3. MEHANIKA Telesa delujejo drugo na drugo s silami privlačne ali odbojne enake sile povzročajo enake učinke Enota za silo ( F ) je newton (N),

Transcript

1 3. MEHANIKA Telesa delujejo drugo na drugo s silami. Sile so lahko prilačne ali odbojne, lahko delujejo ob dotiku ali na daljao. Silo merimo po principu, ki prai, da enake sile pozročajo enake učinke. Kot merilnik sile lahko uporabimo npr. prožno zmet, ki jo obesimo na strop, na spodnjem koncu pa nanjo obešamo uteži in beležimo raztezke zmeti. Vzmet med meritijo zmerno obremenjujemo, tako da se po meriti porne začetno stanje (ne ostane trajno deformirana) in da so poskusi ponoljii (enaka utež, ki jo obešamo na isečo zmet, sakič pozroči enak raztezek). Ko nato s tako umerjeno zmetjo lečemo zaboj po tleh, iz raztezka določimo, s kolikšno silo lečemo lečna sila je enaka, kot je teža uteži, ki je pozročila enak raztezek zmeti. Enota za silo (F) je newton (N), ki je približno enak teži telesa z maso 0,0 kg na poršini Zemlje: m N = kg. s Teža telesa je enaka: F g = mg, g je graitacijski pospešek, na poršini Zemlje je g = 9,8 m/s. (Teža telesa z maso kg je torej 9,8 N.) Izkaže se, da lahko za sako telo najdemo točko, ki ji rečemo težišče telesa: učinek prostorsko porazdeljene teže je enak učinku sote, postaljene težišče. Za homogena telesa (enaka gostota po sem telesu) je težišče geometrijskem središču telesa. Sila je ektor, poleg elikosti jo določa tudi njena smer, za učinek sile na telo je pomembno tudi, kje je prijemališče sile, to je na kateri del telesa sila deluje. Točkasto telo je telo, katerega dimenzije so zanemarljie, ima pa končno maso. Pojem točkastega telesa je idealizacija, ki pa močno olajša razmišljanje - točkasto telo je tako majhno, da je prijemališče sile lahko ena sama točka. Kot točkasta telesa bomo obranaali tudi nekatera zelo elika telesa (npr. železniški agon), če je za gibanje nepomembno, kje na telesu sila prijemlje: agon lahko z neko silo potiskamo zadaj ali z enako silo lečemo spredaj, pa bo učinek enak. Če na točkasto telo deluje eč sil, lahko sile seštejemo rezultanto: skupni učinek seh sil je enak, kot če bi na telo deloala samo njihoa rezultanta. Če agon npr. potiskamo in lečemo z enakima silama isto smer, se bo premikal enako, kot če bi ga klekli z dojno silo; če pa sili delujeta nasprotnih smereh, se njun učinek izniči in agon se giblje tako, kot da sili sploh ne bi deloali. Sile lahko sešteamo grafično ali računsko. Na sliki 3. je grafična sota sil F in F. Narisana ektorja imata smer sil, njuna dolžina pa je sorazmerna elikosti sil. Rezultanto določimo tako, da začetek drugega ektorja zporedno prenesemo na konec prega, ektor rezultante kaže od začetka prega ektorja do konca drugega. Če na točkasto telo deluje eč sil, jih zaporedoma sešteamo skupno rezultanto.

2 F F F + = R F R = F F Slika 3. Grafično sešteanje sil. V izbranem koordinatnem sistemu lahko dano silo razstaimo na prispeek komponent smereh osi koordinatnega sistema (slika 3.). Silo F, ki je pošena praokotnem koordinatnem sistemu (x,y), razstaimo na komponenti F x in F y tako, da začetek sile prenesemo izhodišče koordinatnega sistema, skozi rh sile pa narišemo zporednici koordinatnima osema. Odseka, ki sta tako nastala na obeh oseh, sta komponenti sile (njuna ektorska sota pa seeda spet osnona sila F ). Velikosti obeh komponent izračunamo kot F x = F cos(), F y = F sin(). y F y F F x Slika 3. Razstaljanje sil. x Sile računsko sešteamo tako, da jih razdelimo na komponente in sešteamo posamezne komponente: R = Fi R x = Fix, R y = Fiy, R z = Fiz. F y +F y R = F + F F y F F y F F x F x F x + F x x

3 Slika 3.3 Računsko sešteanje sil. y F x = F d F y = F s x F g. Slika 3.4 Razstaite teže na klancu ( = 5, m = 0 kg, F g = mg 00 N). Vzporednici osema praokotnega koordinatnega sistema (x,y) odrežeta na oseh odseka F x in F y. Silo smeri klanca imenujemo tudi dinamična komponenta teže, ker lahko pozroča dinamiko t.j. gibanje telesa, in jo označimo z F x = F d. Silo smeri praokotno na klanec, ki ne more pozročati gibanja, pa imenujemo statična komponenta teže: F y = F s. Relatini elikosti obeh komponent sta odisni od nagiba klanca. Velja: F s = F g cos(), F d = F g sin(). V našem primeru je F s 80 N in F d 85 N. F d =0 F s = 0 F d F s F s F g F d F g = F s F g F g = F d Slika 3.5 Velikost dinamične komponente teže narašča z nagibom klanca, elikost statične komponente pa pada. Sistem teles imenujemo skupino teles, ki jih opazujemo. Zunanje sile na sistem teles so tiste sile, ki imajo soj izor telesih iz okolice sistema, notranje sile pa so tiste, ki jih pozročajo druga telesa sistemu. Leo na sliki 3.6 so narisane nekatere zunanje sile na sistem treh zaboje, postaljenih na tla: lečna sila desno (npr. od ri, s katero jih lečemo); sila lepenja, s katero tla preprečujejo zdrs; normalna sila podlage, s katero tla podpirajo sistem; sile teže, s katerimi Zemlja prilači zaboje. Desno pa so nekatere notranje sile sistemu treh zaboje: sila, s katero zgornji zaboj pristiska na srednjega, sila s katero srednji zaboj podpira zgornjega itd.. 3

