max max max L n M M M M E e

Transcript

1 4. TEORIJA IGARA Teoria igara e matematička teoria za rešavane problema konfliktnih situacia. Konfliktna situacia e ona u koo dolazi do sukoba interesa, t. do konkurencie učesnika u igri (igrača, konkurenata). Osnovni poam teorie igara e igra, kao matematički model realne konfliktne situacie. Osnovni zadatak teorie igara e određivane optimalnog ponašana učesnika u igri. Kriterium von Neumanna: A i B B B2... Bn min. reda q q q 2... q n ( min e i) p i A p e e 2... en min e A 2 p 2 e 2 e e 2n Am p m e m e m2... emn max. kolone max e i i max i e i max i e i2... max i e in min e 2 min e m max ( min e i)=α β = min ( max e i) i i Igra određena matricom igra. e e2 L e n e2 e22 e 2n E e L = i = m, n M M M M em em 2 L emn naziva se matrična A, A 2,..., A m su oznake za strategie (akcie) koe u igri ima na raspolaganu igrač A; B, B 2,..., B n su oznake za strategie koe preduzima igrač B; ei=f(ai,b) predstavla efekat (vrednost igre), kao posledica odabira akcie A i od strane igrača A i akcie B od strane igrača B; Ako e e i za igrača A dobit, onda e -e i dobit (gubitak) za igrača B. Pošto e e i + (-ei) = 0, reč e o tzv. zero (nulto) igri.

2 p, p2,..., p m su oznake za verovatnoće da će igrač A odabrati odgovarauće akcie A, A 2,..., A m pri čemu mora biti: m p i =, p i 0; i= q, q2,..., q n su oznake za verovatnoće da će igrač B odabrati strategie B, B2,..., Bn pri čemu e: n q =, q 0. = Kada e α = β, onda e reč o tzv. čisto igri i tada postoi barem edna tzv. sedlasta tačka (tačka ravnoteže, prelomna tačka). Kada e αk = α i βr = β i kada e αk = βr = ekr, onda postoi edna sedlasta tačka T(A k, Br), pa e Ak optimalna strategia za igrača A, a Br optimalna strategia za igrača B, uz vrednost igre e 0=W=e kr. Primer. A i B B B 2 B B 4 min reda A A max(min) =α A max kolone α = β = 50 min(max)=β Sedlasta tačka e T(A2, B). Optimalna strategia za igrača A e A2, a za igrača B e B. Vrednost igre u optimalnom slučau e W=50. Kada e αk = αs = α, a βr = β i kada e α = β = ekr = esr onda postoe dve sedlaste tačke T(A k, Br) i T2(As, Br). Primer 2. Ai B B B2 B B4 min reda A A max(min) = α A max kolone α = β = 50 min(max)=β

3 Sedlaste tačke su T (A 2, B ) i T 2(A, B ). Optimalne strategie za igrača A su A 2 i A, dok e za igrača B optimalna strategia B. Vrednost igre u optimalno situacii e W=50. Kada e αk = α, a βr = βs = β i kada e α = β = ekr = eks, onda postoe dve sedlaste tačke: T (A k, B r) i T 2(A k, B s). Primer. A i B B B 2 B B 4 min reda A A max(min) = α A max kolone α = β = 50 min(max)=β Sedlaste tačke su T(A 2, B2) i T2(A2, B). Optimalna strategia za igrača A e A 2, dok igrač B ima na raspolaganu dve optimalne strategie B 2 i B. Vrednost igre u optimalnom slučau e w=50. Po analogii rešavamo probleme sa više sedlastih tačaka.. Ako e α β, t. ako e α < β, onda se radi o tzv. mešovito igri i onda ne postoi sedlasta tačka, pa se vrednost igre nalazi između α i β, t. α<w=e0< β. U ovom slučau se e0=w može odrediti uz pomoć verovatnoća pi, q kao verovatna vrednost, pri čemu p i i q predstavlau učestalosti korišćena poedinih strategia od strane igrača A odnosno igrača B u optimalnom slučau. Neka e data igra sa matricom [e i] m,n. Za igrača A(I ) postoi optimalna o o o strategia da odabere A sa p, A 2 sa p 2,..., A m sa p m i da tako sebi obezbedi očekivanu dobit u namanem iznosu w. Ovu strategiu karakteriše vektor verovatnoća (frekvencia): o o o o p = ( p, p2,..., pm) Za igrača B(I2) optimalnu strategiu će karakterisati vektor: o o o o q = ( q, q2,..., qn ) a takvom strategiom će obezbediti da mu gubitak bude naviše w. Optimalna strategia za oba igrača se može dobiti rešavanem sistema od m+n+2 ednačine ili neednačine, sa m+n+ nepoznatih p, p2,..., pm, q, q 2,..., qn, w:

