Slika Slika Slika 3.3-4
|
|
- Σωκράτης Σπυρόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3.3. POVRŠINSKE METODE 3.3a) Pretražna/skenirajuća mikroskopija (Scanning Electron Microscopy-SEM) Pretražna/skenirajuća mikroskopija emisijom elektrona poljem/primjenom polja (Field Emmission Scanning Electron Microscopy-FESEM) Nije posve jasno tko je prvi iznio principe pretražnog elektronskog mikroskopa, a prvi pisani opis datira iz 1935.g. (Njemački fizičar Max Kroll). Smatra se da su prvi SEM-i napravljeni izmeñu i 1942.g., a komercijalno ih je prvi počeo proizvoditi g. ''Cambridge Scientific''. Ovisno o namjeni, rade pod vakuumom izmeñu 10-2 do 10-8 Pa. Pomoću sistema elektromagnetskih leća elektroni se usmjeravaju prema površini uzorka, a razlučivanje i dubina prodiranja (od nekoliko nm do nekoliko µm) ovise o naponu, materijalu uzorka i veličini spota (presjek snopa na mjestu dodira s uzorkom). Tipični promjer fokusirajućeg elektronskog snopa je promjera 5 nm i struja snopa oko A. Upadni elektroni se vraćaju bilo kao primarno raspršeni prema natrag (''backscattered electrons'') ili kao sekundarno raspršeni koji se najviše koriste za istraživanje površina. Sekundarni elektroni su niskih energija (manje od 50 ev) tako da samo oni stvoreni nekoliko nanometara ispod površine uzorka mogu izaći i biti detektirani. Primarni elektroni mogu takoñer pobuditi karakteristično rentgensko zračenje kojim se analizira kemijski sastav uzorka. S obzirom da postotak prema natrag raspršenih elektrona takoñer ovisi o rednom broju atoma, podatak može dodatno poslužiti za kemijsku analizu. Granica razlučivanja već se spustila ispod 0.15 nm. Najlakše se detektiraju sekundarni elektroni jer su vrlo brojni i malih energija. S obzirom da udarni presjek ovisi o meti, to će atomi različitog rednog broja uzrokovati različiti kontrast na detektoru omogućujući elementnu (kemijsku) analizu materijala. Ako snop pretražuje površinu, podaci se mogu pretvoriti u vidljivu skenirajuću (rastersku) sliku i time napraviti bilo analizu reljefa površine (topografija), bilo kemijski sastav, što se modernim tehnikama jako jednostavno uočava na ekranu, ako se svakom elementu pridruži druga boja. Primjer reljefne slike je prikazan na slici 3.3-1, gdje se vidi rast ugljičnih nanocjevčica depozicijom na polikristalnom uzorku Ni, te se uočava da cjevčice ne rastu uzduž granica kristalita. Na slici je prikazan EDS rentgenski spektar za tanki film AlGaN na podlozi SiC, pokazujući da je sloj dovoljno debeo te elektroni Slika Slika Slika Slika Slika nisu prodrli do podloge jer se u spektru ne uočavaju linije silicija i ugljika, dok je na slici prikazana SEM slika dobivena pomoću primarnih elektrona raspršenih prema natrag s uzorka PbSn (svijetla područja pokazuju 46
2 dijelove uzorka bogate olovom) FESEM je SEM ali umjesto klasične katode emisija elektrona se postiže pomoću jakih polja (FE-''field emission''). U svibnju 2006.g. je ALIS Corporation (Peabody,USA) objavila vijest da su uspjeli izraditi ''helium ion scanning microscope'', koji bi trebao imati slijedeće prednosti u usporedbi sa SEM: veće ''osvjetljenje'', stabilnija struje emisije iona, manja oštećenja uzorka, promjer snopa manji od 1 nm što omogućuje veća razlučivanje i povećanja preko milijun puta. 3.3b) Mikroskopija elektronima niske energije/niskoenergijska elektronska mikroskopija (Low-energy Electron Microscopy-LEEM) Slično