4 Slika 3.6 Nekatere zunanje (leo) in notranje (desno) sile na sistem treh zaboje. 3. Newtono zakon: Če pro telo deluje na drugo telo z neko silo, drugo telo deluje na pro z nasprotno enako silo. Silo prega telesa na drugega označimo z F, silo drugega na prega pa z F. Velja F = F. Zakonu časih praimo»zakon o zajemnem deloanju sil«ali»zakon o akciji in reakciji«. Ne glede na to, ali se sistem zaboje na sliki 3.6 giblje ali miruje, ne glede na to, kako je sistem obremenjem s silami iz okolice, edno elja, da je sila, s katero zgornji zaboj pritiska na spodnjega, nasprotno enaka sili, s katero spodnji zaboj podpira zgornjega, to pomeni, da sta obe sili po elikosti enaki in imata nasprotno smer. Ni pa npr. nujno, da je sila, s katero zgornji zaboj pritiska na spodnjega, enaka teži zgornjega telesa (zgornje telo lahko še dodatno obremenimo ali lečemo nazgor, tako da je ta sila ečja ali manjša od teže).. Newtono zakon elja za točkasto telo nepospešenem opazoalnem sistemu. Kot nepospešen opazoalni sistem bomo zeli poršino Zemlje in tiste opazoalne sisteme, ki glede nanjo mirujejo ali pa se enakomerno gibljejo stalni smeri (npr. lak, ki se giblje po rani progi s stalno hitrostjo, ne pa lak med speljeanjem ali zairanjem). Vrtiljak, ki se enakomerno rti, ni nepospešen sistem, saj je sprememba smeri hitrosti poezana s pospeškom ( radialni smeri). Strogo zeto tudi poršina Zemlje ni nepospešen sistem, saj se Zemlja rti okoli soje osi in kroži okoli Sonca, skupaj s Sončnim sistemom pa kroži okoli središča naše galaksije itd., endar bomo te učinke zanemarili.. Newtono zakon: Če je sota seh sil, ki delujejo na točkasto telo, enaka nič, telo miruje ali pa se giblje premo in enakomerno. Če točkasto telo miruje ali pa se giblje premo in enakomerno, je sota seh sil, ki delujejo nanj, enaka nič: F i = 0 = konst. Opazujmo torej točkasto telo običajnem (nepospešenem) opazoalnem sistemu, ezanem na poršino Zemlje. Na telo naj ne deluje nobena sila (ali pa je sota sil enaka nič torej je njiho učinek enak, kot če jih sploh ne bi bilo). Tako telo je ranoesju, našem opazoalnem sistemu miruje (ima hitrost nič) ali pa se giblje premo in enakomerno, to je stalni smeri s stalno hitrostjo.. Newtono zakon elja obe smeri: če emo, da je sota seh sil nič, sklepamo, da je telo ranoesju; če je telo ranoesju, sklepamo, da je sota sil nanj enaka nič. Primer: Izračunajmo, s kolikšno silo moramo leči nazgor po gladkem klancu z nagibom 5 zaboj z maso 0 kg, da bo na klancu miroal (slika 3.7). 4

5 F F N +y F d F s +x F g Slika 3.7 Zaboj miruje na klancu. Nalogo rešimo sistematično, z semi mesnimi koraki, ki jih bomo kasneje lahko izpuščali:. izbira sistema teles izberemo telo ali sistem teles, ki jih opazujemo. V našem primeru je to zaboj.. izbira koordinatnega sistema izberimo praokotni koordinatni sistem z osema smeri klanca in smeri praokotno na klanec, pozitini smeri sta po klancu nazdol in stran od klanca (ne klanec). 3. identifikacija sil na sistem imenujmo se sile na sistem (zaboj): teža F g smeri napično nazdol; lečna sil F smeri nazgor po klancu; sila podlage F N smeri praokotno na klanec (ker je klanec gladek, ne more zadržeati telesa smeri klanca, sila klanca ima torej samo praokotno komponento, ki preprečuje, da bi se zaboj gibal klanec). 4. sile razstaimo izbranem koordinatnem sistemu našem primeru je treba razstaiti le težo, saj imata ostali sili smer koordinatnih osi. Razstaite smo že opraili in dobili: F s = F g cos() 80 N, F d = F g sin() 85 N. 5. zapišemo. Newtono zakon F i = 0 in sicer za sako koordinatno os posebej: F ix = 0, F iy = 0, F iz = 0 ter staimo sile na opazoano telo. Smeri sil lahko upošteamo na da načina: sile negatini smeri izbrane osi imajo negatino rednost ali pa enačbo pred sile negatini smeri zapišemo predznak minus. Izberimo drugo možnost: smer x: F d F = 0, smer y: F N F s = 0, smeri z ni sil. Dobimo F = F d 85 N, F N = F s 80 N. Zaboj je ranoesju, saj so se sile (in zato tudi se komponente sil smereh koordinatnega sistema) uranoešene: 5