4 p + p pm = pi 0 e p + e 2p e mp m w e 2p + e 22p e m2p m w... e np + e2np em np m w q + q q n = ; q 0 e q + e2q enq n w e 2q + e22q e2nq n w... e m q + em2q em nq n w Jedan od efikasnih načina rešavana ovog problema e simpleks metod linearnog programirana. Rešene: Ako podelimo sve neednačine sa w i uvedemo oznake p i/w = x i, a q /w = y, onda ćemo dobiti sledeća dva modela: x, x 2,..., x n 0 e x + e2x em xm e 2x + e22x em 2 xm... e nx + e 2nx e mn x m x + x xm = v min y, y 2,..., y n 0 e y + e2y en yn e 2y + e22y e2n yn... e m y + e m2y e m n y n y + y yn = z max Rešavanem drugog modela kao Primarnog dobiu se i rešena prvog modela kao Duala. Polazna tabela za rešavane problema: y y 2... y n x e e 2... e n x 2 e 2 e e 2n x m e m e m 2 e m n... z=0...

5 Primer 4. A i B B B 2 B min reda A A max(min) = α max kolone α=6<w<β=8 min(max) =β Optimalne učestalosti korišćena poedinih strategia za svakog igrača ćemo u ovom primeru odrediti pomoću simpleks metoda linearnog programirana (tabelarno). Rešene: y y 2 y x 6 (8) 5 x y x y y 2 /4 /8 5/8 /8 x 2 9/2 -/4 (25/4) /4 /4 -/8 /8 -/8 y x x 2 y 2 /0 /5 -/0 /0 y 8/25 -/25 4/25 /25 -/50-2/25 -/50-7/50 pi = xi pi = wxi w q = y q = wy w W = z max z m ax= 7, y=0, y2= 50 0, y= 25 su rešena primarnog problema.

6 v m in=zmax= 7 50, x= 2 25, x2= 50 w= = 50 = 7 74, z max 7 7 p =x w= = 0, p 2=x2 w= 50 = 0, q =y w= 0 50 = 0 7 q 2=y2 w= 50 5 = 0, q =y w= 50 = 0, su rešena duala. U optimalnom slučau igrač A treba da u približno 57% pokušaa koristi strategiu A, a u približno 4% pokušaa strategiu A 2. Igrač B ne treba da koristi strategiu B, dok strategie B2 i B treba da koristi približno u 7% odnosno 29% pokušaa. Vrednost igre u optimalnom slučau e približno w 7, Do ovog rezultata može se doći na oš edan način. Za početak, posmatramo matričnu igru formata 2x2: Strategie Strategie igrača B igrača A B B2 A e e2 A2 e2 e22 Lako se proverava da matrične igre ovog formata nemau sedlastu tačku ukoliko se dva maksimalna elementa nalaze na glavno ili na sporedno diagonali. Bez umanena opštosti, pretpostavimo da su dva maksimalna elementa e i e 22 i pretpostavimo da igrač B bira strategiu B sa verovatnoćom q i strategiu B2 sa verovatnoćom q, t. q = q i q2 = q. Tada se očekivana vrednost igre za igrača A može odrediti na sledeći način. Ukoliko primeni strategiu A igrač A očekue dobitak e q + e2 ( q), a ukoliko odabere strategiu A2, e2 q + e22 ( q). Ako se ove dve očekivane vrednosti izednače, dobia se e22 e2 q =, ( e e2) + ( e22 e2 ) odakle sledi da vrednost igre iznosi e e22 e2 e2 w =. e e ) + ( e e ) (

