B.6 k = +1; q 0 = B.5 k = 0 ; q 0 = 1/

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1 ! " # $#% &'(*

2 !""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""". The metri of Spae-Time The redshift Distanes Angular Sie The Volume ow to ompute ω The sale parameter....8 Time sales... #$ $ %&Λ'"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""". General harateristis... " The solution of and t in parametri form.... The ubble and deeleration parameters elation between ω and ψ... 4 " Expressing ψ in the observables and... 4 "( The geometri distane The o-moving volume Time Sales The loo-ba time τ The age of the Universe (t expressed in and... 8 #% %'Λ """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""". Introdutory emars.... The general solution...., and t in terms of the parameter A....4, and τ in terms of A and....5 The geometri distane and volume elements... 6 * % % Λ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""", 4. Zero-density model with > The Lemaître model: Λ> and... -&.$ $/% """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""( A. The Metri... 6 A. The Einstein Euations... 6 A. General elations & #$$ %Λ' """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""", B. General elations (... 8 B. ; < /... 9 B. ; > /... 4 B.4 ;... 4 B.5 ; /... 4 B.6 ; &#% %'Λ """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""* -4&5 %6 %""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""** D. Zero-Density Model with > D. The Einstein model D. The De Sitter model D.4 The Lemaître model... 46

3 .!$ $ $$%%$% $ %! % $ 7 %$ %$ %7/$ " $ % %% -% $% "5$ 5 %-$ % / $% -$%5 8(5 8(/ " % % $% % % / %$ -./ 7 /$ $ / %% %$ -$% 9-5: $ "! / % $ $ $$ % 6/ ;$! %" $ : $%88( % % $ % 7< $%% "! % / % $ / / % " $ / % 7 % - /% %% "5$ %/ % %$ $ %" % - $ >$%? / $ %& $ % /% / % $ %/ / $ 7< $%% % % $ $ - " % % $ A $ - /. /% * " $ 'ρ " $ % $ % / / $%% " " % $ /%$ % $ / % $ / $%% % $ 9$/"! $ $ / / % A $ % % $ "! %$ $ % % ' %! % $ % % %"!%/7%$ 7 $% $ $"#! $% $ ;/ 7: % "!$ / % -$%% B<$ $"

4 $ $ % $%%$ %" 6/%! % % -/ % $%! $ $ $%" / $%$ % - $% $ % % $ $ $ %$ % % %"!%/ % % % ".% % $ " C"" $ $ $D$. & E$$ $% $ %%" $% $% " 4

5 Introdution / % -7%$ % $ $%% % -$% / $ % $ %- % $ $ "6/%% %$%% $ %"6 %% $% $ $% FF $ % D ' $ 7 7 'G "! 7 $ % 7< $%% / $ % % / %$ % Λ % %7 / % / % $ % /%" $ % $ $$ %7/$ " % < %" #! $ % / $ $ % /%$ ;/ 7: % "! &!% -/%$% / $! $ $ %" 5 $ % / #$$ % *%$ % $ % " $ % % / / / % $%" %$/% -" $ $$% %$ - 4". The metri of Spae-Time!% $ $ 7$ % ;/ 7: % $ & dr r dθ r sin θdφ ds dt ( t r 4 /%θφ $ - / ;'; " 7$ θ φ $ /I% - % 7$ " $ / < /% % /%% 7B"!' % %'B ' %" 5

6 $ % $ $ / / ω& r sinω r 4 #'Bω''%' r sinhω r 4 / $ $%& ω r sin r 4 ; $ $/ / - G'-- '-" %$ '" $$ $ & sin ω ds dt ( t{ dω ( dθ sin θdφ } $ %% %". The redshift #$ $ " $$ % - ;": ; % %$ ; % $ $" %/ /.&' ω $ - % θ'φ' & ω t t dt 6

7 % $ $ / "# & ω t t t t dt G ';G;" % ν G %& ν ν em obs. Distanes! %/ ωg "6 % % % / " $ %$ $5'.G*π4 5%-.%$ - 4 $ " % / 8( "(77("! % %- % $ / 4 / & A π π D sin( θ dθdφ 4πD D $ " %% $ 7 & π π sin ω sin ω A sinθ dθ dφ 4π ω " / %/ %- $/ & P P S. A 4π sin( ω / %% % J ωkg % $ " We put the observer at ω and the soure at ero, but in the end put ba the observer at ero; this an be done beause spae-time is homogeneous and isotropi 7