6 F N 80 N 85 N F F d F s 85 N 80 N Slika 3.8 Sile na mirujoč zaboj na klancu. Če je sistem točkastih teles ranoesju, je sota seh sil na sak element sistema enaka nič, zato je tudi sota teh sot, to je sota seh sil na se elemente sistema, enaka nič. Notranje sile med elementi sistema edno nastopajo parih (F ij in F ji ) in se po 3. Newtonoem zakonu seštejejo nič, ostanejo le zunanje sile, to so sile, s katerimi telesa izen sistema delujejo na sistem. Zato za sistem točkastih teles (teles, ki se ne morejo rteti in je zanje nepomembno, katerih točkah so prijemališča sil) elja, da je pri sistemu, ki je ranoesju, sota seh zunanjih sil (F iz ) na sistem enaka 0. Pogoj za ranoesje telesa torej lahko zapišemo: F iz = 0 oz. po komponentah F ixz = 0, F iyz = 0, F izz = 0. Sila trenja - kadar se telo giblje po podlagi, deluje nasprotno smer gibanja (to je nasprotno smer hitrosti) sila trenja (F t ). Velikost sile trenja je odisna od praokotne sile, s katero telo pritiska na podlago oz. sile, s katero (po 3. Newtonoem zakonu) podlaga podpira telo (F N ): zaboj po tleh lečemo laže, če je manj naložen. Sila trenja je odisna tudi od kakoosti obeh stičnih ploske (rste materiala, hrapaosti ) - če so tla bolj gladka, zaboj laže lečemo. Kakoost poršin opišemo s koeficientom trenja (k t ). Koeficient trenja je ečinoma med 0, in, lahko pa je tudi eč ali manj. Posebej majhen je za ledene poršine, okoli 0,0. Sila trenja je torej: F t = k t F N. Primer: Za zaboj z maso 0 kg, ki ni dodatno obremenjen, in za k t = 0, po. Newtonoem zakonu elja F N = F g = mg = 00 N, sila trenja pa je F t = k t F N = 40 N. F N F t F g 6

7 Slika 3.9 Sila trenja. Sila lepenja - če zaboj na odoranih tleh lečemo s tako majhno odorano silo, da se še ne premakne, deluje med zabojem in podlago sila lepenja. F F F F F N F N F N... F N F N F g F l F g F l F g F l max F g F t F g Slika 3.0 Sila lepenja ko poečujemo lečno silo (F) odorani smeri, se poečuje tudi sila lepenja (F l ), se dokler sila lepenja ne doseže naječje možne rednosti (F lmax ); če lečno silo še poečujemo, zaboj zdrsne. Sila lepenja je po elikosti med 0 in F lmax (0 F l F lmax ), odisno od tega, kako elike so druge sile, ki delujejo na telo. Smer sile je nasprotna smeri, kamor bi telo zdrsnilo na posem gladki podlagi. Naječjo silo lepenja izračunamo podobno kot silo trenja: F lmax = k l F N. Odisna je le od praokotne sile, s katero telo pritiska na podlago, in od kakoosti obeh poršin. Koeficient lepenja (k l ) je podobnega reda elikosti kot koeficient trenja, endar edno nekoliko ečji, kar poznamo iz izkušenj: za enakomerno potiskanje zaboja potrebujemo nekoliko manjšo silo kot za to, da ga premaknemo ko poečujemo silo, da bi zaboj premaknili, zaboj nenadoma skoči; da bi ga enakomerno lekli, silo nekoliko zmanjšamo. Naor - za razsežna telesa pa je pomembno, kje sile prijemljejo. Omejili se bomo le na razsežna toga telesa - to je telesa, ki ne spreminjajo oblike. Slika 3.. Zaboj na tleh (gledan od zgoraj). Če ga lečemo odorano nasprotnih smereh z enako elikima silama na način, narisan leo, se ne bo premaknil. Če ga pa lečemo tako, kot kaže desna slika, se bo rtel. V obeh primerih je sota seh sil na zaboj enaka nič. Za razsežno telo je to potreben, ne pa zadosten pogoj za ranoesje. Potrebujemo še pogoj o ranoesju naoro (rtilnih momento). 7

8 F o F o F o F o F F F b a F F F F F g F g F g F F g Slika 3. Na ploščo delujejo teža (F g ), sila osi (F o ) in sila F. Uranoesimo jo tako, da dodamo silo F. Narisane so štiri možnosti, pri seh je naor dodatne sile F nasprotno enak naoru sile F (glede na os geometrijskem sreišču plošče). Naor ( M ) glede na dano os je definiran kot ektorski produkt med ročico ( r ) in silo ( F ): M = r F, ročica je ektor med osjo in prijemališčem sile. Ker nas pri raninskih primerih zanimata le njegoa elikost in smer, katero naor bi rtel telo ( smer urinega kazalca ali obratno smer), zapis poenostaimo. Velikost naora je (slika 3.3): M = r F sin() = r F = r F. r O r O r r O r F F F F F Slika 3.3 Naor je odisen od elikosti sile (F), elikosti ročice (r) in kota med njima (). Izračunamo ga lahko kot M = r F sin() ali pa kot M = r F, kjer je F komponenta sile, ki je praokotna na smer ročice; ali pa kot M = r F, kjer je r komponenta ročice, ki je praokotna na smer sile. Za smer pa naj elja dogoor: naor je pozitien, če rti nasprotno smer urinega kazalca, in negatien, če rti smer urinega kazalca: + - Slika 3.4 Smer naora. Razsežno togo telo je ranoesju, če elja, da je sota seh sil in sota seh naoro nanj enaka nič: 8

