Dinamika fluidov. Masne bilance Energijske bilance Bernoullijeva enačba

Transcript

1 Dinamika fluido Masne bilance Energijske bilance Bernoullijea enačba

2 Dinamika tekočin V šteilnih procesih se tekočine pretakajo. roblemi pretakanja tekočin se rešujejo z upošteanjem principo ohranite mase in ohranite energije. Za katerikoli sistem lahko napišemo masno in energijsko bilanco. Masne bilance: Skica: pretok nestisljie tekočine: stacionarni pogoji, ni akumulacije tekočine sistemu Masni pretok: F m = m/t m = r*v F m =(A*l*)*r /t l=*t F m = (A**t)*r/t = A* *r retok tekočine po cei različnega premera: A A x x

3 Masne bilance Zakon o ohraniti mase: tekočina ki stopa na točki gre en na točki Masni pretok: F m = A* * r (enote: m *m/s*kg/m 3 =kg/s) Vstop: Vstopna poršina: A, stopna hitrost, st. tekočina z gostoto r Izstop: Izstopna poršina: A, izstopna hitrost, izst. tekočina z gostoto r F m stop = F m izstop torej: A * *r = A * *r Kontinuitetna enačba: A * *r = A * *r primeru ne-stisljie tekočine: r = konst A * = A * 3

4 Masne bilance rimer: Venturijea ce za merjenje hitrosti tekočin Tekočina teče po cei s konstantnim pretokom. Izračunaj hitrost tekočine, če se premer cei zoži iz 5.5cm na 3.5 cm. A w * w = A n * n n = (A w /A n )* w n w D 4 4 D n w D D w n w O tlakih bomo goorili nadaljeanju n cm cm.5 m/ s 6. m/ s 4

5 rimer: Centrifugiranje mleka Masne bilance Mleko uajamo proces centrifugiranja po cei prmera 5 cm s hitrostjo 0. m/s. Gostota mleka je.035 kg/m 3. roces centrifugiranja, zaradi različnih gostot, loči mleko na posneto mleko z gostoto.04 kg/m 3 in smetano z gostoto z gostoto.0 kg/m 3. Izračunaj hitrosti toko posnetega mleka in smetane, ki izstopajo iz centrifuge po ceeh premera cm. cm mleko () centrifuga posneto mleko () Ne- stisljia tekočina 5 cm Kontinuitetna enačba: cm Smetana (3) A * *r = A * *r + A 3 * 3 *r 3 F = F + F 3 F = F F 3 F = A * (m * m/s) Ker je tekočina ne-stisljia, bo celotni olumen mleka, ki stopa izstopil kot olumna ki ga zazema smetana in posneto mleko. Zato enačbo poenostaimo, da lahko izrazimo z 3 in. A * = A * + A 3 * 3 = (A * -A 3 * 3 )/A Izraz za staimo masno bilanco: A * *r = [A * (A * -A 3 * 3 )/A ] *r + A 3 * 3 *r 3 A * *r = r A * - r A 3 * 3 + A 3 * 3 *r 3 A * *(r -r ) = A 3 * 3 *(r 3 -r ) 5

6 Masne bilance rimer: Centrifugiranje mleka Znane količine: gostote: Mleko: r =.035 kg/m 3 os. ml. r =.04 kg/m 3 Smetana: r 3 =.0 kg/m 3. Vstopna hitrost mleka: 0. m/s Izračunamo poršine preseko cei: 0.05 m A 4 A =.96*0-3 m 0.0 m A 4 A = A 3 = 3.4*0-4 m A * *(r -r ) = A 3 * 3 *(r 3 -r ) mleko () centrifuga posneto mleko () ( ) m/ s ( ) 5 Smetana (3) = (A * -A 3 * 3 )/A = [ ( *0.) ( *0.3) ] / =.m/s 6

7 Energijske bilance oleg masne bilance je pri pretoku tekočin treba upošteati energijske bilance ri pretoku tekočine iz točke na točko Analiza energetskih bilanc: izbira referenčne točke. Izmenjaa energije z okolico: Energetske izgube okolico zaradi trenja Mehanski nos energije s črpanjem Toplotna energija pri ogreanju oz. hlajenju Oblike energije: otencialna energija Kinetična energija Energija tlaka rimarna energija ki jo tekočina procesu poseduje Sekundarne oblike energije 7