8 : / $ %% " % ε $'ν $ $ "! $ % $ $ $. $' ε $G $" # & % ν/'ν $GB< ε/'ε $GB< " 5 $/ & % % " % $/ $' /GB< $ / B< $ % %" % FF/ $%- $./ & n Pobs ε obs Pem /(. t obs # %& Pem S 4π ( o rg : %$ 4& D ( r g / /%$ %- / %$ / % / $ / / B< %- ν $ νb< ".4 Angular Sie %$%%< θ& θ'9g θ 9 % < θ " 7$ ωθφ ωθ θφ " %/ -$% $ /% " : $ $ $ $$ /% " %% 9 $ / /'ω'φ' '9 '; θ & 8

9 θ : $ θ ' ;GB< % $%5'.G*π4 θ'9g θ $ $/ & ( L. rg D r g ( dθ ( d θ D (.5 The Volume 7$ /I / - " % $/ /I 7$%$ $ %$ % $ ""%$"#$ $ " & sin ω sin ω dv ( ω, θ, ϕ dω dθ sinθdφ! ωθφ %$ ω& ω sin ω V ( ω 4π dω $ ω < ω' ω< % %$ % $%G< <".6 ow to ompute ω 9 / $ $ / % - θφ"5 ' ω t dt t ( t ω '"! 7 - $D< % ω'ωd< %$ " $D <" 9

10 .7 The sale parameter : % %; G; 'B< " %;'; & 8πGρ d p d ( ρ dt dt ρ Λ $%% / / 7 $$ $ "! $ % %% / ρ %Λ"%$ % 7< / %% -$%$% % ρ γ $ % / $ & d d ( ρ ( ρ dt d!$$ D//%$ %$ & 8 πgρ %& Λ p 8πG!% %& Λ Λ

11 .8 Time sales % $$ / /$ D" "'D % % / $ %" D 7 % D//% $ / % / $ #$ $ % Λ' % D 7 " $$ $ %7/$ τ t τ t We see that t t τ, and t τ. The name loo-ba time is obvious.

12 The standard (Friedmann model: Λ. General harateristis #$$ % $$$%%$ %%$ -% % / % $" 5 Λ' $ $%@ & 8πGρ / $/ Λ' $% " L #$$ %% / σρ % %/ ;D& '±"!% 'B >M ' 'M ' <M The solution of and t in parametri form % #$7@ % $ % % $ "! FF %$ %ψ ;';ψ 'ψ " ; $ $/ & d dt dψ dψ But negative pressure now has beome a definite possibility, sine the Quintessene models have been proposed. I should get around disussing these too.

13 dt d d / dψ d t dψ dψ dt / dψ dψ Gψ';G & d d dψ dψ %& a ( os ψ. 5 ';G ψ& a sin ψ t ψ. % % %& #' - '- - G'- & ;' 'Jψ K ' 'G Jψ ψk #'B & ;'B 'Jψ K 'B 'G Jψψ K #' ψ 'ψ G ψ G 'ψbψ G( $%/ < %$ "& ;' 'ψ G ' 'ψ G(! %$ ;/ %GD $ % "@%$ψ 6 / / / / / ( a t t - %$ /D'G $;' GD": 'G* % & ( t t /

14 . The ubble and deeleration parameters D / %%& $ $ $%& os ψ os ψ -% %''B /%/ " #' / %/ ; " %$ $% "$ & D' 'G G ' G".4 elation between ω and ψ $% %/ %7$ ω %$ %ψ"5 G;'ψG " & t dt ψ ω dψ ψ t & d sin( ψ / dψ a ( os ψ ω ψ ψ ωψ $ < 7&ω$ / ω' %ψ /% % ;'ψ'" Expressing ψ in the observables and 5 ψ '7 Gψ/ - $;;';GB< & os ψ os ψ G& 4