9 F i = 0, M io = 0. Velikost naora je odisna od lege osi, zato morajo biti si naori izračunani okoli iste osi, na kar opozarja indeks O. V splošnem elja naslednja trdite: če je sota seh sil na telo enaka nič in če je sota seh naoro na telo okoli neke osi enaka nič, je sota seh naoro okoli poljubne zporedne osi tudi enaka nič, kar pomeni, da si lahko os za računanje naoro pri primerih ranoesja zmeraj poljubno izberemo.. Newtono zakon poe, kako se telo giblje, če sile nanj niso uranoešene. Velja za točkasto telo nepospešenem opazoalnem sistemu. Če nepospešenem opazoalnem sistemu deluje na točkasto telo z maso m sila F (ali eč sil, ki jih seštejemo rezultanto F ), se telo giblje pospešeno s pospeškom a, za katerega elja: F = ma. Pospešek telesa ima isto smer kot sila (rezultanta sil): če sila deluje smeri gibanja, je pospešek pozitien in se hitrost poečuje (npr. zaboj lečemo s silo, ki je ečja od sile lepenja oz. trenja); če sila deluje nasprotno smer gibanja, je pospešek negatien in se hitrost zmanjšuje (npr. ozeči atomobil prestaimo prosti tek, zaradi zairalnih sil se ustalja); če sila deluje prečno na smer gibanja, telo zaija, to je spreminja smer gibanja (npr. kamen, ki ga obesimo na rico in rtimo odorani ranini). Primer: Izračunajmo pospešek, s katerim se po klancu nazdol gibljejo sani z otrokom. Skupna masa je m = 30 kg, nagib klanca = 0 o in koeficient trenja k t = 0,. F N +y F t F d F s +x Slika 3.5 Pospešek na klancu. Postopek rešeanja je podoben kot pri statičnih primerih:. izbira sistema teles sani z otrokom F g. izbira koordinatnega sistema praokotni koordinatni sistem z osema smeri klanca in smeri praokotno na klanec, pozitini smeri sta po klancu nazdol ( smeri gibanja sani) in stran od klanca (ne klanec). 9

10 3. identifikacija sil na sistem teža F g, praokotna sila podlage F N smeri praokotno na klanec, sila trenja F t smeri nazgor po klancu ( nasprotni smeri gibanja), njena elikost je F t = k t F N. 4. sile razstaimo izbranem koordinatnem sistemu F s = F g cos() 80 N, F d = F g sin() 00 N. 5. zapišemo. Newtono zakon F i = ma in sicer za sako koordinatno os posebej: F ix = max, F iy = ma y, F iz = maz ter staimo sile na opazoano telo: smer x: F d F t = ma x, smer y: F N F s = ma y. Sani se ne gibljejo smeri praokotno na klanec, zato je a y = 0, tej smeri je primer še zmeraj statičen. Dobimo F N = F s = 80 N. Sedaj lahko izračunamo tudi elikost sile trenja: F t = k t F N = 8 N. V smeri klanca torej sila F d = 00 N pospešuje gibanje, sila F t = 8 N pa ga zaira. Rezultanta F d F t = 7 N pozroča, da se sani po klancu nazdol gibljejo pospešeno s pospeškom a x a = (F d F t )/m =,4 m/s. Pospešek lahko zapišemo tudi: a = g (sin() - k t cos()). Če bi se sani gibale po klancu nazgor (npr. oče potisne sani z otrokom nazgor po klancu, med zpenjanjem klanec pa se sani ustaljajo), bi se našem računu spremenila samo smer sile trenja: ker se sani gibljejo nazgor, deluje trenje nazdol. V tem primeru sta zairalni sili de: trenje in dinamična komponenta teže, elikost pospeška (pojemka) je zato ečja: a = (F d + F t )/m = 4,3 m/s ali splošno: a = g (sin() + k t cos()). Za sistem togo ezanih točkastih teles, ki se translatorno gibljejo (torej teles, katerih dimenzije lahko zanemarimo in se sa gibljejo kot celota, z enakimi pospeški a = a =... = ai a ), elja, da je sota seh zunanjih sil na sistem enaka produktu skupne mase celotnega sistema in njegoega pospeška: Fiz = ( mi )a. Pri sistemu točkastih teles, ki niso togo ezana in/ali se ne gibljejo translatorno, sota zunanjih sil določa pospešek težišča sistema. Primer: Opazujmo let setlobne rakete, ki med letom eksplodira. Če zanemarimo pli zračnega upora, je teža edina zunanja sila na raketo, zato se na začetku giblje po paraboli (pošeni met). Ko se raketa zaradi notranjih sil razleti, delci letijo na se strani, težišče teh delce pa se še zmeraj giblje po paraboli, po kateri bi se raketa gibala, če ne bi ekspodirala (spet zanemarimo pli zračnega upora). Če se npr. raketa razleti simetrično na se strani, se tako nastala setlobna krogla eča in pada proti tlem, središče krogle pa nadaljuje pot po začetni paraboli. 0