kao difrakcijska metoda LEED, i niskoenergijska elektronska mikroskopija (LEEM) koristi elastično raspršene elektrone. Tom metodom se dobiva slika površine kristala. Tipične energije su 100 kv do 3 KeV, razlučivanje je oko 2 nm i tom tehnikom se mogu promatrati na površini stepenice, dislokacije, nesavršenosti, superrešetke, kristalna zrna i ostale nehomogenosti površine. Osnovni princip je interferencija raspršenih snopova koja će u slučaju površine bez pogreške dati jednoliko raspršenje, a u slučaju nekih pogrešaka (recimo stepenica) doći će do pomaka u fazi i interferencije, destruktivne ili konstruktivne i time do promjene intenziteta na detektoru (gornji dio slike 3.3-4). Na insertima slike (a do d) vidi se stvaranje praznih mjesta na površini silicija uslijed jetkanja (nagrizanja) površine u atmosferi kisika: a) 1 s; b) 10 s; c) 20 s; d) 30 s. 3.3c) Pretražna/skenirajuća tunelirajuća mikroskopija (Scanning-tunneling Microscopy-STM) Pretražna/skenirajuća mikroskopija tunelirajućim spinski polariziranih elektrona (Spin-polarized Scanning- tunneling Microscopy- SP-STM) Pretražna/skenirajuća mikroskopija ionskom vodljivosću (Scanning Ion Conductance Microscopy- SICM) Konstruirali su ga 1981.g. Heinrich Rohrer i Gerd Karl Binnig (dobili su godinu kasnije Nobelovu nagradu). Pokretna sonda (ticalo) prolazi preko površine u pretražnom (skenirajućem) modu (slika 3.3-5) i vremensko ovisni naponski signal se šalje u računalo gdje se rekonstruira slika površine. Signal je proporcionalan elektronskoj struji koja tunelira izmeñu probe i vodljive površine. U početku STM nije bio pogodan za izolatore, meñutim najnovijim modelima ni to ne predstavlja problem. STM radi na principu tuneliranja elektrona iz površine uzorka prema šiljku (probi). Mjeri se dakle struja, koja naravno ovisi o iznosu tuneliranja, dakle o ''reljefu'' površine odnosno o udaljenosti šiljka od površine. U praksi se koriste dva moda: a) konstantna udaljenost; preko povratnog signala na piezoelektrični kristal održava se šiljak na konstantnoj udaljenosti iznad površine (šiljak slijedi topografiju), čime se sprječava udaranje šiljka o površinu i njegovo oštećenje; b) konstantna struja. Moramo imati vrlo dobar vakuum. Primjer STM slike površine monokristala Si je prikazana na slici 3.3-6a, gdje imamo atomsko razlučivanje površine monokristala silicija s naslagama Na atoma (slika 3.3-6b je rekonstruirana slika a). Za STM potreban je vrlo dobar vakuum ( 10-8 Pa), a razlučivanja su bolja od 1 nm. Slika Slika 3.3-7A Ako se mjeri tuneliranje spinski polariziranih elektrona u modu ''konstantna struja'' (prvi pokušaji napravljeni 1990.g.), moguće je, izmeñu ostalog, mjeriti/otkriti vrlo male magnetske domene. Metoda se zove Pretražna/skenirajuća mikroskopija tunelirajućim spinski polariziranih elektrona (Spin-polarized Scanning-tunneling Microscopy- SP-STM) (R. Wiesendanger: Imaging atomic-scale spin structure, G.I.T. Imaging&Microscopy 2(2007) 21-24). Metoda Pretražna/skenirajuća mikroskopija ionskom vodljivosću (Scanning Ion Conductance Microscopy-SICM) koristi se za biološke preparate i omogućava nanometarsko razlučivanja proteina i ćelija živih organizama mjerenjem ionske vodljivosti izmeñu tanke pipete (promjera oko 100 nm) i površine uzorka (S.J.W. Wilkins, M.F.Finlan, C.S.G. Finlan: Scannnig ion conductance microscopy: zero force imaging of living cells, Microscopy and Analysis Sanning Probe Microscopy Suppl. 3 (2008) S11-S13). 47