15 os ψ ( : $% % %/%$&ω / %$ % / - D<" %/ $ %$ " - ' %$% %%" % %$%% / % - $/ /% % #$$ % 7$ % "! % Λ " The geometri distane N/ % ' ω G & sin ( ψ ψ sin ψ os ψ os ψ sin ψ r g : % "/ $ & / r ( ( g ( / J 7 GK'G; D & / r ( ( g ( $ $% 8, " 5% $ %#$ %8 % $/ $ - <"!% % $% % / " % %$ -$% $ % / /$ $ < " %8OO / % / $$% %. 88O "# %$ 4';B< $/ & '7B< G '7 <B G G " / Mattig's formula was derived without any referene to partiular values of, or, and indeed, it is valid for all and all. For we an tae the limit by expanding the suare-root term in powers of up to the seond order. Zero- and first order terms in in the numerator anel exatly, so the limit exists. 5

16 : <B< & 4'GD <B<G % $%/ %/ "! % $ A'B < G & D ( Q %% % $B <BA GB <BA % % % $%& D ( ( /.7 The o-moving volume %$% %$ / $$ %& π sin ω V ( ω ω : %% ω $D< "% % % %$ -%% / /%! /% $%% / $/ $ & $ % %% $ %% ω $% "*" % / "D $ %% %$ / % $ %": % / %" ' % $ %"5 ω'<b< G GB< - ' %J - B B-K& ω ln( $ $ $%PG ω'ωωq& 4 ( V ( π ln( 4 ( dv d 4π ( ( 6

17 7 5 $ %" %$ $ω$%& 4 V ( ω πω $% r g : & { ( / } ω V ( π dv d 6π / ( 5 / ( "ω 'ω7 ω G & {( / } V ( π ( arsin ( / dv d 4π / ( ( In all other ases we use ω and V(ω..8 Time Sales.8. The loo-ba time τ By definition τ t t t!$%< ' τ' ' τ'"#$ % $ψ " τ/ ψ sin τ ψ sin ψ / ψ / 7

18 8 %$ ψψ $ / /%D<" %! -% - τ / /% 'G" '" %$ / %& $ $ /% $ %& ' $% ;G ';' %& %$$ % - τ" 'M"#$ "& & 'B" ψ'7 G'ψ'πG"%ψ' ψb< GB< '<GB< &.8. The age of the Universe (t expressed in and. - D $ψ "" & τ t t ψ ψ τ ( / τ aros / π τ / sin ( / t ψ ψ

19 '" %% ;';'GD t / %/ / %$ % $%" 'G"N/ " % & t / '"% %$%''& t π : $% #$$ %$% " 9

20 Flat Models (, Λ. Introdutory emars : 7 5 $ %%$ %' $ " < $%% %$%% / $ % / % % % $ " L % 7 $ % / $ % $%" %%% / $ 7#$ $ % % $ " FF% $ % Λ & % $%%$ %/ & % $ 8,, "% $ %/ %" $ $% / % %$ / % %$ / Λ / /%/ ": $ %$ % $%% $ $ / / % $ %$ % "! % %$ %% $ Λ%! $ %Ω'GΩ Λ 'G / % $ % % / $ / $ $ D//%$ %$ $ σ'*πnρgd & Λ ( σ σ! $ % $ % σ Λ Ω 'σ Ω Λ 'ΛGD "! $ / ΩBΩ Λ ''" $ %/ - % /'ΩGΩ Λ "

21 Figure The -σ plane. The lines representing Friedmann models and flat models are drawn. # $%% % %/ / < 5 $ % 7 5 $ % "!" 7σ% " % ΩΩ Λ S ": < & % σ'λ' σ'b' %$% % %$% % % " %%% %/ / /% %$ % * % / / $% /%/ - "!% /$ %$ %'Λ "! % %% - %%$ % % % Λ$ $% %%#$$ %". The general '& 8πGρ Λ

22 Λ!/ % % $ & ε!λ ε'λs ε'b%& A N/ " & ΛS&ΛGD '7σσG%T'σGσ " Λ&σSG %T'σG7σ " : % %%Dτ " % Λ % / %% / %& σ G $%% - % %$ #$ $ % G $% " $ %%% Λ": & D 'T& ( εa 8πGρ Λ γ A A / / sinγ t Λ sinh / ( γt 8πGρ Ω M Λ Ω Λ / γ Λ Ω Λ 5 %%$ %7 $%% % %; $/%/ $% /% 7 $ $ /%$ $ /% - $ %$ "!%%/