7 Slično, ako e p = p i p2 = p, odnosno igrač A bira strategiu A sa verovatnoćom p i strategiu A 2 sa verovatnoćom p, može se pokazati da e e22 e2 p =. e e ) + ( e e ) ( Po dimenziama i složenosti, sledeće su igre dimenzia 2xn, n>2, u koima igrač B ima na raspolaganu n strategia, kao i igre dimenzia mx2, m>2, u koima igrač A može da upotrebi neku od m raspoloživih strategia. Posmatramo primer 4 i pretpostavimo da igrač A bira strategiu A sa verovatnoćom p i strategiu A2 sa verovatnoćom p. Na slici grafički su prikazani gubici igrača B s obzirom na strategie igrača A, tako što leva osa predstavla strategiu A a desna strategiu A2. Za svaku vrednost sa x ose, na pravo koa odgovara strategii B i možemo očitati gubitak igrača B ako igrač A igra ( x) A i x A2. Kada bi igrač B imao dovolno informacia o potezu igrača A, naboli odgovor nalazio bi se na dono obvonici prikazano na slici. S druge strane, među svim navedenim vrednostima igrač A želi da izabere maksimalan iznos, odnosno tačku T. A A 2 B B 2 B Slika. Možemo uočiti da se tačka T nalazi u preseku pravih koe odgovarau strategiama B2 i B, što implicira da se vrednost igre u optimalnom slučau može odrediti kao rešene podproblema Strategie Strategie igrača B igrača A B 2 B A 8 5 A 2 6 0

8 Koristeći gore navedene obrasce dobia se p =, q = i w =, odnosno p = 4 7, p = 2 7, 5 2 q = 0, q 2 =, q =. 7 7 Primetimo da x koordinata tačke T odgovara verovatnoći p, dok y koordinata pokazue na vrednost igre w. Ako igrač A primeni mešovitu strategiu sa verovatnoćama p=4/7, p 2=/7, a B igra strategiu B tada može da očekue gubitak = 7, veći od vrednosti igre u optimalnom slučau. Ova tačka nalazi se u preseku prave koa odgovara strategii B i vertikalne prave naspram tačke x Tehnika primenena u teorii igara može se upotrebiti za rešavane problema donošena odluka u situaciama neizvesnosti, kada raspolažemo određenim broem strategia koe odabiramo očekuući nastupane i prisustvo maneg ili većeg broa različitih okolnosti. Verovatnoće nastupana poedinih okolnosti su nepoznate, a eventualno možemo subektivno da ih procenimo (pretpostavimo). Primer 5. Strategie Strategie igrača B igrača A B2 B A 4 0 A2 6-4 A -6 6 A A Kako e α = 0 i β = 6, navedeni primer nema sedlastu tačku, te se radi o mešovito igri. Na Slici 2 grafički su prikazani dobici igrača A s obzirom na alternative igrača B.

9 B B 2 A A A 4 A 2 A 5 Slika 2. Za razliku od prethodnog primera, igrač A teži da ostvari maksimalan dobitak s obzirom na strategie igrača B. Stoga se vrednosti koe bira A nalaze na gorno obvonici prikazano na Slici 2. Igrač B teži da ostvari minimalne gubitke, te bira tačku T sa navedene obvonice. Očigledno e da se ovakav rezultat ostvarue ukoliko igrač A bira strategie A i A. Zato e podproblem koi vodi do optimalnog rešena sledećeg oblika: Strategie Strategie igrača B igrača A B B2 A 4 0 A -6 6 Slično kao u prethodnom primeru, dobia se p = 0, 75, q = 0, 75 i w =, 5, tačnie p =0,75; p 2=0; p =0,25; p 4=0; p 5=0; q =0,75; q 2=0,625. U optimalnom slučau igrač A treba da u približno 75% pokušaa koristi stategiu A, u 25% pokušaa strategiu A dok strategie A 2, A 4 i A 5 ne treba da koristi. Igrač B u približno 7,5% pokušaa treba da koristi strategiu B a u 62,5% strategiu B2. Vrednost igre u optimalnom slučau iznosi,5. Primetimo da ako igrač B igra mešovitu strategiu sa verovatnoćama q =0,75; q 2=0,625, a igrač A primeni neku od strategia A2, A4 i A5, može da očekue mani dobitak od vrednosti igre (-0,25; -0,5 i -, respektivno), što se može uočiti i na slici 2.