8 Energijske bilance Tlačna energija: roučujemo tekočino mase m na poti med mestom in.tekočina pri pretoku iz mesta na mesto oprai delo W proti sili F, ki potiska tekočino na določeni poti x. Sila tlaka je enaka *A. in je praokotna na poršino A. V točki ima sila tlaka nasprotno smer kot točki. Delo je sila krat pot W = F*x. Razlika tlačni energiji je torej: Volumen, ki ga zazema proučeana tekočina: Volumen segmenta = W A x - Ax ( - ) V Tlak tekočine pri pretakanju je merilo energije na enoto olumna oz. gostota energije. F A F x A x W V delo olumen 8

9 Energijske bilance Kinetična in potencialna energija: osledica dela ki ga je opraila tekočina s pretakanjem je spremembi mehanske energije segmenta tekočine. Torej spremembi njene kinetične K in potencialne U energije. Sprememba kinetični energiji: K m - m je poprečna hitrost tekočine laminarnem strujanju in m je masa segmenta tekočine rimernejša oblika kinetične energije premikajoče se tekočine je energija na enoto olumna: kinetičin energija olunen m V r K V r - r 9

10 Kinetična in potencialna energija: osledica dela ki ga je opraila tekočina s pretakanjem je spremembi mehanske energije segmenta tekočine. Torej spremembi njene kinetične K in potencialne U energije. Sprememba potencialni energiji U mgh - mgh rimernejša oblika kinetične energije premikajoče se tekočine je energija na enoto olumna: potencia ln a energija olumen U r gh V m gh V - r g h Celotna sprememba mehanske energije tekočine: r gh E V Celotna sprememba mehanske energije tekočine na enoto olumna: r gh - r - r gh - r 0

11 Statika tekočin Stisljia tekočina -plini x y z ) z (z g dz g d konst ρ dz g d g z dz z z z - r - - r -r - r dz z Stisljia tekočina r = f () Idealni plin: *V = n*r*t T R M T R M m V V m r r ) z (z T R g M ln( ) ) ln( dz T R g M d dz g T R M d ) z z y 0 x nestisljia tekočina: : enota = N/m =kg/ms

12 : enota = N/m =kg/ms Barometrska enačba: M g ln( / ) - (z - z )) R T * e Mg - (z -z RT ) ) Enačba elja za idealne pline Uporabimo jo lahko za približen izračun spremembo atmosferskega pritiska nadmorsko išino. ri čemer zanemarimo spremembo temperature in s tem poezano spremembo gostote. V troposferi se temperatura z išino linearno spreminja (do cca 000 m nadmorske išine in sicer: T = T 0 B*z T 0.. temp K na nadmorski išini = 0 m in je 5 C, B K/m pri 5 C; = 88.5 K Če spremembo temperature z išino staimo barometrično enačbo dobimo: 0 B z - T 0 (Mg/RB)

13 rimer: Barometrska enačba: Če je na morski gladini zračni tlak 0.35 Ka, kakšen bo zračni tlak na nadmorski išini 5000 m? (a) Ob predpostaki izotermnih pogoje pri dogoorjeni standardni temp. 5 C 0 * e : enota = N/m =kg/ms Mg - (z-z RT 0 ) e e a DN: Izračunaj zračni tlak na Mt. Eerestu (8847m), preeri kako je z enotami gornjih enačbah Enote: R = 834 J / kmol K J: kg m / s M: kg / kmol 3

14 Dinamika tekočin Izmenjaa energije z okolico: - Energijske bilance rimarna energija ki jo tekočina procesu poseduje: W = U + E r delo olumen - r U: otencialna energija K: Kinetična energija W: Energija tlaka r gh - r gh Energijska bilanca upoštea le spremembe energije idealne tekočine pri pretakanju F: Energetske izgube okolico zaradi trenja: zaradi iskoznega trenja tekočini in zaradi trenja tekočine stiku s trdno cejo se sprošča toplota. Dejanska rednost tornih izgub zaisi od tipa toka(laminarni-turbulentni), lastnosti tekočine, sistema procesa, oblika in lastnosti cei, itd. M: Mehanski nos energije s črpanjem: da tekočina teče nazgor je potrebna mehanska moč črpalk ali odnih turbin T: Toplotna energija pri ogreanju oz. hlajenju tekočine med proučeanim procesom. W V Celokupna energijska bilanca procesa: W + U + K = W + U + K F + M + T 4