11 Sile pri enakomernem kroženju to je pospešeno gibanje (radialni pospešek!), za spremembo smeri potrebujemo prečno silo. Na telo, ki enakomerno kroži, deluje rezultanta smeri proti središču kroženja. Izračunamo jo po. Newtonoem zakonu: F r = ma r = m /r. Silo imenujemo radialna sila ali centripetalna (sredotežna) sila. Ta telo es čas leče proti središču kroženja. Z ečanjem hitrosti se radialni pospešek in s tem radialna sila ečata s kadratom hitrosti. Če hitrost še ečamo, se zgodi, da ne moremo zagotoiti doolj elike radialne sile: rica, na kateri je obešen kamen, se pretrga, hitro rteča se plošča se razleti, atomobil ne zozi oinka Graitacijska sila deluje med telesi z maso, je edno prilačna sila, deluje na daljao. Sila med dema točkastima masama m in m, ki sta oddaljeni za r, je enaka: mm F g = G, r G je graitacijska konstanta (G 6,7 0 - Nm /kg ). Izkaže se, da lahko silo med dema homogenima kroglama izračunamo po isti enačbi, če za r staimo razdaljo med središčema obeh krogel. Sila je elika, če sta masi eliki in/ali je njuna medsebojna oddaljenost majhna. Med telesoma z masama po kg na razdalji m torej deluje prilačna sila 6,7 0 - N, kar je posem zanemarljio. Graitacijska sila postane pomembna, ko je saj ena masa izredno elika, npr. masa planeta ali zezde. Sila med Zemljo in telesom z maso m = kg, ki se nahaja na poršini Zemlje (masa Zemlje m = kg, polmer R = 6400 km) znaša 4 mm Nm kg 6 0 kg F g = G = 6,7.0 = 9, 8 N, r kg kar že poznamo. Zapišemo lahko: mm F g = G = m g 0, R 6 ( 6,4 0 m) g 0 je težni pospešek na poršini Zemlje, R je radij Zemlje in m masa Zemlje. Težni pospešek na poršini Zemlje je torej določen z maso in radijem Zemlje: m g 0 = G. R Težni pospešek na poljubni oddaljenosti od poršine lahko izrazimo z g 0 na poršini: m R g = G = g 0. r r Primer: Mednarodna esoljska postaja se nahaja na išini h 300 km nad poršino Zemlje (to je r = R + h = 6700 km od središča Zemlje). Na tej išini je težni pospešek približno 8,9 m/s. Luna je od Zemlje oddaljena okoli km, na tej oddaljenosti je težni pospešek okoli 0,008 m/s ; sila, s katero Zemlja prilači Luno, pa je m L g = 0 0 N (enaka je sili, s katero Luna prilači Zemljo).

12 Kroženje satelito Če kamen spustimo iz rok, pada proti tlem pospešeno s težnim pospeškom. Če ga ržemo odorano z majhno hitrostjo, leti po paraboli. Če poečamo hitrost, se poeča domet. Če bi ga uspeli reči z doolj eliko hitrostjo (in Zemlja ne bi imela atmosfere), pa sploh ne bi padel na Zemljo in bi krožil okoli nje ali pa jo celo zapustil. Na poršini Zemlje taki poskusi seeda ne uspejo že zaradi zračnega upora, izajamo pa jih pri utirjanju satelito. Satelit, Mednarodna esoljska postaja, Luna itd. bi padli proti Zemlji, če ne bi imeli hitrosti smeri praokotno na zeznico s središčem Zemlje. Če pa bi bila njihoa hitrost preelika, bi se Zemlji iztrgali. Za periodično gibanje je torej potrebna ustrezna hitrost. Doseganje ustrezne hitrosti je sestani del procesa utirjanja umetnega satelita. Slika 3. 6 Gibanje satelita z različnimi začetnimi hitrostmi. Tirnice satelito so elipse, planet je gorišču elipse. Pri manjših hitrostih so elipse izrojene krožnice ali skoraj krožnice, z rastočo hitrostjo pa postajajo elipse edno bolj ekscentrične (dolžini obeh osi elipse se edno bolj razlikujeta), pri še ečjih hitrostih pa periodično gibanje ni eč mogoče, telo odleti po hiperboli. Na krožeči satelit deluje graitacijska prilačna sila planeta smeri proti središču kroženja in pozroča radialni pospešek: mm F g = ma r G = m. r r Hitrost, s katero se giblje satelit, je torej odisna od radija kroženja in mase planeta, ni pa odisna od mase satelita: m = G. r Primer: Sateliti na nizkih tirnicah imajo ečje hitrosti kot tisti na išjih tirnicah. Za Mednarodno esoljsko postajo po gornji enačbi izračunamo hitrost okoli 7700 m/s, za Luno pa 000 m/s. Obhodni čas je π r r T = = π r. Gm