3 3.3d) Mikroskopija atomskom silom (Atomic-force Microscopy-AFM) Mikroskopija atomskom silom mjerenjem struje (Current-sensing Atomic Force Microscopy- CS-AFM) Mikroskopija atomskom silom uz vibracijsko pobuñivanje sonde (Atomic-force Acoustic Microscopy AFAM) Osmišljen 1986.g. (G.K. Binning, Quate i Gerber) i komercijaliziran 1989.g. po ''Digital Instruments'' i radi slično kao STM. Kod AFM-a signal je proporcionalan meñuatomskoj sili izmeñu šiljka probe i površine. Omogućuje atomsko razlučivanje, a svakako nanometarsko. Može raditi u vakuumu, zraku ili tekućinama i primjenljiv je praktički na sve materijale, nije kao STM ograničen na električno vodljive materijale. Takoñer, AFM je mnogo jeftiniji i jednostavniji za primjenu nego STM, tako da je uskoro postao vrlo korišten instrument. Slika 3.3-7A prikazuje bitne dijelove AFM-a. Uzorak se nalazi na nosaču kojemu je omogućeno gibanje u sva tri smjera. Vodljiva poluga sa šiljkom se dovede u neposrednu blizinu uzorka i rasterski se giba preko uzorka. Iznad poluge sa šiljkom nalazi se pločica koja zajedno s nosačem uzorka i uzorkom čini kondenzator. Ovisno o promijeni razmaka izmeñu šiljka i uzorka mijenja se razmak izmeñu ploča kondenzatora što omogućava proučavanje topografije površine uzorka. Takoñer može raditi u dva moda: a) šiljak prati neravnine i mjeri se promjena kapaciteta koji ovisi o razmaku izmeñu šiljka i pojedinih neravnina na uzorku; b) pomoću piezoelektričnog kristala održava se šiljak na konstantnoj udaljenosti od površine. Potreban napon koji treba biti na piezolektričnom kristalu daje kao rezultat topografiju površine. Važno je da se AFM dobro izolira od utjecaja vanjskih vibracija. Na slici 3.3-7B prikazan je oblik šiljka/probe iz Si 3 N 4 (vrlo tvrdi materijal) promjera baze stošca oko 4 µm, snimljenog pomoću SEM-a. Ovakav šiljak je očito pogodan za nanomatersko topografsko razlučivanje. Proba/šiljak može biti i iz dijamanta. Vrhovi proba su obično promjena 20 do 1 nm. Primjer AMF slike je slika gdje se vidi u 4 sekvence spiralni rast stepenice uslijed rasta vijčane dislokacije. Na slici je AFM snimka nc-ni (GISAXS slika tog uzorka je na slici ) nakon depozicije (a) i nakon grijanja na 973 K (b). Uočavaju se izdužene čestice, što je dala i GISAXS metoda, meñutim pomoću XRD utvrñena je veličina kristalita od oko 12 nm, što znači da izdužene nanočestice na AFM slici sadrže puno manjih nanokristalita. Slika 3.3-7B Slika Slika Slika A Najnoviji AFM imaju mogućnost atomskog razlučivanja i pomicanja pojedinih atoma po površini kao što je prikazano na slici A gdje su atomi kositra nanošeni na površinu (111) germanija (atomi Sn su nešto veći od atoma Ge) i kasnije su pomoću ticala pomaknuti u položaje da čine napis Sn. Primjenom posebne STM/AFM tehnike, Ternes sa suradnicima uspio je izmjeriti silu (2.1x10-10 N) potrebnu da sa pomakne Co atom izmeñu dva adsorpcijska položaja na Pt podlozi (160 pm). Za micanje Co atoma na Cu podlozi potrebno je primijeniti za 17 pn manju silu (Hubert et al.: The force needed to move an atom on a surface, Science 319 ( ). 48