15 Bernoullijea enačba Dinamika tekočin BERNOULLI-jea enačba za idealni tok tekočin Bernoulli - šicarski matematik je l. 738 podal enačbo ki je še danes osnoa fluidne mehanike. Enačba je matematični zapis toka tekočin ob upošteanju energijske bilance r r gh r r gh Enačba elja če prizamemo da: Je tekočina nestisljia in neiskozna Ni energetskih izgub zaradi trenja med tekočino in steno cei. Ni prenosa toplotne energije na meji med tekočino in steno cei (toplotne izgube, gretje ali hlajenje). V sistemu ni cei, ni mehanskih črpalk. Tok tekočine je laminaren in stacionaren 5

16 Bernoullijea enačba BERNOULLI-jea enačba za idealni tok tekočin r r gh r r gh Členi enačbe imajo enoto tlaka: Različne oblike energije lahko izrazimo z rednostjo tlaka: otencialni, kinetični in statični tlak. Če enačbo delimo z graitacijskim pospeškom in gostoto r. g = g dobimo : r g g h g r h r g g h g r h Člene energijske bilance smo izrazili z išinami: potencialna, hitrostna in tlačna išina Če ni gibanja tekočine = 0 : kinetični člen odpade ob uporabi Bernoulijee enačbe dobimo enačbo za statični tlak: r g(h - h) g (h - h) 6

17 kinetična Razumeanje Bernoullijee enačbe: Injekcijska brizga iz katere iztiskamo tekočino. Sila na čep pozroči išji tlak tekočine injekciji (). Tekočina teče z isoko hitrostjo skozi rat brizge ( ). Višina curka (3) je odisna od tlaka brizgi. Razloži energijske spremembe tekočini za točke,, 3 z uporabo Bernoullijee enačbe. potencialna tlak Bernoulijea enačba za stacionarni, neiskozni in sestisljii tok Vsota seh treh oblik energij tekočine: tlačne, kinetične mora biti konstantna Gibanje tekočine je posledica spremembe energiji, ki jo poseduje tekočina Tlačna razlika med točko in pozroči pospešeanje toka šobi brizge, hitrost toka je elika. Razlika hidrostatski išini med točkama in 3 pozroči pojemek hitrosti tekočine 7

18 Uporaba Bernoullijee enačbe Celokupni, statični, stagnantni in dinamični tlak g Bernoullijea enačba r r h h g Statični tlak predstalja del celokupne energije tekočine med tokom in je tlak na stene cei med tokom Ob upošteanju Bernoulijee enačbe dobimo točki : g h p g h g h g h p g. h.. imenujemo tudi hidrostatični tlak poe za koliko se tlak tekočini spremeni, če se spremeni globina tekočine (h) rv / je dinamični tlak, ki si ga lahko predstaljamo kot tlak na koncu ceke, ki je staljena tok tekočine proti odnemu toku. Ceka, ki je napolnjena s tekočino kaže išino H. Tekočina ratu ceke na mestu () bo mirujoča, = 0. Točka () je stagnantna točka. Stagnantni tlak p p rv Statični tlak Dinamični tlak 8

19 Bernoullijea enačba Uporaba Bernoullijee enačbe Celokupni, statični, stagnantni in dinamični tlak Stagnante točke se pojaijo kjerkoli je neko telo postaljeno tok tekočine. Tekočina mora obiti telo nad ali pod njim. Tokonice ki trčijo ob trdno telo imenujemo stagnantne tokonice. Če ni spremembe išine je stagnantni tlak naječji tlak, ki ga dobimo zdolž tokonice toku tekočine: p p r V r r gh r r gh 3 r 3 r gh3 ps p r V Energijske spremembe med tokom tekočine lahko izrazimo z išino: g r r 3 3 r h h h3 g g 9

20 Uporaba Bernoullijee enačbe rimer: Kolesar se premika s konstantno hitrostjo 0. Smatrajmo, da ima tok zraka okoli kolesarja konstantno hitrost o (glej spodnjo sliko). Določi tlačno razliko med točko in točko. Rešite: Napišemo Bernoulijeo enačbo za tokonico zraka, kot je prikazano na skici r g z r g z ni razlike išini: z =z () Zrak se prosto giblje: = 0 () V točki kolesarjeega nosu(stagnantna točka) = 0 - r r 0 0

21 retorbe različnih enot: konerzijski faktorji Tlak Tlak rednost (N/m = a) bar.00 x 0 5 atmosphere (atm).035 x 0 5 mm Hg.33 x 0 torr.33 x 0 lb/in. (psi) 6.89 x 0 3 Dolžina From/To m mm km in. ft yd mi meter (m), inch (in.) E E-05 foot (ft) E E-04 yard (yd) E E-04 mile (mi),609,609, ,350 5,80,760 Volumen From/To m 3 l ft 3 gal Imp gal ac-ft cubic meter (m 3 ), E-04 cubic foot (ft 3 ) E-05 gallon US E-06 gallon Imp. (Imp gal) E-06

