DYNAMIQUE DES STRUCTURES

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "DYNAMIQUE DES STRUCTURES"

Δεσποίνη Τοκατλίδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ecole des Ponts ParisTech Département Génie Civil et Construction DYNAMIQUE DES STRUCTURES Alain PECKER Année 2017

2 OSCILLATEUR A 1 DEGRE DE LIBERTE I - Oscillateur linéaire Vibrations libres et forcées Amphi 2

3 OSCILLATEUR A 1 DEGRE DE LIBERTE u(t) Fuu (, ) M P(t) p(t) ÿ(t)

4 Cellules Cœur Piscines d entreposage

6 ASSEMBLAGE DE CORPS RIGIDES Z(t) p(t) A m(x) B M m(x)=0 C C 1 K 1 C 2 K 2

7 OSCILLATEUR A 1 DEGRE DE LIBERTE u(t) Fuu (, ) M P(t) p(t) ÿ(t)

8 RELATION FORCE-DEPLACEMENT F F 1 k k 1 U U Système linéaire F= ku Système non linéaire F = f(u)

9 FORCES D AMORTISSEMENT Amplitude Temps

10 ORIGINE DISSIPATION ENERGIE Plusieurs mécanismes en jeu Amortisseur physique (isolation vibratoire) Effet thermique du au chargement répété Frottement interne dans le matériau Déformations d origine plastique.. Ne peut être calculé à partir des propriétés du système (sauf cas exceptionnel) Modélisé de façon très simplifiée Amortisseur visqueux linéaire F = Cu

11 DEFINITION AMORTISSEUR EQUIVALENT Energie dissipée dans un cycle de vibration Modélisation de l énergie dissipée dans des cycles de (faibles) amplitudes A forte amplitude de déformation modélisation de la courbe force-déplacement = Energie dissipée dans un amortisseur linéaire

12 Force f D P = P sin( ω 0 t ) u = u sin( ωt) max E D p 0 Déplacement f p C = = u ωu D 0 max E D = E C u max identique u max 2 π ω 2 C = D = 0 π ω max E f du (Cu) u dt= C u C E = πωu D eq 2 max

13 OSCILLATEUR A 1 DEGRE DE LIBERTE F= Ku+ Cu u(t) M p(t) ÿ(t)

14 EQUATION D EQUILIBRE (I) u(t) f + f + f = p(t) I S D f D f I p(t) f S f D f S = k u fi = Cu = Mu M u + C u + k u = p(t)

15 EQUATION D EQUILIBRE (II) δv f D f S Mx p(t) f δu ˆ f δuˆ + p(t) δuˆ = Mu δu ˆ S D

16 EQUATION D EQUILIBRE (III) Energie cinétique 2 Energie potentielle 2 Forces non conservatives t 2 t 1 1 T= Mu 2 1 V= ku 2 δ W = p(t) δu Cu δu [ ] Muδu Cuδu kuδ u+ p(t) δ u dt= 0 t t 1 2 [ M u Cu k u + p(t) ] δ u dt = 0 Valable δu M u + Cu + k u = p(t) nc

17 EQUATION DU MOUVEMENT Mu + Cu + k u = p(t) + ξω +ω = 2 u 2 u u pt () M Pulsation propre Fréquence propre % Amortissement critique 2 k ω = M ω f = Période propre 1 2π 2 π T = = f ω ξ= C C C 2 km = 2Mω = cc

18 AMORTISSEMENT EQUIVALENT C ED = πω u eq 2 max ED k = 2 π E ω S f S c c 2k = 2Mω= ω k = 2 E S u 2 max u C E ω ED c 4πE ω 4πE D ξ= = = c S S u max

19 M u + Cu + k u = p(t) u+ 2ξω u +ω u = 0 Equation homogène 2 Solution générale u(t) = λ st e 2 2 s + 2ξω s+ω = 0 = 4ω 2 ( ξ 2 1) Système non amorti ξ= 0 Système amorti ξ 0, valeur de ξ

20 VIBRATIONS LIBRES Vibrations non amorties 2 u+ω u = 0 u (0) u(t) = sin( ω t) + u(0)cos( ωt) ω u(t) =ρcos( ωt θ) θ ω T = 2 π ω 2 u (0) ρ= u (0) + ω u(0) θ= Arctg ωu(0) 2

21 VIBRATIONS LIBRES AMORTIES Amortissement Critique ξ= 1 C= CC = 2Mω= 2 km [ ] ωt u() t = u(0)(1+ ω t) + tu(0) e U(t) Amortissement sur-critique ξ> 1 C> 2Mω [ ] ξωt u() t e ASh( t) BCh( t) = ω + ω 2 t ω=ω ξ 1

22 Amortissement sous-critique ξ< 1 C< 2Mω u(0) +ξωu(0) u() t = sin( ω Dt) + u(0)cos( ωdt) e ωd ξωt 2 ω D =ω 1 ξ ω U(t) ρ - e ξ ω t t ξωt u() t =ρe cos( ωdt θ) T = 2 π ω D

INFLUENCE AMORTISSEMENT 1 0.5 ξ = 2% ξ = 5% 0 u(t) / u(0) -0.