23 % % $ - " L % % $ % $%" % $ % /$% % $ / / $ %/% & Ω'G Ω Λ 'G'G"$ % $ $ %" & / sinh / ( t., and t in terms of the parameter A #$ %% $$ %Λ/γ ' G γ 'JB GK G & Λ ( A t #& / Λ Ω Λ A ( Ω A Λ ( A / ln{ A / A ( A / } Ω / Λ Ω ln / Ω M Λ.5 t.4 /.9!/ % %@ 7 5 % D,πNρG GD G"# D ΛG D 5 *" "5$%$%/ / ΛS" / Λ.4, and τ in terms of A and

24 $ % $ % - D< < %7/$ τ< Λ& ( Λ / ( { A( } A ( A( L $ / $$ < % % %"! $ %'" <' '",O" # %7/$ & τ Λ A( / ln[{ A( } ] ln( / ln{ ( A } ln A ln A / Figure The loo-ba time for some flat models with positive osmologial onstant. The full lines represent models with: A.,.5,.. The A.5 model is lose to the Conordane model. Also shown are standard and / models (lower and upper full lines respetively. 4

25 5

26 #'"& ( ( ( ( 4 ( / <' "/ '"" : τ<'" %$" τ % "" 5$%$% ΛS" $B< $ % $% "%/ %$ % $ ".5 The geometri distane and volume elements $ %$ %$ "! & r g t t dt t t $< B< '; G; $ $%& / dζ rg ( A / { A( ζ 74 5 r { } g / ( & A / dt sinh / γt 6

27 r g $%" % % $% $ %%%$% $ % "#$ $$ % % %$ '*π; G %%$ G<'*π; <" < % "" Figure : The geometri distane as a funtion of redshift, for A.,.5,. and.. For omparison also the Friedmann models with and.5 are shown 7

28 4 A seletion of Models with, Λ 4. Zero-density model with > %$ % %/ σ %$ & %/ % $ $/ $ $ % σ' -$"$$ % %$ "$%$/σσs $% Λ S " Λ % %$ / $ " # ρ'& Λ Λ 5 % "σ's'" / & / $ %/%& / $ % % -%%;'; / % /$% ;'/ ": & / sin( t / /& sin( / t / 8

29 D//% %$ & / / ot( t & tan ( / t 5$ $$ & $ % % % % $ ' & ; $-$$GD G ' πgd G < 'πgd G " %$$ ' D 'G D 'πg*"! $/ %/ & ( / [os{ / ( t t } / sin{ ( t t $%-G-'%-G-G'-G-B -'%J -7 B-K/%% & / {( ( } ( r g sinhω %$% -$ %"L % '$ %% / σ Λ σ "! / % %$ / $% - " %7/$ / & / }] / arsin / ( ( τ / arsin & / ar tan t / $% $ %" 9

30 4. The Lemaître model: Λ> and 9 $U $ % $% $ % %/ /% / % % % $ %" $%%$ % "D % %-% / $ /D//% $%%Λ/%"; ;' ;G' ;G / $ & 8πG ρ Λ!%,πNρ' G; ' ρ> Λ": E Λ Λ Λ 4 5 $ %% %$ %$ %"! % $ $ %%$ 9 $U $ %": $$< $ %& e ( t t Λ 9 $U $ % $$$ % 8 $ /8( $ $ -%

31 % <'" $ %/ %"#$ $ -$%. 8(O "! 9 $U $ % 'B $ %"D %%$ $ & 9 $U $ % /% % $ % /" $ $ / $ % - $%% / % % "! % : / 8O "! % $ ;@ - ;G;@": $ % ρ; ' ; 'ρ- 'αρ α" & αρ E αλ ρ x - α/ $ & Λ x ( x x α x Λ x ( x α x %/ % / $/ & -SS & / x ( αλ / t & 74 5 $ %&#S-S 9 $U $ 74 5 $ %"K #- x Λ x t /

32 & Λ #- 9 $U $ %/ 4 5 $ %"L $$ %$ % Λ " 9 $U $ % $ -& - -G $$$& x x min Λ( α α / / $'"5 %'G % %% / $ - % % "/ %& % $%%%-$'α G "#$ $ %% % "D $ - %-G $ " $ $ ; $%% "! ρ 4 5 $ % " : -G$ / $ /%% < /%α " #α% & / / x min Λ( α ( x α x & x α x Λ