10 Teorema (John von Neumann, 928): Svaka matrična igra dimenzia mxn ima optimalno rešene. Tačnie, postoi edinstvena vrednost igre w i optimalna (čista ili mešovita) strategia za igrače A i B, tako da: a) Ako igrač A primeni optimalnu strategiu, negov dobitak biće w, bez obzira na strategiu igrača B, b) Ako igrač B primeni optimalnu strategiu, dobitak igrača A biće w, bez obzira na strategiu kou primeni igrač A. c) Optimalno rešene uvek se može odrediti kao rešene odgovaraućeg podproblema dimenzia kxk. Drugim rečima, rešene svake matrične igre dimenzia mxn može se odrediti kao rešene podproblema dimenzia x (sedlasta tačka), 2x2, x ili neke veće kvadratne matrične igre. Primer 6. Jedna veća fabrika elektrometalnog kompleksa treba da se opredeli za proizvodnu proizvoda između sledeće tri grupe: proizvodi investicionog karaktera, aparati za domaćinstvo i specialne mašine. Procenenu dobit u određenom periodu za svaku grupu proizvoda, pri nastupanu različitih okolnosti (stana tržišta, kao napr. konunktura, recesia, depresia) prikazue sledeća tabela: Strategie (Ai) Okolnosti (O ) O Konunktura O 2 Recesia O Depresia A:Investicioni proizvodi A 2:Aparati za domaćinstvo A : Specialne mašine Odrediti optimalnu strategiu za ovo preduzeće. Rešene: a) Prema Waldovom kriteriumu (kriteriumu pesimizma ili MAXMIN kriteriumu): O O2 O Minimum reda A i A A 2 A O =max(min) Prema ovom kriteriumu treba odabrati strategiu A, t. odlučiti se za proizvodnu specialnih mašina. b) Prema Hurwiczovom kriteriumu (kriteriumu optimizma): Ova kriterium pretpostavla uvažavane određenog optimizma donosioca

11 odluke u vidu tzv. koeficienta optimizma k, pri čemu e 0 k. Neka e k=0,6. Ai A A2 A Očekivane vrednosti efekata pri k=0,6 0,6 40+0,4 (-5)=8 max 0,6 22+0,4 2=4 0,6 2+0,4 8=0,4 Prema ovom kriteriumu i odabranom koeficientu optimizma treba se odlučiti za strategiu A. Ako se uzme k=, onda se dobia tzv. MAXMAX kriterium potpunog optimizma. A i A A2 A maksimum reda 40 max 22 2 Odluka: A. Kada bi koeficient optimizma bio k=0,4 onda bi bilo: A i A A2 A Očekivane vrednosti efekata pri k=0,4 0,4 40+0,6 (-5)=7 0,4 22+0,6 2=0 max 0,4 2+0,6 8=9,6 Optimalna strategia bi bila A 2. c) Prema Savageovom (Sevidž) kriteriumu (kriterium žalena ili MINMAX kriterium): Matrica gubitaka (propuštene dobiti): O O2 O Maksimum reda O Ai A A min(max)

12 A Prema ovom kriteriumu treba se odlučiti za A 2. d) Prema Laplaceovom (Laplas) kriteriumu nedovolnog razloga (nedovolnih informacia o mogućim nastupanima poedinih okolnosti): Prema ovom kriteriumu se, zbog nepoznavana procene o mogućnosti nastupana poedinih okolnosti, uzima da e ednako verovatno da će nastupiti bilo koa od okolnosti ( u ovom slučau e reč o verovatnoći /,%) A i A A2 A Očekivane vrednosti efekata (40+6-5) 0, (22+6+2), max (2+0+8)=0 Prema ovom kriteriumu treba se odlučiti za A2. e) Prema Bayesovom kriteriumu: Prema ovom kriteriumu se polazi od mogućnosti da donosilac odluke, na osnovu sopstvenog iskustva, ili iskustva angažovanog eksperta, subektivno proceni verovatnoće nastupana poedinih okolnosti. Neka su procene verovatnoća nastupana poedinih okolnosti redom 0,5; 0, i 0,2. A i A A 2 A Očekivane vrednosti efekata 0,5 40+0, 6+0,2 (-5)=8,8 max 0,5 2+0, 6+0,2 2=6,2 0,5 2+0, 0+0,2 8=0,6 Prema ovom kriteriumu treba se odlučiti za A. Odabrane subektivne verovatnoće se nazivau oš i a priori verovatnoće, pa se prethodna analiza često naziva a priori analiza. Više eksperata posmatrane problematike daće bole procene o

