MEHANIKA FLUIDA. Dinamika viskoznog fluida

Transcript

1 MEHANIKA FLUIDA Dinamika viskonog fluida adatak Mineralno ulje, kinematičke viskonosti ν=,5-5 m /s i gustine ρ=87 kg/m ustaljeno struji u horiontalnom procepu širine =4mm Dimenije procepa su B=cm (upravno na ravan crteža) i L=m Ako je ralika pritisaka na ulanom i ilanom preseku p=, ar, odrediti maksimalnu i srednju rinu strujanja, kao i protok ulja Uticaj očnih idova procepa (paralelnih sa ravni crteža) anemariti Najpre napišemo Navije-Stoksove jednačine a nestišljiv fluid u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu i jednačinu kontinuiteta: p v v v + v + vy + v = X +ν + + t ρ y y y y p vy vy v y + v + vy + v = Y +ν + + t ρ y p v v v + v + vy + v = Z +ν + + t ρ y + + = Uslovi stujanja (uprošćenja): - stacionarno strujanje: =, χ - fiička veličina strujanja ; t - ravansko strujanje: v =, = ; - strujanje se odvija pretežno u pravcu ose, v= v ( vy = ) U U U - strujanje u polju emljine teže: X =, Y =, Z= I jednačine kontinuiteta doija se: = Prethodni sistem jednačina svodi se na olik: p U v v =ν ( p ρ U) =ν ρ ρ p U = ( p ρ U) = ρ ρ p U = ( p ρ U) = ρ ρ

2 Uvedimo generalisani pritisak iraom: Ρ = p ρ U Tada prethodni sistem jednačina postaje: P v =η P = P P ( y ) P=P( ) P = P P ( ) P v dp d v Onda se sistem svodi na jednačinu: =η =η = k, k=const d dy Konstantu k trea odrediti na osnosu adatih vrednosti dp d v k Prethodna jednačina ekvivalentana je sa dve sledeće: = k i = d dy η I prve se doija: P= k+ C Korišćenjem graničnih uslova: - a =, P= p+ gρ y (U = gy) - a =L, P= p p+ gρ y p+ gρ y = C p kpa p = kl k= = 8 p p+ gρ y = kl+ C L m Sada integralimo drugu jednačinu i doijamo: dv k y C v= k y C y C dy = η + η + + Koristimo granične uslove a rinu: k = + C + C η - a y=±, v= + k = C + C η k k C = C= η η, k k k C= C = = η η η k k k Raspored rine je: v= y + v= ( y ) η η η k p Brina je maksimalna a y= i inosi: v ma = = =,65 m/s η Lη Zapreminski protok je: p dq = vbdy ( ) B p Q= vbdy= B vdy= B y dy= ( y ) dy ηl ηl B p Q = =,98 l/s ηl Q Q Srednja rina strujanja je: v sr = = =,4 m/s A B

3 adatak Imeđu dveju paralelnih ploča, koje su na međusonom rastojanju h i nagnute pod uglom α u odnosu na horiontalnu ravan struji fluid dinamičke viskonosti η Ako je strujanje ustaljeno, a protok po jedinici širine ploča Q, odrediti maksimalnu vrednost inteniteta vtloga Ploče se nalae u polju emljine teže, a gornja ploča se kreće konstantnom rinom v (vsl) Najpre napišemo Navije-Stoksove jednačine a nestišljiv fluid u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu i jednačinu kontinuiteta: p v v v + v + vy + v = X +ν + + t ρ y y y y p vy vy v y + v + vy + v = Y +ν + + t ρ y p v v v + v + vy + v = Z +ν + + t ρ y + + = Karakteristike stujanja: - stacionarno strujanje: =, χ - fiička veličina strujanja ; t - ravansko strujanje: v =, = ; - strujanje se odvija pretežno u pravcu ose, v= v ( vy = ) U U U - strujanje u polju emljine teže: X =, Y =, Z= I jednačine kontinuiteta doija se: = Prethodni sistem jednačina svodi se na olik: p U v v =ν ( p ρ U) =ν ρ ρ p U = ( p ρ U) = ρ ρ p U = ( p ρ U) = ρ ρ

4 Uvedimo generalisani pritisak iraom: Ρ = p ρ U Tada prethodni sistem jednačina postaje: P v =η P = P P ( y ) P=P ( ) P = P P ( ) P v dp d v Onda se sistem svodi na jednačinu: =η =η = k, k=const d dy Konstantu k trea odrediti na osnosu adatih vrednosti Prethodna jednačina ekvivalentana je sa dve sledeće: dp k P= k+c d = i dv = k dv = k y + C dy η dy η Koristimo granične uslove a rinu: - a y =, v= C= - a y = h, v= v v= k h + Ch η Brina je: k k v η η h v= y + h + y k + + η v= y Cy C k v + η h C= h Polaeći od iraa a protok po jedinici širine: dq = vda = vdy h k k v k k v h vh kh Q= y + h+ y dy= h + h + = + η η h 6η 4η h η η vh k = Q h Ira a vrtlog ω je: i j k k k v ω= rotv= = k = y h k η η h v Zapaža se da će intenitet vrtloga iti maksimalan a y = i tada je: k v h η vh v 6Q v v 6Q v Q ω = h+ = Q v ma + = + = = η h η h h h h h h h h h Dakle, ω == Q ma v h h