4 Kao zanimljivost spomenimo da se s AFM-om, primjerice, istražuje i ''utjecaj učvršćivača (laka) na ljudsku kosu'' (slika B; I.P. Sashardi, In situ tensile deformation characterization of human hair with atomic force microscopy, Acta Materialia 56 (2008) ). Spomenimo zaključak u članku da učvršćivači ne utječu ni kemijski ni fizički na kosu. Više detalja o razlučivanju AFM-a može se naći u F.J. Giessibl, AFM's path to atomic resolution, materialstoday 5 (2005) Slika B Slika Ako se ticalo pokrije tankim vodljivim slojem može se dodatno u AFM modu mjeriti i električnu struju te dobivamo metodu Mikroskopija atomskom silom mjerenjem struje (Current-sensing Atomic Force microscopy- CS-AFM). Princip Mikroskopije atomskom silom uz vibracijsko pobuñivanje sonde (Atomic Force Acoustic Microscopy-AFAM) sastoji se u vibracijskom pobuñivanju poluge kada je u kontaktu sa uzorkom, te se iz vlastitih frekvencija poluge može izračunati primjerice Youngov modul uzorka. 3.3e) Mikroskopija lateralnom/poprečnom silom (Lateral Force Microscopy-LFM/Surface Force Apparatus-SFA/ Friction Force Microscopy-FFM) Kod LFM ticalo se vuče (struže) preko površine te se uslijed sile trenja izmeñu površine materijala i šiljka (takoñer obično Si 3 N 4 ili dijamant) mjeri naprezanje smicanja mikroskopskog šiljka koji klizi preko površine (slika ). Osjetljivost je do na 1 pn. Fleksibilna poluga povezana sa šiljkom se miče kako šiljak nailazi na prepreke i pomoću reflektirane svjetlosti mjeri se savijanje poluge i iz podataka se dobiva sila trenja podloge. Prednost prema AFM-u je ta da nije potreban vakuum. 3.3f) Mikroskopija magnetskom silom (Magnetic Force Microscopy-MFM) Mikroskopija promjenljivom magnetskom silom (Magnetic Exchange Force Microscopy- MExFM) Rasterski MFM mikroskop skenira površinu magnetskom sondom i mjeri lokalnu magnetsku strukturu. MFM detektira lokalna magnetska polja koja se stvaraju na rubovima magnetskih elementa (primjerice na magnetskim domenskim zidovima, ili na nanomagnetskim česticama). Magnetiziran šiljak, pričvršćen na polugu (slika ) vuče se uzduž površine na visini oko 90 nm. Ovisno o magnetskoj polarizaciji šiljak biva privučen ili odbijen što se detektira pomoću lasera. Da bismo bili sigurni da signal nije uzrokovan atomskom silom, površina se prvo topografski skenira na manjoj visini. Tipična MFM slika sastoji se od svijetlog i tamnog kontrasta koji ukazuju na iznos lokalnog magnetskog polja. MFM se koristi za mjerenje magnetskih polja uz samu površinu, primjerice za ispitivanje magnetskog pohranjivanja podataka ( magnetic storage media ). U MFM se ne može dobiti bolje razlučivanje od nm, tako da se za bolje razlućivanje (''atomsko'') mora koristiti SP-STM metoda, koja je meñutim ograničena na vodljive uzorke (magnetski metalni i poluvodički tanki filmovi). Za izolatore se primjenjuje metoda Mikroskopija promjenljivom magnetskom silom (Magnetic Exchange Force Microscopy- MExFM) gdje je najvažnija činjenica razmak izmeñu ticala i površine od samo nekoliko desetinki nanometra, dok je kod MFM metoda taj razmak veći od 10 nm (R. Wiesendanger: Imaging atomicscale spin structure, G.I.T. Imaging&Microscopy 2 (2007) 21-24). 3.3g) Mikroskopija elektrostatičnom/električnom silom (Eletrostatic/Electric Force Microscopy-EFM) Mikroskopija atomskom silom mjerenjem struje (Conducting Atomic Force Microscopy-CAFM) EFM je varijacija AFM koja koristi metalno presvučen šiljak i mjeri elektrostatsku interakciju izmeñu šiljka i uzorka. Koristi se za karakterizaciju elektroničkih ureñaja na nanometarskoj ljestvici, primjerice za pogreške u proizvodnji. U posljednje vrijeme EFM se počeo koristiti u molekularnoj biologiji, primjerice za istraživanje DNK. Postoje varijacije tog mikroskopa, primjerice rasterski kapacitivni mikroskop koristi probu i podlogu kao ploče 49