13 Primer: Sateliti na nižjih tirnicah imajo krajšo pot in ečjo hitrost, zato je njiho obhodni čas krajši: Mednarodna esoljska postaja obkroži Zemljo približno,5 h, Luna pa 7 dneh. Geostacionarni sateliti krožijo mes, na razdalji km od središča Zemlje in imajo obhodni čas 4 ur enak kot Zemlja, zato so taki sateliti lahko es čas nad isto točko na Zemlji. Energijski zakon je drugačen zapis. Newtonoega zakona (integracija po poti): A = W k, A je delo, W k pa kinetična energija. Delo sil, ki delujejo na točkasto telo, je enako spremembi njegoe kinetične energije. Namesto ektorske oblike. Newtonoega zakona računamo s skalarno enačbo, ki poezuje učinek sile na poti z rednostjo hitrosti na začetku in koncu. Kinetična energija točkastega telesa W k = m je odisna od mase telesa in njegoe hitrosti. Telo, ki miruje, ima kinetično energijo nič; ečja je hitrost, ečja je kinetična energija telesa. Kinetična energija raste s kadratom hitrosti: pri dakrat ečji hitrosti je energija štirikrat ečja. Kinetična energija je linearno odisna od mase: dakrat ečja masa telesa pomeni pri enaki hitrosti dakrat ečjo kinetično energijo. Kinetična energija je skalarna količina, kar pomeni, da ni odisna od smeri gibanja telesa. Sprememba kinetične energije W k = W k - W k je razlika med končno in začetno kinetično energijo. Sprememba je pozitina, če je končna hitrost ečja od začetne; negatina, če se telesu hitrost zmanjša; enaka nič, če se elikost hitrosti ne spremeni. Kinetično energijo merimo enotah kg m /s = Nm = J (joule). Delo je splošnem: A = da = F ds = F ds cos. ( ) V poenostaljenem primeru, ko je sila es čas gibanja stalna in oklepa stalni kot s smerjo premika, elja A = F s = F s cos, ( ) F je sila, ki deluje na telo; s premik telesa; kot med smerjo sile in premika: - če je sila enaka nič, je delo nič in s tem je nič tudi sprememba kinetične energije, torej hitrosti telo se giblje s stalno hitrostjo ali pa miruje - sila, ki deluje smeri premika ( = 0), opralja pozitino delo (cos(0 ο ) = ), ki je kar enako produktu elikosti sile in elikosti premika. Pozitino delo pomeni, da sila telo pospešuje, zato se mu poeča kinetična energija (hitrost) npr. atomobil pospešuje. - sila, ki deluje nasprotni smeri premika ( = 80 o ), opralja negatino delo (cos(80 ο ) = -), ki je po elikosti enako produktu elikosti sile in elikosti premika. 3

14 Negatino delo pomeni, da sila telo zaira, zato se mu zmanjšuje kinetična energija (hitrost) npr. trenje zaira gibanje. - sila, ki je praokotna na premik ( = 90 o ), ne opralja nobenega dela (cos(90 ο ) = 0) in ne spreminja hitrosti telesa - npr. sila teže pri premikanju telesa odorani smeri telesa niti ne zaira niti ne pospešuje. - silo, ki deluje pod poljubnim kotom glede na premik, razstaimo komponenti smer premice premika in praokotno nanjo (slika 3.7). Delo opralja le komponenta smeri premice premika (F = F cos(). Če ta komponenta kaže smer premika, je opraljeno delo pozitino in poečuje kinetično energijo telesa. Če pa kaže nasprotno smer premika, opralja negatino delo in zmanjšuje kinetično energijo. F F s F Slika 3.7 Silo razstaimo na komponenti smeri premika in praokotno nanj. Potencialna energija je enaka negatinemu delu sile teže. Izračunamo jo kot kot produkt teže in išine telesa: W p = mg h. Vedno nas bo zanimala le sprememba potencialne energije: W p = mg (h h ) = mg h. h s s s s ds dh F g F g F g F g F g a) b) c) d) e) Slika 3.8 Spremembo potencialne energije izračunamo iz spremembe išine telesa: W p = mg (h h ) = mg h. V primerih a), d) in e) je spremeba pozitina (telo se digne težnem polju Zemlje), primeru b) je negatina, c) je enaka nič. V primerih a), d) in e) je spremeba enaka, saj se telo seh primerih digne za enako. Velja: A' = W k + W p, A' je delo seh sil razen teže. Delo seh sil razen teže je torej sota sprememb kinetične in potencialne energije. 4

15 W k = m / = 0 W p = mgh A' = 0 W k = m / W p = mgh = 0 a) b) c) Slika 3.9 a) kamen ržemo napično nazgor, b) klado potisnemo po klancu nazgor, c) kroglo na ri, ki spra miruje, potisnemo odorani smeri. Začetna hitrost naj bo seh primerih enaka. Kako isoko se telesa dignejo? Zračni upor in trenje zanemarimo. V seh treh primerih se med digoanjem teles njihoa kinetična energija zmanjšuje (hitrost pada), poečuje pa se njihoa potencialna energija (išina raste). V najišji točki je kinetična energija nič. Ker razen teže ni drugih sil, ki bi opraljale delo, se do najišje točke sa kinetična energija pretori potencialno energijo. Začetna hitrost (npr. 0 m/s) zadošča za enak dig (5 m) ne glede na tirnico, po kateri se telesa digujejo. Tirnica je določena z drugimi silami (normalno silo podlage, silo rice), ki pa ne pliajo na rednost kinetične ali potencialne energije. Vzmet - pri majhnih obremenitah opazimo, da je zeza med silo (F) in raztezkom (x) linearna: F = k x, k je koeficient zmeti. To pomeni, da dakrat ečja sila pozroči dakrat ečji raztezek. Zezo imenujemo Hooko zakon. Koeficient zmeti poe, kolikšno je razmerje med silo in raztezkom. Trde zmeti imajo elike koeficiente, mehke zmeti pa majhne. Če za raztezek zmeti za cm potrebujemo silo 50 N, je k = 50 N/cm; če pa za enak raztezek potrebujemo ečjo silo (npr. 00 N), je k ečji (00 N/cm). Podobno elja pri stiskanju zmeti: bolj je zmet stisnjena, ečja je sila. 00 x 50 x x F F F F F [N] x F F (x) F x x [cm] 5