13 verovatnoćama nastupana poedinih okolnosti i veću sigurnost donosiocu odluke pri odlučivanu. Pretpostavimo da e dat zadatak stručnacima ekspertskog tima da odgovore na pitane kako se prihvatau proizvodi posmatranog preduzeća pri nastupanu poedinih okolnosti. Dobieni su rezultati u vidu tzv. uslovnih verovatnoća P(S k(o )), koe npr. pokazue sledeća tabela: Sk S S 2 O O O 2 O 0,8 0,2 0,5 0,5 0,4 0,6 Procena S neka znači da se prihvatau proizvodi posmatranog preduzeća na tržištu, a S 2 da se ne prihvatau proizvodi istog preduzeća na tržištu. Za dalu analizu e potrebno odrediti a posteriori verovatnoće po Bayesovo formuli: ( S ) P O = k n = ( ) ( ) P( O ) P S O k P( O ) P S O k Rezultate postupka izračunavana ovih verovatnoća prikazue sledeća tabela: S k O P(O ) P(S k O ) S O O2 O S 2 O O2 O 0,5 0, 0,2 0,5 0, 0,2 0,8 0,5 0,4 0,2 0,5 0,6 P(O ) P(S k O ) 0,4 0,5 0,08 A posteriori verovatnoće P(O Sk) 0,4:0,6=0,649 0,5:0,6=0,28 0,08:0,6=0,270 0,6=P(S),0000 0, 0,5 0,2 0,:0,7=0,270 0,5:0,7=0,4054 0,2:0,7=0,24 0,7=P(S 2),0000 Očekivane vrednosti efekata u a posteriori analizi su: Za S: E(A ) = 0, , ,270 (-5) = 24,92

14 E(A2) = 0, , ,270 2 = 8,0 E(A) = 0, , ,270 8 =,02 Za S2: E(A ) = 0, , ,24 (-5) = 8,8 E(A 2) = 0, , ,24 2 =,08 E(A ) = 0, , ,24 8 = 9,89 Radi preglednosti ove rezultate prikazuemo sledećom tabelom: S k S S 2 E(Ai) E(A ) 24,92 8,8 E(A2) 8,0,08 E(A ),02 9,89 Pod pretpostavkom procene S optimalna e strategia A, a u slučau procene S2 optimalna e strategia A 2. Verovatnoća da će se ostvariti naveći efekat od 24,92 iznosi 6% (P(S )=0,6). Zadaci za vežbu. Da li sledeće matrične igre imau sedlastu tačku? a) Strategie Strategie igrača B igrača A B B 2 B B 4 A A A A b) Strategie Strategie igrača B igrača A B B2 B A A A c)

15 Strategie Strategie igrača B igrača A B B 2 B A 2-5 A A 4-2 d) Strategie Strategie igrača B igrača A B B 2 B A 7-2 A 2 2 Rešene: a) Pretpostavimo da e igrač A odabrao strategiu A i i da e igrač B odabrao strategiu B. Za efekat e i kažemo da e sedalsta tačka ako e e i mane ili ednako od svih ostalih ishoda igre u redu i i istovremeno veće ili ednako od svih ishoda u koloni. Na ova način, izborom strategie A i igrač A ne može da dobie mane od ovog ishoda, dok izborom strategie B igrač B ne može da ostvari gubitak veći od e i. Strategie Strategie igrača B minimum igrača A B B2 B B4 Reda A A A A maksimum kolone β = min{ 0,0,25,0} = 0 α = max{ 0, 20, 5,0} α = 0 α = β = 0 Sedlaste tačke su T (A,B 2), T 2(A,B 4), T (A 4,B 2), T 4(A 4,B 4), a vrednost igre iznosi w=0. Primetimo da tačka T(A 2,B ) nie sedlasta tačka iako bi odabirom strategia (A 2,B ) ishod igre iznosio takođe 0. b) T(A,B2). c) T (A 2,B ), T 2(A,B ). d) T(A 2,B 2). 2. Date su matrične igre: i) Strategie Strategie igrača B igrača A B B 2 A 9 0 A 2 2 2