5 kondenzatora te se mjeri promjena kapaciteta u ovisnosti o reljefu površine ili o dielektričnim svojstvima površine. Kod CAFM se istovremeno gleda topografija površine i mjeri struja izmeñu ticala i površine. Moguće je, primjerice, mjeriti otpornost ugljikovih nanocijevčica. 3.3h) Mikroskopija termičkom silom (Termic Force Microscopy-TFM) Pretražni termički mikroskop skenira površinu s termočlankom i mjeri lokalne promjene u temperaturi površine. Slika Slika i) Pretražna/skenirajuća optička mikroskopija bliskim poljem (Near-field Scanning Optical Microscopy- NSOM/ (Scanning Near-field Optical Microscopy-SNOM) NSOM (ili SNOM) koristi oštra optička vlakna za prijenos svjetlosti na površinu i skuplja raspršenu svjetlost dajući na taj način podatke u refleksnim svojstvima površine. SNOM je kao MFM površinska metoda koja naročito dolazi do izražaja prilikom ispitivanja magnetskih domena u mikro i nano strukturama. Metoda je uvedena g. SNOM se bazira na pojavi ako se magnetiziran uzorak osvijetli s polariziranom svjetlošću dolazi do rotacije ravnine polarizacije transmitirane svjetlosti (Faradayev efekt) odnosno reflektirane svjetlosti (Kerra efekt). Zakretanje ravnine polarizacije ovisi o jakosti magnetizacije, što se uočava na kontrastu, primjerice, polarizirane reflektirane svjetlosti. Kod SNOM metode nije potrebno imati ni vakuum ni čistu površinu. Problem je meñutim u razlučivanju optičkog mikroskopa uslijed difrakcijskih efekata. Svaka osvijetljena točka na uzorku daje svoju difrakcijsku sliku, pa se točke uzorka ne mogu meñusobno razlikovati osim ako nisu razmaknute više od razlučivanja optičkog mikroskopa. SNOM eliminira potrebu za razlučivanje difrakcijskih slika na taj način da se uzima apertura manja od λ te se osvjetljava samo jedna mala točka na uzorku (slika ). Bez obzira kako se svjetlost difraktira točno se zna koje mjesto na uzorku je osvijetljeno. No postavlja se pitanje kako može svjetlost prolaziti kroz aperturu manju od λ/2. Svjetlost ustvari prolazi ali biva jako oslabljena s faktorom ½ svakih Slika Slika nm. Uslijed toga se apertura mora dovesti iznad površine uzorka manje od 20 nm (''near-field light''). Dio svjetlosti se onda konvertira natrag u normalnu svjetlost koja se jasno može detektirati i razaznati topografiju površine. Ako se pak koristi polarizirana svjetlost, različito magnetizirane domene uzrokovat će kontrastnu sliku. Na slici je magneto-optička slika višeslojnog Co/Pt uzorka. Najmanja vidljiva domena je veličine λ/3, korištena je apertura promjera 100 nm i valna duljina laserske svjetlosti je bila 488 nm. 50
6 Korištenjem vrlo finih optičkih vlakana sa šiljkom oko 10 nm i dovoñenjem takvih vlakana blizu površine materijala, pri čemu dolazi do elektromagnetske interakcije, može se dobiti razlučivanje reda veličine šiljka vlakna, dakle oko 10 nm. Tehnološki najveći problem je proizvodnja dovoljno tanke rupice kroz koju prolazi laserska svjetlost. C. König et al., Imaging of micro- and nanomagnetic structures, Europhysicsnews 36 (2003) Napomena: Metode 3.3c do 3.3i nazivaju se zajedničkim imenom Pretražne/skenirajuće mikroskopije probom (Scanning Probe Microscopy-SPM). Prednost SPM metoda je mogućnost atomskog razlučivanja slike