22 Uporaba Bernoullijee enačbe Ob poznaanju statičnega in stagnantnega tlaka, lahko izračunamo hitrost tekočine cei. Ta princip uporablja itot-oa ce, ki se rabi za merjenje hitrosti toka cei. itot-oa ce: statična ce, meri hitrost tekočine na osnoi izmerjenega tlaka r r gh r r gh = r.g.h r = r.g.h = 0 - r (- ) r = r. g. (H-h) g h

23 Uporaba Bernoullijee enačbe rimer: Hitrost zraka šobi. itot-oa ce: statična ce, meri hitrost tekočine na osnoi izmerjenega tlaka Zrak pri 0 C teče skozi šobo hladilni sistem. itot-oa ce je staljena tok zraka. Manometer pokaže tlačno razliko z razliko išini odnega stolpca 8 mm. Izračunaj hitrost zraka šobi, če je gostota zraka pri 0 C.3 kg/m 3. Rešite: itot-oo ce teče zrak, manometer pa kaže razliko išini odnega stolpca. Zato je treba razliko išini odnega stolpca pretoriti razliko išini zračnega stlpca: (r.g.h) oda = (r.g.h) zrak 0.8 mm (oda) : 0.8 *0-3 m*000/.3 = 0.6 m (zrak) g h m/ s DN: preeri enote gornjih enačbah 3

24 Uporaba Bernoullijee enačbe r g z r g z Iztok tekočine iz rezeroarja: pretok skozi šobo r r gh 0 0 r gh r gh r r r 0 r gh gh remer rezeroarja je eliko ečji od premera šobe: = nad gladino je enak tlak kot pri iztoku iz šobe zunaj rezeroarja = atmosferski tlak Gladina se zelo počasi znižuje, ker je olumen tekočine elik: =0 Na iztoku tkočina so potencialno energijo pretori kinetično 0 4

25 Uporaba Bernoullijee enačbe r g z r g z rimer: pretok pri iztoku iz rezeroarja Rezroar za shranjeanje mleka je 4.7 m nad iztočno cejo. Rezeroar je pri atmosferskem tlaku, pra tako kot iztočna ce. Kakšen bo olumski pretok mleka, če je premer iztočne cei. cm. Energetske izgube okolico zanemarimo g z m/ s 4.7 m F = A * = ( * 0.0 /4)m * 9.6 m/s F = A * = m 3 /s Če je gostota mleka 036 kg/m 3, bo masni pretok: F m = F * r = m 3 /s *036 kg/m3 =.9 kg/s. cm 5

26 Uporaba Bernoullijee enačbe r g z r g z rimer: Zbiralnik ode 80 m isok zbiralnik ode napaja mestni odood. Kako hitro naj bi oda izstopala iz zbiralnika? Če odpremo hladno odo stanoanju na išini m. g z m/ s 40km/h Toda oda ne izteka iz pipe tako hitro. oleg reducirnih entilo gre za elike izgube zaradi trenja, Bernoullijea enačbe torej ne drži, ker nismo upošteali energetskih izgub. Viskozno trenje upočasni tok ode. Trenje je poezano s turbulentnim tokom ceeh 6

27 Uporaba Bernoullijee enačbe r g z r g z rimer: Voda izteka iz rezeroarja po cei premera 500 mm (sifon) () Določi maksimalno možno išino točki B, da pretok ode cei ne pade pod.5 m 3 /s in absolutni tlak ni manjši od 0 kn/m. () Določi išino cei točki C kjer oda izteka iz cei. Rezeroar je pri atmosferskem tlaku bar, energetske izgube okolico zanemari. Rešite: hitrost ode točki B je enaka hitrosti na iztoku (točka C) F = A * = (*0.5 /4)* =.5 m 3 /s = B = C =0.95 m/s Bernoullijea enačba točkah A in C A C A A C C YA Y r g g r g g A = C = atm - r g Y r C r B C Y m g 7

28 8 z z g r g r Uporaba Bernoullijee enačbe g g z g g z B B B A atm A r r Bernoullijea enačba točkah A in B /(r.g) + 0 = y + *0 4 /(r.g) + 6. y =.04 m rimer: Voda izteka iz rezeroarja po cei premera 500 mm (sifon) m. g g C B 6 atmosferski tlak je na točki A in C: bar =0 5 N/m minimalni tlak cei - točka B = *0 3 N/m

29 Uporaba Bernoullijee enačbe r g z r g z Merjenje pretoka z Venturijeo cejo redpostake: nestisljia tekočina : r r r konst laminaren tok ni spremembe išine :z = z r r Hitrost točki dobimo iz kontinuitetne enačbe: *A = *A A A D D ( A A r r r Hitrosti cei ob zožiti lahko izračunamo, če poznamo tlačno razliko cei zaradi zožite, oba premera cei in gostoto tekočine. 9

30 Uporaba Bernoullijee enačbe r g z r g z rimer: Tlak cei ob zožiti Voda teče po cei s pretokom 0.4 m 3 /min pri tlaku 70 ka. Ce ima premer 7.5 cm. Izrčunajte tlak cei, če se premer cei zoži na 5 cm. Gostota ode je 000 kg/m 3 Rešite: retok ode F : 0.4 m 3 /min = m 3 /s oršina cei A : *D /4 = m oršina cei A : *D /4 = m Hitrost na mestu : = F/A =.5 m/s Hitrost na mestu : = F/A = 3.4 m/s Tlačna razlika: 7.5 cm, 70 ka 5 cm - r ( A a - A = ( - )- = 65.3 ka

31 Uporaba Bernoullijee enačbe r g z r g z rimer: retok olinega olja Olino olje z gostoto 90 kg/m 3 teče po cei premera cm. Izračunajte hitrost toka, če je ceoodu staljena zožite tako da je ce zožena na. cm. Tlačno razliko med cejo pred in po zoženim delom 8 cm smo izmerili z išino odnega stolpca in znaša 8 cm. Rešite: Razmerje preseko cei: A /A = (D /D ) = (/.) Tlačna razlika: r*g*h =0.08*000*9.8 =785 a Uporabimo Bernoul.ijeo enačbo: ( A A r Izračunamo hitrost: =785/309 m /s = 0.5 m/s 3

32 Uporaba Bernoullijee enačbe rimer: Venturijea ce za merjenje hitrosti tekočin Tekočina teče po cei s konstantnim pretokom s hitrostjo,5 m/s. Izračunaj hitrost tekočine, če se premer cei zoži iz 5.5cm na 3.5 cm. Kakšen tkak kaže manometr zožiti, če manometer širokem delu cei kaže 5 mmhg? ri obranabanu kontinuitetne enačbe smo izračinali hitrost zoženi cei: n w D 4 4 D n w D D w n r w r n r n - w - w - n = W + ( / ) *000*[.5-6. ] w n n cm cm.5 m/ s n = 5 mmhg + ( / ) [ 000 kg/m 3 ]*[ m /s ] n = 5 mmhg - ( / ) (390 (kg m/s ) / m 6. m/ s n = 5 mmhg a 6095 ka = 6095 a [ mmhg / 33 a ] = mmhg n = 5 mmhg - mmhg n = - 06 mmhg 3

33 33 Merjenje pretoka z enturijeo cejo Na osnoi Bernoullijeega principa in kontinuitetne enačbe imamo različne merilce pretoka. V A V A Q V p V p r r ( ) A / A ( p p A Q - - r Teoretično izračunamo pretok: Typical deices for measuring flowrate in pipe

34 rimer: Moč črpalke Uporaba Bernoullijee enačbe Vodo črpamo rezeroar na išini 35 m po cei premera 7.5 cm. Zagotoiti je treba pretok.6 m 3 /min. Izračunaj moč črpalke, če predpostaiš, da deluje s 00% močjo in da ni izgub zaradi trenja ceeh. Rešite: Volumski pretok: F =.6 m 3 /min =.7 x 0 - m 3 /s resek cei: A = *(0.075) /4 = 4.4 x0-3 m Hitrost cei: =.7 x0 - / 4.4 x0-3 = 6 m/s otreben nos mehanske energije: E M = m*z*g + m* / E M / enoto mase = z*g + / E M / enoto mase = 35m*9.8 m/s + ( / ) 6 m /s 35 m F =.6 m 3 /min E M / enoto mase = = 36.4 m /s Enota: J = kg m /s E M = 36.4 J/kg Zahteana moč črpalke je: = E M /enoto mase x F m F m = F x r =.7 x 0 - m 3 /s x 000 kg/m 3 = 36.4 J/kg x.7 x 0 - m 3 /s x 000 kg/m 3 = 9758 J/s (J/s=W) 34

35 35

36 36

37 37

38 gh V rv gh r gh V točki (5) g(h H) 38