16 ii) Strategie Strategie igrača B igrača A B B2 A - 8 A2 6 a) Naći donu i gornu granicu vrednosti igre. b) Odrediti optimalne strategie i vrednost igre. Rešene: i) a) α = 9, β = 2. b) p= 0,45; p2= 0,55; q= 0,9; q2= 0,; w=20,. ii) a) α =, β = 6. b) p= 0,25; p2= 0,6875; q= 0,475; q2= 0,5625; w=,875.. Date su matrične igre: i) Strategie Strategie igrača B igrača A B B2 A 40 5 A A 0 40 ii) Strategie Strategie igrača B igrača A B B2 B B4 A A a) Naći donu i gornu granicu vrednosti igre. b) Grafički prikazati strategie igrača i odrediti optimalne strategie i vrednost igre rešavaući odgovaraući podproblem. c) Odrediti optimalne strategie i vrednost igre pomoću simpleks metoda. Rešene: i) a) α = 0, β = 40. b)

17 B B 2 A A 2 A Slika. Na osnovu Slike. može se zaklučiti da se optimalna vrednost igre dobia ukoliko igrač A odabere strategie A i A. Stoga e podproblem koi vodi do optimalnog rešena Strategi Strategie igrača B e igrača A B B 2 A 40 5 A 0 40 čie rešene glasi: p= 0,2222; p2= 0,7778; q= 0,7778; q2= 0,2222; w=2,2222. Odavde sledi da u optimalnom slučau igrač A ne treba da koristi strategiu A 2, u približno 22,22% pokušaa koristi strategiu A a u približno 77,78% slučaeva strategiu A. igrač B treba da u približno 77,78% pokušaa koristi strategiu B, a u približno 22,22% slučaeva strategiu B 2. Vrednost igre u optimalnom slučau iznosi približno 2,2222. c) Samostalno. ii) a) α = 25, β = 40. b)

18 A A 2 B 2 B B B 4 Slika 4. p= 0,; p2= 0,7; q= 0,4; q2= 0,6; w=4. c) Samostalno. 4. Date su matrične igre i) Strategie Strategie igrača B igrača A B B2 B B4 A A A ii) Strategie Strategie igrača B igrača A B B2 B A A A 4 2 iii) Strategie Strategie igrača B igrača A B B 2 B A 4 6 8

19 A A a) Naći donu i gornu granicu vrednosti igre. b) Odrediti optimalne strategie i vrednost igre pomoću simpleks metoda. Rešene: i) a) Strategie Strategie igrača B minimum igrača A B B 2 B B 4 reda A A A maksimum kolone α = < 20 = β Kako e α = < 20 = β, ne postoi sedlasta tačka i vrednost igre w nalazi se u intervalu (,20). b) y y 2 y y 4 x 8 2 (20) 6 x x y y2 x y4 y 4/5 /5 /20 9/5 /20 x 2 0 (20) -/ x / /5 2/5 -/20-4/5 -/20 y x2 x y4 y /0 -/00 /200 57/50 7/200 y2 /2 /20 -/40 /0 /40 x (20) -/5 -/20 28/5 /20 2/5 -/50 -/25 -/25 -/50 x x 2 x y 4

20 y -/200-29/000 27/ /250 7/4000 y 2 -/40 /200-7/800 2/50 7/800 y /20 -/00 -/400 2/25 /400 -/50-2/25-27/000-29/25-6/000 Odavde sledi: z max =, y =, y 2 =, y =, v = 6 min 000, x = , x = , x = 50, x = 0, odnosno 000 w = = 5,87, v min p = x w = 0,4286, p 2 = x2 w = 0, 2540, p = x w = 0,75, p 4 = x4 w = 0 = 0, q = y w = 0,90, q 2 = y2 w = 0, 7, q = y w = 0, U optimalnom slučau igrač A treba da u približno 42,86% pokušaa koristi strategiu A, u približno 25,40% slučaeva strategiu A 2, u približno,75% pokušaa strategiu A, dok strategiu A 4 ne treba da koristi. Igrač B u približno,20% pokušaa koristi strategiu B, u približno,7% slučaeva strategiu B2, u približno 54,7% pokušaa strategiu B. Vrednost igre u optimalnom slučau iznosi približno 5,87. ii) a) α = 2, β = 4. 2 b) p = p =, 7 p = 7, 4 2 q =, q 2 =, q = w =. 7 iii) a) α = 8, β = 6. b) p,%; p2 0,98%; p 7,7%; q 9,06%; q2 54,2%; q 6,7%; w 0,74.