površine, pa čak i manje, bez da se oštećuje uzorak. Najveći nedostatak je relativno sporo ''slikanje'', prosječno od 30 sekundi do nekoliko sati, ovisno o primijenjenoj metodi i vrsti uzoraka. Postoji veliki broj varijacija spomenutih metoda kao primjerice Mikroskopija poprečne dinamičke sile (Transverse Dynamic Force Microscopy-TDFM), Pretražna/skenirajuća tunelirajuća mikroskopija fotonima (Photon Scanning Tunneling Microscopy-PSTM), Pretražna/skenirajuća rezonantna mikroskopija (Resonant Scanning Microscopy-RSM), itd. (M. Miles set al., Tour de force microscopy, Materialstoday 2 (2003) 30-37) ili Mikroskopija kemijskom silom (Chemical Force Microscopy-CFM) pomoću kojeg se mjere meñumolekulske interakcije. 3.3j) Mikroskopija emisijom iona poljem/primjenom polja (Field-ion Microscopy-FIM/ Field-emission Microscopy-FEM) FEM se bazira na izvlačenju elektrona (iz šiljka polumjera oko 100 nm) pomoću jakog elektrostatskog polja uzrokovanim naponom nekoliko kv i promatranjem slika na flourescentnom zastoru. Primjer slike monokristala volframa je prikazan na slici Ne može se dobiti bolje razlučivanje od 2 nm. FEM je izumio Erwin Müler Erwin Müler je 1951.g. izradio Field-ion microscope-fim. U FIM-u koristi se oštar šiljak stavljen u vakuumsku komoru i usmjeren prema fluorescentnom ekranu. Koriste se pozitivno nabijeni atomi H ili He u energijskom području 100 ev do 2 MeV. Princip rada je slijedeći: oko oštrog metalnog šiljka, koji se nalazi u dobrom vakuumu, uspostavi se jako električno polje. U komoru se stavi odgovarajući plin (H ili He) koji se u dodiru sa šiljkom ionizira i uslijed toga akcelerira prema negativno nabijenom fluorescentnom zastoru, koji se nalazi nasuprot šiljka, i stvara ''atomsku'' sliku površine šiljka. Postižu se razlučivanja od 0.2 nm. Na slici vidi se slika ravnine (001) platine napravljene na temperaturi 30 K uz napon 7.6 kv i plinom helijem. Pojedine točke su stupci atoma okomitih na površinu uzorka. Svaki prsten je jedna atomska ravnina. Slika Slika k) Mikroskopija fokusiranim ionskim snopom (Focused Ion Beam Microscopy-FIBM/Focused Ion Beam Milling-FIBM) Kod FIB(M)) metode dobro fokusiran snop iona, obično galija, ubrzava se naponom 3 do 50 kv tako da udara na površinu materijala s kojeg želimo ukloniti neki sloj (''FIB milling''). Bolji instrumenti imaju promjere snopa manje od 5 nm tako da se mogu skidati vrlo male količine materijala. Metoda se počela intenzivno koristiti za pripremanje tankih uzoraka za primjenu u TEM i SEM, pogotovo tvrdih materijala i naziva se Mikroskopija fokusiranim ionskim snopom (Focused Ion Beam Microscopy-FIBM) a ponekad i Nagrizanje/glodanje fokusiranim ionskim snopom (Focused Ion Beam Milling-FIBM). P.R. Munroe, The application of focuse ion beam microscopy in the material science, Materials Characterization 60 (2009) l) Refleksijska elektronska mikroskopija (Reflection Electron Microscopy-REM) Stvaranje slike je prikazano na slici 3.1-b. Razlučivanje se ne može usporeñivati sa CTEM. Meñutim za promatranje odreñenih površinskih defekata metoda je sasvim prikladna. Primjerice na slici vide se stepenice (A, B i C) uzrokovane dislokacijama koje izlaze na površinu na tim mjestima. 51
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραOkular cilindar koji u sebi ima dvije ili više leća kako bi slika bila u fokusu. Okulari se mogu mijenjati ovisno o povećanju (2x, 5x i 10x).