23 INFLUENCE AMORTISSEMENT ξ = 2% ξ = 5% 0 u(t) / u(0) ξ = 10% ξ = 20% t / T

24 MESURE DE L AMORTISSEMENT u u n n+ 1 = e ω 2πξ ω D -1 un 2πξ δ= Ln = 2πξ u 2 n+ 1 1 ξ

25 ω D ω Amortissement critique ξ

26 VIBRATIONS FORCEES Sollicitations Harmoniques 2 P0 u() t + 2ξω u(t) +ω u(t) = ω M sin( t) ξωt [ ] u() t = e Acos( ω t) + Bsin( ω t) D P 1 k (1 β ) + (2 ξβ) D (1 β ) sin( ωt) 2ξβcos( ωt) ω β= ω

27 u(t) Réponse totale Réponse stationnaire Réponse transitoire β= 0.2 ξ= 5% T = 0.4 s t / T

28 u() ρ t sin( ωt θ) P0 P0 1 ρ= k D = k ( 1 β ) + (2 ξβ ) ξ = 0 D = Facteur d amplification dynamique θ = Phase ω β = ω D ξ = 1.0 ξ = 0.2 ξ = 0.5 ξ = β

29 u() ρ t sin( ωt θ) θ= 2 Arctg 1 θ ξβ β 2 ξ = 0 D = Facteur d amplification dynamique θ = Phase ω β = ω ξ = 0.05 ξ = 0.2 ξ = 0.5 ξ = β

30 RESONANCE ω = ω ξ << 1 Conditions initiales u(0) = u(0) = 0 u(t) P / k 0 Non amorti t P 0 u()= t [sin( ωt) ωtcos( ωt)] 2k 1 / 2ξ Amorti P 0 ξωt u() t = (e 1)cos( ωt) 2ξ k t

31 PONT DE TACOMA

32 EQUATION LAGRANGIENNE DE L IMPACT q : Coordonnées généralisées T : Energie cinétique V : Energie potentielle Q : Forces généralisées externes d T T V Q i i 1, 2, n dt q + = = i qi qi

33 Impact de durée τ» ε d T T V du du du Qi du i 1, 2, n dt q + = = i qi qi t+τ t+τ t+τ t+τ t t t t T q i T q i, 0 V q i < Impulsion P i T = Pi i = 1, 2 n q i

34 REPONSE IMPULSIVE p(t) p() t =δ(t- τ) I + = p(t)dt = - 1 du (M ) = I dt τ t 1 u() τ =, u () τ = 0 M u(0) +ξωu(0) u() t = sin( ω Dt) + u(0)cos( ωdt) e ωd 1 (t ) h ( t ) u () t sin[ D(t )] t M e ξω τ τ = ω τ τ ω D ξωt

35 REPONSE IMPULSIVE p(t) p(t) M k T M = 2 π k Réponse maximale 0 max u(t) = t p k t 1 D

36 SPECTRES DE CHOC Coefficient d amplification D rectangulaire triangulaire sinusoïdale t 1 / T

37 SOLLICITATIONS QUELCONQUES Périodique Analyse fréquentielle Non périodique Analyse temporelle Analyse fréquentielle

38 SOLLICITATIONS PERIODIQUES Réponse stationnaire Transformée de Fourier Sollicitation T p 0 k k k= 1 p k= 1 p Temps 2πk 2πk p() t = a + a cos( t) + b sin( t) T T pt () = ck e k= 2iπk t T p

39 Equation par harmonique i mu + Cu+ ku = e ω k t Solution par harmonique i u(t) = H( ωk) e ω k t Fonction de transfert complexe H( ω ) = 1 1 k 1 β + k 2 2iβξ 2π k u() t = ck H( )e T k= p 2iπk t T p

40 SOLLICITATIONS NON PERIODIQUES Rendre la sollicitation périodique Transformation de Fourier de sollicitation Résolution par harmonique Fonction de transfert complexe Superposition de toutes harmoniques Analyse fréquentielle

41 INTEGRATION FREQUENTIELLE v S (t) t = +

42 ANALYSE TEMPORELLE

43 ANALYSE TEMPORELLE p (t) Réponse à l impulsion p(τ) dτ t du()= t [p( τ)d τ] h(t τ ) t >τ Intégrale de Duhamel t 1 ξω(t τ) u( t) = p( τ) e sin[ ωd(t τ)] dτ m ω D 0

Σχετικά έγγραφα

X x C(t) description lagrangienne ( X , t t t X x description eulérienne X x 1 1 v x t

X x C(t) description lagrangienne ( X , t t t X x description eulérienne X x 1 1 v x t X 3 x 3 C Q y C(t) Q t QP t t C configuration initiale description lagrangienne x Φ ( X, t) X Y x X P x P t X x C(t) configuration actuelle description eulérienne (, ) d x v x t dt X 3 x 3 C(t) F( X, t)