21 5. Koi od proizvoda A, A2, A, A4, plasirati na tržište, ako mogu nastupiti okolnosti O, O 2, O, ako su dobiti od proizvoda u zavisnosti od poedinih okolnosti prikazane u sledećo tabeli: Strategi Okolnosti e O O 2 O A A A A Odrediti optimalnu strategiu primenom: a) Valdovog kriteriuma. b) Hurvičovog kriteriuma ako e koeficient optimizma 45%. c) Sevidžovog kriteriuma. d) Laplasovog kriteriuma. e) Baesovog kriteriuma, ako verovatnoće nastupana okolnosti O, O 2, O, iznose 0%, 60%, 0% respektivno. Pretpostaviti da su uslovne verovatnoće za navedene okolnosti prema situacii S, da se proizvod prihvata, odnosno S2, da se proizvod delimično prihvata date u sledećo tabeli: Situacie Okolnosti O O2 O S 0,7 0,8 0,4 S 2 0, 0,2 0,6 Rešene: a) Kod Valdovog kriteriuma, prvo e potrebno odrediti minimalni dobitak za svaki proizvod, a potom se bira proizvod koi po ovom kriteriumu ima maksimalnu vrednost. Strategi Okolnosti minimum e O O2 O reda A A max{ 25,0,25,5} = 0 A A Prema Valdovom kriteriumu treba odabrati strategiu A. b) Kod Hurvičovog kriteriuma se za odgovaraući koeficient optimizma k izračunavau očekivani dobici za svaki proizvod A i tako što se maksimalan dobitak množi sa koeficientom optimizma k, a minimalan dobitak sa ( k). Potom se bira proizvod sa maksimalnom očekivanom vrednošću. Strategi e Očekivani dobici za k = 0,45 A 0, ,55 25 =, 75 A 2 0, ,55 0 = 6, 75 max{,75;6,75;6,25;26,25} = 6,75 A 0, ,55 25 = 6, 25

22 A 4 0, ,55 5 = 26, 25 Prema Hurvičovom kriteriumu, uz koeficient optimizma 0,45, treba odabrati strategiu A 2. c) Kod Sevidžovog kriteriuma, postavla se pitane koliko iznosi propuštena dobit za svaki proizvod pod pretpostavkom da nastupi okolnost O, =,2,. Potom se određue maksimalna propuštena dobit za svaki proizvod i bira proizvod koi po ovom kriteriumu ima minimalnu vrednost. Strategi Okolnosti maksimum e O O2 O reda A A A min{ 25,0,5,5} = 5 A Prema Sevidžovom kriteriumu, treba odabrati strategiu A. d) Kod Laplasovog kriteriuma polazi se od pretpostavke da se svaka od okolnosti može poaviti sa podednakom verovatnoćom. Kako e bro okolnosti tri, verovatnoća da nastupi O =,2, iznosi /. Strategie Očekivani dobici A , 67 A A = 6, 67 max{,67;5;6,67;26,67} = 6,67 A , 67 Prema Laplasovom kriteriumu, treba odabrati strategiu A. e) Kako su u ovom delu zadatka poznate verovatnoće nastupana poedinih okolnosti, izračunavau se očekivane dobiti za svaki od proizvoda, a potom se bira proizvod koi ima naveću očekivanu vrednost. Strategie Očekivani dobici A 0, 0 + 0, , 25 = 5, 5 max{ 5,5;,5;,5;2,5} = 5,5 A2 0, 0 + 0, , 45 =, 5 A 0, , , 50 =, 5 A 4 0, 5 + 0, , 40 = 2, 5 Prema ovom kriteriumu, treba odabrati strategiu A. U cilu donošena pouzdanie odluke, potrebno e izvšiti a posteriori analizu, koristeći uslovne verovatnoće. Tačnie, izračunavau se Baesove verovatnoće prema sledećem obrascu: P( O ) P( Sk O ) P( O Sk ) = m. P( O ) P( S O ) = Situacie Okolnosti P ( O ) P ( S ) (S k ) (O ) k O P( O ) P( Sk O ) P ( O Sk ) S O 0, 0,7 0,2 0,2877 k

23 O 2 0,6 0,8 0,48 0,6575 O 0, 0,4 0,04 0,0548 Ukupno: 0,7,0000 O 0, 0, 0,09 0, S2 O 2 0,6 0,2 0,2 0,4444 O 0, 0,6 0,06 0,2222 Ukupno: 0,27,0000 Očekivani dobici za svaki od proizvoda, pod pretpostavkom nastupana okolnosti S i, i =,2, izračunavu se na sledeći način: Za S: E(A )=0, , , =6,0 E(A 2)=0, , , =0,82 E(A)=0, , , =2,95 E(A4)=0, , , =22,95 Za S : E(A)=0, , =, E(A2)=0, 0+0, , =, E(A )=0, 25+0, , =5,00 E(A 4)=0, 5+0, , =25,00 Odnosno, Očekivan Situacie i dobici S S2 E(A) 6,0, E(A 2) 0,82, E(A ) 2,95 5,00 E(A4) 22,95 25,00 Pod prepostavkom situacie S optimalna e strategia A, dok e pod pretpostavkom nastanka situacie S2 optimalna e strategia A. Verovanoća da se postigne naveći dobitak od 6,0 iznosi 7%. 6. Koi od proizvoda A, A 2, A, plasirati na tržište, ako mogu nastupiti okolnosti O, O 2, O, ako su dobiti od proizvoda u zavisnosti od poedinih okolnosti prikazane u sledećo tabeli: Strategi Okolnosti e O O2 O A 20 0 A A Odrediti optimalnu strategiu primenom: a) Valdovog kriteriuma. b) Hurvičovog kriteriuma ako e koeficient optimizma 0,7.

24 c) Sevidžovog kriteriuma. d) Laplasovog kriteriuma. e) Baesovog kriteriuma, ako verovatnoće nastupana okolnosti O, O 2, O, iznose 25%, 5%, 40% respektivno. Pretpostaviti da su uslovne verovatnoće za navedene okolnosti prema situacii S, da se proizvod prihvata, odnosno S2, da se proizvod delimično prihvata date u sledećo tabeli: Situacie Okolnosti O O2 O S 0,6 0,5 0,5 S 2 0,4 0,65 0,5 Rešene: a) A2; b) A2; c) A; d) A; e) A priori analiza: A; A posteriori: pod pretpostavkom S optimalna strategia e A 2, a pod pretpostavkom S 2 optimalna strategia e A. Verovatnoća da će se ostvariti naveći efekat(7,) iznosi 52,75%. 7. Koi proizvod od A, A 2, A, plasirati na tržište, ako mogu nastupiti dve okolnosti O, O2, a dobiti od proizvoda u zavisnosti od poedinih okolnosti prikazane u sledećo tabeli: Strategi Okolnosti e O O2 A 6 20 A A 8 7 Odrediti optimalnu strategiu primenom: a) Valdovog kriteriuma. b) Hurvičovog kriteriuma ako e koeficient optimizma 0,9. c) Sevidžovog kriteriuma. d) Laplasovog kriteriuma. e) Baesovog kriteriuma, ako se zna da okolnost O može da nastupi sa verovatnoćom 40%. Izvršiti a posteriori analizu, pod pretpostavkom da mogu nastupiti dve situacie: proizvod se prihvata S i proizvod se delimično prihvata S2, i da su ove verovatnoće date u sledećo tabeli. Situacie Okolnosti Rešene: a) A; b) A; c) A; d) A; e) A priori analiza: A; O O2 S 0,8 0, S 2 0,2 0,7

25 A posteriori: pod pretpostavkom S optimalna strategia e A, a pod pretpostavkom S 2 optimalna strategia e A. Verovatnoća da će se ostvariti naveći efekat(88,8) iznosi 50%.