3. Kako "vidjeti" nanostrukture Nužan preduvjet za razvoj nanotehnologije bila je pojava novih moćnih mikroskopa koji su omogućili promatranje i manipuliranje predmetima na udaljenosti od 1 nm. Kad govorimo
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραAlarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ
Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραSTATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA
Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότεραPREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste
PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIzravni posmik. Posmična čvrstoća tla. Laboratorijske metode određivanja kriterija čvratoće ( c i φ )
Posmična čvrstoća tla Posmična se čvrstoća se često prikazuje Mohr-Coulombovim kriterijem čvrstoće u - σ dijagramu c + σ n tanφ Kriterij čvrstoće C-kohezija φ -kut trenja c + σ n tan φ φ c σ n Posmična
Διαβάστε περισσότεραSpektar X-zraka. Atomska fizika
Spektar X-zraka Emitirana X- zraka Katoda Anoda Upadni elektron 1895. godine W. Röntgen opazio je nevidljivo (X-zrake) zračenje koje nastaje pri izboju u cijevi s razrijeđenim plinom. Rendgensko zračenje
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραUnipolarni tranzistori - MOSFET
nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραElektron u magnetskom polju
Quantum mechanics 1 - Lecture 13 UJJS, Dept. of Physics, Osijek 4. lipnja 2013. Sadržaj 1 Bohrov magneton Stern-Gerlachov pokus Vrtnja elektrona u magnetskom polju 2 Nuklearna magnetska rezonancija (NMR)
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότεραElektrodinamika ( ) ELEKTRODINAMIKA Q t l R = ρ R R R R = W = U I t P = U I
Elektrodinamika ELEKTRODINAMIKA Jakost električnog struje I definiramo kao količinu naboja Q koja u vremenu t prođe kroz presjek vodiča: Q I = t Gustoća struje J je omjer jakosti struje I i površine presjeka
Διαβάστε περισσότεραFAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραΜικροσκόπιο Ατομικής Δύναμης. Atomic Force Microscopy AFM
Εισαγωγή Αρχή Λειτουργίας /Ανατομία AFM Αλληλεπιδράσεις με την επιφάνεια Τρόποι Λειτουργίας του AFM Γεωμετρία ακίδας και Μορφολογία επιφάνειας Εφαρμογές Οπτικό μικροσκόπιο ~ 1700 1942 Ηλεκτρονική Μικροσκοπία
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραProgram za tablično računanje Microsoft Excel
Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότερα1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ
Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora
Διαβάστε περισσότεραMagnetsko polje ravnog vodiča, strujne petlje i zavojnice
Magnetske i elektromagnetske pojave_intro Svojstva magneta, Zemljin magnetizam, Oerstedov pokus, magnetsko polje ravnog vodiča, strujne petlje i zavojnice, magnetska sila na vodič, Lorentzova sila, gibanje
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραZadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?
Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPolarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα