e ez e ez (6) και κυκλική κινούμενο Πράγματι, η (5) γράφεται S sin t e cos t e sin te cos te S sin te cos t e z z z 3 Έτσι, για t,,,,, παίρνουμε την αριστερόστροφη περιστροφή που περιγράφει η (6). Η μέση τιμή του σπιν, S, περιστρέφεται κάθετα στον άξονα του μαγνητικού πεδίου (άξονας ). Σημειώσεις ) Μπορούμε να αποδείξουμε επαληθεύοντας ταυτόχρονα τη σχέση () ότι S χρησιμοποιώντας την αρχική κατάσταση του σπιν και το θεώρημα του Ehrenfest. Τη χρονική στιγμή t, η κατάσταση του σπιν είναι η ιδιοκατάσταση z;, που αναπαρίσταται από τον σπίνορα στιγμή t είναι S. Έτσι, η μέση τιμή του τελεστή S τη χρονική

11 S Από το θεώρημα του Ehrenfest, επειδή ο τελεστής S δεν εξαρτάται από τον χρόνο, παίρνουμε d S i HS, (7) dt Όμως, όπως δείξαμε στην προηγούμενη άσκηση (σχέση ()), H S (8) Με τη βοήθεια της (8), η (7) γράφεται d S dt i i S, S S, S d S S S dt Επομένως S ) Αν η κατάσταση του σπιν είναι ιδιοκατάσταση ενός από τους τελεστές S, S, S, z τότε η μέση τιμή των άλλων δύο είναι μηδέν στη συγκεκριμένη ιδιοκατάσταση. Αυτό μπορεί εύκολα να δειχθεί, και προτρέπουμε τον αναγνώστη να το επαληθεύσει. Στην περίπτωσή μας, η αρχική κατάσταση του σπιν είναι η ιδιοκατάσταση z;, που είναι ιδιοκατάσταση του S z. Επομένως S, αλλά και μπορούμε να διαπιστώσουμε και από τη σχέση (3) για t. S όπως ii) Χρησιμοποιώντας τον σπίνορα () και τον πίνακα της Χαμιλτονιανής H, που βρήκαμε στην προηγούμενη άσκηση (σχέση ()), υπολογίζουμε τη μέση ενέργεια του σπιν στην κατάσταση που αναπαριστά ο σπίνορας (). Είναι cos t E t H t cos t i sin t isin t isin t cos sin t i t cos t

12 E (9) Βλέπουμε, λοιπόν, ότι η μέση ενέργεια του σπιν είναι, κάθε χρονική στιγμή, μηδέν. Αυτό είναι απόρροια του ότι S. Πράγματι, εφόσον H S, είναι H S H E Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstan@hotmail.com