16 Slika 3.0 Sila zmeti enakomerno narašča z raztezkom. (k = F /x = F /x = 50 N/cm = 5000 N/m) Prožnostna energija zmeti je kx W pr = je enaka negatinemu delu sile zmeti. Definirajmo še mehansko energijo (W meh ) kot soto kinetične, potencialne in prožnostne energije: W meh = W k + W p + W pr. Velja: A'' = W k + W p + W pr = W meh, A'' je delo seh sil razen teže in sile zmeti. Delo seh sil razen teže in sile zmeti na točkasto telo je enako spremembi mehanske energije telesa (to je spremembi sote kinetične, potencialne in prožnostne energije). Moč (P) poe, kolikšno je opraljeno delo enoti časa: A P =. t Merimo jo atih ( W = J/s = kg m /s 3 ). Stroj z močjo kw uri oprai A = P t = 000 W 3600 s = 3,6 MJ dela. Gibalna količina je definirana kot G = m. Je ektor, ki kaže smeri hitrosti, njegoa elikost pa je enaka produktu mase in elikosti hitrosti. Če telo miruje, je njegoa gibalna količina enaka nič; ečja je hitrost, ečja je gibalna količina; pri enaki hitrosti imajo telesa z ečjo maso ečjo gibalno količino. Gibalna količina telesa se spremeni, če se spremeni ektor hitrosti, torej če se hitrost spremeni po elikosti in/ali po smeri. Iz integracije. Newtonoega zakona po času sledi, da je sprememba gibalne količine enaka sunku sile. Sunek sile je splošnem enak F dt. Če je sila stalna, je sunek sile enak produktu sile in časa trajanja deloanja sile na telo ( F t ). Če se sila spreminja, lahko sunek sile zapišemo tudi kot F t, to je kot produkt poprečne sile in časa trajanja sile. Sunek sile je torej ektor, ki ima smer poprečne sile, njegoa elikost pa je odisna od elikosti sile in časa deloanja te sile: daljši je čas deloanja sile, ečji je sunek sile in s tem je ečja tudi sprememba gibalne količine (in hitrosti) telesa; pra tako ečja sila pozroči ečje spremembe gibalne količine kot enako dolgo delujoča manjša sila. Velja torej: Fdt = G. Primer: Žogico mečemo proti steni. Njena začetna gibalna količina je m. Če se žogica odbije od stene s hitrostjo, ki je po elikosti enaka začetni hitrosti, se gibalna količina spremeni od (+m ) do (-m ), torej za m ; če se žogica prilepi na steno, pa se gibalna količina spremeni od (+m ) do nič, torej za m. V prem primeru je torej sprememba gibalne količine dakrat ečja kot drugem. To pomeni, da je tudi sunek sile stene na žogico dakrat ečji. Po 3. 6

17 Newtonoem zakonu je sila stene na žogico nasprotno enaka sili žogice na steno, zato je tudi sunek sile stene na žogico nasprotno enak sunku sile žogice na steno, saj obe sili delujeta natanko enak čas. Pri mehkih žogicah je sila med žogico in steno majhna, čas trajanja trka pa relatino dolg, pri trdih žogicah pa je trk s steno kratek, sile pa so elike. V sakem primeru pa je pri enakem končnem izidu sunek sile enak. Gibalna količina sistema točkastih teles je sota gibalnih količin posameznih teles: G G m. i = = i i Sprememba gibalne količine sistema teles je tako sota sprememb gibalnih količin posameznih teles in je enaka soti sunko zunanjih sil na sistem (sunki notranji se po 3. Newtonoem zakonu paroma odštejejo nič): G = G = F t. i iz i Če so sunki zunanjih sil enaki nič, se skupna gibalna količina sistema ohranja. Primer: Čloek miruje na posem gladkem ledu, njegoa gibalna količina je nič. Zunanji sili na čloeka sta teža in normalna sila podlage in sta uranoteženi, trenja in lepenja ni, notranje sile pa ne morejo spremeniti gibalne količine, zato se čloek po posem gladki poršini ne more premikati odorani smeri (lahko se le odžene od tal smeri napično nazgor). Če ne more računati na pomoč zunanjih sil (npr. ri, ki mu jo rže prijatelj, stoječ na hrapai poršini), lahko održe predmet odorani smeri (npr. kamen, čelje, ključe...) in se tako»razdeli«na da podsistema, ki imata hitrosti nasprotnih smereh, njuna skupna gibalna količina pa je še zmeraj enaka nič. Če je masa čloeka m = 60 kg (brez predmeta), masa održenega predmeta m = kg in če je hitrost predmeta = 0 m/s desno, je hitrost čloeka leo: 0 = m + m = - m / = -0,7 m/s. Predmet ima torej gibalno količino m =0 Ns desno, čloek pa m = -0 Ns nasprotno smer, skupna gibalna količina je še zmeraj nič; ker je masa čloeka 60 krat ečja od mase predmeta, je njegoa hitrost 60 krat manjša. Premi trk deh teles - de točkasti telesi z masama m in m se gibljeta po isti premici s hitrostima in in nato trčita tako, da se na koncu še zmeraj gibljeta po isti premici. Zanimata nas končni hitrosti obeh teles. Rezultat elja tudi za razsežna telesa, ki se ne morejo rteti (npr. agoni na tirnicah ali pa centralni trki, kjer se telesi po trku ne začneta rteti). Problem ima eč možnih rešite: biljardni krogli se npr. odbijeta ena od druge, kepi iz gline (ali pa atomobil in toornjak) se po trku sprimeta u u m m m m 3. Telesi pred trkom (leo) in telesi po trku (desno). Obe telesi obranaamo kot en sistem, opazujemo iz zunanjega, nepospešenega opazoalnega sistema, in sicer od trenutka tik pred trkom do trenutka tik po trku. V tem kratkem času je sunek običajnih sil na telesi (trenja, upora zraka ipd.) zanemarlji proti sunkom sil med obema telesoma. To pomeni, da se pri trku ne spremeni skupna gibalna količina obeh teles, 7