33 x /% -'α G B7$ Λ A α Λ B / / ( α ( x α / ( / 5 FF / & % / Λ x α / α / x Λ x α ( x Λ / / sinh{ ( t tm } ( α 5 $ $' % " %$ $ % < % /%α "! % < $ %"!/ $ %/ $ -% <' $ %& $ % <'"9 / % 7-9 $U $ % " 6 $ $$ &%/ /$ % $ % %$ % $ $ % " $% 9 $U $ %"

34 /% " N"8,,!"#$#%$5 7 %& %D %/ L E " "#$ # & % #'$( $ ##*"9 "$$*( " : "8,"L",*8 *" N""8(, - $$!%#!$ D %&9 ". /%.""@"V;# #$$ %./!; ""."O8 (". ""88O$%*$$$, $(* $/. O". 5 "8( 8" 5 "8(/*8( " %"8OO$""."*,(8 " : / 5"8O,$$%#!: % 5&L E 4

35 5

36 Appendix A: Parameters and symbols used General Symbols <& & $ 4& %$ θ& %< 9 % < & %$ 7$ τ& %7/$ G < ψ& %$ % #$$ %Λ' A. The Metri sin ω ds dt ( t dω ( dθ sin θdφ ω& %7$ θ&%7$ φ& %7$ ; & %$ L"" 7$ - %%-" 8πGρ A. The Einstein Euations Λ p 8πG Λ ρ& $ % σ'*πnρgd & % ' Λ& $%% D& D//%$ D';G G; & %$ 'J ;G ;KG;G 6

37 A. General elations B<';G;& ω'g; $& % ' ωg & $ 4'B< ;& %$ θ'b< 9G; & %< ω '*π;pj ωkg Q ω$ω %$ 7

38 8 Appendix B: The Friedmann model (Λ 5 $ $%" B. General elations ( ( ( ( r g (deg ( 57. g r L θ V sin ( ω ω π ω os ( ψ a sin ( a t ψ ψ os ψ os os ψ ψ ψ ψ ω / / ( ( os ( / sin a ψ ψ os ψ

39 dv d τ t dv dω dω d ψ sin ψ sin ( / ψ ψ / sin ψ ψ a(oshψ a t (sinhψ ψ B. ; < / oshψ oshψ oshψ ω ψ ψ / ( sinhψ a ( oshψ oshψ V ( ω π sinh ω ω dv dω π (osh ω d d sinhψ ψ τ sinh ψ ψ 9

40 t (sinhψ ψ / ( a( osψ a t ( ψ sinψ B. ; > / osψ osψ osψ ω ψ ψ / ( sinψ a ( osψ osψ v( ω π ω sin ω dv dω π ( os ω d d ψ sinψ τ ψ sinψ t ( ψ sinψ / ( t B.4 ; 4

41 ω ln( t r g 4 ( V ( π ln( 4 ( dv ( / 4π d ( τ t ω t t / ( / B.5 ; / t r ω g V ( π / ( dv d τ t {( } / 6π 5 / ( ( / / 4

42 4 B.6 ; aros π ω r g / ( ( arsin ( V π / ( ( 4 d dv π aros / π τ π t

43 Appendix C: Flat Models ( ; Λ > 5 $ $%" / A / sinh γt 8πGρ A Λ γ Λ Λ ( A A A A / ( / / t A ln{ A ( A ( Λ Λ ( { A( } A( r g τ / dζ ( A / { A( ζ } } / ln[{ A( } ] ln( / ln{ ( A } ln A ln A 4

44 Appendix D: A Seletion of Other Models 5 *$ $%" / D. Zero-Density Model with > sin( / t / ρ Λ < / sin( t / & ( / [os{ / ( t t } ω arosh ( arosh / / ot( t / tan ( t / / / {( ( } ( r g V ( ω π ( sinh ω ω / arsin / ( ( τ / arsin / / t artan sin{ / / ( t t }] 44

45 Λ > E Λ ρ Λ E 4πG D. The Einstein model Λ > ρ exp{ ( t t } ω Λ r g 4 V ( π D. The De Sitter model 45

46 Λ > x E ρ α x ρ & D.4 The Lemaître model x ( x α x / & -SSα G 74 5 $ %" x Λ ( x x Λ x α α x / Λ t / / t -α G / 4 5 $ %" x x exp{ ( t t } Λ 46

47 - α G #$ #& Λ x α / ( α / / sinh ( t t & / t Λ {ln( α / : $ /%%/ α " 47