5 adatak Ravna ploča kreće se konstantnom rinom u paralelno nepokretnoj horiontalnoj ravni i gradi sa njom aor koji je ispunjen dvema tečnostima dinamičkih viskonosti η i η Deljine slojeva su i (vsl) Odrediti jednačinu rasporeda rine u aoru Najpre napišemo Navije-Stoksove jednačine a nestišljiv fluid u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu i jednačinu kontinuiteta: p v v v + v + vy + v = X +ν + + t ρi y y y y p vy vy v y + v + vy + v = Y +ν + + t ρi y p v v v + v + vy + v = Z +ν + + t ρi y + + = Karakteristike stujanja: - stacionarno strujanje: =, χ - fiička veličina strujanja ; t - ravansko strujanje: v =, = ; - strujanje se odvija pretežno u pravcu ose, v= v ( vy = ) U U U - strujanje u polju emljine teže: F = gradu, tj X =, Y =, Z= I jednačine kontinuiteta doija se: = Uvedimo generalisani pritisak iraom: Ρ i = p ρ iu Tada prethodni sistem jednačina postaje: Pi vi Pi Pi =η i, =, = I poslednjih jednačina, ako je ploča jedini urok kretanja, imamo da je: dvi dy = v=cy + C v=cy + C4 I graničnih uslova imamo: - a y=, v= C4 = - a y= +, v=u C( + ) + C = u () - a y=, v( ) =v( ) C + C = C () - a y=, τ= τ η =η η C =η C () y= y=

6 η I () C = C (): C C C η η + = C = C () η η η η η u C( + ) + C = u C + = u C η η = η η + η C = η η u η + η η ηu C = C = η η + η Jednačina rasporeda rine u aoru data je iraom: ηu y, a y η + η v(y) = ηu η η y + u, a y + η + η η + η 4 Zadatak Ulje a podmaivanje ložišta dovod se i spremišta do tarućih površina pomoću eskonačnog kaiša pravougaonog poprečnog preseka Ako je rina kaiša v, deljina sloja ulja, odrediti dinamičku viskonost ulja ako je njegova gustina ρ Napomena: Na spoljašnjoj granici sloja rina ulja jednaka je nuli, Napišimo prvo Navije-Stoksovu jednačinu i jednačinu kontinuiteta a stacionarno strujanje p v v v v + vy + v = X +ν + + ρ y y y p vy vy v y v + vy + v = Y +ν + + ρ y p v v v v + vy + v = Z +ν + + ρ y + + = Karakteristike stujanja: - ravansko strujanje: v =, = ; - strujanje se odvija pretežno u pravcu ose, v= v ( vy = ) - u jednačinama anemarujemo uticaj sile emljine teže;

7 I jednačine kontinuiteta doija se: = ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v v v( y) = I druge jednačine je: p p p y = p p p= p( ), pa se prva jednačina svodi na jednačinu: p v p v v k =ν k = i η = k = y+ C ρ η k v= y + Cy+ C η Konstante C i C određujemo korišćenjem graničnih uslova: a y=, v=v C=v i a y=, v= k k v = + C+ C C = +, η η pa je: k k v v= y + y+ v η η Da odredimo konstantu k, posmatramo ravnotežu fluidnog delića: gρ Bd = Bdp dp g k d = ρ= k = gρ Onda raspored rine u sloju ima olik: gρ gρ v v= y + y+ v η η Pođimo sada od iraa a protok: gρ gρ v gρ gρ v Q = B vdy = B y + y + v dy = B + + v = Bv η η η η vsr = v, jer je u pitanju paraolični raspored tako da poslednja jednačina doija olik: gρ gρ v v = + + v 6 η η gρ gρ gρ + = v v = v 6 η 4 η η 6 Za paraolički raspored je: Q= v = vsr vsr = v sr gρ η= v

8 5 adatak Tečnost gustine ρ=9 kg/m i dinamičke viskonosti η=,6 kg/ms, struji kro horiontalni procep unutrašnjeg poluprečnika a=mm, spoljašnjeg poluprečnika =6mm i dužine L=6,4m usled ralike pritisaka p=,8 ar Naći ira a raspored rine, protok, maksimalnu i srednju rinu Napišimo prvo Navije-Stoksovu jednačinu i jednačinu kontinuiteta u polarno-cilindričnom koordinatnom sistemu a nestišljiv fluid: r r vθ r r p vr r vr vr θ v r + vr + + v vθ = Fr +ν t r r θ r ρ r r r r r r θ r θ v v v p v v v v t r r θ r ρ r θ r r r r r θ r θ vθ p v v v + vr + + v = F +ν t r r θ ρ r r r r θ r vr θ = r r θ θ θ θ θ θ r θ θ θ θ θ r θ + vr + + v + = Fθ +ν Karakteristike stujanja: - stacionarno strujanje: =, χ - fiička veličina strujanja ; t - ravansko strujanje: v = θ, = θ ; - strujanje se odvija pretežno u pravcu ose, v= v - anemarimo apreminske sile Sistem jednačina se svodi na: p = ρ r p v =ν +, p p( r ), v v( ), pa je p= p( ), v=v( r) ρ r r r = Onda parcijalna diferencijalna jednačina postaje oična diferencijalna jednačina: dp d v dv = η + k = d dr r dr Integracijom pritiska doija se: p= k+ C Za =, p=p ; a =L, p=p + p p p = C, p+ p= kl+ p k = =,85 kpa/m L

9 dv dv k d dv k Integracijom jednačine + + = r + r =, dr r dr η dr dr η doija se: k v= r + Clnr+ C 4η Konstante se određuju i graničnih uslova: k a k a r=a, v= i r=, v= C =, C = a lna 4 a + 4 a η ln η ln Konačno se doija da je: k a r v= r a + ln 4 a η ln a / I iraa dv dr = a rm = 7,6 mm a =, ln pa je maksimalna rina: vma = v( rm ) =,6 m/s Protok je: a π p( a ) ( ) a ( Q v r dr a ln a ) = π =,8 l/s a + r = 8ηLln Srednja rina je: v Q = = m/s π ( a ) sr