18 pač pa se gibalna količina med njima samo prerazporedi. Tik pred trkom je gibalna količina m + m, tik po trku pa m u + m u. Torej elja m + m = m u + m u. Pri tem zapisu smer hitrosti upošteamo s predznakom: se hitrosti izbrani smeri (npr. desno) pišemo kot pozitine; hitrosti obratno smer (leo) pa kot negatine: hitrost +3 m/s pomeni gibanje desno, -3 m/s pa leo. Hitrosti pred trkom smo označili z i, hitrosti po trku pa z u i. Pri popolnoma prožnem trku se ohranja kinetična energija (npr. pri centralnem trku deh biljardnih krogel): m m mu mu + = +, splošnem pa se lahko del kinetične energije izgubi. Trk opišemo s koeficientom prožnosti (e) - to je z razmerjem relatinih hitrosti po in pred trkom: e u u =. Pri tem je: e = za popolnoma prožni trk, e = 0 za popolnoma neprožni trk, 0 < e < za delno prožni trk. Popolnoma neprožni trk pomeni, da je relatina hitrost (u - u ) enaka 0, telesi se torej sprimeta in se gibljeta skupaj z enako hitrostjo isto smer. Večina trko je delno prožnih - relatina hitrost po trku je manjša od relatine hitrosti pred trkom. Za splošni premi trk deh teles tako zapišemo ohranite gibalne količine in definicijo koeficienta prožnosti: m + m = m u + m u, u e = in izračunamo: u m u + m e m ( ) =, m + m u m + m e m ( ) =. m + m Primer: Naj bo m = 0 kg, m = 0 kg, = 0 m/s, = -5 m/s: a) pri popolnoma prožnem trku (e = ) izračunamo u = -3,3 m/s in u =,7 m/s. Telesi sta se najprej gibali eno proti drugemu, po trku pa se gibljeta nasprotnih smereh b) pri popolnoma neprožnem trku (e = 0) sta obe končni hitrosti enaki u = u = -6,7 m/s, telesi se gibljeta skupaj leo c) pri delno prožnem trku s koeficientom prožnosti e = 0,5 pa je u = -5 m/s in u = -,5 m/s, obe telesi se gibljeta leo, endar z različnima hitrostima. V seh primerih pa je končna gibalna količina obeh teles skupaj enaka začetni: G z = m + m = -00 Ns, G k = m u + m u = -00 Ns. 8

19 Če trk ni premi, običajno zapišemo ohranite gibalne količine za sako koordinatno smer posebej. G = G z z G yz G yk G k G z = G xz G xk Slika 3. Skupna gibalna količina atomobilo pred trkom (leo) je enaka gibalni količini po trku (desno), pri katerem sta se atomobila sprijela. 4.6 Preglednica enačb teža: F g = mg razstaljanje sile: F x = F cos(), F y = F sin() sestaljanje sil: R F = i statična in dinamična komponenta teže na klancu: F s = F g cos(), F d = F g sin() 3. Newtono zakon: F = F. Newtono zakon: = 0 = konst sila trenja: F t = k t F N naječja sila lepenja: F lmax = k l F N elikost naora: M = r F sin() = r F = r F pogoj za ranoesje togega telesa: F i = 0, M io = 0. Newtono zakon: F = ma radialna sila: F r = ma r = m /r graitacijska sila: mm F g = G r F i težni pospešek: m g = G r = g 0 R r hitrost satelita: = m G r obhodni čas satelita: T = π r = π r r Gm energijski zakon: A = W k 9

20 kinetična energija: W k = m A = F s = F s cos delo: ( ) potencialna energija: Hooko zakon: prožnostna energija: mehanska energija: W p = mg h F = k x kx W pr = W meh = W k + W p + W pr izrek o mehanski energiji: A'' = W meh gibalna količina telesa: G = m gibalna količina sistema teles: G Gi = sunek sile: F t zakon o gibalni količini: G = F iz t = mi i i koeficient prožnosti trka: premi trk: u e = u u m = u m = + m e m m + m + m e m m + m ( ) ( ) 0